LO QUE...Potencias de números racionales 18 7. Operaciones combinadas con números racionales 19...

01 NÚMEROS RACIONALES 1. Fracciones y números racionales 12 2. Fracciones equivalentes 13 3. Reducción de fracciones a común denominador.

Ordenación y comparación 14 4. Suma y resta de números racionales 15 5. Multiplicación y división de números racionales 16 6. Potencias de números racionales 18 7. Operaciones combinadas con números racionales 19 8. Expresiones decimales 20ACTIVIDADES 22

02 NÚMEROS REALES 1. Números reales. Representación 30 2. Intervalos y semirrectas 32 3. Aproximación y errores.

Notación científica 34 4. Radicales 36 5. Operaciones con radicales 38ACTIVIDADES 42

03 SUCESIONES 1. Sucesiones 50 2. Progresiones aritméticas 52 3. Suma de los términos de

una progresión aritmética 53 4. Progresiones geométricas 54 5. Producto de los términos de

una progresión geométrica 56 6. Suma de los términos de una

progresión geométrica 58 7. Aplicaciones 60ACTIVIDADES 62

LO QUE VAMOS A APRENDER

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS

PARA QUE LAS COSAS OCURRAN

06 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 1. Funciones 110 2. Dominio y recorrido.

Puntos de corte con los ejes 112 3. Signo de una función 113 4. Continuidad, periodicidad

y simetría de una función 114 5. Crecimiento y decrecimiento

de una función. Extremos 116

ACTIVIDADES 118

07 FUNCIONES ELEMENTALES 1. Funciones lineales 126 2. Funciones afines 128 3. Funciones cuadráticas 130 4. Funciones de proporcionalidad inversa 132ACTIVIDADES 134

08 FIGURAS PLANAS 1. Lugar geométrico 142 2. Elementos de un polígono 143 3. Clasificación de los polígonos.

Ejes de simetría 144 4. Área de los polígonos 145 5. Semejanza de polígonos 147 6. Teorema de Tales. Escalas 148 7. Teorema de Pitágoras 149 8. Circunferencia, círculo y figuras circulares 150 9. Área del círculo y de las figuras circulares 151ACTIVIDADES 152

04 POLINOMIOS 1. Polinomios. Valor numérico 70 2. Suma y resta de polinomios 72 3. Multiplicación de polinomios.

Factor común 73 4. División de polinomios 74 5. Regla de Ruffini. Teorema del resto y del factor 75 6. Identidades notables. Potencia de un polinomio 76 7. Factorización de polinomios 78ACTIVIDADES 80

05 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Ecuaciones. Soluciones y ecuaciones equivalentes 88 2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 89 3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 91 4. Ecuaciones bicuadradas 94 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 95 6. Sistemas de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas 97 7. Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales

con dos incógnitas 98 8. Resolución de problemas mediante

sistemas de ecuaciones 101ACTIVIDADES 102

11 CUERPOS DE REVOLUCIÓN 1. Cuerpos de revolución 192 2. Cilindro 193 3. Cono 195 4. Tronco de cono 196 5. Esfera 198 6. El globo terráqueo 200ACTIVIDADES 202

12 ESTADÍSTICA 1. Estadística. Etapas del estudio estadístico 210 2. Población y muestra 211 3. Frecuencias y tablas estadísticas 213 4. Gráficos estadísticos 215 5. Parámetros de centralización 218 6. Parámetros de dispersión 220 7. Diagrama de caja y bigotes 222ACTIVIDADES 224

13 PROBABILIAD 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral 232 2. Sucesos. Tipos de sucesos 233 3. Operaciones con sucesos 235 4. Frecuencia de un suceso 236 5. Probabilidad. Propiedades 237 6. Regla de Laplace 239 7. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol 240 8. Probabilidad mediante factoriales 241ACTIVIDADES 242

09 MOVIMIENTOS EN EL PLANO 1. Movimientos en el plano 160 2. Traslaciones 161 3. Simetrías 163 4. Giros 166 5. Composición de movimientos 167ACTIVIDADES 168

10 CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Poliedros 176 2. Prismas 178 3. Pirámides 181 4. Tronco de pirámide 183ACTIVIDADES 184

06FU

NCION

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110 | LA FELICIDAD SE ENCUENTRA EN EL CENTRO EXACTO DE DOS EXTREMOS

Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.

La variable independiente, x, debe su nombre a que puede tomar diferentes valores, si bien solo entre aquellos que tengan sentido.

Por su parte, la variable dependiente, y, se denomina así porque su valor de-pende del valor que tome x.

Para saber si una gráfica es o no una función, hay que fijarse en si hay algún valor de la variable x al que le correspondan dos o más imágenes distintas.

Actividades resueltas

1 Indica si las siguientes gráficas son funciones.

a. b.

XO

Y

y

x XO

Y

y1

y2

x

a. A cada valor de x le corresponde un único valor de y. Por lo tanto, es una función.

b. Hay valores de x a los que les corresponden dos valores de y : y1 e y2. Por lo tanto, esta gráfica no representa una función.

2 ¿Es una función la relación que hace corresponder a cada número entero su cuadrado?

Fíjate en la relación que asocia a cada número entero su cuadrado:

Números enteros –1 0 2 x

Cuadrado del número 1 0 4 y = x 2

Observamos que, para cada número entero, x, hay un único número, y, pues cualquier número entero tiene un único cuadrado. Luego, la relación que asocia a cada número entero con su cuadrado es, en efecto, una función.

3 Sea la función y = x 2, en la que x es el lado de un cuadrado e y el área del cuadrado. ¿Puede la variable independiente tomar cualquier valor?

La variable independiente, x, puede tomar valores positivos, de manera que se obten-drá un área positiva para cada valor de x. Sin embargo, no tiene sentido dar valores negativos a la variable independiente para calcular el área de un cuadrado, ya que no existen dimensiones negativas.

1 FUNCIONES

Actividad resuelta

¿Es una función la relación que hace corresponder a cada número natural su raíz cuadrada?

La relación que asocia a cada número natural su raíz cuadrada es:

Números naturales

Raíz cuadrada

42

–2

x y = ± x

En este caso no se trata de una función, pues los números naturales tienen aso-ciadas dos raíces cuadradas, la positiva y la negativa. Así, por ejemplo, al nú-mero x = 4 le corresponde y = 4 = = ±2, es decir, le corresponden dos va-lores de y.

06 | FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS | 111

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

Una función se puede expresar de cuatro formas diferentes:

Con un enunciado Con una expresión algebraica Con una tabla de valores

La función se indica mediante frases tomadas del lenguaje cotidiano:

«Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €».

La función se indica a través de una expresión algebraica que asocia a cada valor de x un único valor de y. Se representa mediante y = f (x), que se lee «y es función de x».

La expresión algebraica del enunciado anterior es y = 20x.

La función viene dada mediante una tabla de valores, es decir, a través de pares de valores de las variables x e y : (x , y ).

La tabla de valores del enunciado anterior es:

x = n.º de entradas 0 1 2 3

y = precio (€) 0 20 40 60

Con una gráfica

La función viene representada en una gráfica mediante los pares de valores (x , y ) dispuestos sobre los ejes de coordenadas cartesianas:

En el eje de ordenadas o eje Y se representan los valores de la variable dependiente u ordenada, y o f (x).

En el eje de abscisas o eje X se representan los valores de la variable independiente o abscisa, x.

X

Y

20

40

60

80

1 2 3 4N.º de entradas

Precio (€)

Geoplano cuadradoEntre tu compañero y tú, construid un geoplano cuadrado. Para ello necesitaréis una plantilla de puntos, que pegaréis a una lámina de corcho del tamaño adecuado, chinchetas y gomas de colores. Observad que las dos rectas perpendiculares representan los ejes coordenados, que se cortan en un punto, el origen del sistema de coordenadas, O (0 , 0), y que dividen el plano en cuatro cuadrantes.

Pinchad una chincheta sobre cada punto de la plantilla. Cada una de ellas representará un punto del plano cartesiano.

a. Tu compañero te dirá cinco puntos del plano (x , y ), que tendrás que unir con una sola goma. ¿Es una función la gráfica representada?

b. Representa la siguiente tabla de valores, uniendo los puntos con una goma, y luego encuentra una expresión algebraica para esta función.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –1 0 1 2 3 4 5

c. Utilizando seis puntos, representa una gráfica que no se corresponda con una función.


2.1 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).

El recorrido o imagen de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).

El dominio y el recorrido de una función se expresan como un intervalo o

como la unión de intervalos.

2.2 PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADASLos puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección

de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.

Corte con el eje X Corte con el eje Y

Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero. Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación:

f (x) = 0 ⇒ Puntos de corte con el eje X: (x , 0)

Una función puede tener más de un punto de corte con el eje X.

El punto de corte de una función, f (x), con el eje Y se caracteriza por tener su variable independiente, x, igual a cero. Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor cero, x = 0, en la expresión algebraica de la función y se opera:

x = 0 ⇒ y = f (0) → Punto de corte con el eje Y : (0 , y)

Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y, pues, de lo contrario, al valor x = 0 le corresponderían dos valores de y, con lo que, consecuentemente, no sería una función.

Actividad resuelta

Halla los puntos de corte de la función y = x 2 + x – 6 con los ejes de coordenadas.

• Con el eje X, igualamos la variable y a cero: y = 0 ⇒ x 2 + x – 6 = 0, y resolvemos la ecuación:

x = ( ) ò

xx2 1

1 1 4 1 621 5 2

3·– ± – · · – – ±

–2

1

2=

==*

Los puntos de corte con el eje X son (2 , 0) y (–3 , 0).

• Con el eje Y, igualamos la variable x a cero: x = 0 ⇒ y = 02 + 0 – 6 = – 6

El punto de corte con el eje Y es, en consecuencia, (0 , – 6).

2 DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Actividad resuelta

Determina el dominio y el recorrido de la siguiente función:

X

Y

1�1�2�3

123

�2 2 3 4 5 6 7

Para determinar el dominio, nos fijamos en el eje X : la función toma valores desde x = –2 hasta x = 3 y desde x = 4 hasta x = 5.

Por tanto, el dominio es:

D (f) = [–2 , 3) ∪ [4 , 5]

Para determinar el recorrido, nos fija-mos en el eje Y : la función toma valores desde y = –3 hasta y = 3.

Luego, el recorrido es R (f) = [–3 , 3).

06 | FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS| 113

Estudiar el signo de una función consiste en ver en qué intervalos está su grá-

fica por encima o por debajo del eje X, es decir, en comprobar para qué valores

de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es positiva, negativa

o nula.

Según su signo, una función puede ser:

Positiva Negativa Nula

Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.

X

Y

1

1234

�2�4 2 3 4 5

Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.

XY

1�2�3�4

1

�2�4 2 3 4 5

Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.

X

Y

1�2

123

�2�4 2 3 4 5

Actividad resuelta

Estudia el signo de las siguientes funciones:

a.

X

Y

1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5 6 7

b.

X

Y

1�2�3

123

�4�6 2 3 4

5

6 7

a. Como la función es continua, los intervalos se hallan mediante los puntos de corte con el eje X.

La zona azul está por encima del eje X ; por tanto, se corres-ponde con los intervalos donde la función es positiva. De este modo, es positiva en [– 4 , –2) ∪ (1 , 2]. La zona roja, por el contrario, se encuentra por debajo del eje X ; en consecuencia, se corresponde con el intervalo donde la función es negativa. Luego, es negativa en (–2 , 1). Los puntos de corte con el eje X determinan los puntos donde la función es nula. Así pues, es nula en x = –2 y en x = 1.

X

Y

1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5

positiva

negativa6 7

b. Estudiamos el signo de la función, fijándonos en el eje X.

La zona azul está por encima del eje X y determina el intervalo donde la función es positiva. Así, es positiva en [–2 , 3). Por contra, la zona roja está por debajo del eje X ; luego, se corres-ponde con los intervalos donde la función es negativa. Así pues, es negativa en [–5 , –2) ∪ (3 , 5]. El punto de corte de la función con el eje X determina el único punto donde la función es nula. Por consiguiente, es nula en x = 3.

X

Y

1�2�3

123

�4�6 2 3 4

5

6 7

positiva

negativa

3 SIGNO DE UNA FUNCIÓN

Una función puede tener simultáneamente intervalos donde sea positiva, negativa y nula.


A continuación, estudiaremos tres nuevas características de las funciones: la

continuidad, la periodicidad y la simetría de una función.

4.1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.

Una función es discontinua si la gráfica presenta alguna interrupción o salto.

Los puntos donde la gráfica se interrumpe se llaman puntos de discontinuidad,

y se expresan con el valor de su abscisa.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

Existen cuatro tipos de discontinuidad en un punto x = a:

Discontinuidad evitable

No existe función en ese punto Punto desplazado

La función no está definida en el punto de discontinuidad x = a.

X

Y

a

La función solo tiene un salto en el punto de discontinuidad x = a.

X

Y

a

Discontinuidad inevitable

Salto finito Salto infinito

La función presenta un salto de longitud finita en el punto de discontinuidad x = a.

X

Y

a

La función presenta un salto de longitud infinita en el punto de discontinuidad x = a.

X

Y

a

4 CONTINUIDAD, PERIODICIDAD Y SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN

Actividad resuelta

Halla los puntos de discontinuidad de la siguiente función e indica el tipo de discontinuidad que presentan:

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4�6�8 2 3 4 5 6 7 8

Presenta cuatro puntos de discontinuidad:

• En x = – 6, la función presenta una discontinuidad evitable, pues no está definida en ese valor.

• En x = –3 y en x = 0, tiene una discon-tinuidad inevitable de tipo salto infinito.

• En x = 4, la función presenta una dis-continuidad evitable, ya que el punto está desplazado.


4.2 PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo de la variable x.

Se llama período a la longitud del intervalo y se representa por T. Es decir,

se cumple que f (x) = f (x + T) = f (x + 2T) = … = f (x + n · T), donde n es un número

entero.

Actividad resuelta

Un guardia de seguridad debe cuidar de tres almacenes. La gráfica del margen muestra el recorrido que hace el guardia durante un día de trabajo.

a. ¿Es la función periódica? En caso afirmativo, di cuánto vale el período.

b. ¿A qué distancia respecto del origen estará a las dos horas y media?

a. Es una función periódica, de período T = 40 min.

b. f (dos horas y media) = f (150) = f (30 + 3 · 40) = f (30) = 50 m

4.3 SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓNUna función puede tener simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al

origen de coordenadas o no tener simetría.

Simetría respecto al eje de ordenadas Simetría respecto al origen de coordenadas

Una función, f (x), es simétrica respecto al eje de ordenadas o tiene simetría par si, para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes coinciden:

f (x) = f (–x)

Una función, f (x), es simétrica respecto al origen de coordenadas o tiene simetría impar si, para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes son opuestas:

f (–x) = –f (x)

X

Y

1

12345

�2�4 2 3 4 5

(2 , 4)(–2 , 4)

X

Y

1

1

�2

23

�2�4 2 3 4 5(–1 , –1)

(1 , 1)

Actividad resuelta

Estudia si las siguientes funciones son simétricas:

a. f (x) = x 2 + 1 b. f (x) = x 3 + x

a. Se calcula f (–x):

f (–x) = (–x)2 + 1 = x 2 + 1 = f (x)

Por tanto, la función tiene simetría par.

b. Se determina f (–x):

f (–x) = (–x)3 + (–x) = –(x 3 + x) = –f (x)

En consecuencia, la función tiene simetría impar.

x – T x x + T X

Y

102030405060

10 20 30 40 50 60 70

Distancia a los edificios (m)

Tiempo (min)


5.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Creciente Decreciente Constante

Una función es creciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, se incrementa el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≤ f (b):

XO

Y

f (a)

f (b)

a b

Una función es decreciente en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la función, es decir, si a < b, entonces f (a) ≥ f (b):

XO

Y

f (b)

f (a)

a b

Una función es constante en un intervalo de su dominio, (a , b), si, al aumentar el valor de la variable independiente, x, la función no crece ni decrece, es decir, si, para cualquier valor, x, entre a y b, se cumple que f (a) = f(x) = f (b):

XO

Y

f (a) = f (b)

a b

Actividad resuelta

Estudia el crecimiento de la gráfica del margen, que muestra el número de personas que acuden a un centro comercial durante un día.

El número de visitantes al centro comercial crece de 10 h a 13 h y de 16 h a 20 h, es decir, en (10 , 13) ∪ (16 , 20), mientras que el número de visitantes decrece de 13 h a 14 h, de 15 h a 16 h y de 20 h a 22 h, esto es, en (13 , 14) ∪ (15 , 16) ∪ (20 , 22). Por último, el número de visitantes es constante entre las 14 h y las 15 h, o sea, en el intervalo (14 , 15).

Observa que el crecimiento y el decrecimiento de una función se representan con intervalos abiertos, ya que en los puntos extremos de los intervalos la fun-ción no crece ni decrece.

5.2 EXTREMOS DE UNA FUNCIÓNLos extremos de una función son los máximos y mínimos de la misma. Estos pueden ser relativos o absolutos.

Máximo y mínimo relativos Máximo y mínimo absolutos

• Una función tiene un máximo relativo en el punto x = a al pasar, en dicho punto, de ser creciente a decreciente. El valor de la función en ese punto, f (a), es mayor que en los puntos de su entorno.

• Una función tiene un mínimo relativo en el punto x = a al pasar, en ese punto, de ser decreciente a creciente. El valor de la función en ese punto, f (a), es menor que en los puntos de su entorno.

• El máximo absoluto de una función es el máximo relativo que alcanza el mayor valor de la función.

• El mínimo absoluto de una función es el mínimo relativo que alcanza el menor valor de la función.

5 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. EXTREMOS

200

400

600

800N.º de visitantes

100

300

500

700

10 12 14 16 18 20 Hora


Actividad resuelta

Halla los extremos relativos y absolutos de la siguiente función:

X

Y

1�2�3

�5�4

1234

�2�4�6 2 3 4 5 6 7

La función tiene un máximo relativo en el punto (2 , 3), pero no tiene máximo absoluto, pues el mayor valor de la función no se alcanza en un máximo relativo.

La función tiene dos mínimos relativos en los puntos (–3 , –5) y (4 , 1), respectivamente. Además, el punto (–3 , –5) es un mínimo absoluto, dado que en él se alcanza el valor más bajo de la función.

Interpretar y representar gráficamente los datos de una función

¿Es posible plasmar gráficamente de manera única una función continua representada mediante rectas que tenga las siguientes características?

1 Su dominio es [– 4 , 6], su recorrido es [–3 , 3], empieza en el punto (– 4 , –2) y acaba en el punto (6 , 2).

2 Corta los ejes en los puntos (–3 , 0), (1 , 0), (5 , 0) y (0 , 2).

3 Tiene un único máximo relativo en (–1 , 3) y un único mínimo relativo en (3 , –3).

4 Es creciente en (–4 , –1) y en (3 , 6) y decreciente en (–1 , 3).

Paso a paso, representemos gráficamente cada uno de los datos del enunciado:

1 El dominio es [– 4 , 6]; luego, la variable x toma valores entre – 4 y 6, y el recorrido es [–3 , 3]. Por tanto, la variable y toma valores entre –3 y 3. Además, como la función empieza en el punto (–4 , –2) y acaba en el punto (6 , 2), su representación gráfica estará en la siguiente zona del plano:

X

Y

1�1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5 6

Puntoinicial

Puntofinal

2 Se dibujan los cuatro puntos de corte con los ejes:

X

Y

1�1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5 6

3 Se representan el máximo y el mínimo de la función:

X

Y

1�1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5 6

4 A continuación, se traza la función, teniendo en cuenta que es continua y está representada mediante rectas y que es creciente en (– 4 , –1) y en (3 , 6) y decreciente en (–1 , 3).

Sin embargo, no es única, puesto que las siguientes funciones cum-plen también todas las condiciones anteriores, aunque tienen grá-ficas distintas:

X

Y

1�1�2�3

123

�2�4�6 2 3 4 5 6

Máximo

Mínimo


ACTIVIDADES

06 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

1Funciones

1 Indica si estas gráficas son funciones:

a. b.

XO

Y

XO

Y

2 Halla la imagen de los valores x = –2, x = 4 y x = 32 para las

siguientes funciones:

a. f (x) = 3x – 5 b. f (x) = x 2+ c. f (x) = xx

23–

+

3 Construye una tabla de valores para las siguientes funciones y represéntalas:

a. y = –5x + 4 c. y = x31–

b. y = 2x · (x + 3) d. y = x 2 – 1

4 Dada la función y = x 2 + 4, ¿a qué valor de x le corresponde el valor y = 3?

5 Encuentra la expresión algebraica que se corresponde con la siguiente tabla de valores y haz su representación gráfica:

x 1 2 3 4 5

y 4 5 6 7 8

6 ¿Es una función la relación que asocia a cada número con su triple menos 2? En caso afirmativo, escribe su expresión alge-braica, construye una tabla de valores y elabora la representa-ción gráfica.

7 Representa en un mismo eje de coordenadas las funciones del perímetro y el área de un cuadrado de lado x, así como las funciones del área y el volumen de un cubo de arista x, para valores comprendidos entre [0 , 3].

a. ¿Cuál de esas funciones pasa por el punto ,21 2c m?

b. ¿En qué puntos se cortan las funciones del área de un cua-drado y el volumen de un cubo?

c. ¿Existe algún punto en el que se corten todas las funciones? ¿Podrían coincidir de nuevo todas ellas en otro punto para valores de x mayores que 3?

d. Al incrementarse los valores de la variable independiente, ¿dis-minuyen o aumentan los valores de la variable dependiente de las distintas funciones?


13 Determina el dominio de las siguientes funciones:

a. f (x) = x 2 + 1

b. f (x) = x5

c. f (x) = x 3–

14 Determina el dominio y el recorrido de las funciones que relacionan:

a. Un número con su valor absoluto.

b. Un número con su cubo.

c. Un número real con su inverso.

d. Un número con su raíz cúbica.

15 ¿Es (3 , 0) un punto de corte de la función y = 2x – 6 con el eje Y ? ¿Y con el eje X ?

16 Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a. y = 3x – 12 d. y = x4

b. y = 2x 2 – 5x – 3 e. y = xx

5 1–+

c. y = x 2 + 1 f. y = x 2 – 3x

17 Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

18 Dada la función y = 2x – 6:

a. Construye una tabla de valores y represéntala.

b. Indica cuál es su dominio y su recorrido.

c. Determina los puntos de corte con los ejes.

19 Establece el dominio y el recorrido de la función que relaciona la velocidad y el tiempo que tarda un automóvil en recorrer la distancia entre dos ciudades.

2Dominio y recorrido. Puntos de corte con los ejes

8 Indica si estas gráficas son funciones y, en caso afirmativo, halla su dominio y su recorrido:

a. b.

X

Y

1�2�3�4

1234

2 3 4 5 6 7

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

9 Halla el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes de estas funciones:

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2 2 3 4 5

X

Y

1�2�3

12345

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2

123456

�2 2 3 4 5

X

Y

1�2�3

12345

�2�4 2 3 4

10 Representa una función que tenga las siguientes características:

a. Dominio (– 4 , 6] y recorrido [0 , 3] ∪ (5 , 7].

b. Dominio [–5 , 4] , recorrido [–2 , 4] y puntos de corte con los ejes (–1 , 0), (2 , 0) y (0 , –1).

11 Indica si los valores x = –1, x = 3 y x = 21 pertenecen al dominio

de las funciones propuestas. En caso afirmativo, halla el valor de la imagen.

a. f (x) = 4x 2 – 2x

b. f (x) = 1 + xx3

5–

c. f (x) = x6 3–

12 Halla, si es posible, para las siguientes funciones f (–2), f (0) y f (3) y determina el dominio en cada uno de los casos.

a. f (x ) = 2x – 1 d. f (x ) = x 31–

b. f (x ) = x32 e. f (x ) = x 2 + 4

c. f (x ) = x1– f. f (x ) = x 2+


25 Representa gráficamente una función, f (x), que cumpla las si-guientes condiciones:

• Dom (f) = [– 6 , 5] y R (f) = [–2 , 5]

• Es positiva en [– 6 , –3) ∪ (1 , 3) ∪ (4 , 5].

• Es negativa en (–3 , 1) ∪ (3 , 4).

• Su punto de corte con el eje Y es (0 , –2).

26 ¿Puede una función positiva cortar el eje Y en el punto (0 , 3)? ¿Y el eje X en (3 , 0)? Justifica ambas respuestas.

27 Determina el dominio, el recorrido, los puntos de corte con los ejes y el signo de las siguientes funciones:

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

28 Dada la función y = x 4+ :

a. Elabora una tabla de valores y determina su dominio.

b. Representa gráficamente la función.

c. Halla los puntos de corte con los ejes.

d. ¿Para qué valores de x la función es negativa? Justifica tu res-puesta.

29 La siguiente gráfica muestra el perfil del fondo de una zona marítima.

1–2–1

–3–4

1234

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 Distancia (km)

Altura/profundidad (km)

a. Indica cuál es el dominio y el recorrido.

b. Determina los intervalos donde la gráfica es positiva y nega-tiva. Explica el significado de estos intervalos.

c. ¿A qué distancia de la costa se encuentra un islote? ¿Qué al-tura tiene?

3Signo de una función

20 Indica si las siguientes funciones son positivas o negativas:

a. b.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

21 Estudia el signo de las siguientes funciones:

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2

123456

�2 2 3 4 5

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

22 Representa, en cada caso, una función que sea:

a. Positiva en todos los reales.

b. Negativa en [–3 , 5].

c. Negativa en [–5 , 1) ∪ (1 , 3) ∪ (3 , 6] y nula en x = 1 y en x = 3.

d. Positiva en (2 , 5), negativa en (– 4 , 2) y nula en x = 2.

23 Dada la gráfica, indica cuál de las informaciones propuestas es correcta y corrige las que no lo sean.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4�6�8 2 3 4 5 6 7 8

a. Su dominio es [– 4 , 4], y su recorrido, [– 6 , 5].

b. Sus puntos de corte son (0 , 0), (0 , 1) y (0 , 3).

c. Es positiva en (0 , 5] y negativa en [– 6 , 0).

24 Sin representar la gráfica de las siguientes funciones, determina su signo:

a. f (x) = x 2 + 4 b. f (x) = 2x 3 c. f (x) = – x1


35 Estudia las simetrías que presentan las siguientes gráficas:

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

36 Comprueba si estas funciones son simétricas:

a. f (x) = 3x + 1 c. f (x) = 2x 4 + 5x 2 + 1

b. f (x) = 4x 3 + 8x d. f (x) = x 31

2 +

37 Observa la siguiente gráfica y determina:

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4�6 2 3 4 5 6 7

a. El dominio y el recorrido.

b. Los puntos de corte con los ejes.

c. El signo.

d. La simetría.

38 Dada la gráfica siguiente:

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4�6�8�10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a. ¿Es continua? En caso contrario, indica sus puntos de discon-tinuidad.

b. ¿Es periódica? ¿Y simétrica? Justifica ambas respuestas.

39 Representa la gráfica de una función periódica, de periodo T = 4, y otra de periodo T = 6.

4Continuidad, periodicidad y simetría de una función

30 Construye una función que presente las siguientes discontinui-dades: en x = –3, es inevitable de tipo salto finito; en x = –1, evitable de punto desplazado; en x = 3, inevitable de tipo salto infinito, y en x = 7, no existe la función.

31 Señala los puntos de discontinuidad de las funciones e indica el tipo de discontinuidad que presentan dichos puntos.

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1

12345678

�2�4 2 3 4

32 Indica si las siguientes funciones son periódicas. En caso afirma-tivo, di cuál es el período.

a. b.

X

Y

�1

�2

1

2

π 2π

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

33 Estudia si esta función es periódica y, en caso afirmativo, halla su periodo. ¿Cuánto valdrá f (18)? ¿Y f (21)?

X

Y

1�1�2

123

�2�4�6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

34 La función y = x 2 presenta simetría par, mientras que la función y = x 3 tiene simetría impar. ¿Qué tipo de simetría tendrán las fun-ciones y = x 4, y = x 5, y = x 6 e y = x 7? ¿Y las funciones y = x 1 000 e y = x 1 001? Establece un criterio que permita averiguar si una fun-ción del tipo y = x n presenta simetría par o impar, sin representarla.


5Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos

44 Estudia el crecimiento de las funciones propuestas.

a. b.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

45 Indica cuál de las siguientes gráficas presenta todas estas carac-terísticas:

• Su dominio es [– 4 , 5], y su recorrido, [–3 , 3].

• Sus puntos de corte son (–3 , 0), (0 , 1), (1 , 0) y (3 , 0).

• Es creciente en (– 4 , –2) ∪ (2 , 5) y decreciente en (–2 , 2).

a. c.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

b. d.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

46 Representa una función que sea creciente en (–6 , –3) ∪ (1 , 3), decreciente en (–3 , 1) ∪ (3 , +∞) y constante en (–∞ , – 6).

47 Para la siguiente función halla:

X

Y

1�2

123456

�2�4�6�8 2 3 4 5 6 7 8

a. El dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes.

b. El signo y las simetrías.

c. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos y absolutos, si existen.

d. Los puntos de discontinuidad y los tipos de discontinuidad que presentan.

40 Indica si las funciones dadas mediante los siguientes enuncia-dos son continuas:

a. Los kilos de naranjas y el precio pagado por ellos.

b. El tiempo que está abierto un grifo y los litros que arroja.

c. La cantidad de entradas de teatro vendidas durante un día y la recaudación.

d. El lado de un cuadrado y su área.

41 El precio de una entrada de cine es de 10,50 €. Construye una tabla de valores para esta función y represéntala gráficamente. ¿Es una función continua? Justifica tu respuesta.

42 Un autobús de línea regular realiza el recorrido, en ambos sentidos, entre dos ciudades, A y B, que distan 120 km. La si-guiente gráfica muestra el recorrido diario:

20406080

100120

40 80 120 160 200 240 280 Tiempo (min)

Distancia desde la ciudad A

a. ¿Cuál es el recorrido de la función?

b. ¿Es continua?

c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar de la ciudad A a la B? ¿Y de la ciudad B a la A?

d. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, determina su periodo.

e. ¿Cuánto tiempo está el autobús parado antes de salir de la ciudad A? ¿Y antes de salir de la ciudad B?

f. ¿Es simétrica? En caso afirmativo, indica de qué tipo.

g. ¿A qué distancia de la ciudad A se encuentra el autobús a las 4 horas y 20 minutos? ¿Y a las 6 horas?

43 La siguiente tabla de valores muestra la altura a la que se encuentra el agua a lo largo de una vuelta completa de la noria de agua.

Tiempo (s) 2 4 6 8 10 12

Altura (m) 3 6 9 6 3 0

a. Representa la gráfica que muestra la altura de la noria a lo largo de dos vueltas.

b. Determina su dominio y su recorrido.

c. ¿Es una función continua?

d. ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, determina el periodo.

e. ¿A qué altura estará la noria al cabo de 40 s? ¿Y al cabo de un minuto?


54 ¿Podrías decir, sin representar la gráfica de la función, en qué valores de x se alcanzan los mínimos y los máximos de una función continua creciente en (– 4 , 3) ∪ (5 , 9) y decreciente en (3 , 5) ∪ (9 , 11)?

55 Representa una función periódica de periodo 4 que sea simé-trica impar, que pase por el punto (0 , 0) y tenga un máximo relativo en el punto (1 , 3) y un mínimo relativo en (3 , – 4).

a. ¿Cuánto vale la función en x = –3?

b. ¿Es (9 , 3) un máximo relativo de la función?

56 Formad grupos de siete alumnos. Durante una semana, cada uno de los alumnos medirá la temperatura a lo largo de un día dife-rente. Representad los datos obtenidos en una gráfica y estudiad:

a. El dominio, el recorrido, el signo y las simetrías.

b. El crecimiento y los extremos de la función.

57 La siguiente gráfica muestra la evolución del precio de cada acción de una empresa:

1

5101520253035

Precio (€)

Semanas2 3 4 5 6 7 8 9 10

a. Determina los intervalos de tiempo en los que el precio de las acciones creció y decreció.

b. ¿En qué momentos la función alcanzó un máximo o un mínimo relativo?

c. Determina el precio máximo y mínimo que alcanzaron las ac-ciones. ¿En qué semana se alcanzaron dichos precios?

58 La variación en porcentaje del número de viviendas vendidas en una ciudad a lo largo de un año se muestra en la siguiente gráfica:

1

–4–6–8

–2

2468

Variación del número de viviendas vendidas (%)

Meses2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a. Indica los intervalos de tiempo donde la variación porcentual de ventas fue positiva y negativa.

b. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la variación porcen-tual de las ventas de viviendas en dicho año. ¿Se mantuvo constante en algún momento?

c. Determina los extremos relativos y absolutos de la función.

48 Representa la gráfica de una función continua que tenga dos máximos relativos en (–3 , 3) y en (2 , 4), un máximo absoluto en (2 , 4), dos mínimos relativos en (0 , –2) y en (4 , 1) y un mínimo absoluto en (0 , –2).

49 ¿Puede haber un máximo cuya ordenada sea menor que la ordenada de un mínimo? ¿Y haber un mínimo cuya ordenada sea mayor que la ordenada de un máximo? Haz una gráfica que represente ambas situaciones.

50 Dada la siguiente gráfica, indica cuáles de las afirmaciones son correctas:

X

Y

1�1�2

123456

�2�4 2 3 4 5 6 7 8 9 10

• Tiene tres máximos relativos, pero no tiene máximo absoluto.

• Tiene tres máximos relativos y un máximo absoluto.

• Tiene tres mínimos relativos, pero no tiene mínimo absoluto.

• Tiene tres mínimos relativos y un mínimo absoluto.

51 Indica las coordenadas de los extremos relativos y absolutos de la función.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4�6�8�10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

52 Determina, para las siguientes funciones, el dominio y el reco-rrido, los puntos de corte con los ejes, el signo y el crecimiento:

a. b.

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

X

Y

1�2�3�4

1234

�2�4 2 3 4

53 Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes características:

• Su dominio es D (f) = [–5 , 5], y su recorrido, R (f) = [– 4 , 6].

• Es continua.

• Presenta una simetría par.

• Tiene un mínimo absoluto en x = –2 y un máximo absoluto en x = 0.

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