CUADERNILLO 2009

TEMA N 04DIVISIN

CAPACIDAD:

*Estima el resultado de operaciones de divisin.

*Matematiza situaciones de contexto real, utilizando la operacin de Divisin.

*Resuelve problemas de traduccin simple y compleja que involucran la operacin de Divisin.

NOTITA IMPORTANTE

Cul es el origen de dividir?

Dividir

Significa partir, separar en partes. Proviene del verbo latino divdere, que tiene ese significado.

Los rabes indicaron la divisin, desde tiempos muy antiguos, con la forma de fraccin. Siguiendo este mtodo el matemtico suizo Rahn, en 1659, emple el signo para indicar la divisin.

El punto encima de la lnea seala la posicin del DIVIDENDO o numerador de una fraccin, y el punto por debajo de la lnea, la del DIVISOR o de nominador. En 1684, el filsofo alemn G. W. Leibniz introdujo introdujo como signo de la divisin los dos puntos (:), usados actualmente en muchos pases.

DIVISIN

Es una operacin aritmtica inversa a la multiplicacin que tiene por objeto en dadas 2 cantidades, dividendo y divisor, hallar una tercera cantidad llamada cociente que ponga en manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor.

ELEMENTOS DE UNA DIVISIN

Dividendo : (D)

Divisor : (d)

Cociente por exceso : (qe)

Cociente por defecto : (qd)

Residuo por defecto : (rd)

Residuo por exceso : (re)

TIPOS DE DIVISIN ENTERA

I. Divisin Exacta

Es cuando no existe presencia de resto

II. Divisin Inexacta

Es cuando existe presencia de resto y a su vez se clasifican en dos.

a)Por Defecto:

Ejemplo:

b)Por Exceso:

Ejemplo:

PROPIEDADES

1.

2.rd + re = d

3.qe = qd + 1

4.En toda divisin entera inexacta, si al dividendo y al divisor se le multiplica o divide por una misma cantidad, el cociente no se altera, pero si el residuo quedar multiplicado o divido por dicha cantidad.

LEYES FORMALES

1.Distributiva

2.Monotona.

a > ba = b

c = dc < d

>

>

a > ba > b

c < dc > d.

>

?

El resultado no se puede anticipar (?)

CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTELa cantidad de cifras del cociente de dos nmeros, puede ser como mnimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor y como mximo la diferencia aumentada en una unidad.

Cuntas cifras como mnimo y como mximo puede tener q?

Mximo : a b + 1

Mnimo : a b

CASO ESPECIAL

Cuando el numerador y denominador tienen varios factores

Primero se calcula la cantidad de cifras como mximo y como mnimo, tanto del numerador como denominador, mediante la regla del producto. Luego para hallar el mximo del cociente se compara el mximo del numerador, con el mnimo del denominador, anlogamente para hallar el mnimo del cociente se compara el mnimo del numerador con el mximo del denominador, ambos mediante la determinacin de la cantidad de un cociente.

Ejemplo:A ; B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente. Cuntas cifras tiene E?

EJERCICIOS DESARROLLADOS01.La diferencia de 2 nmeros es 107 y su cociente es 12, dejando un residuo que es lo mayor posible. Hallar el mayor de dichos nmeros.

Resolucin

Del problema:

*a b = 107 ( a = 107 + b (1)

Entonces:

EMBED Equation.DSMT4

Igualando (1) y (2):

107 + b = 13b 1

12b = 108

b = 9

Reemplazando el valor de b en (1)

a = 107 + 9 ( a = 116

El mayor es 116

02.En una divisin el cociente es 156 y el residuo es 6; al agregar 1000 unidades al dividendo y al repetir la divisin se obtiene un cociente de 173 y un residuo de 54. Hallar el dividendo.

Resolucin

Del problema; sea D el dividendo y d e divisor:

Igualando () y ()

156d + 6 = 173d 946

952 = 17d ( d = 56

Reemplazando el valor de d en ():

D = 156(56) + 6 ( D = 8742

El dividendo es 8742

03.Determinar un nmero N si es el mayor posible y adems al dividirlo por 50 se obtiene un resto que es igual al triple del cociente respectivo.

Resolucin

Del problema:

Como N tiene que ser mayor posible, entonces que tiene que ser el mayor posible.

Adems:

3q < 50 ( 3q = 48

q = 16

N = 848

04.El cociente de dos nmeros es 15, y el residuo es 3. Si la suma de ellos es 211, entonces el mayor excede al cuadrado de menor en:

Resolucin

Del problema:

*D + d = 211 ..(2)

Sumando d a ambos miembros de (1), tenemos:

D + d = 16d + 3 (3)

Reemplazando (2) en (3):

211 = 16d + 3

d = 13

Reemplazando el valor de d en (2):

D + 13 = 21 ( D = 198

Nos piden:

D d2 = 198 (13)2

D = d2 = 29

05.Al dividir un nmero de 3 cifras y otro de 2 cifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo; se les toma el complemento aritmtico y se vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo y divisor.

Resolucin

Del problema:

Luego:

*

*103 = (102 ) 7 + 19

7 . = 281 (2)

Reemplazando (1) en (2):

4 . + 25 = 281

= 64 ( x = 6 ( y = 4

Reemplazando el valor de en (1)

= 11 64 + 25

= 729 ( a = 7 , b = 2 ( c = 9

( a + b + c + x + y = 28

PRCTICA DE CLASE

01.En una divisin, al residuo por exceso le falta 12 unidades para ser igual al residuo por defecto, a ste le falta 21 unidades para ser igual al divisor y a ste le falta 15 unidades para ser igual al cociente. Cunto le falta al cociente para ser igual al dividendo?

a) 3002b) 3886c) 3752

d) 3710e) 3690

02En una divisin entera la suma de los 4 trminos es 642, si se multiplican el dividendo y el divisor por 9 y nuevamente se efecta la divisin la nueva suma es 5594. Entonces el cociente original es:

a) 21 b) 23 c) 25

d) Absurdo e) N.A.03.Si se realiza una divisin inexacta por defecto, la suma de los 4 trminos es 847 pero si dicha operacin se hubiera realizado por exceso la suma de los 4 trminos hubiera sido 901, sabiendo que los cocientes suman 19. Hallar el dividendo.

a) 648b) 704c) 712

d) 743e) 687

04.En una divisin inexacta, el divisor es 29 y el residuo es 8. Hallar la suma de todos los nmeros que se puede restar a dividendo para que el cociente disminuya en 2 unidades.

a) 1543b) 1568c) 1548

d) 1508e) N.A. 05.Al dividir un nmero de 3 cifras entre su complemento aritmtico que tiene 2 cifras se obtiene 12 de cociente y como residuo un nmero igual al formado por las dos ltimas cifras del dividendo. Hallar el producto de las cifras del nmero dado.

a) 70 b) 90 c) 0

d) 35 e) 81

06.La suma de dos nmeros es 611, su cociente es 32 y el residuo de su divisin el ms grande posible. Cul es la diferencia entre estos dos nmeros?

a) 565 b) 585 c) 575

d) 545 e) 543

07.Cuntos nmeros positivos de la forma: existen, tales que al ser divididos entre ba, el cociente es 76 y el residuo es ab?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08.Hallar el divisor y el cociente de una divisin, sabiendo que el dividendo es 529565 y los residuos sucesivos obtenidos en la determinacin del cociente son: 246; 222 y 542.

a) 561, 773b) 563, 773c) 561, 943

d) 561, 945e) 563, 943

09.El cociente de una divisin es 156 y el resto es 6, si se agregan 1000 unidades al dividendo y se repite la divisin, el nuevo cociente es 173 y su nuevo resto es 54. Hallar el dividendo inicial.

a) 8753b) 8734c) 8736

d) 8735e) 8737

10.Cul es el menor nmero que podemos sumar al dividendo de una divisin inexacta, para que el cociente aumente en 4 unidades, r = residuo por exceso.

a) 4db) 4(d 1)c) q(4+r)

d) 4r+3re) 4d 1

11.En una divisin de nmero enteros. El divisor es 35 y el residuo 15. En cunto aumenta o disminuye el residuo cuando se agregan 190 unidades al dividendo?

a) aumenta en 10b) disminuye en 5

c) aumenta en 25d) no cambia

e) aumenta en 15

12.Si se le suma 100 unidades al dividendo de una divisin de divisor 29, el nuevo residuo va a ser 10. Cul era el residuo primitivo?

a) 21 b) 22 c) 24

d) 25 e) 14

13.En una divisin de divisor 7 se le aumenta n unidades al dividendo, variando el cociente y el residuo; el cociente aumenta en 5 unidades y el residuo se hace mximo. Calcular la cantidad de valores que toma n.

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

14.En una cierta divisin el dividendo termina en 19, el divisor termina en 97 y el residuo termina en 02. Calcular las 2 ltimas cifras del cociente.

a) 16b) 15c) 51

d) 61e) 71

15.La mnima cantidad que se le puede agregar al dividendo de una divisin de divisor 17 es 256, en cunto aument el cociente?

a) 12b) 13c) 24

d) 18e) 15

TRANSFERENCIA01.Cuando dividimos cierto nmero por 50, obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo nmero por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcular el cociente que se obtiene en ambos casos.

a) 6b) 10c) 12

d) 16e) 8

02.Si dividimos dos nmeros enteros, obtenemos por cociente 17 y por resto 31. Si, luego, aumentamos el dividendo en una unidad, entonces el cociente aumenta tambin en una unidad, pero esta vez ya no hay residuo. Cul es el dividendo inicial?

a) 450b) 525c) 515

d) 575e) 62503.Al dividir dos nmeros obtenemos por cociente 63 y por resto 55. Si aadimos dos unidades al dividendo, la divisin ahora resulta exacta y el nuevo cociente es una unidad mayor que el inicial. Cul es el nuevo dividendo?

a) 3148b) 3648c) 3548

d) 3646e) 3446

04.Cul es el mayor nmero que dividido entre 12 da un residuo igual a la mitad del cociente?

a) 240b) 275c) 286

d) 146e) 126

05.Al dividir entre se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Hallar (a+b+c)

a) 15b) 16c) 17

d) 18e) 19

EJERCICIOS PROPUESTOS01.Cuntos dividendos de cociente 12 y residuo 11 se obtienen de tal manera que dichas cantidades sean menores que 611?

a) 49b) 37c) 39

d) 35e) 3802.La suma del dividendo y el divisor de una divisin inexacta es 41 veces dicho residuo y la diferencia de los mismos es 31 veces dicho nmero residuo. Hallar el cociente de dicha divisin.

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 903.En una divisin entera, la suma del dividendo divisor y cociente es 984. Hallar el cociente si el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso 21.

a) 16b) 17c) 18

d) 19e) 21

04.Al efectuar una divisin entera se not que la diferencia entre el residuo por exceso, el cociente por exceso, es la misma que la del residuo por defecto y cociente por defecto. Si el dividendo es un nmero de 2 cifras y el mayor posible, adems el divisor es 7. Cul es el cociente?

a) 41b) 12c) 13

d) 14e) 37

05.En toda divisin entera inexacta la suma de todos los trminos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor la suma de los cuatro trminos resulta ahora 331. Hallar el cociente.

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

06.En una divisin entera, el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor forman una progresin aritmtica de razn 7 en ese orden. Cul es el dividendo?

a) 549b) 749c) 859

d) 959e) 1059

07.En una divisin inexacta el dividendo es un nmero mayor que 500, el divisor es 41, y el cociente es 12. Cuntos valores puede tomar el residuo por defecto?

a) 28b) 30c) 31

d) 32e) 41

08.En una divisin cuyo dividendo es 6099 se suman el residuo y el cociente por defecto y se obtiene un nmero que es igual al triple del divisor. Hallar el cociente y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 6b) 5c) 7

d) 9e) 8

09.En una divisin inexacta el residuo por defecto es 15 y el residuo por exceso es 9. Si el cociente por defecto es 12, calcular el dividendo.

a) 300b) 288c) 279

d) 303e) 297

10.En una divisin el cociente es 8 y el residuo 20. Al sumar el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo se obtiene 336. Entonces el valor del dividendo es:

a) 253b) 276c) 292

d) 290e) 284

11.En una divisin inexacta por defecto el dividendo es 508 y el cociente 12. Determinar cuntos valores puede adoptar el divisor.

a) 3 b) 4c) 41

d) 42 e) 40

12.En la siguiente operacin:

Encontrar: a + b + c + d .

a) 24b) 28c) 26

d) 27e) 2913.Al dividir 1828 y 2456 entre un mismo nmero, se han obtenido los residuos 19 y 26 respectivamente. Averiguar el nmero.

a) 26b) 23c) 25

d) 27e) 33

14.El dividendo en una cierta divisin es 1081. Si el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. Cul es el divisor?

a) 45b) 35c) 46

d) 49e) 40

15.El residuo de la divisin de un cierto nmero entre 13, es 11; pero si dicho nmero se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo anterior disminuye en 1. Hallar el nmero.

a) 76b) 75c) 70

d) 78e) 80AUTOEVALUACIN N 02

Desarrolla en tu cuaderno:

01.Si: CA. ()=

Calcular: CA.()

Rpta: .

02.Si

Calcular: +

Rpta: .

03.Dado:

Calcular:

, e indicar la suma de cifras del resultado, si se sabe que a y e son nmeros pares.

Rpta: .

04.Sabiendo que: CA()

Adems: =2430, donde:

d r = c s

Calcular el valor de: a + b+ p + q

Rpta: .

05.Si: 2 +14 + 26 + 38 + + x = 816

Entonces el valor de x es:

Rpta: .

06.El producto de 2 nmeros es 588 y el cociente de ellos es 4 dando de residuo 1 Cul es el nmero menor?

Rpta: .

07.Si 43 ( N =

28 ( N =

Calcular la suma de cifras de N

Rpta: .

08.El dividendo en una cierta divisin es 1081. Si el cociente el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente Cul es el divisor?

Rpta: .

09.Si . Calcular a + b.

Rpta: .

10.Hallar la suma de cifras del resultado de multiplicar , sabiendo que la suma de los productos parciales de esta multiplicacin resulta 3496.

Rpta: .

11.Si:

Calcular el mximo valor de: a + b + c

Rpta: .

12.Si:

( a = 428

( b = 214

( c = 856

Calcular: E = (a ( b ( c)2

Rpta: .

13.Cul es el nmero de 5 cifras que, multiplicado por 22, nos da un producto cuyas cifras son todas 8?

Rpta: .

14.Al multiplicar:

Calcular la suma de las cifras halladas.

Rpta: .

15.Determinar el producto de las cifras que corresponden al siguiente recuadro:

Rpta: .

SOLUCIONARIO01.Resolucin

Luego:

9 S = 0 ( S = 9

10 E = S ( E = 1

9 T = E ( T = 8

9 E = R ( R = 8

9 I = T ( I = 1

CA (9119)= 881 =

02.Resolucin

EMBED Equation.DSMT4

Luego:

m + (n 2)=9

m + n = 11

Piden:

03.Resolucin

De:

EMBED Equation.DSMT4

Descomponiendo por bloques:

( 1000 + ( 10 + e + ( 1000 + ( 10 + a

= 1000(+)+10(+) +e +a

= 1000(152) + 10 (101) + 14

= 153024

Nos piden:

1 + 5 + 3 + 0 + 2 + 4 =15

04.Resolucin

Del primer dato:

104 = + 1

9999= +

Colocando verticalmente:

EMBED Equation.DSMT4 05.Resolucin

En la progresin aritmtica:

2, 14, 26, 38, , x

( ( (

+12 +12 +12

*Se sabe:

# trminos=

Suma

*En el problema:

(x + 2)(x+10)=136 ( 144

x = 134

06.Resolucin

Sean A y B los nmeros, luego, segn enunciado.

*Reemplazando (II) en (I):

(4B + 1)B= 588

4B2 +B 588 = 0

B ( 12 B 12 = 0

4B + 49

07.Resolucin

*Al restar el miembro a miembro se obtendr:

15 ( N = 19980

N = 1332

Piden:

1 + 3 + 3 + 2 = 9

08.Resolucin

Plantearemos:

Piden: 2q = 2(23)= 46

09.Resolucin

Descomponiendo en factores, resulta:

a ( 11 ( b ( 11 = 3388

Por comparacin:

a + b = 4 + 7 = 7 + 4 = 11

10.Resolucin

Plantearemos:

Por condicin del problema:

2 ( +1 ( +5 ( =3496

Resolviendo: = 437

Luego:

( 512 = 437 ( 512 = 223744

Piden: 2 + 2 + 3 + 7 + 4 + 4 = 22

11.Resolucin

Como tenemos la suma y diferencia de los mismos nmeros, entonces:

( a = 0 a = 5

como a 0, entonces: a = 5

Luego:

como a= 5, entonces: c = 3

Como nos piden el mximo valor de:

a + b + c , entonces b tomar su mximo valor, es decir: b = 9

( a + b + c = 5 + 9 + 3 = 1712.Resolucin

Si acomodamos, correctamente cada producto obtendremos:

(E = (a ( b + c)2 = (2 ( 1 ( 4)2 = 64

13.Resolucin

Supongamos que el nmero de 5 cifras sea ; entonces, por condicin del problema, tendremos:

( 22 = 88 88 (la cantidad de cifras del producto es desconocida), despejando se tiene:

= 40404

14.Resolucin

Del producto se tiene:

EMBED Equation.DSMT4 3 = 7

( = 9

*Al reemplazar se tiene que:

Sustituyendo dicho valor:

( 9 ( 4 + 6 =

( = 2

Finalmente reemplazamos:

( 9 ( + 4 = 58

( = 6

Se pide:

9 + 7 + 2 + 6 = 24

15.Resolucin

El multiplicando debe ser 9 porque al multiplicar por 3 termina en 7, reemplazando.

Al multiplicar por 4 me da 36 para que la cifra de las centenas del producto sea 0 debe llevarse 4 de la anterior multiplicacin.

Luego al reemplazar los valores:

Finalmente:

La multiplicacin es:

Se pide: 7 ( 5 ( 9 ( 7 = 2205

EMBED MSDraw.1.01

EMBED Equation.DSMT4

Recuerda que

65

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