Sec 2.3

Funciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación que se

puede escribir de la forma

ax2 + bx + c = 0, a 0,

donde a, b, y c son números reales.

Una ecuación cuadrática escrita de esta forma se

dice que está en la forma general.

Funciones cuadráticas

Una función , f , es una función cuadrática si

f(x) = ax2 + bx + c ,

donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0.

a se conoce como el coeficiente cuadrático.

b se conoce como el coeficiente lineal.

c se conoce como la constante de la ecuación.

Gráficas de funciones cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática, f , se

llama una parábola.

f(0) es el int-y de la gráfica de f.

Si f (0) = c, entonces (0,c) es el int-y.

Los valores reales de x tal que f(x) = 0, son

los interceptos en x de la gráfica.

La parábola puede tener 2 interceptos en x, un

intercepto en x o ninguno.

La parábola siempre tiene un intercepto en y.

Funciones cuadráticas

Identificar a, b, c y el int-y de las siguientes funciones

cuadráticas.

f(x) = 2x2 + 3x + 10

g(x) = 4x2 – 5x + 9

h(x) = 7x – 5x2 – 30

p(w) =1.34w – 21.054 – 0.5w2

Los ceros de una función cuadrática

Los ceros de una función cuadrática

f (x) = ax2 + bx + c, a 0,

1. son soluciones de la ecuación cuadrática

ax2 + bx + c = 0.

2. pueden ser valores reales o imaginarios.

3. pueden ser 2, 1 ó 0 (en cantidad)

Si los ceros son reales, entonces indican los interceptos

en x de la gráfica de f .

Funciones cuadráticas

Gráficas de funciones cuadráticas:

Dos interceptos en x

(la función tiene dos ceros)

Un intercepto en x

(la función tiene un cero)

NO hay intercepto en x

(la función NO tiene

ceros reales)

La Fórmula Cuadrática

Las soluciones de ax2 + bx + c = 0, a 0, son dadas

por la fórmula

Esta fórmula se puede usar para resolver

CUALQUIER ecuación cuadrática, siempre y cuando

se identifican correctamente los coeficientes a, b y c.

x b b2 4ac

2a.

Determinar el conjunto solución:

6x2 + x – 2 = 0

Solución:

Ejemplo

Solución:

Resolver 3x2 + 2x = 7. Aproximar la solución a tres lugares decimales.

x b b2 4ac

2a

Ejemplo

Solución:

Hallar los ceros de g(x)= -2x2 + x + 3.

x b b2 4ac

2a

Aproxime, a dos lugares decimales, los

interceptos en x de f(x) = 3w2 + 4w - 3

Solución:

Determinar las soluciones reales de

5q2 - 2q + 1 = 0

Solución:

Discriminante

El valor b2 4ac, se conoce como el discriminante.

Para ax2 + bx + c = 0, donde a, b, and c son números:

b2 4ac = 0 Una solución real;

b2 4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes;

b2 4ac < 0 NO tiene soluciones reales.

Discriminante

Usar el discriminante para determinar el número de

soluciones reales en cada caso:

1) f(x) = x² − 2x + 1

2) g(x) = 3x2 + 4x – 9

3) h(x) = 4 – x + ½ x2

Determinar el número de soluciones

gráficamente Cuando graficas una función cuadrática, el número de

soluciones reales es igual al número de interceptos

en x.

1) f(x) = x² − 2x + 1

2) g(x) = 3x2 + 4x – 9

Determinar el número de soluciones

gráficamente (continuación)

3) h(x) = 4 – x + ½ x2 4) w(x) = - 4 – 4x – x2

MÉTODO ALTERNO-

FACTORIZACION

Revisión de factorización de ecuaciones

cuadráticas

Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resuelven mediante la factorización, un método que expresa una ecuación como el producto de sus factores.

Ejemplo: Factorizar 3x2 – 9x

Se factoriza removiendo el factor común mayor de ambos términos:

3x2 y 9x tienen un factor común ( o máximo común divisor) de 3x.

Factorizamos 3x2 – 9x = 3x( - )

3x(x - )

3x(x - 3)

Revisión de factorización

Factores que sumen 19

Factorizar: 6x2 + 19x + 10 Modelo: ax2 + bx + c (a = 6 b = 19 c = 10)

(a)(c) = (6)(10) = 60

Hallamos los factores de 60

Escribimos la ecuación original usando 4x y 15x

6x2 + 19x + 10 = (6x2 + 4x) + (15x + 10)

2x (3x + 2) + 5(3x + 2)

(2x + 5) (3x + 2)

6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2)

(1)(60) (3)(20) (4)(15) (2)(30) (5)(12) (6)(10)

1+60=61 3+ 20= 23 5+12=17 2+30=32 4+15= 19

6+10= 16

Revisión de factorización

Factores que sumen 5

Factorizar: 2x2 + 5x – 25 Modelo: ax2 + bx + c (a = 2 b = 5 c = -25)

(a)(c) = (2)(-25) = -50

Hallamos los factores de - 50

Escribimos la ecuación original

2x2 + 5x – 25 = (2x2 - 5x) + (10x - 25)

x (2x - 5) + 5 (2x - 5)

(x + 5) (2x - 5)

2x2 +5x – 25 = (x + 5) (2x - 5)

(1)(-50) (2)(-25) (-2)(25) (-1)(50) (5)(-10) (-5)(10)

1+-50=-49 2 + -25= -23 5+ -10= -5 -1+50=49 -2 + 25= 23

-5+ 10= 5

Resolver ecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrático necesitamos recordar

El principio de productos que dan cero:

Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0,

Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0.

Ejemplo: Resolver 6x2 + 19x + 10 = 0

Ya vimos que 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2).

Aplicando el principio

6x2 + 19x + 10 = 0

(2x + 5) (3x + 2)=0

2x + 5 =0 3x + 2 = 0

x =

2

5

3

2x =

Ejemplo

Solución

Resolver 2x2 x = 3.

2x2 x 3

2x2 x 3 0

x 1 2x 3 0

x 1 0 or 2x 3 0

x 1 or 2x 3

x 1 or x 3

2

Principios para resolver ecuaciones

El Principio de la raiz cuadrada

Si x2 = k, entonces

Ejemplo

Resolver 2x2 10 = 0.

Solución

2x2 10 0

2x2 10

x2 5

x 5 or x 5

5 .Las soluciones: y 5