Colegio de Bachilleres de Tabasco Plantel No. 05

Calculo diferencial

Construye e interpreta modelos matemticos sencillos

Alumnos:Rubicel Crdova GngoraGabriel Antonio Angulo GoveaWilliams Antonio Lpez VzquezJavier Alejandro de la Cruz Jimnez

Profesor: Josu Hernndez Zamora

Semestre: 5 Grupo: D

Turno: Matutino

Introduccin:[footnoteRef:1]Un modelo matemtico describe tericamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemticas. Las previsiones del tiempo y los pronsticos econmicos, por ejemplo, estn basados en modelos matemticos. Su xito o fracaso depende de la precisin con la que se construya esta representacin numrica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre s. [1: Ptolomeo. (2013). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Ptolomeo: http://definicion.de/modelo-matematico/#ixzz3jmLwVock]

Modelo matemticoBsicamente, en un modelo matemtico advertimos 3 fases: la construccin, proceso en el que se convierte el objeto a lenguaje matemtico; el anlisis o estudio del modelo confeccionado; la interpretacin de dicho anlisis, donde se aplican los resultados del estudio al objeto del cual se parti.La utilidad de estos modelos radica en que ayudan a estudiar cmo se comportan las estructuras complejas frente a aquellas situaciones que no pueden verse con facilidad en el mbito real. Existen modelos que funcionan en ciertos casos y que resultan poco precisos en otros, como ocurre con la mecnica newtoniana, cuya fiabilidad fue cuestionada por el propio Albert Einstein.Puede decirse que los modelos matemticos son conjuntos con ciertas relaciones ya definidas, que posibilitan la satisfaccin de proposiciones que derivan de los axiomas tericos. Para ello, se sirven de diversas herramientas, como ser el lgebra lineal que, por ejemplo, facilita la fase de anlisis, gracias a la representacin grfica de las distintas funciones.Clasificaciones segn diversos criteriosDe acuerdo a la proveniencia de la informacin en que se basa el modelo, podemos distinguir entre modelo heurstico, que se apoya en las definiciones de las causas o los mecanismos naturales que originan el fenmeno en cuestin, y modelo emprico, enfocado en el estudio de los resultados de la experimentacin.Asimismo, con respecto al tipo de resultado pretendido, existen dos clasificaciones bsicas: modelos cualitativos, que pueden valerse de grficos y que no buscan un resultado de tipo exacto, sino que intentan detectar, por ejemplo, la tendencia de un sistema a incrementar o disminuir un determinado valor; modelos cuantitativos, que, por el contrario, necesitan dar con un nmero preciso, para lo cual se apoyan en frmulas matemticas de variada complejidad.Otro factor que divide los tipos de modelos matemticos es la aleatoriedad de la situacin inicial; as distinguimos entre los modelos estocsticos, que devuelven la probabilidad de que se obtenga un cierto resultado y no el valor en s, y los deterministas, cuando los datos y los resultados se conocen, por lo que no existe incertidumbre.Segn el objetivo del modelo, podemos describir los siguientes tipos: modelo de simulacin, que intenta adelantarse a un resultado en una determinada situacin, sea que sta se pueda medir en forma precisa o aleatoria; modelo de optimizacin, que contempla distintos casos y condiciones, alternando valores, para encontrar la configuracin ms satisfactoria; modelo de control, a travs del cual se pueden determinar los ajustes necesarios para obtener un resultado particular.Los modelos matemticos como sostn del consumismoDados distintos factores culturales y educativos, las Matemticas resultan la ciencia menos atractiva para un gran porcentaje de personas, que la relacionan con recuerdos nefastos de su poca estudiantil. Muchas de ellas dedican sus vidas a tareas humansticas o artsticas, y creen vivir al margen de los nmeros y de las complejas funciones que un da amenazaran con el fracaso escolar; pero estas frmulas son los pilares del sistema y, si se presentaran de una manera amigable y cercana, no generaran ese tpico rechazo, a menudo justificado en una falta de capacidad.Los telfonos mviles con pantallas tctiles, la televisin paga con cientos de canales y servicios virtuales de alquiler de pelculas, o Internet mismo, con su infinidad de posibilidades, son las formas de entretenimiento favoritas de la actualidad a nivel global. Ahora bien, si visitramos las compaas que fabrican los dispositivos, o que disean y desarrollan los servicios antes mencionados, nos encontraramos con grandes departamentos de control de calidad, que no hacen otra cosa que analizar, a travs de modelos matemticos, posibles interacciones entre usuarios y sistemas, potenciales fallas, y que buscan mejorar el producto final, tan slo basados en pruebas y sus nmeros resultantes.Supongamos que disponemos de un servicio de video bajo demanda, y que, a la hora de pagar por una determinada pelcula, se nos pregunta si tenemos un cupn de descuento. En ese momento, asimismo, se nos comunica que, dado que estamos en una semana de promocin, se aplicar una bonificacin de una equis cantidad. Todo esto, si tuviramos que hacerlo a mano, para un cliente en particular, no sera muy complicado; con papel, lpiz y una calculadora, resolveramos el precio final. Pero en el caso de una plataforma con la que interactan millones de personas por da, es necesario confeccionar y testear rigurosamente todas las posibles combinaciones para evitar, por ejemplo, que un cupn se utilice ms de una vez, o despus de su vencimiento, entre otras potenciales violaciones al sistema. (Ptolomeo, 2013)

Desarrollo:[footnoteRef:2]Construye e interpreta modelos matemticos sencillos. [2: Ortiz Campos, F. J., Ortiz Cerecedo, F. J., & Ortiz Cerecedo, F. J. (2011). Construye e interpreta modelos matematicos sencillos. En Calculo diferencial (pgs. 6-7). Mexico, D.F.: Patria. ]

A partir del objeto cilndrico que elijas determina sus dimensiones y constryelo en cartulina u otro material resistente.

Como se puede observar ya tenemos un cilindro que lo obtuvimos al recortarlo de la botellaEn este caso el objeto que decidimos utilizar fue una botella

Cul es su altura? 14.5 cm.

Cul es el radio de sus tapas?4 cm, ya el radio es la mitad del dimetro que es de 8 cm.

Cul es el permetro de una tapa? P=r P=3.1415*4P= 12.566 cm.

Cmo lo puedes determinar?[footnoteRef:3] [3: Ditutor.com. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Perimetro de un circulo: http://.ditutor.com/geometria/perimetrocircuferencia.html.]

En este caso aplicamos la formula P= r que nos dio como resultado 12.566 cm.

Para construir el cilindro, su rea lateral se representa con un rectngulo que tiene a h como una de sus dimensiones.

Datos:Dimetro: 8 cm.Altura: 14.5 cm.Radio: 4 cm.

Elaborando el cilindro con las medidas obtenidas de la botella.Cilindro ya construido con las medidas de la botella previamente obtenidas

Cul es la otra dimensin?Son sus dos caras la inferior y exterior.

Cul es el rea lateral del cilindro?AL: (2**r*h)AL: 2*3.1416*4*14.5AL: 364.42

Cul es el rea de cada tapa?A: *A: 3.1416*A: 3.1416*A: 50.26 rea de una cara es de 50.26 , pero como la otra tapa tiene las mismas medidas su rea se la misma.

Cmo se expresa el rea total del cilindro?[footnoteRef:4] [4: Profesor en linea. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Cilindro; rea y volumen: http://profesorenlinea.com/geometria/volumencilindro.html.]

Con la suma de las dos cara ms la cara lateral. A total= A lateral+ 2*base A total= A lateral+ 2 *base A total= 364.42 + 2* 50.26 Con los datos anteriores construyan un cono que tenga la misma base y altura del cilindro.

G: G:

G:

G:

G: 15.03 cm.

Cono elaborado con las medidas del cilindro

Ya obteniendo el valor de la generatriz podemos calcular el rea del cono[footnoteRef:5]. [5: Matematicassudidacticas. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Volumen_cuerposgeometricos_hexagonomatematico:http://matematicassudidacticas089.com/volumen/cuerposgeometricos.html.]

AL: *r*gAL: 3.14*4*15.03 cm.AL: 188.87

Ahora calcularemos el rea total del cono.AT: AT: 3.14*4*AT: 228.33

Qu relacin observas entre el rea del cono y el rea del cilindro?Que tienen la misma base pero no tienen el mismo volumen ya que el volumen del cilindro es y el volumen del cono es de 228.33 la diferencia es un poco ms de la mitad.

Si el cono lo llenas de arena u otro material y lo vacas en el cilindro, Cuntas veces cabe el volumen del cono en el cilindro?Cabe dos veces y sobra un poquito de arroz, el cilindro es dos veces ms grande que el volumen del cilindro Como se puede observar en las imgenes estamos checando cuantas veces cabe en este caso el arroz que se encuentra en el cilindro en el cono

Cul es la relacin entre el volumen del cono y el rea del cilindro? [footnoteRef:6] [6: Answer.yahoo. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Que relacion existe entre el volumen de un cono y un cilindro?: http://answers.yahoo.com/question/index;20009053113AAqP8.html.]

Que dos veces le lleva la relacin de proporcionalidad ya que al comprobarlo cabe dos veces y sobra un poquito de arroz.

Recorta tres rectngulos que midan 18 cm de largo por 12 cm de ancho cada uno.

Tres rectngulos con las medidas de 18 cm de largo por 12 cm de ancho.

En un rectngulo. Pon tres marcas que dividan el largo en cuatro segmentos de igual longitud. Realiza dobles sobre cada marca, de manera que al unir los extremos se forme un cuerpo en forma de prisma recto de base cuadrada. Calcula su volumen.Para calcular su volumen empleamos la formula AB*H.[footnoteRef:7] [7: Universo.Formulas. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Prisma cuadrangular: http://universoformulas.com/matematicas/geometria/prismacuadrngular.html.]

AB= L*L AB= AB=20.25

V: V: 20.2512 cm.V: 243

Prisma rectangular formado por las divisiones en el rectngulo.Rectngulo 1 con las tres divisiones en la longitud.

En otro rectngulo. Pon dos marcas que dividan el largo en tres segmentos de igual longitud. Realiza dobleces sobre cada marca de manera que se forme un cuerpo de prisma recto que tenga como base un tringulo equiltero. Calcula su volumen.[footnoteRef:8] [8: Universo.formulas. (s.f.). Recuperado el 28 de Agosto de 2015, de Prisma triangular: http://universoformulas.com/matematicas/geometria/prismatriangular.html.]

V: V: V: V: 15* 12V: 180

Prisma triangular formado por las divisiones del rectngulo anterior.Rectngulo 2 con tres divisiones en la longitud.

En cada caso se ha utilizado la misma cantidad de material para la superficie lateral, con cul se obtiene el mayor volumen? En prisma recto de base cuadrada ya que por sus cuatro lados es ms amplio y tiene un mayor volumen que el prisma triangular sin importar que se hayan elaborados con papel de las mismas medidas. Recorta cinco rectngulos de 10 cm de ancho por 15 cm de largo en cartulina u otro material resistente.

Los cinco rectngulos con las medidas de 10 cm de ancho por 15 cm de largo ya cortados

En un rectngulo recorta en cada esquina un cuadrado de 0.5 cm por lado. Dobla hacia arriba y dobla los bordes. Calcula el volumen.[footnoteRef:9] [9: Universo.Formulas. (s.f.). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Prisma cuadrangular: http://universoformulas.com/matematicas/geometria/prismacuadrngular.html.]

V: Primero debemos calcular el rea de la baseAB: b*h AB: 9 cm* 0.5 cmAB: 4.5 Ahora solo sustituimos AB en la formula Rectngulo 1 con 0.5cm recortados y las pestaas ya dobladas formando as un prisma rectangular.

V: V: 4.5 *14 cmV: 63 En otro rectngulo, recorta en cada esquina un cuadrado de 1 cm por lado. Dobla hacia arriba y dobla los bordes. Calcula el volumen.V: Primero debemos calcular el rea de la baseAB: b*h AB: 8 cm* 1 cmAB: 8 Ahora solo sustituimos AB en la formula Rectngulo 2 con 1 cm recortados y las pestaas ya dobladas formando as un prisma rectangular.

V: V: 8 *13 cmV: 104

En otro recorta en cada esquina un cuadrado de 1.5 cm por lado Dobla hacia arriba y dobla los bordes. Calcula el volumen.V: Primero debemos calcular el rea de la baseAB: b*h AB: 7 cm* 1.5 cmAB: 10.5 Ahora solo sustituimos AB en la formula Rectngulo3 con 1.5 cm recortados y las pestaas ya dobladas formando as un prisma rectangular.

V: V: 10.5 *12 cmV: 126

En el cuarto rectngulo recorta en cada esquina un cuadrado de 2.5 cm por lado. Dobla hacia arriba y dobla los bordes. Calcula el volumen.V: Primero debemos calcular el rea de la baseAB: b*h AB: 5 cm * 2.5 cmAB: 12.5 Ahora solo sustituimos AB en la formula Rectngulo 4 con 2.5 cm recortados y las pestaas ya dobladas formando as un prisma rectangular.

V: V: 12.5 * 10cmV: 125

con cul medida encontraste el mximo volumen? En el tercer prisma rectangular, al cual le recortamos 1.5 en cada esquina y que tienen un volumen de 126

Ser este el mximo volumen que se pueda obtener?En este caso si porque con las medidas que nos daban si fue el mximo volumen por encima del que le tenamos que recortar 2.5 cm.

Sern stos los nicos valores que se pueden explorar?En este caso no, las variables seria desde 1cm hasta 4.5 cm por que las medidas del rectngulo es de 10 cm y no dara para un nmero mayor a 5 cm.

Conclusin:[footnoteRef:10]Los modelos matemticos han sido aplicados a una amplia gama de situaciones en la toma de decisiones, con ella determinar los impactos de las actividades econmicas como es el caso de pronosticar las ventas de determinado bien, al saberlas se puede establecer las estrategias optimas que debe llevar acabo determinada empresa ante la competencia. La importancia del modelo es la representacin de una parte de la realidad el cual se desea manejar, donde el modelo ayuda a disear soluciones. Nos permite evaluar las consecuencias de las acciones antes de ponerlas en la prctica. Parte fundamental de la tesis es la realizacin de modelos de pronstico con la finalidad que generen la aproximacin de los patrones histricos de las series de tiempo. [10: Conclusion modelo matematico. (2012). Recuperado el 24 de Agosto de 2015, de Conclusion modelo matematico: http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/424/A8.pdf?sequence=8]

El modelo proporcionado por la autorregresin es un modelo matemtico sencillo en el que el valor actual de una serie est relacionado con sus valores pasados ms el coque estocstico aditivo; el procedimiento en general es tratar diferentes combinaciones autorregresivas encontrando como mejor predicto aquel que tenga la mnima variabilidad de error por la pequeez de la suma de los cuadrados de los errores; esto permite no solo mantener un registro de la evolucin de la variable sino el dinamismo de la misma, proporcionando su comportamiento. (Conclusion modelo matematico, 2012) Como se puede observar la tabla y la grfica muestran los volmenes de los prismas cuadrangulares pasados y nos confirma que el prisma nmero 3 es el que tienen el mayor volumen.

RectnguloVolumen en

163

2104

3126

4125