Álgebra Sem 9

1 LGEBRA TEMA 9SAN MARCOS REPASO 2014 I

FUNCIONES

SNI3X9

LGEBRATEMA 9

DESARROLLO DEL TEMA

I. PAR ORDENADOEs un conjunto que consta de dos elementos en el

que interesa el orden, es decir, a uno se le distingue

como el primero y al otro, el segundo del par ordenado.

A los elementos de un par ordenado se les llama

coordenadas.

(x; y)

1. coordenadaa

2. coordenadaa

Teorema

R = {(a;b)/ a A, b B aRb}

II. PRODUCTO CARTESIANODados los conjuntos no vacos "A" y "B", el productocartesiano de "A" y "B" denotado como "A x B", es elconjunto de todos los pares ordenados (a;b) donde"a" es un elemento de "A" y "b" un elemento de "B".

Asi: A x B = {(a;b)/a A b B}

Ejemplo:

Sean: A = {3; 2; 5} y B = {5; 2}.

A x B = {(3;5), (3;2), (2;5), (2;2), (5;5), (5;2)}

B x A = {(5;3), (5;2), (5;5), (2;3), (2;2), (2;5)}

Relacin binariaSea "A" y "B" dos conjuntos no vacos, se define larelacin binaria de "A" en "B" de la siguiente manera.

R = {(a;b)/ a A, b B aRb}

Entindase que aRb implica que entre a y b existealguna relacin o aun cuando en muchos casos no sepueda traducir en una frmula o regla decorrespondencia.

Ejemplos:

Dado A = {1; 2; 3; 4} y B = {5; 6}.

Hallar: R : A.B

R = {(a; b)/ a A, b B y a + b

FUNCIONES

2LGEBRATEMA 9 SAN MARCOS REPASO 2014 I

Sea la funcin: f: A B.

Donde: A Conjunto de partida B Conjunto de llegada

Nota:Al conjunto de "A" se le denomina conjunto departida y al conjunto "B" conjunto de llegada.

Observacin

Las funciones se denotan igualmente por letras talescomo f, g, h, F, G, H. Si "f" es una funcin, entoncesf(x).

(Lase "f en x" o simplemente "fx") indica el segundoelemento del par cuyo primer elemento es "x" aspodemos escribir.

f = {(x; f(x))/ x DF

Observacin:

Una relacin f: A B ser una funcin si cumple:

1. Para cada x A y B/(x;y) f..

2. Si (x;y) f (x;z) f y = z.

Sea la funcin:

f: A B

Donde: A Conjunto de partidaB Conjunto de llegada

1.345

A6789

B

Funcin

f

2.123

A

7

8

B

Relacin

g

3.

4. 125

A

345

B

No es funcin

H

Dominio y rango de una funcin

Sea f: A B una funcin de A en B, llamaremos dominiode la funcin f, al conjunto de todas sus primerascomponentes, al cual denotaremos por:

Df = Domf, es decir:

Observacin:

Toda funcin es una relacin, pero no toda relacines funcin.

No debe existir 2 o ms pares ordenados diferentescon el mismo primer elemento. En caso existiera, deacuerdo a la definicin, las segundas componentestendrn que ser iguales; si no es as, entonces noser funcin.

f D {x A / y B (x;y) f} A =

Y llamaremos rango de la funcin al conjunto de

las imgenes de todos los elementos de A, mediante

f al cual denotaremos por:

Rf = Ranf, es decir:

=f R {y B / x A (x;y) f} B

Ejemplo:

Sea: f = {(1;2), (3;4), (5;6), (7;8)}.

=fD {1; 3; 5; 7} =fR {2; 4; 6; 8}.

Sugerencia para el clculo del dominio y rangode una funcin

El dominio de una funcin f se determina analizandotodos los valores posibles que pueda tomar "x".

De manera que f(x) sea real, salvo el caso en quedicho dominio sea especificado.

El rango de una funcin f se determina despejandola variable "x" en funcin de "y", luego se analizatodos los valores posibles que pueda tomar "y", detal manera "x" sea real.

FUNCIONES


I. COMPOSICIN DE FUNCIONESDadas dos funciones g: A B y f : B C; A, B, Cconjuntos no vacos la nueva funcin llamadacomposicin de f y g denotada por (f o g), es aquellacuyo dominio es:

( ) ( ) ( )x Dom g g x Dom f . La regla de correspondencia de f o g, es:(f o g)(x) = f(g(x))

x g(x) f(g(x))

g f

f o g

A B C

A. ObservacinPara que exista la nueva funcin f o g,necesariamente:Rang Domf

B. ConclusinA) (f o g)(x) = f(g(x))B) Dom(f o g)(x) = ( )x Domg g x Dom f

Ejemplo:

Dadas las funciones f y g:f = {(3;5),(4;5),(5;2),(2;2)}; g = {(5;3),(3;5),(7;2)}

A A C

5

3

7

3

4

5

2

5

2

gf

Entonces (f o g) = {(5,5),(3,2),(7,2)}

II. FUNCIN INYECTIVA O UNIVALENTESe dice que una funcin es inyectiva si a cada elementodel rango le corresponde un nico valor del dominio.Formalmente: f es inyectiva si al elegir arbitrariamentedos elementos x1, x2 del dominio de f, se cumple:

1 2 1 2x x f(x ) f(x ).

Equivalentemente la funcin f: A B es inyectiva, sif(x1) = f(x2) x1 = x2, para todo x .

Ejemplo:

Es ( ) +=

x 1f xx 1

inyectiva?, ( ) { }= Dom f 1

Solucin:

Sean x1, x2 Df

( ) ( )

+ += = =

1 2

1 2 1 21 2

x 1 x 1Si f x f x x x

x 1 x 1

f es inyectiva

Interpretacin grfica: A cada elemento "y" correspondeun solo "x"Dom(f).

TeoremaUna funcin f es inyectiva si cualquier recta horizontalcorta a su grfico a lo ms en un punto.

Ejemplo:

xx

y y

f es inyectiva f no es inyectiva

III. FUNCIN SURYECTIVA (SOBREYECTIVA)Tambin conocida como funcin epiyectiva. Unafuncin es suryectiva si el conjunto DE LLEGADAQUEDA CUBIERTO POR EL RANGO.Es decir, el rango y el conjunto de llegada coinciden.Sea f: A B entonces:

"f" es sobreyectiva ( ) =b B a A / f a b.

FUNCIONES II

FUNCIONES

4LGEBRATEMA 9 SAN MARCOS REPASO 2014 I

Interpretacin grfica:

Ejemplo:

La funcin f: , tal que, f(x) = 3x + 4 es sobreyectiva.

Solucin:Tenemos = +y ( : Conjunto de llegada) y 3x 4

Despejamos x: = y 4x3

Aplicamos f a cada extremo

( )

= = + = + =y 4 y 4f x f 3 4 y 4 4 y; y3 3

por tanto f es sobreyectiva.

IV. FUNCIN BIYECTIVAUna funcin es biyectiva si es inyectiva y suryectiva ala vez.Interpretacin grfica:

y

x

f

A

B

0

y

x

f

A0

B Ran(f)

f: A Bf: A B

Funcin BiyectivaRan(f) B=

Funcin no BiyectivaRan(f) B

V. FUNCIN INVERSA

A. Dada la funcin A B. Si es biyectiva, existe lainversa de f: ( ) =x y f x

La inversa de f es f*:

=B Ay x f * (y)

B. En caso de tenerse la Grf = {(x, f(x))/x A}; lainversa de la grfica de f es: Grf* = {(f(x), x)/x A}

Ejemplo 1:

Dada la grfica de f:

Grf = {(1;5)(2;6),(4;8),(5;9)}

Como f es biyectiva, entonces:

Grf = {(5;1)(6;2),(8;4),(9;5)}

Ejemplo 2:

Dada la funcin de f: A B definido por ( ) +=

x 1F x ,x 1

donde { } { } = = A 1 , B 1 .

Se cumple que f es biyectiva, entonces la inversa de f.

La inversa de f es f*: B Ay x

Donde se debe despejar x en trminos de y, de laecuacin:

+= = +

= + = +

+=

x 1y yx y x 1x 1

yx x 1 yx(y 1) 1 y

1 yxy 1

( ) ( ) + += =

1 y x 1Luego, f * y o f * x ; x By 1 x 1

Grfico de la funcin inversaEl grfico de f* es simtrico a f respecto a la identidadde f(x) = x

Propiedades

Propiedad 1

Si tenemos: f f*

A B Ax y x

Se cumplen: a) (f* o f)(x) = x, x A,b) (f o f*)(y) = y, y B

Propiedad 2

(f*) = f

Propiedad 3

(f o g)* = g* o f*, siempre que f, g y f o gtengan inversa.

FUNCIONES


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Sea f(x) = ax2 + bx + c.

Si: f(0) = 2 ; f(1) = 6 y f(3) + f(2) =76.

Determine el valor de: 3a + 2b + c.

San Marcos 2007-II

Nivel fcil

A) 19

B) 23

C) 17

D) 13

E) 29

Resolucin

Para:

x = 0 a.02 + b.0 + c = 2 c = 2

x = 1 a.12 + b.1 + c = 6 a + b = 8

......(1)

x = 3 a.32 + b.3 + c = 9a + 3b 2 +

x = 2 a.22 + b.2 + c = 4a + 2b 213a + 5b 4 = 76 ...... (2)

De (1) y (2):

a = 5 ; b = 3 y c = 2.

Entonces:

3.5 + 2.3 2 = 19

Respuesta: A) 19

Problema 2

Dado A = {x / |x| 4}. Sean "f""y "g" funciones de A en IR definidaspor f(x) = x2 3 y g(x) = 1 x + 1.Hallar la interseccin del rango de "f"con el dominio de "g".

San Marcos 2008 - I

Nivel fcil

A) {0; 2; 3}

B) {3; 2; 1}

C) {1; 2; 3}

D) {3; 2; 1}

E) {1; 0; 1}

Resolucin

Si: |x| 4 4 x 4

*F(x) = x2 3 ** g(x) 1 x 1= +

4 x 4 Dg: 1 x 0

0 x2 16 x 1

23 x 3 13

3 f(x) 13

Rf Dg = {3;2;1} * x

Respuesta: D) {3; 2; 1}

Problema 3

Halle el rea de la regin limitada por

las grficas de las funciones:

f(x) = |2x|; g(x) = x/2 + 5

San Marcos 2009-I

Nivel intermedio

A) (38/3)u2 B) (20/3)u2

C) (32/3)u2 D) (40/3)u2

E) (16/3)u2

ResolucinResolviendo: [f(x) = g(x)]

y: 2x = x/2 + 5 ; x = 10/3 , y = 20/3y: 2x = x/2 + 5 ; x = 2, y = 4

Del grfico:

S ABC ADCA = A A

S10.(20 3) 10.4

A 2 2

=

S40

A3

=

Respuesta: D) (40/3)u2

Álgebra Sem 9

Documents

Transcript of Álgebra Sem 9