2.4

Analizando gráficas de

funciones cuadráticas

Definiciones

• Si la gráfica de una función

sube de izquierda a

derecha, se dice que es

creciente en ese intervalo.

• Una función f se dice que es

creciente en un intervalo

abierto del dominio, si para

todo valor en el intervalo,

• a < b implica que f(a) < f(b

Definiciones (cont.)

• Si la gráfica de una función

baja de izquierda a derecha,

se dice que es decreciente

en ese intervalo.

• Una función f se dice que es

decreciente en un intervalo

abierto del dominio, si para

todo valor en el intervalo,

• a < b implica que f(a) > f(b

• Una función f se dice

que es constante en un

intervalo abierto del

dominio, si para todo

valor en el intervalo,

f(a) = f(b).

Definiciones (cont.)

Indique los intervalos

donde f(x) es:

• creciente

• decreciente

• constante

Ejemplo

(-∞,-3) (1,4)

(-3,1)

(4,∞)

Indique los intervalos

donde f(x) es:

• decreciente

• creciente

• constante

Ejemplo

(-∞,3)

No hay intervalos del dominio

donde la función es constante.

(3,∞)

Indique los intervalos

donde f(x) es:

• creciente

• decreciente

• constante

Ejemplo

La función es creciente en todo su

dominio.

(- ∞,∞)

No hay intervalos donde la función

es constante.

No hay intervalos donde la función

es decreciente.

Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

La gráfica de una función cuadrática se conoce como una

parabola.

El punto (h, k) en el cual la gráfica gira y cambia de dirección se

llama el vértice. La función f(x) alcanza su valor máximo o

mínimo en el vértice. La línea vertical x = h se llama el eje de

simetría y divide la gráfica en dos partes idénticas.

Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y y = f(-

𝑏

2𝑎)

Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 + 12x + 16

a = 2 b= 12 c = 16

x = (- 12

4 )= -3

f(-3)= 2(-3)2 +12(-3) + 16

= 18 - 36 + 16 =

El vértice es (-3, -2).

-2

Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y = f(-

𝑏

2𝑎)

a = 2 b= -4 c = 5

x = (- −4

4 )= 1

f(1)= 2(1)2 -4(1) + 5

= 3

El vértice es

Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 – 4x + 5

(1, 3).

Definición

Para f(x) = ax2 + bx + c, a se conoce como el coeficiente

principal.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre

hacia abajo.

Si la parábola abre hacia arriba, la función tiene un mínimo.

Si la parábola abre hacia abajo, la función tiene un máximo.

Ejemplo:

Ejemplo

Determinar el vértice , el eje de simetría, y el valor mínimo o máximo para f (x) = x2 + 10x + 23.

Solución:

Vértice:

(–5, –2)

Eje de simetría:

x = –5

Valor mínimo de f(x):

y= 2

Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y = f(-

𝑏

2𝑎)

x = (- 10

2)= -5

f(-5)= (-5)2 + 10(-5) + 23

= 25 - 50 + 23

a = 1 b= 10 c = 23

= -2

Ejemplo (cont.)

Trazar la gráfica de f (x) = x2 + 10x + 23

X Y

-5 -2

X Y

-2

-4

-5 -2

-7

-8

X Y

-2 7

-4

-5 -2

-7

-8

X Y

-2 7

-4 -1

-5 -2

-7

-8

X Y

-2 7

-4 -1

-5 -2

-7 4

-8

X Y

-2 7

-4 -1

-5 -2

-7 2

-8 7

Vértice

Práctica:

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

a) Hallar el vértice.

g(-3.25)=

= -28.125

El vértice es .

b) Determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.

Hallar ese valor.

El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre

hacia y la función tiene un .

Para determinar el mínimo, evaluamos .

El valor mínimo es .

2(-3.25)2 + 13 • (-3.25) 7

arriba mínimo g(-3.25)

y= -28.125

(-3.25, -28.125)

2

x = - 13

2(2)= -

13

4= −3.25

Ejemplo (cont.)

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

c) Hallar el dominio y el campo de valores.

Dominio: ó .

Campo de valores:

Todos los valores .

ó .

d) ¿En qué intervalo es la función creciente?

¿…decreciente?

creciente:

decreciente:

Todos los reales (-∞, ∞)

mayores o iguales a -28.125

y -28.125 [-28.125, ∞)

(-3.25,∞)

(-∞,-3.25)

Ejemplo (cont.)

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

e) Hallar el int-y.

int – y : Para determinar el int-y, evaluamos

=

f) Hallar los ceros de la función.

Para hallar los ceros de la función resolvemos la

ecuación ________ que en este caso es

2x2 + 13x 7 = 0

Resolvemos la ecuación anterior ó

utilizando la .

g(0)

factorizando

- 7

g(x) = 0

fórmula cuadrática

Ejemplo (cont.)

f ) Hallar los ceros de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

2x2 + 13x 7 = 0

Para factorizar necesitamos hallar factores de

que sumen .

Los factores de -14 son: , , , .

Reescribimos la ecuación original como:

(2x2 x) + (14x 7) = 0 y factorizamos

x(2x 1) + 7(2x 1)=0

(2x 1)(x + 7) = 0

Igualamos cada factor a 0:

2x 1= 0 x + 7 = 0

x = ½ x = -7

Los ceros son x= ½ y x = -7 .

13

(1)(-14)

(a)(c) = -14

(-1)(14) (2)(7) (2)(7)

Ejemplo (cont.)

g) Hallar los int-x de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

Hallar los int-x de g(x) es lo mismo, en este caso, que

.

Los ceros son x = ½ y x = -7, por lo tanto, los int-x son

y .

h) Evaluar g(-7.5) y g(1)

g(-7.5) = 2(-7.5)2+ 13(-7.5) 7

= 8

g(1) = 2(1)2+ 13(1) 7

= 8

hallar los ceros de 2x2 + 13x 7 = 0

( ½ , 0) (7,0)

Ejemplo (cont.)

i) Trazar la gráfica de g(x) = 2x2 + 13x 7 = 0

Recopilemos la información que tenemos:

1) int-y:

(0, -7)

2) int-x:

(½ , 0) (-7, 0)

3) vértice:

(-3.25, -28.125)

4) dos puntos adicionales:

(-7.5,8) (1,8)

5. La gráfica es una que

abre hacia .

parábola

arriba

Práctica adicional:

Para la función f(x) = x2 + 14x 47:

a) Hallar el vértice.

f(7) =

= -49 + 98 – 47

= 2

El vértice es .

b) Determinar si la función tiene una máximo o un mínimo.

Hallar ese valor.

El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre

hacia y la función tiene un .

Para determinar el máximo, evaluamos .

El valor máximo es .

72 + 14 • 7 47

abajo máximo

f(7)

y= 2

(7, 2).

-1

x =

Práctica adicional (cont.)

Para la función f(x) = x2 + 14x 47:

c) Hallar el dominio y el campo de valores.

Dominio: ó .

Campo de valores:

Todos los valores .

ó .

d) ¿En qué intervalo es la función creciente?

¿…decreciente?

creciente:

decreciente:

Todos los reales (-∞, ∞)

menores o iguales a 2

y 2 (-∞,2).

(-∞,7)

(7, ∞)

Práctica adicional

Determinar el vértice , el eje de simetría, y el valor mínimo o

máximo para

Solución:

g x x2

2 4x 8.

Para identificar el vértice, (x, y), de la cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y = f(-

𝑏

2𝑎)

x = (- −4

2(1

2))

f(4)=

= 8 - 16 + 8

= 0

Recuerde: g(x) también se puede escribir: g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8

a = ½ b= -4 c = 8

Vértice:

Eje de simetría:

(4, 0)

x = 4

¿mínimo o máximo?

mínimo es y=0

= 4

1

2(4)2−4(4) + 8

Tenemos que:

Vértice: (4, 0)

Eje de simetría: x = 4

Valor mínimo de la función: 0

a= ½

int-y:

f(8)=

El punto (8,8) pertenece a la

gráfica.

f(x) es decreciente en:

f(x) es creciente en:

Práctica adicional

Trazar la gráfica de : g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8

, parábola abre hacia arriba

(0, 8)

1

2(8)2−4(8) + 8

= 8

(-∞,4)

(4,∞)

Práctica adicional:

Identificar el dominio y el rango de :

g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8

Nota: Como la parábola abre

hacia arriba y el valor

mínimo es y = 0, el campo

de valores de la parábola

incluye todos los valores

mayores o iguales a 0

y 0 ó [0, ∞).

El dominio de g(x) es:

Todos los reales o

(-∞, ∞).