2002 Calculo 2 (1)

D E P A R T A M E N T O

CÁLCULO I I D E C I E N C I A S B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

INDICE

Contenido PáginaUNIDAD Nº1 : Integral Indefinida

Conceptos y propiedades 1- Reglas de integración 6Integración inmediata:- Fórmulas comunes 7- Para funciones trigonométricas 7- Para funciones trigonométricas inversas 8Métodos de integración:Integracion por cambio de variables (sustitución simple):- Definición 11- Caso de función exponencial 12- Caso de logaritmo natural 13- Caso de funciones trigonométricas con argumento 14- Caso de la regla de la cadena 15Integracion por partes:- Definición 24- Resumen de algunas Integrales Por Partes Comunes. 32Integración de Potencias de funciones trigonométricas:- ¿Cuando se usa? 36Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos: 36- Caso 1:Sí ó o ambos son enteros positivos impares 367 8- Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos 407 8 (o uno de ellos es ceros). Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente: 45- Caso1:Si es un entero positivo par (La potencia de la es par) 458 =/-+8>/- Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar) 467Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente. 50- Potencia de cotangente n: par y m: impar 51Sustitución Trigonométrica:- ¿Cuando se usa? 55- Para el integrado de la forma: 56È+ ?# #

- Para el integrado de la forma: 63È+ ?# #

-Para el integrado de la forma: 68È? +# #

Funciones Racionales:¿Cuando se utiliza? 76- Caso 1: Los factores de son todos lineales y ninguno se repite. 77 U Ba b- Caso 2: Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos. 80 U Ba b- Caso3: Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma 83 U Ba b . Ninguno de los factores cuadráticos se repite.+B ,B -#


- Caso 4: Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos 86U Ba b de los factores cuadráticos se repiten.Autoevaluación 90

UNIDAD N°2 : Integral definida

Interpretación de la integral definida 96Propiedades generales de la integral definida 100Areas en Coordenadas Cartesianas 108Areas positivas y negativas 118Areas simples entre curvas 120Volumen de Sólidos en Revolución: 137- Método de los disco. 138- Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero) 142 Caso 1: Rotación en torno al eje . 142B Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al . 143eje B- Método de los anillos cilíndricos 153Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas. 163Area de superficie en revolución 173Autoevaluación 1 178Autoevaluación 2 184

Unidad N°3 : Ecuaciones Parámetricas y Coordenadas PolaresEcuaciones Paramétricas.- Conceptos 190- Gráficos y transformaciones 190- Primera y segunda derivada 193- Areas en coordenadas parámetricas 204- Longitud de arco en coordenadas paramétricas 207Coordenadas Polares:- Sistema de Coordenadas Polares 211- Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares. 214- Gráfico en coordenadas polares 219- Areas en coordenadas polares 232- Longitud de arco en coordenadas polares 244Autoevaluación 249


Unidad N 4 : Integrales impropias0

Integrales Impropias:Definición 255Caso 1: El límite de integración se hace infinito 255- El limite superior es infinito. 255- El límite inferior es infinito. 256- El límite inferior y superior son infinitos. 257Caso 2: El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los 258 mismos limites de integración o en algún punto del intervalo entre ellos.Autoevaluación 267


UNIDAD Nº1INTEGRAL

INDEFINIDA


1

Conceptos y propiedades

En la misma forma en que hay funciones inversas también existen operacionesinversas. Por ejemplo en matemáticas la sustracción es la inversa de la adición, y ladivisión es la inversa de la multiplicación.. Así el proceso inverso de la diferenciación esla integración

La la vamos a definir como el proceso inverso de la diferenciación.integraciónEn otras palabras, si tenemos la derivada de una función, el objetivo es: "Determinar quefunción ha sido diferenciada para llegar a esa derivada". Por lo que el proceso deintegración radica en la comprensión del proceso de la diferenciación.

Supongamos que dado un función , deseamos obtener su derivada, por lo que0 Ba bprocedemos del siguiente modo:

dado

f(x)

Función OrigenFunción Primitiva

Función Inicial

f '(x)

Obtiene

( )[ ]ddx

f xFunción Derivada

0 B œ B È 0 B È 0 B œ 0 B œ B œ $B. . .

.B .B .Ba b c d a b a ba b ‘$ w $ #

0 B œ È 0 B œ 0 B œ œ BB . . B

$ .B .B $a b a b a b ” •$ $

w #

0 B œ =/8#B È 0 B œ 0 B œ =/8 #B œ #-9= #B. .

.B .Ba b a b a b c dw

1

0 B œ 68 È 0 B œ 0 B œ 68 œ" B . . " B #

" B .B .B " B Ba b a b a b” • ” •Œ w

#

Ahora si nuestro problema es el inverso, es decir, dado una función derivada0 Bwa b de una cierta función, encontrar dicha función. El objetivo es determinar lafunción , la cual fue derivada (diferenciada).0 Ba b


2

Nota: A esta función , la vamos a llamar la función origen, función primitiva0 Ba bo la función inicial.

La idea gráfica es:

f(x)

Función DerivadaFunción Primitiva

Función Inicial

f '(x)

Dado

( ) ( )f x dx f x'∫ =

Obtener

Función Derivada

Aplicando elOperador Antiderivada

Así por ejemplo: Dado:

Aplicando el operador antiderivada , donde 0 B œ B Ä 0 B œB

$w #

$a b a b

. B

.B $œ B Ê 0 BŒ a b$

# w

Aplicando el operador antiderivada , donde 0 B œ $B Ä 0 B œ Bw # $a b a b

.

.BB œ $B Ê 0 Bˆ ‰ a b$ # w

Aplicando el operador antiderivada ,0 B œ #-9= #B Ä 0 B œ =/8 #Bwa b a b donde

.

.BB œ $B Ê 0 Bˆ ‰ a b$ # w

Intuitivamente podemos pensar que dado una función derivada , podemos0 Bwa baplicar un proceso inverso a la derivada o mejor dicho el operador antiderivada paraencontrar la función origen o primitiva que fue diferenciada.


3

Por lo tanto, podemos decir que:

f(x)

Función D erivadaFunción Prim itiva

Función In icia l

f'(x)

( ) ( )f x dx f x'∫ =

Función D erivada

Aplicando el O peradorAntiderivada(INTEG R AL)

Aplicando el O peradorDERIV AD A

( )[ ]ddx

f x

Matemáticamente hablando diremos. Sea:

.

.B0 B œ 0 Ba b a bw

Utilizando la interpretación de infinitesimal podemos escribir lo anterior como:

. 0 B œ 0 B .Bc d a ba b w

Definiendo la operación de ahora en adelante como , con elantiderivada Integral

símbolo "operador integral" y aplicándolo a nuestra expresión anterior tenemos:(( (c d a ba b. 0 B œ 0 B .Bàw

Donde: 0 B œ . 0 Ba b c d( a b Luego la función primitiva u origen se puede determinar como:

; "la integral de la derivada es la función origen"0 B œ 0 B .Ba b a b( w

A esta expresión se le conoce como la INTEGRAL INDEFINIDA.


4

Debemos notar lo siguiente:

( )f x x=

3

3

Función DerivadaFunción Primitiva

Función Inicial

( )f x x= 2

( ) ( )f x dx f x'∫ =

Función Derivada

Aplicando el OperadorAntiderivada(INTEGRAL)

Operador DERIVADA

ddx

x x3

2

3

=

ddx

x x

ddx

x x

ddx

x C x

32

32

32

31

32

3

+

=

+

=

+

=

M

Conclusión:

- Una función derivable tiene una única función derivada el reciproco tieneinfinitas soluciones. - La derivada de una función tiene una familia de funciones primitivas. -Todas las funciones que difieren entre si por una constante tienen la mismaderivada.

Definición:

Si es una función primitiva de . La expresión define a la0 B 0 B 0 B Ga b a b a bw

integral indefinida y representa todas las funciones primitivas que fueron diferenciadas ydan como resultado a (única derivada). La cual se escribe como:0 Bwa b( a b a b0 B .B œ 0 B G Gw ; donde es la constante de integración (puede ser positiva o

negativa)


5

A esta expresión, que representa el proceso inverso de derivar, se le llama IntegralIndefinida de .0 Ba bObservación:

(1) La constante de integración surge del hecho de que cualquier función de laforma tiene derivada 0 B G 0 B Þa b a bw

(2) La constante de integración se determinará por las condiciones especificas decada problema particular.

(3) A la cantidad se llama integral indefinida, el nombre sugiere que no0 B Ga bse puede asignar valor particular para la integral hasta que no se determine y se asignaGun valor a .0 Ba b (4) La integral indefinida aun cuando se halla determinado , es una función deGalguna variable y entonces permanece indefinida.

En general decimos que toda función tiene un numero infinito de antiderivadas,ya que a cada Antiderivada se le puede agregar una constante de magnitud arbitraria paraobtener otra Antiderivada.


6

Métodos de Integración

Regla de Integración.

La obtención de las reglas para integrar formas comunes consiste en determinar lafunción cuya derivada es una de las formas normales.

Para facilitar el trabajo damos una lista de referencia de Integrales Inmediatasque deben ser memorizadas. Pero antes veremos algunas propiedades básicas de laintegración.

Propiedades:

1.La integral de una Sea la función Constante: 0 B œ +a b ( (a b0 B .B œ +.B œ +B G

2.La integral de una y una . Sea la función función constante 1 B œ +0 Ba b a b ( ( (a b a b a b1 B .B œ +0 B .B œ + 0 B .B

3.Sea J B œ 0 B „ 1 Ba b a b a b ( ( ( (a b c d a b a ba b a bJ B .B œ 0 B „ 1 B .B œ 0 B .B „ 1 B .B


7

Integrales Inmediatas

Formas comunes: Sean las siguientes integrales donde es una constante deGintegración.

1.( .B œ B G

2.( (+.B œ + .B œ +B G

3. ; con ( B .B œ G 8 Á "8 B8 "

8 "

4.( (.B

Bœ B .B œ 68 lBl G"

5.( + .B œ GB +B

68 +

6.( / .B œ / GB B

Para funciones trigonométricas

7.( =/8B .B œ -9= B G

8.( -9= B .B œ =/8B G

9.( =/- B .B œ >1 B G#

10.( -9=/- B .B œ ->1 B G#

11.( =/- B >1 B .B œ =/- B G

12.( -9=/- B ->1 B .B œ -9=/- B G

13.( >1 B .B œ 68l-9= Bl G œ 68l=/- Bl G


8

14.( ->1 B .B œ 68l=/8 Bl G

15.( =/- B .B œ 68l=/- B >1 Bl G

16.( -9=/- B .B œ 68l-9=/- B ->1 Bl G

17.( =/8 +B .B œ -9= +B G"

+

18.( -9= +B .B œ =/8 +B G"

+

Para funciones trigonométricas inversas

19.( È Š ‹.B B

+ Bœ E<-=/8 G

+# #

20.( Š ‹.B " B

+ B + +œ E<->1 G

# #

Otras integrales

21.( .B "

+B , +œ 68l+B ,l G

22.( B.B "

+B , #+œ 68l+B ,l G

##

23.( ÊÈ Œ .B " +

+B , ,œ E<->1 B G

+,#

24.( a b a ba b+B , .B œ G+B ,

+ 8 "8

8"


9

Ejemplos resueltos de integración aplicando las reglas básicas de integración.

1. ( ( (ˆ ‰#B B .B œ # B .B B .B# $ # $

œ # GB B

$ %

$ %

2. ( ( (Œ " " "

# C # .C œ .C C .C

$$

œ C G" C

# #

#

œ C G" "

# #C#

3.( (È È.> >

>œ > .> œ G œ # > G

"#

"#

"#

4.( ( a b%=/8 . œ % =/8 . œ % -9= G œ %-9= G9 9 9 9 9 9

Ejemplos propuestos.

1. ( ˆ ‰$B #B .B#

2. ( ˆ ‰C C #=/8 C # .C# &

3. ( Š ‹È%/ > #> =/- > .>> " ##$

4.( Œ -9= =/8 ->1

-9=.

# #) ) )

))

5. ( ˆ ‰È*/ * B .BB


10

Solución

1. ( ˆ ‰$B #B .B œ B B G# $ #

2.( ˆ ‰C C #=/8 C # .C œ #-9= C #C GC C

$ '# &

$ '

3.( Š ‹È%/ > #> =/- > .> œ %/ > #68l>l >1 > G$

&> " # >#$ &

$

4.( Œ -9= =/8 ->1

-9=. œ =/8 -9= G

# #) ) )

)) ) )

5.( ˆ ‰È È*/ * B .B œ */ ' B GB B $


11

Integración Por Cambio De Variables (Integración por sustitución)

Definición:

Este método consiste en transformar una integral dada en una integral inmediata.Para ello se utiliza una variable auxiliar y su correspondiente derivada.

¿Cuándo se utiliza?

Sea una función, la cual no puede ser integrada directamente debido a su0 Ba bcomplejidad, es decir, no puede ser descompuesta en varias funciones para ser integradasen forma directa.

Para resolver este problema se utiliza una y la función cambiavariable auxiliarde variable, para posteriormente ser integrada en forma directa.

( ) dxx

x∫ + 22

Cambio de Variable:Sea

xdxduxu 222 =⇒+=

Por lo tanto: , redefiniendo la integral en términos de la nuevaB.B œ.?

#variable tenemos:?

( (a bB

B # ?.B œ

#

.?#

œ .?" "

# ?(

œ 68l?l G"

#


12

Ejemplos resueltos: Integración por cambio de variables

Caso de la función exponencial:

1. Donde: ( / .B ? œ Ê .? œ Ê .B œ #.?B .B

# #B

#

( ( a b/ .B œ / #.? ?B#

œ # / .?( ?

Para la variable inicial œ #/ Gà ? œ B

#?

œ #/ GB#

2.( / .C%C

Sea: Entonces ? œ %Cà .? œ %.C Ê œ .C.?

%

( (/ .C œ /.?

%%C ?

Para la variable inicial œ / Gà ? œ %C"

%?

œ / G"

%%C

Nota: Cada vez que aparezca una función exponencial como en los casosanteriores, el candidato a variable auxiliar es el exponente


13

3.( / -9= # .%=/8 #9 9 9

Sea: ? œ %=/8 # Ê .? œ )-9= # . Ê .? œ -9= # ."

)9 9 9 9 9

( (/ -9= # . œ / .?"

)%=/8 # ?9 9 9

œ / .?"

)( ?

Para la variable inicial œ / Gà ? œ %=/8#"

)? 9

œ / G"

)%=/8 #9

Caso del logaritmo natural:

1. ( "

B #.B

Donde ? œ B # Ê .? œ .B

( (" "

B # ?.B œ .?

Para la variable inicial œ 68 l?l Gà ? œ B #

œ 68 lB #l G


14

2. ( #C #

C #C ".C

#

Donde: ? œ C #C "#

.? œ #C # .Ca b

( (#C # "

C #C " ?.C œ .?

#

Para la variable inicial œ 68 l?l Gà ? œ C #C "#

œ 68 lC #C "l G#

Nota: en el caso del logaritmo natural la variable auxiliar será el

denominador siempre que se cumpla con la condición ( .?

?

Caso de funciones trigonométricas con argumento:

1.( a b=/8 $ .9 1 9

Sea: ? œ $ 9 1 .? œ $.9

"

$.? œ .9

( (a b=/8 $ . œ =/8?.?

$9 1 9

œ =/8?.?"

$(

Para la variable inicial œ -9= ? Gà ? œ $ "

$a b 9 1

œ -9= $ G"

$a b9 1


15

2.( ˆ ‰-9= ' " .) ) )#

Sea: ? œ ' ")#

.? œ "# .) )

.?

"#œ .) )

Entonces:

( (ˆ ‰-9= ' " . œ -9= ?.?

"#) ) )#

œ -9= ?.?"

"#(

Para la variable inicial œ =/8? Gà ? œ ' ""

"#)#

œ =/8 ' " G"

"#ˆ ‰)#

Nota: en las funciones trigonométricas el candidato a variable auxiliar es elángulo siempre que su derivada sea consistente con los otros términos.

Caso de la regla de la cadena:

1.( ˆ ‰ ˆ ‰B $B # 'B "#B .B' % & $%

Sea: ? œ B $B #' %

.? œ 'B "#B .Ba b& $

Entonces:

( (ˆ ‰ ˆ ‰ a bB $B # 'B "#B .B œ ? .?' % & $% %

Para la variable inicial œ Gà?

&

&

? œ B $B #' %

œ GB $B #

&

a b' &


16

2.( a ba b

C $

C 'C.C

#"$

Donde: ? œ C 'C#

/ Factorizando por .? œ #C ' .Cà #a b .? œ # C $ .Ca b

.?

#œ C $ .Ca b

( ( (a ba b

C $ "

C 'C.C œ œ ? .?

? ##

.?#

" "$ $

"$

Para la variable inicial œ Gà ? œ C 'C" ?

#– —#$

#$

#

œ C 'C G$

%ˆ ‰#

#$

œ C 'C G$

%Éa b$ # #

Ejemplos propuestos: Integración por cambio de variables.

1. 2. ( ( ˆ ‰=/8 -9= . " B B .B# $ #&) ) )

3. 4. ( (È a b" 68 >

" *C.C .>

>#

%

5. 6. ( (#D $

D $D #.D B =/8B .B

#% &

7. 8. ( (C >

" C > ).C .>

%


17

Solución

1.( =/8 -9= . œ G=/8

$#

$

) ) ))

2.( ˆ ‰ a b" B B .B œ G

" B

")$ #&

$ '

3.( È " "

" *C.C œ E<-=/8 $C G

$#

4.( a b a b68 > "

> &.> œ 68 > G

%&

5.( #D $

D $D #.D œ 68lD $D #l G

##

6.( B =/8B .B œ -9= B G"

&% & &

7.( C "

" C #.C œ E<->1 C G

%#

8.( >

> ).> œ > ) )68l> )l G


18

Miscelaneos: Resuelva las siguientes integrales:

1. 2.( (ˆ ‰ Œ #B B .B .C" "

# C# $

$

3. 4.( (È.>> %=/8 .9 9

5. 6.( (ˆ ‰ ˆ ‰&> > .> " > > .>% & $

7. 8.( (a bÈ È" ? ?.?.B

$B$ #

9. 10.( (ˆ ‰ ˆ ‰> > " .> $ #B B .B# $ #

11. 12.( ( a b=/8 . # C .C! ! #

13. 14.( (Œ a ba b&B 'B "! .B ( D " D .DB

$

#$

15. 16.( (B &B % .=

B =.B

$ #

#

17. 18.( (=/- >1 . &/ .>! ! ! >

19. 20.( ( ˆ ‰+>1 . D &=/8B #+ .B) ) #

21. 22.( (-9= . +=/8 .9 9 " "

23. 24.( (Š ‹ÈB 'B "! (+B .B .C"

C #& &

25. 26.( (a b ÈD $

D 'D.D " > >.>

#

#"$

$

27. 28.( (ÈB #B .B B/ .B# % B#


19

29. 30.( ( a bB 68 >

B " >.B .>

%

31. 32.( (Œ a b=/8 . #C $ .C&

$! ! (

33. 34.( (È a bB #B

B $B ".B #> $ .>

#

$ #$

($

35. 36.( (ˆ ‰ Œ B " B .B =/- .CC &

## $ #$

37. 38.( ( È=/8 $>

-9=.B .>

> $

9

9& #$

39. 40.( (È a bÈ$" #B B.B .D

" D

D#

#

41. 42.( (a ba b È> #> "

> ".> .B

B $

#

#

43. 44.( (Š ‹ a b&/ #B/ $ .B =/8 ' ."

&&B B#

9 9

45. 46.( (/

# /.> / =/- >1 .

>

>=/- ) ) ) )

47. 48.( ( ˆ ‰"

/ ".D =/- " =/- >1 .

D#" " " "


20

Soluciones

"Ñ Ð#B B Ñ.B œ B B G# "

$ %( # $ $ %

#Ñ .B œ C G" " " "

# C # #C( Œ $ #

$Ñ œ # > G.>

>( È È

%Ñ %=/8 . œ %-9= G( 9 9 9

&Ñ &> > .B œ &> > B G( ˆ ‰ ˆ ‰% & % &

'Ñ " > >.> œ > > G" "

# &( ˆ ‰$ # &

(Ñ " ? ?.? œ G#? & $?

"&( a bÈ a b$Î#

)Ñ œ B G.B $

$B $( È È$ $#

"Î$

*Ñ > > " .> œ > > G" "

' $( ˆ ‰# $ ' $

"!Ñ $ #B B .B œ $B B B G"

$( ˆ ‰# # $

""Ñ =/8 . œ -9= G( ! ! !

"#Ñ # C .C œ %C #C C G"

$( a b# # $

"$Ñ &B 'B "! .B œ B B B "!B GB & " $

$ # * #( Œ #

$ # $ %


21

"%Ñ ( D " D .D œ (D $D D G"

$( a ba b # $

"&Ñ .B œ B &B GB &B % " %

B # B( $ #

##

"'Ñ œ 68 = G.=

=( ¸ ¸

"(Ñ =/- >1 . œ =/- G( ! ! ! !

")Ñ &/ .> œ &/ G( > >

"*Ñ + >1 . œ +68 =/- G( ¸ ¸) ) )

#!Ñ D &=/8B #+ .B œ D B &-9=B #+B G( ˆ ‰# #

#"Ñ -9= . œ =/8 G( 9 9 9

##Ñ + =/8 . œ + -9= G( " " "

#$Ñ B 'B "! (+B .B œ B 'B "!B +B G" # (

' ( #( Š ‹È È& ' (Î# #&

#%Ñ .C œ 68 C # G"

C #( ¸ ¸

#&Ñ .D œ D 'D GD $ $

D 'D %( a b ˆ ‰

# "Î$# #Î$

#'Ñ " > >.> œ " > G$

)( È ˆ ‰$ # # %Î$

#(Ñ B #B .B œ " #B G"

'( È ˆ ‰# % # $Î#


22

#)Ñ B/ .B œ / G"

#( B B# #

#*Ñ .B œ B 68 B " GB

B "( ¸ ¸

$!Ñ .> œ G68 > 68>

> &( a b a b% &

$"Ñ =/8 . œ -9= G& $ &

$ & $( Œ Œ ! ! !

$#Ñ #C $ .C œ G#C $

"'( a b a b(

)

$$Ñ .B œ B $B " GB #B "

B $B " #( È ˆ ‰#

$ #

$ # #Î$

$

$%Ñ #> $ .> œ G$ #> $

#!( a b a b(Î$

"!Î$

$&Ñ B " B .B œ B B B B G" $ " "

"! ) # %( ˆ ‰# $ "! ) ' %$

$'Ñ =/- .B œ # >1 GC & C &

# #( Œ Œ #

$(Ñ . œ =/- G=/8 "

-9= %( 9

99 9

&%

$)Ñ .> œ > $ G$> $

> $ #( È ˆ ‰

$ #

# #Î$

$*Ñ " #B B.B œ " #B G$

"'( È ˆ ‰$ # # %Î$

%!Ñ .D œ D D # D G" D # %

D & $( a bÈ È#

&Î# $Î#


23

%"Ñ .> œ > G> #> "

> " > "( a b

#

#

%#Ñ .B œ # B $ G"

B $( È È

%$Ñ &/ #B/ $ .B œ / / $B G( Š ‹&B B &B B# #

%%Ñ =/8' . œ -9=' G" "

& $!( 9 9 9

%&Ñ .> œ 68 # / G/

# /( ¸ ¸>

>>

%'Ñ / =/- >1 . œ / G( =/- =/-) )) ) )

%(Ñ .D œ 68 / " G"

" /( ¸ ¸

DD

%)Ñ =/- " =/- >1 . œ =/- =/- G"

$( ˆ ‰# $" " " " " "


24

Integración Por Partes.

¿Cuándo se usa?

Cuando una función que no puede ser integrada por cambio de variables, la0 Ba bpodemos resolver por partes a través de otra integra. Antes veremos una fórmulafundamental para este tipo de integración.

La regla para determinar la derivada del producto de dos funciones y es:? B @ Ba b a b. ?@ œ ?.@ @.?a b

Reordenando los términos:?.@ œ . ?@ @.?a b

Aplicando el operador integral:

( ( (a b?.@ œ . ?@ @.?

Tenemos:

( (?.@ œ ?@ @.?

Esta es la fórmula fundamental para la integración por parte. Esta fórmula

sugiere el hecho de que cuando deseamos calcular la integral del tipo , podrá( ?.@

realizarse en función de una integral diferente del tipo: .( @.?

Definición:

Sea una función que no puede ser integrada por cambio de variable. Para? Ba bintegrar esta función se puede utilizar la siguiente formula:

( (?.@ œ ?@ @.?


25

Ejemplo aclaratorio:

La formula es

Primero se debe elegir u y dv.

La idea es dejar en la integral la más directo o

menos complicado que la integral original

dxduxu =⇒=

∫ ∫−= vduuvudv

∫ vdu

[ ]integralesde formulario ver ∫==⇒= xdxvxvxdxdv sencossen

xxdx∫ sen

Aplicando la fórmula de integración por partes:

Por fórmula tenemos:

∫ ∫−= vduuvudv

( ) ∫∫ −−−= dxxxxxxdx )cos(cossen

cxxx

xdxxcox

++−=

+−= ∫

sencos

cos

Cxxdx +=∫ sencos


26

Algunos de los casos más usuales son À

a) En la integral aparece un factor que no tiene integral inmediata, sólo se conocede él su derivada. Para resolverla se asigna a este factor y a lo restante? .@

Ejemplos

"Ñ 68 B .B( ? œ 68B .@ œ .B

.? œ .B @ œ B"

B

( (68 B .B œ B 68B B .B"

B

œ B 68B B G

#Ñ E<- =/8 C .C( ? œ E<- =/8C .@ œ .C

.? œ .C @ œ C"

" CÈ #

( ( ÈE<- =/8 C .C œ CE<- =/8 C C .C"

" C#

.C ? œ " C Ê .? œ #C .CC

" C( È #

#

Ê .? œ C.C"

#

.C œ ? .?C "

" C #( (È #

"Î#

œ # ? G"

#È

œ " C GÈ #

Por lo tanto, ( ÈE<- =/8 C .C œ CE<- =/8 C " C G#


27

$Ñ > 68> .>( #

? œ 68 > .@ œ > .>#

.? œ .> @ œ" >

> $

$

( (> 68 > .> œ 68 > † .>> > "

$ $ >#

$ $

œ > .>> 68> "

$ $

$#(

œ > G> 68 > "

$ *

$$

b) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata opor sustitución simple y uno de ellos es una potencia de . Para esta situación es laB ?potencia y lo restante..@

Ejemplos

"Ñ B/ .B( $B

? œ B .@ œ / .B$B

.? œ .B @ œ /"

$$B

( (B/ .B œ B/ / .B" "

$ $$B $B $B

œ B/ / G" "

$ *$B $B


28

#Ñ > =/8 %> .>( #

? œ > .@ œ =/8 %> .>#

.? œ #> .> @ œ -9= %>"

%

( (> =/8 %> .> œ > -9= %> > -9= %> .>" "

% ## #

? œ > .@ œ -9= %> .>

.? œ .> @ œ =/8 %>"

%

( (Œ > =/8 %> .> œ > -9= %> > =/8 %> =/8 %> .>" " " "

% # % %# #

œ > -9= %> > =/8 %> =/8 %> .>" " "

% ) )# (

œ > -9= %> > =/8 %> -9= %> G" " "

% ) $##

$Ñ -9= $ " .( a b9 9 9$

? œ .@ œ -9= $ " .9 9 9$ a b .? œ $ . @ œ =/8 $ "

"

$9 9 9# a b

( (a b a b a b9 9 9 9 9 9 9 9$ $ #-9= $ " . œ =/8 $ " =/8 $ " $ ." "

$ $

( (a b a b a b9 9 9 9 9 9 9 9$ $ #-9= $ " . œ =/8 $ " =/8 $ " ."

$

? œ .@ œ =/8 $ " .9 9 9# a b .? œ # . @ œ -9= $ "

"

$9 9 9a b


29

( a b9 9 9$-9= $ " .

œ =/8 $ " -9= $ " -9= $ " # ." " "

$ $ $9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a bŒ (

œ =/8 $ " -9= $ " -9= $ " ." " #

$ $ $9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b(

? œ .@ œ -9= $ " .9 9 9a b .? œ . @ œ =/8 $ "

"

$9 9a b

( a b9 9 9$-9= $ " .

œ =/8 $ " -9= $ " =/8 $ " =/8 $ " ." " # " "

$ $ $ $ $9 9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a bŒ (

œ =/8 $ " -9= $ " =/8 $ " =/8 $ " ." " # #

$ $ * *9 9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a b(

œ =/8 $ " -9= $ " =/8 $ " -9= $ " G" " # #

$ $ * #(9 9 9 9 9 9 9$ #a b a b a b a b

c) En la integral aparecen dos factores ambos integrables en forma inmediata opor sustitución simple, pero ninguno de ellos es una potencia de . Para este caso laBelección de es arbitraria, pero debe conservarse la característica de la función elegida?para en todas las integrales que deban desarrollarse por parte en el ejercicio.?

Ejemplos À

"Ñ / =/8 $B .B( %B

Se resolverá primero considerando ? œ /%B

? œ / .@ œ =/8 $B .B%B

.? œ %/ .B @ œ -9= $B"

$%B

( (/ =/8 $B .B œ / -9= $B / -9= $B .B" %

$ $%B %B %B


30

? œ / .@ œ -9= $B .B%B

.? œ %/ .B @ œ =/8 $B"

$%B

( (Œ / =/8 $B .B œ / -9= $B / =/8 $B / =/8 $B .B" % " %

$ $ $ $%B %B %B %B

( (/ =/8 $B .B œ / -9= $B / =/8 %B / =/8 $B .B" % "'

$ * *%B %B %B %B

#& " % *

* $ * #&/ =/8 $B .B œ / -9= $B / =/8 %B Î( Œ %B %B %B

( / =/8 $B .B œ / -9= $B / =/8 %B G$ %

#& #&%B %B %B

( ˆ ‰/ =/8 $B .B œ / $-9= $B %/ =/8 %B G"

#&%B %B %B

Se resolverá ahora considerando ? œ =/8 $B

? œ =/8 $B .@ œ / .B%B

.? œ $ -9= $B.B @ œ /"

%%B

( (/ =/8 $B .B œ / =/8 $B / -9= $B .B" $

% %%B %B %B

? œ -9= $B .@ œ / .B%B

.? œ $ =/8 $B.B @ œ /"

%%B

( (Œ / =/8 $B .B œ / =/8 $B / -9= $B / =/8 $B .B" $ " $

% % % %%B %B %B %B

( (/ =/8 $B .B œ / =/8 $B / -9= $B / =/8 $B .B" $ *

% "' "'%B %B %B %B

#& " $ "'

"' % "' #&/ =/8 $B .B œ / =/8 $B / -9= $B Î( Œ %B %B %B

( / =/8 $B .B œ / =/8 $B / -9= $B G% $

#& #&%B %B %B


31

( ˆ ‰/ =/8 $B .B œ / $-9= $B %/ =/8 %B G"

#&%B %B %B

Este ejemplo muestra que la elección de es absolutamente arbitraria.?

#Ñ =/8 -9=$ .( ) ) )

? œ -9=$ .@ œ =/8 .) ) ) .? œ $=/8$ . @ œ -9=) ) )

( (=/8 -9=$ . œ -9=$ -9= -9= $=/8$ .) ) ) ) ) ) ) )

( (=/8 -9=$ . œ -9=$ -9= $ -9= =/8$ .) ) ) ) ) ) ) )

? œ =/8$ .@ œ -9= .) ) ) .? œ $-9=$ . @ œ =/8) ) )

( (Œ =/8 -9=$ . œ -9=$ -9= $ =/8$ =/8 =/8 $-9=$ .) ) ) ) ) ) ) ) ) )

( (=/8 -9=$ . œ -9=$ -9= $=/8$ =/8 * =/8 -9=$ .) ) ) ) ) ) ) ) ) )

) =/8 -9=$ . œ -9=$ -9= $=/8$ =/8 Î "

)( ) ) ) ) ) ) )

( =/8 -9=$ . œ G-9=$ -9= $=/8$ =/8

) )) ) )

) ) ) )

$Ñ =/- . œ =/- =/- .( ($ #! ! ! ! !

? œ =/- . .@ œ =/- .! ! ! !#

.? œ =/- >1 . @ œ >1 .! ! ! ! !

( (=/- . œ =/- >1 =/- >1 .$ #! ! ! ! ! ! !

( ( ˆ ‰=/- . œ =/- >1 =/- =/- " .$ #! ! ! ! ! ! !


32

( ( (=/- .B œ =/- >1 =/- . =/- .$ $! ! ! ! ! ! !

# =/- . œ =/- >1 68 =/- >1( ¸ ¸$! ! ! ! ! !

( ˆ ‰¸ ¸=/- . œ =/- >1 68 =/- >1 G"

#$! ! ! ! ! !

Resumen De Algunas Integrales Por Partes Comunes.

Si las integrales a resolver son del tipo:

Si la integral , es:(((((((

?.@ ? .@

B / .B B / .B

B =/8 +B .B B =/8 +B .B

B -9= +B .B B -9= +B .B

B 68 B .B 68 B B .B

B E<-=/8 +B .B E<- =/8 +B B .B

B E<->1

8 +B 8 +B

8 8

8 8

8 8

8 8

8 B .B E<->1 B B .B

/ =/8 ,B .B =/8 ,B / .B

/ =/8,B .B / =/8,B .B

/ -9= ,B .B -9= ,B / .B

/ -9=,B .B / -9=,B .B

8

+B +B

+B +B

+B +B

+B +B

((((


33

Ejemplos propuestos con respuesta.

1. 2. ( ( a bB -9= $B .B .CC/

C "$

C

#

3. 4. ( (> =/8 %> .> B 68B .B# $ %

5. 6. ( (C/ .C > / .>#C $ >

7. 8. ( ( a bD 68 D.D -9= 68 .$ 9 9

9. 10. ( (a b ˆ ‰B/

#B ".B C " / .C

#B

## C

11. 12. ( (È È> > " .> .DD

# $D

#

13. 14.( () ) ) ! ! !-9= . =/- .#

15. 16. ( (E<-=/8 #B .B E<->1 B .B

17. ( / =/8 D .D#D


34

Solución

1. ( B -9= $B .B œ B =/8 $B -9= $B B=/8 $B -9= $B G" B # #

$ $ * #($ $

#

2.( a bC/ /

C ".C œ G

C "

C C

#

3. ( > =/8 %> .> œ > -9= %> >=/8 %> -9= %> G" " "

% ) $## #

4. ( ˆ ‰B 68B .B œ B 68B " G"

%$ % % %

5.( a bC/ .C œ #C " G/

%#C

#C

6.( ˆ ‰> / .> œ / > $> '> ' G$ > > $ #

7.( a bD 68 D.D œ %68 D " GD

"'$

%

8.( a b a b a b-9= 68 . œ G

-9= 68 =/8 68

# #9 9

9 9 9 9

9.( a b a bB/ /

#B ".B œ G

% #B "

#B #B

#

10.( ˆ ‰ a bC " / .C œ C " / G# C C#

11.( È a b a b> > " .> œ $> # G# > "

"&

$#

12.( È ˆ ‰ÈD #

# $D.D œ #(D #%D $# # $D G

%!&

##

13. ( ) ) ) ) ) )-9= . œ =/8 -9= G


35

14.( ! ! ! ! ! !=/- . œ >1 68l-9= l G#

15.( ÈE<-=/8 #B .B œ BE<-=/8#B " %B G"

##

16.( E<->1 B .B œ BE<->1 B 68l" B l G"

##

17.( a b/ =/8 D .D œ / #=/8 D -9= D G"

&#D #D


36

Integración de Potencias de funciones trigonométricas.

¿Cuándo se usa?

Cuando las integrales son del tipo trigonométricas de la siguiente forma:

( (=/8 B -9= B .B >1 B =/- B .B7 8 7 8

( ->1 B -9=/- B .B7 8

La integración de potencias de funciones trigonométricas requiere de técnicasespeciales. Para lo cual se consideran los siguientes casos:

Tipo A: Integración de Monomios Senos y Cosenos.

( =/8 B-9= B.B7 8

En este caso se separa el factor de la potencia impar, teniendo presente laequivalencia trigonométrica de ambas funciones: . Se tiene dos=/8 B -9= B œ "# #

casos:

Caso 1: Sí ó o ambos son enteros positivos impares.7 8

Si es impar, factorizamos y expresamos la potencia par restante del7 =/8B.B=/89 -9=/89, en potencias del usando la identidad:

=/8 B œ " -9= B# #

Si es impar, factorizamos y expresamos la restante potencia par de8 -9= B .B-9=/89 =/89 en potencias de , utilizando la identidad:

-9= B œ " =/8 B# #


37

Ejemplo para impar:7

Para y7 œ $ 8 œ #

Resolver: ( =/8 -9= .$ #! ! !

( (=/8 -9= . œ =/8 =/8 -9= .$ # # #! ! ! ! ! ! !

Expresando la potencia del en términos del , usando la identidad=/89 -9=/89trigonométrica Entonces:=/8 -9= œ " Ê =/8 œ " -9= Þ# # # #! ! ! !

( (=/8 -9= . œ =/8 =/8 -9= .$ # # #! ! ! ! ! ! !

œ " -9= =/8 -9= .( ˆ ‰# #! ! ! !

œ -9= -9= =/8 .( ˆ ‰# %! ! ! !

œ -9= =/8 . -9= =/8 .( (# %! ! ! ! ! !

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea: ? œ -9=!

.? œ =/8 . Ê .? œ =/8 .! ! ! !

Por lo tanto:

( ( ( (a b a b-9= =/8 . -9= =/8 . œ ? .? ? .?# % # %! ! ! ! ! !

œ ? .? ? .?( (# %

Para la variable œ ? ? Gà ? œ -9=" "

$ &$ & !

œ -9= -9= G" "

$ &$ &! !


38

Ejemplo para impar:8

Resolver ( =/8 -9= .# &" " "

En este caso la potencia impar es el , por lo tanto se debe factorizar el-9=/89-9=/89 =/89 y expresarlo en términos del usando la identidad trigonométrica.

=/8 -9= œ " Ê -9= œ " =/8# # # #" " " "

Tenemos:

( (=/8 -9= . œ =/8 -9= -9= .# & # %" " " " " " "

œ =/8 -9= -9= .( ˆ ‰# # #" " " "

œ =/8 " =/8 -9= .( ˆ ‰# # #" " " "

œ =/8 " #=/8 =/8 -9= .( ˆ ‰# # %" " " " "

œ =/8 #=/8 =/8 -9= .( ˆ ‰# % '" " " " "

Resolviendo por variable auxiliar, sea: . Por lo? œ =/8 Ê .? œ -9= ." " "tanto:

œ ? #? ? .?( ˆ ‰# % '

œ ? .? # ? .? ? .?( ( (# % '

. En términos de la variable œ ? ? ? G ? œ =/8" # "

$ & ($ & ( "

œ =/8 =/8 =/8 G" # "

$ & ($ & (" " "


39

Ejemplo para y impares:7 8

Resolver ( =/8 -9= .$ (9 9 9

En este caso se elige la menor potencia impar par transformar, es decir, se expresala potencia del en términos del y se usa la identidad trigonométrica=/89 -9=/89=/8 -9= œ " Ê =/8 œ " -9= Þ# # # #9 9 9 9 Entonces:

( (=/8 -9= . œ =/8 =/8 -9= .$ ( # (9 9 9 9 9 9 9

œ " -9= =/8 -9= .( ˆ ‰# (9 9 9 9

œ -9= -9= =/8 .( ˆ ‰( *9 9 9 9

Resolviendo ambas integrales por el método de variables auxiliar.

Sea: ? œ -9=9

.? œ =/8 . Ê .? œ =/8 .9 9 9 9

Por lo tanto:

( ( ( (a b a b-9= =/8 . -9= =/8 . œ ? .? ? .?( * ( *9 9 9 9 9 9

œ ? .? ? .?( (( *

Para la variable œ ? ? Gà ? œ -9=" "

) "!) "! 9

œ -9= -9= G" "

) "!) "!9 9


40

Caso 2: Si y (ambos) son enteros pares y positivos (o uno de ellos es7 8ceros).

En este caso debe reducirse a potencia de primer grado, haciendo uso de lasfórmulas del ángulo medio:

=/8 œ -9= œ =/8 -9= œ =/8 #" -9= # " -9= # "

# # ## #! ! ! ! !

! !

Ejemplo para par:7

Resolver ( =/8 .#! !

( (=/8 . œ ." -9=#

##! ! !

!

œ . -9=# ." "

# #( (! ! !

œ =/8# G" " "

# # #! !Œ

œ =/8# G" "

# %! !

Ejemplo para par:8

Resolver ( -9= .%9 9

( ( ˆ ‰-9= . œ -9= .% # #9 9 9 9

œ ." -9=#

#( Œ 9 9

#

œ -9=# -9= # ." # "

% % %( Œ 9 9 9#


41

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:-9= œ " -9= #"

##9 9a b

-9= # œ " -9= %"

## 9 9a b

œ . -9=# . ." " " " -9=%

% # % #( ( (9 9 9 9

9

œ =/8# . -9=% ." " " " "

% # # ) )9 9 9 9 9Œ ( (

œ =/8# =/8% G" " " " "

% % ) ) %9 9 9 9Œ

œ =/8# =/8% G$ " "

) % $#9 9 9

Ejemplo para y par:7 8

Resolver ( =/8 -9= .# #) ) )

( ( a b=/8 -9= . œ =/8 -9= .B# # #) ) ) ) )

Usando la identidad trigonométrica: =/8 -9= œ =/8 #"

#) ) )

( ( a b=/8 -9= . œ =/8 -9= .# # #) ) ) ) ) )

œ =/8 # ."

#( Œ ) )

#

œ =/8 # ."

%( ” •# ) )

œ =/8 # ."

%( # ) )


42

Usando la identidad trigonométrica: . Entonces:=/8 œ " -9= #"

##) )a b

=/8 # œ " -9= %"

## ) )a b

Por lo tanto:

" " "

% % #=/8 # .B œ " -9= % .( ( a b# ) ) )

œ " -9= % ."

)( a b) )

œ . -9= % ."

)” •( () ) )

œ =/8 % G" "

) %” •) )

œ =/8 % G" "

) $#) )

También este ejercicio se puede resolver usando las identidades trigonométricas:

; =/8 œ -9= œ" -9= # " -9= #

# ## #) )

) )

( ( Œ Œ =/8 -9= . œ ." -9= # " -9= #

# ## #) ) ) )

) )

œ -9= # ." "

% %( Œ # ) )

œ . -9= # ." "

% %( () ) )#

œ ." " " -9=%

% % #) )

)( Œ œ . -9=% .

" " "

% ) )) ) ) )( (


43

œ =/8% G" " " "

% ) ) %) ) )Œ

œ =/8% G" "

) $#) )

Resumen:

Sea una variable auxiliar, entonces:?

Si: ? œ =/8 Ê .? œ -9= .! ! ! Si: ? œ -9= Ê .? œ =/8 .! ! !

Transformación Trigonométrica: =/8 -9= œ "# #! !

( =/8 -9= .7 8! ! !

m o n Impares

Potencia del Potencia deSeno Coseno

m:Impar n:ImparFactorizar por: Factorizar por:

Cambiando las Cambiandpotencias de:

=/8 -9=

=/8 È -9=

! !

! !

o laspotencias de:

Usando: Usando-9= È =/8

=/8 œ " -9= -9= œ " =/8

! !

! ! ! !# # # #


44

m y n Pares

Potencia del SenoCoseno son pares

m y nbien m o n cero

Si m n :Par Para

U

œ

ÀReducir a potenciahaciendo uso de

=/8 -9= œ =/8 #"

#

=/8 .7

! ! !

! !(sar TT:

Si m n:ParPara

Usar TT:

=/8 œ" -9= #

#

=/8 œ" -9= #

#

-9= œ" -9= #

#

-9= .8

-9= œ" -9= #

#

#

#

##

!!

!!

!!

! !

!!

ÁIdem usar: (

TT: Transformación trigonométrica

Para integrales del tipo: ( a b a b=/8 7 -9= 8 .B9 9

Usar la transformación: =/8 7 -9= 8 œ =/8 7 8 =/8 7 8" "

# #a b a b a b a b9 9 9 9


45

Tipo B: Integración de Monomios Secante y Tangente.

( >1 =/- .7 8! ! !

Se tienen dos casos:

Caso1: Si es un entero positivo par (La potencia de la es par)8 =/-+8>/

Se debe factorizar por y cambiamos las a , utilizando=/- =/-+8>/= >+81/8>/=#!la identidad trigonométrica.

=/- œ " >1# #! !

Ejemplo resuelto: es par:8

1.( >1 =/- .% '" " "

Factorizando por :=/-#"

( (>1 =/- . œ >1 =/- =/- .% ' % % #" " " " " " "

œ >1 =/- =/- .( ˆ ‰% # ##" " " "

Transformando las potencias restantes de la secante a tangente, usando latransformación trigonométrica: =/- œ " >1# #" "

œ >1 " >1 =/- .( ˆ ‰% # ##" " " "

œ >1 " #>1 >1 =/- .( ˆ ‰% # % #" " " " "

œ >1 #>1 >1 =/- .( ˆ ‰% ' ) #" " " " "

Sea la variable auxiliar: . Entonces? œ >1 Ê .? œ =/- ." " "#

=( ˆ ‰? #? ? .?% ' )


46

. En términos de la variableœ ? ? ? G ? œ >1" # "

& ( *& ( * "

œ >1 >1 >1 G" # "

& ( *& ( *" " "

Caso2: es un entero positivo impar (La potencia de la tangente es impar)7

En este caso se debe factorizar por y cambiamos las restantes potencia=/- >1! !par de la a , utilizando la identidad trigonométrica.>+81/8>/ =/-+8>/

>1 œ =/- "# #! !

Ejemplo resuelto: La potencia de la tangente es impar ( es impar).7

1.( =/- >1 .( $9 9 9

Factorizando por =/- >19 9

( (=/- >1 . œ =/- >1 =/- >1 .( $ ' #9 9 9 9 9 9 9 9

Cambiando las restantes potencia de la tangente a secante, usando latransformación trigonométrica.

=/- >1 œ " Ê >1 œ =/- "# # # #9 9 9 9

Por lo tanto:

( (=/- >1 . œ =/- >1 =/- >1 .( $ ' #9 9 9 9 9 9 9 9

œ =/- =/- " =/- >1 .B( ˆ ‰' #9 9 9 9

œ =/- =/- =/- >1 .( ˆ ‰) '9 9 9 9 9

Usando variable auxiliar: , en consecuencia:? œ =/- Ê .? œ =/- >19 9 9

œ ? ? .?( ˆ ‰) '


47

; en términos de la variable œ ? ? G ? œ =/-" "

* (* ( 9

œ =/- =/- G" "

* () (9 9

¿Qué sucede si la potencia de la secante es par ( es par) y la potencia de la8tangente es impar ( es impar)?7

Ejemplo resuelto: cuando es par y es impar8 7

Sea la siguiente integral: ( >1 =/- .$ %) ) )

1. Resolviendo por el lado de la potencia par de la secante, se debe factorizar por=/-#) , transformando las restantes potencias de la secante a tangente usando latransformación trigonometría:

=/- >1 œ " Ê =/- œ " >1# # # #) ) ) )

( (>1 =/- . œ >1 =/- =/- .$ % $ # #) ) ) ) ) ) )

œ >1 " >1 =/- .( ˆ ‰$ # #) ) ) )

œ >1 >1 =/- .( ˆ ‰$ & #) ) ) )

Sea la variable auxiliar: ? œ >1 Ê .? œ =/- .) ) )#

œ ? ? .?( ˆ ‰$ &

; en términos de la variable œ ? ? G ? œ >1" "

% '% ' )

œ >1 >1 G" "

% '% ') )


48

2. Resolviendo por el lado de la potencia impar de la tangente, se debe factorizarpor , transformando las restantes potencias de la tangente a secante, usando la=/- >1) )transformación trigonométrica: =/- >1 œ " Ä >1 œ =/- "# # # #) ) ) )

( (>1 =/- .B œ >1 =/- =/- >1 .$ % # $) ) ) ) ) ) )

œ =/- " =/- =/- >1 .( ˆ ‰# $) ) ) ) )

œ =/- =/- =/- >1 .( ˆ ‰& $) ) ) ) )

Sea la variable auxiliar: ? œ =/- Ê .? œ =/- >1 .) ) ) )

œ ? ? .?( ˆ ‰& $

; en términos de la variable œ ? ? G ? œ =/-" "

' %' % )

œ =/- =/- G" "

' %' %) )


49

Resumen: Sea la variable auxiliar, entonces:?

Si: ? œ >1 Ê .? œ =/- .! ! !#

Si: ? œ =/- Ê .? œ =/- >1 .! ! ! !

Transformación trigonométrica: =/- >1 œ "# #! !

( >1 =/- .7 8! ! !

Potencia de Potencia deTangente Secantem:impar n:parFactorizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

Fact=/- >1

>1 È =/-

>1 œ =/- "

! !

! !

! !# #

orizar por:

Cambiando laspotencias de:

Usando:

=/-

=/- È >1

=/- œ " >1

#

# #

!

! !

! !

Potencia de Tangentem:par y potencia de Secante

n: impar

Cambiar la Cambiar lapotencia par: potencia impar

Usando: Usando:

Resolver Resolver

>1 È =/- =/- È >1

>1 œ =/- " =/- œ " >1

! ! ! !

! ! ! !# # # #


50

( (

a b

>1 . =/- .7 8

>1 œ >1 >17

>1 =/-

! ! ! !

! ! !

! !

m nentero positivo entero positivo

Usar TT:7 # #

œ 7# # "

=/- œ =/- =/-8

>1 " =/-

Si n:parUsar TT:

Si n:impar

! ! !

! !

8 # #

œ a b# #ˆ ‰8##

Se usa la integración por partes

Tipo C: Integración de Monomios Cosecante y Cotangente.

( ->1 -9=/- .7 8! ! !

Se trabaja en forma análoga al caso anterior. Tenemos:

Sea la variable auxiliar, entonces:?

Si ? œ ->1 Ä .? œ -9=/- .! ! !#

Si ? œ -9=/- Ä .? œ -9=/- ->1 .! ! ! !

Transformación trigonométrica: -9=/- ->1 œ "# #! !


51

( ->1 -9=/- .7 8! ! !

Potencia de Potencia deCotangente Cosecantem: Impar n:Par

Factorizar por:

Cambiando las potencias de

Usando:

-9=/- ->1

->1 È -9=/-

->1

! !

! !

# #

#

# #! !

!

! !

! !œ -9=/- "

-9=/-

-9=/- È ->1

-9=/- œ " ->1

Factorizando por:

Cambiando las potencias de

Usando:

Ejemplo resuelto.

1.( -9=/- ->1 .% %" " "

Factorizando por: -9=/-#"

( (-9=/- ->1 . œ -9=/- ->1 -9=/- .% % # % #" " " " " " "

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación-9=/- Ä ->1" "trigonométrica -9=/- ->1 œ " Ä -9=/- œ " ->1# # # #" " " "

œ " ->1 ->1 -9=/- .( ˆ ‰# % #" " " "

œ ->1 ->1 -9=/- .( ˆ ‰% ' #" " " "

Usando variable auxiliar: ? œ ->1 Ê .? œ -9=/- ." " "#

.? œ -9=/- .#" "

œ ? ? .?( ˆ ‰a b% '

œ ? ? .?( ˆ ‰% '


52

; en términos de œ ? ? G ? œ ->1" "

& (Œ & ( "

œ ->1 ->1 G" "

& (& (" "

2.( -9=/- ->1 .$ &9 9 9

Factorizando por: -9=/- ->19 9

( (-9=/- ->1 . œ -9=/- ->1 -9=/- ->1 .$ & # %9 9 9 9 9 9 9 9

Cambiando las restantes potencias de , usando la transformación->1 Ä -9=/-9 9trigonométrica: -9=/- ->1 œ " Ä ->1 œ -9=/- "# # # #9 9 9 9

œ -9=/- -9=/- " -9=/- ->1 .( ˆ ‰# # #9 9 9 9 9

œ -9=/- -9=/- #-9=/- " -9=/- ->1 .( ˆ ‰# % #9 9 9 9 9 9

œ -9=/- #-9=/- -9=/- -9=/- ->1 .( ˆ ‰' % #9 9 9 9 9 9

Usando variable auxiliar: ? œ -9=/- Ê .? œ -9=/- ->1 .9 9 9 9 .? œ -9=/- ->1 .9 9 9

œ ? #? ? .?( ˆ ‰a b' % #

œ ? #? ? .?( ˆ ‰' % #

; en términos de œ ? ? ? G ? œ -9=/-" # "

( & $Œ ( & $ 9

œ -9=/- -9=/- -9=/- G" # "

( & $( & $9 9 9


53

Ejemplos propuestos:

1. 2. ( (=/8 -9= . =/8 -9= .$ % # &! ! ! " " "

3. 4. ( (È=/8-9= . =/8 .$

%9

99 ) )

5. 6. ( (È>1=/- . =/- $ >1 $ .$

% $!

!! " " "

7. 8. ( (>1 . -9= =/8 .% & *! ! " " "

9. 10. ( (=/8 -9= . =/8 -9= .& # ) $9 9 9 ) ) )

11. 12. ( (-9= $ . -9= .# '! ! " "

13. ( =/8 -9= .B# %9 9


54

Solución

1. ( =/8 -9= . œ G-9= -9=

& ($ %

& (

! ! !! !

2. ( =/8 -9= . œ G=/8 #=/8 =/8

$ & (# &

$ & (

" " "" " "

3.( È a b a b=/8 -9= -9=

-9=. œ G

$

" &# #

9 9 9

99

" &# #

4.( =/8 . œ G$ =/8 # =/8 %

) % $#%) )

) ) )

5.( È a b a b>1 #

=/-. œ =/- # =/- G

$

$!

!! ! !

$ "# #

6.( =/- $ >1 $ . œ G>1 $ >1 $

"# ")% $

% '

" " "" "

7.( >1 . œ >1 G>1

$%

$

! ! ! !!

8.( -9= =/8 . œ G=/8 =/8 =/8

"! ' "%& *

"! "# "%

" " "" " "

9.( =/8 -9= . œ G=/8 =/8

* ""& #

* ""

9 9 99 9

10.( =/8 -9= . œ -9= B G-9= B #-9= B "

$ $ () $ (

$ &

) ) )

11.( a b-9= $ . œ ' =/8 ' G"

"## ! ! ! !

12.( -9= . œ =/8# =/8% =/8 # G& " $ "

"' % '% %)' $" " " " " "

13.( =/8 -9= .B œ =/8% =/8 # G" " "

"' '% %)# % $9 9 9 9 9


55

Sustitución Trigonométrica.

¿Cuándo se usa?

Este tipo de sustitución se usa cuando en el integrado aparecen expresiones de laforma:

È ÈÈ+ ? + ? ? +# # # # # #

Donde: y? œ ? B + !a b

Generalmente se podrá simplificar la integral por sustitución trigonométrica. Enla mayoría de los casos la sustitución apropiada sugerida elimina el radical y deja encondiciones de integrar.

El método de sustitución trigonométrica para resolver la integrales se simplifica sise acompaña la sustitución con un .triángulo rectángulo

Analizando cada uno de los casos tenemos los siguientes cambios de variable:


56

Resumen Por Sustitución Trigonométrica.

Sea: y :? œ 0 B + !a b Caso 1: Para el integrado de la forma: È+ ?# #

Si en el integrado aparece la expresión radical de la forma: È+ ?# #

a u

22 ua −

θ

+ ? œ + ?+

+# # #

#

##

œ + " ?

+#

#

#Œ œ + "

?

+#

#Œ Š ‹ Por identidad trigonométrica =/8 -9= œ " Ê -9= œ " =/8# # # #) ) ) )

Luego =/8 œ Ê ? œ +=/8 Ê .? œ +-9= .?

+) ) ) )

Al reemplazar en el radical se obtiene:

Ë Œ Š ‹ È a b+ " œ + " =/8?

+# # #

#

)

œ + -9=È # #)

œ + -9=)


57

Ejemplos:

"Þ % *B .B( È #

% *B œ % " *B

%#

#Œ

œ % " $B

# Œ #

=/8 œ Ê B œ =/8$B #

# $) )

Ê .B œ -9= .#

$) )

Obs.: Si existiera más términos en función de la sustitución también tendráBque hacerse.

El triángulo que acompaña a esta expresión es el siguiente:

2 3x

294 x−

θ

Por lo tanto, la integral dada se resuelve de la siguiente forma:

( (ÈÍÍÍÌ Œ % *B .B œ % " .B

$B

##

#

œ # " =/8 -9= .#

$( È Œ #) ) )

œ # -9= -9= .#

$( Œ ) ) )

Como , entoncesœ -9= . -9= œ " -9= #% "

$ #( a b# #) ) ) )


58

œ " -9= # .% "

$ #( Œ a b) )

œ . -9= # .#

$” •( () ) )

œ G# # =/8#

$ $ #)

)Œ

Luego, de la figura podemos ver: =/8 œ Ê œ E<-=/8$B $B

# #) ) Œ

-9= œ% *B

#)

È #

De la identidad tenemos: =/8 # œ #=/8 -9=) ) )

( È% *B .B œ =/8 -9= G# #

$ $# ) ) )

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

( È Œ Œ È% *B .B œ E<-=/8 G

# $B # $B % *B

$ # $ # ##

#

œ E<-=/8 G# $B B % *B

$ # #Œ È #


59

#Þ .B%* B

B( È #

%* B œ %* " B

%*#

#Œ œ %* "

B

(Œ Š ‹#

=/8 œ Ê B œ (=/8B

() )

Ê .B œ (-9= .) )



( (È Ë Œ Š ‹%* B

B B.B œ .B

%* " B

(#

#

œ (-9= .( " =/8

(=/8( È a b#)

)) )

œ ( .-9=

=/8( #)

))

œ ( ." =/8

=/8( #)

))

œ ( . ( ." =/8

=/8 =/8( (

) )) )

)#


60

œ ( -9=/- . ( =/8 .( () ) ) )

œ (68 -9=/- ->1 (-9= G¸ ¸) ) )

Luego, de la figura podemos ver: =/8 œ Ê -9=/- œB (

( B) )

-9= œ%* B

()

È #

->1 œ%* B

B)

È #

En consecuencia, del análisis anterior, podemos concluir que:

( È È Èº º %* B ( %* B %* B

B B B (.B œ (68 ( G

# # #

œ (68 %* B G( %* B

Bº ºÈ È#

#


61

$Þ .BB

% *B( È

#

#

% *B œ % " *B

%#

#Œ

œ % " $B

# Œ #

=/8 œ Ê B œ =/8$B #

# $) )

Ê .B œ -9= .#

$) )


2 3x

294 x−

θ


( (È ÍÍÍÌ Œ B B

% *B.B œ .B

% " $B

#

# #

# #

œ -9= .

%

*=/8

% " =/8

#

$( Œ

È a bŒ #

#

)

)) )


62

œ .

% #

* $=/8 -9=

#-9=( Œ Œ #) )

))

; como œ =/8 . =/8 œ " -9= #% "

#( #( a b# #) ) ) )

œ " -9= # .% "

#( #( a b) )

œ " -9= # .#

#(( a b) )

œ . -9= # .#

#(” •( () ) )

œ =/8 # G# "

#( #” •) )

œ =/8 # G# "

#( #() )

Del triángulo asociado a la expresión podemos ver que:

=/8 œ Ê œ E<-=/8$B $B

# #) ) Œ

-9= œ% *B

#)

È #

De la identidad trigonométrica: . Entonces:=/8 # œ #=/8 -9=) ) )

( È B # #

% *B.B œ =/8 -9= G

#( #(

#

#) ) )

œ E<-=/8 G# $B # $B % *B

#( # #( # #Œ Œ È #

œ E<-=/8 B % *B G# $B "

#( # ")Œ È #


63

Caso 2: Si tenemos radical de la forma È+ ?# #

22 ua +u

a

θ

+ ? œ + ?+

+# # #

#

##

œ + " ?

+#

#

#Œ œ + "

?

+#

#Œ Š ‹ Por identidad trigonométrica " >1 œ =/-# #) )

Luego >1 œ Ê ? œ +>1 Ê .? œ +=/- .?

+) ) ) )#


Ë Œ Š ‹ È a b+ " œ + " >1?

+# # #

#

)

œ + =/-È # #)

œ + =/-)


64

Ejemplos:

"Þ $ %B .B( È #

$ %B œ $ " %B

$#

#Œ

œ $ " #B

$

Î ÑÏ Ò È

#

>1 œ Ê B œ >1 Ê .B œ =/- .#B $ $

$ # #) ) ) )È

È È#

El triángulo asociado es:

Por lo tanto:

( (ÈÍÍÍÍÌ

Î ÑÏ Ò È$ %B .B œ $ " .B

#B

$#

#

œ $ " >1 =/- .$

#( È a b È

# #) ) )

; pero œ $ " >1 =/- . " >1 œ =/-$

#( È È È

# # # #) ) ) ) )


65

œ =/- .$

#( $) )

Integral que se resuelve por partes, cuya solución es:

( =/- . œ =/- >1 68l=/- >1 l G" "

# #$) ) ) ) ) )

Por lo tanto: $ $ $

# % %=/- . œ =/- >1 68l=/- >1 l G( $) ) ) ) ) )

Del triángulo asociado, tenemos que:

-9= œ Ê =/- œ$ $ %B

$ %B $) )

ÈÈ È

È#

#

>1 œ#B

$) È

Por lo tanto:

( È$ %B .B œ =/- >1 68l=/- >1 l G$ $

% %# ) ) ) )

œ 68 G$ $ %B #B $ $ %B #B

% %$ $ $ $ È È

È È È Èº º# #

œ B $ %B 68 G" $ $ %B #B

# % $È º ºÈ

È##


66

#Þ .B"

"' #&B( È #

"' #&B œ "' " #&B

"'#

#Œ

œ "' " &B

% Œ #

>1 œ Ê B œ >1 Ê .B œ =/- .&B % %

% & &) ) ) )#

El triángulo asociado es:

Por lo tanto:

( (È ÍÍÍÌ Œ " "

"' #&B.B œ .B

% " &B

%

# #

pero œ =/- . à " >1 œ =/-" %

"' " >1 &( È a bŒ #

# # #

)) ) ) )

œ =/- .% "

& %=/-(

)) )#

œ =/- ."

&( ) )


67

La integral inmediata de: . Entonces:( =/- . œ 68l=/- >1 l G) ) ) )

( (È " "

"' #&B.B œ =/- .

&#) )

œ 68l=/- >1 l G"

&) )

Del triángulo determinamos que:

=/- œ"' #&B

%)

È #

>1 œ&B

%)

Finalmente:

( È » »È" " "' #&B &B

"' #&B.B œ 68 G

& % %#

#

œ 68 G" "' #&B &B

& %» »È #


68

Caso 3: Si tenemos radical de la forma È? +# #

22 au −u

aθ

? + œ ? ++

+# #

#

## #

œ + "?

+#

#

#Œ œ + "

?

+#

#Œ Š ‹ Por iedentidad trigonométrica =/- >1 œ " Ê >1 œ =/- "# # # #) ) ) )

Luego =/- œ Ê ? œ +=/- Ê .? œ +=/- >1 .?

+) ) ) ) )


Ë Œ Š ‹ È a b+ " œ + =/- "?

+# # #

#

)

œ + >1È # #)

œ + >1)


69

Ejemplos:

"Þ "'B *.B( È #

"'B * œ * ""'B

*#

#Œ

œ * "%B

$ Œ #

=/- œ Ê B œ =/- Ê .B œ =/- >1 .%B $ $

$ % %) ) ) ) )


22 au −

au

θ

4x3

916 2 −x

θ

Por lo tanto:

( (ÈÍÍÍÌ Œ "'B * .B œ * " .B

%B

$#

#

œ * =/- " =/- >1 .$

%( È a b Œ #) ) ) )

; como œ =/- >1 =/- " . >1 œ =/- "*

%( È) ) ) ) ) )# # #

; usando œ =/- >1 . >1 œ =/- "*

%( ) ) ) ) )# # #

œ =/- =/- " .*

%( ˆ ‰) ) )#


70

œ =/- =/- .*

%( ˆ ‰$) ) )

œ =/- >1 68l=/- >1 l 68l=/- >1 l G* " "

% # #Œ ) ) ) ) ) )

œ =/- >1 68l=/- >1 l G* *

) )) ) ) )

Del triángulo:

=/- œ à >1 œ%B "'B *

$ $) )

È #

Por lo tanto:

( È"'B *.B œ =/- >1 68l=/- >1 l G* *

) )# ) ) ) )

œ 68 G* %B "'B * * %B "'B *

) $ $ ) $ $Œ » »È È# #

œ B "'B * 68 G" * %B "'B *

# ) $È » »È

##


71

2Þ .B

$'B %*( È #

$'B %* œ %* "$'B

%*#

#Œ

œ %* "'B

( Œ #

=/- œ Ê B œ =/- Ê .B œ =/- >1 .'B ( (

( ' ') ) ) ) )

El triángulo que acompaña a esta expresión:

Por lo tanto:

( (È ÍÍÍÌ Œ .B .B

$'B %*œ

%* "'B

(

# #

œ

(

'=/- >1 .

%* =/- "( È a b

) ) )

)#

como: œ à >1 œ =/- "

(

'=/- >1 .

( =/- "( È

) ) )

)) )

#

# #

œ" =/- >1 .

' >1( ) ) )

)


72

œ =/- ."

'( ) )

œ 68l=/- >1 l G"

') )

Del triángulo asociado, se tiene: y=/- œ >1 œ'B $'B %*

( () )

È #

En consecuencia: ( È » »È.B " 'B $'B %*

$'B %*œ 68 G

' ( (#

#

œ 68 G" 'B $'B %*

' (» »È #


73


1. 2. ( (È È* B

B.B B &.B

#

##

3. 4. ( (È È.B .B

B B * B #&$ # #

5. 6. ( (a b È.B .B

' B B % B# # #$#

7. 8. ( (ÈÈB * %B

B %.B .B

B

#

#

#

9. 10.( (È a b.B "' *B

B * %B B.B

#

#

'

$#

11. 12. ( (È a bB .B

#B B.B

%B #%B #(

#

# #$#

13. 14. ( (a bÈ.B #& B

% B B.B

#

#

$#

15. 16. ( (È a b.B .B

B %B "$ %B B# #$#


74

Solución

1.( È È* B * B B

B B $.B œ E<-=/8 G

# #

#

2.( È È » »ÈÈB &.B œ B B & 68 G

" & B & B

# # &# #

#

3.( ÈÈ.B " B B *

B B *œ E<-=/- G

&% $ ")B$ #

#

#

4.( È » »È.B B B #&

B #&œ 68 G

& &#

#

5.( a b È.B B

' Bœ G

' ' B# #$#

6.( ÈÈ.B % B

B % Bœ G

%B# #

#

7.( È È ÈB "

B %.B œ B B % #68lB B %l G

#

#

#

# #

8.( È È» » È* %B $ * %B

B B.B œ $68 * %B G

# ##

9.( È » »È.B " * %B $

B * %Bœ 68 G

$ #B#

#

10. ( a b a b"' *B " "* *B

B )! B.B œ G

# #

' &

$ &# #

11.( È a b a bÈB $ "

#B B.B œ E<-=/8 B " B $ #B B G

# #

#

#

#

12.( a b È.B " B $

%B #%B #(œ G

* %B #%B #(# #$#


75

13.( a b È.B B

% Bœ G

% % B# #$#

14.( È È» » È#& B & #& B

B B.B œ &68 #& B G

# ##

15.( È ¹ ¹È.B

B %B "$œ 68 B # B %B "$ G

##

16.( a b È.B B #

%B Bœ G

% %B B# #$#


76

Funciones Racionales

¿Cuándo se utiliza?

Para integrar cualquier función racional del tipo , cuando y sonT B

U BT B U B

a ba b a b a bpolinomios de grado y respectivamente.8 7

Sea la siguiente integral formada por la función racional (El cuociente deT B

U B

a ba bdos polinomios en la variable )B

( (a ba bT B + B + B † † † + B +

U B , B , B † † † , B ,.B œ .B8 8" " !

7 7" " !

8 8"

7 7"

Donde:

es el grado de 8 T Ba b es el grado de 7 U Ba b Si el grado de , es decir , entonces debe realizarse la divisiónT B U B 8 7a b a bde polinomios (división sintética) cuyo cuociente es de yG Ba b integración inmediatacuyo resto R se descompone mediante .a bB Fracciones Parciales

( ( (a b a ba b a ba bT B V B

U B U B.B œ G B .B .B

Por lo tanto va a interesar la integración de funciones de la forma: .( a ba bV B

U B.B

Para lo cual debemos descomponer la función de la forma en fracciones parciales.

Después de que ha sido factorizado en productos de factores lineales yU Ba bcuadráticos, el método para determinar fracciones parciales depende de la naturaleza dedichos factores.

Considerando varios casos por separado, tenemos:


77

Caso 1:

Los factores de son todos lineales y ninguno se repite.U Ba b

T B T B

U B + B , + B , † † † + B ,œ

a b a ba b a ba b a b" " # # 8 8

En este caso la fracción parcial a escribir es:

T B E E E E

U B + B , + B , + B , + B ,œ † † †

a ba b a b a b a b a b" # $ 8

" " # # $ $ 8 8

Donde: son constantes que se van a determinar.E ß E ß E ß ÞÞÞß E" # $ 8

Ejemplos de integración por fracciones parciales.

( #B $

B B '.B

#

Factorizando el denominador:

B B ' œ B $ B ## a ba b

#B $ #B $

B B ' B $ B #œ

# a ba b Planteando la fracción parcial correspondiente:

#B $ E F

B $ B # B $ B #œ a ba b

Donde los valores de y han de calcularse de forma tal que la igualdad seaE Fvalida para todo sacando factor comun,B

#B $ E F E B # F B $

B $ B # B $ B # B $ B #œ œa ba b a ba ba b a b

llegamos a la ecuación básica siguiente:

#B $ œ E B # F B $a b a b #B $ œ E F B #E $Fa b a b


78

Podemos determinar las constantes de dos maneras:

1.Método general: Consiste en igual los coeficientes de potencias identicas de y resolverB

Sea: #B $ œ E F B #E $Fa b a b ¾ E F œ #

#E $F œ $

Resolviendo: E œ à F œ$ (

& &

2.Método Abreviado: Dado que la identidad es valida para todo , tenemos:B

#B $ œ E B # F B $a b a b Evaluando para:

B œ # Ê # # $ œ E # # F # $a b a b a b ( œ &F

F œ(

&

B œ $ Ê # $ $ œ E $ # F $ $a b a b a b $ œ &E

E œ$

&

Por lo tanto: y E œ F œ$ (

& &

Por cualquiera de los métodos tenemos:

#B $ $ (

B $ B # & B $ & B #œ a ba b a b a b


79

Entonces:

( ( (a ba b a b a b#B $ $ (

B $ B # & B $ & B #.B œ .B .B

œ .B .B$ " ( "

& B $ & B #( (a b a b

œ 68 lB $l 68lB #l G$ (

& &


80

:Caso 2

Los factores de son todos lineales y algunos están repetidos.U Ba b Supongamos que el factor es un factor que se repite veces.a b+ , 5

3 3

T B T B

U Bœ

+B ,

a b a ba b a b5 a este factor le corresponde la suma de fracciones parciales dada por:

T B E E E E

U Bœ † † †

+ B , + B , + B , + B ,

a ba b a b a b a b a b" # $ 5

" # $ 5

" # $ 5

Donde: son constantes que se van a determinar.E ß E ß ÞÞÞÞÞß E" # 5

Ejemplos resueltos

( a bB &B "

B %.B

#

$

B &B " E F G

B % B % B %œ

B %

#

$ # $a b a b a b œ

E B % F B % G

B %

a b a ba b#

$

B &B " œ E B % F B % G ÞÞÞ "# #a b a b a b

Desarrollando:

B &B " œ E B )B "' F B % G# #a b a b B &B " œ E B )E F B "'E %F G ÞÞÞ ## #a b a b a b a b


81

1.Método abreviado:

Sea: B &B " œ E B % F B % G# #a b a b Para B œ % Ê % & % " œ E % % F % % Ga b a b a b a b# #

"' #! " œ ! ! G

G œ $(

Para B œ ! Ê ! & ! " œ E ! % F ! % $(a b a b a b a b# #

" œ "'E %F $(

"'E %F œ $'

Para B œ " Ê " & " " œ E " % F " % $(a b a b a b a b# #

" & " œ *E $F $( *E $F œ $!

¾ "'E %F œ $' *E $F œ $!

Resolviendo: E œ "à F œ "$à G œ $(

2.Método General:

Sea: B &B " œ E B )E F B "'E %F G# #a b a b a b Igualando los coeficientes de potencias identicas, tenemos:

E œ "

)E F œ &

"'E %F G œ "

Resolviendo: E œ "à F œ "$à G œ $(


82

Por lo tanto:

B &B " " "$ $(

B % B % B %œ

B %

#

$ # $a b a b a b Entonces:

( ( ( (a b a b a bB &B " " "$ $(

B % B % B %.B œ .B .B .B

B %

#

$ # $

œ 68 B % G"$ $(

B % # B %¸ ¸ a b#


83

Caso 3:

Los factores de son lineales y cuadráticos de la forma .U B +B ,B -a b #

Ninguno de los factores cuadráticos se repite.

Por cada factor cuadrático no factorizable y que no se repite, le corresponde lafracción parcial dada por:

EB F

+B ,B -#

Ejemplo resuelto:

( a ba b$B #

B % B B ".B

#

$B # E FB G

B % B B " B % B B "œ a ba b# #

œE B B " FB G B %

B % B B "

a b a ba ba ba b#

#

La ecuación básica es:

$B # œ E B B " FB G B % ÞÞÞ "a b a ba b a b#

$B # œ E F B E %F G B E %G ÞÞÞ #a b a b a b a b#

1.Método general:

Sea: $B # œ E F B E %F G B E %Ga b a b a b#

¾ E F œ !

E %F G œ $

E %G œ #

Resolviendo:

E œ à F œ à G œ"! "! *

"$ "$ "$ 2.Método abreviado:


84

Sea: $B # œ E B B " FB G B %a b a ba b#

Para: B œ % Ê $ % # œ E % % " F % G % %a b a b a b a ba bˆ ‰ a b#

"! œ "$E Ä E œ "!

"$

Para: B œ ! Ê $ ! # œ E ! ! " F ! G ! %a b a b a b a ba bˆ ‰ a b#

# œ E %G

# œ %G Ä G œ"! *

"$ "$

Para: B œ " Ê $ " # œ E " " " F " G " %a b a b a b a ba bˆ ‰ a b#

& œ $E &F &G

& œ $ &F & Ä F œ"! * "!

"$ "$ "$Œ Œ

Por lo tanto: E œ à F œ à G œ"! "! *

"$ "$ "$

Tenemos:

$B #

B % B B " B % B B "œ

B "! "! *

"$ "$ "$a ba b# #

$B # "! "!B *

B % B B " "$ B % "$ B B "œ a ba b a b a b# #


85

Luego:

( a ba b$B #

B % B B "#

œ .B .B"! " " "!B *

"$ B % "$ B B "( ( #

œ 68 lB %l .B"! " "!B *

"$ "$ B B "( #

œ 68 B % E<->1 68 B B " G"! ) #B " &

"$ "$"$ $ $¸ ¸ ˆ ‰È È #


86

Caso 4:

Los factores de son lineales y cuadráticos, y algunos de los factoresU Ba bcuadráticos se repiten. Si es un factor cuadrático no factorizable de que se repite veces, entoncesU B 5a ble corresponde la siguiente descomposición en fracciones parciales:

E BF E BF

+B ,B- +B ,B- +B ,B-

E BF E BF E BF

+B ,B- +B ,B-" " # # 5" 5" 5 5# # #" # $

$ $# #5" 5a b a b a b a b a b ÞÞÞ

Ejemplo:

( a b a b$ #B

B " B &.B

# #

$ #B E FB G HB I

B " B & B "œ

B & B "a b a b a b# ## ##

œE B " FB G B & B " HB I B &

B " B &

a b a ba ba b a ba ba b a b

# ##

# #

La ecuaciones básicas:

$ #B œ E B " FB G B & B " HB I B & ÞÞÞÞ "a b a ba ba b a ba b a b# ##

Desarrollando:

$ #B œ EF B &F G B #E F &G H B &H I G &F B E &G &I ÞÞÞ #a b a b a b a b a b a b% $ #

1.Método General:

Sea:

$ #B œ EF B &F G B #E F &G H B &H I G &F B E &G &Ia b a b a b a b a b% $ #

EF œ ! F G œ ! #E F &G H œ ! &H I G &F œ # E &G &I œ $


87

¾ E œ à F œ à G œ à H œ à I œ " " & " "

&# &# &# # #

$ #B

B " B & B "œ

" " &

&# &# &#B & B "

B B " "

# #a b a b a b# ## ##

$ #B " B & B "

B " B & # B "œ

&# B & &# B "a b a b a ba b a b# ## ##

( a b a b$ #B

B " B &.B

# #

œ .B .B .B" B & B "

&# B & &# B " # B "( ( (a b a b a b# # #

œ .B .B .B" " " B & " B "

&# B & &# B " # B "( ( ( a b# # #

œ 68lB &l 68lB "l &E<->1 B E<->1 B " " " " " " B

&# &# # # # B " # B "” • ” •a b Œ #

# #

œ 68lB &l 68lB "l E<->1B E<->1B G" " & " " B

&# "!% &# % B " % % B "#

# #a b a bœ 68lB &l 68lB "l E<->1B G

" " * " B

&# "!% #' % B "#

#a b


88


Factorizar las siguientes funciones (fracciones parciales) y evaluar la integralindefinida.

1. 2. ( (a b a ba b

B " .B C " .C

B B #B C C #$ #

$

# $

3. 4.( (a b a ba ba b a b> #> $ .> @ # .@

> " > #> # @ @ %@ &

#

# # #

5. 6. ( ( a b.B C " .C

B % C C 'C# $ #

7. 8. ( (a ba b

$> & .> #@ $

> > > " @ ".@

$ #

#

# #

9. 10. ( (.B D.D

B * D $D %# #


89

Solución

1.( a bB " .B " " #

B B #B # ' $œ 68lBl 68lB #l 68lB "l G

$ #

2.( a ba b a b º ºC " .C ""C "(C % $ C

C C # )C C #œ 68 G

"' C #

$ #

# $ #

3. ( a ba ba b> #> $ .>

> " > #> #œ

#

#

* # )

"! & "!68l> #> #l E<->1 > " 68l> "l G# a b

4.( a ba b

@ # .@

@ @ %@ &œ

# #

" @ %@ & $ @ %

#& @ &! "! @ %@ &68 E<->1 @ # Gº º a b a b

#

# #

5.( .B " "

B % % %œ 68lB #l 68lB #l G

#

6.( a bC " .C " $ #

C C 'C ' "! "&œ 68lCl 68lC #l 68lC $l G

$ #

7.( a b$> & .> " " %

> > > " # # > "œ 68l> "l 68l> "l G

$ #

8.( a b a b#@ $ & @

@ ".@ œ E<->1 @ G

# # @ "

#

# # #

9.( º º.B " B $

B * ' B $œ 68 G

#

10.( D.D " %

D $D % & &œ 68lD "l 68lD %l G

#


90

Autoevaluación

Resuelva las siguientes Integrales

. " .>/E<- >1 >

" >( #

#Þ .C68 C

C " 68 C( a b#

$Þ B / .BB( $ $

. % -9= & .( % ! !

&Þ -9>1 $ -9=/- $ .( a b a b# %9 9 9

. ' .DD

% D( È

$

#

(Þ .BB *

B B $( a b#


91

Solución

"Ñ .>/

" >( E<->1 >

#

? œ E<->1 >

.? œ .>"

" >#

( (/

" >.> œ / .?

E<->1 >

#?

œ / G?

œ / GE<->1 >

#Ñ .C68C

C " 68 C( a b#

? œ " 68 C#

.? œ #68C † .C Ê œ .C" .? 68 C

C # C

( (a b68C " .?

C " 68 C ? #.C œ †

#

œ .?" "

# ?(

œ 68 ? G"

#¸ ¸

œ 68 " 68 C G"

#¸ ¸#


92

$Ñ B / .B( $ $B

? œ B .@ œ / .B$ $B

.? œ $B .B @ œ /"

$# $B

( (B / .B œ B / B / .B"

$$ $B $ $B # $B

? œ B .@ œ / .B# $B

.? œ #B.B @ œ /"

$$B

( (Œ B / .B œ B / B / B/ .B" " #

$ $ $$ $B $ $B # $B $B

( (B / .B œ B / B / B/ .B" " #

$ $ $$ $B $ $B # $B $B

? œ B .@ œ / .B$B

.? œ .B @ œ /"

$$B

( (Œ B / .B œ B / B / B/ / .B" " # " "

$ $ $ $ $$ $B $ $B # $B $B $B

( (B / .B œ B / B / B/ / .B" " # #

$ $ * *$ $B $ $B # $B $B $B

( B / .B œ B / B / B/ † G" " # # /

$ $ * * $$ $B $ $B # $B $B

$B

( B / .B œ B / B / B/ / G" " # #

$ $ * #($ $B $ $B # $B $B $B


93

%Ñ -9= & . œ ." -9="!

#( ( Œ %

#

! ! !!

œ " #-9="! -9= "! ."

%( ˆ ‰! ! )#

œ . -9="! . ." " " " -9=#!

% # % #( ( ( Œ ! ! ! !

!

œ † . -9=#! ." " =/8"! " "

% # "! ) )! ! ! !

! ( ( œ =/8"! † G

" " " " =/8#!

% #! ) ) #!! ! !

!

œ =/8"! =/8#! G$ " "

) #! "'!! ! !

&Ñ -9>1 $ -9=/- $ . œ -9>1 $ -9=/- $ -9=/- $ .( (a b a b a b a b a b# % # # #9 9 9 9 9 9 9

œ -9>1 $ " -9>1 $ -9=/- $ .( a b a b a bˆ ‰# # #9 9 9 9

œ -9>1 $ -9=/- $ . -9>1 $ -9=/- $ .( (a b a b a b a b# # % #9 9 9 9 9 9

? œ -9>1 $a b9 .? œ $-9=/- $ . Ê œ -9=/- $ .

.?

$# #a b a b9 9 9 9

( ( (a b a b Œ Œ -9>1 $ -9=/- $ .A œ ? ? .? .?

$ $# % # %9 9

œ ? .? ?" "

$ $( (# %

œ † † G" ? " ?

$ $ $ &

$ &

œ -9>1 $ -9>1 $ G" "

* "&$ &a b a b9 9


94

'Ñ ( È D

% D.D

$

#

% D œ % " œ =/8D D

% ##

#Œ !

œ % " D œ #=/8D

#Œ Š ‹#

!

.D œ #-9= .! !

( (È Ë Œ Š ‹D D

% D.D œ .D

% " D

#

$ $

# #

œ #-9= .#=/8

# " =/8( a bÈ a b!

!! !

$

#

œ)=/8 #-9= .

#-9=( $! ! !

!

œ ) =/8 .( $! !

œ ) " -9= =/8 .( ˆ ‰#! ! !

œ ) =/8 . ) -9= =/8 .( (! ! ! ! !#

œ )-9= -9= G)

$! !$

œ ) G% D ) % D

# $ #

È È # #$

œ % % D % D % D G"

$È ˆ ‰È# ##


95

(Ñ .BB *

B B $( a b#

B * E F G

B B $ B $œ

B B $a b a b# #

œE B $ FB B $ GB

B B $

a b a ba b

#

#

œB E F B 'E $F G *E

B B $

#

#

a b a ba b

EF œ ! 'E $F G œ " *E œ * Ê E œ " F œ " G œ #

( ( ( (a b a bB * " " #

B B $ B $.B œ .B .B .B

B B $# #

œ 68 B 68 B $ # B $ .B¸ ¸ ¸ ¸ ( a b#

œ 68 B 68 B $ # GB $

"¸ ¸ ¸ ¸ a b"

œ 68 B 68 B $ G#

B $¸ ¸ ¸ ¸


UNIDAD Nº2INTEGRALDEFINIDA


96

Integral Definida

Interpretación de la integral definida:

Sea una función continua en el intervalo [ ], cuya gráfica es:C œ 0 B +ß ,a b

x

y

a b

y = f(x)

A

Sea una región del plano comprendida entre la función , el eje , lasE C œ 0 B Ba brectas y B œ + B œ ,

Nuestro interés esta en el siguiente problema:

Como calcular el área de la región achurada en los límites planteados:E

x

y

a b0

y = f(x)

A

��

A

y

x


97

Para evaluar el área bajo la curva se realiza el siguiente proceso:

1.Dividir el intervalo [ ] en un cierto número de subintervalos, no+ß , 8necesariamente iguales. Sea los punto de subdivisión

a=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

x

y = f(x)

......... .........

donde: + œ B B B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ B B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ B B œ ,

! " # 3" 3 8" 8

- Los intervalos la misma longitudno tienen necesariamente - El primer intervalo esta dado por: tal que: ‘ ‘B ß B œ +ß B aB B Ÿ B Ÿ B

! " ! ! "

- Longitud de cada subintervalo es:

para el 1 subintervalo˜ œ B B" " !

er

para el 2 subintervalo˜ œ B B# # "

do

para el 3 subintervalo˜ œ B B$ $ #

er

para el 4 subintervalo˜ œ B B% % $

to

ã para el -ésimo subintervalo˜ œ B B 33 3 3"

ã para el -ésimo subintervalo˜ œ B B 8

8 8 8"


98

2.Cada subintervalo forma un rectángulo de base y alturaJ3 3 3" 3B œ B B 0 -a b

Donde: es decir esto es - − B ß B B Ÿ - Ÿ B a 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8

3 3 3" 3 3 3"c d

x

y

a b0

y = f(x)

A

y

xa=x0 x1 x2 ..... xi-1 xi ....... xn-1 xn =b

y = f(x)

......... .........

0

c1 c2 ci cn

f(ci)f(cn)

f(ci)

3.Calculando el área de cada rectángulos formados por los subintervalos de baseJ

3 3 3" 3B œ B B 0 - y altura a b

E ¸ 0 - † B œ 0 - † B B" " " " " !

a b a b a bJ E ¸ 0 - † B œ 0 - † B B

# # # # # "a b a b a bJ

E ¸ 0 - † B œ 0 - † B B$ $ $ $ $ #

a b a b a bJ. ã E ¸ 0 - † B œ 0 - † B B

3 3 3 3 3 3"a b a b a bJ

ã E ¸ 0 - † B œ 0 - † B B

8 8 8 8 8 8"a b a b a bJ

Sumando el área de todos los rectángulos formados, tenemos una buenaaproximación deseada del de la función en el intervalo área bajo la curva C œ 0 B +ß ,a b c dy las rectas B œ +ß B œ ,

Área Región V ¸ 0 - † B 0 - † B 0 - † B ÞÞÞ 0 - † Ba b a b a b a b" " # # $ $ 8 8

J J J J

Área de la Región: E ¸ 0 - † B

3 œ "

8" a b3 3

J


99

Debemos notar que:

-A medida que el número de intervalos aumenta, la aproximación será aun8mejor. -Cuando el número de subintervalos tiende a infinito , es equivalente a8 Ä _decir que la longitud de los subintervalos (este intervalo es un infinitesimal)J

3B Ä !

A partir de este concepto se define el de una función como área bajo la curva laintegral definida de la función desde hasta .0 Ba b + ,

Área de la Región: E œ 0 - † Blimm mÄ!?

" a b3œ"

8

3 3J

Este límite corresponde a lo que se denomina INTEGRAL DEFINIDA, se expresacomo:

E œ 0 B .B( a b+

,

Por lo tanto: El área bajo la curva entre y , se evalúa como la deB œ + B œ , integral definidala función entre los limites de integración y .C œ 0 B + ,a b

x

y

a b0

y = f(x)��

Area de la Región.

)(

)(

baxf

dxxfb

a

y puntos losentre funciónla de definida integral

la comodefine se regiónla de Área El

Regiónla de Área ∫=

Donde : La función es el 0 integrado Los números y son los + , límites de integración inferior y superior. La letra es la variable de integraciónB


100

Propiedades generales de la integral definida

(1)Intercambiando los límites de una integral cambia el signo al frente de laintegral.

( (a b a b+ ,

, +

0 B .B œ 0 B .B

(2)La integral de una región se dividirá en la suma de cualquier numero deintegrales, cubriendo cada una de ellas una porción de la región.

( ( (a b a b a b+ + -

, - ,

0 B .B œ 0 B .B 0 B .B

(3)Valoración de una integral definida:

( a b a b a b+

,

0 B .B œ J , J +

En general para continua en un intervalo de integración , son0 B + Ÿ B Ÿ ,a bvalidas las propiedades básicas de la integral indefinida. Así tenemos:

(1) constante( (a b a b+ +

, ,

50 B .B œ 5 0 B .B à 5

(2)( ( (’ “a b a b a b a b+ + +

, , ,

0 B „ 1 B .B œ 0 B .B „ 1 B .B


101

Ejemplo: Resolver las integrales definidas.

(1) Resolver ( ˆ ‰"

$#%B $B " .B

Desarrollo:

( ( ( (ˆ ‰" " " "

$ $ $ $# #%B $B " .B œ %B .B $B.B ".B

œ % B .B $ B.B .B( ( (" " "

$ $ $#

œ B B B% $

$ #$ #

$ $ $

" " "¹ ¹ ¹

œ $ " $ " $ "% $

$ #ˆ ‰ ˆ ‰ a b$ $ # #

œ † #' † ) #% $

$ #

œ "# #"!%

$

œ "!"!%

$

œ ¸ %%ß '''''"$%

$

(2)Resolver (!

1#

=/8 .9 9

Desarrollo:

( ¹! !

1 1# #

=/8 . œ -9=9 9 9

œ -9= -9= !1# a b

œ ! "a b œ "


102

(3) Resolver (!

"# BB / .B

Desarrollo:

Sea ? œ B .@ œ / .B# B

.? œ #?.? @ œ / .B œ /( B B

( (¹! !

" "# B # B B

"

!B / .B œ B / # B/ .B

? œ B .@ œ / .BB

.? œ .B @ œ / .B œ /( B B

( (¹ ¹– —! !

" "# B # B B

" "

!B / .B œ B / # B/ /B.B

!

Evaluando los límites de integraciónœ B / #B/ #/# B B B" " "

! ! !¹ ¹ ¹

œ " / ! / # "/ !/ # / /c d ‘ ‘# " # ! " ! " !

œ / #/ # / "c d"

œ / #/ #/ #

œ / #

¸ !ß ("


103

(4) Resolver ("

$

#

C "

C #C (.C

Desarrollo

Sea ? œ C #C ( Ê .? œ #C # .C Ê œ C " .C.?

## a b a b

Como se hace un cambio de variable se deben cambiar lo límites de integración

Para C œ " Ê ? œ " # " ( Ê ? œ "!a b a b#

Para C œ $ Ê ? œ $ # $ ( Ê ? œ ##a b a b#

( (" "!

$ ##

#

C "

C #C ( ?.C œ

.?

#

œ" .?

# ?(

10

22

œ 68 ?"

#¸ ¸º##

"!

œ 68 ## 68 "!"

#a ba b a b

œ 68" ##

# "!Œ Œ

œ 68" ""

# &Œ

Otro camino es resolver la integral como indefinida y finalmente evaluar

( (C "

C #C ( ?.C œ

.?

##

œ" .?

# ?(

œ 68 ? G"

#¸ ¸


104

œ 68 C #C ( G"

#¸ ¸#

Así,

( ¸ ¸º"

$

##

"

$C " "

C #C ( #.C œ 68 C #C (

œ 68 ## 68"!"

#a ba b

œ 68" ##

# "!Œ Œ

œ 68" ""

# &Œ

(5) Resolver ( È!

# $ #

#

ÈB

"' B.B

Desarrollo

"' B œ "' " B

"'#

#Œ œ "' "

B

%Œ Š ‹#

=/8 œ Ê B œ %=/8 Ê .B œ %-9= .B

%) ) ) )

Para B œ ! Ê =/8 œ ! Ê œ !) )

Para B œ # $ Ê =/8 œ Ê œ$

# $È È

) )1

Así,

( (È Ë Œ Š ‹! !

# $ # $# #

# #

È ÈB B

"' B.B œ .B

"' " B

%


105

œ %-9= ."'=/8

"' " =/8( È a ba b!

Î$ #

#

1 )

)) )

œ %-9= ."'=/8

%-9=( a b!

Î$ #1 )

)) )

œ "' ." -9=#

#(!

Î$1 ))

œ ) =/8#"

#Œ º) )

1Î$

!

œ ) =/8# ! =/8# !$ # $ #

" "Œ Š ‹ a b1 1

œ ) $ # #

" $ È1

œ # $)

$

1 È


106

Ejemplos propuestos con respuestas.

Evaluar las siguientes integrales definidas

1. 2.( (ˆ ‰ Œ " $

" "# $

# $#B B .B .C

" "

C C

3. 4. ( (È" '

% "!.> .@

> @ #

5. 6. ( ( È# &

# $

##

.B

B %C % .C

7. 8. ( (" "

# /

#

.>

> *68 @ .@


107

Solución

1. ( ˆ ‰"

"# $#B B .B œ

%

$

2. ( Œ $

"

# $

" " "!

C C * .C œ

3. ( È"

% .>

>œ #

4. ('

"! .@

@ #œ 68 #

5. (#

#

#

.B "

B % %œ 1

6. ( È È È ÈÈ&

$#C % .C œ #" & #68

& $ $ &

# # & #"

7. ("

#

#

.> "

> * 'œ 68 !ß "

8. ("

/

68 @ .@ œ "


108

Areas en Coordenadas Cartesianas

Debido a la interpretación geométrica de la integral definida, es posible en cálculode áreas planas.

1.Área entre una curva y el eje :\ Al realizar este cálculo se debe tener presente que la integral definida representael área encerrada por la curva el eje en un intervalo definido [ , ]C œ 0 B ß \ + ,a b Ejemplos resueltos: Determinar el área de la región acotada

1.Determinar el área de la región acotada por la curva entre0 B œ "&B ")a bc d#ß & Þ Graficar.

E œ 0 B .B( a b#

&

œ "&B ") .B( a b#

&

œ "&B.B ").B( (# #

& &

œ B ")B"&

##

& &¹ ¹# #

œ & # ") & #"&

#ˆ ‰ a b# #

œ #""ß & ?Þ ./ +Þa b


109

2.Determinar el área encerrada por entre los límites y .0 B œ B B œ # B œ &"

%a b #

Graficar

E œ 0 B .B( a b#

&

œ B .B"

%(#

&#

œ B .B"

%(#

&#

œ" B

% $Œ º$ &

#

œ B"

"#$

&

#º

œ & #"

"#ˆ ‰$ $

œ "#& )"

"#a b

œ ¸ *ß (& ?Þ ./ +Þ""(

"#a b


110

3.Determinar el área encerrada por entre los límites y0 B œ B # B œ #a b #

B œ &. Graficar

E œ 0 B .B( a b#

'

œ B # .B( ˆ ‰#

'#

œ B .B #.B( (# #

' '#

œ #BB

$

$ ' '

# #º º

œ & # # & #"

$ ‘a b c da b$ $

œ &)ß $$ ?Þ ./ +Þa b


111

4. Determinar el área de la región limitada por la curvas: en elC œ B #"%

intervalo . Graficar

x=1 x=5

y=2

��

241 3 += xy

x

y

o

E œ C.B("

&

œ B # .B"

%( Œ "

&$

œ B .B #.B"

%( (" "

& &$

œ #B" B

% %Œ º º%

" "

& &

œ & " # & ""

"'ˆ ‰ a b% %

œ %( ?Þ ./ +Þa b


112

5.Determinar el área encerrada por la función , el eje y las rectasC œ B " BÈB œ $ B œ ( y

E œ C.B($

(

œ " B.B( È$

(

Por cambio de variable: ? œ " B Ê .? œ .B

( (È" B.B œ ? .?"#

œ ? G#

$

$#

œ " B G#

$a b $

#

Entonces:

E œ Ð" BÑ#

$

$# º

$

(

E œ ) %# #

$ $a b a b$ $

# #

E œ ) )"' #

$ $È a b


113

E œ ) "' "'

$ $È

E ¸ *ß (& ?Þ ./ +Þa b 6. Determinar el área limitada por el eje y la función en el intervaloB 68 B "a bc d3 , 8 . Gráfica

E œ C.B($

)

œ 68 B " .B( ¸ ¸$

)

Integrando por partes: ? œ 68 B " .@ œ .B¸ ¸ .? œ .B @ œ B

"

B "

( (¸ ¸ ¸ ¸º$ $

) )

$

)

68 B " .B œ B68 B " .BB

B "

Sea D œ B " Ä B œ D " .D œ .B

( (B D "

B " D.B œ .D


114

œ .D .D"

D( (

œ D 68 D G¸ ¸ Por lo tanto, ( ¸ ¸ ¸ ¸ ‘º ºa b ¸ ¸

$

)

$ $

) )

68 B " .B œ B68 B " B " 68 B "

œ B68 B " B " 68 B "’ “¸ ¸ ¸ ¸a b º$

)

œ B " 68 B " B "’ “a b a b¸ ¸ º$

)

œ B " 68 B " "’ “a bˆ ‰¸ ¸ º$

)

œ ) " 68 ) " " $ " 68 $ " " ‘ ‘a b a bˆ ‰ ˆ ‰¸ ¸ ¸ ¸ œ *68 * * %68 % %

œ *68 * %68 % &

¸ "*ß ((& &ß &%& &

¸ *ß ##* ?Þ ./ +Þa b


115

7. Determinar el área limitada por la función , el eje y las rectasC œ / BB

B œ "ß &!! B œ $ß #!! y . Graficar:

��

x=3,2 x0

A

( ) xexf =y

1

x=1,5

E œ C.B("ß&

$ß#

œ / .B("ß&

$ß#B

œ /B$ß#

"ß&¹

œ / /$ß# "ß&

¸ #!ß !&


116

8.Determinar el área de la región dada por la función y las rectasC œ"

B "B œ # B œ & B, con el eje .

��

x= 5x

0

( )1

1−

=x

xf

1 x= 2

y

-1

E œ C.B(#

&

œ .B"

B "(#

&

Resolviendo por variable auxiliar. Sea ? œ B " Ä .? œ .B

Entonces, ( (" .?

B " ?.B œ

œ 68 l?l G

œ 68 lB "l G

Por lo tanto,

E œ .B"

B "(#

&

œ 68 lB "l¹#

&

œ 68 l& "l 68 l# "l

œ 68 % 68 " ¸ "ß $)'$ ?Þ./ +Þa b


117

9.Determinar el área de formada con el eje y la función en elB C œ #=/8Bintervalo cerrado 0 , .Ò Ó1

E œ C.B(!

1

œ #=/8B .B(!

1

œ # =/8B .B(!

1

œ #-9= B¹!

1

œ # -9= -9= !a b1

œ # " "a b œ # #a b œ % ?Þ ./ +Þa b


118

Areas positivas y negativas

Sea una función continua en el intervalo , cuya curva esta dada por:0 B + ß ,a b c d

Supongamos que deseamos calcular el área en el intervalo de la regiónc d+ ß ,formada por y .E E

" #

Debemos notar que la región esta por encima del eje y es positiva mientrasE B"

que la segunda región se halla por debajo del eje y es negativa.E B#

Por lo tanto, si integramos en el intervalo esta dará un cantidad positivac d+ ß ,para la región y una cantidad negativa para la región , por lo que el integrado enE E

" #

intervalo de a producirá la suma algebraica de esta dos regiones, es decir ( ).+ , E E" #

interesa la total de área ( ) y no la sumaNormalmente CANTIDAD E E" #

algebraica, por lo tanto, para asegurar que la región sea positiva empleamos elE#

concepto de valor absoluto de tal forma que el área total esta dada por:

E œ E E" #¸ ¸ E œ 0 B .B 0 B .B( (a b a bº º

+ -

- ,

este resultado será ahora la suma de las dos regiones achuradas, en vez de la diferencia delas regiones que se obtendría al integrar entre y .+ ,


119

Ejemplo: Determinar el área de la región limitada.

Determinar el área encerrada por la función en C œ $B # # ß &c d��

y

x-2 5

A2

23 −= xy

A1

23

E œ E E¸ ¸" #

Determinar el punto entre las áreas positivas y negativas implica resolver laecuación C œ !

C œ $B # Ê ! œ $B # Ê $B œ # Ê B œ#

$

Luego, E œ $B # .B $B # .Bº º( (a b a b#

&#$

#$

œ B #B B #B$ $

# #º º ” •# #

#

&#$

#$

œ # # # # & # & #$ # # $ $ $ # #

# $ $ # # # $ $»– — » – —Œ Œ ” • ” • Œ Œ a b a b a b a b# ## #

œ % "! "# % "# (& "# %

") $ # # ") $» »” • ” • ” • ” •

œ "! "! œ "! "! # % (& # # (& #

$ $ # $ $ # $» » » »¸ $)ß )$$ ?Þ ./ +Þ a b


120

Areas simples entre curvas

Sea y dos funciones, tales que y dos0 B 1 B 0 B !ß 1 B ! 0 B 1 Ba b a b a b a b a b a báreas positivas.

E œ 0 B .B 1 B .B( (a b a b+ +

, ,

Tenemos los siguientes casos particulares: 1)Area entre curvas y donde y a b a b a b a b 0 B ! 1 B Ÿ !

E œ 0 B .B 1 B .B( (a b a bº º+ +

, ,

o bien podemos escribir:

E œ 0 B .B 1 B .B( (a b a b+ +

, ,


121

2)Áreas entre curvas ( ). Donde: y 0 B Ÿ ! 1 B Ÿ !a b a b

E œ 1 B .B 0 B .Bº º º º( (a b a b+ +

, ,

E œ 1 B .B 0 B .B( (a b a b + +

, ,

E œ 0 B .B 1 B .B( (a b a b+ +

, ,

: Area de una región entre dos curvasTeorema

En general si y son continuas en y , para todo en0 B 1 B + ß , 0 B 1 B Ba b a b c d a b a bc d a b a b+ ß , 0 B 1 B, entonces el área de la región limitada por la gráfica de las funciones y ylas rectas y queda definida de la siguiente forma:B œ + B œ ,

E œ 0 B 1 B .B( ’ “a b a b+

,


122

Ejemplos:Hallar el área de una región entre dos curvas

1. Hallar el área de la región limitada por las gráfica de , ,C œ B # C œ B#

entre y respecto eje y respecto eje B œ ! B œ " \ ] Þ

��

x=1

y

0x

( )f x x= +2 2

( )g x x= −

Sea y , podemos ver que para todo 0 B œ B # 1 B œ B 0 B 1 B Ba b a b a b a b#

en . Por tanto el área la podemos calcular como:c d! ß "

Respecto eje \

E œ 0 B 1 B .B( c da b a b+

,

œ B # B .B( ‘ˆ ‰ a b!

"#

œ #B B B

$ #” •$ #

!

"

œ # " # ! " " ! !

$ # $ #– — – —a b a b a b a ba b a b$ # $ #

œ # " "

$ #” •

œ ?Þ ./ +Þ"(

'a b


123

Respecto eje ]

C œ B # Ê C # œ B Ê C # œ B 0 C œ C ## # È Èa b C œ B Ê C œ B 1 C œ Ca b E œ " 1 C .C " .C " 0 C .C( ( (a b a ba b a b

" ! #

! # $

œ " C .C " .C " C # .C( ( (a b ˆ ‰È" ! #

! # $

œ C C C C C #" #

# $#

! # $

" ! #

$Î#º º Œ ºa b œ ! ! " # ! $ # !

" #

# $Œ Œ a b a b

œ # " "

# $

œ ?Þ ./ +Þ"(

'a b

: Toda área calculada respecto eje y eje debe dar por resultadoObservación \ ]el mismo valor numérico.


124

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y0 B œ # Ba b #

1 B œ B \ ]a b respecto eje y respecto eje

��

x=-2x

( )g x x=

( )f x x= −2 2

y

x=1

De la gráfica podemos ver que y tiene dos puntos de intersección. Para0 B 1 Ba b a bhallar las coordenadas de estos puntos, igualamos con y despejamos B 0 B 1 B Ba b a b # B œ B#

B B # œ !#

a ba bB # B " œ ! Ê B œ # à C œ #

Ê B œ "à B œ "

Por tanto: y . Dado que para todo en ,+ œ # , œ " 0 B 1 B B # ß "a b a b c dentonces el área la podemos calcular:

Respecto eje \

E œ 0 B 1 B .B( c da b a b+

,

œ # B B .B( ‘ˆ ‰#

"#

œ #B B B

$ #” •$ # "

#

œ # " # # " " # #

$ # $ #– — – —a b a ba b a b a b a b$ # $ #


125

œ # % " " ) %

$ # $ #” • ” •

œ ?Þ ./ +Þ*

#a b

Respecto eje ]

C œ # B Ê B œ # C Ê B œ „ # C# # È C œ B

E œ C # C .C # C # C .C( (ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰È È È# "

" #


126

3. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de eB œ $ C#

C œ B " \ ]respecto eje y respecto eje

��

x=-1 x

( )f y y= +1

( )g y y= −3 2

y

x=2

Si consideramos y , estas dos curvas se cortan en1 C œ $ C 0 C œ C "a b a b#

C œ # C œ " 1 C 0 C e . Puesto que en este intervalo, entonces el área la podemosa b a bcalcular: Respecto eje ]

E œ 1 C 0 C .C( c da b a b#

"

œ $ C C " .C( ‘ˆ ‰ a b#

"#

œ # C C .C( ˆ ‰#

"#

œ #C C C

$ #” •$ #

#

"

œ # % #" " )

$ # $” • ” •

œ ?Þ ./ +Þ*

#a b


127

Respecto eje \ B œ $ C Ê C œ $ B Ê C œ „ $ B# # È B œ C " Ê C œ B "

E œ B " $ B .B $ B $ B .B( (Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹È È È" #

# $


128


1)Calcular el área de la región dada por: y .0 B œ B 'B 1 B œ !a b a b#

Calcular el área de la región dada por: y#Ñ 0 B œ B %B $a b #

1 B œ B #B $a b # .

Determinar la región acotada por las dos curvas. Graficar. $Ñ 0 B œ B "!a b #

y .1 B œ*

Ba b

#

Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de%Ñ0 B œ $B B "!B 1 B œ B #Ba b a b$ # #y . Graficar.

Calcular el área acotada por respecto del eje y&Ñ C œ &ß C œ B &ß B œ " Brespecto del eje .. C

Determinar el área acotada por las curvas:'Ñ C " œ Bß C " œ B#

Evaluar el área acotada por las funciones:(Ñ C œ B % ß C œ " B# #

Determinar el área acotada respecto del eje por las funciones: ,)Ñ B C œ =38 BC œ -9= Bß en el intervalo:

+Ñ ! ß ,Ñ ! ß# #

$’ “ ” •1 1

-Ñ ß # .Ñ ! ß ##

’ “ c d11 1


129

Solución

"Ñ $' ?Þ./ +Þa b #Ñ * ?Þ./ +Þa b

$Ñ ?Þ./ +Þ$#

$a b

%Ñ #% ?Þ./ +Þa b

Eje X : Eje Y:&Ñ ?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þ)" )"

# #a b a b

'Ñ ?Þ./ +Þ*

#a b

(Ñ "! ?Þ ./ +Þ"!

$È a b

)Ñ +Ñ # # # ?./ +È a b ,Ñ $ # # ?./ +È a b -Ñ # ? ./ +a b .Ñ # # ? ./ +È a b


130

Ejemplos resueltos de areas simples y entre curvas

W œ Bß C À ! Ÿ B Ÿ # ß C œB

$œ a b $

E œ B .B"

$(!

#$

œ B .B"

$(!

#$

œ B" "

$ %Œ º%

#

!

œ # !"

"#ˆ ‰% %

œ ?Þ ./ +Þ%

$a b


131

W œ Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B B" "

' #˜ ™a b $

E œ B B .B" "

' #( Œ "

#$

œ B .B B.B" "

' #( (" "

# #$

œ B B" " " "

' % # #Œ º Œ º% #

# #

" "

œ # " # "" "

#% %ˆ ‰ ˆ ‰% % # #

œ "& $ œ " " "& $

#% % #% %a b a b

œ ?Þ ./ +Þ$$

#%a b


132

W œ Bß C À C œ B ß C œ #B˜ ™a b #

Puntos de intersección

recta parábolaC œ Ca b a b #B œ B#

#B B œ !#

B # B œ ! Ê B œ ! • B œ #a b E œ #B B .B( ˆ ‰

!

##

œ #B.B B .B( (! !

# ##

œ B B"

$ˆ ‰ Œ # $#

!

#

!

œ # ! # !"

$a b ˆ ‰# # $ $

œ % )

$

œ ?Þ ./ +Þ%

$a b


133

W œ Bß C À ! Ÿ B Ÿ ' à C œ 'B˜ ™a b #

E œ 'B 'B .B( ’ “È ÈŠ ‹!

'

œ # ' B .BÈ (!

'"#

œ # 'BÈ – —

$#

$#

'

!

œ # ' Ð'Ñ Ð!Ñ# #

$ $È ” •$ $

# #

œ ' '%

$È Š ‹$#

œ '%

$a b %

#

œ $'%

$

œ %) ?Þ ./ +Þ ‘


134

Ejercicios

1.Encontrar el área bajo la curva de las siguientes funciones y graficar.

a) W À Bß C À ! Ÿ B Ÿ # ß C œ B"

$˜ ™a b $

b) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B B" "

' #˜ ™a b $

c) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ #B˜ ™a b d) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B˜ ™a b #

e) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B B" "

% %˜ ™a b % #

f) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B 68B" "

% #˜ ™a b #

g) W À Bß C À ! Ÿ B Ÿ " ß C œ / /"

#˜ ™a b a bB B

h) W À Bß C À ! Ÿ B Ÿ " ß C œ /˜ ™a b B

i) W À Bß C À ! Ÿ B Ÿ ß C œ =/8B˜ ™a b 1

j) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B $˜ ™a b k) W À Bß C À " Ÿ B Ÿ # ß C œ B #˜ ™a b


135

2.Calcular el área encerrada por las siguientes funciones y graficar

a) W À Bß C À C œ #B à B œ C˜ ™a b #

b) W À Bß C À C œ 'B à B œ '˜ ™a b #

c) W À Bß C À C œ # B à B œ !˜ ™a b #

d) W À Bß C À ")C œ B ' B˜ ™a b a b#

e) W À Bß C À C œ B à B œ %˜ ™a b #

f) W À Bß C À C œ B à C œ B˜ ™a b $

g) W À Bß C À C œ B " à C œ B $˜ ™a b #

h) W À Bß C À C œ B B " à C œ $B˜ ˆ ‰ ™a b #

i) W À Bß C À B œ #C " à C B " œ !˜ ™a b #

j) W À Bß C À C œ B à C œ ! à B œ # à B œ &˜ ™a b #

k) W À Bß C À C œ B 'B )B à C œ !˜ ™a b $ #

l) W À Bß C À B œ % C à B œ !˜ ™a b #

m) W À Bß C À C œ 'B B à C œ B #B˜ ™a b # #

n) W À Bß C À C œ B (B ' à C œ ! à B œ # à B œ '˜ ™a b #

ñ) W À Bß C À C œ %B B à C œ % à B œ !˜ ™a b #


136

Solución

1.-

a) b) % ""

$ )?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þa b a b

c) d) $ ?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þ(

$a b a b

e) f) #* "$

$! "#?Þ./ +Þ 68# ?Þ./ +Þa b a b

h) 1Ñ / / " ?Þ./ +Þ / " ?Þ./ +Þ"

#ˆ ‰ a b a b"

i) 2 j) 212

a b a b?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þ

k) "

#?Þ./ +Þa b

2.-

a) b) "

%)?Þ./ +Þ %) ?Þ./ +Þa b a b

c) d) ) # $ #

$ #?Þ./ +Þ ?Þ ./ +Þ

È Èa b a b1

e) f) $# "

$ #?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þa b a b

g) h) *

#?Þ./ +Þ ) ?Þ./ +Þa b a b

i) j)"'

$?Þ./ +Þ $* ?Þ./ +Þa b a b

k) l)) ?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þ$#

$a b a b

m) n)'% &'

$ $?Þ./ +Þ ?Þ./ +Þa b a b

ñ))

$?Þ./ +Þa b


137

Volumen de Sólidos en Revolución.

¿Qué es un sólido de revolución?

Un sólido de revolución es generado al girar una región plana en torno a unaErecta, llamada el eje de revolución (o de rotación), en el plano, este eje de revoluciónpuede ser vertical o horizontal. El sólido de revolución generado interesa evaluar suvolumen.

Sea un función continua en un intervalo donde .C œ 0 B + Þ , aB − + ß ,a b c d c dDonde es una región del plano limitada por , el eje , las rectas yE C œ 0 B B B œ +a bB œ , E. Esta región puede girar en torno a una recta vertical o en torno a una rectahorizontal generando un sólido de revolución. Gráficamente:

Eje de giro horizontal (eje )B

��

��

y

x = a x =b

y

x x

y = f(x) y = f(x)

x = a x =b

RegiónA

RegiónA

Eje de giro Vertical (eje )C

��

��

y

x = a x = b

y

x x

y = f(x) y = f(x)

x = a x =b

A A


138

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por uno de los siguientesprocedimientos.

- Método de los discos

- Método de los anillos

Con frecuencia uno de los métodos es preferible al otro, dependiendo del eje degiro de la región .E

Método del disco

¿Cuándo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro es en torno del o aE eje \una recta paralela al eje \

Sea la región del plano limitada por , el eje , las rectas yE C œ 0 B B B œ +a bB œ ,., que gira entorno al generando un sólido de revolución, el cual deseamoseje \calcular su volumen.

��

x = a x =bx x

y = f(x)

y = f(x)

x = a x =b

RegiónA

��

y y

∆x

f(x)

Rectángulorepresentativo


139

Para calcular el volumen de este sólido en revolución consideremos unrectángulo representativo de esta región plana. Donde:

��

∆x

f(x)Eje de giro (Eje x)

Eje de giro (Eje x)∆x

f(x)

��

( )[ ] xxfV ∆π=Λ 2

Cuando hacemos girar este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera undisco representativo cuyo volumen es:

? 1 ?Z œ C B#

Si aproximamos el volumen total del sólido de revolución por de tales 8 discosentre y . Tenemos:+ ,

Volumen del sólido ¸ C B

3 œ "

8" c d1 ?#

Tomando el límite cuando . Tenemos:m m Ä ! 8 Ä _? a bVolumen del sólido œ C B

3 œ "

8" c d1 ?#

Por lo tanto:

Cuando el eje de revolución es el y la frontera superior de la región planaeje \viene dada por una curva entre y , el volumen del sólido deC œ 0 B B œ + B œ , Za brevolución viene dado por

Z œ C .B1( c d+

,#

Como también lo podemos escribirC œ 0 Ba b


140

Z œ 0 B .B1( c da b+

,#

Análogamente, cuando el eje de rotación de la región es el , donde un ladoE eje Cde la región plana esta dado por la curva entre e . El volumen B œ 1 C C œ - C œ . Za bdel sólido de revolución es:

Eje de giro Vertical (eje y)

��

y

y = c

x = b

y

x x

x = g(y)

y = c

y = d

A

x = g(y)��

y = dA

Z œ B .C1(-

.#

Z œ 1 C .C1( c da b-

.#


141

Cuando el eje de rotación es paralelo al eje , pero distinto al ejeCaso especial: \\:

Sea una función que gira sobre una eje horizontal ; unaC œ 0 B C œ 5 5a bconstante.

��

x = a x =b

y

x

f(x) ≥ 0

��

∆x

[ f(x) – k]

y = k

k

? 1 ?Z œ 0 B 5 Bc da b #

Por lo tanto: El volumen del solido de revolución esta dado por:

Z œ 0 B 5 .B1( c da b+

,#


143

Caso 2: Rotación en torno a un eje paralelo al .eje \

Sea y y consideremos al eje de rotación ;0 B ! 1 B ! aB − + ß , C œ 5a b a b c dcon una constante.5

��

x = a x =b

y

x

f(x) ≥ 0

��

∆x

[ f(x) – g(x)]

g(x) ≥ 0

y = k k

? 1 ? 1 ?Z œ 0 B 5 B 1 B 5 Bc d c da b a b# #

? 1 ?Z œ 0 B 5 1 B 5 B ‘a b a ba b a b# #

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

Z œ 0 B 5 1 B 5 .B1( ‘a b a ba b a b+

,# #

Análogamente se presentan los mismos casos cuando el eje de rotación esparalelo y distinto del . (estudiar)eje ]


144

Ejemplos resueltos método de los discos - eje de giro B

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada en tornoal eje , por la gráfica de:B

1. , el eje , en C œ #B $ B " ß %c d��

x =1 x =4

y

x

f(x)��

∆x

32 += xy


,#

œ #B $ .B1( c d"

%#

œ %B "#B * .B1( ‘"

%#

œ B 'B *B%

$1” •$ #

%

"

œ #!" ?Þ ./ @Þ1 a b


145

2. , el eje , en C œ B " B " ß "# c d

��

x=-1 x =1

y

x

f(x)��

∆x

12 += xy


,#

œ B " .B1( ‘"

"# #

œ B #B " .B1( ‘"

"% #

œ B B B" #

& $1” •& $

"

"

œ ?Þ ./ @Þ&'

"&1 a b


146

Ejemplos resueltos método de los discos- eje de giro eje CÞ

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada con eleje , y la función , en y . Eje de giro .C C œ B " C œ # C œ #È eje ]

��

x = 5x = 1

y

x

f(y)∆ y

12 += xy

��

Z œ 0 C .C1( c da b-

.#

œ C " .C1( ‘#

## #

œ C #C " .C1( ‘#

#% #

œ C CC #

& $1” •&

$#

!

œ ?Þ ./ @Þ%"#

"&1 a b


147

Ejemplo resuelto Región limitada por una función y eje de rotación desfasadoparalelo al eje .B

1 Determinar el sólido en revolución de la región definida por: Þ C œ $ B "È, con eje de rotación que esta dado por , en C œ $ " ß &c d

��

x = 1 x =5

y

x

13 −+= xy��

∆x

[ f(x) – 3]

y = 3

3k

Z œ 0 B 5 .B1( c da b+

,#

œ $ B " $ .B1( ’ “Š ‹È a b"

& #

œ B " .B1( ’ “È"

& #

œ B " .B1( a b"

&

œ B B"

#1Œ º#

&

"

œ ) ?Þ ./ @Þ1 a b


148

Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones- eje de giro eje B Þ

Hallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por:"ÞC œ B "ß C œ #B %à B# eje de giro eje .

��

x = a x =b

y

x

f(x) – g(x)��

∆x

12 += xy

42 +−= xy

Z œ 0 B .B 1 B .B1 1( (c d c da b a b+ +

, ,# #

œ % #B .B B " .B1 1( (c d ‘$ $

% %# # #

œ "' "'B %B .B B #B " .B1 1( ( ‘ ‘$ $

% %# % #

œ "'B )B B B B B% " #

$ & $1 1” • ” •# $ & $

" "

$ $

œ ?Þ ./ @Þ"%!)

"&1 a b


149

Ejemplo resuelto región limitada por dos funciones - eje de giro desfasadoparalelo al eje .B

1.Hallar el volumen del sólido en revolución de las regiones limitadas por:C œ B "ß C œ #B %à C œ "# eje de giro .

��

x = a x = b

y

x

f(x) +1��

∆x

12 += xy

42 +−= xy

g(x) +1

y = -1

Z œ 0 B 5 .B 1 B 5 .B1 1 1( (c d c da b a b+ +

, ,# #

œ % #B " .B B " " .B1 1( (c d a ba b a b ‘ˆ ‰$ $

" "# # #

œ & #B .B B # .B1 1( (c d ‘$ $

" "# # #

œ #& #!B %B .B B %B % .B1 1( (ˆ ‰ ˆ ‰$ $

" "# % #

œ #&B "!B B B B %B% " %

$ & $1 1” • ” •# $ & $

$ $

" "

œ ?Þ ./ @Þ&('

&

1 a b


150


I Volumen generado por una función - eje de giro: eje / eje B C

1.Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la funciónC œ B " C œ " ! ß # Ó# , al girar alrededor del eje en [ .

2.Hallar el volumen generado al girar en el eje , el área del primer cuadranteBacotado por la parábola y la recta C œ )B B œ ##

II Volumen generado por dos funciones - eje de giro eje / eje B C

1.Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficasde = e alrededor del eje . Graficar. C B C œ B BÈ #

2.Determinar el sólido en revolución que se genera al girar, alrededor del eje , laBregión acotada por la parábola y la recta . C œ B C œ B $#

3.Hallar el volumen generado al girar en torno al eje , el área acotada por laCparábola y la recta C œ )B B œ ##

III Con eje desfasado: eje de giro paralelo al eje / eje B C

1.Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por0 B œ # B 1 B œ " C œ "a b a b#, , en torno a la recta . Graficar

2.Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor de la rectaB œ % B œ C C B œ C $, la región acotada por las parábolas y .# #

3.Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola yC œ )B#

la recta , al girar alrededor de la recta . B œ # B œ # 4.Hallar el volumen generado al girar el área que limita el eje y la parábolaBC œ %B B C œ '#, en torno a la recta .


151

IV Ejemplos con respuestas varios.

Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la rectaque se indica, usando el método del disco.

Area plana dada por:

en torno al eje a b" C œ #B ß C œ !à B œ !ß B œ & à B#

en torno al eje a b# B C œ "'ß C œ !à C œ "' à B# #

en torno al eje a b$ C œ %B ß B œ !ß C œ "' à C#

en torno al eje a b% C œ %B ß B œ !ß C œ "' à C œ "'#

en torno al eje a b& C œ B ß C œ !ß B œ # à B# $

en torno al eje a b' C œ B ß C œ !ß B œ # à B œ #$

en torno al eje a b( %B *C œ $' à C œ "'# #

entre en torno al eje a b) B œ * C ß B C ( œ ! à B#


152

Solución

I

"Ñ ?Þ ./ @Þ #Ñ "' ?Þ./ @Þ$

#1 1a b a b

II

"Ñ ?Þ./ @Þ #Ñ ?Þ./ @Þ"' ""(

"! &1 1a b a b

$Ñ ?Þ./ @Þ"#)

&1 a b

III

"Ñ ?Þ./ @Þ #Ñ ?Þ./ @Þ"' '(&

"& $#1 1a b a b

$Ñ ?Þ./ @Þ %Ñ ?Þ ./ @Þ#&' "%!)

"& "&1 1a b a b

IV

"Ñ #&!! ?Þ ./ @Þ #Ñ ?Þ ./ @Þ#&'

$1 1a b a b

$Ñ $# ?Þ ./ @Þ %Ñ ?Þ ./ @Þ%!*'

"&1 1a b a b

&Ñ % ?Þ ./ @Þ 'Ñ ?Þ ./ @Þ"'

&1 1a b a b

(Ñ "' ?Þ ./ @Þ )Ñ ?Þ ./ @Þ"'

&1 1a b a b


153

Método de los anillos cilíndricos

Como alternativa al procedimiento para obtener el volumen de un sólido derevolución es el método de los anillos cilíndricos.

¿Cuándo se usa?

Presenta mayores ventaja cuando la región de giro es en torno del eje o a unaE ]recta paralela al eje ]

¿En qué se basa este método?

El método se basa en considerar elementos rectangulares de áreas paralelas al ejede revolución, de esta manera al hacer girar un elemento de rectángulo representativo conrespecto al eje se obtiene una capa o anillo cilíndrico. Tal capa es un sólido contenidoentre dos cilindros de centro y ejes comunes.

Sea una región plana comprendida por la curva , el y las rectasE C œ 0 Ba b eje BB œ + B œ , E ; . Cuando esta región gira en torno del genera un sólido deeje Crevolución. Su volumen lo podemos determinar del siguiente modo:

Eje de giro Vertical (eje y)

∆x

��

y

x = a x = b

y

x x

y = f(x)

y = f(x)

x = a x =b

A

��

f(x)

x


154

Consideremos un de la región plana que se hacerectángulo representativo Egirar en torno del , generando un cilindro. Donde:eje C

∆x

��

x

f(x)

∆x

f(x)

��

x

Donde: : Espesor del rectángulo del Anillo?B : Altura del Anillo de revoluciónC : Radio del Anillo de revolución.B

Calculando el volumen de este capa o cilindro representativo:

? 1 ?Z œ # BC B

Aproximando el volumen del sólido de revolución por cilindros o capas :8

Volumen del sólido ¸ # BC B

3 œ "

8" 1 ?

Tomando el límite , tenemos:m Bm Ä ! 8 Ä _? a bVolumen del sólido œ # BC B

3 œ "

8lim8Ä_

" 1 ?

Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución cuando la región que gira entorno del esta dado por:eje ]

y como entoncesZ œ # BC.B C œ 0 B ß1( a b+

,

Z œ # B0 B .B1( a b+

,


155

Análogamente cuando el eje de rotación es el el volumen del sólido deeje Brevolución se calcula como:

Eje de giro Vertical (eje x)

�� ∆x

yy

x x

y = d

y = c

A

��

x = g(y)x = g(y)y = d

y = c

Z œ # C0 C .C1( a b-

.

Un caso especial método de los anillos cilíndricos:

Rotación en torno al Sea y , el volumeneje .] 0 B ! 1 B ! aB − + ß ,a b a b c ddel sólido en revolución generado, esta dado por:

��

∆xx = a x = b

y

x

y = g(x)

��

f(x) - g(x)

x

y = f(x)

? 1 ?Z œ # B B 0 B 1 Bc da b a b


156

Por lo tanto, el volumen del sólido en revolución esta dado por:

Z œ # B 0 B 1 B .B1( c da b a b+

,

Ejemplos resueltos Método de los anillos - eje de giro ]

1.Determinar el volumen del sólido en revolución de la región definida por:C œ B ! ß %# en c d

��

x = 4x =0

y

x

f(x)

∆x

2xy =

��

Z œ # B0 B .B1( a b+

,

œ # B B .B1( ˆ ‰!

%#

œ # B .B1(!

%$

œ #B

%1” •% %

!

œ "#) ?Þ ./ @Þ1 a b


157

Ejemplo resuelto Método de los anillos: Región limitada por dos funciones- eje degiro, eje ]

Determinar el volumen del sólido en revolución por el método de los anillos de"Ñla región limitada por: , . Eje de giro .C œ B C œ B C# È

��

x = 1x =0

y

x

��

∆x

2xy =xy =

Z œ # B 0 B 1 B .B1( c da b a b+

,

œ # B B B .B1( ‘È!

"#

œ # B B B .B1( ‘È!

"#

œ # B B .B1( ’ “!

"$$

#

œ # B # B

& %1” •&

#

%

!

"

œ ?Þ ./ @Þ$

"!1 a b


158

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las#Ñgráficas de y en torno al eje . Graficar.C œ B "ß C œ !ß B œ ! B œ " ]#

��

x = 0 x =1

y

x

��

∆x

12 += xy

f (x)

Z œ # B0 B .B1( a b+

,

œ # B B " .B1( ‘!

"#

œ # B B .B1( ‘!

"$

œ # B " B

% #1” •%

# "

!

œ ?Þ ./ @Þ$

#

1 a b


159

Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por lasgráficas de y en torno al eje desfasado C œ B "ß C œ !ß B œ ! B œ " B œ ##

( ) Graficar.paralelo al eje ]

��

��

x = 0 x =1x

��

∆x

12 += xy

f (x)

x = -2

Z œ # B # 0 B .B1( a b a b+

,

œ # B # B " .B1( a bˆ ‰!

"#

œ # B B #B # .B1( ˆ ‰!

"$ #

œ # #BB B #B

% # $1” •% # $ "

!

œ ?Þ ./ @Þ%"

'

1 a b


160

Ejemplos propuestos con respuestas

I Volumen generado por una función - eje de giro: eje / eje B C

1.Calcular el volumen del sólido en revolución que se genera al girar la regiónlimitada por con el eje . Eje de giro alrededor del eje . GraficarC œ B B B C$

2.Calcular el volumen del sólido engendrado por la región limitada por

C œ B C ! ß ""

B "a b c d# # con el eje , al girar en torno al eje en

3.Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por lasgráficas de con el eje , entre y en torno al eje C œ B " B B œ ! B œ " C#

II Volumen generado por una o dos función: Con eje desfasado, eje de giro //eje / eje B CÞ

Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta , la"Þ B œ #región limitada por las graficas de y . Graficar.C œ B B "ß C œ " B œ #$

Sea la región limitada por la curvas ylas rectas y , gira#Þ C œ B C œ " B œ ##

alrededor de la recta . Encontrar el volumen del sólido generado.C œ $

$Þ B C œ %Hallar el volumen generado al girar el circulo , en torno a la recta# #

B œ $Þ

Hallar el volumen generado cuando el área plana acotada por%ÞC œ B $B ' B C $ œ !# y por se hace girar

(a) en torno de B œ $

(b) alrededor .C œ !


161

III Ejemplos varios

Hallar el volumen generado al hacer girar el área plana dada en torno a la rectaque se indica, usando el método de los anillos.

1. en torno al eje C œ #B ß C œ !ß B œ !ß B œ &à C#

en torno a #Þ C œ #B ß C œ !ß B œ !ß B œ &à B œ '#

en torno a $Þ C œ B ß C œ !ß B œ #à C œ )$

en torno a %Þ C œ B ß C œ %B B à B œ &# #

en torno al eje &Þ C œ B &B 'ß C œ !à C#

en torno a 'Þ B œ * C ß B C ( œ !ß B œ !à C œ $#


162

Solución

I

8

"Ñ ?Þ ./ @Þ #Ñ ?Þ ./ @Þ"& #

"1 1a b a b

$Ñ ?Þ ./ @Þ$

#1 a b

II

88

"Ñ ?Þ ./ @Þ #Ñ ?Þ ./ @Þ"& &

''1 1a b a b

$Ñ #% ?Þ ./ @Þ1 a b %+Ñ ?Þ ./ @Þ %,Ñ ?Þ ./ @Þ

#&' "(*#

$ "&1 1a b a b

III

"Ñ '#& ?Þ ./ @Þ #Ñ $(& ?Þ ./ @Þ1 1a b a b $Ñ ?Þ ./ @Þ %Ñ ?Þ ./ @Þ

$#! '%

( $1 1a b a b

&Ñ ?Þ ./ @Þ 'Ñ ?Þ ./ @Þ& $'*

' #1 1a b a b


163

Longitud de Arco en Coordenadas Cartesianas

Longitud de Arco.

Otra aplicación de la integral definida es el cálculo de la longitud de arco de lagráfica de una función..

Definición:

Sea la función continua y derivable en el intervalo ; ,C œ 0 B + ß , + Ÿ B Ÿ ,a b c dy

xo x = a x = b

AB

y = f(x)P1

P2

P3

Pi

Pi-1

Pn

Pn-1

La porción de curva que va desde el punto al punto , se llama .E F ArcoSupongamos que nuestro problema es calcular la entre los puntos ylongitud de Arco EF, procedemos del siguiente modo:

Dividamos el intervalos en partes, y escojamos una parte cualquierac d+ ß , 8dentro de este intervalo, por ejemplo a . Gráficamente:T T

3" 3

(xi-1 , yi-1)

Pi

(xi , yi)

Pi - 1

xi - xi-1 = ∆ix

yi - yi-1 = ∆iy


164

Podemos ver que: 0 B œC

Bwa b ?

?3

3

Entonces: ? ?C œ 0 B B3 3

wa b c d a ba ba b a b0 B 0 B œ 0 B B B

3 3" 3 3"w

Definamos la longitud del segmento de recta de a denotado por T T T T3" 3 3" 3¹ ¹

como:

¹ ¹ Éa b a bT T œ B B C C3" 3 3 3" 3 3"

# #

Si sumamos todos las longitudes de los segmentos rectilíneos, tenemos la longitudaproximada del Arco entre y .E F

¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹"T T T T T T T T T T œ T T! " " # # $ 3" 3 8" 8 3" 3

? ?3œ"

8

P ¸ T T œ B B C C

3 œ " 3 œ "

8 8" "¹ ¹ Éa b a b3" 3 3 3" 3 3"

# #

Dado que: C œ 0 B ß C œ 0 B3 3 3" 3"

a b a b P ¸ T T œ B B 0 B 0 B

3 œ " 3 œ "

8 8" "¹ ¹ Éc d c da b a b3" 3 3 3" 3 3"

# #

Dado que: 0 B 0 B œ 0 B B Ba b a b a ba b3 3" 3 3"

w

" "¹ ¹ Éc d c da ba b3 œ " 3 œ "

8 8T T œ B B 0 B B B

3" 3 3 3" 3 3"

# #w

Desarrollando:

; donde " "¹ ¹ É c d a ba b3 œ "

8T T œ " 0 B B B B œ B B

3" 3 3 3" 3 3 3"

3œ"

8w # ?

Por lo tanto, obtenemos:


165

" "¹ ¹ É c da b3 œ " 3 œ "

8 8T T œ " 0 B B

3" 3 3w #?

Tomando el limite cuando el número de divisiones es lo suficientemente grande8 Ä _ B Ä !, . Tenemos:a b?

lim lim? ?BÄ! BÄ!

w #" "¹ ¹ É c da b3 œ " 3 œ "

8 8T T œ " 0 B B

3" 3 3?

P œ " 0 B B œ " 0 B .B

3 œ "

8lim?BÄ!

w w# #

+

," É Éc d c da b a b(?3

Por lo tanto la longitud de arco para una función del tipo , entre yC œ 0 B B œ +a bB œ ,, queda definida como:

P œ " 0 B .B( É c da b+

,w #

P œ " .B.C

.B( Ë ” •+

, #

Análogamente para una curva de ecuación , entre ; laB œ 1 B C œ - C œ .a blongitud de arco queda definida por:

P œ " 0 C .C( È a b-

.w

P œ " .C.B

.C( Ë Œ -

. #


166

Ejemplos

1.Determinar la longitud de arco de la función definida por , en elP C œ #B $intervalo .c d" ß $

P œ " 0 B .B( É c da b+

,w #

Donde: 0 B œ #B $ Ê œ #.C

.Ba b

P œ " # .B( É a b"

$#

œ &.B( È"

$

œ &BÈ ¹$"

œ & $ "È a b œ # & ?Þ ./ 6ÞÈ a b


167

2.Determinar la longitud de arco de la función definida por: , entreP C œ B#

B œ " B œ $ y .

x=0x

2xy =y

x=1

L

P œ " 0 B .B( É c da b"

$w #

0 B œ B Ê 0 B œ #Ba b a b# w

; Resolviendo por sustitución trigonométrica:P œ " #B .B( É a b"

$#

P œ B " %B 68 " %B #B" "

# %È È¹ ¹º# #

$

"

P œ $( 68 $( ' & 68 & # ?Þ ./ 6Þ$ " " "

# % # %È È’ “ ’ “È È a b


168

3.Determinar la longitud de arco de la función definida por: desde losP C œ B$#

puntos yE "ß " F #ß # #a b Š ‹È Dado que: 0 B œ B Ê 0 B œ B

$

#a b a b$ "

# #w

x=2x

y

x=1

L

y x=3

2( )B 2 2,

A(1,1)

La longitud de arco es:

; Desarrollando por sustitución simple:P œ " B .B$

#( Ë ” •"

# #"#

P œ ## ## "$ "$ ?Þ ./ 6Þ"

#(’ “È È a b


169

4.Calcular la longitud de arco de la gráfica: , en el intervalo0 B œ B "

' #Ba b $

” •"

#ß 2 .

Dado que 0 B œ Ê 0 B œ B B " " "

' #B # Ba b a b Œ $

w ##

y

x

( )f x xx

= +3

61

2

x = 1/2 x = 2

La longitud de arco es:

P œ " B .B" "

# B( Ë ” •Œ

"#

##

#

#

P œ ?Þ ./ 6Þ$$

"'a b


170

5.Calcular la longitud de arco de la gráfica de , en el intervaloa bC " œ B$ #

B œ ! B œ ) y .

Despejando en función de : . Por lo tanto: B C B œ „ C " œ C ".C $

.B #a b a b$ "

# #

yyy

x

y x= +2 3 1

(0,1)

(8,5)

x = 8x = 0

La longitud de arco queda como:

P œ " C " .C$

#( Ë ” •a b"

) #"#

P œ "! ")

#(Š ‹$

#

P ¸ *ß !($% ?Þ ./ 6Þa b


171

Ejemplos À

1.Determine la longitud del segmento de recta del punto alB $C œ % # ß #a bpunto a b% ß !

2.Encuentre la longitud de arco de la curva del origen al punto*C œ %B# $

Š ‹È$ ß # $

3.Hallar la longitud de arco de la curva del donde al puntoC œ B & B œ '#

$a b $

#

donde . B œ )

4.Determine la longitud de arco de la curva del punto alC œ B # B œ !"

$ˆ ‰#

$#

punto . B œ $

5.Calcular la longitud de arco de la curva entre y .C œ B B œ ! B œ &$#

6.Calcular la longitud de arco de la curva , entre e . B œ C " C œ ! C œ %$#

7.Hallar la longitud de arco de entre y . #%BC œ B %) B œ # B œ %%

8.Hallar la longitud del arco de la catenaria desde C œ + / / B œ !"

#ˆ ‰B B

+ +

hasta . B œ +

9.Calcular la longitud de arco de la parábola desde los puntos C œ "#B ! ß !# a bhasta el punto . a b$ ß '

10.Calcular la longitud de arco de entre yC œ 68B B œ " B œ # #È 11.Determinar la longitud de arco de las siguientes funciones:

a) entre y . C œ " B œ # B œ %68 / "

/

a bB

B

b) entre y C œ 68 " B B œ B œ" $

% %ˆ ‰#

c) entre yC œ B 68B B œ " B œ /" "

% %#

d) entre y C œ 68 -9= B B œ B œ

' %

1 1

e) entre y C œ B " B œ ! B œ "#

$

$#


172

Solución:

"Ñ # "! ?Þ ./ 6Þ #Ñ ?Þ ./ 6Þ"%

$È a b a b

$Ñ ?Þ ./ 6Þ %Ñ "# ?Þ ./ 6Þ"' % #

$

È a b a b &Ñ ?Þ ./ 6Þ 'Ñ )# )# " ?Þ ./ 6Þ

$$& )

#( #%$a b a bŠ ‹È

(Ñ ?Þ ./ 6Þ )Ñ + / ?Þ ./ 6Þ"( " "

' # /a b a bŒ

*Ñ ' 68 " # ?Þ ./ 6ÞŠ ‹Š ‹È a b "!Ñ $ # 68 # # ?Þ ./ 6Þ

"

#È ÈŠ ‹a b

""Ñ +Ñ 68 / " # ?Þ ./ 6Þ ""Ñ,Ñ 68 ?Þ ./ 6Þ#" "

& #ˆ ‰ a b a bŒ %

""Ñ -Ñ / ?Þ ./ 6Þ ""Ñ.Ñ 68 ?Þ ./ 6Þ" " " #

# % $

# a b a b ÈÈ

""Ñ/Ñ ) " ?Þ ./ 6Þ#

$Š ‹È a b


173

Area de una superficie en revolución

Sea una funcón contínua y derivable en el intervalo [ ] Donde C œ 0 B +ß , Þ 0 Ba b a bno cambia de signo en el intervalo + Ÿ B Ÿ ,Þ

Si hacemos girar el arco AB entre y en torno del eje (ejeB œ + B œ , \horizontal), el area de una superficie en revolución generada esta dada por.

W œ # 0 B " Ò0 B Ó .B1( a b a bÈ+

,w #

Análogamente, Si tiene derivada contínua en el intervalo [ , con giro en0 B +ß ,Óa beje ] (eje vertical) la superficie de revolución es:

W œ # 0 C " Ò0 C Ó .C1( a b a bÈ+

,w #


174

Ejemplo: Calcular el área de la superficie de revolución de en el intervalo [0,1]0 B œ Ba b $

con eje de giro eje B

Solución:

El radio de giro esta dado < B œ 0 B œ Ba b a b $

0 B œ $Bw #a b W œ # 0 B " Ò0 B Ó .B1( a b a bÈ

+

,w #

œ # B " Ò$B Ó .B1( È!

"$ # #

œ # B " *B .B1( È!

"$ %

Por cambio de variable: ? œ " *B Ê .? œ $'B .B Ê B .B œ.?

$'% $ $

( (È ÈB " *B .B œ ?.?

$'$ %

œ ? G" #

$' $Œ $Î#

œ " *B G"

&%ˆ ‰% $Î#


175

Luego,

W œ # † " *B"

&%1 ˆ ‰ º% $Î#

"

!

œ " *B#(

1 ˆ ‰ º% $Î#"

!

œ Ò "! "Ó#(

1 a b$Î# ¸ $ß &'$ ?Þ ./ =Þa b


176

Ejercicios propuestos

En los siguientes ejercicios determine la superficie de revolución generada algirar la curva plana:

1) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje C œ B à B B$

2) La curva para entre [1,2] ; giro en torno al eje C œ B à B C#

3) La curva para entre [1,8]; giro en torno al eje C œ B #à B CÈ$ 4) La curva ; para entre [0,2]; giro en torno al eje C œ % B B C#

5) Un cono circular recto se genera haciendo girar la región limitada por y en torno del eje . determinar su área lateral.C œ 2BÎ<ß C œ 2 B œ ! C

6) Calcular el área de la porción de esfera generada al girar la gráfica de en torno al eje C œ * B ß ! Ÿ B Ÿ $ß CÈ #

7) Se diseña una lámpara haciendo girar la gráfica de paraC œ B B ß"$

"Î# $Î#

0 gira en torno al eje . Calcular el área de la lámpara y usar elŸ B Ÿ Þ B"

$ resulado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para fabricarla. Suponga que el vidrio tiene un espesor de 0,015 pulgadas.(ver figúra)


177

Solución:

1) 14514527

È È a b1 1 "! ?Þ ./ =Þ"!

#(

#Ñ "( & ?Þ ./ =Þ'

1 ˆ ‰a b$Î# $Î#

$Ñ "%& "%& "! "! ?Þ ./ =Þ#(

1 Š ‹È È a b

%Ñ "( ?Þ ./ =Þ"(

' 'È a b1

1

&Ñ W œ < < 2 ?Þ ./ =Þ1 È a b# #

'Ñ ") ?Þ ./ =Þ1 a b

(Ñ :3/#(

1 #


178

Autoevaluación 1

1) Calcular :

a Þ > † / .>>(!

# #

b Þ =/8 -9= .(1

1

Î%

Î$$ #9 9 9

2. Cálcular el área encerrada por: en , 2 y el eje +Ñ C œ -9= B Ò Ó \1 1

en y el eje ,Ñ C œ B " Ò #ß # Ó \#

3. Plantee la integral que representa el área respecto eje X y respecto eje Yencerrada por las curvas:

B œ C $ $ à C œ B #a b#

Resuelva sólo una de las dos integrales.


179

Solución

"Ñ

+Ñ > / .>(!

#>#

? œ >#

.? œ #> .>

.?

#œ >.>

> œ ! Ê ? œ !

> œ # Ê ? œ %

( (! !

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#

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%¹ œ / /

"

#ˆ ‰% !

œ / ""

#ˆ ‰%

,Ñ =/8 -9= . œ =/8 =/8 -9= .( (1 1

1 1

Î% Î%

Î$ Î$$ # # #9 9 9 9 9 9 9

œ " -9= =/8 -9= .( ˆ ‰1

1

Î%

Î$# #9 9 9 9

œ -9= -9= =/8 .( ˆ ‰1

1

Î%

Î$# %9 9 9 9

œ -9= -9=" "

$ &$ &

Î$

Î%

9 9º11

œ " " " " " # " #

$ # & # $ # & # Œ Œ Î ÑÏ Ò

È È$ & $ &


180

œ "( #) #

%)! È

#Ñ +Ñ

Por simetría

E œ # -9=B .B($ Î#

#

1

1

E œ #=/8B ¹$ Î#

#

1

1

E œ # =/8 # =/8 $ Î#a ba b a b1 1

E œ # ! "a b u. de a.E œ # Ò Ó


181

,Ñ

Por simetría

E œ # B " .B( ˆ ‰!

##

œ # BB

$ º$ #

!

œ # # !)

$Œ

œ ?Þ ./ +Þ#)

$a b


182

$) Intersección de las curvas

B œ C $ $a b# B œ C #

a bC $ $ œ C ##

C 'C * $ œ C ##

C (C "! œ !#

a ba bC # C & œ ! Ê C œ # à B œ % C œ & à B œ (

Eje X

C œ B #

B œ C $ $ Ê B $ œ ÐC $Ña b# #

„ B $ œ C $È $ „ B $ œ CÈ


183

E œ $ B $ $ B $ .B( Š ‹È ÈŠ ‹$

%

$ B $ B # .B( Š ‹È a b%

(

Eje Y

E œ C # C $ $ .C( ˆ ‰ˆ ‰a b#

&#

E œ (C "! C .C( ˆ ‰#

&#

E œ C "!C C( "

# $ º# $

#

&

E œ #& &! "#& % #! )( " ( "

# $ # $a b a b a b a bŒ

E œ ?./ +Þ*

#a b


184

Autoevaluación 2

1) Dada la región formada por las curvas:

C œ % B à B œ $ à C œ #È #

a) Usando ambos métodos plantear la integral que representa el volumen delsólido generado al girar la región dada en torno a:

a1) Eje X a2) Eje Y

b) Utilizando el método que estime más conveniente, plantee la integral querepresenta el volumen del sólido generado al girar la región anterior en torno a:

b1) B œ % b2) C œ #

2) Determine la longitud de arco de la siguiente función si C œ / / B"

#a bB B

pertenece al intervaloÒ ! ß " Ó

3) Plantee la integral que representa el área de la superficie de revolución que segenera al girar el arco en [ en torno a:C œ B " !ß #Ó#

a) Eje X b) Eje Y


185

Solución

1)

a1)

Método del disco

Z œ # .B % B .B # .B1 1( ( (Š ‹È! ! #

# # $# ##

#

Método de los anillos

Z œ # C $ % C .C1( Š ‹È!

##


186

a2)


Z œ # B # % B .B # B # .B1 1( (Š ‹È a b! #

# $#

Método del disco

Z œ $ .C % C .C1( ( Š ‹È! !

# ## #

#

b) b1)


Z œ # % B # % B .B # % B # .B1 1( (a b a ba bŠ ‹È! #

# $#

Método del disco

Z œ % % C .C % $ .C1 1( (Š ‹È a b! !

# ##

##


187

b2)

Método del disco

Z œ # % B .B # .B1 1( (Š ‹È a b! #

# $#

##


Z œ # # C $ % C .C1( a bŠ ‹È!

##

2Ñ C œ / /"

#a bB B

.C "

.B #œ / /a bB B

P œ " / / .B"

#( Ë Œ a b!

"B B

#

P œ " / # / .B"

%( Ê a b!

"#B #B

P œ .B% / # /

%( Ê!

" #B #B

P œ .B/ # /

%( Ê!

" #B #B

P œ .B/ /

#( ËŒ !

" B B #


188

P œ .B/ /

#( Œ !

" B B

P œ / /"

# ºB B

!

"

P œ / / / /"

#ˆ ‰ˆ ‰" ! !

P œ / ?Þ ./ 6Þ" "

# /Œ a b

$Ñ C œ B " Ò !ß " Ó#

+Ñ œ #B.C

.B

E œ # B " " #B .B1( ˆ ‰É a b!

## #


189

,Ñ C œ B "#

C " œ B#

ÈC " œ B

.B "

.Cœ

# C "È

E œ # C " " .C"

# C "1( ˆ ‰È

ÍÍÍÌ È"

&#


UNIDAD Nº3ECUACIONES PARAMÉTRICAS

YCOORDENADAS POLARES


190

Ecuaciones Paramétricas

Conceptos:

La forma normalmente utilizada para determinar la función de una curva es porecuaciones que comprenden dos incógnitas e . Esta funciones hasta ahora la hemosB Cvisto en coordenadas cartesianas. Donde se escribe del siguiente modo:

C œ 0 Ba b Ecuación rectangular

un nuevo método para definir una curva es introduciendo una tercera variable porejemplo que se llama parámetro, donde las variables e se escriben por las> B Cecuaciones del tipo

e B œ 0 > C œ 0 >a b a b Ecuaciones paramétricas

estas ecuaciones se denominan . Donde cada valor de ecuaciones paramétricas >determina un valor para e , respectivamente.B C

Gráficos y Transformaciones: Ejemplo: Gráficos en ecuaciones paramétricas

1.Graficar el lugar geométrico según las ecuaciones paramétricas dadas por:

B œ %-9= > • C œ %=/8 >a b a b

Donde es el parámetro.>

> ! œ ! œ "! œ #! œ $! œ %! œ %&

B œ %-9= > %ß !!! $ß *$* $ß (&* $ß %'% $ß !'% #ß )#)C œ %=/8 > !ß !!! !ß '*& "ß $') #ß !!! #ß &(" #ß )#)

a ba ba bradianes r ° ° ° ° ° °1 1 1 1 1

") * ' * %#

> œ œ *! œ "#! œ "$& œ ")!

B œ %-9= > #ß !!! !ß !!! #ß !!! #ß )#) %ß !!!C œ %=/8 > $ß %'% %ß !!! $ß %'% #ß )#) !ß !!!

a ba ba bradianes 60° ° ° ° °1 1 1 1

3 # ' %% $ 1


142

Extensión del método de los discos:

Método de las arandelas (sólido de revolución con agujero):

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos derevolución generados por dos funciones, tales como y . Se tienen los0 B ! 1 B !a b a bsiguientes casos:

Rotación en torno al eje . Sea yCaso 1: B 0 B ! 1 B !Þ aB − + ß ,a b a b c d��

x = a x = b

y

x

f (x ) ≥ 0

��

∆ x

[ f (x ) – g (x ) ]

g (x ) ≥ 0

? 1 ? 1 ?Z œ 0 B B 1 B Bc d c da b a b# #

? 1 ?Z œ 0 B 1 B B ‘c d c da b a b# #

Por lo tanto, el volumen del solido de revolución esta dado por:

Z œ 0 B 1 B .B1( ‘c d c da b a b+

,# #


191

Dibujando estos puntos:

y

x

( )04 == yx

( )x y= =3 939 0 695, ,

( )x y= =2 828 2 828, ,

( )x y= =2 000 3 464, ,

( )x y= =0 000 4 000, ,

Mediante la eliminación del parámetro obtener la ecuación rectangular:

Elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y sumando obtenemos.

B C œ < -9= > < =/8 ># # # # # #a b a bB C œ < -9= > =/8 ># # # # #c da b a b

sabemos que , y reordenando esta relación:-9= > =/8 > œ "# #a b a bB C œ <# # # Ecuación rectangular

Tal como la gráfica lo muestra corresponde a la ecuación de una circunferencia.

Así planteada esta relación, significa que si se dan varios valores de , y se>calculan los valores correspondientes de e , el resultados sería una circunferencia.B C


192

2.Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

e B œ > % C œ # Ÿ > Ÿ $>

##

Efectuando una tabla de datos tenemos:

> # " ! " # $B ! $ % $ ! &

C " ! "" " $

# # #y

xt = 0

t = −2t = −1

t = 1t = 2

t = 3

Usando la eliminación del parámetro podemos determinar la ecuación>rectangular:

e B œ > % C œ # Ÿ > Ÿ $>

##

Para: C œ Ä > œ #C>

#

Reemplazando en: B œ > %#

B œ #C %a b# Por lo tanto, la ecuación rectangular es:

B œ %C %# Ecuación Rectangular

Uno de los méritos de las ecuaciones paramétricas es que pueden usarse pararepresentar gráficas que son mas generales que las gráficas de funciones.


193

Primera y segunda derivada

Sean las ecuaciones parámetricas:

B œ 0 >a bC œ 1 >a b

La pendiente de una curva en cualquier punto cuando e están dadas enB Ctérminos paramétricos, se puede obtener por la regla de la cadena:

Para la primera derivada: .C .C .>

.B .> .Bœ Þ œ

.C

.>

.B

.>

Para la segunda derivada:

. C . .C . .C .>

.B .B .B .> .B .Bœ œ œ

. .C

.> .B.B

.>

#

# Œ Œ Œ

Ejemplos: Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el valor dadopor el parámetro:

B œ / C œ # > > œ "#> # en

Solución: La ecuación de la recta se define como:

C C œ B B.C

.B! " !a b

Donde:

representa la pendiente de la ecuación de la recta que se define como.7 œ À ß.C

.B

.C

.B œ Þ œ.C .>

.> .B

.C

.>.B

.>


194

Luego:

y .C .B

.> .>œ # > œ #/#>

Por lo tanto:

= =

.C

.B œ Þ œ Ê œ.C .> #> > .C >

.> .B .B

.C

.>

.B

.>#/ / /> > ># # #

Entonces para > œ "ß

La pendiente es: =1

œ.C >

.B // ># #

B > œ " œ / œ /0a b #> #

C > œ " œ # > œ # " œ $0a b #

Por lo tanto para ecuación de la recta tangente tenemos: C C œ B B.C

.B0 a b!

C $ œ B //

1#

#ˆ ‰ Para la ecuación de la recta normal: la pendiente de la recta normal esta dada por:

7 œ œ89<7+6 " "

7>+81/8>/ .C

.BŒ

entonces:-117 œ œ /89<7+6

/Œ #

#

la ecuación de la recta normal es:C $ œ / B /# #ˆ ‰


195

Ejercicios propuestosPrimera y segunda derivada

1) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:B > œ > > à C > œ > > # Ÿ > Ÿ #a b a b$ # & entre

) Dada la curva de ecuaciones parámetricas:#

B > œ E<- =/8 > à C > œ 68 " > ! Ÿ > Ÿ" "

# #a b a b ˆ ‰# entre

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en > œ"

#

Obtenga el valor del parámetro para los cuales la curva: ;$Ñ > B > œ > > "a b $

, es concava hacia arriba y concava hacia abajo.C > œ > > #a b #

Obtenga el valor del parámetro para los cuales la curva: ;%Ñ > B > œ > "a b #

, es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.C > œ > #>a b $

) Dada la curva de ecuación parámetrica: & B > œ > à C > œ > =/8 >Þa b a b#

Determinar el valor de la curva para donde está dado por:O > > œ O >"

#a b a b

O > œ. CÎ.B

" .C

.B

a b” Œ •

# #

# $Î#

Determinar y para las curvas: 'Ñ BÐ>Ñ œ " 68 >à CÐ>Ñ œ > 68 >.C . C

.B .B

#

#


196

Solución:

"Ñ œ à œ.C &> " . C $!> $!> '> #

.B $> #> .B > $> # $> #>

# # & %

# # # ##a b a b Ecuación recta normal : C œ B

"( % $

$# $ )Œ

#Ñ C 68 œ B " % "

# $ '$Œ È Š ‹1

Cóncava hacia arriba para: de otra forma$Ñ > $ #" $ #"

' ' È È es cóncava hacia abajo

)% > „ #È

) & † # "

"

a bŒ

1

1 1

1

$ #

#

$Î#

'Ñ œ > > 68 > à œ #> > 68 >.C . C

.B .B

#

#


197

Ejercicios propuestosGráficos y tranformaciones

1) Dadas las ecuaciones paramétricas e B œ > C œ > "

>È È

(a) Confeccionar una tabla de datos y graficar (b) Determinar la ecuación en coordenadas rectangulares. (c) Determinar la pendiente y la ecuación de la tangente en el punto .> œ %

> ! " # $ % & ' ( ) * "! "" "# "$ "%BC

2) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:

B œ C œ" >

> " > "È e

Graficar la curva representada Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular

3) Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:

B œ $-9= C œ %=/8 à ! Ÿ Ÿ #! ! ! 1 e

Graficar la curva representada.Mediante la eliminación del parámetro determinarla ecuación rectangular.

4) Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la ecuación

rectangular , usando el parámetro siguiente: (a) (b) en elC œ " B > œ B 7 œ.C

.B#

punto y son parámetrosa b a bBß C > 7


198

5) Consideremos las ecuaciones paramétricas e B œ > C œ " >È a) Completar la tabla:

> ! " # $ %BC

b) Graficar según las coordenadas de la tabla de datos.a bBß C c) Determinar la ecuación rectangular eliminando el parámetro, y Graficar laecuación rectangular. d) Determinar el valor de la pendiente para > œ #

6) Consideremos las ecuaciones paramétricas B œ -9= à C œ =/8) )#

a)Completar la tabla de datos

)a bRad BC

b)Graficar las coordenadas según los datos de tabla c)Mediante la eliminación del parámetro determinar la ecuación rectangular.

7) La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva viene dada por las ecuaciones paramétricas donde , B œ # $-9= > ß C œ $ #=/8 > B Ca b a bse miden en Kilómetros y en segundos.>

a) Determinar la trayectoria entre . Confeccionar una tabla de datos.! Ÿ > Ÿ 1 b) Graficar según la tabla de datos.

c) Determinar la velocidad del móvil cuando segundos y segundos.> œ > œ$ $

&1 1

d) Determinar la ecuación rectangular.


199

8) En las ecuaciones paramétricas siguientes dibujar la gráfica correspondiente con su tabla de datos:

a) B œ $> " C œ #> "

b) B œ > C œ " >È$ c) B œ > " C œ >$

d) B œ -9= C œ $=/8) )

e) B œ % #-9= C œ " =/8) )

f) B œ %=/- C œ $>1) )

g) B œ > C œ $68 >$


200

Solución

1 b) Ñ C œ B -Ñ 7 œ à C œ B #" "( ( "(

B % # %# a b

#Ñ

C œ " B#

Gráfica Ecuación Rectangular

$Ñ

B C

* "' œ "

# #

Gráfica Ecuación Rectangular

(a) e %Ñ B œ > C œ " >#

(b) e B œ C œ " 7 7

# %

#

a &Ñ > ! " # $ %B ! " "ß % "ß ( #C " ! " # $

a b


201

ba b

c a b C œ " B#

da b È7 œ # # b'Ñ a b

Ecuación rectangular À B C œ "#

(Ñ

ba b


202

c a b Š ‹ È ÈŒ @ > œ œ @ > œ œ$ * $ *

# $ & # $1 1

d Ecuación rectangular: a b a b a bB # C #

* % œ "

# #

)Ñ

aa b

ba b

ca b


203

da b

ea b

fa b

ga b


204

Cálculo de área en ecuaciones paramétricas

Sea la ecuación paramétrica À B > œ 1 > !a b a b

C > œ 2 > !a b a b se define el área bajo la curva en ecuaciones paramétricas por la siguienteintegral:

E œ CÐ>Ñ .BÐ>Ñ( ‘>

>

"

#

Ejemplo: Hallar el área bajo la curva de la cicloide en un giro completo de la circunferencia

C œ + + -9=! constante positivaB œ + + =/8 à + œ! !

Solución:

donde y ; cte positivaE œ CÐ Ñ .BÐ Ñ œ ! œ # + œ( ‘!

!

"

#

! ! ! ! 1" #

CÐ Ñ œ + + -9=! ! .BÐ Ñ œ Ð+ + -9= Ñ .! ! !

Reemplazando:

E œ CÐ Ñ .BÐ Ñ( ‘!

!

"

#

! !

=( a b0

#1

+ + -9= Ð+ + -9= Ñ .! ! !

œ + " -9= .##

#( a b0

1

! !

œ + " # -9= -9= .##

#( ˆ ‰0

1

! ! !

œ + . # -9= . -9= .## # #

!

#’ “( ( (0 0

1 1 1

! ! ! ! !


205

œ + # =/8 -9= .#

! !

# # ##’ ¹ ¹ “(! ! ! !

1 1 1

0

como: ( a b-9= . œ " -9=#"

##! ! !

œ + # =/8 . -9=# ." "

# ##

! !

# # # #’ ¹ ¹ “( (! ! ! ! !1 1 1 1

0 0

œ + # =/8 =/8#" "

# %#

!

#’ “¹! ! ! !1

œ + # # =/8 # =/8% + ! ! ! !"

%# #’ “ ’ “1 1 1 1

œ + $#’ “1 œ $ + ?Þ ./ +Þ1 # a b

Ejercicios propuestos:

1) Sean y dos números positivos. considere la curva dada paramétricamente+ , por las ecuaciones:

B œ + -9= > C œ , =/8 >

Hallar el área de la región delimitada para entre 0 y 2

>1

2) Sea la curva dada paramétricamente para entre 0 yÀ B œ > / à C œ > / ># > >

Hallar el área de la región bajo la curva." Þ

Determinar el área de la región delimitada por: $Ñ B œ # > à C œ $> "ßÈ para entre 4 y 8>

Determinarel área de la región: para %Ñ B œ -9= C œ =/8 ß ! Ÿ Ÿ #$ $) ) ) 1


206

Solución:

1) +, ?Þ./ +Þ%

1 a b

#Ñ / ?Þ./ +Þ" "*

# '# a b

3) 28 2È a b "# ?Þ./ +Þ

%Ñ ?Þ./ +Þ$

)

1 a b


207

Longitud de arco en ecuaciones parámetricas

Sean las siguientes ecuaciones parámetricas:

B œ 0 > à C œ 1 > À + Ÿ > Ÿ ,a b a b Para

la longitud del arco de una curva en en [ está dada por:> +ß ,Ó

P œ 0 > 1 > .>-:+

,w w

# #( Ê’ “ ’ “a b a b

P œ .>.B .C

.> .>-:

+

, # #( Ê’ “ ’ “

Ejemplo: Hallar la longitud de arco de la curva en ecuaciones parámetricas:

B œ > C œ #> Ÿ > Ÿ$ # para 1 8

Graficando:


208

Calculando: .B .C

.> .>œ $> œ %>#

P œ .>.B .C

.> .>-:

+

, # #( Ê’ “ ’ “

œ $> %> .>( Ê’ “ ’ “"

)#

# #

œ *> "'> .>( È"

)% #

por cambio de variableœ > *> "' .>( È"

)#

Sea: ? œ *> "' Ê .? œ ")> .> Ê > .> œ .?"

")#

( (È È> *> "' .> œ ? .?"

")#

œ ? G" #

") $Œ $Î#

œ *> "' G"

#(ˆ ‰# $Î#

Luego,

P œ > *> "' .>-:"

)#( È

œ *> "'"

#(ˆ ‰ º# $Î#

"

)

œ &*# #&"

#(Š ‹a b a b$Î# $Î#

¸ &#)ß )& ?Þ ./ 6Þa b


209


1) Hallar la longitud de arco de la cocloide: B œ + + =/8 C œ + + -9=) ) ) donde constante positiva. [ Para y + À œ ! œ # Ó) ) 1

Una partícula se desplaza según las ecuaciones parámetricas:#Ñ B œ $# > Determinar la distancia recorrida que describe esta partícula duranteC œ "'> Þ#

los primeros segundos.,

Determinar la longitud de arco:$Ñ con entre [ , ] B œ > C œ > " > " "# $

) Determinar la longitud de arco:%

con entre B œ / -9= > C œ / =/8 > > !ß>#

> ” •1

Calcular la longitud de arco de para &Ñ B œ >ß C œ $> "Þ ! Ÿ > Ÿ "È


210

Solución:

1) )+ ?Þ ./ 6Þa b

#Ñ "', " , "' 68 , " , ?Þ ./ 6ÞÈ ÈŠ ‹a b# #

)$ "$ ?Þ ./ 6Þ#' "'

#( #(È a b

%Ñ # " / ?Þ ./ 6ÞÈ ˆ ‰a b Î#1

&Ñ 68 $( ' ' $( ?Þ ./ 6Þ"

"#’ Š ‹ “È È a b


211

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares:

Una manera de ubicar un punto en un plano es por medio de un sistema decoordenadas ortogonales o cartesianas (que asocia un par ordenado). En muchassituaciones es necesario contar con otras formas de asociar un punto en un plano, una deellas es el sistema de . Su importancia esta relacionada con el echocoordenadas polaresde que proporciona ecuaciones mas simples para algunas curvas.

La representación de un punto en un plano por medio de un T sistema decoordenadas polares esta dado por medio de una distancia dirigida y un ángulo respectode un punto fijo llamado y a un rayo fijo llamado . Gráficamente:polo eje polar

Sistema Coordenado Polar

θ

P (r ,θ )

r

Eje polarO: polo

r

O : Polo u origen : Radio vector, distancia del punto origen al polo< : Angulo (en radianes) entre el radio vector del punto y el eje polar.) T

Un conjunto de coordenadas polares del punto esta dado por y y se escribeT < )la coordenada como :

T < ßa b)


212

Representación gráficaen coordenadas polares de un punto P

(1) Representar los siguientes puntos en coordenadas polares

a b a b a bŠ ‹ Š ‹ Œ <ß œ #ß < ß œ $ß < ß œ $ß$ ' &

"") ) )

1 1 1

1 2 3

θ π=

3

2,3π

0

π2

π

32π

π 0

32π

π2

π2

π 0

32π

1 2 3 321

36

,−

π

θπ

= −6

θπ

= −6

3 116

, π

Sean los siguientes punto en coordenadas polares: T $ß ß T $ß ß$ $

(Š ‹ Œ 1 1

T $ß ˆ ‰&$1

π2

0

θπ

=3

P P P33

37

33

5

3, , ,π π π

= = −

2π1 2 3

a b a b< ß œ < ß # 8 à 8) ) 1 con un entero arbitrario


213

Podemos concluir que en coordenadas cartesianas un punto tiene unaT Bß Ca brepresentación única, pero en coordenadas polares este punto puede se representado enmuchas formas.

También es posible permitir que (distancia del punto al polo) tome valores<negativos, para lo cual se establece por convención de que un par de coordenadas dadaspor es otra representación del punto con coordenadas , gráficamente:a b a b < ß < ß ) ) 1

Eje polar

P( r, θ )

P( - r, θ ) = P( r , θ + π)

θ

π

0π = 1800

3(π/2) =2700

2π = 3600

π/2 =900

T < ß œ T < ß a b a b) ) 1


214

Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.

Sea el siguiente plano que considera a dos sistemas superpuestos, donde el origendel sistema cartesiano corresponda al polo.

o Eje xEje polar

Eje y

P(x,y) = P(r,θ)

x

y

θ

x r= cosθ

y r= senθ

La relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polaresa bBß Ca b< ß T) , del punto esta dado por:

Si conocemos: T < ß Ä B œ <-9= • C œ <=/8a b) ) )

T B ß C Ä < œ „ B C • >1 œC

Ba b È # # )

Ejemplo resuelto.

Sea el punto determinar las coordenadas rectangularesT <ß œ T # ß&

%a b Œ È)

1

a bBß C .

Como conocemos: , las coordenadas rectangulares estánT <ß œ T # ß&

%a b Œ È)

1

dadas por:


215

T # ß Ê Ê Bß C œ "ß "&

%

B œ # -9= œ "&

%

C œ # =/8 œ "&

%

Œ ÈÚÝÝÛÝÝÜ

È Œ È Œ Ÿ a b a b1

1

1

θ π=

54

Eje xEje polar

Eje y

P(x,y) = P(r,θ)

x

x = 2 54

cos π

y = 2 54

sen π-1

-1


I Representar los puntos en coordenadas polares

1.Dibujar el punto , Hallar tres representaciones más en coordenadasŒ $ß $

%

1

polares de este punto, usando # #1 ) 1

II Convertir de coordenada polar a rectangular (dibujar)

1. 2. a b a b a b Š ‹È< ß œ # ß < ß œ $ ß'

) 1 )1

3. 4. a b a bŒ Š ‹< ß œ $ ß < ß œ % ß$

% ') )

1 1

5. 6. a b a bŒ Š ‹< ß œ " ß < ß œ % ß &

% $) )

1 1


216

7. a b Š ‹È< ß œ # ß #ß $')

III Convertir de coordenada rectangular a polar para los puntos

1. 2. a b a b a b a bBß C œ " ß " Bß C œ ! ß #

3. 4. a b a b a b ÈBß C œ ß Bß C œ " ß "

$ $

# #

5. 6. a b a b a b Š ‹È ÈBß C œ $ ß % Bß C œ $ ß $

7. 8. a b a b a b a bBß C œ % ß ' Bß C œ ! ß & 9. 10. a b a b a b a bBß C œ $ ß " Bß C œ # ß ! 11. a b a bBß C œ "& ß #

IV Convertir las coordenadas rectangulares en polares

1. 2. B C œ * B C #+B œ !# # # #

3. 4. C œ % B œ "!

5. 6. C œ *B C œ B ##

V Convertir las coordenadas polares a rectangulares

1. 2. < œ %=/8 œ'

) )1

3. 4. < œ " #=/8 < œ %=/8) )#

5. 6.< œ # #-9= < œ $-9=) )


217

Solución

I

1.Œ Œ Š ‹$ß à $ß à $ß& (

% % %

1 1 1

II

1. 2.a b a b a b ÈBß C œ #ß ! Bß C œ ß

$ $

# #

3. 4.a b a b a bŒ È ÈBß C œ # ß # Bß C œ !ß %$ $

# #

5. 6.a b a b È È Š ‹ÈBß C œ ß Bß C œ #ß # $# #

# #

7.a b a bBß C œ "ß !!% ß !ß **'

III

1. 2.Œ È Š ‹# ß # ß$

% #

1 1

3. 4.Š ‹ Š ‹È È ÈŒ $ ß # ß # ß' % %

&1 1 1

5. 6.a b a b Œ È ÈŠ ‹& ß #ß #"% & ß &ß $&' ' ß ' ß&

% %

1 1

7.Š ‹Š ‹È È# "$ ß !ß *)$ # "$ ß %ß "#%

IV 1. 2.< œ $ < œ #+-9= )

3. 4. < œ %-9=/- < œ =/-) )

5. < œ *-9=/- -9= 'Þ< œ#

=/8 -9=#) )

) )


218

V 1. 2.B C %C œ ! $B $C œ !# # È 3. 4.a b a bB C #C œ B C B C œ "'C# # # # # # ## $

5. 6a bB #B C œ %B %C Þ B C œ $B# # # # # ##


219

Gráficos en coordenadas polares

El lugar geométrico de todos los puntos esta representado por la siguientea b< ß )ecuación en coordenada polares

< œ 0a b) Se define la gráfica de una ecuación en coordenadas polares como ela b< ß )conjunto de todos los puntos que tienen por lo menos un par de coordenadas polaresTque satisfacen la ecuación dada.

Existen que son de gran utilidad en el trazado de curvas enreglas de simetría coordenadas polares.

Regla 1: Si la sustitución en lugar de da la misma ecuación, ela b a b< ß < ß) )gráfico es simétrico respecto al eje o eje polar.B

Regla 2: Si la sustitución de en lugar de da la misma ecuación,a b a b<ß < ß1 ) )

el gráfico es simétrico respecto del eje o la recta .] œ#

)1

Regla 3: Si la sustitución de o de en lugar de da laa b a b a b <ß < ß < ß) ) 1 )misma ecuación, el gráfico es simétrico respecto al polo.

"Si se cumplen dos de estas simetrías, automáticamente se cumplen las restantes.Sin embargo es posible que una gráfica tenga ciertas propiedades de simetría que no lasdan las reglas anteriores".


220

Ejemplo resuelto:

1.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por: < œ %=/8 )

Tabla de datos:

) 1 11 1 1 1 1 1 1 1

! #' $ # $ ' ' # '

# & ( $ ""

< ! # # $ % # $ # ! # % # !È È

π2

0π2π

1 2 3

23π

Circuloθsen4=r

4

Simetría: Esta gráfica presenta simetría con respecto de la recta eje )1

œ C#

a b


221

2.Determinar la gráfica de la ecuación polar dada por: < œ $ #-9= )

Tabla de datos:

) 1 11 1 1 1 1 1 1 1

! #' $ # $ ' ' # '

# & ( $ ""

<

2π

0π

23π

Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.Simetría:


222

3.Determinar la gráfica polar dada por: < œ # $-9= )

Tabla de Datos:

) 1 11 1 1 1 1 1 1 1

! #' $ # $ ' ' # '

# & ( $ ""

<

2π

0π

23π

Simetría: Esta gráfica es simétrica respecto del eje polar.


223

Gráficas polares especiales

Caracoles.

< œ + „ ,-9= ) < œ + „ ,=/8 ) a b! + à ! ,

CaracolCon hoyuelo Caracol

Convexo

0 0

21 <<ba

2≥ba

23π

23π

ππ

Cardioide(forma de corazón)

lazo interno

0

1=ba

23π

π

Caracol conlazo interno

0

1<ba

23π

π

2π

2π

2π

2π


224

Rosas

Rosas de n pétalos

< œ +-9= 8)

Número de pétalos si es imparsi es parœ 8 #

8 8#8 8œ a b

8 es parRosa Rosa (n = 4)

a

n=2

a

n=42π

2π

π π0 0

23π

23π

θ2cosar = θ4cosar =


225

8: impar

Rosa Rosa (n = 5)

0

a

n=3 n=5

a

ππ

23π

23π

0

2π

2π


226

Rosas de pétalos8 < œ +=/88)

8: par

Rosa Rosa

0 0a

n=2 n=4

a

θ2senar = θ4senar =

23π

23π

ππ

2π

2π

8: impar

Rosa (n = 3) Rosa (n = 5)

0 0a

n=3n=4

a

θ3senar = θ5senar =

2π

2π

π π

23π

23π


227

Círculos y Lemniscatas

Círculos

CirculoCirculo

0 0

a

a

θcosar =θsenar =

2π

2π

23π 2

3π

π π

LEMNISCATA

Lemniscata Lemniscata

0 0a

a

θ2sen22 ar = θ2cos22 ar =

2π

2π

ππ

23π

23π


228

Ejercicios

I Para los siguientes ejercicios, determinar:

(a) tabla de datos y dibujar la gráfica: (b) tipo de curva (c) la simetría:

"Ñ < œ #-9= $ #Ñ < œ $=/8 $) )

$Ñ < œ $=/8 %Ñ < œ $-9=) )

&Ñ < œ *-9= #)

II Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:

1. 2. < œ & < œ )

3. 4. < œ =/8 < œ #=/-) ) 5. 6. < œ % # =/8 < œ $ " -9=a b a b) )

7. 8. < œ $ #-9= < œ $=/8) ) 9. 10. < œ % < œ " =/8 ) 11. 12. < œ +=/8 < œ $=/8) ) 13. co 14. < œ # = $ < œ $=/8 #) )

15. 16. < œ %-9= # < œ $ " -9=# ) )a b 17. 18. < œ =/8 & < œ $-9= #) ) 19. 20. < œ %=/8 < œ $ #-9=# ) )


229

Solución

(1) < œ #-9= $)

Tipo de curva: rosa Simetría: Eje Polar

(2) < œ $=/8 $)


230

Tipo de curva: rosa Simetría: Recta )1

œ#

(3) < œ $=/8 )

Tipo de curva: círculo Simetría: Recta )1

œ#

(4) < œ $-9=)

Tipo de curva: círculo Simetría: Eje Polar


231

(5) < œ *-9= #)

Tipo de curva: rosa Simetría: Polo

II Dibujar la gráfica de la ecuación polar e indicar la simetría:

1.Simetría polar, eje polar, 2.Simetría ) )1 1

œ œ# #

3.Simetría 4.Simetría polar)1

œ#

5.Simetría 6.Simetría eje polar )1

œ#

7.Simetría eje polar 8.Simetría )1

œ#

9.Simetría polar, eje polar, 10.Simetría ) )1 1

œ œ# #

11.Simetría 12.Simetría ) )1 1

œ œ# #

13.Simetría eje polar 14.Simetría polo

15.Simetría eje polar 16.Simetría eje polar

17.Simetría 18.Simetría polar, eje polar, ) )1 1

œ œ# #

19.Simetría polar 20.Simetría eje polar


232

Areas en coordenadas polares

Sea una función continua y positiva, definida para valores de entre y< œ 0a b) ) !"Þ ÐNuestro objetivo es determinar el área delimitada por los radios vectores rectasradiales) y y la curva definida por < < < œ 0 Þ" # a b)

Para hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ , ] en subintervalos! " 8iguales:

! ) ) ) ) ) "œ ââ œ8 " 8 < < < < < 0 1 2


233

Calculando el área de un sector circular cualquiera de radio y ángulo< œ 0a b&central ? ) ) )i œ Þ3 3"

Recordando que el área de un segmento circular de radio y ángulo central , esta< )dado por:

Area del sector circular œ <"

#a b?) #

Entonces el área del sector circular está dado por:

? ? ) &E œ Ò0 Ó"

#a b a b3

#

proximando el área de la región por la suma de los sectores,E 8

E ¸ Ò0 Ó

3 œ "

8 "

#" a b a b? ) &3

#


234

Tomando el límite , tenemos:8 Ä _

E œ Ò0 Ó8 Ä _

"

#3 œ "

8lim " a b) ?)3

#

E œ Ò0 Ó ."

#( a b!

"

) )#

Por lo tanto, podemos definir:

Si es continua y no negativa en el intervalo [ , ], el área de la región limitada0 ! "por la gráfica de entre los radios vectores y , esta dado por:< œ 0 ß œ œa b) ) ! ) "

E œ Ò0 Ó ."

#( a b!

"

) )#

12

E œ < .(!

"# )

Ejemplo:

1) Determinar el área de la región polar dada por: entre y =

2< œ $ $ -9= œ !) ) )

1

Su gráfica es:


235

Solución:

El área de la región esta dada por:

E œ < ."

#(!

Î##

1

)

œ $ $ -9= ."

#( a b!

Î##

1

) )

œ * ") -9= * -9= ."

#( ˆ ‰!

Î##

1

) ) )

œ * . ") -9= * -9="

#” •( ( (

! ! !

Î# Î# Î##

1 1 1

) ) )

œ * ")=/8 * " -9= # ." "

# #” º º •( a b) ) ) )

! !

Î# Î#

!

Î#1 1 1

œ * ! ") =/8 =/8 ! . -9= # ." *

# # # #” Œ •Š ‹ Š ‹ ( (1 1

) ) )! !

Î# Î#1 1

œ * ") =/8 =/8 #" * "

# # # # #” Œ º º •Š ‹ Š ‹1 1

) )! !

Î# Î#1 1

œ * ") " *

# # # #” Œ •Š ‹1 1

œ * ?Þ ./ +Þ#(

)1 a b


236

2) Hallar el área de un pétalo de rosa dada por: < œ # -9=# )

Solución:

Por simetría de la figura planteamos:

12

E œ ) < .” •(!

Î%#

1

)

12

œ ) # -9= # .” •( a b!

Î%#

1

) )

œ % % -9= # .(!

Î%#

1

) )

œ "' " -9= % ."

#( a b!

Î%1

) )

œ ) . -9= % .” •( (! !

Î% Î%1 1

) ) )

œ ) =/8 %"

%” •) )

!

Î%1

œ ) =/8 % ! =/8 !% % % %

" "”Œ Œ •1 1


237

œ ) =/8 ! =/8 !% % %

" "”Œ Œ •11

œ ) ! ! !%

” •Š ‹ a b1

œ # ?Þ ./ +Þ1 a b Determinar el área común a: y $Ñ < œ & =/8 < œ & -9=) )

Solución:

Lo primero es gráficar para determinar el área común

E œ &=/8 . & -9= ." "

# #( (a b a b! Î%

Î% Î## #

1 1

1

) ) ) )

25 œ =/8 . #& -9= ." "

# #( (! Î%

Î% Î## #

1 1

1

) ) ) )

œ " -9= # . " -9=# .#& " "

# # #” •( (a b a b

! Î%

Î% Î#1 1

1

) ) ) )


238

œ " -9= # . " -9=# .#& "

# #Œ Œ ” •( (a b a b

! Î%

Î% Î#1 1

1

) ) ) )

œ . -9= # . . -9= # .#& "

# #Œ Œ ” • ( ( ( (

! ! Î% Î%

Î% Î% Î# Î#1 1 1 1

1 1

) ) ) ) ) )

œ =/8 # =/8 ##& " " "

# # # #Œ Œ ”Œ Œ •» ») ) ) )

! Î%

Î% Î#1 1

1

œ ! #& " " "

# # % # # % #Œ Œ ”Œ Œ •Š ‹1 1 1

œ "#& "

# # #Œ Œ ” •1

œ " ?Þ ./ +Þ#&

% #” •a b1


239


Hallar el área de un pétalo de la rosa dada por: "Ñ < œ $ -9= $)

Determinar el área de la rosa dada por: #Ñ < œ %=/8 #)

Determinar el área común a 5 , pero no a 5$Ñ < œ =/8 < œ -9=) )

Hallar el área de la régión común a las dos regiones limitadas por la%Ñ circunferencia y la cardioide < œ '-9= < œ # # -9= Þ) )

Hallar el área de la región situada entre los lazos interior y exterior del caracol:&Ñ< œ " # =/8 Þ)

Determinar el área de intersección y de unión de: 'Ñ < œ # -9= à) < œ & -9= )


240

Solución:

1)

E œ ?Þ ./ +Þ$

#

1 a b #Ñ

E œ ) ?Þ ./ +Þ1 a b


241

3)

E œ ?Þ ./ +Þ#& #&

) %1 a b

4)

E œ & ?Þ ./ +Þ1 a b


242

&Ñ

E œ $ ?Þ ./ +Þ1 a b 'Ñ Ð+Ñ

E œ $ ?Þ ./ +Þ%$ )

#% $1 È a b


243

Ð,Ñ

E œ ?Þ ./ +Þ% $ $ "#

$

1 È a b


244

Longitud de arco en coordenadas polares

Sea una función continua y derivable en el intervalo ,< œ 0 Ÿ Ÿa b) ! ) "entonces la longitud de arco de la gráfica desde y , está dada por:< œ 0 œ œa b) ) ! ) "

P œ 0 0 .-:

# #w( Ê’ “ ’ “a b a b

!

"

) ) )

P œ < < .-:

# #w( Ê’ “ ’ “

!

"

)

Ejemplo:

Determinar la longitud del arco de la siguiente función: "Ñ < œ $ $ -9= à) para : [ 0 , 2 ]. Gráficar.1

Solución:

Dado que: tenemos:< œ $ $ -9= Ê < œ $ =/8 ß) )w

P œ $ $ -9= $ =/8 .-:

# #( Ê’ “ ’ “0

21) ) )

œ * ") -9= * -9= * =/8 .( È0

21) ) ) )# #


245

œ * ") -9= * .( È0

21) )

, Dado que: œ $ # " -9= . -9= œ# #

" -9=( È È Ê0

21) )

) )

œ ' -9= .#

(0

21 ))

œ "# =/8#

) º!

#1

œ "# =/8#

) º!

#1

œ #% ?Þ ./ 6Þa b Determinar la longitud de arco de: donde es una constante#Ñ < œ + =/8 à +) positiva. Gráficar.

Solución:


246

Dado:

tenemos:< œ + =/8 < œ + -9= à) )w

P œ + =/8 + -9= .-:!

# # #( Ê’ “ ’ “1

) ) )

œ + =/8 + -9= .( È!

## # # #

1

) ) )

œ + =/8 -9= .( È a b!

## # #

1

) ) )

œ + .( È!

##

1

)

œ + .(!

#1

)

œ + )º!

#1

œ # + ?Þ ./ 6Þ1 a b


247


1) Determinar la longitud de arco de la espiral : para entre [0 , 2 ]< œ /$) ) 1

Determinar la longitud de arco de la cardioide #Ñ < œ 0 œ # # -9=a b) ) Entre hasta ) ) 1œ ! œ # Þ

Calcular la longitud de arco de la gráfica polar definidad por: $Ñ < œ &a b" -9= ) entre yß œ ! œ # Þ) ) 1

Determinar la longitud total de la rosa dada por: %Ñ < œ % =/8 #)

Determinar la longitud de la espiral: para 2&Ñ < œ ß "

)) 1

6) Un móvil se mueve de acuerdo a la siguente trayectoria: ¿Que distancia recorre esta partícula desde el instanteB œ =/8 > C œ -9= >Þ1 1 segundo al instante segundo.> œ " > œ #


248

Solución

1) "

$"! " / ?Þ ./ 6ÞÈ ˆ ‰ a b'>

#Ñ "' ?Þ ./ 6Þa b

$Ñ %! ?Þ ./ 6Þa b

%Ñ ) ?Þ ./ 6Þ1 a b

5) ****

6) 1 a b?Þ ./ 6Þ


249

Autoevaluación

1) Dado el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas

B œ # >È C œ >#

Realice el correspondiente gráfico y encuentre la ecuación cartesiana

2) Determine para el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas:. C

.B

#

#

B œ / =/8>>

C œ / -9=>>

3) Obtener la longitud de arco de

B œ #-9=> #>=/8> si C œ #=/8> #>-9=> > − Ò ! ß # Ó1

4) Determine el área que queda en el interior de y de< œ $ #-9=9< œ $ #-9=9

5) Calcular la longitud de arco de < œ " -9=)


250

Solución

"Ñ B œ # >È C œ >#

Dominio: # > !

> #

> Ÿ #

> # " #B ! " #C % " %

B œ # > Ê B œ # > Ê > œ # BÈ #

con C œ > Ê C œ # B B !# # #a b


251

2 Ñ B œ / =/8>>

C œ / -9=>>

.B .B

.> .>œ / =/8> / -9=> Ê œ / =/8> -9=>> > >a b

.C .C

.> .>œ / -9=> / =/8> Ê œ / -9=> =/8>> > >a b

.C / -9=> =/8> .C -9=> =/8>

.B / =/8> -9=> .B =/8> -9=>œ Ê œ

>

>

a ba b

. C

.B / =/8> -9=>œ

=/8> -9=> =/8> -9=> -9=> =/8> -9=> =/8>

=/8> -9=>#

# >

#

a ba b a ba ba ba b

. C =/8 > #=/8>-9=> -9= > -9= > #=/8>-9=> =/8 >

.Bœ

/ =/8> -9=>

# # # # #

# > $a b

. C #=/8 > #-9= >

.Bœ

/ =/8> -9=>

# # #

# > $a b

. C #

.Bœ

/ =/8> -9=>

#

# > $a b


252

3Ñ

.B .B

.> .>œ #=/8> #=/8> #>-9=> Ê œ #>-9=>

.C .C

.> .>œ #-9=> #-9=> #>=/8> Ê œ #>=/8>

P œ #>-9=> #>=/8> .>( Éa b a b!

## #

1

P œ %> -9= > %> =/8 > .>( È!

## # # #

1

P œ %> -9= > =/8 > .>( È a b!

## # #

1

P œ #> .>(!

#1

P œ #>

#

#

!

#º 1

P œ % Ò ?Þ ./ 6Þ Ó1#


253

4 ángulos de intersecciónÑ

$ #-9= œ $ #-9=9 9

%-9= œ ! Ê œ#

9 91

"

Ê œ$

#9

1#

E œ % † $ #-9= ."

#( a b!

Î##

1

9 9

E œ # * "#-9= %-9= .( ˆ ‰!

Î##

1

9 9 9

E œ # * "#=/8 % ." -9=#

# º (9 9 99

!

Î#

!

Î#1 1

E œ # * "#=/8 # #=/8#

# º9 9 99

!

Î#1

E œ # * "#=/8 # =/8# ! "#=/8! ! =/8!# # # #

Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹1 1 1 1

E œ "" Ò ?Þ ./ +Þ Ó1


254

5)

< œ " -9= Ê œ =/8.<

.) )

)

P œ # " -9= =/8 .( Éa b a b!

# #1

) ) )

P œ # " #-9= -9= =/8 .( È!

# #1

) ) ) )

P œ # # #-9= .( È!

1

) )

P œ # # " -9= .È ( È!

1

) )

P œ # # " -9= † ." -9=

" -9=È ( È È

È!

1

) ))

)

P œ # # .=/8

" -9=È ( È!

1 )

))

? œ " -9= Ê .? œ =/8) )

) ) 1œ ! Ê ? œ ! à œ Ê ? œ #

P œ # # ? .?È (!

#"Î#

P œ # # # ?È È º#!

P œ # # # # ! Ê P œ ) ?Þ ./ 6ÞÈ ÈŠ ‹ a b


UNIDAD Nº4INTEGRALIMPROPIA


255

Integrales Impropias

Sea la integral definida , podrá resultar impropia de dos formas:( a b+

,

0 B .B

1 Si uno o ambos limites de integración se hacen infinitos.Þ

2.Si el integrado , se torna infinito en el punto o en el punto o en0 B ,a b +cualquier punto entre estos extremos de intervalos c d+ ß ,

Caso 1.El límite de integración se hace infinito

1.1) El límite superior es infinito.

Si es continua en , entonces0 B +ß _a b

( (a b a b+ +

_ ,

,Ä_0 B .B œ 0 B .B lim

La integral impropia es convergente al valor dado por el límite Si el límite no existe se dice que la integral impropia no existe por lo tanto esdivergente.

converge si existe( (a b a b+ +

_ ,

,Ä_0 B .B 0 B .Blim


256

1.2) El límite inferior es infinito.

Si es continua en , entonces la integral impropia:0 B _ß ,a b ‘ ‘

converge si existe( (a b a b_ +

, ,

+Ä_0 B .B 0 B .Blim

Es al valor dado por el límite. Si el límite no existe, la integralconvergenteimpropia es .divergente


257

1.3) El límite inferior y superior son infinitos

Si es continua en , donde la integral se ha dividido en dos integrales0 B + ß ,a b ‘ en el punto , donde el punto es un punto finito conveniente , entonces la- - + - ,a bintegral impropia:

es convergente si las integrales ( ( (a b a b a b_ _ -

_ - _

0 B .B 0 B .B 0 B .B

existen

Donde:

y ( ( ( (a b a b a b a b_ + - -

- - _ ,

+Ä_ ,Ä_0 B .B œ 0 B .B 0 B .B œ 0 B .Blim lim

Para que sea deben existir ambos límites. Si no existe alguno de losConvergentelímites no hay integral y se dice que es .Divergente


258

Caso 2.El integrado se torna infinito o discontinuo ya sea en los mismos limitesde integración o en algún punto del intervalo entre ellos.

Sea continua en excepto en que presenta una discontinuidad, donde0 B + ß , :a b ‘ + : ,, entonces decimos:

Es , si ambas integrales existenconvergente

( ( (a b a b a b+ + :

, : ,

0 B .B œ 0 B .B 0 B .B

( ( (a b a b a b+ + >

, > ,

>Ä: >Ä:0 B .B œ 0 B .B 0 B .Blim lim

Para que sea deben existir ambos límites, caso contrario esConvergenteDivergente.

- El área de a es: + : ( (a b a b+ +

: >

>Ä:0 B .B œ 0 B .Blim

Corresponde al límite de la función en el punto y tomando el límite de la:función cuando tiende a desde la izquierda.> :

- El área de a , está dada por: : , 0 B .B œ 0 B .B( (a b a b: >

, ,

>Ä:lim

Corresponde al límite derecho de la función cuando tiende a , desde la derecha.> :


259

Proposición

1.Supongamos y continuas en . Si la integral0 1 +ß , ‘ Convergente y Convergente( (

+ +

, ,

0ÐBÑ .B 1ÐBÑ .B

Entonces: Convergente( ‘+

,

0ÐBÑ 1ÐBÑ .B

2.Si Converge, entonces también Converge, con ( (+ +

, ,

0ÐBÑ.B -0ÐBÑ .B - !

3.Si Convergente, no necesariamente( ‘+

,

0ÐBÑ 1ÐBÑ .B

y son Convergentes( (+ +

, ,

0ÐBÑ .B 1ÐBÑ.B


260

Ejemplos resueltos

Calcular la siguiente integral

1.Resolver ($

_

%

.B

B

( ($ $

_ ,

% %,Ä_

.B .B

B Bœ lim

œ "

$Blim,Ä_ $

,

$º

œ " "

$, $ $lim,Ä_ $ $– —a b

Dado que , entonces lim lim,Ä_ ,Ä_$ $ $

" " " "

$, $, )"œ ! œ

$ $– —a b

Por lo tanto , la integral converge a "

)"Þ


261

2.Resolver (!

_

#

B

B ".B

( (! !

_ ,

# #,Ä_

B B

B " B ".B œ .Blim

œ 68 B ""

#lim,Ä_

#,

!” •ˆ ‰

œ 68 , " 68 "" "

# #lim,Ä_

#” •ˆ ‰ a b Como es indeterminado, de manera que el límite no existe. En68_consecuencia no hay integral. Por lo tanto, la integral diverge DVa b


262

3.Calcular el área de las regiones:

Situación (1)

E œ .B"

B("

_

œ .B"

Blim,Ä_ "

,( œ 68Blim

,Ä_ "

,c d¹ œ 68 , 68 "lim

,Ä_a b

Dado que: Diverge. Entonces el área de la región es infinita.lim,Ä_

68 ,

La integral DV.


263

Situación (2)

E œ .B"

B("

_

#

œ .B"

Blim,Ä_ "

,

#( œ

"

Blim,Ä_ "

,” • œ

" "

, "lim,Ä_

Œ œ "

"

,lim,Ä_

Œ œ "

Entonces el área es finita, dado que: E œ .B œ ""

B("

_

#

La integral CV


264

4.Determinar el área bajo la curva de la función 0 B œ"

" Ba b

#

E œ .B"

" B(_

_

#

œ .B .B" "

" B " B( (_ !

! _

# #

œ # .B"

" B(!

_

#

œ # .B"

" Blim,Ä_ !

,

#( œ # E<->1 Blim

,Ä_ !

,a b¹ œ # E<->1 , E<->1 !lim

,Ä_a b

œ # !#

Š ‹1

œ 1

Luego, la integral es CV.E œ .B"

" B(_

_

#


265

Ejemplos propuestos con resultado

1. 2. ( (a b" _

_ _B

B

#B" B / .B .B

/

" /

3. 4. ( (È! !

" #

$

.B .B

B B$

5. 6. ( ( È a b" !

# _

$

.B .B

B B B "

7. 8. ( ( È! !

" %

68 B .B .B"

B

9. 10. ( (a b!

# _B"

B ".B / .B#

$ 0

11. 12. ( (_ "

! _#B

#B/ .B .B

"

B

13. 14. ( (_ !

_ _

# B B

" "

" B / /.B .B

15. ( È#

%

#

"

B %.B


266

Solución

1.CV a 2. CV a "

/ #

1

3.CV a 4. CV a $

#)

5. DV 6. CV a 1

7. CV a 8. CV a " % 9.CV a 10.CV a ' "

11. DV 12.CV a "

13.CV a 14. CV a11

%

15. CV a 68 # $Š ‹È


267

Autoevaluación

Decida si la integral CV o DV À

"Ñ > / .>(!

_>

#Ñ .D"

D %("

#

#

$Ñ .CC

C "( a b_

!

# #

%Ñ .A"

A #A $(!

&

#

&Ñ.B

B #&(_

_

#


268

Solución

DV"Ñ > / .>(!

_>

DV#Ñ .D"

D %("

#

#

CV a $Ñ .C C "

C " #( a b_

!

# #

DV%Ñ .A"

A #A $(!

&

#

CV a &Ñ.B

B #& &(_

_

#

1

2002 Calculo 2 (1)

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