112725919 Unidad 2 Estadistica Inferencial Para Una Poblacion Vfff

5/26/2018 112725919 Unidad 2 Estadistica Inferencial Para Una Poblacion Vfff

1/39

Estadstica para la investigacin en seguridad pblicaUnidad 2. Estadstica inferencial para una poblacin

Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Seguridad Pblica

Licenciatura en Seguridad Pblica

5Cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Estadstica para la investigacin enseguridad pblica

Unidad 2. Estadstica inferencial para unapoblacin

Clave:010920518/020920518

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico


2/39



ndice

Unidad 2. Estadstica inferencial para una poblacin ........................................................... 3Presentacin de la unidad ................................................................................................... 3Propsitos ............................................................................................................................ 3Competencia especfica ....................................................................................................... 3Presentacin de la unidad ................................................................................................... 42.1. Estimacin puntual y por intervalo de la media ............................................................. 52.1.1. Estimador puntual y sus propiedades ........................................................................ 62.1.2. Distribucin muestral de la media, normal y t de Student ........................................ 72.1.3. Teorema del lmite central ........................................................................................ 142.1.4. Intervalo de confianza para la media ........................................................................ 142.2. Estimacin puntual y por intervalo de la proporcin .................................................... 172.2.1. Estimador puntual y sus propiedades ...................................................................... 182.2.2. Distribucin muestral de la proporcin ..................................................................... 182.2.3. Clculo de un intervalo de confianza para la proporcin .......................................... 19

Actividad 1. Estimadores puntuales ................................................................................... 21Actividad 2. Estimaciones puntuales e intervalos de confianza .......................................... 222.3. Prueba de hiptesis .................................................................................................... 222.3.1. Conceptos generales de la metodologa .................................................................. 232.3.2. Prueba de hiptesis de la media .............................................................................. 252.3.3 Relacin entre una prueba de hiptesis de la media y un intervalo de confianza ...... 31 2.3.4. Prueba de hiptesis de la proporcin ....................................................................... 322.3.5. Relacin entre una prueba de hiptesis de la proporcin y un intervalo de confianza34

Actividad 3. Pruebas de hiptesis ...................................................................................... 35Actividad 4. Problemario .................................................................................................... 36Autoevaluacin .................................................................................................................. 36Evidencia de aprendizaje. Resolucin de ejercicios sobre pruebas de hiptesis e intervalosde confianza ...................................................................................................................... 37

Actividades de Autorreflexin ............................................................................................. 37Cierre de la unidad ............................................................................................................ 38Fuentes de consulta .......................................................................................................... 39Fuentes cibergrficas ......................................................................................................... 39


3/39



Unidad 2. Estadstica inferencial para una poblacin

Presentacin de la unidad

En la presente unidad se describe el propsito de la estadstica inferencial; se presenta elsignificado de estimador puntual y por intervalo, de distribucin muestral, y se analizacmo obtener conclusiones acerca de una poblacin a partir de una muestra.

Se estudian nicamente dos distribuciones muestrales: la de la media y la de la proporcin.Se presentan las condiciones, caractersticas y metodologa para determinar susestimadores puntuales y por intervalo.

De igual manera, se presenta y analiza el significado de realizar una prueba de hiptesis,

de la metodologa que se sigue para hacerla y se realizan pruebas de hiptesis para lamedia y la proporcin.

Finalmente, se muestra la relacin entre una prueba de hiptesis y un intervalo deconfianza.

Propsitos

Los propsitos de esta unidad son:

Comprender los alcances de la estadstica inferencial. Comprender el significado de estimador puntual y por intervalo.

Determinar los estimadores puntuales y por intervalo de las distribucionesmuestrales de la media y la proporcin.

Comprender y utilizar la metodologa de las pruebas de hiptesis para la media y laproporcin.

Reconocer la relacin entre una prueba de hiptesis y un intervalo de confianza.

Competencia especfica

Analizar la informacin de una muestra para identificar las dinmicas de lapoblacin de estudio, mediante la resolucin de problemas con tcnicas deestadstica inferencial.


4/39



Presentacin de la unidad

Como se sabe, la teora del muestro permite obtener informacin acerca de una poblacinfinita a travs de muestras extradas al azar, sin embargo, es ms prctico yfrecuentemente ms importante inferir informacin de una poblacin mediante variasmuestras extradas de ella.

Lo anterior lo hace la inferencia estadsticao estadstica inferencial, basndose en lateora del muestroy el objetivo es estimar una medida descriptiva de la poblacin (porejemplo, la media o la varianza) a partir de la medida descriptiva de la muestra (media ovarianza muestral); a los primeros se les llamaparmetrosy a los segundos estadsticos.

Debido a lo anterior, es claro que para una poblacin en particular, los parmetros son fijosy frecuentemente desconocidos, mientras que los estadsticos varan dependiendo de la

muestra.

A continuacin se muestran algunos de los parmetros ms comunes y suscorrespondientes estadsticos:

Medida descriptiva Parmetro Estadstico

Media _

x

Varianza 2 2s

Desviacin estndar s

Proporcin p _

p

Los principales tipos de inferencia que se realizan son:

Estimacin puntual o por intervalo Prueba de hiptesis

Dado que las inferencias estadsticas que se hacen acerca de la poblacin se realizan pormedio de muestras, lo natural es usar la media y la varianza (estadsticos) como

estimadores de los parmetros correspondientes.

Para poder llevar a cabo lo anterior, existen dos problemas:

Determinar si la estimacin est sesgada Determinar la cercana del valor del estadstico con el valor del parmetro que se

est estimando.


5/39



Para analizar el sesgo, considrese que se toman una gran cantidad de muestras de unapoblacin con media y que se determina la media de cada una de las muestras,

obteniendo los valores_

ix , con estos es posible construir una distribucin cuya media

_x

tiene un valor que puede estar cercano o no al valor de la media poblacional . Si el valor

de la de la media de la distribucin de medias

_x es cercano al de la poblacin , se

dice que

_

x es un estimador insesgadode .

En general, si la media de la distribucin muestral de un estadstico es igual a sucorrespondiente parmetro, el estadstico se llama estimador insesgado del parmetro,

si no es igual se denomina estimador sesgado. Los valores correspondientes de talesestadsticos se conocen como estimaciones insesgadas o sesgadas, respectivamente.Hay dos tipos de estimacin de parmetros.

1) Estimacin puntual:es la que est dada por un valor numrico.2) Estimacin por intervalo:son aquellas que estn dadas por dos nmeros, entre

los que, muy probablemente, est el valor del parmetro poblacional.

Es importante no confundir un estimador puntual con una estimacin puntual; deberecordarse que la segunda es un valor particular obtenido de un estimador puntual.

2.1. Estimacin puntual y por intervalo de la media

Si se consideran todas las posibles muestras de tamao nque pueden extraerse de una

poblacin y que se calcula la media

__i

x de cada una de las muestras, con estos valores

se puede construir una distribucin de la cual tambin se puede encontrar la media __x

como usualmente se ha hecho.

Por la forma en que se calcula __x

, puede verse que un estimador puntual es una funcin

de un conjunto de observaciones de la poblacin y es un punto en el sentido de que serefiere a un solo valor.

Del mismo modo, la informacin contenida en las__

ix calculadas, permite construir un

intervalo dentro del cual puede estar contenido el valor del parmetro .


6/39



2.1.1. Estimador puntual y sus propiedades

Puede ser claro que por medio de las muestras es posible hacer una estimacin decualquiera de los parmetros de una poblacin, de manera que no es fcil determinar culde los estadsticos es el ms apropiado. Los siguientes cuatro criterios permiten hacer estaeleccin:

Inestabilidad:es preferible usar un estimador no sesgado, es decir, cuandoocurre que la esperanza del estadstico es igual al valor del parmetro, porejemplo:

_xE .

Ahora bien, aun cuando lo anterior se cumpla, puede ocurrir algo como lo mostradoen la siguiente grfica:

__

x

En este caso, la eleccin del estimador, usando solo este criterio, no resultasuficiente.

Consistencia:se dice que el estimador del parmetro es consistente si el valordel estimador se aproxima al valor del parmetro de la poblacin cuando eltamao de la muestra se hace ms y ms grande.

Por ejemplo, para la distribucin muestral de medias tenemos que:

xxE

nx

de aqu puede apreciarse que conforme nse hace ms grande,el cociente se hace cada vez ms pequeo, por lo que ladivisin se acerca ms al cero; ahora bien, que la desviacin

estndar sea cercana a cero, significa que los valores de x seencuentran muy cerca y alrededor del valor de .

Eficiencia:se dice que el estimador del parmetro es eficiente cuando tiene lamenor de las varianzas entre todos los posibles estimadores.


7/39



Suficiencia:se dice que el estimador es suficiente si genera tanta o msinformacin acerca del parmetro de la que podra proporcionar otro estimadorcuando se utiliza la misma muestra.

2.1.2. Distribucin muestral de la media, normal y t de Student

En general, existen tres tipos de informacin que se desea conocer sobre una distribucin:

Dnde est el centro? Qu tanto vara? Cmo est repartida?

Por supuesto, querramos conocer esta misma informacin respecto a una distribucin

muestral, por ejemplo la distribucin muestral de x . Con el siguiente ejemplo, se muestra

la manera en que se procede para obtener la informacin y dar respuesta a las preguntasprevias.

Ejemplo (1)Considere que en la siguiente tabla se representa a toda una poblacin, queconsiste en el nmero de pizzas que la sucursal de cierta empresa vende enuna hora determinada del da:

Sucursal Nmero de pizzas

Calle Real 2

Puente grande 3

Plaza 6

El centro 8

Nio perdido 9

A continuacin se pide que se hagan algunos procedimientos y clculos, y se danrecomendaciones y resultados para verificar.

a) Haz los clculos pertinentes para demostrar que:

60.5 , 440.72 y 728.2

b) Haz una lista de todas las posibles muestras de tamao 2 que se puedengenerar de dicha poblacin, considerando que se hace un muestreo conremplazo (son 25 en total)


8/39



Nm. depizzas

2 3 6 8 9

2

36

8

9

c) Determina la media de cada una de las muestras y verifica que se obtienen losvalores de la tabla del inciso d). Con los datos de la tabla del inciso a), completala distribucin de medias muestrales:

__

x 2 2.5 3 4 4.5 5 5.5 6 7 7.5 8 8.5 9

__

xXP 25

1 25

1 25

4 25

2 25

2

d) Haz los clculos pertinentes para demostrar que la media de la distribucin demedias muestrales es:

60.5__ x

e) Haz los clculos pertinentes para demostrar que la varianza y la desviacinestndar de la distribucin de medias muestrales son, respectivamente:

720.32x y 923.1

x

f) Grafica las distribuciones de probabilidad de los incisos b) y d) y analiza lasgrficas usando los valores de las medias y desviaciones estndar para cadadistribucin.

Lo que se har a continuacin es un tratamiento comn y consiste en agrupar lasmedias en intervalos; recurdese que existen distintos criterios para determinar el

nmero kde intervalos. Si se usa el criterio2

25

22

nk , siendo kel menor

nmero que cumple con la desigualdad, se concluye que 4k , es decir, se debenusar cuatro intervalos; sin embargo, tambin se puede determinar el nmero de

intervalos haciendo 25 nk


9/39



g) Para el presente ejercicio, se considera el que 5k . Realiza los clculosnecesarios y completa la tabla siguiente.

Lmites de clase Marca de clase

__x

Frecuencia declase

2.03.4 2.7 4

3.44.8 4

4.86.2 9

6.27.6 4

7.6 - 9.0 4

h) Grafica el histograma para los datos del inciso h)

Al analizar los resultados obtenidos hasta ahora, es posible ver que:

La media de la poblacin y la media de la distribucin de medias muestrales esigual, es decir:

__

x

La varianza de la poblacin es el doble de varianza de la distribucin de mediasmuestrales, es decir:

x

222

El rango de la poblacin es el mismo que el de la distribucin de mediasmuestrales.

La poblacin tena una distribucin de probabilidad uniforme, mientras que ladistribucin de medias muestrales parece ser una distribucin normal.

Tratar de generar una distribucin de medias muestrales para muestras de tamao 3, esun ejercicio que puede llevarse a cabo con un poco de paciencia y que lleva a tener casilas mismas conclusiones que las descritas anteriormente; el nico cambio es que

x

223 , lo que da una pista sobre la relacin existente entre la varianza de la poblacin

y la varianza de la distribucin de medias muestrales.

Otro ejercicio interesante, mucho menos costoso en tiempo y que se recomienda hacer, esconstruir la distribucin de medias muestrales cuando el muestreo se realiza sin

restitucin. Si se consideran los casos 2n y 3n , en cada uno de ellos solo hay 10muestras, y las conclusiones son parecidas, estas se enuncian a continuacin:


10/39



La media de la poblacin y la media de la distribucin de medias muestrales esigual, es decir:

__

x

La varianza de la poblacin es nveces la varianza de la distribucin de mediasmuestrales, es decir:

__22xn

El rango de la poblacin es el mismo que el de la distribucin de mediasmuestrales.

La distribucin de medias muestrales tiende a una distribucin normal conformeaumenta el tamao de la muestra.

En resumen, la distribucin de medias muestrales es normal con media y varianza

nx

22__

. Esto significa que es posible calcular la probabilidad de que un valor de x se

encuentre en un rango de valores, para lo que se deber estandarizar mediante

n

x

z

Como puede apreciarse, a travs de la informacin generada de una muestra, es posiblecaracterizar a toda una poblacin, ya que la distribucin de medias muestrales se

comporta como una distribucin normal.

Sin embargo, todo el anlisis se puede llevar a cabo porque se conoce a toda la poblaciny consecuentemente, se conocen sus parmetros. Sin embargo, lo ms frecuente es queno sea posible trabajar con todos los elementos de la poblacin, porque esta fuera muygrande, sino nicamente con una muestra (pequea en comparacin con el tamao de lapoblacin). En este caso, la distribucin de probabilidad que se usa es denominada t deStudent.

Las condiciones bajo las que se usa esta distribucin son:

Poblacin con distribucin normal. Si esto no sucede, no es posible usar t deStudent.

Varianza desconocida. Por tal motivo se debe estimar mediante la varianzamuestral.


11/39



Las caractersticas (Nieves & Dominguez, 2010. 382) de la distribucin t de Student, son:1. Tiene media igual a cero.2. Estn distribuidas simtricamente alrededor de su media.3. Hay una distribucin diferente para cada grado de libertad.4. Tienen varianzas mayores que uno, pero, a medida que aumenta el nmero de

grados de libertad, la varianza tiende a uno.5. En comparacin con la distribucin normal estndar, las curvas son ms bajas

en la media, pero sus colas son ms altas.

Para la distribucin t de Student, la estandarizacin es

n

s

xt

La t calculada de esta manera, tiene una funcin de probabilidad t de Student con 1n grados de libertad

Ejemplo (2)

Una compaa fabricante de lmparas, asegura que estas tienen una vida media til de60 meses y una desviacin estndar de 6 meses, para verificar la informacin, unaempresa prueba una muestra aleatoria de 50 lmparas.

a) Qu tipo de distribucin se puede usar para inferir sobre la mediapoblacional? Justificar.

b) Cul es la estandarizacin pertinente?c) Cul es la probabilidad de encontrar una muestra con una vida til

promedio de menos de 58 meses?Solucin:

a) Como el tamao de muestra es grande 30n y la desviacin estndar

es conocida, se puede usar la distribucin normal.

b) La estandarizacin que se puede usar es

n

xxz

x

x

c) Lo que se pide es

58__

xP . Para determinar el valor de esta

probabilidad, primero se debe estandarizar 58

__

x

, es decir:

35.2

506

2

50

6

6058

z

Al consultar en la tabla para la distribucin normal:


12/39



0094.035.2__

xP

Este resultado significa que la probabilidad es de 0.0094, o bien, que en el 0.94% de

las ocasiones que se tome una muestra se tendrn lmparas que duren menos de 58meses. Aunque debe aclararse que esto ser as solo si la informacin queproporciona el fabricante es cierta.

Ejemplo (3)Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio denicotina de 1.83 miligramos. Se toma una muestra aleatoria de 8 de estos cigarrillos y sedetermina que el contenido de nicotina de cada uno de ellos es: 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2,2.1, 2.0 y 1.6 miligramos.

a) Calcular la media y la desviacin estndar de la muestra.

b) Qu tipo de distribucin se puede usar para inferir sobre la mediapoblacional? Justificar.

c) Cul es la estandarizacin pertinente?d) Con esta informacin, y con una certeza del 95%, se quiere responder la

pregunta: la afirmacin del fabricante es cierta?

Solucin:a) Para determinar la media de la muestra.

95.1

8

6102122291127102

1

........

n

x

x

n

i

i

Para determinar la desviacin estndar de la muestra, primero se calcula la varianza:

0.0429

7

95.16.195.10.295.11.295.12.2

95.19.195.11.295.17.195.102

1

2222

2222

1

2__

2

.

n

xx

s

n

i

i

Entonces, la desviacin estndar es 2071.0s

b) Como no conocemos el valor de , la estamos estimando a partir de s ,y adems, la muestra es pequea, se debe usar la distribucin t de


13/39



Studentpara inferir sobre la media poblacional.

c) La estandarizacin que se usa para la distribucin t de Studentes

n

s

xt

d) Al sustituir en la expresin anterior, y realizar los clculos indicados, setiene:

1.64

8

207.0

83.195.1

n

s

xt

Al buscar el valor de ten la distribucin t de Studentcon 7 grados de libertad, se ve que test contenido en la regin del 90%

89.1

7,05.0

t

89.17,05.0

t

64.1

t

Probabilidad de 0.9

Lo anterior quiere decir que con una certeza del 90%, la informacin del fabricante escierta; por tanto, la afirmacin del fabricante no es cierta con el nivel de certeza que dijotener.


14/39



2.1.3. Teorema del lmite central

Como ya se mencion, hay tres cosas que es deseable conocer acerca una distribucin:

Dnde est el centro? Qu tanto vara? Cmo est repartida?

El siguiente enunciado, conocido como el Teorema del lmite central, proporcionainformacin sobre los tres aspectos.

Si se toman todas las muestras posibles, de tamao n, sin remplazamiento, de unapoblacin finita de tamao N, con media y desviacin estndar , entonces ladistribucin de las medias muestrales:

Sern de tipo normal cuando la poblacin de la que proceden las muestrases de tipo normal, en caso contrario, se aproximar a una normal para

valores grandes de n 30n .

Tendrn media __x

Tendrn desviacin estndarn

x

o1

N

nN

nx

respectivamente.

El trmino1

N

nN es conocido como factor de correccin por poblacin

finitay puede omitirse cuando Nn 05.0 , es decir, cuando el tamao de la

muestra es menos del 5% del tamao de la poblacin.

2.1.4. Intervalo de confianza para la media

Si para una poblacin normal se quiere conocer la probabilidad de que un valor estcontenido entre la media y una desviacin estndar usando la grfica para la distribucin

normal, fcilmente puede verse que la regin en la que debera estar el valor es la partecentral y se puede tener una idea del valor esperado:


15/39



2

3

2

3

Por otra parte, y sabiendo que la grfica es simtrica, la probabilidad se puede escribir

012102

1001

zPzP

zPzP

xPxPxP

Al buscar en la tabla correspondiente, se concluye:

6826.0

3413.02

xP

De manera similar, se puede demostrar que:

%44.9522 xP

%74.9933 xP

Sin embargo, en muchas ocasiones lo que se desea conocer es la probabilidad de que lamedia poblacional est contenida en un cierto rango de valores, si se conoce el valor de lamedia de una muestra.

A continuacin se muestra cmo determinar un intervalo para el cual existe unaprobabilidad conocida de que la media poblacional est contenida en dicho intervalo.

Ejemplo (4)Se desea saber entre qu valores puede estar la media de la poblacin con unaprobabilidad del 0.95

Solucin:se expresa la probabilidad dada en trminos del intervalo donde puede estarcontenido el valor normalizado y se despeja :


16/39



95.096.196.1

95.096.196.1

95.096.196.1

__

__

nx

nP

n

xP

zP

95.096.196.1

95.096.196.1

__

__

nx

nP

nx

nP

De donde, finalmente, se obtiene que:

95.096.196.1____

n

xn

xP

Esto quiere decir que la media de la poblacin se encuentra contenida en el

rango dado porn

x

n

x

96.196.1

____

, que tambin puede ser

expresado como un intervalo

n

x

n

x

96.1,96.1

____

; a este intervalo se

le denomina intervalo de confianzapara una probabilidad de 0.95

El resultado encontrado significa que para una poblacin, el intervalo deconfianza depende de la media de la muestra, sin embargo, aunque cadamuestra que se tome proporciona un intervalo diferente, esta metodologagarantiza que la media de la poblacin est contenida en el 95% de ellos.

La siguiente tabla de valores, permite determinar el valor correspondiente de z para unintervalo de confianza dado.

Nivel de

confianza

99.7 99.0 98.0 96.0 95.5 95.0 90.0 80.0 68.3

z 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.65 1.28 1.00

Cuando se est considerando la distribucin muestral de medias para estimar , el

intervalo de confianza para la media poblacional se encuentra con la expresin dada acontinuacin, siendo zel valor correspondiente al nivel de confianza deseado:

n

zx

n

zx

____


17/39



La frmula significa que, conociendo__

x y , puede encontrarse un intervalo quecontenga a con una confianza dada. Otras formas de expresar el intervalo de

confianza:

xx zxzx ,

y

nzxnzx

,

2.2. Estimacin puntual y por intervalo de la proporcin

Frecuentemente, la informacin que se obtiene de una muestra es solamente un s o unno. Por ejemplo:

Una encuesta revel que el 80% de las amas de casa compran sus artculos deprimera necesidad en las tiendas de autoservicio.

Un estudio indic que el 60% de los hombres de entre 28 y 50 aos creen que losdos cnyuges deben compartir los gastos del hogar.

Estos ejemplos muestran el significado de Proporcin: fraccin, razn o porcentaje queindica la parte de la muestra de la poblacin que posee un rasgo de inters particular(Lind, Marchall &Wathen, 2008. 310)

El valor de la proporcin se determina mediante

n

xp

__

, siendo x el nmero de xitos y n

el nmero de elementos de la muestra; este valor se usa como un estimador de laproporcin de xitos en la poblacin de estudio.

Debido a la forma de encontrar la proporcin, es natural pensar en una distribucinbinomial como el modelo para las proporciones, siempre y cuando el tamao de la muestra

sea pequeo 30n ya que en caso contrario, resulta mucho mejor utilizar laaproximacin normal a la binomial.

Por lo anterior, se utiliza la distribucin normal para calcular la estimacin de la proporcinpor intervalo; que equivale a encontrar el intervalo de confianza para p poblacional.


18/39



2.2.1. Estimador puntual y sus propiedades

Se sabe quen

xp

__

y que la variable x tiene un modelo de probabilidad binomial, cuya

media es np y varianza npq , por tanto, pn

np

p

__

Lo anterior quiere decir que la media de la distribucin muestral de proporciones es la

probabilidad de xito p .

En el caso de la varianza se tiene que2

2

n

npq

2.2.2. Distribucin muestral de la proporcinConsidrese una poblacin en la que los elementos son o xitos o fracasos, en la que laprobabilidad de xito es p , siendo pq 1 la probabilidad de fracaso.

Si se obtienen todas las posibles muestras de tamao n y para cada muestra se determina

la proporcin__

p de xito y con esta informacin se construye una distribucin de

probabilidad, esta tiene las siguientes propiedades:

la media es pp

__

la desviacin estndar esn

qp

p

__

La distribucin construida se denomina distribucin muestral de proporcionesy tienelas siguientes caractersticas:

1. Proviene de una poblacin con distribucin binomial:a. Los datos de la muestra son el resultado de contar.b. nicamente hay dos resultados posibles: xito o fracaso.c. La probabilidad de xito es constante de un evento a otro.d. Los eventos son independientes.

2. Si se cumple que 5pn y 5qn se puede recurrir a la distribucin normal para

aproximar a la binomial y la estandarizacin es

n

qp

ppz

__


19/39



2.2.3. Clculo de un intervalo de confianza para la proporcin

En este caso, la mejor manera de explicar cmo se determina un intervalo de confianzapara las proporciones es resolviendo el siguiente:

Ejemplo (7)

Se desea estimar el porcentaje de varones adultos de cierta ciudad que fuman al menosuna cajetilla de cigarrillos al da. Supngase que se toma una muestra aleatoria de 300individuos y que de ellos, 36 individuos fuman.

Responder las siguientes tres preguntas, que tambin fueron respondidas para .

a) Cul es la exactitud de la proporcin de la muestra como estimacin dep ?

b) Qu tamao de muestra se necesitara si deseamos una probabilidadde 0.95 de que el error de la estimacin no exceda a 0.02 unidades?

c) Cul es el intervalo de confianza a 95% para p ?

Solucin:

Por principio debemos resaltar el hecho de que el tamao de muestra es lo bastantegrande para justificar el uso de los mtodos de la curva normal.

a) Como la proporcin de la muestran

xp

__

tiene una distribucin normal

entonces tiene: media p

y desviacin estndar300

pq

n

pq

Se considera una probabilidad de 0.95 de que__

p se encuentre a una distancia menor de

1.96 desviaciones estndar de p , es decir, el error de estimacin debe ser menor que

30096.1

pq; por otra parte, como p es desconocida, debe estimarse haciendo:

12.0300

36

__

n

xp

Por tanto, el error de estimacin es aproximadamente

037.0300

)88.0)(12.0(96.1


20/39



Es decir, con una probabilidad de 0.95, la estimacin de la muestra__

p no difiere de p por

ms de 0.037 unidades, lo que da una buena idea de la exactitud del valor de muestra0.12 como estimacin de p .

b) Para determinar el tamao de la muestra necesaria, para obtener unaprecisin dada en la estimacin de p , se selecciona n de manera que el

nmero apropiado de desviaciones estndar de__

p sea igual al error mximo

deseado en la estimacin.

Sea e el error de estimacin mximo seleccionado y sea z el valorcorrespondiente a la probabilidad deseada para no exceder este error

mximo. Entonces n debe satisfacer la ecuacin en

pqz , de donde

2

2

e

pqzn

Para el problema que estamos resolviendo, sabemos que p no se conoce,

de manera que debe estimarse segn el valor de la muestra, es decir,

usando 12.0__

p y para 02.0e y 96.1z tenemos:

1014

02.0

88.012.096.1

2

2

n

Por tanto, se necesitar una muestra adicional de 714 para obtener laprecisin deseada de la estimacin.

c) El intervalo de confianza del 95% para p se calcula usando el mismo

razonamiento que para , solo que__

p toma el lugar de__

x , con lo que se

tiene:

157.0083.0

300

88.012.096.112.0

300

88.012.096.112.0

96.196.1

____

__

____

__

p

p

n

qppp

n

qpp

Por tanto, un intervalo de confianza al 95% para p est dado por

157.0083.0 p


21/39



Es necesario aclarar que la solucin a cada uno de esto incisos est basada enmtodos de muestras grandes; afortunadamente los mtodos son bastante buenostambin para muestras pequeas, siempre que 5np para 5.0p y 5nq para

5.0p

Actividad 1. Estimadores puntuales

Hemos aprendido el significado de estimador puntual y revisado sus propiedades; asmismo, analizamos el significado de intervalo de confianza y encontramos estos intervalospara las distribuciones muestrales de la media y la proporcin.

El objetivo de la actividad es que, a partir de la informacin proporcionada, reconozcas ladistribucin que debes usar para realizar las estimaciones.

Para completar la informacin presentada aqu y reforzar lo aprendido, realiza lo siguiente:

1. Elaboraun mapa conceptual donde se vean claramente las diferencias entre lasestimaciones puntuales para poblaciones grandes y pequeas.

2. Por ltimo, describecmo se determina un intervalo de confianzay elabora unreporte donde integres los resultados previos con tus conclusiones.

3. Al terminar, envatu documento a la seccin de tareas, con la nomenclaturaEISP_U2_A1_XXYZ, y espera la retroalimentacin del Facilitador(a).

*Consulta la rbrica de evaluacin para conocer los criterios que sern tomados en cuentaal momento de calificar tu trabajo.


22/39



Actividad 2. Estimaciones puntuales e intervalos de confianza

El objetivo de esta actividad es que compartas informacin y que verifiques la informacinde tus compaeros(as).

Entra al Foro denominado Estimaciones puntuales e intervalos de confianzay realiza losiguiente:1. Leecon atencin los ejercicios que ah se presentan.2. Documntatesobre los tpicos que se correspondan con los ejercicios planteados.3. Respondelos ejercicios y sube tus aportaciones al foro.4. Revisa las aportaciones de tus compaeros(as),compara sus opiniones con las tuyas

e intercambia comentarios a fin de establecer un dilogo fructfero y de cercana.

*Consulta la rbrica de evaluacin para conocer los criterios que sern tomados en cuenta

al momento de calificar tu trabajo.

2.3. Prueba de hiptesis

Una hiptesis estadsticaes una aseveracin o conjetura respecto a una o mspoblaciones; por lo anterior, es muy importante tener claro que una hiptesis estadstica seformula sobre la poblacin o distribucin que se est estudiando, no sobre la muestra.

Para realizar una prueba de hiptesis es necesario establecer dos hiptesis estadsticas,

conocidas como hiptesis nulae hiptesis alternativa, respectivamente.

La hiptesis nula0

H siempre se usa para establecer que el parmetro de inters, que es

desconocido, es igual a un valor dado. Por ejemplo, si no se conoce la media poblacional

, la hiptesis nula es: 00: H

La hiptesis alternativa1

H establece que el parmetro es menor que (), o

diferente de () el valor especificado.


23/39



Ejemplo (8)

Se sabe que la tasa de incineracin de un slido es una variable aleatoria que puededescribirse mediante una distribucin de probabilidad.

Se quiere saber si la media de la taza de incineracin (parmetro) es distinta des

cm

50

Expresar la hiptesis nula y la hiptesis alternativa:

Solucin:

Como en la hiptesis nula0

H se establece que el parmetro desconocido es igual a un

valor especificado que s se conoce, se tiene que la hiptesis nula es:

s

cmH 50:

0

En el caso de la hiptesis alternativa 1H , esta es para establecer que el parmetro es

diferente del valor especificado para 0

, por lo que la hiptesis alternativa o hiptesis deinvestigacin es:

s

cmH 50:

1

2.3.1. Conceptos generales de la metodologaAl procedimiento mediante el cual se toma la decisin sobre una hiptesis en particular, sele denomina prueba de hiptesis.

Los procedimientos para realizar una prueba de hiptesis dependen de la informacincontenida en una muestra aleatoria de la poblacin de inters; si la informacin esconsistente con la hiptesis, se concluye que esta es verdadera, y en caso contrario quees falsa.

La hiptesis nula0

H debe formularse de manera que al rechazarla se apoye la conclusin

de la investigacin; mientras que la hiptesis de investigacin debe expresarse como lahiptesis alternativa

1H .


24/39



Ejemplo (9)

Se seleccionar una muestra aleatoria de cigarrillos producidos a partir de hojassecadas con un nuevo mtodo y se medir el contenido de nicotina. Se quiere saber si el

contenido medio de nicotina por cigarrillo es menor que 1.5 miligramos.

Solucin:Lo primero que se debe identificar es el parmetro de inters, que en este caso es lamedia poblacional.

En segundo lugar, debe establecerse claramente lo que se quiere probar; segn elenunciado, se quiere probar que la media sea menor o igual a 1.5 miligramos, es decir,que: mg15 .

Por tanto, la formulacin del juego de hiptesis es:mgH 15:

0

mgH 15:1

Al tomar decisiones, se pueden cometer dos tipos de errores, cuyos nombres ydescripciones son:

Error tipo I.Se refiere al hecho de rechazar la hiptesis nula0

H cuando esta es

verdadera.

Error tipo II.Hace referencia al hecho de no rechazar la hiptesis nula 0H cuandoesta es falsa.

Podemos resumir en el siguiente cuadro:

Decisin0

H es verdadera0

H es falsa

No rechazar0

H No error Error tipo II

Rechazar0

H Error tipo I No error

Puesto que una decisin est basada en variables aleatorias, es posible asignarleprobabilidades a los errores, y estos son representados como:

= P (error tipo I)= P( rechazar | es verdadera)

tambin recibe por nombre nivel de significancia.

= P( error tipo II)= P( No rechazar | es falsa)


25/39



A continuacin se describe el procedimiento general para realizar una prueba de hiptesis:1. Leer cuidadosamente el problema para identificar el parmetro de inters.

2. Estructurar la hiptesis nula0

H , sin olvidar que contiene a la igualdad.

3. Especificar la hiptesis alternativa 1H

, tomando en cuenta que se trata de lahiptesis de investigacin, esto quiere decir que se espera rechazar

0H y, en

consecuencia, aceptar1

H .

4. Escoger un nivel de significancia para (controla la probabilidad de cometer elerror tipo I)

5. Escoger una estadstica de prueba apropiada.6. Tomar una muestra aleatoria del parmetro.7. Con los datos, calcular el estadstico de prueba.

8. Decidir si0

H debe ser o no rechazada y reportar los resultados en el contexto del

problema.

2.3.2. Prueba de hiptesis de la media

Debido a lo descrito anteriormente, las pruebas de hiptesis para un parmetro poblacionalasumen una de estas tres formas:

01

00

:

:

H

H Esta es denominada prueba de cola derecha.

01

00

:

:

H

H

Esta es denominada prueba de cola izquierda.

01

00

:

:

H

H Esta es denominada prueba de dos colas.

A continuacin se describir cmo se realiza la prueba de hiptesis para la mediapoblacional, y luego se resolver un ejemplo, en los casos en los que:

es conocida.

es desconocida, el tamao de la muestra es pequeo y la poblacin es normal.

Prueba de hiptesis para la media poblacional con conocidaLos supuestos para poder realizar la prueba de hiptesis son:

La poblacin o distribucin de inters tiene media y varianza . La poblacin se distribuye normalmente y es aplicable el teorema de lmite central.

El estadstico de prueba es

n

xz

0

0


26/39



A continuacin se analizan los tres casos presentados al inicio de este apartado, aunqueno en el mismo orden.

1) El primer juego de hiptesis es

01

00

:

:

H

H

Si la hiptesis nula es verdadera, el0

z que se calcula caer en la regin de no

rechazo de0

H , en caso contrario,0

z caer en la regin de rechazo, lo que

significa que la muestra produjo un valor inusual del estadstico de prueba; loanterior quiere decir que la informacin contenida en la muestra no apoya el

supuesto de que0

H es verdadera.

La regla de decisin se define como: Se debe rechazar

0H si

20

zz o2

0 zz

No se debe rechazar0

H si2

02

zzz

2

z

2

z

Regin de rechazo Regin de rechazoRegin de no

rechazo de Ho

0

2

2

1

2) El segundo juego de hiptesis es:

01

00

:

:

H

H

La regla de decisin se define como:

Se debe rechazar0

H si

zz 0


H si

zz 0

z

Regin de rechazoRegin de no

rechazo de Ho

0

1


27/39



3) El tercer juego de hiptesis es:

01

00

:

:

H

H


Se debe rechazar0

H si

zz 0


H si

zz 0

z


rechazo de Ho

0

1

Ejemplo (10)

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Mxico durante el ao pasado,muestra una vida promedio de 71.8 aos. Suponiendo una desviacin estndarpoblacional de 8.9 aos, esto parece indicar que la vida media hoy en da es diferenteque 70 aos? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solucin:Siguiendo los pasos descritos anteriormente:

Parmetro media poblacional ()

Hiptesis nula aos70:0 H

Hiptesis alternativa aos70:1 H

Nivel de significancia 05.0 Probabilidad del 0.9595% de confianza

Estadstica0

z

Datos aos8.71__

x , aos9.8

Estandarizacin 02.2

100

9.8

708.71

0

z

Valor crtico 96.12

z

Decisin Rechazar dado que2

0 zz

Conclusin La vida media hoy da esdiferente a 70 aos.


28/39



96.12

z 96.12

z


rechazo de Ho

1

02.20 z

Ejemplo (11)

Del ejemplo anterior se vio que la media es distinta a 70 aos, ahora se tiene inters ensaber si la vida media, hoy en da, es mayor que 70 aos. Utilice un nivel de significanciade 0.05.

Solucin: siguiendo los pasos descritos con anterioridad tenemos:

1) Parmetro media poblacional ()

2) Hiptesis nula aos70:0

H

3) Hiptesis alternativa aos70:1

H

4) Nivel de significancia 05.0 Probabilidad del 0.9595% de confianza

5) Estadstica 0z

6) Datos aos8.71__

x , aos9.8

7) Estandarizacin 02.2

100

9.8

708.71

0

z

Valor crtico 96.1

z

8) Decisin Rechazar y aceptar

dado que

zz 0

Conclusin La vida media hoy da es mayora 70 aos.


29/39



645.1z


rechazo de Ho

02.20 z

Prueba de hiptesis para la media poblacional con no conocida

Los supuestos para poder realizar la prueba de hiptesis son:

El tamao de muestra es pequeo. La media y varianza 2 son desconocidas.

Tenemos una muestra aleatoria de tamao nde una poblacin normal de la cual se

determinan__

x y 2s .

El estadstico de prueba es

n

s

xt

0

0

, es decir, una distribucin t de Studentcon

n-1 grados de libertad.

A continuacin se analizan los tres casos presentados al inicio de este apartado, aunqueno en el mismo orden.

1) El primer juego de hiptesis es

01

00

:

:

H

H


Se debe rechazar0

H si2

0 tt o

20

tt


H si2

02

ttt

2

t2

t


rechazo de Ho

0

2

2

1


30/39



2) El segundo juego de hiptesis es:

01

00

:

:

H

H


Se debe rechazar0

H si1,0

n

tt


H si1,0

n

tt

t


rechazo de Ho

1

3) El tercer juego de hiptesis es:

01

00

:

:

H

H


Se debe rechazar0

H si1,0

n

tt


H si 1,0 ntt

t


rechazo de Ho

1

Ejemplo (12)

El instituto elctrico Edison publica cifras del nmero anual de kilowatt-hora (kWh) quegastan varios aparatos electrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta unpromedio de 46 kWh al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares indica que lasaspiradoras gastan un promedio de 42 kWh al ao con una desviacin estndar de 11.9kWh. La informacin de la muestra sugiere, a un nivel de significancia de 0.05, que las

aspiradoras gastan en promedio menos de 46 kWh anualmente? Suponga que el gastode kWh es normal.

Solucin:Siguiendo los pasos descritos anteriormente:

1) Parmetro media poblacional ()

2) Hiptesis nula kWhH 46:0

3) Hiptesis alternativa kWhH 46:1


31/39



4) Nivel de significancia 05.0

5) Estadstica0

t

6) Datos kWhx 42__

, kWhs 9.11

7) Estandarizacin 16.112

9.11

4642

0

t ,

con 1grados de libertad

Valor crtico 796.111,05.0 t

8) Decisin No rechazar pues 1,0 ntt

Conclusin La informacin contenida en lamuestra no permite afirmar que elgasto promedio de kWh es menor que46.

2.3.3 Relacin entre una prueba de hiptesis de la media y un intervalode confianza

La prueba de hiptesis para la inferencia estadstica est estrechamente relacionada conel enfoque de intervalo de confianza porque la estimacin del intervalo de confianzaincluye el clculo de lmites para los que es razonable que el parmetro en cuestin se

encuentre dentro de ellos.

Para el caso de una media poblacional con conocida, la prueba de hiptesis y laestimacin del intervalo de confianza se basan en la variable aleatoria estandarizada

n

x

z

La prueba de00

: H contra01

: H a un nivel de confianza de %1100

equivale a calcular un intervalo de confianza de %1100 sobre y rechazar si no est dentro del intervalo calculado y de no rechazarla si est dentro del intervalo deconfianza.

Con un valor observado , no rechazar con una confianza %1100 implica:

n

zx

n

zx

z

n

x

z

zzz

2

__

02

__

2

0

__

2

20

2


32/39



As, regresando al ejemplo (10), acerca de las muertes registradas en Mxico, el intervalode confianza del 95% se determina haciendo:

5444.730556.70

100

9.896.18.71

100

9.896.18.71

0

0

Como no est en el intervalo, se rechaza . Con esto, se llega a la conclusin deque la vida media hoy da es diferente que 70 aos.

2.3.4. Prueba de hiptesis de la proporcin

Las pruebas de hiptesis para la proporcin, asumen una de las formas:

01

00

:

:

ppHppH

01

00

:

:

ppH

ppH

01

00

:

:

ppH

ppH

Las dos primeras son denominadas pruebas de una colay la tercera prueba de dos

colas. En este caso, el estadstico a utilizar es: n

ppppz

00

00

1

Ejemplo (13)Un informe reciente de la industria de seguros indic que el 40% de las personasimplicadas en accidentes de trnsito menores haba tenido por lo menos un accidentelos pasados cinco aos. Un grupo de asesora decidi investigar dicha afirmacin, puescrea que la informacin era muy grande. Una muestra de 200 accidentes de este aomostr que 74 personas tambin estuvieron involucradas los pasados cinco aos,utilizando un nivel de confianza del 99%.

Solucin:Siguiendo los pasos descritos para la prueba de hiptesis:

1) Parmetro Proporcin poblacional (p)

2) Hiptesis nula 4.0:0

pH

3) Hiptesis alternativa 4.0:1

pH


5) Estadstica de prueba0

z


33/39



6) Datos 37.0p , 63.0q , 200n

7) Estandarizacin

87.0

200

40.0140.0

40.037.00

z

Valor crtico 33.2z

8) Decisin No rechazar0

H porque

zz 0

Conclusin La informacin contenida en la muestrano permite afirmar que la proporcin esmenor que 0.4

Ejemplo (14)

Se considera que una medicina comnmente prescrita para aliviar la tensin nerviosa esefectiva en el 60% de los casos. Resultados experimentales con un nuevo medicamentomuestran que 70 de 100 adultos que padecen de tensin nerviosa, tuvieron alivio altomar el medicamento. La evidencia es suficiente para concluir que el nuevomedicamento es ms eficaz que la que prescrita comnmente? Utilizar un nivel deconfianza de 95%.

Solucin:Siguiendo los pasos descritos para la prueba de hiptesis:

1) Parmetro Proporcin poblacional (p)

2) Hiptesis nula 6.0:0 pH

3) Hiptesis alternativa 6.0:1

pH


5) Estadstica de prueba0

z

6) Datos 7.0p , 3.0q , 100n

7) Estandarizacin

04.2

100

60.0160.0

6.07.00

z

Valor crtico 65.1z 8) Decisin Rechazar

0H porque

zz 0 y

aceptar1

H

Conclusin Se puede afirmar que la nuevamedicina es ms eficaz a la que seprescribe actualmente.


34/39



2.3.5. Relacin entre una prueba de hiptesis de la proporcin y unintervalo de confianza

Igual que la prueba de hiptesis de la media se relaciona con su intervalo de confianza, laprueba de hiptesis de la proporcin tambin se relaciona con su respectivo intervalo deconfianza.

En el caso de una proporcin poblacional p la estructura de la prueba de hiptesis y de la

estimacin del intervalo, se basan en la variable aleatoria n

pp

ppz

00

0

__

01

, mientras que

la prueba de 00 :

ppH

contra 01:

ppH

a un nivel de confianza %1100

esequivalente a calcular un intervalo de confianza de %1100 sobre p .

Por tanto, se rechaza0

H si0

p no est dentro del intervalo de confianza, y si0

p est

dentro del intervalo de confianza, la hiptesis no se rechaza.

Se sabe que con un valor observado__

p , no rechazar0

H con una confianza %1100

implica:

20

2

zzz

Es decir

|

1

200

0

__

2

z

n

pp

ppz

De donde se obtiene:

n

ppzpp

n

ppzp

00

2

__

000

2

__ 11

As, retomando el ejemplo (14) tenemos que el intervalo de confianza del 95% sedesarrolla de la siguiente manera:


35/39



789.06101.0

089.07.0089.07.0

100

7.017.096.17.0

100

7.017.096.17.0

0

0

0

p

p

p

Como 6.00 p cae fuera del intervalo de confianza, entonces rechazamos

0H con lo cual

llegamos a la misma conclusin acerca de la mayor eficacia del nuevo medicamento.

Actividad 3. Pruebas de hiptesis

Hemos aprendido cmo realizar pruebas de hiptesis, cmo determinar un intervalo deconfianza y cul es la relacin entre estos.

El objetivo de la actividad es que con la informacin proporcionada realices las pruebas dehiptesis, para que decidas sobre la validez de las aseveraciones planteadas en losdiversos problemas.

Para completar la informacin presentada aqu y reforzar lo aprendido, realiza lo siguiente:

1. Revisael archivoActividad 3 Prueba de hiptesis.Ah encontrars ejercicios sobrepruebas de hiptesis e intervalos de confianza y determina la relacin existente entreambos.

2. Consultaa tu Facilitador(a) y a tus compaeros(as) en caso de tener alguna duda.3. Integraen un archivo las soluciones a los ejercicios una vez que ests seguro de que

no hay errores y sbelo a la plataforma.4. Despus de desarrollar los puntos que se solicitan, envatu documento a la seccin de

tareas, con la nomenclatura EISP_U2_A3_XXYZ, y espera la retroalimentacin delFacilitador(a).



36/39



Actividad 4. Problemario

El objetivo de esta actividad es que pongas a prueba los conocimientos adquiridos duranteel curso resolviendo ejercicios asociados con cada uno de los temas y subtemas.

Para completar esta actividad realiza lo siguiente:

1. Revisael archivoActividad 4. Problemario.Ah encontrars ejercicios sobre pruebasde hiptesis para la media y la proporcin, as como para los intervalos de confianzacorrespondientes.

2. Resuelve cuidadosamente cada uno de los problemas segn vayas avanzando en elcurso.

3. Consultaa tu Facilitador(a) y a tus compaeros(as) en caso de tener alguna duda.

4. Integraen un archivo las soluciones a los ejercicios una vez que ests seguro de queno hay errores y sbelo a la plataforma.

5. Despus de desarrollar los puntos que se solicitan, envatu documento a la seccin detareas, con la nomenclatura EISP_U2_A4_XXYZ, y espera la retroalimentacin delFacilitador(a).


Autoevaluacin

Con la finalidad de realizar un ejercicio de repaso acerca de los conceptos msimportantes estudiados en la unidad, resuelve el ejercicio de autoevaluacin que seencuentra en la pestaa de la unidad.


37/39



Evidencia de aprendizaje. Resolucin de ejercicios sobre pruebas dehiptesis e intervalos de confianza

La evidencia de aprendizaje tiene como propsito que integres todas tus actividades comoportafolio.

1. Revisael archivo EA. Resolucin de ejercicios sobre pruebas de hiptesis e intervalosde confianza.Ah encontrars ejercicios sobre pruebas de hiptesis e intervalos deconfianza.

2. Resuelvecuidadosamente cada uno de los problemas.3. Consultaa tu Facilitador(a) y a tus compaeros(as) en caso de tener alguna duda.4. Escribelas soluciones a los ejercicios, en un archivo de Word, una vez que ests

seguro de que no hay errores.5. Enva tu documento a la seccin de tareas, con la nomenclatura EISP_U2_EA_XXYZ,

y espera la retroalimentacin del Facilitador(a).


Actividades de Autorreflexin

Adems de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses alforo Preguntas de Autorreflexiny consulteslas preguntas que tu Facilitador(a) presente.

A partir de ellas, debes:

1. Elaborartu autorreflexin en un archivo de texto llamado EISP_U2_ATR_XXYZ.2. Enviartu archivo mediante la herramientaAutorreflexin.


38/39



Cierre de la unidad

En la primera parte de la unidad hemos visto cmo se construye la metodologa para hacerinferencia sobre una poblacin. Vimos cmo se genera una distribucin muestral demedias, estudiamos la manera de determinar los estadsticos que la caracterizan y laforma en que estos se relacionan con sus parmetros correspondientes. Tambinconocimos una nueva distribucin de probabilidad para muestras pequeas, el significadode estimador puntual y por intervalo, as como la metodologa para encontrarlos.

En la segunda parte usamos los contenidos previos para el clculo de los estimadorespuntual y por intervalo de la proporcin.

Finalmente, conocimos la metodologa para dar certeza a las hiptesis de investigacin yla usamos al realizar pruebas de hiptesis para la media y la proporcin.

Con todo lo anterior, obtuvimos los conocimientos y herramientas necesarias que nospermitirn comparar dos muestras poblacionales independientes para interpretarinformacin que oriente en la toma de decisiones a travs de tcnicas de estadsticainferencial.


39/39



Fuentes de consulta

Hoel, Paul G. (1991). Estadstica Elemental (4 edicin). Mxico: CECSA.

Kazmier, L. Daz Mata, A. (2006). Estadstica aplicada a administracin y a laeconoma (4 edicin). Espaa: McGraw Hill.

Lind, Douglas A.; Mason, Robert D.; Marchal, William G. (2001). Estadstica paraadministracin y economa (3 edicin).Mxico: Mc. Graw Hill.

Lind, Douglas A.; Marchal, William G.; Whaten, Samuel A. (2008). Estadsticaaplicada a los negocios y la economa (13 edicin).Mxico: Mc. Graw Hill.

Mayes, Anne C., Mayes,, David G. (1980). Fundamentos de estadstica paraeconoma (1 edicin).Mxico: Limusa.

Naiman, A., Rosenfeld, R., Zirkel, G. (1987). Introduccin a la Estadstica (3edicin). Mxico: McGraw Hill.

Nieves Hurtado, A., Domnguez Snchez, F. C. (2010). Probabilidad y Estadsticapara ingeniera. Mxico: Mc. Graw Hill.

Pagano, R. R. (2011). Estadstica para las ciencias del comportamiento (9edicin). Mxico: Cengage Learning.

Ross, Sh. M. (2008). Introduccin a la estadstica. Espaa: Editorial Revert.

Fuentes cibergrficas

El problema de la estimacin de la proporcin de la poblacin. Recuperado el 28 defebrero de 2012, de:

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/testimaciondelaproporcion.htm Ruiz Martnez, Marcel. Pruebas de hiptesis. Recuperado el 28 de febrero de 2012

. Test de Hiptesis.Recuperado el 28 de febrero de 2012, de:

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T05.pdf Alvarez Vinajeras, Giselle. Prueba de Hiptesis. Recuperado el 28 de febrero de

2012, de:http://www.cesma.usb.ve/~giselle/FC1623/guiaestiicapituloIV.prn.pdf
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/testimaciondelaproporcion.htmhttp://www.terra.es/personal2/jpb00000/testimaciondelaproporcion.htmhttp://marcelrzm.comxa.com/EstadisticaInf/33PruebaParaLaMedia.pdfhttp://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T05.pdfhttp://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T05.pdfhttp://www.cesma.usb.ve/~giselle/FC1623/guiaestiicapituloIV.prn.pdfhttp://www.cesma.usb.ve/~giselle/FC1623/guiaestiicapituloIV.prn.pdfhttp://www.cesma.usb.ve/~giselle/FC1623/guiaestiicapituloIV.prn.pdfhttp://www.cesma.usb.ve/~giselle/FC1623/guiaestiicapituloIV.prn.pdfhttp://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T05.pdfhttp://marcelrzm.comxa.com/EstadisticaInf/33PruebaParaLaMedia.pdfhttp://www.terra.es/personal2/jpb00000/testimaciondelaproporcion.htm

112725919 Unidad 2 Estadistica Inferencial Para Una Poblacion Vfff

Documents

Transcript of 112725919 Unidad 2 Estadistica Inferencial Para Una Poblacion Vfff