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Unidad 3: La antiderivada

La integral indefinida

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Suponga que una empresa encuentra que sus ventas disminuyen a una tasa de -100e-0,2t, después de terminar una campaña publicitaria. Si se sabe que t es el número de días transcurridos desde que la campaña terminó y que las ventas eran de 10 000 unidades cuando terminó la campaña, ¿cómo podríamos determinar el número de unidades diarias vendidas 10 días después de terminada la campaña?

¡Reflexión!

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¿Qué otras funciones F(x) cumplen?

Ejercicio

¿Qué función F(x) tiene como derivada a la función ? xexxf 22 2)(

¿Y la función es la única que cumple con F´(x) = f(x) ?

xex

xF 23

3)(

Cuando conocemos la derivada de una función, elproceso de encontrar la función recibe el nombre deantiderivación.

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Si se cumple que:

para todo x en el dominio de f, entonces F(x) es una antiderivada de f (x).

F´(x) = f (x)

Antiderivada

Si F(x) es una antiderivada de f (x), entonces cualquier otra antiderivada G(x) de f (x) difiere sólo en una constante.

Propiedad fundamental de las antiderivadas

El proceso de encontrar una antiderivada también se denomina integración.

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La antiderivada general de f (x) se expresará:

CxFdxxf )()(

La integral indefinida

Notación:

f(x) : integrando

dx : diferencial de x, indica la variable a integrar

F(x) : antiderivada

C : constante de integración

: Signo de integral

la cual se denomina integral indefinida de f. Donde se cumple que )()´( xfxF

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Reglas para integrar funciones comunes

, Constantek dx k x C k 1.1

, 11

nn x

x dx C nn

2.

3.

, 0kx

kx ee dx C k

k 4.

0,ln1

xCxdxx

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Reglas algebraicas para la integración indefinida

( ) ( ) constante

( ( ) ( )) ( ) ( )

k f x dx k f x dx k

f x g x dx f x dx g x dx

Es importante tener en cuenta que:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ( )( )

( ) ( )

f x dxf xdx

g x g x dx

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Halle las siguientes integrales. Verifique su respuesta mediante derivación

1. 3.

2. 4.

dttt

)253

(2

duu

e u )2ln6

8( 2

dxx

xx)

12( 2

2 dxxx )12(

Ejercicios

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Halle la función f (x) cuya tangente a su gráfica tiene pendiente 4x2 + 1 para cada valor de x y su gráfica pasa por el punto (1; 2).

Problema 1

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Problema 2

Si el costo marginal es dólares por unidadcuando se producen q unidades y el costo total deproducir la primera unidad es $ 130, ¿cuál es el costototal de producir las primeras 10 unidades?

16 q

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Problema 3

a. La función que describe el nivel de ventas diarias t días después del final de la campaña.

b. El nivel de ventas de esta empresa 10 días después de terminada la campaña.

Suponga que una empresa encuentra que su nivel de ventas disminuye a una tasa de -100e-0,2t, después de terminar una campaña publicitaria. Si t es el número de días transcurridos desde que la campaña terminó y el nivel de ventas era de 10 000 unidades cuando terminó la campaña, determine:

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Reflexión Final

Cuando se integra el costo marginal se obtiene el costo total en la que aparece la constante de integración. ¿Es esa constante de integración el costo fijo?

Recordar que una manera de hallar el costo fijo es hallar C(0), ya que así se elimina toda componente variable.