RESPUESTA DINÁMICA Y ESTABILIDAD DE...
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1 RESPUESTA DINÁMICA Y ESTABILIDAD DE SISTEMAS Tiempo continuo Tiempo discreto Función de transferencia Función de transferencia Polos y ceros (reales o complejos) Salida para una entrada escalón, expansión en fracciones y antitransformada. Polos reales Salida para una entrada escalón, expansión en fracciones y antitransformada. Polos complejos () ( ) ( ) ; () () Yz Hz hk Hz Xz 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 1 () () () m m m m m n n n n n bs bs bs b s b Bs Hs s as as a s a As 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 1 () () () n n n n n n n n n n bz bz bz b z b Bz Hz z az az a z a Az 1 1 ( ) () ( ) n polos de valores: m ceros de valores: m j j n i i i j K s c Hs s p p c 1 1 ( ) () ( ) n polos de valores: n ceros de valores: n j j n i i i j K z c Hz z p p c 1 ( ) ( ) ( ) ; () () Ys HsXs yt L Ys 1 ( ) ( ) ( ) ; () () Yz HzXz yk Yz 1 2 1 2 () e n n d d d d Ys s s p s p s p 1 2 0 1 2 () 1 e n n dz dz dz dz Yz d z z p z p z p 1 2 1 2 1 () n pt pt pt e n yt d de de de u t 0 1 1 2 2 1 () () k k k e n n yk d k d dp dp dp u k 1 2 1 2 * () ( ) ( ) e l l nl dl l n l nl dl n d d d d Ys s s p s p s j d d s j s p 1 2 0 1 2 * () 1 + l l e l j l l n j n l dz dz dz dz Yz d z z p z p z e dz dz z p z e 0 1 1 2 2 () () cos( ) 0 k k k e l l l l k n n yk d k d dp dp D k dp k 1 2 1 2 () cos( ) 0 l nl n t pt pt e l dl l pt n yt d de de De t de t () ( ) ( ) ; () () Ys Hs ht Hs Xs
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1
RESPUESTA DINÁMICA Y ESTABILIDAD DE SISTEMAS
Tiempo continuo Tiempo discreto
Función de
transferencia
Función de
transferencia
Polos y ceros
(reales o
complejos)
Salida para una
entrada escalón,
expansión en
fracciones y
antitransformada.
Polos reales
Salida para una
entrada escalón,
expansión en
fracciones y
antitransformada.
Polos complejos
( )( ) ( ) ; ( )
( )
Y zH z h k H z
X z
1 2
0 1 2 1
1 2
1 2 1
( )( )
( )
m m m
m m
n n n
n n
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0 1 2 1
1 2
1 2 1
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( )
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n n
n n n
n n
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1
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j
j
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i
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1
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( )
( )
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n
j
j
n
i
i
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K z c
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p c
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1 2
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n
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0
1 2
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e n
n
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1 2
1 2 1( ) np tp t p t
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0 1 1 2 2 1( ) ( ) k k k
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l n
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l
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n
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d e
t
( )( ) ( ) ; ( )
( )
Y sH s h t H s
X s
2
Desde el punto de vista de la variación de la respuesta, se
distinguen dos etapas: transitoria y permanente
DEMO “Exploring the s-plane”: Orden 1 y variaciones. Orden 2
y variaciones. Orden superior y polos dominantes
3
4.3 Sistemas de primer orden
Figura 4.4 a) Sistema de primer orden b) Patrón de polos y ceros
1
1 1( ) ( ) ( )
( )
( ) 1 ( )at
aC s R s G s
s s a s s a
c t e u t
ssR
1)(
Ecuación de sistema de primer orden con entrada escalón unitario
4
Constante de tiempo
esta definida como el
tiempo que le toma a
la respuesta a escalón
alcanzar el 63% de su
valor final.
Características dinámicas de la respuesta de un sistema de primer orden a un escalón unitario
Figura 4.5
1
a
5
4.4 Sistemas de segundo orden: introducción
Figura 4.7
6
4.4 Sistemas de segundo orden: introducción
Figura 4.7
7
Figura 4.10
Respuestas escalón para casos de amortiguamiento en
sistemas de segundo orden
8
Sistema de 2° orden subamortiguado, dos polos complejos
conjugados.
Función de transferencia normalizada y sus parámetros
Frecuencia natural, ωn, que es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento, en rad/seg.
Factor de amortiguamiento, ζ es la cantidad que surge de la comparación de la frecuencia a la cual disminuye la envolvente de la exponencial con respecto de la frecuencia natural.
La función normalizada de este tipo de sistemas es:
Ej. Encontrar ζ y ωn para la siguiente función de
transferencia :
2
36( )
4.2 36G s
s s
2
2 2( ) 0 1
2
n
n n
G ss s
9
Figura 4.17
Patrón de polos para un sistema de segundo orden
subamortiguado
10
Figura 4.11
Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento
Figura 4.11
2
2
2 1
1( ) 1 ( )
1
11 ; tan
nt
d
d n
y t e sen t
Solución analítica
11
Figura 4.11
Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento
Figura 4.11
12
Ejercicio 4.4 Para cada uno de los sistemas mostrados a
continuación halle los valores de ζ y y diga que tipo de
respuesta es de esperarse
Figura 4.12
n
13
4.6 Sistemas de segundo orden subamortiguados
Figura 4.13
Respuestas
subamortiguadas
de segundo orden
para diferentes
valores de ζ
Al disminuir el factor de amortiguamiento hace mas
oscilatoria la respuesta y la frecuencia natural solo escala
en el tiempo la respuesta.
Figura 4.13
14
Figura 4.14
Parámetros de
especificación de
sistemas
subamortiguados
1.- Tiempo de levantamiento
2.- Tiempo sobrepaso
3.- Sobrepaso
4.- Tiempo de asentamiento
-1 ; =cosr
d
t
p
d
t
4s
n
t
21Mp OS e
15
Figura 4.15
Figura 4.16
Figura 4.15
Porcentaje de
sobrepaso vs ζ
Figura 4.16
Tiempo de
levantamiento
normalizado vs ζ
21Mp OS e
16
Figura 4.19
Regiones de
parámetros constantes
a) parte real constante
b) parte imaginaria
constante
c) factor de
amortiguamiento
relativo constante
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Regiones de parámetros constantes en Matlab
18Figura 4.23
Polos dominantes
En los sistemas de orden superior, alguno o algunos de los
polos se encuentran más cerca del eje imaginario. A dichos
polos se les llama polos dominantes porque determinan en
mayor medida el comportamiento y respuesta del sistema.
complejos.
