Funciones RacionalesMtra. Teresa Carrillo R.

Conceptos preliminares

Un numero racional es aquel que puede representarse por el cociente de dos números enteros:

Los números irracionales son los que no se pueden representar por el cociente de dos enteros, por ejemplo, las raíces que no son exactas y las constantes y e.

Una función racional está formada por el cociente de dos funciones polinomiales, siempre y cuando

el denominador no valga cero sea irreducible (no pueda factorizarse)

Ejemplos

Dominio y rango

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores que puede tomar x, que no den como resultado una división entre cero.

Para eso tenemos que resolver algebraicamente que el denominador sea diferente de cero.

Como el rango son los valores que puede tomar la variable dependiente (y), es necesario graficarla.

Ejemplos

Tarea

Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones. Grafica con Geogebra

Asíntotas de funciones racionales

Para graficar una función racional se toman en cuenta sólo los valores de su dominio (que no generan división entre cero).

Cuando el denominador de una función racional se hace muy pequeño, su valor tiende a infinito.

Asimismo, si el denominador se hace muy grande, el valor de la función se hace muy pequeño (tiende a cero).

Una asíntota es una recta imaginaria cuya distancia con la curva tiende a cero y se aleja indefinidamente del origen.

La asíntota se define como la tangente a la curva en el infinito.

Asíntota vertical

Corresponden a los valores de x en los que el denominador se hace cero.

Para encontrarlas igualamos el denominador a cero y obtenemos los valores de sus ceros o raíces.

Ejemplo :

Más ejemplos

Asíntota horizontal

La asíntota horizontal es la recta y = a, se refiere al valor de y, que no toca la función.

Para obtenerla, debemos considerar el grado de los polinomios

Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0, numerador y

Qm(x) = bmxm + bm-1xm-1 +…+ b1x + b0, denominador Si m > n, la asíntota es y = 0 Si m = n, la asíntota es y = an/bm

Una función racional puede tener como máximo UNA asíntota horizontal

Ejemplos

Asíntota oblicua

Si en la función racional el grado de Pn(x) es una unidad más grande que Qm(x), la función presenta una asíntota oblicua.

Si n = m + 1, tenemos una asíntota oblicua la cual está dada por el cociente (la división)

y = Pn(x)/Qm(x)

sin el residuo

En cualquier otro caso la función racional no tendrá una asíntota horizontal.

El principal uso de las asíntota es esbozar las gráficas de las funciones racionales.

Ejemplos

Tarea