10mov Circular Uniforme

(10) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (m.c.u.) Guía de FÍSICA (DERUM)

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Resumen Teórico 10

Movimiento Circular

Uniforme (M.C.U.)

DEFINICION

Es aquel movimiento en el cual el móvil describe una trayectoria circular

con velocidad angular constante, es decir barre ángulos iguales en

tiempos iguales.

Para el estudio del movimiento circular uniforme, es necesario conocer

los siguientes conceptos.

PERIODO (T)

Es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. El período se

mide en segundos.

𝑇 =𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎[𝑠]

Por ejemplo, el periodo de rotación de la tierra es 24 horas. El periodo de

rotación de la aguja grande del reloj es de 1 hora=3600 s.

FRECUENCIA (ƒ)

Es el número de vueltas que da el móvil por segundo. La frecuencia se

mide en Hertz (Hz= 1/s)

ƒ =𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

1 [𝑠] [𝐻𝑧]

Además se puede ver que la frecuencia es la inversa del periodo.

ƒ =1

𝑇

En el movimiento circular uniforme solo se presentan las siguientes

magnitudes vectoriales de los conceptos básicos mencionados

anteriormente.

VELOCIDAD ANGULAR (ω):

En el M.C.U. la velocidad angular es constante y viene dada por la

siguiente fórmula:

𝜔 =𝜃

𝑡

VELOCIDAD TANGENCIAL (V):

En el M.C.U. la velocidad tangencial es constante en modulo pero no en

dirección y sentido debido a la aceleración centrípeta. Su modulo se

determina dividiendo la longitud de arco entre el tiempo.

𝑉 =𝑆

𝑡

S= Longitud de arco

Guía de FÍSICA (DERUM) (10) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

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ACELERACIÓN CENTRÍPETA (aC):

Es una aceleración que se presenta en todo movimiento circular, aunque

la velocidad angular sea constante, esta aceleración hace que el móvil

describa una trayectoria circular.

Se mide la aceleración centrípeta mediante las siguientes formulas.

𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2

𝑅

TRANSMISION DE MOVIMIENTO ENTRE POLEAS EN EL M.C.U.

POLEAS CONCÉNTRICAS:

Son aquellas poleas que están unidas y giran sobre un mismo eje de

rotación, por lo tanto:

POLEAS UNIDAS TANGENCIALMENTE:

Son aquellas poleas que están unidas por un punto común, por lo tanto:

POLEAS CONECTADAS POR UNA CORREA:

Son aquellas poleas que están conectadas por correas inextensibles, por

lo tanto:

Nota: Las anteriores desigualdades (≠) solo son validas siempre y cuando

los radios de las poleas sean diferentes.

ωA = ωB VA ≠ VB

θA = θB SA ≠ SB

ωA ≠ ωB VA = VB

SA = SB θA ≠ θB

ωA ≠ ωB VA = VB

SA = SB θA ≠ θB


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FORMULARIO PARA EL M.C.U.

Las formulas que se tienen para el M.C.U. son:

𝜃 = 𝜔 𝑡

Relaciones entre magnitudes Tangenciales y angulares.

𝑉 = 𝜔 𝑅

𝑆 = 𝜃 𝑅

Para la aceleración centrípeta.

𝑎𝐶 = 𝜔2𝑅 𝑎𝐶 =𝑉2

𝑅

Relación del periodo y la frecuencia con la velocidad angular.

𝜔 =2𝜋

𝑇 ω = 2πƒ

En donde:

θ = Desplazamiento angular. (rad)

ω = Velocidad angular (rad/s)

t = Tiempo (s)

aC = Aceleración centrípeta (m/s2)

S = Desplazamiento lineal o arco (m)

V = Velocidad tangencial (m/s)

T = Periodo (s)

ƒ = Frecuencia (1/s =Hz)

R = Radio (m)

PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME PROBLEMA 1 | De una ciudad salieron al mismo tiempo 2 aviones en sentidos opuestos para dar una vuelta al mundo. Uno tardo 50 h y el otro 60 h ¿En qué tiempo se cruzaron? SOLUCION: Nos piden hallar el tiempo de encuentro.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica tenemos:

DATOS:

𝑇𝐴 = 50 ℎ

𝑇𝐵 = 60 ℎ

En los datos se puso como periodos a los tiempos, ya que es el tiempo en

que ambos aviones dan una vuelta entera.

Planteamiento de ecuaciones:

Teniendo como dato los periodos de cada avión y utilizando la relación

que existe entre la velocidad angular y el periodo (ω = 2π/T) tenemos:


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𝜔𝐴 =2𝜋

𝑇𝐴………………………………… . (1)

𝜔𝐵 =2𝜋

𝑇𝐵………………………………… . (2)

Por otra parte viendo que ambos aviones se mueven con M.C.U. se tiene:

𝜃𝐴 = 𝜔𝐴 𝑡 ………………… . …………… (3)

𝜃𝐵 = 𝜔𝐵 𝑡 ………………… . …………… (4)

Obteniendo la ecuación adicional de la grafica, en base al

desplazamiento angular, tenemos:

𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 = 2𝜋………………………… . . (5)

En la anterior ecuación se puso la suma de ambos desplazamientos

angulares igual a 2π ya que la suma de ellos es igual a una vuelta

(1vuelta = 2π)

Resolución de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones 3 y 4 en 5, se tiene:

𝜔𝐴 𝑡 + 𝜔𝐵 𝑡 = 2𝜋

Despejando el tiempo.

𝑡 (𝜔𝐴 + 𝜔𝐵) = 2𝜋

𝑡 =2𝜋

𝜔𝐴 + 𝜔𝐵

Remplazando las ecuaciones 1 y 2 en esta ecuación, tenemos:

𝑡 =2𝜋

2𝜋𝑇𝐴

+ 2𝜋𝑇𝐵

Remplazando datos.

t =

𝑡 =2𝜋

2𝜋50

+ 2𝜋60

𝑡 = 27,27 ℎ___________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 2 | Un disco gira en un plano horizontal si tiene un hueco a cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del disco en (rad/s)? (considere g= 10 m/s2) SOLUCION: Nos piden hallar la velocidad angular del disco.


DATOS:

𝑔 = 10 𝑚/𝑠2

𝛼 = 53°

𝑉𝐴 = 15 𝑚/𝑠

Nota que en este problema tenemos 2 tipos de movimientos. La pelota se

mueve con un movimiento parabólico y el hueco con un M.C.U.


Para la pelota: (Mov. Parabólico)


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Descomponiendo su velocidad para trabajar independientemente en

cada eje, tenemos:

Eje X: 𝑉𝐴𝑋 = 𝑉𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝛼

Eje Y: 𝑉𝐴𝑦 = 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼

Analizándolo en eje Y, ya que la pelota llega al mismo nivel de partida

(h=0) cuando vuelve a pasar por el hueco, tenemos:

ℎ = 𝑉𝐴𝑦 𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Tomando en cuenta que (h=0) y (VAy = VA Sen α) se tiene:

0 = 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Multiplicando por 2 la ecuación y simplificando.

𝑔𝑡2 = 2 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑡

𝑔𝑡 = 2 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼

Despejando t

𝑡 =2 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼

𝑔……………………………… . (1)

Para el hueco: (M.C.U.)

Viendo que el desplazamiento angular del hueco es una media

circunferencia (θB = π), por definición tenemos:

𝜔𝐵 =𝜃𝐵

𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜔𝐵 =

𝜋

𝑡 ………………… (2)


Remplazando la ecuación 1 en 2, tenemos:

𝜔𝐵 =𝜋

2 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑔

𝜔𝐵 =𝜋𝑔

2 𝑉𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝛼

Remplazando datos.

𝜔𝐵 =𝜋(10)

2 15 𝑆𝑒𝑛 53°

𝜔𝐵 = 1,31 𝑟𝑎𝑑/𝑠__________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

Velocidad angular del disco.

PROBLEMA 3 | Un recipiente cónico de altura H = 100 cm y radio R = 50 cm está lleno de agua y

gira con velocidad angular constante ω, como se muestra en la figura. Si el radio r que

describen las gotas que abandonan el cono es 2,5 m calcular la velocidad angular ω.

SOLUCION: Nos piden hallar la velocidad angular del cono.


DATOS:

H = 100 cm = 1m

R = 50 cm = 0,5 m

r = 2,5 m


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Una vez que las gotas de agua abandonan el cono describen una

trayectoria parabólica, siendo su velocidad inicial la velocidad

tangencial del cono.

Para ver el desplazamiento horizontal de las gotas es necesario realizar

una grafica vista desde arriba ya que no es fácil verla lateralmente.


Para el cono, mediante la relación que existe entre velocidad angular y

tangencial tenemos:

𝑉𝐴 = 𝜔 𝑅…………………………… . . (1)

Para las gotas:

Eje Y: viendo que las gotas son lanzadas horizontalmente la componente

de su velocidad en el Y es cero (VAy =0)

Eje X: Su velocidad en el eje X es igual a la velocidad tangencial del cono.

𝑉𝐴𝑋 = 𝑉𝐴

Viendo el grafico vista desde arriba se puede observar que el

desplazamiento horizontal es igual a X, por lo tanto tenemos:

𝑋 = 𝑉𝐴𝑋 𝑡 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑉𝐴𝑋 = 𝑉𝐴 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑋 = 𝑉𝐴 𝑡 ……… (2)

Eje Y: ya que las gotas experimentan un M.V.C.L. se tiene:

𝐻 = 𝑉𝐴𝑌𝑡 + 1

2 𝑔𝑡2

Recordando que (VAy = 0) la ecuación queda

𝐻 =1

2 𝑔𝑡2 ………………… . ………… . (3)

Obteniendo una ecuación adicional de la grafica vista desde arriba, en

base al triangulo rectángulo, usando el teorema de Pitágoras tenemos:

𝑟2 = 𝑋2 + 𝑅2

𝑋2 = 𝑟2 − 𝑅2 ……………………………… (4)


Despejando t de la ecuación 3, tenemos:

𝑡 = 2𝐻

𝑔

Remplazando esta ecuación y la ecuación 1 en 2, se tiene:

𝑋 = 𝜔 𝑅 2𝐻

𝑔

Despejando ω.

𝜔 =𝑋

𝑅 2𝐻𝑔

…………………… . . ……… . . (𝐴)

Despejando X de la ecuación 4 tenemos:

𝑋 = 𝑟2 − 𝑅2

Remplazando esta ecuación en la ecuación A, tenemos:

𝜔 = 𝑟2 − 𝑅2

𝑅 2𝐻𝑔

Remplazando datos.


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𝜔 = 2,52 − 0,52

0,5 2(1)9,8

𝜔 = 11 𝑟𝑎𝑑/𝑠___________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

PROBLEMA 4 | La rueda A de la figura se mueve a razón de 2π rad/s

determínese la velocidad angular de la rueda D. Si RA= 40 cm, RB= 80 cm,

RC= 20 cm y RD= 60 cm.

SOLUCION: Nos piden hallar la velocidad angular de la rueda D.


DATOS:

ωA = 2π rad/s

RA = 40 cm

RB = 80 cm

RC = 20 cm

RD = 60 cm


De acuerdo a la relación que existe entre la velocidad angular y

tangencial para las ruedas tenemos:

Para A: 𝑉𝐴 = 𝜔𝐴 𝑅𝐴 …………………… . . (1)

Para B: 𝑉𝐵 = 𝜔𝐵 𝑅𝐵 …………………… . . (2)

Para C: 𝑉𝐶 = 𝜔𝐶 𝑅𝐶 ……………………… . (3)

Para D: 𝑉𝐷 = 𝜔𝐷 𝑅𝐷 ……………………… . (4)

Tomando en cuenta la transmisión de movimiento que se tiene entre

poleas tenemos:

Las ruedas A y B están unidas tangencialmente, por lo tanto:

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 ……………………… . ……… . . (5)

Las ruedas B y C están unidas concéntricamente, por lo tanto:

𝜔𝐵 = 𝜔𝐶 ……………………………… . . (6)

Las poleas C y D están conectadas mediante una correa, por lo tanto:

𝑉𝐶 = 𝑉𝐷 ……………………… . ……… . . (7)


Remplazando la ecuación 7 en 4, tenemos:

𝑉𝐶 = 𝜔𝐷 𝑅𝐷

Remplazando esta ecuación en 3, se tiene:

𝜔𝐷 𝑅𝐷 = 𝜔𝐶 𝑅𝐶

Remplazando la ecuación 6, en esta tenemos.

𝜔𝐷 𝑅𝐷 = 𝜔𝐵 𝑅𝐶

Despejando ωB de la ecuación 2 y remplazándolo en esta, se tiene:

𝜔𝐷 𝑅𝐷 = 𝑉𝐵

𝑅𝐵 𝑅𝐶

Remplazando la ecuación 5 en esta tenemos:

𝜔𝐷 𝑅𝐷 = 𝑉𝐴𝑅𝐵

𝑅𝐶


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Remplazando la ecuación 1 en esta, se tiene:

𝜔𝐷 𝑅𝐷 = 𝜔𝐴 𝑅𝐴

𝑅𝐵 𝑅𝐶

Por último despejando la incógnita, tenemos:

𝜔𝐷 = 𝜔𝐴 𝑅𝐴

𝑅𝐵𝑅𝐷𝑅𝐶

Remplazando datos.

𝜔𝐷 = 2𝜋 (40)

80(60) 20

𝜔𝐷 = 1,05 𝑟𝑎𝑑/𝑠_________________________𝑅𝑠𝑡𝑎.

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