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4 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA 4.1 Introducción

En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación. 4.2 Interacción suelo estructura de cimentación 4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades

La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a).

Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real,

b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1.

(c)

(b)

(a)

=1R' i biRaiR

1i niii2i

Ra0 Rb0

L

ii

ni2

1

ba 1 ni2

2P iP nP bPPa 1P

PbPnPiP2P1a

R R R R R

Wa

bni21a

P

dddd

y x

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La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles. Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria. A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se calculan los desplazamientos ∆i, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas intermedias (fig. 4.1 b). Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R1=1 en el punto 1 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llama R1=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R2=1 en el punto 2 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama condición R2=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria Rn=1 en el punto n. Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R1=1, R2=1,… y Rn=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Fnnnnnnn

Fnn

Fnn

RdRdRd

RdRdRd

RdRdRd

δ

δ

δ

−∆=+++

−∆=+++

−∆=+++

...

...

...

2211

222222121

111212111

(4 .1)

donde:

. . ReR

.0

1.

Fi

i

i

byazapataslasarespectoconizapataladerelativoentoDesplazamiizapatalaenacción

RcondiciónlaparaipuntoelenentoDesplazami

RcondiciónlaparajpuntoelenentoDesplazamid iji

=

===∆

==

δ

ba

nF

An

n

iF

Ai

i

2F

A2

21

1A

F1

Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación

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El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como: F

iA

ii δδδ += (4.2) donde:

. .

,

.

ncimentaciódeestructuraladedeflexiónporipuntodelentoDesplazamirígidancimentacio

deestructuradoconsideranbyazapataslasdetoasentamienporipuntodelentoDesplazami

izapataladeverticalentoDesplazami

Fi

Ai

i

=

=

=

δ

δ

δ

Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene:

nA

nnnnnnn

Ann

Ann

RdRdRd

RdRdRd

RdRdRd

δδ

δδ

δδ

−+∆=+++

−+∆=+++

−+∆=+++

...

...

...

2211

2222222121

1111212111

(4 .3)

El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra a continuación:

nA

n

A

A

nnnnnn

n

n

R

R

R

ddd

ddd

ddd

δ

δ

δ

δ

δ

δ

2

1

2

1

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

−+

∆

∆

∆

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(4.4)

La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R1, R2,…, Rn con los desplazamientos δ1, δ2,…, δn de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación. A la ecuación 4.4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma abreviada de la siguiente forma: [ ] i

Aiiiji Rd δδ −+∆= (4.5)

donde:

Página 4 de 11

. . doconsideran

,

.0

.

.

verticalesentosdesplazamideVectorrígidancimentaciodeestructura

byaapoyoslosdetoasentamienporentodesplazamiVector

RcondiciónlaparantodeplazamiedeVector

ncimentaciósuelocontactodereaccionesdeVectorR

adesflexibiliddeMatrizd

i

Ai

i

i

ji

=

=

==∆

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

δ

δ

4.2.2 Ecuación matricial de asentamientos

A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a continuación se muestra la EMA:

b

n

a

b

n

a

bbbnbbba

nbnnnnna

bna

bna

abanaaaa

R

R

R

R

R

δ

δ

δ

δ

δ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

2

1

2

1

21

21

2222212

1112111

21

...

...

...

...

...

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(4.6)

4.2.3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4 incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse Ra, R1, R2,…, Rn, Rb y δa, δ1, δ2,…, δn, δb. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos sistemas de ecuaciones.

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La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un sistema de n ecuaciones: Del primer y último renglón de EMA se obtiene: babnanaaaaaa RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .7)

bbbnbnbbabab RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .8) De los renglones 1 a n de EMA se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

bnbana

bbaa

bbaa

nnnnnn

n

n

RR

RR

RR

R

R

R

δδ

δδ

δδ

δ

δ

δ

δδδ

δδδ

δδδ

22

11

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

(4.9)

Despejando | δ i| de la ecuación anterior:

b

a

nbna

ba

ba

nnnnn

n

n

n

RR

R

R

R

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

δδ

δδ

δδ

δδδ

δδδ

δδδ

δ

δ

δ

22

11

2

1

21

22221

11211

2

1

...

...

...

(4.10)

Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4.4):

nnnnn

n

n

An

A

A

nn R

R

R

ddd

ddd

ddd

2

1

21

22221

11211

2

1

2

1

2

1

...

...

...

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

∆

∆

∆

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

(4.11)

Página 6 de 11

Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos:

nnnnn

n

n

An

A

A

n

b

a

nbna

ba

ba

nnnnn

n

n

R

R

R

ddd

ddd

ddd

RR

R

R

R

2

1

21

22221

11211

2

1

2

1

22

11

2

1

21

22221

11211

...

...

...

...

...

...

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

∆

∆

∆

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δ

δ

δ

δδ

δδ

δδ

δδδ

δδδ

δδδ

(4.12)

An

A

A

n

b

a

nbna

ba

ba

nnnnn

n

n

nnnn

n

n

RR

R

R

R

ddd

ddd

ddd

δ

δ

δ

δδ

δδ

δδ

δδδ

δδδ

δδδ

2

1

2

1

22

11

2

1

21

22221

11211

21

22221

11211

...

...

...

...

...

...

+

∆

∆

∆

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(4.13)

A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos:

b

a

nbna

ba

ba

RR

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδ

δδ

δδ

22

11

y

An

A

A

δ

δ

δ

2

1

Termino:

b

a

nbna

ba

ba

RR

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

δδ

δδ

δδ

22

11

(4.14)

Página 7 de 11

bni21a

RRRRR

R b0R a0

ba 1 ni2R

Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones Ra y Rb.

De la figura 4.3 se obtiene:

)...( 22110 nnaa RRRRR ψψψ +++−= (4.15)

)...( 22110 nnbb RRRRR ξξξ +++−= (4.16) donde:

L

ii

x=ψ (4.17)

L

ii

y=ξ (4.18)

Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos:

n

n

n

nbna

ba

ba

b

a

nbna

ba

ba

b

a

nbna

ba

ba

R

R

R

RR

RR

2

1

21

2122

11

0

0

22

11

22

11

...

...

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ξξξ

ψψψ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

(4.19)

Termino:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

An

A

A

δ

δ

δ

2

1

(4.20)

Página 8 de 11

Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

bnan

ba

ba

An

A

A

δξδψ

δξδψδξδψ

δ

δ

δ

22

11

2

1

(4.21)

b

a

nnA

n

A

A

δδ

ξψ

ξψ

ξψ

δ

δ

δ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=22

11

2

1

(4.22)

Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22:

b

n

a

bbbnbbba

abanaaaa

nnA

n

A

A

R

R

R

R

R

2

1

21

2122

11

2

1

...

...

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=δδδδδ

δδδδδ

ξψ

ξψ

ξψ

δ

δ

δ

(4.23)

Página 9 de 11

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

bnbb

anaa

b

a

bbba

abaa

nnA

n

A

A

R

R

R

RR

2

1

21

2122

11

2

1

...

...

δδδ

δδδ

δδ

δδ

ξψ

ξψ

ξψ

δ

δ

δ

(4.24)

Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.24 resulta:

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

n

n

bbba

abaa

b

a

bbba

abaa

nnA

n

A

A

R

R

R

RR

2

1

21

21

0

0

22

11

2

1

...

...

ξξξ

ψψψ

δδ

δδ

δδ

δδ

ξψ

ξψ

ξψ

δ

δ

δ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

n

bnbb

anaa

R

R

R

2

1

21

21

...

...

δδδ

δδδ (4.25)

Sustituyendo las ecuaciones 4.19 y 4.25 en la ecuación 4.13 y reordenando términos resulta lo siguiente:

nnnnnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

b

b

b

R

R

R

aaa

aaa

aaa

ddd

ddd

ddd

∆

∆

∆

+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

...

...

...

...

...

...

......

......

......

δδδ

δδδ

δδδ

(4.26)

donde:

Página 10 de 11

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

bnbb

anaa

nn

n

n

bbba

abaa

nnnnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

δδδ

δδδ

ξψ

ξψ

ξψ

ξξξ

ψψψ

δδ

δδ

ξψ

ξψ

ξψ

...

...

...

...

...

...

...

21

2122

11

21

2122

11

21

22221

11211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−n

n

nbna

ba

ba

ξξξ

ψψψ

δδ

δδ

δδ

...

...

21

2122

11

(4.27)

0

0

22

11

22

11

2

1

b

a

nbna

ba

ba

bbba

abaa

nnn

RR

b

b

b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

ξψ

ξψ

ξψ

(4.28)

A la ecuación 4.26 se le llama “Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE), y puede simplificarse de la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ] iiijijiji bRad ∆+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++δ (4.29)

La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera:

iiji VRM =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ (4.30)

Página 11 de 11

donde:

[ ] [ ] [ ]jijijiji adM ++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ (4.31)

iii bV ∆+= (4.32)

Entonces:

[ ] ijii VMR 1−= (4.33)

donde:

[ ] [ ]jiji MdeinversaMatrizM 1 =−

Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R1, R2, …, Rn. Por sumatoria de momentos en las zapatas b y a se obtienen Ra y Rb, respectivamente; y de la ecuación matricial de asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa, δ1, δ2, …, δn y δb.