[email protected] Departamento de Ingenierías ... · Si los polos y ceros en lazo abierto...
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EjemploEjemplo: Considere el sistema de la figura:( )2K s +
G(s) tiene un par de polos complejos conjugados en s = ‐1 + j√2
2 2 3s s+ +
PROCEDIMIENTO:PROCEDIMIENTO:
11.. DeterminarDeterminar loslos lugareslugares dede laslas raícesraíces sobresobre elel ejeeje realreal..
Para cualquier punto de prueba s sobre el eje real, la suma de last ib i l d l l l j j d d 360°contribuciones angulares de los polos complejos conjugados es de 360°.
El efecto neto de los polos complejos conjugados es cero sobre el eje real.
jωLa localización del lugar de las raíces sobreel eje real se determina a partir del cero enlazo abierto sobre el eje real negativo
2jlazo abierto sobre el eje real negativo.
Una sección del eje real negativo que se
σUna sección del eje real negativo que seencuentra entre ‐2 y –∞ es una parte dellugar de las raíces.
2j− Como existen dos polos en lazo abierto y uncero, hay una asíntota que coincide con eleje real negativo.
22.. DeterminarDeterminar elel ánguloángulo dede salidasalida dede loslos polospolos complejoscomplejos conjugadosconjugados enen lazolazoabiertoabierto..
jω
El conocimiento de este ángulo esimportante, debido a que el lugar delas raíces cerca de un polo complejo
1θ
S
plas raíces cerca de un polo complejoproporciona información conrespecto a si el lugar geométrico quese origina en el polo complejo emigra σ1φ1 'φ
1p−
g p p j ghacia el eje real o tiende hacia laasíntota
σ
2θ
2 'θ2p−
jωS
Si el punto de prueba está sobre el lugar de las raíces:
( ) ( )' ' 180 2 1⇒ + = ± ° +Kφ θ θ1θ
1p−
( ) ( )1 1 2
1 2 1 2 1
180 2 1180 ' ' 180
⇒ − + = ± +
⇒ = − + = °− +
Kφ θ θθ θ φ θ φ
σ1φ1 'φ El ángulo de salida es:
1 2 1180 180 90 55 145= °− + = °− °+ ° = °θ θ φ
2θ Por simetría con respecto al eje real, el ángulo de
2 'θ2p− salida del polo en s = ‐p2 es ‐145°.
33.. DeterminarDeterminar elel puntopunto dede ingresoingreso..
Como2( 2 3)− + +
=s sKComo
2=
+K
s
( )( ) ( )2
2
2 2 2 2 30
− + + + + +⇒ = =
s s s sdK( )2
2
02
4 1 0 3.7320 0.2680
⇒+
⇒ + + = ⇒ = − = −
ds s
s s s o s
El punto s = ‐3.7320 está sobre el lugar de las raíces se trata de un punto de ingreso real .
El valor de K en este punto es K = 5.4641.
44.. DibujarDibujar unauna gráficagráfica deldel lugarlugar dede laslas raícesraíces aa partirpartir dede lala informacióninformación obtenidaobtenida..
Deben encontrarse varios puntos mediante prueba y error entre el puntod i l l l j l bi tde ingreso y los polos complejos en lazo abierto.
jω
145°
1j
2j
σ2−3−4− 1−
1j1j−
2j−
El valor de la ganancia K para cualquier punto sobre el lugar de las raíces seencuentra aplicando la condición de magnitud.
PorPor ejemplo,ejemplo, elel valorvalor dede KK enen elel cualcual loslos polospolos complejoscomplejos conjugadosconjugados enen lazolazocerradocerrado tienentienen elel factorfactor dede amortiguamientoamortiguamiento relativorelativo ζζ == 00..77 sese encuentraencuentrasituandosituando laslas raícesraíces yy calculandocalculando elel valorvalor dede KK deldel modomodo siguientesiguiente::
( )( )1 2 1 2s j s j+ + +( )( )1.67 1.70
1 2 1 21.34
2s j
s j s jK
s=− +
+ − + += =
+
En este sistema, el lugar de las raíces en el plano complejo es parte de uncírculo.
Los lugares de las raíces circulares se obtienen en sistemas que contienen dospolos y un cero, dos polos y dos ceros, o un polo y dos ceros.
Para el sistema actual, la condición de ángulo es: ( )2 1 2 1 2 180 2 1s s j s j K+ − + − − + + = ± ° +
Sustituyendo s = σ + jωSustituyendo s = σ + jω
( )1 1 12 2tan tan tan 180 2 12 1 1
Kω ω ωσ σ σ
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎛ ⎞⇒ − − = ± ° +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )1 1 12 2tan tan tan 180 2 11 1 2
Kω ω ωσ σ σ
− − −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎛ ⎞⇒ + = ± ° +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tomando la tangente a ambos lados y usando la relación: ( ) tan tantan1 tan tan
x yx yx y±
± =m
2 2⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ( )1 1 12 2tan tan tan tan tan 180 2 11 1 2
Kω ω ωσ σ σ
− − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎡ ⎤⎛ ⎞⇒ + = ± ° +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )
2 2 01 2
2 2 1 01 21 1
ω ω ωσ σ σ
ωω ωσ
− ++ ±
+ +1 +=⎛ ⎞⎛ ⎞− +
− ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠
m21 1 σσ σ⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ +⎝ ⎠⎝ ⎠
Simplificando…( )
( ) ( )2 2
2 121 2
ω σ ωσ
+=
++( )2 22 3 0ω σ ω⎡ ⎤⇒ + + − =⎣ ⎦( ) ( )2 21 2 σσ ω ++ − −( )⎣ ⎦
Esta última ecuación es equivalente a: 2
( ) ( )22 20 2 3oω σ ω= + + =
( ) ( )22 20 2 3oω σ ω= + + =
La primera ecuación ω = 0 corresponde al eje real. El eje real desde s = ‐2 a s = ‐∞corresponde a un lugar de las raíces para K ≥ 0. La parte restante corresponde aun lugar de las raíces cuando K es negativo (En el sistema actual K es nonegativo)negativo).
La segunda ecuación para el lugar de las raíces es una ecuación de uncírculo con centro en σ = ‐2 ω = 0 y radio igual a √3círculo con centro en σ 2, ω 0 y radio igual a √3.
La parte del círculo a la izquierda de los polos complejos conjugadoscorresponde al lugar de las raíces para K ≥ 0 La parte restante del círculocorresponde al lugar de las raíces para K ≥ 0. La parte restante del círculocorresponde al lugar de las raíces cuando K es negativo.
Como el método general del lugar de las raíces se basa esencialmente en unaComo el método general del lugar de las raíces se basa esencialmente en unatécnica de prueba y error, la cantidad de pruebas requeridas se reducesustancialmente si se aplican estas reglas:
Primero, obténgase la ecuación característica: ( ) ( )1 0G s H s+ =
Ordenar la ecuación para que el factor de interés aparezca como elfactor multiplicativo en la forma:
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2
1 2
...1 0
...m
n
K s z s z s zs p s p s p
+ + ++ =
+ + +
1. Situar los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramas del lugar de lasraíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (cerosfinitos o ceros en infinito).finitos o ceros en infinito).
Los lugares de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s,debido a que los polos y ceros complejos sólo aparecen en paresconjugados.
Una gráfica del lugar de las raíces tendrá tantas ramas como raíces tenga laecuación característicaecuación característica.
Si se incluyen los polos y los ceros en infinito, el número de polos en lazoabierto es igual al de ceros en lazo abierto Por tanto siempre se puedeabierto es igual al de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre se puedeplantear que los lugares de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) yterminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito.
2. Determinar los lugares de las raíces sobre el eje real.
Los lugares de las raíces sobre el eje real se determinan a partir de los polos ylos ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él.
Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia enl bi f l l li ió d l l d l í b llazo abierto no afectan a la localización de los lugares de las raíces sobre eleje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceroscomplejos conjugados es 360° sobre el eje real.
Si el número total de polos y ceros reales a la derecha de un punto de pruebaubicado sobre el eje real es impar, este punto se encuentra en el lugar de lasraícesraíces.
Si los polos y ceros en lazo abierto son simples, el lugar de las raíces y suforma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3. Determinar las asíntotas de los lugares de las raíces.
Ángulos de las asíntotas( )180 2 1
( 0 1 2 )K
K° +
±Ángulos de las asíntotas = ( ) ( 0,1, 2,...)Kn m
± =−
Donde n = número de polos finitos de G(s)H(s)
m = número de ceros finitos de G(s)H(s)
La cantidad de asíntotas distintas es n – mLa cantidad de asíntotas distintas es n m
Todas las asíntotas cortan el eje real
La abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real
( ) ( )1 2 1... ...n mp p p z zs
n m− + + + − + +
=−n m
4. Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso.
Debido a la simetría conjugada de los lugares de las raíces, los puntos deruptura y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien aparecen enpares complejos conjugados.
Si un lugar de las raíces se encuentra entre dos polos en lazo abiertoSi un lugar de las raíces se encuentra entre dos polos en lazo abiertoadyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de ruptura entredichos polos.
Si l l d l í á d d ( dSi el lugar de las raíces está entre dos ceros adyacentes (un cero puedelocalizarse en –∞) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto deingreso entre los dos ceros.
Si el lugar de las raíces se encuentra entre un polo en lazo abierto y uncero (finito o infinito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de rupturao de ingreso, o bien pueden existir ambos.
Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso corresponden a las raícesmúltiples de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de ruptura yde ingreso se determinan a partir de las raíces dede ingreso se determinan a partir de las raíces de
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
' '0
B s A s B s A sdKds A s
− −= = ⊗
( )ds A s
Los puntos de ruptura y los puntos de ingreso deben ser raíces deaunque no todas las raíces de son puntos de ruptura o de ingreso.( )⊗
( )⊗
Si una raíz real de la ecuación se encuentra en la parte del eje real dellugar de las raíces, es un punto de ruptura o de ingreso real.
( )⊗
( )⊗Si una raíz real de la ecuación no está en la parte del eje real del lugarde las raíces, esta raíz no corresponde a un punto de ruptura ni a un puntode ingreso.
5. Determinar el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un lugar de lasraíces a partir de un polo complejo (un cero complejo).
Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa delpolo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la sumade las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros.
El ángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar de las raíces de un polocomplejo (o de un cero complejo) se encuentra restando a 180° la suma dep j ( p j )todos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta elpolo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signosapropiados.
Ángulo de salida desde un polo complejo = 180° ‐ (suma de los ángulos devectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma delos ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros)
Ángulo de llegada a un cero complejo = 180° ‐ (suma de los ángulos devectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma delos ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)
jω
φ 1θσφ
2θ
0 σ
2
6. Encontrar los puntos donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario.
Por medio de:Por medio de:
(a) El criterio de estabilidad de Routh.
(b) Suponiendo s = jω en la ecuación característica igualando a cero la(b) Suponiendo s = jω en la ecuación característica, igualando a cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K
L l d d l f i lLos valores encontrados de ω representan las frecuencias a lascuales los lugares de las raíces cruzan el eje imaginario.
El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruceproporciona la ganancia en el punto de cruce.
7. Tomando una serie de puntos de prueba en la cercanía del origen del plano s,dibujar los lugares de las raíces.
La parte más importante de los lugares de las raíces no está sobre el ejeLa parte más importante de los lugares de las raíces no está sobre el ejereal ni en las asíntotas, sino en la parte cercana al eje jω y al origen.
8 Determinar los polos en lazo cerrado8. Determinar los polos en lazo cerrado.
Un punto específico de cada ramificación del lugar de las raíces será unpolo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición demagnitud.
La condición de magnitud permite determinar el valor de la ganancia K encualquier localización de las raíces sobre el lugar.
El valor de K que corresponde a cualquier punto S sobre el lugar de lasraíces se obtiene a partir de la condición de magnitud o bien
producto delas longitudes entreel punto s y los polosproducto delas longitudes entreel punto s y los polosKproducto delas longitudes entreel punto s y los ceros
=
Ejemplo: Dibuje los lugares de las raíces del sistema de control de la Figura.Determine el rango de valores de la ganancia K para la estabilidad.
( )( )21 4 7K
s s s− + +
Solución:Solución:
Los polos en lazo abierto se localizan en s = 1, s = ‐2 + j√3, s = ‐2 – j√3
Existe lugar de las raíces sobre el eje real entre los puntos s = 1 y s = ‐∞. Las asíntotas de las ramas del lugar de las raíces se encuentran del modo siguiente:
( )180 2 1K± ° +( )180 2 160 ; 60 ;180
3K
Angulos delas asíntotas± +
= = ° − ° °
La intersección de las asíntotas y el eje real se obtiene como:1 2 2 1
3s − + += =
Los puntos de ruptura y de ingreso se localizan a partir de dK/ds = 0 como:
( )( ) ( )( ) ( )
2 3 2
2 2
1 4 7 3 3 7
3 6 3 0 2 1 0
K s s s s s s
dK s s s sds
= − − + + = − + + −
⇒ = − + + = = − + + =
( )21 0dss⇒ + =
0dKd
⇒ = Tiene una raíz doble en s = ‐1ds
Esto significa que la ecuación característica tiene una raíz triple en s = Esto significa que la ecuación característica tiene una raíz triple en s = ‐‐1.1.
El punto de ruptura se localiza en s = ‐1 Las tres ramas del lugar de las raícesEl punto de ruptura se localiza en s 1. Las tres ramas del lugar de las raíces se encuentran en este punto de ruptura.
Los ángulos de salida de las ramas en el punto de ruptura son
es decir, 60° y ‐60°, 180°.180 / 3± °
Los puntos donde las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario se calculan a partir de: ( ) ( )2
3 2
1 4 7 0
3 3 7 0
s s s K
s s s K
− + + + =
⇒ + + − + =3 3 7 0s s s K⇒ + + +
Sustituyendo s por jω ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2
2 2
3 3 7 0
7 3 3 0
j j j K
K j
ω ω ω
ω ω ω
⇒ + + − + =
− − + − =( ) ( )7 3 3 0K jω ω ω+
Esta ecuación se satisface cuando: 23, 7 3 16 0, 7k o Kω ω ω= ± = + = = =
Las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje imaginario en (donde K=16) y ω = 0 (donde K = 7)
Como el valor de la ganancia K en el origen es 7, el rango de la ganancia K para la estabilidad es: 7 < K < 16
De la condición de ángulo ( )( )( ) ( )180 2 11 2 3 2 3
K Ks s j s j
= ± ° +− + + + −
( )1 2 3 2 3 180 2 1j j j j j K± °
Sustituyendo s jσ ω= +
( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 2 3 180 2 1
2 3 2 3 1 180 2 1
3 3
j j j j j K
j j j K
σ ω σ ω σ ω
σ ω σ ω σ ω
⇒ − + + + + + + + + − = ± ° +
+ + + + + + − = − − + ± ° +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( )1 1 13 3tan tan tan 180 2 12 2 1
Kω ω ωσ σ σ
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞⇒ + = − ± ° +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞3 32 2
13 31
ω ωσ σ ω
σω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −+⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒ = −
−⎛ ⎞⎛ ⎞+ −− ⎜ ⎟⎜ ⎟
( )2 2
2 24 4 3 1ω σ ω
σ σ ω σ+
⇒ = −+ + − + −
12 2σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
Que se puede simplificar:
( )( ) ( )2 22 2 1 4 7ω σ σ ω σ σ ω+ − = − + + −( )( ) ( )( )2 23 6 3 0
1 11 1 03 3
ω σ σ ω
ω σ ω σ ω
+ + − =
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠3 3⎝ ⎠⎝ ⎠
Lo que define tres líneas:1 10, 1 0, 1 03 3
ω σ ω σ ω= + + = + − =
Cada recta empieza a partir de un polo en lazo abierto y tiende ainfinito en la dirección de 180°, 60°, ‐ 60° medidos a partir del eje real.
La parte restante de cada recta corresponde a K < 0
Ejemplo: Dibuje el lugar de las raíces del sistema de la figura.
( )2 1K s +( )( )
12
K ss s
+
+
Solución:Solución:
Los ceros en lazo abierto se localizan en s=±j
Los polos en lazo abierto se localizan en s = 0 y s = ‐2
Este sistema contiene dos polos y dos ceros. Entonces, hay una posibilidad de que exista una rama circular del lugar de las raíces.q g
( )( )( ) ( )
( )
180 2 12
2 180 2 1
K s j s jK
s s
s j s j s s K
+ −⇒ = ± ° +
+
⇒ + + − − − + = ± ° +( )j j
Sustituyendo s jσ ω= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 180 2 1j j j j j j Kσ ω σ ω σ ω σ ω+ + + + + + + ± ° +( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1 1 1
2 180 2 1
1 1tan tan tan tan 180 2 12
j j j j j j K
K
σ ω σ ω σ ω σ ω
ω ω ω ωσ σ σ σ
− − − −
+ + + + − − + − + + = ± ° +
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ± ° +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tomando las tangentes a ambos lados y considerando que:
1t t 180ω ω−⎡ ⎤⎛ ⎞ ± °⎜ ⎟⎢ ⎥
1 12
ω ω ω ωσ σ σ σ+ −
+ ++1tan tan 180
2 2σ σ⎡ ⎤⎛ ⎞ ± ° =⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠⎣ ⎦
21 11 1
2
σ σ σ σω ω ω ωσ σ σ σ
+⇒ =+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
221 5 0ω σ ω
⎡ ⎤⎛ ⎞⇒ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ 02 4
ω σ ω⇒ − + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
221 50
2 4oω σ ω⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Corresponde al lugar de las raíces sobre el eje real El segmento entre s = 0 y sCorresponde al lugar de las raíces sobre el eje real. El segmento entre s = 0 y s= ‐2 corresponde al lugar de las raíces para . El resto corresponde allugar de las raíces para K < 0
0 K≤ < ∞jω
La segunda ecuación corresponde aun lugar de las raíces circular concentro en σ 1/2 ω 0 y radio √5/2centro en σ=1/2, ω = 0 y radio √5/2
σ
La parte circular del lugar de lasraíces a la izquierda de los cerosimaginarios corresponde a K > 0. Elresto corresponde a K < 0.
