POLOS Y CEROS EN EL PLANO s

Manipulando polos y ceros de función en plano s puede diseñarse un circuito con una determinada Z ó Y.

Ejemplo: red entre dos etapas de un amplificador.

I que fluye de la 1ª a través de esta red produce U aplicada a la 2ª (corriente de entrada a la 2ª despreciable)

Se busca igual amplificación desde frecuencia 0 hasta límite superior (impedancia inter-etapa debe ser igual a todas las frecuencias).

La inevitable C entre etapas resulta:

Z(s)= 1/sC (polo en origen)( c ) sería el perfil a lo largo de ωde una hoja de fina goma sobre s

Característica de lZl es incompatible con el objetivo.

¿Cómo modificarla?¿Cómo mover este polo?

C tiene impedancia infinito a f=0 pero R no. Se prueba con R en paralelo con C.

RCsCsC

R

sZ 111

11)(

+=

+= polo en s1=-1/RC

El plano por ω no corta en infinito la banda de goma. El polo sólo produce impedancia finita en f=0 y a frecuencias superiores el decrecimiento es más suave.

Para compensar decrecimiento→¿polo 2ºcuadrante(e inevitable conjugado)?

Sugiere circuito RLC. Se prueba con L en paralelo con C y R.

Estos polos se acercan o alejan al eje verical variando R y hacia arriba o abajo ajustando L.

Pero se introdujo un cero en el origen (porque ωL resulta cero a corriente continua, f=0).

Una alternativa es poner R en serie con L.

El cero ya no está en el origen sino en –R/L.

Al estar a la izquierda de los polos, el efecto de depresión resulta leve al hacer sección de Z(s) a lo largo del eje ω.

El límite superior de la banda de impedancia relativamente constante es algo superior a la frecuencia natural de la red inter-etapa.

Valores numéricos didácticos para figura (k): L=2H, C=2F, R=1 ohm

Resulta: so=-1/2 s1,2= ¼ (-1+-j SQRT3)

Se puede aplanar más la característica agregando otro capacitor, separado del anterior para crear nuevo polo.

CAMBIO DE ESCALA

La síntesis como mostrada, resalta el valor de la técnica de ESCALADO.

Permite diseñar con la característica apropiada pero dimensionesincorrectas, y luego adaptarlas.

En nuestro ejemplo puede adaptarse tanto impedancia como frecuencia.

CAMBIO DE ESCALA DE IMPEDANCIA

Los elementos tienen impedancias R, sL, 1/sC y cualquier impedancia de red será su combinación lineal. O sea que si se multiplican todas las R, L y 1/C por la misma constante el efecto será multiplicar la impedancia Z(s) por esa constante.

Multiplicando cada R y L por un factor m y dividiendo cada C por m:

Z(s)→mZ(s)

P.ej. Si se multiplican por 2 los elementos de la fig.(j) los polos y ceros no cambian, pero el eje vertical de fig (l) queda multiplicado por 2.

CAMBIO DE ESCALA DE FRECUENCIASi se quiere cambiar la frecuencia en factor n, como los elementos tienen impedancias R, jωL, 1/jωC se multiplica la frecuencia por n, L y C se dividen por n y los valores de R quedan iguales. Las impedancias que tenía cada elemento a la frecuencia ω no varía pero queda a una frecuencia nω.Si en la fig (j) se divide por 2 cada L y cada C las escalas de las componentes real e imaginaria de s1 y s2 en (k) se duplicarían y al dividir por 2 L y C las impedancias se mantienen, pero al doble de la frecuencia.

RESUMEN EN NOTACION FUNCIONAL

Escalado de impedancia:

Escalado de frecuencia:

Escalado combinado:

),,,(,,, sCLRmZsmCmLmRZ =

),,,(,,, sCLRZnsnC

nLRZ =

),,,(,,, sCLRmZnsmnCL

nmmRZ =

APLICACION

Un probable caso de dos pares de polos y un cero.

La forma de la intersección de la lámina elástica depende de muchos factores.

Daría lugar a una amplificación relativamente uniforme en una banda de frecuencias, decayendo rápidamente para superiores e inferiores.

TRANSMISION: IMPEDANCIA IMAGEN

Limitaremos la explicación a redes simétricas.

Si se caracteriza una red de dos puertos por parámetros A, B, C, D y por ser simétrica A=D:

V1= A V2 + B I2

I1 = C V2 + D I2

La impedancia de entrada es Z1 = V1/I1

La impedancia externa conectada a la salida Z2 = V2/I2

El valor de Z1 depende de Z2 y cambiar Z2 modifica Z1.

La Z2 que produce Z1=Z2 se llama impedancia imagen y se designa Z0.

Para una red terminada en su impedancia imagen: Z1=Z2=Z0

Puede obtenerse a partir de los parámetros A,B,C:

ACZBAZ

AIICZBIIAZ

AICVBIAV

IVZ

++

=++

=++

==22

222222

2222

111

Para la impedancia imagen: ACZBAZZ

++

=000

Resolviendo para Z0:CBZ =0

Suele expresarse también en términos de la impedancia de cortocircuito (Z1cc) y de la impedancia de circuito abierto (Z1ab):

ccZabZZ 1.10 =

FUNCION TRANSFERENCIA IMAGEN

Cuando una red simétrica de dos puertos termina en su impedanciaimagen, se simplifican muchas relaciones. Como:

I2=V2/Z0 y

V1=A V2 + B V2/Z0

Dividiendo por V2 y sustituyendo hallamos la función transferencia:

BCAVV

+=21

Como BC=AD-1 y D=A resulta BC=A2-1

121 2 −+= AAVV

Hacemos dos cambios basados en fórmulas de trigonometría hiperbólica:

senhxxexsenhx

x +=

−=

cosh1cosh2

Se introduce un símbolo arbitrario γ(gama) definido por:

Con lo cual

A=γcosh

12 −= Asenhγ

γγ senhVV

+= cosh21

γeVV

=21

Sustituyendo:

FILTROS ELECTRICOS

Según American Standards Association (ASA): es una red selectiva que transmite libremente ondas eléctricas con frecuencias dentro de una o más bandas y que atenúa sustancialmente ondas de otras frecuencias.

Los circuitos resonantes podrían clasificarse como filtros con gran selectividad:, lo que es bueno p.ej. para extraer una frecuencia de radio del poblado “eter” pero indeseable cuando quiere transmitirse una banda de frecuencias más altas.

La excesiva selectividad por ejemplo puede reducir la fidelidad en la reproducción de música.

FILTRO IDEAL

Se muestra como red de 2 puertos entre fuente de impedancia RF y carga RL

Transmite libremente frecuencias en su banda de paso y bloquea las frecuencias en su banda de atenuación.

El filtro ideal estaría compuesto de elementos reactivos, para no disipar la energía que se quiere transmitir a la carga.

La señal transmitida por un filtro ideal debería recibirse sin distorsión.

Esto requiere las relaciones de fase adecuadas entre sus armónicas.

Altamente importante para transmisión de imágenes, no para sonido pues el oído no distingue la fase relativa de componentes de onda.

DISEÑO EN BASE A PERDIDA DE INSERCION

´V2: tensión en la carga con el filtro

V0: la tensión en la carga antes de insertar el filtro, con la misma E

Relación de inserción de tensiones = V2/V0

Relación de inserción de potencias= (V2/V0)2

En filtro ideal V2/V0 debería ser 1 en en la banda de pase y lo más pequeño posible en la banda de atenuación.

Se muestra curva ideal y real de filtro pasabajos y probables polos y ceros:

El diseño depende fuertemente de RF y RL y se simplifica si pueden tomarse iguales a la impedancia imagen.

DISEÑO PARA ATENUACION IMAGEN

Es un método simple.

Si el filtro termina en su impedancia imagen Z0:

La caída de tensión de inserción será igual a la atenuación del filtro

V1=V0 y

V2/V1=V2/V0

Se trabaja con la función transferencia imagen: V1/V2=eγ

Es la recíproca de la mostrada en la figura.

Si pensamos en lV2/V1l como superficie sobre el plano s la curva es el perfil a lolargo del eje ω.

La característica del filtro ideal puede conseguirse si se asume que la red del filtro no termina en una impedancia fija sino en una impedancia imagen Z0 que varía con la frecuencia.

Es irreal porque requeriría cambiar la impedancia para cada frecuencia pero facilita el tratamiento matemático y puede verse cómo no se aparta demasiado de la realidad (ver Skilling, Electrical Engineering Circuits, Cap 19).

La lámina de goma que daría lugar a la forma deseada:

Se demuestra que puede llegarse a este tipo de relaciones mediante el uso de redes T ó π:

Era:

Para los circuitos T y π y sustituyendo por los valores de la figura:

y reemplazando:

121 2 −+= AAVV

LCsZYA 2

211

211 +=+=

1)211()

211(

21 222 −+++= LCsLCsVV

que si se designa como ωc2=4/LC

2

2

2

121

++=

CC

ssVV

ωωy reemplazando s por jω:

Donde para valores de ω menores que ωC el radical es real y V1/V2 es un complejo con módulo:

1121

2

2

2

2

2

=

+

−=

CCVV

ωω

ωω o sea que para esas frecuencias lV2l = lV1l

Esta será la banda de pase y será un filtro pasabajos con frecuencia de corte ωc.A frecuencias superiores, el radical es raíz de un número negativo→IMAGINARIOEs el rango de frecuencias de la banda de atenuación, V1/V2 es un número real mayor que 1 por lo que V2 es menor que V1 y opuesto en fase.

2

2

2

121

+−=

cc

jVV

ωω

ωω