DEMETRIO CCESA RAYME

Es necesario conocer lo siguiente antes de adentrarse en el uso de limites con problemas reales.

Limite: Es una magnitud fija a la que una magnitud variable puede aproximarse tanto como se quiera sin necesariamente alcanzarla.

Método de exhausción.

Un ejemplo del método de exhausción es el del cálculo de lalongitud de una circunferencia efectuado por Arquímedes. Élutilizó dos métodos, el de exhausción, inscribiendo polígonosregulares en una circunferencia de radio unitario, y el método decompresión, circunscribiendo polígonos a la circunferencia. Deeste modo, al aumentar el número de lados de los polígonos, lasfiguras tenderán a acercarse a la forma de la circunferencia, tantoque Arquímedes pudo obtener una medida bastante precisa de π.

El método de exhausción está descrito en el Método, un libro deArquímedes en el que se explica este procedimiento. Es la basedel concepto de límite de una función desarrollado en el sigloXVII por Newton.

Cuando vamos al parque a dar una vuelta, asistimos alsupermercado a comprar unas naranjas o jugamos una cascaritade futbol, no usamos a plena consciencia los conocimientos quetenemos sobre limites; sin embargo cuando nos ponemos apensar un poco e intentamos definir cada una de las variablesque intervienen nos damos cuenta de su utilidad para intentarpredecir los eventos que pueden ocurrir.

Un ejemplo es un tiro de media distancia de un futbolista, elmovimiento realizado por el balón en su trayectoria natural essemejante a una parábola, cruza la barrera e intenta llegar a unpunto del arco donde el portero no tiene alcance, el portero tieneque anticipar el tiro y el punto donde debe de atajarlo para pararel gol del tirador. Si el portero fuese un físico, sabría que posibletrayectoria llevaría la pelota resolviendo una simple ecuación, yen base a los límites determinar el punto en que la pelota esatajable.

Prácticamente, todo sistema que ocurra de forma natural o por creación del hombre es posible representarlo en una ecuación de múltiples grados. Desde los eventos naturales como la lluvia y los torrenciales, hasta las ondas transmitidas por las antenas de telecomunicación. Cuando pensamos en cosas relacionadas con movimientos de dinero o bursátiles, es común pensar en economistas que siguen teorías o modelos económicos previamente diseñados, pero… ¿Quién los diseñó y en base a que? Fueron diseñados en base a la exploración y observación de los eventos involucrados, la utilidad de los límites en esos eventos es poder anticipar las fluctuaciones económicas, porque dichos eventos significan perdidas millonarias y el sustento de muchas personas.

Cuando estamos esperando que la paridad del dólaresté en su apogeo, cuando esperamos el momentoindicado para apostar, inconscientemente se aplica lalógica matemática en nuestro cerebro (que en algunasveces acierta o falla), se está esperando el momentopreciso por medio de la aplicación se una ecuaciónbasada en múltiples factores que en ocasiones no sedeterminan completamente.

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COSTOS DE TRANSPORTE:

Una compañía de autobuses está dispuesta a alquilar sus vehiculos solo ha grupos de 35 omás personas. Si un grupo consta de35 personas, cada una paga US$60. En gruposmayores, la tarifa de todas las personas se reduce en 50 centavos por cada personaadicional. Exprese los ingresos de la compañia de autobuses como una funcion deltamaño del grupo, elabore la gráfica y estime que tamaño del grupo maximizará losingresos.

COSTOS DE CONSTRUCCION:

Una caja cerrada, de base cuadrada, tiene un volumen de 250 m³. El material de las partessuperior e inferior de la caja cuesta US$2 por m² y el de los lados, US$ 1 por m². Expreseel volumen de la caja como una función de la longitud de su base.

DISTRIBUCION DE FONDOS

Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US$150 por unidad y estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y/y+2)+(160x/x+4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son US$50 por unidad, ¿cuanto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad=(Nº de unidades)(precio por unidad - costo por unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción]

VENTAS AL POR MENOR

Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x,y) = x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuales deberían ser x e y para maximizar las utilidades?

AGOTAMIENTO DE RESERVAS

Cierto gas raro usado en procesos industriales tenía reservas conocidas de 3exp11 m³ en1990. En 1991, se consumía 1.7exp9 m³ del gas con un incremento anual del 7.3%¿cuando se agotarán las reservas conocidas del gas?

VALOR PRESENTE

Una inversión garantiza pagos anuales de US$1.000 a perpetuidad; empezando deinmediato con los pagos. Halle el valor presente de esta inversion si la taza de interesanual predominante permanece fija al 12% capitalizado continuamente. (sugerencias: Elvalor presente de la inversion es la suma de los valores presentes de los pagosindividuales.)

Es posible que la aplicación más importante de los límites en la física sea el concepto de"derivada temporal" – la tasa de cambio en el tiempo -- que se requiere para la definiciónprecisa de varios conceptos importantes. En particular, las derivadas con respecto altiempo de la posición de un objeto son significativas en la física Newtoniana.

La velocidad (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevaleceen el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.

La aceleración es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.

La Sobreaceleración o el tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración deun objeto.

V t =dx

dt

S t =da

dt

a t =dV

dt

VOLUMEN:

A partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18 pulg ², quitando unpequeño cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar loslados, construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la cajaresultante como una función de longitud x de un lado de los ladoseliminados. Elabore la gráfica y calcule el valor de x para el cual elvolumen de la caja resultante es el máximo.

CONTROL DE CALIDAD

Tres inspectores se turnan para revisar componentes electrónicos amedida que salen de una línea de ensamblaje. Si el 10% de todos loscomponentes producidos en la línea de ensamblaje son defectuosos,halle la probabilidad de que el inspector que prueba el primercomponente sea el mismo que encuentra el primer componentedefectuoso.

Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en meses) está dado por la función:

P(t)= at+8/t+b, si se sabe que el precio de este artículo el próximo mes será de $6.50, y el siguiente mes será de $6.00. Se desea saber:

a) El precio del artículo para este mes.

Rpta.=En este mes el precio del artículo es $8.00.

La aplicación de los limites en la vida cotidiana es en su mayoría implícita pero esta mas presente de lo que pensamos, ya que cuando intentamos predecir un cambio en algún sistema financiero aplicamos la idea de limites para ver hacia donde tiende, la manera mas fácil de analizarlos es mediante una grafica ya que podríamos ver con claridad como se va comportando y así hacer una buena predicción.