Post on 01-Feb-2016
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Senales y Sistemas 1
Sesion 13
Andres Olarte Dussan
Universidad Nacional de Colombiasede Bogota
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 1 / 46
Agenda
1 La transformada z
2 La transformada z inversa
3 Propiedades la la transformada z
4 Algunos pares comunes de transformada z
5 La transformada z unilateral
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 2 / 46
La transformada z
La transformada z de una senal discreta general x [n] se define como
X (z)△
+∞∑
n=−∞
x [n]z−n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 3 / 46
La transformada z
La transformada z de una senal discreta general x [n] se define como
X (z)△
+∞∑
n=−∞
x [n]z−n
La relacion entre x [n] y su transformada z se indica como
x [n]Z↔ X (z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 3 / 46
Relaciones entre la transformada z y la transformada de
Fourier de tiempo discreto
Para explorar las relaciones, expresemos la variable compleja z enforma polar como
z = re jω
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 4 / 46
Relaciones entre la transformada z y la transformada de
Fourier de tiempo discreto
Para explorar las relaciones, expresemos la variable compleja z enforma polar como
z = re jω
En terminos de r y ω, la transformada z pasa a ser
X (re jω) =
+∞∑
n=−∞
x [n](re jω)−n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 4 / 46
Relaciones entre la transformada z y la transformada de
Fourier de tiempo discreto
Para explorar las relaciones, expresemos la variable compleja z enforma polar como
z = re jω
En terminos de r y ω, la transformada z pasa a ser
X (re jω) =
+∞∑
n=−∞
x [n](re jω)−n
o, de manera equivalente,
X (re jω) =
+∞∑
n=−∞
{x [n]r−n}e−jωn
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 4 / 46
Relaciones entre la transformada z y la transformada de
Fourier de tiempo discreto
Vemos que es la transformada de Fourier de la secuencia x [n]multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 5 / 46
Relaciones entre la transformada z y la transformada de
Fourier de tiempo discreto
Vemos que es la transformada de Fourier de la secuencia x [n]multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
donde r es mayor o menor que la unidad. Podemos observar que, parar = 1 o, de forma equivalente, |z | = 1, la transformada z se reduce ala transformada de Fourier; es decir
X (z) |z=e jω= X (e jω) = F{x [n]}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 5 / 46
El plano z complejo
Im
Re
ω
1
z = ejω
Figura : La transformada z se reduce a la transformada de Fourier para valores dez en el cırculo unitario
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 6 / 46
Ejemplo
Considere la senal x [n] = anu[n]. Aplicando la transformada z
X (z) =
+∞∑
n=−∞
anu[n]z−n =
∞∑
n=0
(az−1)n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 7 / 46
Ejemplo
Considere la senal x [n] = anu[n]. Aplicando la transformada z
X (z) =
+∞∑
n=−∞
anu[n]z−n =
∞∑
n=0
(az−1)n
Para la convergencia de X (z) requerimos que∑∞
n=0 |az−1|n < ∞. en
consecuencia la region de convergecia es el rango de valores z para elcual |az−1| < 1 o de manera equivalente, |z | > |a|. Entonces,
X (z) =∞∑
n=0
(az−1)n =1
1− az−1=
z
z − a, |z | > |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 7 / 46
Ejemplo
Considere la senal x [n] = anu[n]. Aplicando la transformada z
X (z) =
+∞∑
n=−∞
anu[n]z−n =
∞∑
n=0
(az−1)n
Para la convergencia de X (z) requerimos que∑∞
n=0 |az−1|n < ∞. en
consecuencia la region de convergecia es el rango de valores z para elcual |az−1| < 1 o de manera equivalente, |z | > |a|. Entonces,
X (z) =∞∑
n=0
(az−1)n =1
1− az−1=
z
z − a, |z | > |a|
Por ejemplo, para a = 1,
X (z) =1
1− z−1, |z | > 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 7 / 46
EjemploPara |a| > 1, la ROC no incluye el cırculo unitario.
Im
Rea
Figura : Diagrama region de convergencia para 0 < a < 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 8 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]−6
(
1
2
)n
u[n]
−10 −5 0 5 10−1
−0.5
0
0.5
1
¿Cual de las siguientes es la transformada z de x [n]?
1 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | >1
2
2 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | <1
3
3 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | >1
3
4 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | <1
2
5 ninguna de las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 9 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 10 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
X (z) =+∞∑
n=−∞
{
7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
}
z−n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 10 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
X (z) =+∞∑
n=−∞
{
7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
}
z−n
= 7
∞∑
n=0
(
1
3z−1
)n
− 6
∞∑
n=0
(
1
2z−1
)n
=7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 10 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
X (z) =+∞∑
n=−∞
{
7
(
1
3
)n
u[n]− 6
(
1
2
)n
u[n]
}
z−n
= 7
∞∑
n=0
(
1
3z−1
)n
− 6
∞∑
n=0
(
1
2z−1
)n
=7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
=z(z −
3
2)
(z −1
3)(z −
1
2)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 10 / 46
Ejercicio
(
1
3
)n
u[n]Z↔
1
1−1
3z−1
, |z | >1
3
(
1
2
)n
u[n]Z↔
1
1−1
2z−1
, |z | >1
2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 11 / 46
Ejercicio
(
1
3
)n
u[n]Z↔
1
1−1
3z−1
, |z | >1
3
(
1
2
)n
u[n]Z↔
1
1−1
2z−1
, |z | >1
2
y en consecuencia,
X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
|z | >1
2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 11 / 46
Ejercicio
X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
|z | >1
2
Im
Re1
2
Im
Re1
3
Im
Re1
2
1
3
Figura : Diagrama region de convergenciaAndres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 12 / 46
Ejercicio
x [n] = 7
(
1
3
)n
u[n]−6
(
1
2
)n
u[n]
−10 −5 0 5 10−1
−0.5
0
0.5
1
¿Cual de las siguientes es la transformada z de x [n]? 1
1 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | >1
2
2 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | <1
3
3 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | >1
3
4 X (z) =7
1−1
3z−1
−6
1−1
2z−1
; |z | <1
2
5 ninguna de las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 13 / 46
La transformada z inversa
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 14 / 46
La transformada z inversa
Inicialmente consideramos la transformada z como la transformada deFourier de una secuencia exponencialmente ponderada,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 15 / 46
La transformada z inversa
Inicialmente consideramos la transformada z como la transformada deFourier de una secuencia exponencialmente ponderada,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
para cualquier valor de r tal que z = re jω este dentro de la ROC.Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos lados,
x [n]r−n = F−1{X (re jω)}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 15 / 46
La transformada z inversa
Inicialmente consideramos la transformada z como la transformada deFourier de una secuencia exponencialmente ponderada,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
para cualquier valor de r tal que z = re jω este dentro de la ROC.Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos lados,
x [n]r−n = F−1{X (re jω)}
ox [n] = rnF−1
[
X (re jω)]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 15 / 46
La transformada z inversa
Inicialmente consideramos la transformada z como la transformada deFourier de una secuencia exponencialmente ponderada,
X (re jω) = F{x [n]r−n}
para cualquier valor de r tal que z = re jω este dentro de la ROC.Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos lados,
x [n]r−n = F−1{X (re jω)}
ox [n] = rnF−1
[
X (re jω)]
Usando la expresion de la transformada inversa de Fourier
x [n] = rn1
2π
∫
2πX (re jω)e jωndω
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 15 / 46
La transformada z inversa
x [n] = rn1
2π
∫
2πX (re jω)e jωndω
Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combinandolocon el termino e jωn, tenemos
x [n] =1
2π
∫
2πX (re jω)(re jω)ndω
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 16 / 46
La transformada z inversa
x [n] = rn1
2π
∫
2πX (re jω)e jωndω
Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combinandolocon el termino e jωn, tenemos
x [n] =1
2π
∫
2πX (re jω)(re jω)ndω
Podemos recuperar x [n] a partir de su transformada z evaluada a lolargo de un contorno z = re jω en la ROC, con r fija y una ω variantesobre un intervalo de 2π.
x [n] =1
2πj
∮
X (z)zn−1dz
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 16 / 46
Ejemplo
Considere la transformada z
X (z) =3−
5
6z−1
(
1− 14z
−1) (
1− 13z
−1) , |z | >
1
3
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 17 / 46
Ejemplo
Considere la transformada z
X (z) =3−
5
6z−1
(
1− 14z
−1) (
1− 13z
−1) , |z | >
1
3
Por expansion en fracciones parciales
X (z) =1
1−1
4z−1
+2
1−1
3z−1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 17 / 46
Ejemplo
Considere la transformada z
X (z) =3−
5
6z−1
(
1− 14z
−1) (
1− 13z
−1) , |z | >
1
3
Por expansion en fracciones parciales
X (z) =1
1−1
4z−1
+2
1−1
3z−1
De este modo,x [n] = x1[n] + x2[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 17 / 46
Ejemplo
Considere la transformada z
X (z) =3−
5
6z−1
(
1− 14z
−1) (
1− 13z
−1) , |z | >
1
3
Por expansion en fracciones parciales
X (z) =1
1−1
4z−1
+2
1−1
3z−1
De este modo,x [n] = x1[n] + x2[n]
donde
x1[n]Z↔
1
1−1
4z−1
, |z | >1
4
x2[n]Z↔
2
1−1
3z−1
, |z | >1
3
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 17 / 46
Ejemplo
donde
x1[n]Z↔
1
1−1
4z−1
, |z | >1
4
x2[n]Z↔
2
1−1
3z−1
, |z | >1
3
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 18 / 46
Ejemplo
donde
x1[n]Z↔
1
1−1
4z−1
, |z | >1
4
x2[n]Z↔
2
1−1
3z−1
, |z | >1
3
Podemos identificar por inspeccion que
x1[n] =
(
1
4
)n
u[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 18 / 46
Ejemplo
donde
x1[n]Z↔
1
1−1
4z−1
, |z | >1
4
x2[n]Z↔
2
1−1
3z−1
, |z | >1
3
Podemos identificar por inspeccion que
x1[n] =
(
1
4
)n
u[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 18 / 46
Ejemplo
donde
x1[n]Z↔
1
1−1
4z−1
, |z | >1
4
x2[n]Z↔
2
1−1
3z−1
, |z | >1
3
Podemos identificar por inspeccion que
x1[n] =
(
1
4
)n
u[n]
y
x2[n] = 2
(
1
3
)n
u[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 18 / 46
Ejemplo
y ası
x [n] =
(
1
4
)
u[n] + 2
(
1
3
)
u[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 19 / 46
Propiedades la la transformada z
Propiedades la la transformada z
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 20 / 46
Linealidad
Six1[n]
Z↔ X1(z), con ROC = R1
y
x2[n]Z↔ X2(z), con ROC = R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 21 / 46
Linealidad
Six1[n]
Z↔ X1(z), con ROC = R1
y
x2[n]Z↔ X2(z), con ROC = R2
entonces
ax1[n] + bx2[n]Z↔ aX1(z) + bX2(z), con la ROC conteniendo a R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 21 / 46
Desplazamiento en el tiempo
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 22 / 46
Desplazamiento en el tiempo
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entoncesx [n − n0]
Z↔ z−n0X (z)
con ROC=R , excepto para la posible adicion o eliminacion del origeno del infinito.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 22 / 46
Escalamiento en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 23 / 46
Escalamiento en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entonces
zn0 x [n]Z↔ X
(
z
z0
)
, con ROC = |z0|R
donde |z0|R es la version escalada de R .
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 23 / 46
Escalamiento en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entonces
zn0 x [n]Z↔ X
(
z
z0
)
, con ROC = |z0|R
donde |z0|R es la version escalada de R .
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 23 / 46
Escalamiento en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entonces
zn0 x [n]Z↔ X
(
z
z0
)
, con ROC = |z0|R
donde |z0|R es la version escalada de R .
Un caso importante surge cuando z0 = e jω. En este caso |z0|R = R y
e jω0nx [n]Z↔ X (e−jω0z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 23 / 46
Escalamiento en el dominio de z
e jω0nx [n]Z↔ X (e−jω0z)
Im
Re
θ
θ
Im
Re
θ
θ
Figura : Efecto en el diagrama de la multiplicacion en el dominio del tiempo poruna secuencia exponencial compleja e jω0n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 24 / 46
Inversion en el tiempo
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 25 / 46
Inversion en el tiempo
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entonces
x [−n]Z↔ X (
1
z), con ROC =
1
R
Esto es, si z0 esta en la ROC de x [n], entonces 1/z0 esta en la ROCde x [−n].
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 25 / 46
Expansion en el tiempo
La secuencia x(k)[n] definida como
x(k)[n] =
{
x [n/k],
0,
si n es unmultiplo de k
si n no es unmultiplo de k
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 26 / 46
Expansion en el tiempo
La secuencia x(k)[n] definida como
x(k)[n] =
{
x [n/k],
0,
si n es unmultiplo de k
si n no es unmultiplo de k
tiene k − 1 ceros insertados entre valores sucesivos de la senaloriginal. En este caso, si
x [n]Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 26 / 46
Expansion en el tiempo
La secuencia x(k)[n] definida como
x(k)[n] =
{
x [n/k],
0,
si n es unmultiplo de k
si n no es unmultiplo de k
tiene k − 1 ceros insertados entre valores sucesivos de la senaloriginal. En este caso, si
x [n]Z↔ X (z), con ROC = R
entoncesx(k)[n]
Z↔ X (zk), con ROC = R1/k
Si X (z) tiene un polo (o cero) en z = a, entonces X (zk) tiene unpolo (o cero) en z = a1/k
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 26 / 46
Conjugacion
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 27 / 46
Conjugacion
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entoncesx∗[n]
Z↔ X ∗(z∗), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 27 / 46
Propiedad de convolucion
Six1[n]
Z↔ X1(z), con ROC = R1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 28 / 46
Propiedad de convolucion
Six1[n]
Z↔ X1(z), con ROC = R1
y
x2[n]Z↔ X2(z), con ROC = R2
entonces
x1[n] ∗ x2[n]Z↔ X1(z)X2(z), con ROC conteniendo R1 ∩ R2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 28 / 46
Diferenciacion en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 29 / 46
Diferenciacion en el dominio de z
Six [n]
Z↔ X (z), con ROC = R
entonces
nx [n]Z↔ −z
dX (z)
dz, con ROC = R
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 29 / 46
Ejemplo
Cosideremos determinar la transformada z inversa para
X (z) =az−1
(1− az−1)2, |z | > |a|,
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 30 / 46
Ejemplo
Cosideremos determinar la transformada z inversa para
X (z) =az−1
(1− az−1)2, |z | > |a|,
La transformada z de anu[n] es,
anu[n]Z↔
1
1− az−1, |z | > |a|,
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 30 / 46
Ejemplo
Cosideremos determinar la transformada z inversa para
X (z) =az−1
(1− az−1)2, |z | > |a|,
La transformada z de anu[n] es,
anu[n]Z↔
1
1− az−1, |z | > |a|,
y de ello se desprende que
nanu[n]Z↔ −z
d
dz
(
1
1− az−1
)
=az−1
(1− az−1)2, |z | > |a|.
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Teorema de valor inicial
Si x [n] = 0, n < 0, entonces
x [0] = lımz→∞
x [n]z−n
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Teorema de valor inicial
Si x [n] = 0, n < 0, entonces
x [0] = lımz→∞
x [n]z−n
Esta propiedad se obtiene al considerar individualmente el lımite decada termino en la expresion de la transformada z con x [n] cero paran < 0. Con esta restriccion,
X (z) =
∞∑
n=0
x [n]z−n
A medida que z → ∞, z−n → 0 para n > 0, en tanto que para n = 0,z−n = 1. Por lo tanto, se obtiene la ecuacion inicial.
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad ax1 [n] + bx2 [n] aX1(z) + bX2(z) Al menos R1 ∩ R2
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 32 / 46
Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
Conjugacion
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
x∗[n]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
X∗(z∗)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
R
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Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
R
Al menos la interseccion de R1 yR2
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 32 / 46
Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
R
Al menos la interseccion de R1 yR2
Al menos la interseccion de R y|z| > 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 32 / 46
Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
Acumulacion
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]
∑nk=−∞
x [k]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z)
1
1 − z−1X (z)
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
R
Al menos la interseccion de R1 yR2
Al menos la interseccion de R y|z| > 0
Al menos la interseccion de R y|z| > 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 32 / 46
Tabla de propiedades
Propiedad SenalTransformada
zROC
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Inversion en el tiempo
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
Acumulacion
Diferenciacion en el dominiode z.
ax1 [n] + bx2 [n]
x [n − n0]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x [−n]
x(k) [n] ={
x [r,
0,
n = rk
n 6= rk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]
∑nk=−∞
x [k]
nx [n]
aX1(z) + bX2(z)
z−n0X (z)
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (z−1)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z)
1
1 − z−1X (z)
−zdX (z)
dz
Al menos R1 ∩ R2
R, excepto para la posible adiciono supresion del origen
R
z0R
Version escalada de R (es decir,|a|R =el conjunto de puntos{|a|z} para z en R)
R invertida (es decir, R−1 =el
conjunto de puntos z−1, donde z
esta en R)
R1/k (es decir, el conjunto de
puntos z1/k , donde z esta en R)
R
Al menos la interseccion de R1 yR2
Al menos la interseccion de R y|z| > 0
Al menos la interseccion de R y|z| > 1
R
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Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n] 1 Toda z
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
11
1− z−1
Toda z
|z | > 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
11
1− z−1
1
1− z−1
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
anu[n]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
1
1− az−1
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
|z | > |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
anu[n]
−anu[−n − 1]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
1
1− az−1
1
1− az−1
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
|z | > |a|
|z | < |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
anu[n]
−anu[−n − 1]
nanu[n]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
1
1− az−1
1
1− az−1
az−1
(1 − az−1)2
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
|z | > |a|
|z | < |a|
|z | > |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
anu[n]
−anu[−n − 1]
nanu[n]
−nanu[−n − 1]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
1
1− az−1
1
1− az−1
az−1
(1 − az−1)2
az−1
(1 − az−1)2
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
|z | > |a|
|z | < |a|
|z | > |a|
|z | < |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
δ[n]
u[n]
−u[−n − 1]
δ[n −m]
anu[n]
−anu[−n − 1]
nanu[n]
−nanu[−n − 1]
[cosω0n]u[n]
11
1− z−1
1
1− z−1
z−m
1
1− az−1
1
1− az−1
az−1
(1 − az−1)2
az−1
(1 − az−1)2
1− [cosω0]z−1
1− [2 cosω0]z−1 + z−2
Toda z
|z | > 1
|z | < 1
Para toda z excepto0(si m > 0) o∞ (si m < 0)
|z | > |a|
|z | < |a|
|z | > |a|
|z | < |a|
|z | > 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 33 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
[sinω0n]u[n] [sinω0]z−1
1− [2 cosω0]z−1 + z−2
|z | > 1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 34 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
[sinω0n]u[n]
[rn cosω0n]u[n]
[sinω0]z−1
1− [2 cosω0]z−1 + z−2
1− [r cosω0]z−1
1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2
|z | > 1
|z | > r
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 34 / 46
Algunos pares de transformada z
Senal Transformada ROC
[sinω0n]u[n]
[rn cosω0n]u[n]
[rn sinω0n]u[n]
[sinω0]z−1
1− [2 cosω0]z−1 + z−2
1− [r cosω0]z−1
1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2
1− [r cosω0]z−1
1− [2r cosω0]z−1 + r2z−2
|z | > 1
|z | > r
|z | > r
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 34 / 46
La transformada z unilateral
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 35 / 46
La transformada z unilateral
La transformada z unilateral de una secuencia x [n] se define como
X =∞∑
n=0
x [n]z−n
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 36 / 46
La transformada z unilateral
La transformada z unilateral de una secuencia x [n] se define como
X =∞∑
n=0
x [n]z−n
Par una senal y su transformada z unilateral:
x [n]UZ↔ X (z) = UZ{x [n]}
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 36 / 46
Ejemplo
Considere la senalx [n] = anu[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 37 / 46
Ejemplo
Considere la senalx [n] = anu[n]
Ya que x [n] = 0 para n < 0, las transformadas unilateral y bilateralson iguales para este ejemplo entonces en particular,
X (z) =1
1− az−1, |z | > |a|
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 37 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidadax1 [n] + bx2[n]
aX1(z) + bX2(z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempoax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z) − x [−1]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
Acumulacion
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]∑n
k=0 x [k]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z) − x [−1]
1
1 − z−1X (z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
Acumulacion
Diferenciacion en el dominiode z
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]∑n
k=0 x [k]
nx [n]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z) − x [−1]
1
1 − z−1X (z)
−zdX (z)
dz
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 38 / 46
Propiedades de la transformada z unilateral
Propiedad Senal Transformada z
Linealidad
Retardo de tiempo
Avance en el tiempo
Escalamiento en el dominiode z
Expansion en el tiempo
Conjugacion
Convolucion
Primera diferencia
Acumulacion
Diferenciacion en el dominiode z
ax1 [n] + bx2[n]
x [n − 1]
x [n + 1]
ejω0nx [n]zn0 x [n]anx [n]
x(k) [n] =
{
x [m],
0,
n = mk
n 6= mk
x∗[n]
x1 [n] ∗ x2[n]
x [n] − x [n − 1]∑n
k=0 x [k]
nx [n]
aX1(z) + bX2(z)
z−1X (z) + x [−1]
zX (z) − zx [0]
X (e−jω0 z)
X
(
z
z0
)
X (a−1z)
X (zk )
X∗(z∗)
X1(z) ∗ X2(z)
(1 − z−1)X (z) − x [−1]
1
1 − z−1X (z)
−zdX (z)
dz
Teorema del valor inicial
x [0] = lımz→∞
X (z)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 39 / 46
Solucion de ecuaciones en diferencias usando la
transformada z unilateral
Ejemplo
Considere un sistema LTI causal descrito por la ecuacion dediferencias con condicion incial y [−1] = β
y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 40 / 46
Solucion de ecuaciones en diferencias usando la
transformada z unilateral
Ejemplo
Considere un sistema LTI causal descrito por la ecuacion dediferencias con condicion incial y [−1] = β
y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]
Aplicando la transformada unilateral a ambos miembros de laecuacion y usando las propiedades de linealidad y retardo en eltiempo, obtenemos
Y(z) + 3β + 3z−1Y(z) =α
1− z−1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 40 / 46
Solucion de ecuaciones en diferencias usando la
transformada z unilateral
Ejemplo
Considere un sistema LTI causal descrito por la ecuacion dediferencias con condicion incial y [−1] = β
y [n] + 3y [n − 1] = αu[n]
Aplicando la transformada unilateral a ambos miembros de laecuacion y usando las propiedades de linealidad y retardo en eltiempo, obtenemos
Y(z) + 3β + 3z−1Y(z) =α
1− z−1
Resolviendo Y(z) se obtiene
Y(z) = −3β
1 + 3z−1+
α
(1 + 3z−1)(1− z−1)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 40 / 46
Solucion de ecuaciones en diferencias usando la
transformada z unilateral
Ejemplo
Y(z) = −3β
1 + 3z−1+
α
(1 + 3z−1)(1− z−1)
Utilizando fracciones parciales y por ejemplo si α = 8 y β = 1,
Y(z) =3
1 + 3z−1+
2
1− z−1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 41 / 46
Solucion de ecuaciones en diferencias usando la
transformada z unilateral
Ejemplo
Y(z) = −3β
1 + 3z−1+
α
(1 + 3z−1)(1− z−1)
Utilizando fracciones parciales y por ejemplo si α = 8 y β = 1,
Y(z) =3
1 + 3z−1+
2
1− z−1
Aplicando el par de transformada unilateral para cada termino, seobtiene
y [n] = [3(−3)n + 2]u[n], para n ≥ 0
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 41 / 46
Ejercicio
y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1
2
n
u[n],
y [−1] = β
Resuelva la ecuacion de diferencias y determina cuales afirmaciones sonverdaderas:
1 el lımn→∞
y [n] = 0 para cualquier valor de β .
2 La salida converge si β = 2/7.
3 Con β = 2/7 ellım
n → ∞y [n] = 0
4 el lımn→∞
y [n] = ∞ para cualquier valor de β 6= 2/7.
5 Todas las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 42 / 46
Ejercicio
y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1
2
n
u[n],
y [−1] = β
Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1
1− 1/2 z−1
Y (z) =1
(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−
3β
1 + 3z−1
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 43 / 46
Ejercicio
y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1
2
n
u[n],
y [−1] = β
Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1
1− 1/2 z−1
Y (z) =1
(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−
3β
1 + 3z−1
Utilizando fracciones parciales
Y (z) =1
7
(
1
1− 1/2 z−1
)
+6
7
(
1
1− 3 z−1
)
− 3β
(
1
1− 3 z−1
)
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 43 / 46
Ejercicio
y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1
2
n
u[n],
y [−1] = β
Y (z) + 3z−1Y (z) + 3y [−1] =1
1− 1/2 z−1
Y (z) =1
(1− 1/2 z−1)(1 + 3z−1)−
3β
1 + 3z−1
Utilizando fracciones parciales
Y (z) =1
7
(
1
1− 1/2 z−1
)
+6
7
(
1
1− 3 z−1
)
− 3β
(
1
1− 3 z−1
)
Aplicando transformada inversa
y [n] =1
7
(
1
2
)n
u[n] +6
73nu[n]− 3β3nu[n]
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 43 / 46
Ejercicio
y [n] + 3y [n − 1] = x [n], x [n] =1
2
n
u[n],
y [−1] = β
Resuelva la ecuacion diferencial y determina cuales afirmaciones sonverdaderas: 2, 3 y 4
1 el lımn→∞
y [n] = 0 para cualquier valor de β .
2 La salida converge si β = 2/7.
3 Con β = 2/7 el lımn→∞
y [n] = 0
4 el lımn→∞
y [n] = ∞ para cualquier valor de β 6= 2/7.
5 Todas las anteriores.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 44 / 46
Resumen sesion
1 La transformada z
2 La transformada z inversa
3 Propiedades la la transformada z
4 Algunos pares comunes de transformada z
5 La transformada z unilateral
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 45 / 46
Siguiente sesion
Introduccion al analisis de sistemas dinamicos
Sistemas de primer y segundo orden◮ Seccion 3.◮ Seccion 4.
del libro Oscar G. Duarte V. Analisis de sistemas dinamicos lıneales.
Universidad nacional de Colombia.
Andres Olarte Dussan (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 13 46 / 46