Movimiento de fluidos

Introducción al concepto de Permeabilidad Relativa

por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 18 de junio de 2001).

En esta página se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR), a través de un modelo geométrico simple. Este modelo, fácil de entender, proporciona una visión de las curvas de KR libre de prejuicios y teorías especiales, pero su empleo apunta principalmente a obtener una visión directa de muchos de los principales factores que influyen sobre estas curvas (caudal, gravedad, mojabilidad, heterogeneidad, etc).

El desarrollo se hace mediante el empleo de un modelo geométrico, la ley de Darcy y algunas simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan el desarrollo y el manejo numérico.

El modelo geométrico puede visualizarse como un bloque de sección cuadrada con agujeros cilíndricos longitudinales de extremo a extremo. Estos orificios no se entrecruzan y representan un modelo simplificado de red poral. En los gráficos presentados sólo se muestra una sección cuadrada correspondiente a un corte cualquiera, perpendicular al eje longitudinal del bloque.

Para desarrollar la sección numérica (indispensable para obtener valores de permeabilidad relativa) es conveniente recordar que:

El área empleada en la fórmula de Darcy corresponde al área global ("bulk") del sistema en estudio.

El volumen de los capilares cilíndricos (conductos), crece con el cuadrado del radio, puesto que la longitud es constante y el área depende del cuadrado del radio.

VP = r2 L (Volumen del Capilar)

La capacidad de conducir fluidos de los capilares cilíndricos (conductos), crece con la cuarta potencia del radio.

Q = r4 P / (8 µ L) (Ley de Poiseuille)

De este modo si en un bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos, este orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad al bloque. Si se agrega un segundo orificio idéntico al primero, tanto la porosidad como la permeabilidad se duplican (Para una misma área del bloque, se tiene el doble de área correspondiente al VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos pues la misma diferencia de presión genera el doble de caudal).

Pero si en el bloque se reemplaza el orificio original por uno con el doble de diámetro, la porosidad crece 4 veces (22) pero la permeabilidad crece 16 veces (24).

Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geométrico en el que se emplean tres tipos de orificios, con radios 1, 2 y 3 (no importan las unidades, sino la relación de radios).

La tabla siguiente muestra el resultado de tener un bloque con sólo un orificio de los mencionados por vez.

Sistema Características

Figura 1: 1 orificio de radio 1Porosidad = 0.1%Permeabilidad = 0.1 mDNota: Los valores de porosidad son arbitrarios. Se supone que las medidas del sistema se eligen para generar estos valores

Figura 2: 1 orificio de radio 2Porosidad = 0.4%Permeabilidad = 1.6 mDNota:  Se observa que la permeabilidad crece más rápidamente que la porosidad. 

Figura 3: 1 orificio de radio 3Porosidad = 0.9%Permeabilidad = 8.1 mDNota: Como en el caso anterior, de acuerdo con la ley de la cuarta potencia del radio, el bloque gana mucha más permeabilidad que porosidad. 

Y a continuación vamos a considerar un medio poroso más complejo y más cercano a la estructura de los medios porosos naturales (Figura 4).

Figura 4: 100 orificios de radio 1,20 de radio 2 y 10 de radio 3

En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos idénticos no comunicados), las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un cálculo simple (Tabla 1):

Tabla 1- Propiedades del Modelo

Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad

1 100 10 % (100*0.1%) 10 mD (100*0.1 mD)

2 20 8 % (20*0.4%) 32 mD (20*1.6 mD)

3 10 9 % (10*0.9%) 81 mD (10*8.1 mD)

Todos 130 27 % (10+8+9) 123 mD (10+32+81)

Este modelo simple presenta algunas características comunes con los medios reales:

Tiene cantidades importantes de capilares pequeños, medianos y grandes. Si bien los volúmenes porales correspondientes a las tres familias de

capilares son similares, la capacidad de conducción está dominada por los capilares más grandes de la red poral.

En base a lo desarrollado, si este modelo de medio poroso (con un 27% de porosidad), se llena con petróleo, conduce esta fase con una permeabilidad de 123 mD. Si a continuación se comienza a desplazar el petróleo con agua, asumiendo que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes), el sistema conducirá ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas.

Primer Caso: Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua.

En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares más pequeños.

En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasión progresiva con agua.

Figura 5. Sólo 10 capilares pequeños invadidos con agua.

En la Fig. 5 los valores calculados para el modelo son:

Sw = 3.7 % VP (10 * 0.1% / 27%) So = 96.3 % VP (100% - 3.7%)

Kw = 1.0 mD (10 * 0.1 mD)

Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD) 

Krw = 0.0081 (1.0 mD / 123 mD)

Kro = 0.9919 (122 mD / 123 mD)

 

Figura 6. Todos los capilares pequeños invadidos con agua.

Los mismos cálculos en la Fig. 6 permiten obtener:

Sw = 37 % VP  So = 63 % VP 

Kw = 10 mD 

Ko = 112 mD 

Krw = 0.081

Kro = 0.919

A esta altura la tercera parte del sistema está invadida con agua, pero para el petróleo se conserva más del 90 % de la capacidad de conducción original.

Figura 7. Los capilares pequeños y medianos invadidos con agua.

En tanto que en la Fig. 7 resulta:

Sw = 66.7 % VP  So = 33.3 % VP 

Kw = 42 mD 

Ko = 81 mD

Krw = 0.341

Kro = 0.659

Y representando gráficamente estos cálculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8, fácilmente interpretable en base al desarrollo del modelo.

Figura 8. Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua.

Como se observa en el gráfico, durante el llenado de los capilares más finos, crece la saturación de agua sin incrementar, apreciablemente, la capacidad de conducir este fluido. Recién cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diámetro, el agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir petróleo.

Segundo Caso: Mojabilidad al Petróleo.

En este caso (Fig. 9) la situación es la inversa de la del caso analizado, pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diámetro

Figura 9. Sistema mojable al petróleo.

Tercer Caso: Llenado Gravitacional.

En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas. Las primeras capas en inundarse son las inferiores. La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas.

Figura 10. Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales.

Cuarto Caso: Llenado Gravitacional con distribución al azar de las capas.

En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar. De esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa se inundan poros pequeños, medianos y grandes en la misma proporción que se encuentran en el modelo. Cuando se ha invadido el 25 % de los poros, la fase acuosa alcanzó el 25 % de su conductividad máxima y el petróleo perdió el mismo 25 % (Figura 11).

Figura 11. Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar

Aclaraciones:

El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0), pero es perfectamente válido adoptando valores no nulos para estas variables.

Debido al reemplazo total de petróleo con agua el sistema mantiene permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD). Con cada reemplazo de petróleo por la fase acuosa, la capacidad de conducir petróleo se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo, como es natural, los caudales dependen también de la viscosidad de cada fase, conforme a la ley de Darcy).

Un sistema "water-wet" con capilares de diferente diámetro, sometido a altos caudales de desplazamiento puede comportarse como "oil-wet" pues las fuerzas viscosas favorecen la invasión de los capilares de mayor conductividad (mayor diámetro) con independencia de la mojabilidad. Por lo tanto la figura 9 también corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyección.

Consecuencias Principales:

Si bien éste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa, el modelo presentado permite sacar algunas conclusiones válidas para los sistemas reales:

1. Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso, la permeabilidad relativa no lo es.

2. Aún especificando el medio poroso y el juego de fluidos, las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de producción.

3. Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso, sin especificar las demás variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento).

4. Los valores de saturación y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento. (En los sistemas reales ésta es sólo una aproximación al comportamiento físico).

Nota:  Para aquellos que hayan leído, en este foro, el comentario sobre saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple. Naturalmente el modelo aquí desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturación total del bloque. Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer más complejo el desarrollo. La diferencia entre ambos tipos de representación de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro.

Intoducción a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa

por M. Crotti, E. Cabello y S. Illiano (Última modificación - 10 de octubre de 2000).

Teniendo en cuenta que en las páginas de divulgación se han introducido los conceptos primordiales sobre el significado físico de las curvas de permeabilidad relativa, vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas, aparentemente triviales, cuya respuesta puede ser sorprendente. La idea de este planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos fundamentales dentro de la ingeniería de reservorios, que merecen ser analizados en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes.

Como en todo conocimiento o aplicación científica, la estructura lógica que permite el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostración) que se consideran "razonables".

Vamos a intentar enumerar estos axiomas, sabiendo que en algunos casos, como se verá en otros desarrollos, en esta lista hay algunas inconsistencias. Más adelante intentaremos construir una lista de axiomas más adecuada.

1. La ley de Darcy es válida en flujos multifásicos. Prácticamente (en sistemas lineales) este punto se traduce en que, una vez fijadas todas las condiciones de flujo, un aumento de la presión se traduce en un aumento proporcional de caudal para cada fase.

2. Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de flujo del sistema roca-fluidos, en función de la saturación de fluidos (gas, petróleo y agua).

3. Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados, el juego de curvas de Permeabilidad Relativa es único.

4. Los puntos extremos de saturación son únicos, para un conjunto de fluidos y roca reservorio. Este "axioma" estaría incluido en el anterior, pero reviste mucha importancia en si mismo, derivada de la práctica usual.

5. Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio. Quizás en cada caso particular se desconoce la función exacta de escalamiento, pero ésta existe.

6. Las curvas de Permeabilidad Relativa están definidas en todo el rango de saturaciones entre los puntos extremos.

Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados previos, se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa. Por lo tanto, todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten llamados de atención importantes).

A modo de ejemplo, en esta página vamos a empezar por el último enunciado, tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente.  

El planteo suele hacerse en forma de paradoja, de la siguiente forma: Si la Permeabilidad Relativa al agua es “0” (cero) en condiciones de agua Irreductible (Swirr), cómo es posible inyectar este fluido en un medio poroso que se encuentre en Swirr?. Cabe destacar que, en el uso regular de las ecuaciones de flujo, un valor de  Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0.

Al  presentar el problema de esta forma, en realidad se plantean las cosas de atrás hacia adelante. Primero se asigna realidad física a un solo juego de curvas de Permeabilidad Relativa, definidas en todo el rango de saturaciones, y luego se cuestionan las consecuencias físicas de esta asignación.

De modo que, evitando preconceptos, podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista práctico.

La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase líquida en la red poral) esta situación está lejos de ser un impedimento para que ingrese una fase liquida en dicho medio. Fases acuosas, petróleo (y el mercurio a la presión adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente sólo contiene aire o vacío en su red poral. Pero esta realidad experimental es aparentemente contradictoria con la interpretación habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa. Esta interpretación habitual indica que si la saturación de una fase es 0 (cero), la Permeabilidad Relativa a esa fase es también cero, pues con independencia de la diferencia de presión entre los extremos de la muestra el caudal de una fase inexistente es 0 (y Caudal=0, de acuerdo con la ley de Darcy, implica Permeabilidad=0).

Esta aparente paradoja admite una primera solución sencilla: Hay saturaciones que no existen (no están definidas) en el sistema poroso. (Más adelante veremos que en el planteo de esta paradoja también subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales, pero, por ahora alcanza con emplear una solución parcial basada en el concepto resaltado.)

De alguna manera, de una saturación de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una saturación no nula (10%, 30% ó 50% o cualquier otro valor), sin pasar por las saturaciones intermedias.

Y, si el párrafo previo resulta difícil de aceptar, quizás un ejemplo permita clarificar el concepto:

Un tubo recto puede tomarse como una idealización de un medio poroso natural, en el que los conceptos de permeabilidad monofásica o bifásica siguen siendo válidos. En este caso también nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua, su capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0). Sin embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vacío es capaz de admitir agua para su conducción. Para ser más específicos podemos visualizar un caso simple, tomando un tubo vertical vacío que sumergimos lentamente en una cubeta

con agua. Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diámetro del tubo es muy grande o que el ángulo de contacto es de 90°. En este ejemplo, a medida que el tubo se sumerge en la cubeta, la saturación de agua (Sw) en cualquier punto del tubo, pasa de 0% a 100%, sin recorrer los valores intermedios. La saturación media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios, pero la saturación en cualquier punto del tubo (saturación puntual) salta de un extremo a otro de la escala.

En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw es 1%, 10% ó 90%. Y, peor aún, la “curva” que estaría constituida por dos puntos (en Sw = 0% y Sw = 100% ) duranta la etapa de imbibición, en realidad está constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100%) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo está vacío.

Atención: La capacidad de Producir agua sí es cero en un tubo vacío, pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo.

Estos conceptos todavía pueden resultan difíciles de aceptar por la sencilla razón de que todos los que hemos trabajado en ingeniería de reservorios tenemos muy arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia física en todo el rango de saturaciones, pese a la contundente demostración en contrario realizada por Buckley y Leverett. 

La raíz del problema se encuentra en una ineficiente definición y empleo de los términos "ingreso", "conducción" y "producción" de fluidos y en la diferenciación entre "saturación media" y "saturación puntual" del sistema en estudio. 

En el ejemplo desarrollado en esta página, basta recordar que mientras la saturación puntual sólo puede tener los valores de 0% y 100% (sin valores intermedios), la saturación media recorre todos los valores entre 0% y 100%. Y, simultáneamente, el ingreso de agua al sistema no implica la producción de agua, dado que el término producción implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral 

Este tema se desarrolla con más detalle en la página correspondiente a saturaciones medias y saturaciones puntuales. Por ahora esperamos que esta introducción sirva como llamado de atención que nos permita replantear algunas “verdades indiscutibles”.

Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifásico en medios porosos tienen un objetivo principal: Sentar las bases para un uso adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa. Y, como en toda aplicación tecnológica, este objetivo se torna más accesible cuando se entienden los supuestos, limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio.

Qué Saturación Corresponde a las Curvas KR?

por M. Crotti y S. Illiano (Última modificación - 11 de noviembre de 2000)

Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atención con respecto al traslado de la información de laboratorio a la escala de reservorio.

Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR, tal como se obtiene regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un balance de materiales. Y al decir "no es apta", no estamos haciendo referencia a

falta de representatividad, sino a que conceptualmente no es correcto emplear la curva de laboratorio para esa finalidad. 

Siendo más específicos, si imaginamos un reservorios absolutamente homogéneo, del cual se extraen diez coronas que resultan idénticas y cada corona se envía a un laboratorio diferente, y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa si hablamos de sistemas agua-petróleo o gas-petróleo), esa curva no es apta para ser usada directamente ni en un balance de materiales, ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numérico.

El desarrollo (y demostración) de las afirmaciones previas requiere algunas páginas y, en el camino, resultará necesario hacer un poco de historia. Esperamos que la explicación resulte entretenida, pues intentamos llamar la atención sobre algunos supuestos implícitos y explícitos que se han ido encadenando para que en alguna medida, el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepción original. Como suele ocurrir, el problema radica en la falta de interacción entre las partes que participan en la medición y empleo de las curvas de KR.

A modo de introducción al desarrollo completo podemos decir que:

La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia funcional entre saturación puntual de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas.

La curva de permeabilidad relativa que acompaña un Balance de Materiales (en el reservorio global o en una celda de un simulador numérico), expresa la dependencia funcional entre la saturación media de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares, gravitatorias y viscosas.

Como veremos, la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande. Sin embargo, el mensaje completo de esta exposición, lejos de ser desalentador, pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterización de los reservorios.

Un Poco de Historia.

Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generación y empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histórica del desarrollo tecnológico asociado.

Tan pronto como quedó en evidencia que el mejor método de optimizar la producción de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos, se vio que que era necesario encontrar una relación funcional entre la saturación de fluidos en la roca y su capacidad de producción para las diferentes fases. 

El primer método de medición a escala de laboratorio, fue el método estacionario (ME). En este caso la secuencia de medición puede resumirse de la siguiente forma:

1. Se empaqueta la muestra en una celda adecuada. 2. Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relación de

caudales. 3. Se prosigue la inyección de ambas fases hasta que la relación de producción

es idéntica a la relación de inyección. En este punto se calcula la permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy.

4. Se mide la saturación de ambas fases en el medio poroso (por resistividad, Rayos X o algún otro método calibrado).

5. Se cambia la relación de inyección (aumentando la proporción de la fase con saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-.

El método es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo. El cálculo es muy simple (Ley de Darcy).

Sin embargo, por su importancia en la explicación siguiente, cabe hacer notar que:

1. En la medición se eliminan los efectos capilares (genéricamente agrupados como efectos de borde). La metodología más frecuente recurre a prolongar el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona de medición.

2. Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automáticamente por el pequeño tamaño de las muestras de laboratorio.

3. Cuando se alcanza el estado estacionario, la saturación de fases en cualquier punto de la muestra (saturación puntual) es la misma que la saturación media del medio poroso (saturación media). En este método no hay diferencia entre la saturación puntual y la saturación media del sistema.

4. El empleo de la ley de Darcy para resolver el cálculo se basa en una suposición débil: Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relación entre diferencia de presión y caudal es lineal sin verificarlo. Y existen numerosas excepciones a esta regla en flujos multifásicos. Este punto se desarrollará oportunamente.

5. Los puntos extremos de saturación se obtienen inyectando una sola fase, hasta que deja de producirse la otra fase.

Más adelante, gracias al desarrollo teórico de Buckley y Leverett1, completado por Welge2 y ampliado por Johnson, Bossler y Naumann3, se pudieron realizar mediciones con el denominado método no-estacionario (MNE). 

La metodología experimental frecuente, para el MNE, puede resumirse en la siguiente secuencia.

1. Extracción de una muestra ("plug") horizontal, de 25 ó 38 mm de diámetro y entre 6 y 7 cm de longitud, en la corona seleccionada para estudio.

2. Lavado para eliminación de agua, petróleo y sales del medio poroso. 3. Medición de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra. 4. Saturación con agua de formación o equivalente. 5. Medición de la permeabilidad absoluta al agua. 6. Barrido con petróleo hasta obtener "Swirr". 7. Medición de la Permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de agua

irreductible [Ko(Swirr)]. 8. Ensayo de desplazamiento, por inyección de agua, registrando presiones y

caudales de las fases producidas. Esta inyección continúa hasta obtener la "Sor".

9. Medición de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petróleo residual [Kw(Sor)]

10. Lavado de las muestras para cierre de balance volumétrico. 11. Cálculo.

Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en "Estado Nativo", eliminando los puntos -2-, -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-.

En este caso el cálculo es complejo (en el cálculo explícito intervienen ajustes numéricos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales), la metodología experimental es simple y el desarrollo teórico requiere que el medio sea totalmente homogéneo.

Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medición con el MNE.

Si la inyección se produce a presión constante (casi obligatorio en las mediciones gas-petróleo) se registra el volumen producido, de ambas fases, a lo largo del tiempo.

Si la inyección se produce a caudal constante se registra el volumen producido, de ambas fases, y la diferencia de presión, entre ambas caras del medio poroso, a lo largo del tiempo.

Con el juego de valores recogido puede derivarse fácilmente:

El caudal medio de producción de cada fase entre dos mediciones de tiempo. Un ajuste numérico simple permite derivar el caudal a partir del gráfico Volumen-Tiempo para cada fase.

La saturación media del sistema. Como se inyecta una sola fase, restando (al volumen inicial), el volumen producido de la fase desplazada, el balance volumétrico permite averiguar la saturación promedio de cada fase en el medio poroso.

A esta altura puede parecer que se dispone de toda la información necesaria para aplicar la ley de Darcy (diferencia de presión, medidas geométricas del medio poroso, caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a cada fase. Además se dispone de la saturación media del sistema. Donde está, entonces, la complejidad del cálculo?. La respuesta analítica se obtiene con el desarrollo de los autores mencionados, pero conceptualmente puede hacerse notar que. 

Los caudales de producción son los que corresponden a los caudales que circulan sólo en la cara de salida. En cualquier otro punto los caudales son diferentes pues la muestra va cambiando su saturación continuamente. A modo de ejemplo, en la cara de entrada sólo circula la fase inyectada.

Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias, el gradiente de presiones en la muestra es variable.

La saturación del sistema (entre sus extremos geométricos) es variable. En cada instante, en la cara de entrada se tiene la máxima saturación de fase desplazante y en la cara de salida la mínima. De este modo la saturación media no se corresponde con la saturación de la cara de salida, que es la asociada con los caudales de producción.

Conceptualmente, los desarrollos teóricos mencionados permiten resolver el sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presión y la saturación en la cara de salida. Y como disponemos del caudal de producción, la aplicación de la ley de Darcy conduce a la obtención de las curvas de permeabilidad relativa en función de la saturación puntual del sistema (saturación en la cara de salida). 

Pero ya mencionamos que la saturación media, en el MNE, difiere de la saturación puntual. En principio, este detalle no reviste importancia pues la saturación media  sólo sirve para obtener la saturación puntual.

Hasta aquí todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogéneos. De hecho, esta fue la forma experimental de validar la medición por el MNE.

Y ¿dónde está el problema?

Simplemente en que:

En el reservorio (o en una celda de un simulador numérico) sólo se dispone de la saturación media del sistema.

Y en la enorme mayoría de los desplazamientos reales, la saturación varía mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el desplazamiento. De hecho, sólo en los desplazamientos en estructuras horizontales y dominadas por la segregación gravitacional la saturación es uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medición). 

En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente:

Por qué en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio?

Y la respuesta es compleja y es, en alguna medida, el objetivo principal de este desarrollo. Y esta respuesta involucra, entre otros temas, la manera correcta de generar las pseudo funciones (en función de la saturación media y NO de la saturación puntual), la dependencia de los puntos extremos de saturación con los mecanismos de drenaje, etc.

Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado, en este punto es conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados.

A una misma saturación de agua (media o puntual), en el mismo medio poroso y con el mismo juego de fluidos, pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes.

 Y no estamos haciendo referencia sólo a las pseudo funciones para medios heterogéneos. Si tenemos una capa "water-wet" totalmente homogénea horizontal, formada por un medio poroso que tiene capilares grandes, medios y pequeños en cantidades significativas, se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y todas las variantes intermedias).

Primer caso: Flujo dominado por las fuerzas capilares. En este caso el agua invade primero los capilares más pequeños. En consecuencia un importante crecimiento en la Sw se acompaña de un pequeño incremento en la Kw.

Segundo caso: Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias. En este caso el agua invade primero los niveles inferiores, ocupando por igual todos los diámetros capilares. En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw (cuando el agua ocupa un 30 % de la capa, la Kw es un 30% del valor correspondiente a la máxima Sw (en condiciones de Sor).

Tercer caso: Flujo a altas velocidades. En este caso el agua invade primero los capilares más grandes (con menos resistencia al flujo). En consecuencia un pequeño crecimiento en la Sw se acompaña de un notable incremento en la Kw.

Y si a esta altura la pregunta es: Pero entonces existen innumerables curvas de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos?. La respuesta es decididamente SI. 

Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos. De modo que antes de  introducir nuevos conceptos, vamos a hacer un pequeño resumen para condensar el desarrollo hasta este punto.

En los cálculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de las fases.

Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes. En el reservorio actúan las fuerzas capilares, gravitatorias y viscosas. En

diferentes partes de una misma capa homogénea estas fuerzas se equilibran en forma diferente: En las cercanías del pozo (altos caudales), tienden a predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los equilibrios capilar-gravitatorios. 

Los laboratorios informan curvas de KR en función de saturaciones puntuales, eliminando la contribución de fuerzas capilares y gravitatorias.

La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presión y caudal) suele no cumplirse en flujos multifásicos. La explicación es simple: Cada fase actúa bloqueando poros para la otra fase, pero, al tratarse de fluidos, son deformables con los cambios de velocidad de flujo. Por lo tanto la geometría de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal.

Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador, en realidad puede resultar más complejo intentar usar conceptos no del todo claros. Y, como suele ocurrir, es necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo adecuadamente. 

Y, naturalmente, se puede resolver.

El análisis detallado de la solución se presenta en el paper SPE 693945, seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference, Buenos Aires, Argentina, 25-28 Marzo 2001).

NOTAS

Para aquellos que, luego de leer este desarrollo, se sientan tentados a descartar el MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son iguales, cabe aclarar que en realidad la solución al problema pasa por descartar las mediciones del ME tal cómo se concluye en el desarrollo sobre Metodologías de Medición de las curvas de KR. 

¿Se Puede Producir Petróleo Seco con Sw>Swirr?

por M. Crotti (Última modificación - 11 de noviembre de 2001).

Para evaluar la saturación de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que, en algunos reservorios, resultan aparentemente incompatibles entre sí. En esta página se analiza una aparente inconsistencia entre datos de producción y resultados obtenidos por otras vías.

El desarrollo se hace para un caso genérico en que a nivel de reservorio se encuentra que, donde la información de perfiles y/o de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr, se produce petróleo seco. 

Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos vías.

1. Asumir que la zona de transición capilar que indican los perfiles y/o los ensayos de laboratorio es errónea. Por esta vía se asume el criterio de que a partir del nivel en que se produce petróleo seco, la roca se encuentra en condiciones de Swirr. De este modo se amplía el cálculo de OOIP pues se disminuye la Sw promedio del sistema.

2. Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no producción de agua pese a que la saturación de agua supere la Swirr.

Como veremos el segundo punto suele ser más adecuado para modelar el reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos naturales y permite realizar un cálculo más adecuado del volumen de hidrocarburos retenido en la trampa.

En la Fig. 1 se esquematiza la relación entre saturación de agua y altura con respecto al nivel de agua libre (FWL), para un medio poroso homogéneo (A) de alta permeabilidad. Dado que no se emplean escalas numéricas la condición de alta permeabilidad es sólo una afirmación necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos.

Fig. 1 – Saturación de agua, a partir del FWL en un sistema homogéneo de alta permeabilidad.

Fig. 2 – Saturación de agua, a partir del FWL en un sistema homogéneo de baja permeabilidad.

En el nivel Z2  de la Fig. 1, la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible (Swirr). Esta condición implica que la fase acuosa es discontinua y, por lo tanto, inmóvil frente a diferencias de presión en régimen de flujo laminar.

Si se realizara un punzado en el nivel Z2, se produciría petróleo seco pues, como quedó establecido, la fase acuosa no es móvil en este nivel.

Desde el punto de vista práctico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1, donde se asume que termina la zona de transición capilar. De este modo, todos los niveles superiores a Z1 están en condiciones de Swirr.

Comparativamente, en la Fig.2 se muestra la curva correspondiente a un segundo medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el sistema A. En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B.

Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig. 2, se produciría petróleo con un cierto porcentaje de agua. Esta relación de producción depende de la relación de movilidades de ambas fases a la saturación encontrada en dicho nivel.

Fig. 3 – Saturación de agua, a partir del FWL en un sistema heterogéneo con capas alternadas de alta y baja permeabilidad.

Fig. 4 – Curva correspondiente a un medio homogéneo con propiedades promedio entre las del Medio A y las del Medio B.

En la Fig.3 se esquematiza un sistema heterogéneo formado por capas alternadas de los medios porosos A y B. Como se observa en la figura, una vez alcanzado el equilibrio estático, cada medio poroso mantiene su propia curva de distribución de fluidos.

De este modo en el nivel Z2 de la Fig. 3 coexisten un medio poroso (A), en condiciones de Swirr y otro medio poroso (B), con saturación de agua mayor que la irreductible.

Pregunta: Un punzado en el nivel Z2 de la Fig. 3 produce petróleo seco o con una cierta proporción de agua?.

Respuesta: En general estos sistemas producen, al menos inicialmente, petróleo seco.

La explicación es visualizable en el esquema de la Fig. 3 y obedece a dos razones fundamentales.

El caudal principal corresponde a las capas más permeables.

El mayor caudal de petróleo hacia el pozo circula por las capas de mayor permeabilidad. Y estas capas están en condiciones de Swirr.

Conforme a la ecuación de Poiseuille, para una misma diferencia de presión, el caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los mismos. De este modo, si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10 micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relación 3:1) por el medio A circularía un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B.

La presión capilar dificulta el movimiento de agua

Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo sólo se produce por capas que se encuentran en Swirr, la única posibilidad de producir agua junto con el petróleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas más permeables.

Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las más permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas capas (efecto de borde). En unidades prácticas esto se traduce en que el petróleo (la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presión (entre una capa y otra) superior a la diferencia de presión entre fases que hay entre el punto Z1 y el punto Z2.

En otras palabras:

Una vez alcanzado el Nivel Z1, a partir del cual la fase acuosa se hace discontinua en el medio poroso A, la presión capilar ya no aumenta pues el agua no puede ejercer presión hidrostática a través de una columna discontinua. De este modo en Z2 la presión capilar del medio A es la misma que se registraba en el nivel Z1.

En el medio poroso B, las dos fases (petróleo y agua) son continuas en el trayecto Z1-Z2, de modo que la presión capilar en Z2 es mayor que en Z1.

La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presión igual a la diferencia de presión capilar entre Z1 y Z2. Esta diferencia de presión debe aplicarse sobre el agua móvil del sistema B.

Por lo tanto, en el nivel Z2 de la Fig. 3, el agua puede pasar de B hacia A sólo si el petróleo de la capa B está sobre-presurizado con respecto al de la capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presión capilar entre Z1 y Z2. Y esta diferencia de presión sólo puede alcanzarse a medida que progresa la explotación y las capas más permeables sufren una mayor depletación que las menos permeables.

En resumen: Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se encuentren en condiciones de Swirr, es muy probable que en las etapas iniciales de producción se produzca petróleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua móvil.

NOTA: Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig. 3, siguiéramos la práctica habitual de reemplazar el medio heterogéneo por un medio homogéneo, descripto mediante una curva de Presión Capilar “promedio”, nos encontraríamos (conceptualmente) con una situación similar a la de la Fig. 4, y estaríamos obligados a concluir que, desde las etapas iniciales, debe producirse una cierta proporción de agua en Z2.

La Fig. 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados para describir el comportamiento de los medios heterogéneos. Algunas propiedades, como la saturación de agua son perfectamente promediables, pero otras propiedades, como los efectos de borde o el flujo multifásico, no admiten este tipo de simplificación.

Un comentario sobre los datos de laboratorio

Como ya se mencionó, en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de laboratorio. De esta forma, tanto en las curvas de distribución de diámetros porales como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomalías que ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta página.

En resumen, durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse:

1. Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diámetro. 2. Distribuciones de diámetros porales extendidas.

3. Permeabilidades Relativas con formas "anómalas", propias de medios heterogéneos.

4. Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presión Capilar y de desplazamientos viscosos. Este tema se trata en detalle en el texto: La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presión Capilar.

De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes vías, se requiere un importante trabajo de integración entre ensayos de pozo, perfiles, historia de producción y mediciones de laboratorio.

Comparación entre las Metodologías Experimentales para medir las Curvas KR?

por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 1 de abril de 2000).

La teoría, la simulación y la experiencia demuestran que en muestras homogéneas, se obtienen resultados comparables entre los Métodos Estacionarios (ME) y Métodos no Estacionarios (MNE).

Con muestras heterogéneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologías. En ambos casos se analiza, a continuación, el resultado obtenido para muestras extraídas con el eje paralelo a los planos de estratificación:

Método estacionario (muestras laminadas)

La curva obtenida es una especie de promedio aritmético de las curvas de cada capa. En estado estacionario los gradientes de presión, dentro de cada capa, son los mismos, por lo que no se produce flujo entrecruzado (“cross-flow”). Con este método es corriente obtener curvas monótonas, propias de los medios homogéneos.

Método no-estacionario (muestras laminadas)

El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoría del avance frontal. La intensidad del cross-flow depende de la relación de movilidades. La curva obtenida es una especie de promedio dinámico de las curvas de cada capa. La forma de estas curvas puede presentar una o más inflexiones, como es propio de las “pseudo--funciones” empleadas para representar flujos en sistemas heterogéneos.

De lo anterior se deduce que, si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de la capa en estudio, para representar la producción debida a las fuerzas viscosas (teoría del desplazamiento frontal) debe seleccionarse el método no estacionario, empleando la relación de viscosidades propia del reservorio.

Adicionalmente, dado que prácticamente no existen los medios porosos absolutamente homogéneos, el método estacionario no parece, en general, apropiado, teniendo en cuenta que, si el medio es homogéneo, el resultado coincide con el del método no-estacionario. Por otro lado si se supone que las fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas, sino las gravitatorias, resultan sólo de interés los puntos extremos de la curva, para los que el método dinámico (con todas sus limitaciones ya documentadas), resulta más adecuado.

En este caso se considera como práctica recomendable, la solicitud a los laboratorios, del empleo del

método dinámico, respetando la relación de viscosidades del reservorio. Se sugiere indicar a los laboratorios que aunque la relación de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtención de sólo una pequeña parte de la curva de permeabilidades relativas, esa es la única información que es útil al reservorista. Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas, la parte de la curva medida en el laboratorio, es la única que se desarrolla en el reservorio, y si predominan las gravitatorias (flujo segregado), sólo son de interés los puntos extremos de las curvas.

Introducción a los problemas y limitaciones en el "Upscaling" de las curvas de KR.

por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 8 de abril de 2000).

En este desarrollo intentaré realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio. Muchos de los puntos aquí mencionados se desarrollan en exposiciones independientes. El objetivo de este resumen es el de plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y, finalmente, delinear la solución del problema.

En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del escalamiento de las curvas de KR. Sin embargo tengo la sensación de que cada investigador se centra en un punto del problema y pierde la imagen del conjunto. Como ejemplo simple de lo dicho se puede mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva "completa" de KR, en tanto que otros se esfuerzan en definir sólo los puntos extremos del sistema, pues son los únicos valores que emplean para el cálculo de las pseudo-funciones.

Intentaré, por lo tanto, hacer un desarrollo ordenado, partiendo de la medición de laboratorio y tratando de llegar a la implementación de un método adecuado de describir el reservorio.

El método de medición

Más del 95% de las mediciones de laboratorio se realizan por el método no-estacionario, cuyas características principales están detalladas en otras partes de esta página. Los únicos puntos relevantes para este desarrollo (en mediciones agua-petróleo) son:

Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP, donde unos 3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petróleo residual. Por lo tanto la medición "normal" implica el desplazamiento de sólo 3 a 6 cm3 de petróleo móvil. Pero alrededor de un 30% de este volumen se consume para llegar al "breaktrhough" (arribo del frente de agua al extremo de medición). Por lo tanto, el cálculo debe realizarse con los datos de producción que involucran entre 2 y 4 cm de petróleo, donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de ensayo y el resto en un período de varias horas. Debe notarse que los volúmenes "muertos" de las celdas de medición muy difícilmente pueden llevarse a valores inferiores a 0.2 ó 0.3 cm3 (y estos pequeños volúmenes generan incertezas cercanas al 10% de los volúmenes que gobiernan el cálculo de las KR).

Como la producción de petróleo tiende asintóticamente a cero, el volumen total desplazable sólo puede obtenerse por extrapolación a infinitos VP de agua inyectados. La decisión práctica de terminar el desplazamiento cuando "cesa" la producción de petróleo es inadecuada pues cuando se produce a un ritmo de 0.5 cm3 por día, pueden pasar horas sin que se registren cambios en el volumen de petróleo producido. Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres lecturas idénticas separadas por un período de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades porcentuales de VP.

El cálculo explícito (resolución de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el cálculo de derivadas y derivadas segundas de los volúmenes producidos en función del tiempo. Y en este caso pequeños errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el cálculo de las KR.

La teoría que acompaña el cálculo explícito está desarrollada sólo para sistemas homogéneos.

La mención de estos problemas (quizás tediosa para los no especialista de laboratorio), se hace necesaria para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva "verdadera" de KR. Y aquí es donde empieza a notarse que los Árboles tapan la visión adecuada del Bosque.

Soluciones aparentes

Para solucionar resultados erráticos en los cálculos se suele recomendar el método implícito de cálculo. En este caso como se postulan sólo familias de curvas suaves y monótonas se busca la curva "bonita" que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales, sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles). Y esta "solución" implícita presenta algunas contrariedades explícitas.

1. Ya no es necesaria una depurada técnica experimental. Para cualquier set de datos siempre se encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste pésimo). Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1.

2. Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un parámetro de ajuste y no como un resultado experimental. Ver el mismo trabajo.

3. La simulación numérica empleada ignora la formación de un frente de saturaciones (teoría del desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia física a todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro.

De hecho puede afirmarse que las dos "bondades" principales del método implícito de cálculo (curvas suaves y monótonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son, en realidad, desventajas severas de la metodología. Las curvas suaves pueden ser no representativas de la realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los principios físicos del desplazamiento inmiscible.

Otra "solución" proclamada como muy efectiva para sistemas heterogéneos es la de emplear el método estacionario de medición. En este caso las muestras obtienen una saturación homogénea en toda su longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmético de las curvas propias de cada subsistema homogéneo de los que determinan la heterogeneidad. De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogéneo que promedia las curvas de cada subsistema.

En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogéneas, inevitablemente el reservorio también lo es. Y entonces las curvas de sistemas homogéneos carecen de validez para describir el reservorio.

La obtención asintótica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los volúmenes producidos hasta infinitos VP inyectados. Pero en este caso la objeción (planteada claramente por L. Dake) radica en que una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad física para cálculos de reservorio.

Otros comentarios

A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio (muestras frescas, empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presión y temperatura de reservorio), donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la dirección correcta.

Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables, origina nuevas incertezas. A modo de ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega volúmenes muertos al sistema para permitir el trabajo a presión. Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando "trenes" de tres muestras. Y aparecen sistemas , en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares, etc., etc.

Y puedo seguir enumerando "soluciones" y objeciones hasta aburrir al más paciente de los lectores. Pero hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo así como "un tiro para el lado de la

justicia").

Los puntos extremos, en primera instancia, están menos sujetos a las veleidades de las muestras, los operadores y las metodologías de cálculo y medición. Y muchos reservoristas emplean sólo los puntos extremos de las curvas de KR para sus cálculos. Esta característica de los puntos extremos obedece a que:

En las metodologías estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto extremo de saturación de la fase desplazada. Olvidemos por ahora que sólo en el método no-estacionario se realiza una extrapolación hasta infinitos VP inyectados.

En sistemas heterogéneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturación son un promedio de las propiedades de cada subsistema.

Primer resumen

Después de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situación planteada.

1. La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores, incluyendo (además de las heterogeneidades, relación de viscosidades, mojabilidad y otros factores "clasicos") la metodología de medición, metodología de cálculo y criterio del operador.

2. Los puntos extremos parecen ser los puntos más confiables de las curvas de KR por su menor dependencia con los factores mencionados.

3. Muchos reservoristas emplean sólo los puntos extremos de las curvas de KR.

Por lo tanto parece necesario concluir que sólo deben medirse y usarse los puntos extremos.

Cierto?.

FALSO !! Porque una buena determinación de puntos extremos sólo es posible extrapolando las mediciones de desplazamiento. O sea, midiendo las curvas. 

Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo.

L Dake sugiere emplear un criterio donde la relación de movilidades supere un valor determinado. Y esto sólo es posible disponiendo de las curvas. Pero: Qué curvas de todas las posibles?.

Con el material expuesto hasta este punto, la respuesta más razonable a la pregunta planteada es: La curva obtenida por la medición no-estacionaria con el método de cálculo explícito.

O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos?. 

SI!!.

Pero nos estamos olvidando algunas cosas.

1. Las curvas de laboratorio sólo tienen en cuenta las fuerzas viscosas, en tanto que en el reservorio se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas, capilares y gravitatorias..

2. Los barridos de laboratorio se realizan casi únicamente sobre muestras horizontales.

Y los puntos extremos de saturación varían con el mecanismo de producción. La Swirr y la Sro varían cuando se emplean barridos horizontales, barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios2.

Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas, acuíferos basales o flujos entre capas). Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del reservorio más alejadas de los pozos).

Cuál es entonces la solución al problema de determinar la curva de KR que representa a un bloque del reservorio?.

Desde mi punto de vista la solución es posible, pero no responde a un manual operativo. La forma de llegar a una solución razonable es la de resolver un árbol de decisiones, (con ramas bastante entrecruzadas).

Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturación y permeabilidad por todas las vías posibles (desplazamientos horizontales y verticales, imbibición y equilibrios capilar gravitatorios (curvas de Presión Capilar).

Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se discretiza el reservorio. Esta operación permite seleccionar los puntos extremos representativos de cada bloque.

Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las decisiones tomadas en los puntos anteriores. En caso de realizar pozos en zonas donde ya se produjo el avance de agua o de gas, se debe hacer un esfuerzo por medir la saturación residual de petróleo. Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraídas y preservadas.

En la generación de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan en base a la saturación media y no a la saturación puntual de la cara de produccción.

Se deben emplear los simuladores numéricos como herramienta de análisis de bloques sencillos, para "entender" el comportamiento del reservorio.

Observaciones

En medios heterogéneos la KR de las capas más permeables suele ser de poco interés. Estas capas en general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema.

Las capas menos permeables suelen aportar a capas más permeables y no al pozo. Por lo tanto en estas capas los desplazamientos de interés corresponden a flujos verticales.

Un Análisis Especial de la Ley de Darcy

por M. Crotti.<(Última modificación - 26 de noviembre de 2001).

La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental, trabajando con medios homogéneos y con un solo fluido. Sin embargo la formulación más simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse casi "intuitiva": El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de: 

1. Las propiedades geométricas del sistema: Área (A) y Longitud (L). 2. Las características del fluido: Principalmente su Viscosidad (µ). 3. Las condiciones de flujo: Diferencia de Presión (DP) entre los extremos del

sistema.

De este modo resulta casi "evidente" que, a igualdad de las otras variables del sistema, el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la diferencia de presión aplicada y con el área de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido.

En forma analítica esta dependencia se expresa en la siguiente fórmula:

Q = K . A . DP / (µ . L)  .......... [1]

Donde la constante que vincula ambos términos de la ecuación se conoce como Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio. Expresado en otras palabras: Cualquier cambio en las variables que se encuentran en el lado derecho de la expresión produce un re-acomodamiento en las otras variables, o en el caudal, pero la Permeabilidad permanece inalterada.

Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no depende del fluido, ni de la geometría del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma:

La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos. 

En la práctica, dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema. 

En el modelo empleado para la medición y cálculo de la permeabilidad de un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos.

Dicho modelo (Conducción = Inyección = Producción) es  absolutamente válido en las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible, lineal y monofásico).

Sin embargo, en los Reservorios reales, casi nunca se está en condiciones de flujo monofásico. Por el contrario es frecuente el flujo bifásico ó trifásico. En estos casos se continúa respetando la ecuación de Darcy, a la que se agrega un factor de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema. En estos casos, tomando como ejemplo el flujo simultáneo de agua y petróleo, la ecuación [1] adquiere la forma:

Qw = K . Krw . A . DPw / (µw . L)  .......... [2] Qo = K . Kro . A . DPo / (µo . L)  .......... [3]

Donde los subíndices "w" y "o"  hacen referencia al agua y al petróleo respectivamente. La validez de esta generalización queda demostrada si el caudal de cada fase es proporcional a la diferencia de presión aplicada a cada una de ellas para una determinada saturación de fases. 

Nota: En ausencia de Presión Capilar, ambas diferencias de presión resultan coincidentes.

Los términos "K . Krw " y "K . Kro " se reemplazan regularmente por "Kw" (permeabilidad efectiva al agua) y  "Ko"  (permeabilidad efectiva al petróleo) 

Sin embargo al realizar esta generalización de la ley de Darcy suele olvidarse (de hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir, Inyectar y Producir). Como veremos, esta observación esta muy lejos de ser trivial. Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa.

En base a lo expuesto, en flujos multifásicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como: 

Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación de fluidos. 

Sin embargo, en general dicha capacidad de conducción no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyección o de producción.

Y cabe recordar que en los casos reales (caracterización de reservorios) los datos de mayor interés son:

La Saturación Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un Balance de Materiales  o una celda en un simulador numérico).

La capacidad de inyectar en un punto específico del bloque (pozo inyector o contacto con celdas cercanas).

La capacidad de producir en un punto específico (pozo productor o contacto con celdas cercanas).

De este modo, aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto, dado que el interés se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido.

En términos simples, cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como ocurre en todos los reservorios reales durante la explotación) se puede inyectar una cosa, conducir otra y producir otra totalmente diferente.

La forma en que esta característica afecta la medición y traslado de la información de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1. 

Este análisis continua en el texto: La ley de Darcy en Flujos Multifásicos. 

La ley de Darcy en Flujos Multifásicos

Marcelo A. Crotti (Última modificación - 27 de noviembre de 2001).

Ya fue analizada (en la página Un Análisis Especial de la Ley de Darcy) la modificación hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifásico en medios porosos.

En dicho desarrollo quedó establecido que las curvas de permeabilidad relativa son sólo un factor de corrección de la ecuación de Darcy.  Aunque parezca trivial mencionarlo, una consecuencia directa de esta definición es que las curvas de permeabilidad relativa pierden significado físico si, por alguna razón, la ley de Darcy no resulta aplicable.

En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es aplicable como consecuencia, principalmente, de la pérdida de linealidad entre el gradiente de presión y el caudal que fluye por el sistema.  Si bien esta situación representa un caso obvio de pérdida de significado de las curvas de permeabilidad relativa, en el presente desarrollo voy a analizar una situación no documentada en la literatura especializada y que afecta de manera mucho más profunda el uso habitual de las curvas de KR.

La Tesis que se analiza en los párrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma:

Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuación no están definidas.

Y en este punto es importante destacar que con la expresión "...  no están definidas", no hago referencia a un problema de medición o de metodología. Lo que quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan de ser válidos los resultados derivados a partir de la aplicación de la ecuación de Darcy. Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer algunas analogías que ayuden a entender el enfoque de esta página.

Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de preguntas en un formulario que tiene casilleros específicos con códigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe:

A la pregunta: Peso del objeto?, seguramente podremos responder sin ambigüedad llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg del objeto.

Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen, lugar de destino, longitud, ancho, etc...)

Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre 20 colores pre-establecidos. Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul. 

Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres alternativas: 

Amarillo. Azul. Verde.

Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto, pero Verde (resultado de mezclar 50% de Amarillo con 50% de azul) parece peor aún. A modo de ejemplo, si a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que está en una habitación, difícilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido.

Bien, como veremos a continuación, este ejemplo risueño no está tan lejos de la realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo monofásico (un solo color) al ámbito de los flujos multifásicos (varios colores). Si los colores están uniformemente distribuidos podremos decir "Verde" para describir el objeto, pero si los colores (fluidos) no están uniformemente distribuidos tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples.

Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy, para aplicar dicha ecuación al flujo multifásico se encontraron dos "soluciones" que evitaban la ambigüedad originada entre la definición y la posibilidad de medición:

La definición de permeabilidad (corazón de la ecuación de Darcy) implica la determinación de la capacidad de conducción de un determinado fluido.

Lo único que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyección o de producción de un determinado fluido.

La primera "solución", respetando el orden histórico, fue la de re-crear las condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy: Inyección = Conducción = Producción. De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa.

(NOTA: No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de conducir fluidos. Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su capacidad de admitir o expulsar fluidos).

Esta primera "solución" se logró mediante el sistema estacionario de medición (Penn-State o sus variantes posteriores), donde se inyecta una cierta proporción de ambas fases hasta que la producción se hace idéntica a la inyección (se alcanza el estado estacionario). En ese momento todas las variables de la ecuación de Darcy están perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporción de pigmento azul y de pigmento Amarillo).

La segunda "solución" consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos (inyectar, conducir y producir) son idénticos por definición. Esta situación se presenta tomando una sección de longitud cero (una lámina bidimensional) en el medio poroso. En una lámina de espesor nulo todo lo que se inyecta inevitablemente  se conduce y se produce. Esta condición no puede lograrse en ninguna medición real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no nulo, de modo que se obtiene a través de un cálculo medianamente complejo. En resumen, esto es lo que se hace mediante el cálculo de KR con el método no-estacionario (Welge1,2, JBN3, Jones-Roszele4): Se miden las variables medias del sistema y se calculan lo que ocurre en una lámina de espesor nulo. Esta lámina es, por conveniencia, el extremo de producción pues es el único lugar en que se puede evaluar físicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas: La Producción del sistema.  

En medios homogéneos ambas "soluciones" brindan el mismo resultado, y esa solución es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy.

A modo de analogía, tanto en Física como en Matemáticas es frecuente que los problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolución de las ecuaciones es particularmente simple. Y, a primera vista, parece que esa es la vía elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos multifásicos. Sin embargo, es conveniente señalar dos puntos en este enfoque. 

Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales. En el caso de la ecuación de Darcy no se recurre a casos particulares para

simplificar ecuaciones complejas, sino porque es la única forma de obtener un valor único para algunas variables del cálculo.

En otras palabras, lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo histórico es que en la caracterización de reservorios muy raras veces el reservorio es "Verde". Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema.

Quizás un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema:

Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la delgadez es útil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en su interior). Si el tubo está vacío parece evidente que su capacidad de conducir agua es nula (Kw = 0). Por muy grande que sea la diferencia de presión que apliquemos entre sus extremos, difícilmente el tubo sea capaz de conducir agua, hasta que tenga agua en su interior. En términos de la ecuación de Darcy diríamos

que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturación de agua es cero. 

Sin embargo nadie pensaría que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero. Lo que sí es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua alcanza el extremo de salida. Dicho de otra forma, podemos estar inyectando agua sin producir agua.

Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones (inyectar, conducir y producir) en un sistema no estacionario, tratemos de analizar qué ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 % de su longitud.

Cuál es la capacidad de conducir agua cuando la saturación de agua es sólo del 50%?. 

Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la pelota azul y amarilla. En la pelota teníamos dos colores y nos pedían que la describiéramos con uno solo. Ahora tenemos dos capacidades de conducción bien definidas (El valor "X" que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua). Qué valor ponemos en la ecuación de Darcy?: 

X ? (Azul?) 0 ? (Amarillo ?) X/2 ? (Verde?)

Al dar la respuesta (que no parece fácil) debemos tener en cuenta que la ecuación de Darcy nos pide la capacidad de conducción del sistema y para ello nos da un casillero único en el que podemos poner un sólo valor. La ecuación de Darcy se transformó en el formulario del risueño ejemplo de la pelota de Basquetball.

Y además, recordando que trabajamos en la industria del petróleo, en cualquier sistema real sólo nos interesa la capacidad de inyección o de producción. La capacidad de conducción es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir. Cuando se habla de la admisión o de la producción de un determinado pozo, damos por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo, pero las variables realmente medibles son las del pozo. 

En este punto, y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequeño resumen de la situación a la que hemos llegado:

1. La ecuación de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos monofásicos en medios porosos.

2. Para describir flujos multifásicos se adoptó un modelo basado en la ecuación de flujo monofásico, corregida por un factor que adopta la forma de una Curva de Permeabilidad Relativa. 

3. Este factor, una vez determinado (experimental o analíticamente) depende sólo de la saturación de las diferentes fases en el medio poroso.

4. Sin embargo, como se mostró en este desarrollo, la capacidad de conducción de fluidos (corazón de la ecuación de Darcy) no puede definirse en sistemas con saturación no homogénea. En estos sistemas sólo existe una capacidad perfectamente definida de inyección y de producción.

La respuesta al problema planteado (cómo describir el flujo multifásico en sistemas reales) no es la que nuestra industria ha estado usando históricamente. Nuestra industria ha respondido, desde sus orígenes, con ...

"Verde" !!!.

Y, claro, esto ha originado algunos problemas. Recordemos, por ejemplo, que en una celda de un simulador numérico se resuelve la ecuación de Darcy con el color Verde. Esto da lugar, entre otras cosas, al conocido fenómeno de dispersión numérica5.

Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos. 

La solución para diferentes situaciones se analiza en las siguientes páginas:

Solución Conceptual. Solución de un Sistema Simple. Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias. Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas. Flujos dominados por las Fuerzas Capilares.

Solución General para la Descripción de Flujos Multifásicos

por M. Crotti (Última modificación - 27 de noviembre de 2001).

En las páginas: Un Análisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos Multifásicos, se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de permeabilidad relativa, en su forma habitual, no describe adecuadamente el flujo multifásico en medios porosos.

En esas páginas se mostró la gran diferencia existente entre el empleo de la ecuación de Darcy ampliada para flujos multifásicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista.

La ecuación de Darcy se emplea para describir la capacidad de conducción de fluidos en un medio poroso.

El reservorista necesita una herramienta que, en base a las condiciones existentes en un bloque determinado (saturación de fluidos, diferencia de presión, etc), le permita estimar la capacidad de inyección o de producción en algún extremo de ese bloque.

Y, tal como se discutió ampliamente, las tres capacidades no sólo son diferentes, sino que. en la mayoría de los casos reales la capacidad de conducción es una propiedad indefinida, puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores, en forma simultánea, en un mismo sistema.

En la práctica, una vez entendido el problema, la solución es alcanzable puesto que la capacidad de inyección y/o producción están siempre perfectamente definidas y son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio.

En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa característica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo.

Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuación simple y un factor de corrección re-definiendo los términos básicos del flujo multifásico.

De este modo, como se verá en diversas aplicaciones, para los cálculos de Ingeniería de Reservorios, resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales

de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisión Relativa (AR) y de Producción Relativa (PR). 

Las formulaciones para estos términos, aplicadas a la fase agua en un sistema lineal, son las siguientes:

QAw = K . Arw . A . DPw / (µw . L)  .......... [4] QPw = K . Prw . A . DPw / (µw . L)  .......... [5]

Donde se emplean los siguientes nuevos términos:

QAw = Caudal de Admisión de Agua Arw = Admisión Relativa de Agua QPw = Caudal de Producción de Agua Prw = Producción Relativa de Agua K . Arw = Admisión Efectiva de Agua  K . Prw = Producción Efectiva de Agua

Las similitudes con la formulación de Darcy para flujos multifásicos son auto-evidentes. Sin embargo, las diferencias prácticas y conceptuales son considerables. Las definiciones de estos nuevos términos pueden compararse con la definición clásica de Permeabilidad efectiva

Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación puntual de fluidos. 

Admisión efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de admitir dicha fase a una determinada saturación media de fluidos. 

Producción efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturación media de fluidos. 

Por definición la Admisión Absoluta y la Producción Absoluta de un sistema son  idénticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema. Cuando fluye una sola fase incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisión , la Conducción y la Producción de fluidos (todas medidas en función del caudal de fluido) son idénticas. De este modo, en las fórmulas [4] y [5] se emplea la Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introducción de nuevos términos donde resulta innecesario.

En base a las definiciones indicadas, la Permeabilidad Efectiva pasa a ser sólo un caso particular de los otros dos términos. Cuando las saturaciones medias y puntuales son idénticas, los tres términos son equivalentes. Sin embargo, cuando las saturaciones medias difieren de las puntuales, los únicos términos con significado físico son los de Admisión y Producción Efectivas. Como se detalló con el ejemplo de la pelota de dos colores, no existe (no está físicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturación no homogénea.

A modo de resumen es conveniente señalar las diferencias prácticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR.

1. Los valores de AR y PR están definidos en todo el rango de saturaciones medias. Las curvas de KR sólo están definidas en el rango de saturaciones puntuales comprendidos entre la saturación del frente (teoría del desplazamiento) y la saturación máxima de la fase inyectada. Las pseudo-funcionesfa se estudian en una página independiente.

2. Para una determinada saturación media existen, en general, valores diferentes de AR y de PR. Además cada valor se aplica a un extremo diferente del medio poroso. Las curvas de KR se usan como propiedad global de un medio poroso.

3. En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej.: un productor que pasa a inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus roles. Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR). Este concepto es radicalmente diferente al de histéresis de las curvas de KR.

Cabe preguntarse, entonces, de qué forma estos nuevos términos afectan los cálculos propios de la Ingeniería de Reservorios 

Para responder esta pregunta, que es el objetivo de este estudio, empecemos por analizar el único caso en que la realidad física es adecuadamente representada por el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa. En otras páginas se analizan diferentes casos en que, para reproducir el comportamiento de los sistemas reales, debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisión Relativa y Producción Relativa). 

Las curvas de Permeabilidad Relativa son sólo aptas para describir sistemas en estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy. Y este ámbito de validez queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presión y caudal. En otras palabras, sólo los puntos extremos de un sistema multifásico son adecuadamente descriptos por las curvas de Permeabilidad Relativa. Y esto sólo si se conserva la relación entre el caudal y el gradiente de Presión.

Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturación son sensibles a los mecanismos de desplazamiento. 

Solución de Flujos Multifásicos en un Sistema Simple

por M. Crotti (Última modificación - 27 de noviembre de 2001).

En esta página vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de curvas de AR y PR. Como se verá, incluso en los sistemas más simples, sólo el último juego de curvas es apto para describir el flujo multifásico.

Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej.: una manguera plástica muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presión entre sus extremos. Imaginemos además que, experimentalmente, hemos encontrado la siguiente relación para describir el flujo de agua por este tubo cuando está totalmente lleno de agua.

Qw = 10 * DP / L  .......... [1´]

Donde

Qw = Caudal de agua, expresado en [litros/hora] DP = Diferencia de presión entre los extremos de entrada y salida de agua,

medida en [Kg/cm2].  L = Longitud del tubo medida en [m]. El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la

ecuación y permite describir el comportamiento del sistema cuando se emplean las unidades especificadas.

De este modo si el tubo está lleno de agua, tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presión de 1 Kg/cm2, el caudal de agua obtenido es de 

Qw = 10 * 1 / 1  = 10 litros/hora

Debido a que el agua puede considerarse incompresible, los 10 litros/hora representan tanto el caudal de inyección como el de producción. Por la misma razón, también aceptamos que 10 litros/hora representa la conducción de agua por el tubo en las condiciones fijadas.

En términos de la Ley de Darcy diríamos que la capacidad de conducir agua, en el tubo en cuestión, tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas. 

Para hacer dicha analogía recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede definirse como la capacidad de conducción de un medio poroso de 1 cm2 de área y 1 cm de longitud que al estar saturado al 100% con un fluido de viscosidad igual a 1 cp, conduce el fluido a razón de 1 cm3/seg, si es sometido a una diferencia de presión de 1 atm. 

La ecuación [1´] es una variante simplificada de la ecuación de Darcy, donde el valor de viscosidad del fluido y el área del medio poroso son fijos, por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos términos de la ecuación.

Bien, una vez especificadas las características de nuestro sistema, podemos resolver algunos casos sencillos cuando la saturación de agua no es del 100%.

Imaginemos ahora que el tubo está vacío y comienza a llenarse con agua debido a que por el extremo de inyección se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kg/cm2 de presión por encima de la presión (de aire) en el extremo de salida.

Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistón por lo que en todo momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100% de agua y otra sin agua.

Haciendo algunas simplificaciones, tales como que la viscosidad del aire es despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos turbulentos ni fenómenos inerciales, podemos calcular la capacidad de admitir y de producir agua, en este sistema, a medida que se va llenando con este fluido. En otras palabras haremos una razonable estimación de la capacidad de admitir y de producir agua a medida que la Saturación media de agua (Swm) crece desde 0% al 100%.

A modo de ejemplo, cuando la Swm es 10%, pese a que la longitud del tubo sigue siendo de 1 m., la longitud con agua es 0.1 m y, en base a las simplificaciones realizadas, la caída de presión de 1 Kg/cm2 se produce en esos 0.1 m, de modo que el caudal inyectado es, en ese instante:

Qw = 10 * 1  / 0.1  = 100 litros/hora

Este resultado no es más que lo que cabe esperar: Con la misma diferencia de presión, el caudal de agua es 10 veces más grande cuando la única resistencia al flujo disminuye a la décima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta sólo en la décima parte de la longitud del tubo).

Siguiendo el mismo esquema de cálculo, la Tabla I resume los resultados obtenidos al aplicar la ecuación [1´] a medida que el tubo se va llenando con agua. Como se

muestra en dicha Tabla, la capacidad de producción de agua es cero (0) hasta que la Swm alcanza el 100%.

TABLA ISaturación Media de

Agua Caudal de Inyección de

AguaCaudal de Producción de

Agua

10.0 % 100.00 litros/hora 0.00 litros/hora

15.0 % 66.67 litros/hora 0.00 litros/hora

20.0 % 50.00 litros/hora 0.00 litros/hora

30.0 % 33.33 litros/hora 0.00 litros/hora

40.0 % 25.00 litros/hora 0.00 litros/hora

50.0 % 20.00 litros/hora 0.00 litros/hora

60.0 % 16.67 litros/hora 0.00 litros/hora

70.0 % 14.29 litros/hora 0.00 litros/hora

80.0 % 12.50 litros/hora 0.00 litros/hora

90.0 % 11.11 litros/hora 0.00 litros/hora

95.0 % 10.53 litros/hora 0.00 litros/hora

99.9 % 10.01 litros/hora 0.00 litros/hora

100.0 % 10.00 litros/hora 10.00 litros/hora

Es importante verificar la validez de los cálculos realizados en la Tabla II, antes de continuar con el análisis de este ejemplo:

Si ahora queremos responder a la pregunta: 

Cuál es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conducción de agua) cuando la Swm es 50%?

........

Antes de responder apresuradamente, es conveniente notar que, en las condiciones especificadas, existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo:

En la mitad asociada al extremo de inyección está circulando agua a razón de 20 litros/hora.

En la mitad asociada al extremo de producción no está circulando agua (Qw =0). 

Cuál es, entonces el caudal de agua que circula por el tubo, tomado en su totalidad?.

En este punto no es difícil encontrar la analogía entre el problema aquí planteado y el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo color. En el caso presente, la muy simple ecuación [1´] se transformó en el risueño formulario que nos ofrece un solo casillero para poner información múltiple.

A continuación están especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50%.

1. Qw circulando por el tubo = 20 litros/hora (La pelota es Azul)  2. Qw circulando por el tubo = 0 litros/hora (La pelota es Amarilla) 

3. Qw circulando por el tubo = (20 + 0) / 2 = 10 litros/hora (La pelota es Verde) 

4. Qw circulando por el tubo = N/A (Ningún color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)

Parece ineludible concluir que no existe un caudal único de circulación (conducción) de agua por el tubo cuando la saturación de agua no es uniforme. Sin embargo, como ya se estableció, siempre es posible calcular un caudal de admisión y un caudal de producción de agua.

A continuación analizaremos con más detalle el modelo simple aquí presentado y trataremos de sacar algunas conclusiones útiles con respecto a la modelización del flujo multifásico en sistemas no-estacionarios. 

Para obtener los valores de la Tabla I, se realizaron los cálculos de caudal de inyección con la fórmula [1´] empleando la longitud del tubo que contiene agua a cada valor de saturación media. Esto es natural puesto que, en base a los supuestos iniciales, toda la caída de presión se produce en la zona con agua. Sin embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la ubicación del frente de agua en el sistema. Y ésta no es la condición habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos.

Podemos, entonces, realizar cálculos de admisión y de producción en forma más cercana a como se realiza en los casos reales. 

Empleando una analogía directa con la ecuación de Darcy podemos llamar "Capacidad Absoluta de Conducción de agua" CAw al valor 10 que caracteriza al tubo en estudio cuando está totalmente lleno de agua. Al igual que la permeabilidad absoluta en la ecuación de Darcy, este valor (CAw) permite cuantificar la inter-relación entre las variables del sistema (flujo de agua, diferencia de presión y longitud del tubo).

Continuando con la analogía, diríamos que la CAw para este tubo toma el valor 10 con las unidades empleadas. 

Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conducción, de admisión y de producción sólo son idénticas cuando se trata de flujos estacionarios. Esta característica queda evidenciada en la Tabla I, donde se observa que todos los caudales son idénticos cuando la Swm es del 100%. 

En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de Conducción (concepto monocromático) en sistemas no estacionarios (pelotas multicolores). Para caracterizar el flujo multyifásico emplearemos dos conceptos nuevos: Admisión Efectiva de agua (AEw) y Producción Efectiva de agua (PEw) en el tubo mencionado:

Admisión Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturación media de fluidos. 

Producción Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturación media de fluidos. 

Y como ya fue establecido, cuando la Swm es 100%, la Admisión Absoluta (AAw) y la Producción Absoluta (PAw) coinciden con la Conducción Absoluta (CAw) del tubo. Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio.

AAw = CAw = PAw

Con estos nuevos términos podemos re-escribir la .ecuación [1´] de la siguiente forma:

CAw = QCw . L / DP .......... [2´]

Donde 

QCw = Caudal de Conducción de agua con Swm = 100%..

Esta ecuación tiene validez sólo con flujo monofásico estacionario. Con flujos no estacionarios la variable QCw pierde todo significado físico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color).

Sin embargo, para flujos no estacionario, mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisión y de Producción de agua:

QAw = Caudal de Admisión de agua. QPw = Caudal de Producción de agua.

Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado físico y aplicabilidad práctica.

AEw = QAw . L / DP .......... [3´] PEw = QPw . L / DP .......... [4´]

Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y, además representan las variables de interés para caracterizar el sistema. 

Y para manejar conceptos más generales, podemos definir la Admisión Relativa y la Producción Relativa, en base a las siguientes fórmulas, donde se relacionan los valores efectivos con la capacidad de conducción de agua cuando el sistema está 100% saturado con agua:

ARw = AEw / AAw = AEw / CAw ......... [5´] PRw = PEw / PAw = PEw/ CAw .......... [6´]

Desde un punto de vista práctico, tanto en el tubo en estudio como en un reservorio real, las variables de interés son la capacidad de inyectar y de producir fluidos del sistema. La capacidad de conducción de fluidos (asociada al concepto clásico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta. Estos conceptos no son nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y pozos productores, pero no existen pozos conductores. Sólo el reservorio conduce fluidos, pero ésta es una capacidad que varía punto a punto y en el tiempo.

La Tabla II y los gráficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos prácticos.

TABLA II

Saturación Media de Agua 

Admisión Relativa de Agua

Producción Relativa de Agua

10.0 % 10.00  0.00 

15.0 % 6.667  0.00 

20.0 % 5.000  0.00

30.0 % 3.333  0.00

40.0 % 2.500  0.00

50.0 % 2.000  0.00

60.0 % 1.667 0.00

70.0 % 1.429  0.00

80.0 % 1.250  0.00

90.0 % 1.111  0.00

95.0 % 1.053  0.00

99.9 % 1.001  0.00

100.0 % 1.000  1.00 

 

Fig 1 - Admisión Relativa de agua en el tubo

Fig 1 - Producción Relativa de agua en el tubo

La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atención sobre un punto que puede resultar conflictivo analizado desde la óptica del concepto tradicional de permeabilidad relativa. No resulta sorprendente que un tubo vacío tenga mayor capacidad de admisión de agua, que un tubo lleno de agua. Sin embargo suele considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condición de saturación) mayor capacidad de conducción de un fluido que la capacidad absoluta de conducción.

En las Tablas y gráficos presentados se muestra sólo la capacidad de admisión y de producción de una de las fases (el agua). En los casos reales debe tenerse en cuenta la capacidad de admisión y de producción de todas las fases involucradas en el desplazamiento. En el ejemplo aquí analizado la capacidad de Admitir aire es cero para toda Saturación de agua mayor que cero, mientras se inyecte agua. Y (sin considerar efectos de compresibilidad), la capacidad de producción de aire es igual a la capacidad de admisión de agua, excepto cuando la Sw es 100%, (donde la admisión relativa de agua es 1 y la producción relativa de gas es cero). 

Con las tablas y gráficos de esta página resulta posible describir la capacidad de admitir y de producir agua, en cualquier estado de saturación del tubo. Y el estado de saturación se puede obtener por medio de un balance de materiales.

Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad Relativa al agua de la que sea posible extraer información en forma directa sobre la capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio, para cada valor de saturación media.

Por lo tanto, resumiendo el desarrollo de esta página puede decirse que:

1. Las tablas y los gráficos presentados describen completamente el flujo de agua en el sistema, tanto  durante el transitorio (llenado del tubo) como en el estado estacionario.

2. No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas capaces de describir el flujo multifásico aquí analizado.

Tal como se muestra en las páginas específicas, esta situación no es excepcional, sino que constituye la regla para medios porosos con saturación no uniforme.

Descripción de Flujos Multifásicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas

por M. Crotti (Última modificación - 15 de mayo de 2001).

En las páginas: Un Análisis Especial de la Ley de Darcy, La ley de Darcy en Flujos Multifásicos y Solución Conceptual. se desarrollaron las bases para describir el flujo multifásico respetando el comportamiento físico de los sistemas reales. Como resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales asociados al uso regular de las curvas de KR. También se mostró la necesidad de definir y manejar dos nuevos términos con significado físico y práctico para la caracterización de reservorios.

A modo de repaso de todo lo dicho, los pasos que conducen a la situación mencionada pueden resumirse de la siguiente forma:

La curva de KR está unívocamente ligada a la ecuación de Darcy para la descripción de flujos multifásicos.

La ecuación de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos.

El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad de inyectar o de producir fluidos en un medio real.

La capacidad de conducir, inyectar y producir sólo coinciden durante flujos estacionarios.

En los reservorios reales sólo se obtiene flujo estacionario en los puntos extremos de saturación del sistema (una sola fase fluyendo). En todos los demás casos las saturaciones y las capacidades de conducción difieren

punto a punto, por lo que no puede definirse una capacidad de conducción de un elemento de volumen finito. 

Los estados estacionarios con flujo de más de una fase sólo se consiguen en laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las condiciones en que las variables de la ecuación de Darcy pueden definirse.  

Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyección y/o de producción

Se vio, entonces, que en las aplicaciones de la Ingeniería de Reservorios muchas veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisión Relativa (AR) y Producción Relativa (PR). 

La tarea siguiente consiste en detallar la metodología de obtención y de empleo de las curvas de AR y PR. En esta página se detalla la metodología adecuada para realizar esta tarea en sistemas físicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas.

Este es el caso más simple de describir, debido a que existe una larga práctica, a nivel de laboratorio, donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras ("plugs") extraídas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos.

Justamente el método más frecuente de medición de las curvas de KR se basa en el desplazamiento de una fase por otra, garantizando la preponderancia de las fuerzas viscosas. Esta metodología de medición se conoce como método no-estacionario, o método de Welge.

Las etapas típicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petróleo, pueden enumerarse de la siguiente manera:

1. La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la medición de Porosidad y Permeabilidad al gas.

2. Se satura la muestra con agua de formación (o formulación equivalente que no dañe el medio poroso).

3. Se determina la Permeabilidad absoluta al agua. 4. Se desplaza el agua móvil mediante la inyección de la fase orgánica a

emplear. Este proceso se continúa hasta alcanzar las condiciones de Swirr. 5. Se determina la permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de Swirr

(Ko[Swirr]). 6. Se inyecta agua a caudal o a presión constante registrando la curva de

producción de agua y petróleo en función del tiempo. 7. Una vez obtenida la Saturación residual de petróleo (Sor) se determina la

Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor]). 8. Se realizan los cálculos (en forma explícita o implícita) para determinar la

curva de KR.

Para ejemplificar toda la secuencia de cálculo, en este desarrollo se emplean los datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1  durante las experiencias con que mostraron la viabilidad de su método de cálculo para obtener curvas de KR. En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de petróleo con agua, a presión constante. En dicha tabla se incluyen los datos geométricos de la muestra, las características de los fluidos (viscosidades), las condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento.

TABLA I

Datos Generales

Area 11.40cm2

Long 12.71cm

VP 31.14cm3

Swirr 35.0%

Ko [Swirr] 35.4mD

ViscOil 10.5cp

ViscWat 0.97cp

DeltaP 100psi

Por otra parte, durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los valores incluidos en la Tabla II. En esta tabla, el Volumen Total producido corresponde a la suma de Petróleo y Agua producidos al tiempo indicado en la primera columna. Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de Petróleo Producido hasta el "Breakthrogh", en que comienza la producción simultánea de agua y petróleo.

TABLA IIValores Medidos durante el

Desplazamiento

Tiempo [seg]

Volumen Petróleo Producido

[cm3]

Volumen Total Producido

[cm3]

0 0.00 0.00

180 3.09 3.09

372 7.00 7.00

540 7.80 10.90

720 8.33 15.28

900 8.70 19.89

1200 9.01 27.90

1560 9.32 37.80

3600 9.90 99.50

6000 10.09 176.80

9000 10.31 276.90

Estos valores experimentales, luego de ser sometidos a la metodología de cálculo explícita, desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo, conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III

TABLA III

Permeabilidades Relativas

Sw media Kro Krw

 35.00 0.774 0

51.10 0.285 0.065

53.40 0.200 0.076

58.00 0.087 0.095

61.70 0.030 0.106

64.60 0.010 0.124

66.40 0.003 0.136

67.60 0.002 0.145

La segunda fila de valores de la Tabla III se dejó en blanco para remarcar un punto importante de la teoría del desplazamiento2,3,4: las saturaciones puntuales de agua comprendidas entre la Swirr y la Saturación del Frente de Desplazamiento no están definidas. Los autores mencionan explícitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los gráficos mediante una línea punteada.

Con su metodología de cálculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR.

Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en función de la Sw puntual. Sólo en muestras homogéneas, esta curva sería coincidente con la obtenida mediante  el método estacionario. 

Veamos a continuación, como podemos utilizar estos  mismos datos experimentales para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento.

Hace falta hacer algunos ajustes numéricos para obtener caudales ....

Página en construcción ....

Notas

Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones.

La simulación numérica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para describir el comportamiento real del sistema. Si se usan más celdas se analiza en el esquema de SPE 69394.

NUNCA es de aplicación la curva de KR.