3 Modelado de Sistemas Con Retroalimentacion y Controladores_propedeutico [Modo de ad

MODELADO DE SISTEMAS RETROALIMENTADOS Y

CO O O S

INTRODUCCIÓN

CONTROLADORES

INTRODUCCIÓN.

Hasta ahora se han derivado las funciones detransferencia para una variedad de sistemas físicos Entransferencia para una variedad de sistemas físicos. Enesta sección se estudiará a los sistemas conretroalimentación. Mientras que en la mayoría de losretroalimentación. Mientras que en la mayoría de loscasos más o menos es evidente el diagramaesquemático del sistema, existen muchos casos enque la existencia de la retroalimentación es difícil verpor inspección.


CO O O S

Se cubrirán el modelado de controladores

CONTROLADORES

Se cubrirán el modelado de controladorescomunes, incluyendo los electrónicos basados enamplificadores operacionales. La sección dep pcontroladores neumáticos PID está limitada a sumodelado por diagrama de bloques y una discusiónfísica de la operación. Para simplificar los diagramas debloques se usarán los gráficos de flujo de señal.


CO O O S

MODELADO DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACIÓN

CONTROLADORES

MODELADO DE SISTEMAS CON RETROALIMENTACIÓN

En este ejemplo, la estructura del sistema seráevidente del diagrama esquemáticoevidente del diagrama esquemático.

EJEMPLO: Sistema de control de nivel de agua.

Este puede operar como un control de procesos ocomo regulador. El nivel deseado se mantienegeneralmente constante y el nivel actual debemantenerse cerca de pesar de perturbaciones. El

d l d b á iti i i d ió d lmodelo deberá permitir variaciones de presión delagua, probablemente la principal perturbación.


CO O O S

El nivel c es medido por medio de un flotador y

CONTROLADORES

El nivel c es medido por medio de un flotador, yun nivelador es usado como punto de suma paradeterminar una medida de error e con el nivel deseador.


CO O O SCONTROLADORES

r


CO O O S

SISTEMAS DE RETROALIMENTACIÓN PARA UN

CONTROLADORES

SISTEMAS DE RETROALIMENTACIÓN PARA UNMOTOR

Servomecanismos para motores eléctricos paracontrol de posición y velocidad son usados en muchasáreas de la ingeniería En robótica manipuladores usanáreas de la ingeniería. En robótica, manipuladores usanservos de posiciones para el control de unionesindividuales, similar al control de grados de libertad de unaindividuales, similar al control de grados de libertad de unamáquina herramienta. Servos de baja potencia seencuentran en aplicaciones de instrumentación así comograficadoras. Los servos en roladoras de acero proveen unejemplo de una aplicación pesada al control de velocidad.


CO O O S

EJEMPLO: Servos de posición para robots, máquinas

CONTROLADORES

EJEMPLO: Servos de posición para robots, máquinasherramientas, antenas de radar, etc.

Un posicionador es mostrado en la siguiente figura ElUn posicionador es mostrado en la siguiente figura. Elmotor y su carga están representados por la función detransferencia. (Motor de CD controlado por campo).transferencia. (Motor de CD controlado por campo).


CO O O S

EJEMPLO: Servo con retroalimentación de

CONTROLADORES

EJEMPLO: Servo con retroalimentación develocidades.

Servomecanismos de velocidad o posición conServomecanismos de velocidad o posición confrecuencia se complican por la falta de unamortiguamiento adecuado en el motor y en laamortiguamiento adecuado en el motor y en lacarga. La dificultad para posicionar una graninercia J sin demasiado sobretiro en respuesta aun escalón de entrada puede ser apreciada. Sepuede instalar un amortiguador mecánico en laflecha del motor, pero lo mejor es usarretroalimentación.



Un par de amortiguamiento es un par proporcional a lavelocidad de la flecha y en la dirección opuesta.c


CO O O S

La importancia de la retroalimentación de velocidad

CONTROLADORES

La importancia de la retroalimentación de velocidadpuede ser juzgada por la disponibilidad de motores quetengan integralmente montados en la flecha tacómetros.

CONTROLADORES NEUMATICOSCONTROLADORES NEUMATICOS

Los controladores PID son muy comunes, y susacciones proporcional (P) integral (I) y derivativa (D) sonacciones proporcional (P), integral (I) y derivativa (D) sonbásicos a todos los controladores. Los controladoresneumáticos PID continúan siendo ampliamente usados y seencuentran disponibles en una gran variedad de diseños ymarcas.



Presión neumática de salida

Posición

á i de salidamecánica


CO O O S

Un modelo linealizado será usado considerando

CONTROLADORES

Un modelo linealizado será usado considerandopequeñas variaciones alrededor de un punto de operación,Po.

Po = kfxf

El problema es que la ganancia k es muy altaEl problema es que la ganancia kf es muy alta.

CONTROL PROPORCIONAL

Un controlador P es mostrado en la siguiente figura. La partederecha del alerón está controlada por la presión Po a travésde un mecanismo que se expande proporcional a la presión.



bf

obb

xb

b - b

a x(2)

Pk x(1)

=

=

e

ffo

bf

xk P (3)b aba

=++


CO O O S

Combinando (1) (2) y (3) se obtiene:

CONTROLADORES

Combinando (1), (2) y (3) se obtiene:

akakPbf

f

bf

f

kbk b aak

b aa

kkba

b 1

k P++

=+

∗

++

=e

ba +

Esta última relación es llamada la ganancia ypuede ajustarse a un valor deseado ajustando larelación del nivelador. Con este tipo de control existirá

d t d t blun error de estado estable.


CO O O S

CONTROL PROPORCIONAL MAS INTEGRAL

CONTROLADORES

Considérese la siguiente figura:



La parte de arriba se conecta a Po vía unaresistencia Ri que se opone a la parte proporcional. Este

t l d ió d lid P d ticontrol produce una presión de salida Po cuando se tieneun error de estado estable prácticamente igual a cero.

ffo

bxk P (1) =

bf

Px-Pkx(3)

xb a

b - b a

a x(2)

=++

= e

ibiobb Px-Pk x(3) =


CO O O S

El modelo para la presión P es análogo a la de un

CONTROLADORES

El modelo para la presión Pi es análogo a la de untanque neumático.

i

io

RP - P q =

Para una capacitancia constante Ci, q aumenta lapresión Pi de acuerdo a:p i

PdCq i∗dt

Cq ii ∗=


CO O O S

reduciendo se tiene:

CONTROLADORES

1sT1

(s)P(s)P

i

i

+=

1sT(s)P io +

donde Ti = RiCi

CONTROL PROPORCIONAL MAS DERIVATIVO

En el control P, si un escalón en e es aplicado, xb

se incrementa rápidamente para contrarestar su efecto enxf. En el control PD, la presencia de Rd retrasa unincremento de Pd y por lo tanto de xb.



Este control contiene una componenteproporcional a la razón del cambio de y por lo tanto,es proporcional a la deri ada del error

ees proporcional a la derivada del error.



Físicamente este controlador proporciona unaseñal de control más fuerte si el error cambia másrápido. Anticipa errores grandes y toma una accióncorrectiva antes de que ocurra. Por lo tanto, el

t l d PD ti d t f t t bili dcontrolador PD tiende a tener un efecto estabilizador enel comportamiento dinámico.


CO O O S

CONTROL PROPORCIONAL INTEGRATIVO

CONTROLADORES

CONTROL PROPORCIONAL, INTEGRATIVOMAS DERIVATIVO

Este controlador se obtiene del controlador PIcuando se agrega una resistencia a la línea del

i l L i I D i t fi t íproporcional. Las acciones I y D no interfieren entre síya que la acción integral se programa para que ocurramucho más lenta haciendo la resistencia Ri mucho másmucho más lenta haciendo la resistencia Ri mucho másgrande que Rd.


CO O O S

CONTROLADORES ELECTRONICOS USANDO

CONTROLADORES

AMPLIFICADORES OPERACIONALES

Los amplificadores operacionales pueden servir comopuntos de suma y para realizar compensadores dinámicos.Un amplificador operacional, u op-amp, es un amplificadordiferencial de muy alta gananciadiferencial de muy alta ganancia.

Amplificador operacional básico.


CO O O S

CARACTERÍSTICAS

CONTROLADORES

CARACTERÍSTICAS:

Alta ganancia de voltaje del orden de 105 a 108.

Alta impedancia de entrada; de esta manera, la entrada

de corriente es cero.

Baja impedancia de salida (aproximadamente cero); por

consiguiente, la salida del voltaje es independiente de laconsiguiente, la salida del voltaje es independiente de la

carga.

Ancho de banda infinitoAncho de banda infinito.



En aplicación de los Opamps lo siguiente se puedeEn aplicación de los Opamps, lo siguiente se puede asumir:

eg = 0 y ig = 0



Las aplicaciones más comunes son las siguientes:Las aplicaciones más comunes son las siguientes:

1.- Ganancia constante (controlador P)



2 Sumador2.- Sumador



3 Integrador3.- Integrador



4 Diferenciador4.- Diferenciador



5 Controlador Proporcional mas Integral (PI)5.- Controlador Proporcional mas Integral (PI)



donde ydonde y

6.- Controlador Proporcional mas Derivativo (PD)6. Controlador Proporcional mas Derivativo (PD)



7 Simple retraso7.- Simple retraso



8 Compensador de adelanto de fase o atraso de8.- Compensador de adelanto de fase o atraso defase



9 Compensador de adelanto (filtro pasa altas)9.- Compensador de adelanto (filtro pasa altas)



3 4 REDUCCION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES3.4 REDUCCION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

La reducción del diagramas de bloques requiere de lamanipulación algebraica de las funciones detransferencia de subsistemas o bloques los cuales

d l di l blreducen el diagrama a un solo bloque.



Configuración común:Configuración común:



Función de transferencia de lazo cerrado:Función de transferencia de lazo cerrado:

Función de ganancia de lazo cerrado = G G H = EsFunción de ganancia de lazo cerrado = G1G2H = Esel producto de las funciones de transferencia de lazocerrado

Función de transferencia de la entrada al error:



Reglas para transformaciones de diagrama deReglas para transformaciones de diagrama debloques:



EJEMPLO: Simplificar el siguiente diagrama deEJEMPLO: Simplificar el siguiente diagrama debloques:



3.8 GRAFICAS DE FLUJO DE SEÑAL Y FORMULADE MASONDE MASON

Las gráficas de flujo de señal son una alternativapara la simplificación de los diagramas de bloques.para la simplificación de los diagramas de bloques.En las gráficas de flujo se sigue la siguiente notación:



1 Las variables son representadas como nodos1.- Las variables son representadas como nodos

2.- Los segmentos entre nodos son llamadas ramas ylas flechas asociadas muestran la dirección de lalas flechas asociadas muestran la dirección de laseñal. Las funciones de transferencia representanlas relaciones entre las variables.

EJEMPLOS:


CO O O S

Algunas definiciones importantes son las siguientes:

CONTROLADORES

Algunas definiciones importantes son las siguientes:

1.- La señal en un nodo es la suma de las señales detodas las ramas que entran y esta señal estodas las ramas que entran y esta señal estransmitida en todas las ramas de salida.

2.- Un nodo de entrada tiene solamente ramas desalida.

3.- Un nodo de salida tiene solamente ramas deentrada.



FORMULA DE GANANCIA DE MASON

Con esta fórmula se obtiene la función de transferencia óganancia T entre nodos seleccionados de entrada y salida.

Definiciones adicionales:Definiciones adicionales:

1.- Una trayectoria es una secuencia de ramas entre nodosseleccionados.

2.- Un lazo es una trayectoria cerrada.

3.- Lazos que no se tocan son lazos que no tienen nodoscomunes.

4.- La ganancia de la trayectoria es el producto de lasganancias de ramas a lo largo de la trayectoria

5.- La ganancia de lazo es la ganancia de la trayectoria a lolargo del lazo.



La fórmula de Mason para la ganancia total es:La fórmula de Mason para la ganancia total es:

donde ∆ = 1 – (suma de todas las ganancias de lazo) (individuales) + (suma de productos de

ganancias de todas las posiblescombinaciones de dos lazos que no seqtocan) – (suma de productos de gananciasde todas las posibles combinaciones detres lazos que no se tocan) +tres lazos que no se tocan) + • • •



P la ganancia hacia delante de la trayectoria kPK = la ganancia hacia delante de la trayectoria k.

∆K = Determinante gráfico para la trayectoria k,obtenido cuando de ∆ se remueven los lazosobtenido cuando de ∆ se remueven los lazosque tocan esta trayectoria.

EJEMPLO: Calcule la función de transferenciaC(s)/R(s) para la siguiente gráfica:



EJEMPLO: Calcule la función de transferenciaEJEMPLO: Calcule la función de transferenciaC(s)/R(s) para la siguiente gráfica:



EJEMPLO: Calcule la función de transferenciaEJEMPLO: Calcule la función de transferenciaC(s)/R(s) del siguiente diagrama de bloques:



BIBLIOGRAFÍA

JOHN VAN DE VEGTE, “Feedback Control Systems”.Third Edition, Prentice Hall, 1994.

3 Modelado de Sistemas Con Retroalimentacion y Controladores_propedeutico [Modo de ad

Documents

Transcript of 3 Modelado de Sistemas Con Retroalimentacion y Controladores_propedeutico [Modo de ad