Anal is is Line as Espera

Teoria de colas

Mgp Ing Grover Sánchez Eid 1

Análisis deLíneas de espera

Contenido

1 Definiciones y aplicaciones del Análisis de Líneas de Espera.

2 Elementos y Sistemas de Líneas de Espera3 Procesos estocásticos en L.E.4 Modelos Analíticos5 Modelos de Simulación6 Costos en líneas de espera

Teoria de colas


DefinicionesLínea de espera:Definición básica que identifica un proceso de flujo donde eventualmente puede existir retardo.

Teoría de colas:La disciplina fundamental que estudia el fenómeno de líneas de espera a través de modelos matemáticos.

Sistemas con retardo:Ámbito global de aplicación de la teoría de colas para el análisis de líneas de espera.

• Son frecuentes en nuestra vida cotidiana:– Los clientes en un Banco, en un Restaurante, al

matricular en la Universidad.– Los automóviles en una Gasolinera, los buses

en una Terminal, aviones para aterrizar en un Aeropuerto.

– Maquinas esperando reparación en un Taller, documentos para impresión en una Red, llamadas telefónicas esperando línea de Comunicación.

– Pacientes esperando cama para Hospitalización, automóviles esperando Parqueo.

Las colas…, líneas de espera

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• En general, a nadie le gusta esperar, cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.

• El tiempo tiene un costo para el cliente y esperar en demasía es perjudicial.

• Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado para el administrador.

• Es necesario encontrar un balance adecuado entre los objetivos del Cliente y del Sistema.

Las colas…, líneas de espera

Teoría de colas• Una cola es una línea de espera, un flujo de una red

donde existe retardo en algún punto.

• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares.

• Se basa en el análisis de un proceso que considera parámetros con variables estocásticas.

• El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada.

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Teoría de colas• Existen muchos sistemas de colas distintos, y no todos

pueden modelarse apropiadamente.

• Algunos modelos son muy especiales o resultan muy complejos de analizar.

• Otros sistemas se ajustan a modelos estándar más generales y permiten encontrar soluciones analíticas.

• La mayor parte se pueden tratar mejor a través de la simulación.

• Los procesos determinísticos se manejan también con la Teoría de redes.

Sistema de LE: modelo básico

• Un sistema de colas puede dividirse en tres componentes principales:

– Las unidades que llegan al sistema– La cola o línea de espera donde se

forman las unidades.– La instalación del servicio constituida

por servidores.

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FRONTERA DEL SISTEMA

UNIDAD DE SERVICIO

UNIDADES QUELLEGAN

ESQUEMA DEL SISTEMA BASICO DE LINEAS DE ESPERA

UNIDADES QUESALEN

COLA

Sistema de LE: modelo básico• Los clientes o llegadas pueden ser:

– Personas– Automóviles– Máquinas que requieren reparación– Documentos– Otros tipos de artículos

• Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio.

Unidades = u = k (número)

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Sistemas de LE: modelo básico

• Cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio.

• Si no, se une a la cola.• La cola no incluye a quien está recibiendo

el servicio.

Sistema de LE: modelo básico• Los servidores o instalación del

servicio puede ser:– Personas– Equipos, Maquinas o Instalaciones– Una combinación

• Los servidores se consideran en forma individual y se especifica el número.

SERVIDORES = s = Número

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Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

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Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

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Proceso de LE: Las llegadas• Se considera que las llegadas son un proceso

aleatorio, vinculada a una función de probabilidad.• En general se considera un proceso independiente, es

decir que la ultima llegada no influye a la probabilidad de la siguiente llegada. Proceso Markoviano.

• El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas.

P(t) = Probabilidad que el tiempo sea t• El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable.• El número esperado de llegadas por unidad de tiempo

se llama tasa media de llegadas (λ): LambdaP(k) = Probabilidad que existan k llegadas

Proceso de LE: Las llegadas

• El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ• Por ejemplo, si la tasa media de llegadas

es λ = 20 clientes por hora• Entonces el tiempo esperado entre

llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas ócada 3 minutos.

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Proceso de LE: Las llegadas• Es necesario estimar la distribución de

probabilidad de los tiempos entre llegadas.• Generalmente se supone una distribución

exponencial.• Esto depende del comportamiento de las

llegadas.• Se realiza una medición de llegadas por tiempo

o de tiempo entre llegadas.• Se aproxima a una función de distribución

teórica y se realizan las pruebas estadísticas.

Proceso de LE: Las llegadas –Distribución exponencial

• La forma algebraica de la distribución exponencial es:

• Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.), λ es la media de llegadas en unidades/tiempo.

t

etllegadasdetiempoPλ−

−=≤ 1)(

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Proceso de LE: Las llegadas –Distribución exponencial

Media Tiempo0

P(t)La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños

Proceso de LE: Las llegadas -Distribución de Poisson

• Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas

• Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

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• Su forma algebraica es:

• Donde:P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempoλ : tasa media de llegadas

( )!

keP kk

λλ −

=


Llegadas por unidad de tiempo0

P

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Proceso de LE: El servicio

• El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples.

• El tiempo de servicio varía de cliente a cliente.

• Se considera el tiempo promedio para un servicio estándar o para un periodo estable.

• El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (μ): mu


• El tiempo esperado de servicio equivale a 1/μ

• Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora

• Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/μ = 1/25 = 0.04 horas, ó 2.4 minutos por servicio

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• Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio

• Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:–La distribución exponencial

(σ=media)–Tiempos de servicio constantes

(σ=0)


• Una distribución intermedia es la distribución Erlang

• Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:

mediak

1=σ

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• Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial

• Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes

• La forma de la distribución Erlangvaría de acuerdo con k


Media Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1 k = 2

k = 8

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Distribución Erlang

Erlang, cualquier k1/4 mediaErlang, k = 16

Erlang, k = 81/2 mediaErlang, k = 4

Erlang, k = 2

mediaErlang, k = 10Constante

Desviación estándarDistribución

media2/1

media8/1

mediak/1

Proceso de LE: Disciplina de cola• Las unidades que llegan van a la instalación del servicio

de acuerdo con la disciplina de la cola (D)• Generalmente es Primero en Entrar, Primero en Salir

PEPS• Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades:

– UEPS: Ultimo en entrar, primero en salir– Privilegios: Embarazadas, ancianos, clientes

frecuentes, documentos importantes, productos perecederos.

– Tandas: Grupos específicos de unidades.– Aleatorio: Cualquiera de la fila

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Proceso de LE: La cola

• El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio = Lq

• El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio

Ls = Lq + s

Proceso de LE: La fuente• El número potencial de clientes o fuente de las

llegadas es fundamental para asumir la influencia o independencia en la probabilidad de las llegadas.

• La fuente puede considerarse finita o infinita, según la influencia probabilística a las llegadas.

–INFINITA: Clientes en un banco.–FINITA: Maquinas para mantenimiento.

• El número estadístico límite asumido en general es 30 unidades.

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Proceso de LE: La cola• La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que

pueden estar en la cola = K

• Generalmente se supone que la cola puede ser infinita

• Aunque también la cola puede ser finita, cuando físicamente no se puede soportar nuevas llegadas.

• En el análisis estadístico influye por la consideración de probabilidad de abandono en colas muy largas.

• Capacidad infinita = probabilidad de abandono cero

• La capacidad de cola esta determinada por factores físicos que influyen también en los costos del sistema, para evitar los abandonos

Notación General en LE

-Paralelo-Secuencial

- PEPS (FIFO)

- UEPS (LIFO)

- Aleatorio- Tandas- Jerarquias- Otros

- Finita- Infinita

N < 30 Finito

N => 30 Infinito

s = 1 servidors > 1servidores

múltiples

-Exponen-cial

-Erlang-Constante-General

- Poisson-Exponen-cial

CDKNsμ ó 1/μλ ó 1/λ

Sistema de flujo en la

cola

Disciplina de

atención al cliente

Capacidad de la cola

Tamaño de la

población

Numero de servidores

Función de probabili-dad de los servicios

Función de probabili-dad de las llegadas

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Modelos de LE: Nomenclatura para distintos modelos

Notación de Kendall: A/B/s• A: Distribución de tiempos entre llegadas• B: Distribución de tiempos de servicio

– M: distribución exponencial– D: distribución degenerada– Ek: distribución Erlang

• s: Número de servidores

Estado del sistema de LE

• En principio el sistema está en un estado inicial.

• Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación)

• Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.)

• Lo que interesa es el estado estable

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Desempeño del sistema de LE

• Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:

1. El número de clientes que esperan en la cola y en el sistema, Lq y Ls

2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema, Wq y Ws

Medidas del desempeño del sistema de LE

1. Número esperado de clientes en el sistema Ls

2. Número esperado de clientes en la cola Lq

3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

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Medidas del desempeño del sistema de LE: fórmulas generales

μλ

λλ

μ

+=

==

+=

qs

qq

ss

qs

LL

WLWL

WW 1

Medidas del desempeño del sistema de LE: ejemplo

• Suponga un lavado de autos al cual llegan en promedio 45 vehículos por hora

• Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora

• Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

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• La tasa media de llegadas λ es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75clientes por minuto

• La tasa media de servicio μ es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

• Wq = 3 minutos


clientesWLclientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.03475.0

min41131

min3

=×===×==

=+=+=

=

λλ

μ

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Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio

• Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora

• Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora

• Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola

• Calcule las medidas de desempeño del sistema.

Probabilidades como medidas del desempeño

• Beneficios:–Permiten evaluar escenarios–Permite establecer metas

• Notación:– Pn : probabilidad de tener n clientes

en el sistema– P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un

cliente no espere en el sistema más de t horas

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Factor de utilización del sistema• Dada la tasa media de llegadas λ y la tasa

media de servicio μ, se define el factor de utilización del sistema ρ: rho.

• Generalmente se requiere que ρ < 1• Un factor ρ ≥ 1 implicaría la formación constante

de cola, con tendencia siempre creciente.• Su fórmula, con un servidor y con s servidores,

respectivamente, es:

μλρ

μλρ

s==

Factor de utilización del sistema -ejemplo

• Con base en los datos del ejemplo anterior, λ = 0.75, μ = 1

• El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es

ρ = λ/μ = 0.75/1 = 0.75 = 75%• Con dos servidores (s = 2):ρ = λ/sμ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

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Modelos de una cola y un servidor• M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y

tiempos de servicio exponenciales• M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio

• M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio

• M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

Modelo M/M/12

1

(1 ) (1 )

( )1

( )(1 ) ( )

( ) ( )

0, 1

s q

s q

n nn s

t ts q

L L

W W

P P L n

P W t e P W t e

t

μ ρ μ ρ

λ λμ λ μ μ λ

λμ λ μ μ λρ ρ ρ

ρ

ρ

+

− − − −

= =− −

= =− −

= − > =

> = > =

≥ <

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Modelo M/M/1: ejemplo• Un lavado de autos puede atender uno cada 5

minutos y la tasa media de llegadas es de 9autos por hora

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo

17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.01

25.2)(

3

75.0129,12,9

)1(

)1(

1300

2

==>

==>

==>=−=

==−

=

==−

=

=−

==−

=

====

−−

−−

+

tq

ts

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL

ρμ

ρμ

ρ

ρρρλμμ

λλμ

λμμλ

μλλ

ρμλ

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Modelo M/M/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

• Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

11

1)1(2

0

222

<=−=

=+=

−+

=+=

ρρρλμ

ρρσλρ

w

qqqs

qqs

PP

LWWW

LLL

Teoria de colas


Modelo M/G/1: ejemplo• Un lavador de autos puede atender un auto

cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

===−=

===

==+=

=−+

=

=+=+=

ρρλ

μ

ρρσλ

ρ

w

qq

qs

q

qs

PP

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL

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Modelo M/G/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un clientetenga que esperar por el servicio

Modelo M/D/1

1

1)1(2

2

<

=+=

−==

ρλμ

ρρλ

qqqs

qss

LWWW

LWL

Teoria de colas


Modelo M/D/1: ejemplo• Un lavado de autos puede atender uno

cada 5 min.• La tasa media de llegadas es de 9

autos/hora.• Obtenga las medidas de desempeño

de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.0

min5.1221.01

125.1)1(2

875.12

===

==+=

=−

=

==

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesWL

qq

qs

q

ss

λ

μ

ρρ

λ

Teoria de colas


Modelo M/D/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio

80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/12 ( 1)

2 (1 )1

11

s s q

qs q q

kL W Lk

LW W W

mediak

ρλρ

μ λρ

σ

+= =

−

= + =

<

=

Teoria de colas


Modelo M/Ek/1: ejemplo

• Un lavado de autos puede atender un auto cada 5 min.

• La tasa media de llegadas es de 9autos/hora. Suponga σ = 3.5 min(aprox.)

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo

min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1)1(2)1(

437.22

===

==+=

=−+

=

==

hrsL

W

hrsWW

clientesk

kL

clientesWL

qq

qs

q

ss

λ

μ

ρρ

λ

Teoria de colas


Modelo M/Ek/1: ejercicio• A un supermercado llegan en promedio

80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

• Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4

• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo y ejercicio

M/Ek/1

M/D/1

M/G/1

M/M/1

WqLqWsLsModelo

Teoria de colas


Modelos de varios servidores• M/M/s: s servidores con llegadas Poisson

y tiempos de servicio exponenciales• M/D/s: s servidores con tiempos entre

llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio

• M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

M/M/s, una línea de espera

00

0

02

1

0

0

!1,

!

,!

1)()!1(

!!

1

Ps

ss

PknsiPss

P

knsiPn

PWW

LWLLP

ssL

nss

s

P

swsn

n

n

n

nqs

qqqs

s

q

s

n

ns

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=>=

≤=+=

=+=−−

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

−

=∑

λμμρρ

ρμ

λμλ

λμλμρ

ρλμ

μρ

Teoria de colas


M/M/s, una línea de espera

)46)(3(

34

2

2

4

2

3

ρρρρ

ρρ

+−−=

=−

=

=

q

q

L

sSi

L

sSi

Comparación resultados M/M/1 con M/M/2 Lavado de autos

0.01000.2250.02670.6M/M/1dos líneas

0.00270.12270.01940.8727M/M/2

0.05002.250.06673M/M/1

WqLqWsLsModelo

Tasa unitaria μ = 60 u/horaTasa global λ = 45 u/hora

Teoria de colas


Costos de un sistema de LE

1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar

– Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido.

– Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad.

– El Costo esta dado por:PARA UNA UNIDAD = Ce x WqPARA LOS QUE ESPERAN = λ x Ce x Wq

Costos de un sistema de LE

2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado

– Es más fácil de estimar, dado que es manejado por el administrador.

– El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo

– El costo del servicio es directamente proporcional al número de servidores.

– Generalmente lineal.CTs = Cs x s

Teoria de colas


Análisis económico de líneas de espera

Costos

Tasa de servicioTasa óptimade servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total

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