Análisis no lineal de un péndulo invertido

Alex Dariel Pallares. Cód.: 7111006

Solución de las ecuaciones de péndulo invertido por métodos numéricos

Introducción

El análisis no lineal de sistemas de péndulos invertidos es necesario para manipuladores robóticos y

para locomoción bípeda, ya que por medio de estos análisis se pueden generar mejores estrategias de

control que presenten una mejor dinámica y un mejor comportamiento del sistema frente a cambios

y perturbaciones.

El análisis de este tipo de sistemas presenta una variedad de comportamientos complejos,

característica de los sistemas no lineales, tales como múltiples puntos de equilibrio, ciclos limites,

escape de tiempo finito, bifurcaciones y caos entre otros. Este sistema de péndulo invertido se

analizara por medio de métodos numéricos y el programa MatLab, con el fin de observar esta clase

de comportamientos y la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Sistema de péndulo invertido

Supongamos un sistema de péndulo invertido de la siguiente forma:

Fig. 1. Sistema péndulo invertido

�� + ���� + ��� + ���� − ��� �� = � �� + ���� + ��� �� = −�� ��

Estas son las ecuaciones que rigen el sistema del péndulo invertido modelado. Una vez se tienen

estas ecuaciones, es necesario despejar la variable de mayor orden �� �� . En este caso suponemos que la masa del péndulo está concentrada en el extremo de la barra de tal forma que la inercia de la

barra es 0.

�� =� + ��� �� − ���� − ���

�� + ��

� = −� �� − �� ��

Para obtener las ecuaciones reales del sistema, reemplazamos cada ecuación en la otra, para así

obtener ecuaciones que no dependan de su variable de mayor orden. Las ecuaciones resultantes son:

�� =� − ��� + ��� �� + �� ���� �� + �� − �(�� )�

� =−��� + �� �� − ��� − ��� ���� + ����� (�� + �� − �(�� )�)

Una vez se tienen estas dos ecuaciones, se convierten a variables de estado, definiendo las variables

de estado como:

�� = �� ��� = �� �� = ��� = � = �� �� = � ��� = �

Teniendo como base estas variables de estado se procede a reemplazar los términos anteriores en las

ecuaciones anteriores y así obtener las ecuaciones de variables de estado:

��� =

� − ��� + ���� ���� + �� ������ ���� + �� − �(�� ��)�

��� = ��

��� =

−��� + �� ���� − ��� �� − ���� ������ �� + ����� ��(�� + �� − �(�� ��)�)

Por medio de identidades trigonométricas, estas ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente

forma:

��� =

2� − 2��� + 2���� ���� + �� ��2��

2� + � − ��� 2��

��� = ��

��� =

−2��� ���� − 2��� �� − ���� ��2�� + 2����� ��

2� + � − 2��� 2��

Obtención de los puntos de equilibrio:

Como se puede apreciar en las ecuaciones anteriores, no hay un término que indique la posición en

variables de estado. Esto es debido a que el sistema mecánico no tiene ninguna restricción que haga

que su comportamiento dependa de la posición lineal en la que se encuentra. Los puntos de

equilibrio se hallan si se aplica la siguiente formulación:

�� = ����; ���� = 0

Utilizando la función solve del programa matlab, fácilmente podemos obtener los puntos de

equilibrio del sistema, teniendo en cuenta que al hacer las derivadas iguales a cero, el valor de �� es

igual a cero y se puede reemplazar en las otras dos ecuaciones, obteniendo los puntos de equilibrio

restantes. El primer punto es (F/b, 0, 0), esto es cuando la variable de la velocidad lineal del sistema

�� = �/� la variable que indica el angulo del péndulo �� = 0 y la variable que indica la velocidad

angular del sistema �� = 0. El segundo punto de equilibrio es (F/b, pi, 0); en donde la única

variable que cambia es la variable �� = ��. Esto quiere decir que el otro punto de equilibrio del sistema es cuando el ángulo del péndulo es pi radianes, y las otras variables son iguales a las

condiciones del punto de equilibrio anterior. Mecánicamente en el modelo se puede observar que

estos dos puntos de equilibrio son factibles, ya que el primer punto de equilibrio es cuando el

péndulo está en su posición vertical hacia abajo, sin ninguna velocidad angular y la fuerza es igual a

la fricción. El segundo punto muestra este mismo comportamiento pero el péndulo está en su

posición vertical hacia arriba.

Análisis de estabilidad de los puntos de equilibrio:

En el análisis de sistemas dinámicos no lineales es necesario conocer la estabilidad de los puntos de

equilibrio para saber qué clase de estabilidad dirige el punto de equilibrio y saber el comportamiento

del sistema alrededor de esos puntos. Tomando como referencia la ecuación general en variables de

estado:

�� = ��

Se linealiza alrededor de los puntos de equilibrio, para saber qué clase de estabilidad posee el punto

de equilibrio. Para linealizar alrededor de un punto de equilibrio, se encuentra primero la matriz

jacobiana de A, la cual está compuesta por las derivadas de las funciones con respecto a las variables

que la integran. Realizando este ejercicio obtenemos:

����

���

=−2�

2� + � − ��� 2��

����

���

=���(��

� )�2���� cos �� + 2���� ��� − �2� ��������(��

� )�2� + � − ��� 2����

����

���

=4��� ����

2� + � − ��� 2��

���

����

= 0 ����

���

= 0 ����

���

= 1

����

���

=2��� ��

2� + � − 2��� 2��

����

���

=���(��

� )�−2�� cos�� + 2����� − 2�������� − 2 ���

�cos��� − �4� ���2����� (��)

�2� + � − 2� ���2����

����

���

=−2��� ����

2� + � − 2��� 2��

Siendo la matriz jacobiana de la siguiente forma:

� =

����������

����

����

���

����

�������

���

����

���

����

�������

���

����

���

����

��� !!!!!"

Evaluada en los puntos de equilibrio hallados anteriormente, de lo que podemos apreciar:

�|�(�/�,�,�) =

�����−2�

44.9 0

0 0 12�3

−19.6 0 !!!"

�|�(�/�,,�) =

�����−2�

44.9 0

0 0 1−2�

319.6 0 !

!!"

Al analizar estas matrices con un valor de b = -1, las matrices que obtenemos serian:

�|�(�/�,�,�) = $ 0.5 4.9 00 0 1

−0.66 −19.6 0

% �|�(�/�,,�) = $ 0.5 4.9 0

0 0 1

0.66 19.6 0

% Lo que para la primera matriz nos da unos autovalores de:

&� = 0.3343;&�,� = 0.0829 ± 4.42� Lo cual lo hace un foco inestable debido a su autovalor positivo y a su par de autovalores reales y

complejos positivos.

Cuando se evalúa la segunda matriz se obtienen:

&� = 4.5181;&� = 0.3324;&� = −4.3505

Lo cual hace de este punto un punto de silla inestable.

Cuando evaluamos las matrices anteriores con un b = 0, obtenemos las siguientes matrices y sus

respectivos autovalores:

�|�(�/�,�,�) = $0 4.9 00 0 1

0 −19.6 0

%; &� = 0; &�,� = 0 ± 4.42�

Lo que lo convierte en un centro.

�|�(�/�,�,�) = $0 4.9 0

0 0 1

0 19.6 0

%;&� = 0; &� = 4.4272;&� = −4.4272

Este también es un punto de silla inestable.

Si asumimos un coeficiente de fricción positivo igual a 1, entonces las matrices resultantes serian:

�|�(�/�,�,�) =

�����−2

44.9 0

0 0 12

3−19.6 0 !

!!"

�|�(�/�,,�) =

�����−2

44.9 0

0 0 1−2

319.6 0 !

!!"

Como es un sistema mecánico es necesario decir que las fricciones no son negativas, por lo que es

necesario analizar el sistema cuando las fricciones son positivas.

Una vez se tienen estas matrices evaluadas en los puntos de equilibrio, podemos hallar los

autovalores del sistema para encontrar la clase de estabilidad que se puede observar sobre los puntos

de equilibrio y en una vecindad cercana a estos. Analicemos los autovalores de la matriz cuando el

punto p = (F/b, 0, 0):

&� = −0.3343;&�,� = −0.0829 ± 4.42�

Se puede analizar que la estabilidad del punto P = (F/b, 0, 0) presenta un autovalor real negativo, lo

que hace que el sistema sea estable, y los otros dos autovalores hacen que este punto de estabilidad,

presente un comportamiento tipo foco estable, debido a su parte real negativa y su componente

compleja.

Cuando se analiza el punto P = (F/b, π, 0), obtenemos lo siguiente:

&� = 4.3505;&� = −0.3324;&� = −4.5181

Se puede apreciar que uno de los autovalores es positivo y los otros dos son negativos, lo que

convierte este punto de equilibrio en un punto de silla inestable, con dos variedades estables y una

inestable. A continuación se puede observar los diagramas de fases de cada uno de los puntos de

equilibrio anteriores:

Fig. 2: Foco estable.

Fig. 3: Punto de silla inestable

Como se puede apreciar en la figura 2, al introducir condiciones iniciales de velocidad lineal y

velocidad angular, teniendo el ángulo en 0, el comportamiento del sistema es oscilatorio con

tendencia al punto de equilibrio estable, debido a sus autovalores reales negativos con parte

compleja.

Al observar la figura 3, se puede apreciar que la más mínima variación en sus condiciones iniciales,

hace que el sistema vaya del punto de equilibrio inestable a los puntos de equilibrio estables, que son

los que se pueden apreciar de color rojo y azul.

Cambio cualitativo de los puntos de equilibrio (variabilidad de parámetros):

Un sistema dinámico posee diferentes cualidades que dependen de los parámetros físicos del

sistema. Estos parámetros al cambiar, pueden generar un cambio de cualidades en el sistema,

haciendo que los puntos estables y sus estabilidades cambien.

En el péndulo invertido, el único valor constante que nunca cambia es la gravedad con un valor de

9.8m/s^2. Los otros valores de los cuales depende el sistema son las masas del carro y del péndulo

(m, M), la longitud del péndulo (l), la fricción de la masa M con respecto a la superficie, que en

nuestro caso está relacionado con la fricción de las pequeñas ruedas adosadas a la masa M y la fuerza

(F) que es la entrada al sistema.

Fricción: Analicemos primero el diagrama de fases cuando la fricción es variable y el punto de

equilibrio es (F/b, 0, 0):

Fig. 4: Comportamiento del sistema cuando b = variable

Cuando la fricción del sistema es 0, al aplicar una fuerza muy pequeña, al no existir fuerzas

disipativas, se presenta un comportamiento de oscilación perpetua (azul). Al tener una fricción

mayor que cero, el punto de estabilidad permanece estable. Ahora se hace el mismo análisis cuando

el punto de equilibrio es (F/b, pi, 0):

Fig. 5: comportamiento alrededor de pi, cuando b es variable

Al igual que en la figura 4, en la figura 5 se observa un comportamiento de oscilación perpetua al no

haber fricción en el sistema. Se puede observar que tanto en la gráfica roja, como en la verde, el

sistema tiende al mismo punto de equilibrio, lo que hace que la fricción en los dos casos, no cambien

el comportamiento del sistema.

Masas y longitud del péndulo: Análisis del sistema y la variabilidad de los puntos de equilibrio

cuando las masas y la longitud son variables:

Fig. 6: m, l variable, alrededor de (F/b, 0, 0)

Fig. 7: m, l variable alrededor de (F/b, pi, 0)

Cuando la masa del péndulo m es variable al igual que su longitud, el comportamiento del sistema

es constante, tendiendo siempre a los puntos de equilibrio ya definidos, sin que haya un cambio en

estos puntos de equilibrio.

Fig. 8: M variable alrededor de (F/b, 0, 0)

Fig. 9: M variable alrededor de (F/b, pi, 0)

Como se puede apreciar en la figura 8 y 9, no hay un cambio cualitativo del sistema alrededor de sus

puntos de equilibrio.

Fuerza: Ahora analicemos el comportamiento cualitativo alrededor de los puntos de equilibrio

cuando la fuerza es variable:

Fig. 10: F variable alrededor de (F/b, 0, 0)

Al observar la figura 10, se puede apreciar que hay un desplazamiento del punto de equilibrio en el

sistema. Una forma de ver mejor este desplazamiento se ve en la figura 11:

Fig. 11: F variable alrededor de (F/b, 0, 0)

Fig. 12: F variable alrededor de (F/b, pi, 0)

Cuando analizamos el sistema en el punto de equilibrio mencionado en la figura 12, se puede

apreciar claramente que el punto de equilibrio se desplaza.

Conclusiones

• El sistema de péndulo invertido escogido, presenta ciclos limites virtuales; esto es, cuando

no hay fricción el sistema tiende a un ciclo de oscilación perpetua, en el cual nunca llega al

equilibrio, sin embargo como es un sistema mecánico en el cual la fricción siempre existe,

entonces siempre tiende al equilibrio.

• Los puntos de equilibrio hallados, dependen del cociente f/b, sin embargo en las gráficas, se

puede ver que el efecto de la fricción es generar ciclos limites sobre el punto de equilibrio.

La acción de la fuerza hace que el punto de equilibrio se desplace, lo que hace que cambie el

punto de equilibrio. Sin embargo, esto no hace que cambien las cualidades del sistema, esto

es, que el punto estable se vuelva inestable o que los puntos estables se vuelvan estables.

• Al generar evaluaciones virtuales de los puntos de equilibrio, los autovalores cambian,

haciendo que los puntos de equilibrio estables para el ángulo 0, se vuelvan inestables al

haber fricción negativa, concluyendo que hay un cambio cualitativo en ese punto de

equilibrio.