Apuntes de Matematicas Financieras

TEORIA Y PRÁCTICA MATEMATICAS FINANCIERAS Mgs. Lic. José Arnéz Gutiérrez

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APUNTES DE MATEMATICAS FINANCIERAS

Mgs. Lic. José Antonio Arnez Gutiérrez

La Paz - Bolivia


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Asignatura: Matemática Financiera Docente: Mgs. Lic. José Arnéz Gutiérrez

TEMA: INTERES SIMPLE

Introducción El interés es la forma mas adecuada de retribución por el uso de capital, este se lo expresa en términos monetarios. El interés puede describirse como un porcentaje o fracción del capital o del valor final del préstamo.

El interés simple, es pagado sobre el capital inicial que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

La igualdad que permite encontrar el interés simple es:

I = A * n * i

I= Interés simple

A= Valor inicial del préstamo

n = Periodo de tiempo

i= Tasa de interés pactada

Nota: La nomenclatura puede variar según los diferentes autores versados en esta materia


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Ejemplo:

El señor Molina presta dinero al señor García por Bs10.000 a 1 año al 12% de interés simple, encontrar el valor del interés

Solución

Aplicando: I = A * n * i

Tenemos que reemplazar los valores: I = 10.000 x 1 año x 12%

I = 1.200.-

Una vez entendido que el interés en su expresión numérica según la igualdad anterior podemos ahora encontrar el valor final de un préstamo, según la siguiente ecuación:

S = A(1 + i*n)

Donde:

S= Valor final del préstamo

Según el ejemplo anterior tenemos:

S = A(1 + i*n)

S = 10.000 x (1 + 0,12x 1 año)

S= 11.200

Por lo tanto existe una tercera ecuación:

S = A + I

De nuestro mismo ejemplo:

S= 10.000 + 1.200

S= 11.200

Ahora se puede desprender diferentes ecuaciones de igualdad con tan solo despejar la incógnita que requerimos.

Si utilizamos la ecuación S = A(1 + i*n) y queremos despejar “n” tendríamos:

n = S/A -1

i

Ahora bien si se presentase un problema con exactitud de días debemos considerar:


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Interes exacto: I = A * n * i

365 días

Interés comercial: I = A * n * i

360 días Existe una relación de equivalencia entre el interés exacto y el interés comercial que responde a una igualdad como la que sigue: Interés comercial: Ic= A*i*n/360 Interés exacto: Ie=a*i*n/365 Si igualamos las ecuaciones tendremos: Ic = A*i*n/360 Ie A*i*n/365 Luego de suprimir valores homogéneos: Ic= 360 Factorizando valores 360/5 = 72 Ie= 365 Factorizando valores 365/5=73 Ic=72 Ie=73 Ie=Io 72 ----> 1- 1 = 73-1 73 73 73 Por lo tanto la igualdad seria la siguiente: Ie=Io -1 Io 73 Quiere decir que el interés comercial es 1/73 partes del interés exacto. Así como el tiempo “n” tiene distintas formas de expresarse: año, mes, día; el interés también, por eso existe tasa proporcional;


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Tasa proporcional: i(1) = n (1) i(2) = n (2)

Una forma de aplicar el concepto anterior es: Si la tasa de interés es i=24% anual cual será la tasa mensual i(1) = 24% n(1) = 12% i(2) = ? n(2) = 1 mes Reemplazando:

i(1) = n (1) i(2) = n (2)

i(2) = 2%


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PROBLEMAS A RESOLVER

1. Cual es el capital que se acumulara a 715Bs en 15 meses a la tasa de interés simple de 5.5%

2. Encuentre el interés simple de bs530 a 4 meses al 4.5% 3. Calcular los intereses de un capital de bs3.000 colocados al 10%

durante 3 años 4. Determinar el interés que debe pagar un capital de Bs5.500

tomados en préstamo durante 2 años a 3% mensual 5. Encuentre el interés comercial de Bs3.000 a 278 días 6. Encuentre el numero de días exactos entre el 26 de abril y 19 de

octubre de 2007 7. Encuentre el interés exacto sobre Bs7.800 al 6% desde el 3 de

diciembre al 20 de abril del año siguiente, utilizando el número de días exacto, considerando que el año siguiente es bisiesto.

8. Tres hermanas reciben una herencia, el hermano menor coloca al 4%, el siguiente coloca al 5% y el mayor al 6%, al cabo de 12 meses. obtienen Bs. 35.250. Se desea saber el importe de la herencia que recibió cada uno, sabiendo que el 1ro recibe 5/4 del segundo y el 3º la suma 2 hermanos. Sabiendo que el monto anterior recibido corresponde al interés simple.

9. Dos hermanos reciben el mismo monto de herencia y depositan inmediatamente-en una cuenta, el mayor al 18% y el menor al 20% transcurriendo el mismo tiene, el mayor recibe, Bs. 77.000 y el menor Bs. 80.000. Hallar el monto del donase que cada uno recibió.

10. A y B depositan sus capitales durante 20 años, al cabo del cual obtienen montos iguales. A depositar Bs. 20.000 más que el menor. Hallar los capitales depositados, sabiendo que A deposita al 4% y B al 5%

11. Al morir un padre deja a sus dos hijos una herencia de Bs. 10.000, los herederos depositan en 2 en t. fondos financieros el mayor en una cuenta que abona el 24% de interés y el menor en otra que abona el 12% Hallar la herencia que corresponde al hermano mayor y menor, sabiendo que dentro de 5 años ambos obtienen el mismo monto.

12. Dos hermanos reciben el monto de herencia y depositan inmediatamente en una cuenta. El mayor al 18% y el menor Bs. 80.000. Hallar el monto de herencia que cada uno recibió.


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13. Tres hermanos reciben una herencia y depositan en Bancos diferentes, el mayor al 8%, el del medio el 6% y el menor al 4%, transcurrido un año retiran los intereses los mismos que suman 232.000. Hallar la herencia que recibió, sabiendo que el mayor recibió 2/8 del segundo y el menor recibió la suma de los mayores.

14. Dos socios X, Y de la Empresa Éxito Ltda. Iniciaron actividades, y al final de la 1º gestión obtienen una utilidad de 60.000 Bs. Que es distribuida en proporción a los aportes de capital (Y aporta ¼ del capital de X). La utilidad de X fue depositada al 15% y la de Y al 18% Transcurrido un año y 8 meses. ¿Cuánto retiró cada uno?

15. Tres hermanos reciben una herencia y la colocan a una tasa de interés simple en tres Bancos diferentes. El mayor coloca al 8%, el menor medio al 6% y el menor al 4%. Transcurrido un año, retiran los intereses los mismos que suman: 23.200.-. Hallar la herencia que cada uno recibió, sabiendo que la mayoría recibió 2/ 3rad el 2º y el menor recibió las suma de dos mayores.


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TEMA: DESCUENTO SIMPLE

Introducción Las operaciones financieras relacionadas al descuento comercial es cuando un documento que tiene un vencimiento a futuro se DESCUENTA antes de su fecha fijada, y por lo tanto la tasa que se aplica es de descuento, que por regla es: Interés ≥ descuento La ecuación de igualdad seria.

A = S (1 – d* n) Donde: A= El valor actual del documento descontado S= Valor final d = Tasa de descuento n= Periodo de tiempo La aplicación práctica de la tasa de descuento se expresa en las letras de cambio. Letra de cambio: es una promesa escrita y legal de pagar una suma de dinero a una determinada fecha de vencimiento. Para nuestro estudio se debe aplicar el siguiente análisis:


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GRAFICO No. 1 n + 1 a lo largo del compromiso FE FD FV A n2 + d periodo de descuento

FE= Fecha de emisión FD= Fecha de descuento FV= Fecha de vencimiento

Ejemplo: El tenedor de una Letra de cambio de Bs400 con recargo por concepto de intereses por 120 días, descuenta faltando 90 días antes de su vencimiento. La tasa de descuento es de 5% y los saldos netos son Bs399, encuentre la tasa de interés de la letra de cambio. Solución: Forma grafica: A= 400 i=? n=120 días Descuenta a los 90 días d= 5% Por lo tanto A=S( 1- d*n) 399 = S (1 – 0,05 * 90 días/ 360 días) S= 404.05 Luego reemplazamos en S= A(1+ i*n) 404.05 = 400 ( 1 + i* 120 días /360dias) i= 3.7%


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1. El tenedor de una letra de cambio con recargo por concepto de interés por un valor de Bs600 a 180 días plazo la descuenta faltando 60 días antes de la fecha de su vencimiento, si el descuento del banco es de Bs7.14 y los saldos netos son Bs605.86 ¿Cual será la tasa de interés y la tasa de descuento?

2. El señor Jordán presta dinero por Bs500 y firma una letra de cambio comprometiéndose a pagar al 4% de interés simple a 180 días, pero después de 60 días transcurridos el banco la descuenta a 4.5%, cuales serian los saldos netos?

3. Encuentre usted los saldos netos de cada letra de cambio:

Valor nominal Fecha de letra

Plazo de la letra

Tasa de interés

Fecha de descuento

Tasa de descuento

450 15 de junio 60 días Nada 5 de julio 6 1.000 12 de

diciembre 1 mes Nada 15 de

diciembre 7

750 20 de abril 150 dias 5 10 de junio 4.5 900 11 de mayo 3 meses 4 20 de

mayo 5.5

4. Un tenedor de la letra de cambio de Bs400 con recargo por

concepto de intereses a 120 días la descuenta faltando 90 días antes de su vencimiento. La tasa de descuento es de 5% y los saldos netos son Bs399.74, encuentre la tasa de interés simple.

5. El banco santa cruz descuenta al 5% un documento sin interés de Bs5.000 con vencimiento a 60 días , el mismo día el documento ha sido descontado por el banco central al 4% pero utilizando el año exacto determinar la utilidad obtenida por el banco santa cruz por la operación.

6. Una letra de cambio firmada por 2 años de bs30.000 es descontada a 6 meses mas tarde a una tasa de descuento de 15%, hallar el importe que recibe después del descuento.

7. El banco unión descuenta al 12% una letra de cambio de bs200,000 con vencimiento a 120 días, el mismo día el documento se descuenta con un rendimiento del 9% de otro banco, hallar la utilidad obtenida por el banco unión.


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TEMA: INTERES SIMPLE ECUACIONES DE VALOR

Introducción Las ecuaciones de valor son expresiones numéricas de los hechos económicos de préstamos y pagos en periodos intermedios de tiempo, para ello debemos seguir un esquema: Paso 1 Graficar las deudas y los pagos a través de un diagrama de

tiempo. Paso 2 Escoger una fecha focal donde podamos homogenizar las

actualizaciones o acumulaciones, se puede escoger cualquier fecha.

Paso 3 Elaboramos la ecuación de valor final o valor actual

dependiendo el planteamiento y posteriormente igualamos en una ecuación extrayendo la incógnita.

Ejemplo: El señor blanco adquiere un vehiculo a 2 pagos el primero de Bs30.000 dentro de 4 meses, el segundo de Bs20.000 dentro de 10 meses, al no haber cumplido estas obligaciones se compromete a cancelar en 2 cuotas el primero en 1 año y el segundo dentro de 1 año y medio, la tasa de interés inicial es de 18%, cual el pago final? Solución: Paso 1 Graficar el problema


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Solución grafica 30.000 – 4 meses 20.000 – 10 meses P=? A= inicial Luego escogemos la fecha focal: que será los 18 meses al final. Si aplicamos la ecuación: S= A(1+i*n), buscando A=? como incógnita de descuento de un pago futuro a la fecha presente, tendremos lo siguiente: 30.000 / 1+0.18 * 4/12 donde 4 son los meses que transcurrieron es decir que estamos trayendo a la fecha inicial Mas: 20.000/ 1+ 0.18*10/12 = P/1+018*12/12 + P/1+0.18*18*12 La relación anterior guarda una coherencia de tiempos hacia atrás con el valor que se esta buscando P= 27.849.31


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1. El señor Blanco adquiere una maquinaria a crédito en 3 cuotas el primero de 30,000 pagaderos a 2 meses, el segundo de 40.000 dentro de 6 meses y el último de 50,000 a 1 año. El seor Blanco decide liquidar esta deuda con 2 pagos iguales el 1ro a 6 meses y el 2do. A 10 meses calcular el importe de dichos pagos si la tasa aplicada es de 24% mensual.

2. El Señor Pérez contre una deuda de Bs. 40.000 pagaderos dentro de 8 meses a una tasa de interés de 24%.Deuda que decide pagar con dos cuotas iguales la 1º dentro de 6 meses y la 2º un año hallar el importe de las cuotas iguales a la tasa señalada.

3. El Señor Blanco adquiere un vehículo a 2 pagos uno a Bs. 30.000 dentro de 4 meses y el segundo de Bs. 20.000 dentro de 10 meses al no haber cumplido estas obligaciones se compromete a cancelar con dos cuotas iguales el primero dentro de un año y el segundo dentro de un año y medio de haberse adquirido el vehículo sabiendo que la tasa de interés es el 18%.

4. Usted Adquiere un artefacto eléctrico al crédito con una cuota inicial de Bs. 2.000 y 2 cuotas de 4.000 pagaderos el primero dentro de seis meses y el segundo dentro de un año. Transcurrido 10 meses y al no haberse apagado la primera cuota, conviene al acreedor su deuda con otro 2 pagos el 1º de 5.000 al final del año y un 2º pago dentro de medio año mas tarde hallar el importe del ultimo pago si la tas del interés es del 12% capitalizadle mensualmente.

5. En cierta fecha, una persona firma un pagaré por $12.000 a 90 días, al 8%; 30 días después, firma otro pagaré por $10.000 a 90 días sin interés. 60 días después de la primera fecha, conviene pagar a su acreedor $4.000 y recoger los dos pagarés firmados remplazándolos por uno solo a 120 días, contados desde la última fecha, con un rendimiento del 9%. Determinar el único pago convenido.

6. Usted adquiere un bien a crédito con 3 cuotas de Bs. 4000, 6000 y 5000, pagaderos dentro de 3 meses, 5 meses , 8 meses, respectivamente al no haber cumplido con sus primeras obligaciones, usted plantea a su acreedor liquidar toda la deuda con un pago único dentro de 6 meses, sabiendo que la tasa de mercado es del 18% . Al no haber cumplido con las 3 obligaciones se conviene liquidar toda loa deuda con 2 cuotas iguales. El primero de 12 meses y el segundo dentro de año y medio.


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TEMA: INTERES COMPUESTO

Introducción El interés compuesto es importante para entender las matemáticas financieras, su aplicación permite obtener intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Si efectuamos el calculo del monto del interés sobre la base inicial, más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital. Podemos denominar monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre ambos y el capital original es el interés compuesto. Para explicar mejor este axioma podemos utilizar el siguiente grafico:

Comparación entre Interés simple e Interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuestoes mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa

1 52 años30

1000

2000A

B

aa

a

a

a

b

b

b

b

4

Demostrando que la creciente acumulación de intereses esta en relación directa con el tiempo.


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Para encontrar la formula del interés compuesto debemos aplicar lo siguiente: Periodos Capital Interés Capital + interés

del periodo 1 A Ai A+Ai=(A+i) 2 A(1+i) A(1+i)i A(1+i)+A(1+i)=A(1+i)^2 N A(1+i)^n-1 A(1+i)^n-1*I A(1+i)^n-1+AA(1+i)^n-1*i=A(1+i)^n Por esa razón la formula del interés compuesto para hallar el valor futuro es:

S= A(1+i)^n TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES Al igual que el interés simple el interés compuesto también tiene estas características relacionadas a las tasas de interés. Una tasa de interés nominal es aquella que esta pactada al momento de la operación financiera, mientras que una tasa efectiva es aquella que realmente actúa sobre el capital de operación. La aplicación de la tasa efectiva es: S= A(1+i)^n Pero la aplicación de la tasa nominal es: S= A(1+jm/m)^m*n Por ello para igualar ambas situaciones tenemos: i=(1+jm/m)^m - 1 Ejemplo: Encontrar la tasa efectiva equivalente a una tasa de interés del 6% convertible semestralmente. Solución: Si aplicamos la formula:

i=(1+jm/m)^m - 1


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Encontramos la respuesta de la siguiente manera: Jm=6% m=2 i=(1+0.06/2)^2 -1 i=6.09%

Ahora si vamos por el lado inverso, es decir encontrar la tasa nominal a partir de la tasa efectiva la formula sufriría algunas modificaciones de carácter aritmético, Jm=m { (1+i) ^1/m - 1} Ejemplo: Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente que corresponde a la tasa efectiva 10% anual Solución: Aplicando la formular: Jm=m { (1+i) ^1/m - 1} Tenemos que i=10% m=4 Reemplazando valores: Jm=4(1.10)^1/4 -1 Jm=24.11% APLICACIONES COMUNES La aplicación del interés compuesto en calculo del Valor actual neto, y la Tasa Interna de Retorno para evaluaciones financiera de proyección, o aproximaciones en planillas de proyectos y otros es muy útil, en todos los casos se parten de flujos de caja proyectados y que requieren ser descontados o puestos a valor presente. Por ejemplo: Una empresa tiene los siguientes flujos de caja: 100, 110, 120, 130 y 140 para los próximos 5 años, la inversión inicial es de Bs1.000, el banco le pide una proyección a valor actual de sus flujos futuros al 8%


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Solución:

VAN = - 1.000 + 100/1.08^1 + 110/1.08^2+120/1.08^3+130/1.08^4 +140/1.08^5

VAN=-527.00

No es conveniente ninguna inversión Para periodos mayores de n Cuando los periodos son mayores al año comercial de igual manera se aplica: la tasa efectiva es: S= A(1+i)^n, y basado en propiedades de productos de potencias, el factor n se descompone en sumandos:

(1+i)^ x+y = (1+i)^x (1+i)^y Ejemplo: Calcular el valor futuro de una deuda de 4.000 a 20 años al 8% mensual Solución Utilizamos esta formular S= A(1+i)^n Pero debemos definir m=12 por que el interés es mensual por lo tanto i/12 = 0.08/12 , luego n*=n*m ósea 20*12 Reemplazando valores: S=4.000*(1+0.08/12)^20*12 = 19.707.21 Para periodos de capitalización fraccionados: Cuando los periodos son expresados en años y meses la practica mas directa es dividir la fraccion de tiempo – meses, entre 12 y sumar al entero del año Si tuviéremos 2 años y 9 meses, para expresarlo en un solo numero efectuamos: Meses 9/12 0.75 Años 2


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Total de n=2.75 que es lo mismo que 2 años y 9 meses Ejemplo: Una deuda de 10.000 al 10% anual para 2 años y 9 meses calcular el valor final Solución: La aplicación de la tasa efectiva S= A(1+i)^n Pero debemos primero llevar todo a expresión ANUAL, es decir 2.75 años Luego reemplazamos: S= 10.000(1+0.1)^2.75 S=12.996.61


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Problemas

1. Después de 12 años un capital de Bs. 5000. Al interés anual de 8% ¿Que monto se obtendrá al final si la capitalización es del tipo semestral?

2. El Sr. Pérez invierte Bs. 30000.- a la tasa de mercado del 24% capitalizable mensualmente por un tiempo de 3 años. Hallar el monto sabiendo la tasa de mercado se modifica el ultimo año al 18%

3. Ud. Deposita en una cuenta de ahorro Bs. 20000. a una tasa de interés de 15% capitalizable mensualmente transcurridos el primer año la tasa de interés se incrementa al 24% …..por la que Ud. Decide incrementar su cuenta con un nuevo aporte de Bs. 10000. Hallar el importe que tendrá en su cuenta al final del cuarto año.

4. Usted deposita en una cuenta de ahorro Bs. 100.000 durante 3 años, el primer año la tasa de interés es del 15% m12 y los dos últimos años la tasa se incrementa al 18 % m12. Hallar el monto que tendrá en la cuenta al cabo de 3 años, sabiendo que al principio del segundo año hace un depósito adicional en la cuenta de 50.000.

5. La Srta. Gisela deposita Bs. 80.000 en una cuenta de ahorros que abona el 18% m6, transcurridos 2 años la tasa de interés se modifica al 15% m=12 . Hallar el monto que retira al cabo de 5 años de haber realizado el depósito.


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TEMA: INTERES COMPUESTO- ECUACIONES DE VALOR

Introducción Al igual que el análisis de ecuaciones de valor del interés simple, el interés compuesto también tiene sus características particulares. Si se tiene una deuda o pago a efectuarse en periodos futuros debemos analizar a través del siguiente esquema: Paso 1 Dibujamos, reconocemos cuáles son las deudas y cuáles son los

pagos. Debemos saber donde se encuentra la deuda: año 0, 2, 3….etc

Paso2 Escoger la fecha focal FF, = hay que homogenizar, actualizamos

a la izquierda y acumulamos a la derecha podemos recoger cualquier fecha.

Paso 3 Elaboramos la ecuación que significa llevar la deuda en la FF, se

utilizará formulas de matemática financiera. S = A (1 + in) Acumula 5 = A (1 + i)n

¿Simple s A = Actualiza A = S (1 + i)-n 1 + in Paso 4 Elaboramos la ecuación d valor en la FF. D = P = Sig. Ecuación Deuda = Ecuación de pagos.


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Si es ecuación de valor es de deuda y pago. A manera de ejemplo podemos practicar el siguiente problema: Ejemplo Una persona debe 10.000 a 2 años y 20.000 a 5 años, al final del 4to año conviene en liquidar la deuda al 8% semestral, cual es el valor del pago único: Solución: Conviene interpretar el problema a través de un diagrama de tiempo: 1 2 3 4 5 Periodos

___________________________________________ 10.000 P 20.000 Escogemos la fecha focal al 4to año, por lo tanto la expresión numérica de solución es: X=10.000*(1+0.08/2)^4 + 20.000*(1+0.08/2)^-2 1ro. 2do X= 11.698.59+18.41.12 X= 30.189.71 Para explicar los exponentes: 1ro. Es 2 debido a la diferencia que hay entre el pago de 2 años y el pago único de 4 años 2do. LA diferencia es de 1 por 2 periodos según la capitalización del interés.


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Problemas 1. El Sr. Blanco adquiere un vehículo a 2 pagos: el primero de bs. 30.000

dentro de 4 meses y el segundo de Bs. 20.000 dentro de 10 meses , al no haber cumplido estas obligaciones compromete cancelar con 2 cuotas iguales, el primero dentro de un año y el segundo dentro de un año y medio de haber adquirido el vehículo, sabiendo que la tasa es el 18% capitalizable mensual.

2. Usted adquiere un artefacto eléctrico al crédito, con una cuota inicial de 20.000 Bs. Y 2 cuotas de 4.000 Bs. Pagaderas, el primero dentro de 6 meses y el segundo dentro de un año. Transcurridos los 10 meses y al no haber pagado la primera cuota con viene con el acreedor cancelar su deuda con 2 pagos .El primero de 5000 al final del año y un segundo pago medio año mas tarde. Hallar el interés del último pago, si el interés es del 12% capitalizable mensual.

3. El Sr. Pérez contrae un deuda de Bs. 40000 pagaderos dentro de 8 meses a una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente. Deuda que decide pasar con 2 cuotas iguales, la primera dentro de 6 mese y la segunda dentro de un año. Hallar el interés de cuotas iguales a la tasa señalada.

4. El señor Pérez contrae una obligación de Bs. 60000 pagaderos dentro de 2 años y Bs. 40000 pagaderos dentro de 3 años. El señor Pérez analiza su situación y decide liquidar ambas obligaciones Con tres cuotas iguales pagaderas dentro de 6 meses,12 mese, 18 meses, al interés de 6%, capitalizable semestral.

5. El señor Blanco adquiere una maquinaria al crédito a 3 cuotas, el primero de 30000 pagaderos en 2 mese, el segundo de 40000 pagaderos dentro de 6 meses, y el último de 50000 pagaderos, dentro de un año. El Sr. Blanco decide liquidar esta deuda con 2 pagos iguales, el primero de 6 meses y el segundo dentro de 10 meses .Calcular el interés de cada uno …..nuevos pagos si la tasa aplicada es del 24% capitalizable mensual.

6. Una persona se compromete cancelar a otra la suma de Bs. 100000.- dentro de 5 años, a cambio de recibir Bs. 10000, en este momento Bs.30000 dentro de 2 años y una cantidad al final del cuarto año que permita que la operación sea equitativa para ambas partes. ¿A cuanto ascenderá la cantidad a pagarse el cuarto año se la tasa de interés es del 5% anual?


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7. Un cliente de un negocio tiene dos letras de cambio, la primera por Bs. 8000 con fecha de vencimiento 6 años y la otra por Bs. 5000 que vence dentro de 4 años. El cliente quiere liquidar las dos obligaciones con un solo pago dentro de 2 años ¿ Cuál será el monto de este si el dinero gana el 5% anual?

8. Una persona debe $10000 pagaderos dentro de 2 años y $20000 a 5 años plazo. Con su acreedor pacta efectuar un pago único al final de 3 años ala tasa del 8%, capitalizable semestralmente. Calcular el valor único del pago.

9. Calcular la fecha de vencimiento promedio del siguiente conjunto de obligaciones:$5000 a 2 años plazo, $6000 a 4 años plazo y $10000 a 5 años plazo, al tipo del 6% con capitalización anual.


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TEMA: RENTAS

1. INTRODUCCION

Hasta este momento hemos estudiado las operaciones de interés simple y compuesto, que son la base que permite analizar las rentas que son acumulaciones de capitales que se harán efectivos de acuerdo a vencimientos acordados, estos pueden ser variables o constantes, por eso que algunos autores prefieren denominarlos Anualidades, debemos aclarar que los pagos no siempre son anuales pueden efectuarse en sub-periodos. El esquema propuesto y que considero aplica para fines académicos es:

ANUALIDADES DE IMPOSICION

ANUALIDADES DE AMORTIZACION

Constantes Variable Constantes Variable

Inm

edia

tas

Dif

erid

as

Ant

icip

adas

Prog

resi

ón

arit

mét

ica

Prog

resi

ón

geom

étri

ca

Inm

edia

tas

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as

Ant

icip

adas

Prog

resi

ón

arit

mét

ica

Prog

resi

ón

geom

étri

ca

Ahora bien, los conceptos más básicos de anualidades son:

Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha que se debe de hacer el primer pago así como la fecha en que se realiza el último.


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Anualidad contingente: tanto la fecha del primer pago como la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas vitalicias que se otorgan cuando fallece el cónyuge, por lo que no se sabe cuando morirá. Cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una renta determinada a una cierta tasa de interés.

Anualidades generales. En esta el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de acuerdo con los pagos anualidad vencida: los pagos se realizan al periodo de vencimiento

Anualidad inmediata: Es el caso más común y la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente ala formación del trato

Anualidad diferida: Se pospone la realización de los cobros o pagos. Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse por ejemplo seis meses después de haber adquirido la mercancía.

2. Anualidad de IMPOSICION CONSTANTE INMEDIATA Y

VENCIDA La anualidad vencida, de imposición, constante e inmediata esta en función a un pago anual y tasa anual, por lo tanto su expresión grafica es:

Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10


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El grafico anterior demuestra que se obtiene la renta una vez concluido el periodo de tiempo definido con anticipación. Para llegar a la expresión numérica debemos entender que: S= A(1+i)^n-1 + A(1+i)^n-2 + A(1+i)^n-3…………………………….+ C Esto es una progresión geométrica por lo tanto la expresión resumida será para el valor final:

S= R (1+i) ^n -1 i

Nótese que R esta fuera de la expresión geométrica del interés y el tiempo, por lo tanto el significado es: S= Valor final R= Renta anual i= Tasa de interés n= Periodo de tiempo Pero el valor actual, será:

A= R * 1- (1+i) ^n i

Ejemplo: Se tiene que constituir un capital de $10.000 a 10 años al 5% anual, cual será la anualidad que debe depositarse para llegar a dicho capital? Solución: Aplicando: S= R (1+i) ^n -1 i Tenemos: 10.000= R (1+0.05)^10 -1 0.05 R= 795.04


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El resultado anterior podemos obtener de tablas, sin embargo con el uso intensivo de la tecnología no es necesario utilizar este procedimiento.

3. Anualidad de IMPOSICION CONSTANTE INMEDIATA ANTICIPADA

Ahora bien, la anualidad anticipada son pagos periódicos que se efectúan al inicio de la gestión o periodos, la forma grafica será: Por lo tanto, de nuestra primera igualdad solo cambia la posición del tiempo, debido a que una anualidad anticipada es al inicio de cada periodo. El siguiente es un resumen de las formulas de anualidades anticipadas y diferidas que nos ayudaran a comprender la aplicación practica.

Para el valor futuro es:

S= R * (1+i) ^n -1 * (1+i) i Para el valor presente la formula es:

A= R * 1- (1+i) ^-n * (1+i) i Ejemplo: Se tiene un capital de $10.000 a 10 años al 5% anual, cual será la anualidad que debe depositarse para llegar a dicho capital? Solución: Aplicando: A= R * 1- (1+i) ^n i

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10


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Tenemos: 10.000= R 1- (1+0.05)^10 0.05 R= 757.18 Ahora bien estos problemas son de carácter muy simple, y en nuestra economía existen complicaciones como la inflación, el IPC, riesgo país, etc., que pueden afectar significativamente proyectos de inversión o desarrollo al momento de evaluar su rentabilidad. La formula generalizada de rentas o anualidades con la inflación incluida es:

S= R ( 1+p)^n – (1+i)^n 1 - 1+i 1+p

Donde “p” es la inflación o factor de inflación. Ejemplo: Se desea constituir un capital de $10.000 a una tasa de 5% con inflación del 3%, en un periodo de 20 años, se desea conocer cuanto es la renta anual? Solucion:

S= R ( 1+p)^n – (1+i)^n 1 - 1+i 1+p

Reemplazando valores: 10.000 = R (1+0.03)^20 – (1+0.05)^20 1 - 1+0.05 1+0.03

R=229.19


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PROBLEMAS

1. Se depositan $ 150 pesos al final de cada mes en un banco que paga el 3 % mensual capitalizable cada mes, ¿cuál será el monto al finalizar un año? 2. El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y planea depositar $ 200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa de interés es del 27 % capitalizable mensualmente ¿cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?,¿cuánto se percibe por concepto de intereses? 3. Con referencia al ejemplo anterior, suponga que el depósito de $ 200 mensuales se efectúa únicamente por 5 años y el resto del tiempo se depositan $ 300 mensuales. Obtenga el monto final. 4. ¿Cuál es el valor presente de $ 350 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es del 28% capitalizable en forma trimestral? 5. Raquel desea jubilarse en este año, y cree que necesitará $ 5,000 cada mes durante los siguientes 15 años. Su banco le paga el 22% compuesto mensualmente.¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes? 6. Un distribuidor de automóviles ofreció a un cliente un coche nuevo mediante un pago inicial de $8,000 y 30 pagos mensuales de $ 2,866.66 cada uno. Si se carga una tasa de interés del 30 % capitalizable mensualmente, encuentre el valor de contado del automóvil. 7. El Sr. Jiménez recibió 3 ofertas para la compra de su propiedad, ubicada en Los Angeles, Cal. La primera consistía en $ 350,000 de contado. La segunda consistía en $ 100,000 dólares al contado y 10,200 dólares al mes durante 30 meses. La tercera oferta era de 10,498 dólares al mes durante 3 años, sin enganche. Tomando como base una tasa de interés del 0.6 % mensual convertible cada mes,¿ cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el Sr. Jiménez? 8. ¿Cuánto se tiene que depositar cada mes en una inversión que gana el 19 %, capitalizable mensualmente, para tener $ 75,000 al final de 4 años?


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9. Una compañía necesitará reponer una máquina dentro de 6 años, la cual, en ese momento tendrá un valor de desecho de $ 1,000 dólares. De acuerdo a los estudios realizados, se espera que la máquina cueste alrededor de $ 20,000 dólares y se decide establecer un fondo de amortización para cubrir el costo. Si se puede obtener el 8% capitalizable cada semestre,¿cuánto se tiene que depositar cada 6 meses para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil? 10. La Sra. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por 650 mil pesos. Ella escogió no tomar la cantidad de contado, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido al 22 % anual capitalizable cada mes, ¿qué cantidad recibirá cada mes la Sra. Aguilar? 11. Una familia compra un terreno que cuesta $ 80,000. Pagan un enganche del 10 % del precio de contado y obtienen una hipoteca a 5 años para pagar el resto al 27% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de los pagos mensuales? ¿A cuánto asciende el total de los intereses que pagarán? 12. ¿Cuántos depósitos mensuales de $ 145 cada uno se deben hacer para acumular un total de $ 3,464 si se ganan intereses del 1.83% mensual capitalizable cada mes? 13. Se desea formar un monto de $ 17,450.26 mediante depósitos cada dos meses vencidos de $ 430.23 cada uno. Calcular cuántos depósitos se deben hacer si se ganan intereses del 18.3% capitalizable cada bimestre. 14. ¿Cuántos pagos quincenales de $ 391.95 deberán hacerse para cancelar una deuda de $ 8,500, con el 27% de interés convertible cada quincena? 15. ¿Cuántos pagos mensuales de $ 105 cada uno debemos realizar para amortizar una deuda por $ 830 si se pagan intereses al 2.15% mensual capitalizable cada mes? 16. Tomás se ganó $ 950,000 pesos en la lotería. Piensa depositar este dinero en una inversión bancaria que le da el 24% compuesto cada mes e ir retirando $ 16,000 mensuales, con el fin de vivir un tiempo sin trabajar, hasta que el dinero se agote.¿Cuántos retiros podrá efectuar? 17. Laser Motors vende un automóvil modelo 1995, cuyo precio de contado es de $ 67,000, mediante un pago inicial de $ 8,700 y 24 mensualidades de $ 3,411.65 cada una. Obtenga la tasa nominal de interés que Laser Motors está cobrando, así como el interés total cobrado.


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18. Roberto ha depositado al final de cada mes $ 250 en una cuenta de ahorros. Al cabo de 2 años se tiene un monto de $ 7,801.84. ¿Qué tasa nominal, capitalizable mensualmente, ha ganado? 19. Obtenga la tasa efectiva para el ejemplo anterior. 20. Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? 21. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. 22. Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? 23. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente? 24. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? 25. Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente. Nota: suponga que para la serie de pagos aplica la misma tasa de interés. 26. Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000? 27. Una tienda vende un equipo completo de cómputo en $17,600, precio de contado. Se puede adquirir a crédito dando un pago inmediato de $ 1,874.70 y 11 mensualidades de $ 1,874.70. Calcule la tasa de interés si la capitalización es mensual. 28. Un automóvil se vende en $ 22,000 pidiendo $ 5,000 de enganche y 6 pagos de $ 2,000 al mes, así como un séptimo pago global final. Si la tasa de interés es del 28% capitalizable cada mes,¿cuál será el pago global final?


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29. El Dr. Silva desea reunir $ 30,000 con el propósito de realizar un viaje en compañía de su familia a Disney World, dentro de un año y medio. Con este fin invierte $ 1,417.40 cada mes, empezando de inmediato, en una cuenta de ahorros que le paga una tasa de interés del 1.68% mensual. El día que fue a depositar el noveno pago, se le informó que la tasa de interés bajó al 1.12% mensual.¿Qué cantidad deberá depositar cada mes, a partir de ese momento, con el fin de lograr acumular el monto deseado? 30. ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $ 1,447.42 cada uno, se deben hacer para acumular un monto de $ 10,000? La tasa de interés es del 10.98% semestral. 31. ¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $ 650.20 cada uno, deben hacerse para amortizar una deuda de $ 6,000 si hay que pagar intereses al 22% capitalizable cada mes? 32. Una tienda de artículos electrónicos ofrece una videocámara, cuyo precio de contado es de $4,785, en mensualidades anticipadas de $187.40 cada una. Encuentre el número de pagos mensuales, si se carga el 24.6% de interés compuesto cada mes. 33. El ingeniero Uribe deposita $ 450 a principios de cada mes en una cuenta de ahorros. Si la cuenta le paga un interés del 21.2% capitalizable cada mes,¿en cuánto tiempo logrará ahorrar $77,000? 34. Con el fin de construir un edificio, destinado a renta de oficinas, un inversionista obtiene un préstamo de $3’,450,000 que se va a liquidar en 36 pagos mensuales vencidos, después de un periodo de gracia de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la tasa de interés es del 27 % capitalizable mensualmente. 35. Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses. 36. Un padre de familia, en el día en que su hija cumpla 15 años, quiere saber qué cantidad de dinero tiene que depositar en una cuenta que le paga intereses al 18.35 % compuesto cada año, de tal forma que la hija reciba cada año $ 100,000 cuando cumpla 21,22,23,24 y 25 años , respectivamente. 37. El precio de contado de una casa es de $ 400,000. Se puede comprar a crédito, sin enganche, pagando $18,000 cada fin de mes. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de interés es del 2.8% mensual, calcular el número de pagos que deben hacerse y ajustar la mensualidad a la parte entera del resultado.


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38. El Sr. González tiene actualmente 50 años de edad y una compañíade seguros le presenta un plan de jubilación. este consiste en que mediante un pago inmediato de $ 87,689.80, la compañía ofrece pagar transcurridos 10 años, una renta de $ 10,000 al final de cada mes,, durante 15 años. Hallar la tasa de interés capitalizable cada mes que paga la compañía. 39. Una escuela compró 20 microcomputadoras el 26 de diciembre y see acuerda saldar la deuda mediante 12 pagos mensuales de $ 10,830, haciendo el primer pago el 26 de julio del siguiente año. Si después de realizar el octavo pago se dejan de realizar los siguientes tres,¿qué pago único se deberá hacer al vencer el último pago pactado originalmente para saldar completamente la deuda? La tasa de interés es del 30 % compuesto en forma mensual. 40. Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar $A y $S suponiendo un interés del 32% CT. 41. Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando A) la fecha focal hoy y B) la fecha focal en doce meses. 42. Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? 43. Se quiere comprar al crédito una camioneta cuyo precio cash es de $20000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de $5000 y el saldo a pagar en 24 mensualidades iguales con un interés mensual del 2%. Al preguntar el cliente a cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar, el vendedor le explica que ellas contienen una porción del capital y una porción del interés, por lo que procede a efectuar su cálculo de la siguiente manera: R = (15000 + 15000 * 0.02 * 24)/24 = 925 El cliente dubitativo se pregunta lo siguiente: a) ¿Cuál es el costo efectivo mensual de este crédito? b) ¿A cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar si, efectivamente, me estuviesen cobrando un interés mensual del 2%? 44. La empresa Valores S.A. contrae una deuda con el banco por $100000 pagaderos en 5 años trimestralmente a una tasa efectiva anual del 20%. Al finalizar el 2º año, luego de haber efectuado el


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pago correspondiente a dicho trimestre se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que a futuro sus cuotas de pago trimestrales asciendan sólo a 4000? c) ¿Afecta que al calcular el valor actual de una deuda consideren una TEA menor, por ejemplo, del 16%? 45. Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales de $5000, si el interés es de 36% convertible mensualmente. Calcular el valor actual. 46. Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos mensuales de $2500 si el interés que se gana es de 30% convertible semestralmente. 47. ¿Cuál es el monto y el valor actual de 24 pagos bimestrales de $4500 si el interés es del 5% trimestral? 48. ¿Qué pago quincenal es equivalente a uno trimestral de $2250, si el interés es del 22% capitalizable semestralmente? 49. Un empleado adquiere un seguro para su automóvil a través de la póliza grupal de la empresa donde trabaja. Si el valor de contado del seguro es de $5750, la póliza es vigente por un año y si aplica una tasa del 18% capitalizable mensualmente ¿Cuánto se le deberá descontar quincenalmente para cubrir los pagos? 50. Un empleado desea ahorrar $115000 en los próximos 2 años. Si puede hacer depósitos semanales en una cuenta que paga 1.25% mensual ¿Cuánto deberá depositar cada semana si se consideran 48 semanas al año?


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Anualidades de IMPOSICIÓN CONSTANTES DIFERIDAS Y VENCIDAS

Hasta aquí hemos visto lo simple del cálculo de rentas o anualidades, pero cuando son de imposición quiere decir depósitos efectuados después de k periodos al final, para ello solamente debemos incluir K en la variable del tiempo o periodos n, es decir:

S= R (1+i)^n-k -1

i Ejemplo:

Si deseamos constituir un fondo de ahorro de $1.000 cada periodo después de 1 año, durante lo próximos 10 años, la tasa de interés aplicada es de 5%, cual será el fondo al final de los 10 años? Solución:

Datos: R=1.000 i= 5% n=10 años + 1año son 11 años k= 1 año Luego: S= R (1+i)^n-k -1 = 1.000 (1+0.05)^11-1 -1 = 12.577.89

i 0.05

Anualidades en PROGRESIÓN ARITMÉTICA INMEDIATA Y VENCIDAS

Este tipo de anualidad es igual a las estudiadas hasta aquí, los pagos no son constantes sino que sufren algún incremento de carácter aritmético, ya sea al final o al principio de cada periodo.

La formula a ser aplicada es:

S= R (1+i)^n-k -1 +r (1+i)^n-1 -1

i i

Se debe sumar el resultado por cada periodo de la segunda parte de la formula.


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Ejemplo: Al cabo de 3 años se quiere conocer el fondo acumulado iniciando el pago con $1.000 e incrementa $500 cada uno, con interés anual del 5% Solución: Aplicamos la formula: S= R (1+i)^n -1 +r (1+i)^n-1 -1

i i Reemplazamos los valores identificados en el planteamiento: S= 1.000 (1+0.05)^3 -1 + 500 (1+0.05)^1 -1 + (1+0.05)^2 -1 0.05 0.05 0.05 S=5.254.1666+ 500*(1+2.05) S=6.779.166 La aplicación en sub periodos como meses o trimestres es de igual manera, solamente buscamos j=i/m Si la anualidad es anticipada entonces se aplica:

A= (1+i) R (1+i)^n -1 +r (1+i)^n-1 -1 i i

El procedimiento es el mismo, para valor final o valor actual, pero si las anualidades vencidas o anticipadas son variables se aplican el mismo criterio solamente se incluye la variable K en el tiempo, como sigue: Renta Diferida vencidas: Aplicamos la formula: S= R (1+i)^n-k -1 +r (1+i)^n-k-1 -1

i i Renta diferida anticipada Aplicamos la formula: A= (1+i) R (1+i)^n-k -1 +r (1+i)^n-1 -1

i i Pero las anualidades en progresión aritmética anticipada, sea esta vencida o anticipada es como sigue:


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Renta Diferida vencidas: Aplicamos la formula: S= R (1+i)^n+k -1 +r (1+i)^n+k-1 -1

i i Renta diferida anticipada Aplicamos la formula: A= (1+i) R (1+i)^n+k -1 +r (1+i)^n-1 -1

i i Nótese que solo cambia el signo en cuestión del periodo. Anualidades de IMPOSICIÓN VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INMEDIATA Y VENCIDA.

Como sabemos en cualquier progresión geométrica se denota con la variable “q” y la formula a ser aplicada es:

S= R q^n - (1+i)^n

q - (1+i) Siempre y cuando q>i y cuando i>q en ese caso la formula cambia :

S= R (1+i)^n - q^n (1+i) - q Ejemplo: El señor X quiere constituir un capital con $100 cada año durante los próximos 5 años, con la condición de que triplique, y reconocer un interés del 1% anual, cuanto llegara a recibir al cabo de los 5 años: Solución Aplicamos la formula siguiente

S= R q^n - (1+i)^n q - (1+i)

S=100 3^5 - (1+0.01)^5 3 - (1+0.01) S=8.146.99


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TEMA: RENTAS PERPETUAS

Introducción Las rentas se clasifican en perpetuas vencidas, anticipadas y diferidas, como lo mencionamos en capítulos anteriores, pero ahora incluiremos un el calculo de los costos capitalizados, la aplicación practica en la vida real es cuando se adquieren terrenos a perpetuidad, herencias, dividendos y otros La renta perpetua cuyo valor futuro es imposible de calcular debido a que los pagos perpetuos nunca terminaran. El valor de una renta perpetua actual, es pagadera al final de cada periodo, y las rentas perpetúas simples anticipadas, es cuando el pago es inmediato o anticipado. Las formulas son: Renta perpetua vencida: A= R * 1/i Renta perpetua anticipada A= R + R *1/i Renta perpetua con primer pago A= w + r * 1/i W= Es un pago distinto a los demás Ejemplos: Una persona deja en testamento que sus ahorros se invertirán en hospitales de modo que la perpetuidad cuya renta es de bs100.000 al final de cada año, si la tasa es del 8%, hallar el valor de dicha perpetuidad? Solución: A= R * 1/i A= 100.000 * 1/0.08 será A=1.250.000


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Ejemplo: Al fallecer una persona deja un legado a un sanatorio, estipulando asi: 600.000 para adquirir terrenos y 80.000 anuales para gastos operativos. Hallar el valor actual del legado si la tasa es del 8%? Solución

A= w + r * 1/i W= Es un pago distinto a los demás A=600.000 + 80.000* 1/0.08 A=1.600.000 COSTOS CAPITALIZADOS La palabra capitalizado es muy amplia, pero para fines financieros cuando hablamos de costos que se capitaliza en un activo es la suma del costo inicial, mas el valor presente de la renta necesaria para futuros pagos Formula:

K = C + S * 1

(1+i)^n -1 K= Costo capitalizable o valor actual C= Costo inicial S= Reposiciones (Mejoras, depreciación, adiciones, etc) Ejemplo: Cual es el costo capitalizado de una congelador que cuesta 80.000 y que tiene que ser reemplazado cada 15 años, a una tasa de 5% Solucion: K = C + S * 1 (1+i)^n -1 K= 80.000 + 80.000 * 1 / (1+0.05)^15 - 1 K=154.147.66


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Cuando no dan el dato de las reposiciones se asume que es el mismo costo inicial,

Ejemplo: Un puente fue construido con un costo de 250.000, la vida útil del puentes es de 20 años, cuyos costos de mantenimiento es de 95.000. Cual el costo capitalizable al13% de interés anual? Solución: K = C + S * 1 (1+i)^n -1 K=250.000 + 95.000 * 1/(1+0.13)^20 -1 K=259.027.77


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PROBLEMAS 1. La junta municipal del pueblo decide crear un fondo para proveer a

perpetuidad la reposición de un Puente de madera que costo 150.000, y se estima que debe reemplazarse cada 12 años, con un costo de 91.000. Hallar el valor que habrá que poner en el fondo para proveer los reemplazos futuros a la tasa del 7%.

2. Halla el valor actual de una perpetuidad mensual de 5.000 cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses a una tasa del 12% capitalizable mensualmente

3. Una mina de carbón produce un promedio de 10.000 por mes, cual es el valor actual que produce si la tasa es de 9% anual?

4. Cual es el monto capitalizado de una congeladora que cuesta 80.000 y que tiene que ser reemplazado cada 15 años al 5% anual

5. Una fabrica debe decidir por las siguientes alternativas: a) Comprar un motor de 22.000$ que dura 8 años b) Comprar un motor de 18.000$ que dura 11 años La empresa considera que los motores deben reemplazarse y el rendimiento de ambos es el mismo, a la tasa de interés del 14% Cual es la mejor alternativa?


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TEMA: ANUALIDADES CIERTAS

Introducción Hemos analizado hasta ahora los conceptos amplios de las características de las anualidades simples, mientras que las anualidades ciertas son aquellas cuyos periodos de pago y de capitalización no son iguales. Las anualidades generales o ciertas son aplicados en pólizas de seguros, cuyos beneficios del asegurado serán cancelados en pagos regulares dentro de un plazo determinado. Las compañías de seguros acreditan intereses a una tasa de interés anual o efectiva, y otras de carácter mensual. También las mutuales de ahorro realizan préstamos para vivienda u otro servicio, donde el interés anual es sobre saldos. El por que del nombre de anualidad cierta por que la anualidad tiene un numero fijo de pagos y no un numero incierto como rentas vitalicias que dependen de l existencia del asegurado. Por lo tanto la estrategia es convertir una anualidad cierta a una anualidad simple, cuyos principios básicos son: La tasa de interés debe ser equivalente Las anualidades de cualquier fecha deben ser iguales Para darles una idea mas objetiva veamos el siguiente problema: Ejemplo: Encontrar el valor actual de una anualidad vencida de 1.000 por año en un plazo de 5 años, si el dinero gana 4% capitalizable trimestralmente.


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Solución: Para encontrar la respuesta debemos analizar gráficamente el problema: Nos piden aquellos pagos trimestrales de una anualidad anual, entonces: 1.000 1.000 1.000 1.000 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 Años

w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w Cada año tiene 4 trimestre ósea 4 w, según planteamiento del problema Ahora bien: La expresión numérica o formula es: w * S= R (1+i)^n -1 / i = 1.000 a lo que es lo mismo w= ^1.000 * (R (1+i)^n -1 / i)-1 Lleva el signo negativo por que estaba multiplicando al pasar al lado derecho y por regla aritmética a^-1 = 1/a Por lo tanto el cálculo será: S= 1.000 * (1+0.01)^4-1 ^-1 * 1+0.01^20 -1 0.01 0.01 Nótese que se expone al factor 4 por que se pide por trimestre, y un año tiene 4 trimestres. Por lo tanto: S=5.422.86 Para el valor actual la figura es la misma A= 1.000 * 1- (1+0.01)^-4 ^-1 * 1- 1+0.01^- 20

0.01 0.01 A=4.444.28


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Para hacerlo más sencillo de explicar el valor W, puede ser sustituido por R, notación que conocemos de capítulos anteriores, para ello reemplazamos la formula anterior por: S= R (1+i)^n -1 ^-1 * (1+i)^n -1 i i A= R 1- (1+i)^n ^-1 * 1- (1+i)^n i i Otro problema Hallar el valor futuro y presente de un anualidad de 10.000 por año vencido durante 5 años, a una tasa del 8% convertible trimestralmente Solución: Lo primero es obtener el valor de R, para ello debemos aplicar la siguiente formula:

R= W * (1+i/m)^n*m -1

i/m En este caso W es la anualidad vencida R= 10.000(0.02/ (1.02^4 – 1 ) R=2.4126.25 Sabemos que j= i/m si i es 8% m es 4 trimestres Luego el valor final es: S=2.426.25* (1.02)^20 – 1 /0.02 S=58.951.20


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Para el valor actual A= 2.426.25* (1 – (1+0.02)^-20 / 0.02 A=39.672.46 Lo importante es manifestar con uniformidad las condiciones de las rentas, es decir llevarlo todo a una constante que permita resolver el problema con las formulas estudiadas hasta aquí. Pero que pasa si la evaluación de una anualidad vencida, cuando los periodos de conversión de intereses contienen un número determinado de intervalos de pago, nuestro cálculo tendrá que dar un giro. Veamos el siguiente problema: Encontrar el valor final y valor actual de una anualidad vencida de 100 por mes durante 2 años si el interés es del 3% capitalizable trimestralmente Solución: Para encontrar la respuesta veamos gráficamente: 100 100 100 100 ------------------ 1 año para 3% / 4 trimestres es 0.0075 w w w w Para ello reemplazamos en nuestra formulas conocidas, y tenemos lo siguiente: S= R (1+i)^n -1 ^-1 * (1+i)^n -1 i i La diferencia es que n= tiempo se expresa en 1/3 que es la expresión de tiempo de trimestres VENCIDOS en el año S= 100 * (1+0.0075)^1/3 -1 * 1.0075^8 -1

0.75 0.0075 S=2.470.10


46

Para el valor actual lo mismo A= R 1- (1+i)^n ^-1 * 1- (1+i)^n i i A= 100 * 1- (1+0.0075)^1/3 -1 * 1 -1.0075^8

0.76 0.0075

A=2.326.78


47

PROBLEMAS

1. Encontrar el valor actual del monto acumulado del $200 pagaderos al final de cada año durante un plazo de 5 años si el dinero gana un 0.06% m=4

2. Encontramos el valor actual y el monto acumulado de una anualidad de $75 por mes durante cuatro año si el interés corresponde, al 0.06% m=2.

3. Un fondo de $ 10.000 tiene que acumularse mediante depósitos uniformes al fin de cada año por un lapso de 15 años. ¿Si este fondo se acumula con interés a razón de cada año por un lapso de 15 años? Si este fondo se acumula al 6%, capitalizable semestralmente, ¿Cual será la cuanta de estos depósitos?

4. Un hombre invierte $500 al finalizar cada trimestre por un lapso de 7 años. ¿Cuánto habrá acumulado al finalizar ese plazo de tiempo si este fondo se va acumulando con interés a razón de un 5% capitalizable anualmente?

5. Una deuda de $7.000 será cancelada mediante la realización de pagos iguales al fin de cada u7no de los subsiguientes 6 semestres por el lapso de 7 años. ¿Encontrar el valor de cada pago semestral si el dinero gana un 4% capitalizable trimestralmente?

6. ¿Qué deposito mensual deberá ejecutarse por un lapso de 8 años si desea acumular un fondo de $4.500 al fin de es periodo, si se acreditan interés a razón del 2 ½ % capitalizable semestralmente?

7. Un alumno millonario desea contribuir con su universidad donando un fondo para becas que pagara $ 500 al finalizar cada año y para siempre a partir de la fecha. Si los fondos se los invierte a la taza del 31/2 %, capitalizable trimestralmente, a cuanto deberá alcanzar la donación a ser ejecutada.

8. Un grupo de mendigos debidamente organizados resabiara $2.000 mensuales mediante contribuciones del gobierno, y por tiempo indefinido. Si el dinero se lo invierte al 3% capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el valor actual de estos pagos?

9. Un individuo se comprometió a pagar 4250 por trimestre durante 5 años, el realizo los primeros cuatro pagos, y no pudo realizar los siguientes tres pagos y en la fecha del 8vo pago, se compromete a cancelar el total de su deuda. ¿Cuánto deberá apagar en esa oportunidad, si el dinero gana un 5% capitalizable semestralmente?

10. Encontrar el valor actual y el monto acumulado de $1.000 anuales lapso de 7 años, si el dinero gana un interés del 2% capitalizable mensualmente’


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11. Encontrar el valor actual y el monto acumulado de $ 50 mensuales por

lapso de 5 años, si consideramos que el dinero gana un 41/2 %. 12. ¿Encontrar el valor actual y el monto acumulado $100 mensuales, por

un período se 6 años, si le dinero gana un 4% capitalizable semestralmente?

13. Encontrar el valor actual y el monto acumulado de un anualidad de $1.250 pagaderos al final de cada año durante ocho años, a la tasa de interés es del 5% capitalizable semestralmente

14. Encontrar el valor actual y el monto acumulado de una anualidad de $2.000 pagadera al final de cada año durante 10 años si el dinero gana un 3% capitalizable trimestralmente

15. ¿Cuánto deberá depositarse al final de cada trimestre para acumula

la suma de $8.000 en un plazo de 5 años si el dinero gana un 4% capitalizable semestralmente?

16. Una persona se compra una casa después de pagar la cuota inicial todavía queda debiendo $12.500. El va a cancelar esta obligación mediante pagos mensuales iguales durante 15 años. ¿Si la tasa de interés es del 41/2%, capitalizable semestralmente, cual Será la cuantía de cada pago?

17. Un fondo de $5.000 se invierte al 4%, capitalizable semestralmente. Se deja inmovilizado este fondo por lapso de 8 años y luego se efectuan retiros mediante 5 anualidades anuales e iguales. Se desea encontrar el valor de cada una de estas anualidades.

18. Un individuo desea donar una cama para beneficiar a un hospital. Si el costo de la misma es de $100 mensuales, ¿Cuánto deberá donar se el dinero gana un 3%?

19. Un filantrópico dona $500.000a una institución caritativa. ¿Con que ingreso mensual contara la institución si el dinero lo invierte a la tasa nominal del 21/2%, capitalizable semestralmente? ($1.036,28)

20. Un individuo desea establecer la provisión para un premio anual de $200 para un examen de competencia sujeto a cláusula específica. Cuánto dinero se requerirá para este objeto si el dinero puede invertirse al 21/2%, capitalizable mensualmente.


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TEMA: ANUALIDADES DE AMORTIZACION

Introducción Las anualidades de amortización a igual que las anualidades de imposición son constantes y variables, a la vez que son inmediatas, diferidas y anticipadas, por otro lado las variables son en progresión aritmética y geométrica. La aplicación de las anualidades de amortización constante, inmediata y vencida, cuya formula es:

A = R(1+i)^n -1 i(1+i)^n

Si fuera al principio del periodo A= (1+i) R (1+i)^n -1

i(1+i)^n Cuya aplicación la vimos en clases para el cálculo del Valor Actual Neto (VAN) Ejemplo: Se tiene una deuda de 500.000 pagadera a 5 años, a la tasa de interés 5%, los pagos son constantes cada fin de año. Cual será el pago anual que debe hacer? Solución: Aplicando la formula: S = R(1+i)^n -1

i(1+i)^n


50

Tenemos: 500.000= R (1.05)^5 -1 (1.05)^5 * 0.05 R=115.487.40 Si fuera al inicio aplicamos la formula siguiente:

A= (1+i) R (1+i)^n -1 i(1+i)^n

500.000= (1.05) * R (1.05)^5 -1 (1.05)^5 * 0.05

R=109.988 Ahora si las anualidades de amortización DIFERIDAS constantes, anticipadas y vencidas se resuelven bajo las siguientes formulas: A= R (1+i)^n+k -1 i(1+i)^n A= R (1+i) *(1+i)^n+k -1

i(1+i)^n Notese que solo cambia o se incluye el factor K, que representa el periodo que es el inicio de la amortización Ejemplos: Una plantación de café depende de un préstamo bancario de 500.000 que debe comenzar amortizar en tres años, calcular la anualidad para que el préstamo quede pagado después de 7 años a la tasa del 6% anual.


51

Solución Aplicando la formula A= R (1+i)^n+k -1 i(1+i)^n Tenemos lo siguiente: 500.000= R (1+0.06) ^7-3 -1 0.06(1+0.06)^7

R=171.858.54 Nos toca analizar las Anualidades de amortización, variables en progresión aritmética y vencidas, significa cambios por incremento en los pagos o rentas, las formulas a ser aplicadas son:

S= R (1+i)^n -1 + r (1+i)^n-1 * (1+i)^-n

(1+i)^n (1+i)^n Ejemplo Deseamos cancelar una deuda de 10.000 con la condición de que cada pago debe incrementarse en 200 los próximos 3 años a una tasa del 3% mensual. Cuales serán las cuotas mensuales a pagar? Solucion: Aplicamos la siguiente formula:

S= R (1+i)^n -1 + r (1+i)^n-1 * (1+i)^-n (1+i)^n (1+i)^n Para ello debemos analizar el por que de la misma: La deuda es de S=10.000 n=3años r= 200 i=3% R=? Reemplazando en la formula y efectuando cálculos paso a paso:


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10.000= R (1+0.03)^3 - 1 + A 0.03(1.03)^3 Año 1 (1.03)^1-1 / 0.03 = 1 Año 2 (1.03)^2-1 / 0.03 = 2.03

Año 3 (1.03)^3-1 / 0.03 = 3.0909 6.1209

Por lo tanto tenemos la siguiente expresión numérica

10.000= R (1+0.03)^8 - 1 + 200*(6.1209)* (1+0.03)^ 3-1 0.03(1.03)^8

10.000=R *2.828611355 + 1.298.73

10.000-1298.73 /2.82861135 R=3.076.16 Pero si el planteamiento fuera con la condición de ser ANTICIPADA, nuestra nueva formula será:

S= R (1+i) * (1+i)^n -1 + r (1+i)^n-1 * (1+i)^-n (1+i)^n (1+i)^n Anualidades de AMORTIZACION VARIABLES EN PROGRESION GEOMETRICA INMEDIATAS Y VENCIDAS Al igual que aquellas anualidades de IMPOSICION las de amortización responden a la variable q como medida de incremento geométrico, y las formulas son:

S= R q^n -(1+i)^n * (1+i)n-1 q – (1+i)


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Ejemplo: Se tiene una deuda de 5.000 a pagarse dentro de 5 meses con la condición que cada cuota se duplique en cada pago, la tasa de interés es de 5% mensual, determinar cuanto se debe cada mes? Solución:

S= R q^n -(1+i)^n * (1+i)n-1 q – (1+i)

5.000= R 2^5 - (1+0.05)^5 * (1.05)^5-1 2- (1.05) 5.000= R 39.3103135 R=127.19 Si fuera anticipada, solo cambiaria en la formula lo siguiente:

S= R (1+i) q^n -(1+i)^n * (1+i)n-1 q – (1+i)


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Problemas:

1. Se adquiere una deuda de 400.000 a ser pagodas en 5 años mediante pagos constantes cada fin de año, a la tasa del 5%. Cual será el pago anual que debe hacer?

2. Al ejemplo anterior le cambiamos que el pago es anticipado, cual será el pago anual?

3. Una industria de Vinos realiza un préstamo del banco sobre la plantación y futura cosecha de $200.000 a ser amortizado dentro de 4 años, a la tasa del 6%, calcular la anualidad para que la deuda quede pagada después de 7 años

4. Una deuda de $70.000 se comienza a amortizar 3 años antes de su concesión, mediante pagos anuales que en total duran 10 años, calcular la cuota anual si la tasa es del 5%

5. Al ejemplo anterior le cambiamos la condición de los pagos a realizar anticipadamente

6. Una deuda de 80.000 se debe cancelar bajo la condición de incrementarse en 400 a una tasa del 4% los próximos 5 años, cual será la cuota periódica?

7. Para el problema anterior cual será el resultado si es Anticipada la cuota?

8. Una deuda de 4.000 se debe pagar en 10 años, con la condición de que la cuota se triplique en cada pago, a la tasa de interés del 5%, determinar cuanto debe ser la cuota?

9. Al problema anterior que pasa si es anticipada 10. Una deuda de 8.000 se debe pagar en 10 años, con la condición de

que la cuota se triplique en cada pago, a la tasa de interés del 15%, determinar cuanto debe ser la cuota?, y que pasa si es anticipada?


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TEMA: SISTEMAS DE AMORTIZACION

Introducción

Existen varios sistemas de amortización, los más comunes son el sistema Francés, el sistema Alemán y el sistema Americano. El Sistema Francés: las cuotas (capital + intereses) son iguales y consecutivas. En este sistema al comienzo del crédito se paga una proporción mayor de interés y menor de capital, esta proporción se va invirtiendo a lo largo de la cancelación del crédito pasando a abonar desde una determinada cuota en adelante más capital que interés. Cuando mas alta sea la tasa de interés menor será la proporción de capital que se cancele en la primera cuota. En el Sistema Alemán las cuotas (capital + intereses) son decrecientes y consecutivas. Estas van disminuyendo a lo largo del crédito, donde el monto del capital a cancelar por cada una de las cuotas se mantiene constante y el interés disminuye a lo largo del período del crédito. Este sistema a tasa y plazos iguales presenta unas cuotas iniciales mas alta, pero es ideal para los que a futuro quieran realizar cancelaciones anticipadas. En ambos sistemas de amortización los intereses se aplican sobre el saldo del capital adeudado por eso el sistema Alemán abona un total de interés levemente menor que el sistema Francés, disminuyendo aun mas si se realizan cancelaciones anticipadas. El sistema americano SINKIND FUND es específicamente para movimientos económicos altos.

La construcción de tablas de amortización hoy en día están automatizadas, la aplicación de cualquier método depende de cada tipo de crédito, plazo, tasa de interés y otros elementos que la institución financiera opte por conveniente.

El objetivo de este capitulo es mostrar las diferencias de cada sistema y su aplicación.


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Concepto de préstamo

El préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En ella, un prestamista entrega una cantidad de dinero a otra llamada prestatario que recibe y compromete a devolver el capital prestado en plazos pactado y pagar intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos señalados en el contrato.

Sistemas de amortización

Según la finalidad a la que se destinen los términos de amortización

a) Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal al final de la operación.

• Sin pago periódico de intereses: préstamo simple. • Con pago periódico de intereses: sistema americano.

b) Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos que constituyan renta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortización) con vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con los intereses.

Según la cuantía de los términos podemos distinguir los siguientes casos:

• Constantes. • Variables • Constante.

– Términos variables en progresión geométrica. – Términos variables en progresión aritmética.

Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada período.

A continuación estudiaremos los sistemas más comunes


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Método Francés

Este sistema de amortización se caracteriza porque:

• Los términos permanecen constantes, y • El tanto de valoración permanece constante.

Ambos durante toda la vida del préstamo.

De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el préstamo es el siguiente:

Se tiene una deuda de 8.000 que se cancelara en 5 años a la tasa de 5%, calcular los pagos a través de un fondo de amortización

Para ello debemos encontrar la cuota anual, a través de:

8.000 = R (1+0.05)^5 -1 (1.05)^5* 0.05

R=1.847.80


58

Tabla de amortización:

Periodo Monto Cuota anual Interes

Capital menos interes

Saldo acumulado

A B C=A*i D=B-C E=D+E0 8,000.00 1 6,552.20 1,847.80 400.00 1,447.80 1,447.80 2 5,032.01 1,847.80 327.61 1,520.19 2,967.99 3 3,435.81 1,847.80 251.60 1,596.20 4,564.19 4 1,759.80 1,847.80 171.79 1,676.01 6,240.20 5 -0.01 1,847.80 87.99 1,759.81 8,000.01

Para calcular el pago del interés se multiplicada cada periodo el Monto por la tasa de interés

La cuota fija permanece constante

El saldo acumulado es la suma de saldo acumulado periodo anterior y el pago a capital menos interés

En el sistema francés, se mantiene constante la cuota total variando la proporción de capital e intereses de cada cuota.

Sistema alemán

Para obtener la cuota en el sistema alemán. Tal como se indicara la cuota total se descompone en “amortización” e “interés”.

Cuota Total: Amortización de Capital + Interés La forma rápida y sencilla de calcular la amortización de capital en el Sistema Alemán es dividir el préstamo total por la cantidad de cuotas en las cuales se lo amortizará.

Amortización de Capital: Monto original prestado Cantidad de cuotas


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En general en nuestro medio el sistema financiero suele pactarse una tasa denominada "Tasa Nominal Anual" (TNA) y una frecuencia de pago de tipo mensual. Para convertir la TNA a base mensual ("Tasa Efectiva Mensual" - TEM)) TEM: TNA * 30 360 Efectos de la Inflación En los créditos a plazos cortos las tasas de interés suelen ser fijas, pero cuando los plazos se alargan en general se utilizan tasas variables. Una tasa de interés variable (suponiendo que las tasas nominales incorporan la inflación esperada, manteniendo constante la tasa de interés real) asegura al acreedor, dentro de ciertos límites que podrá mantener constante el valor del capital La utilización de las tasas variables no plantea mayores dificultades desde el punto de vista financiero, si bien requiere un mayor "costo de administración" para el acreedor. Donde si existe una desventaja es que en contextos de alta inflación o de inestabilidad financiera la variabilidad de las tasas de referencia induce cambios importantes en las cuotas, con la consiguiente incertidumbre de los deudores. Finalmente los sistemas de amortización fijos tanto en capital como en intereses son completamente inadecuados si la inflación esperada es significativa, ya que al estar pactados de antemano los pagos en concepto de intereses si la inflación es elevada el acreedor sufrirá modificaciones sustanciales en su capital


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Ejemplo - Sistema FRANCES Datos: Préstamo de 40.000 Plazo : 30 meses Tasa de interés 12%

Cuota N° Cuota Total

1 = 2+3 Amortización de Capital

2 Intereses

3 Saldo al final del período

4(saldo anterior - 2) 1 1.549,92 1.149,92 400,00 38.850 2 1.549,92 1.161,42 388,50 37.689 3 1.549,92 1.173,04 376,89 36.516 4 1.549,92 1.184,77 365,16 35.331 5 1.549,92 1.196,62 353,31 34.134 6 1.549,92 1.208,58 341,34 32.926 7 1.549,92 1.220,67 329,26 31.705 8 1.549,92 1.232,87 317,05 30.472 9 1.549,92 1.245,20 304,72 29.227 10 1.549,92 1.257,66 292,27 27.969 11 1.549,92 1.270,23 279,69 26.699 12 1.549,92 1.282,93 266,99 25.416 13 1.549,92 1.295,76 254,16 24.120 14 1.549,92 1.308,72 241,20 22.812 15 1.549,92 1.321,81 228,12 21.490 16 1.549,92 1.335,03 214,90 20.155 17 1.549,92 1.348,38 201,55 18.806 18 1.549,92 1.361,86 188,06 17.445 19 1.549,92 1.375,48 174,45 16.069 20 1.549,92 1.389,23 160,69 14.680 21 1.549,92 1.403,13 146,80 13.277 22 1.549,92 1.417,16 132,77 11.860 23 1.549,92 1.431,33 118,60 10.428 24 1.549,92 1.445,64 104,28 8.983 25 1.549,92 1.460,10 89,83 7.522 26 1.549,92 1.474,70 75,22 6.048 27 1.549,92 1.489,45 60,48 4.558 28 1.549,92 1.504,34 45,58 3.054 29 1.549,92 1.519,38 30,54 1.535 30 1.549,92 1.534,58 15,35 0

En el sistema de amortización Francés las cuotas (capital + intereses) son iguales y

consecutivas

Sistema Francés

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5

Capital

Interés


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Ejemplo - Sistema ALEMAN DATOS: Préstamo 40.000 Plazo: 30 meses Tasa de interés 12%

Cuota N° Cuota Total

1 = 2+3 Amortización de Capital

2 Intereses

3 Saldo al final del período

4(saldo anterior - 2) 1 1.733,33 1.333,33 400,00 38.667 2 1.720,00 1.333,33 386,67 37.333 3 1.706,67 1.333,33 373,33 36.000 4 1.693,33 1.333,33 360,00 34.667 5 1.680,00 1.333,33 346,67 33.333 6 1.666,67 1.333,33 333,33 32.000 7 1.653,33 1.333,33 320,00 30.667 8 1.640,00 1.333,33 306,67 29.333 9 1.626,67 1.333,33 293,33 28.000 10 1.613,33 1.333,33 280,00 26.667 11 1.600,00 1.333,33 266,67 25.333 12 1.586,67 1.333,33 253,33 24.000 13 1.573,33 1.333,33 240,00 22.667 14 1.560,00 1.333,33 226,67 21.333 15 1.546,67 1.333,33 213,33 20.000 16 1.533,33 1.333,33 200,00 18.667 17 1.520,00 1.333,33 186,67 17.333 18 1.506,67 1.333,33 173,33 16.000 19 1.493,33 1.333,33 160,00 14.667 20 1.480,00 1.333,33 146,67 13.333 21 1.466,67 1.333,33 133,33 12.000 22 1.453,33 1.333,33 120,00 10.667 23 1.440,00 1.333,33 106,67 9.333 24 1.426,67 1.333,33 93,33 8.000 25 1.413,33 1.333,33 80,00 6.667 26 1.400,00 1.333,33 66,67 5.333 27 1.386,67 1.333,33 53,33 4.000 28 1.373,33 1.333,33 40,00 2.667 29 1.360,00 1.333,33 26,67 1.333 30 1.346,67 1.333,33 13,33 0

En el sistema de amortización Alemán las cuotas (capital + intereses) son decrecientes y

consecutivas

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5

Intereses

Capital


62

Sistema Americano – SINKIND FUND

También se le conoce con el nombre de sistema de amortización con fondo de amortización. Este sistema de amortización consiste en el pago periódico de los intereses al prestamista (préstamo americano), y al mismo tiempo una aportación a un fondo para construir un capital, con el que cancelar el principal del préstamo americano a su vencimiento. Al mismo tiempo que se contrata el préstamo americano se abre un fondo asociado al préstamo. De esta forma, el prestatario de la operación de amortización se le considera deudor en el préstamo americano y acreedor en fondo que está constituyendo para devolver el préstamo.

Por tanto, los pagos a satisfacer por el prestatario pueden calcularse como suma de dos conceptos:

a. Los intereses de un préstamo de cuantía al tanto de interés (constante o variable) estipulado en el contrato de préstamo, que serán siempre del mismo importe

b. La aportación periódica a un fondo de una cuantía tal que invertida al tanto del fondo generalmente menor que i, reproduzca al final de la vida del préstamo el capital que tiene que entregar al prestamista.

Ejemplo:

Una empresa adeuda 10.000 a una tasa del 5% anual en 5 años, aplicar el sistema americano para conocer las diferencias.

Solución:

Primero debemos conocer la cuota anual fija

10.000= R (1+0.05)^5 -1

(1.05)^5* 0.05

R=2.309

La tabla de amortización será:


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Tabla de amortización

Periodo MontoCuota

fijaPago de la deuda

valor actual

Interes pagado

Saldo acumulado

A B C=A*i D=B-C E F=E+D+F0 10,000.00 1 2,309 500 1,809 - 1,809.00 2 2,309 500 1,809 90.45 3,708.45 3 2,309 500 1,809 185.42 5,702.87 4 2,309 500 1,809 285.14 7,797.01 5 2,309 500 1,809 395.85 10,001.86

11,545 2,500 9,045 957

El cálculo del interés es como sigue:

Valor actual * i , 1.809*0.05

Para el año 2, será: ((1.05)^2 -1 /0.05)*90.45=185.42

Adjunto encontraras una hoja electrónica que te permitirá calcular interés simple, interés compuesto y la preparación de tablas de amortización que incluye gráficos de intereses y pagos a capital.


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FORMULAS

Interés simple I=A*I*N

S = A(1 + I*N)

I=S-A

Descuento simple A = S (1 – d* n) Siempre y cuando i ≥ d D=S-A

Interés compuesto S= A(1+i)^n A = S (1 + i)-n Si la tasa nominal es: S= A(1+i/m^n*m m= Sub periodos

ANUALIDADES DE IMPOSICION

Anualidad de imposición inmediata constante y vencida

S=R (1 + I)N-1 I A=R 1-(1+ I )-N-1 I

Anualidad de imposición inmediata, constante y anticipada

S=R (1+i) * (1 + i)n-1 i A=R (1+i) * 1-(1+ i )-n-1 i

Anualidad constante, diferida y vencida S= R (1+ i )n-k-1 i

Anualidad constante diferida y anticipada S= R (1+i) * (1+ i )n-k-1 i

Anualidad variable en progresión aritmética inmediata y vencida

S=R (1 + i)n-1 + r (1 + i)n-1-1 i i

Anualidad variable en progresión aritmética inmediata y anticipada

S=R (1+i) (1 + i)n-1 + r (1 + i)n-1-1 i i


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Anualidad variable en progresión geométrica diferida vencida

S=R (1 + i)nk-1 + r (1 + i)n+k-1 i i

Anualidad variable en progresión geométrica diferida anticipada

S=R (1+i) (1 + i)n+K-1 + r (1 + i)n+K-1-1 i i

Anualidad de imposición variable en progresión geométrica inmediata y vencida

S=R * qn –(1+ i)n

q-(1+ i) Siempre y cuando q>i o i>q S= R (1+ i)n -qn

(1+ i) – q Anualidad de imposición variable en progresión geométrica inmediata y anticipada

S=R *(1+i) qn –(1+ i)n

q-(1+ i) Siempre y cuando q>i o i>q S= R (1+i) (1+ i)n -qn

(1+ i) – q Anualidad de imposición variable en progresión geométrica diferida vencida

S=R qn-k – (1+ i)n-k q – (1+ i)

Anualidad de imposición variable en progresión geométrica diferida anticipada

S=R (1+i) qn-k – (1+ i)n-k q – (1+ i)

Anualidad de imposición variable en progresión geométrica anticipada vencida

S=R qn+k – (1+ i)n+k q – (1+ i)

ANUALIDADES DE AMORTIZACION

Anualidades de amortización constante, inmediata y vencida

A = R(1+i)^n -1 i(1+i)^n

Anualidades de amortización constante, inmediata y anticipada

A= (1+i) R (1+i)^n -1 i(1+i)^n

Anualidades de amortización diferidas constantes, anticipadas

A= R (1+i) *(1+i)^n+k -1 i(1+i)^n

Anualidades de amortización, variables en progresión aritmética y vencidas

S= R (1+i)^n -1 + r (1+i)^n-1 * (1+i)^-n (1+i)^n (1+i)^n


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GLOSARIO DE TERMINOS

Amortización: Acción de redimir o extinguir el capital de un censo, préstamo u otra deuda. Anualidad: Importe anual de una renta o carga periódica, como la de amortización o la de capitalización. Anualidades constantes: El importe de una renta o carga periódica que no varía en el transcurso del tiempo. Anualidades variables: El importe de una renta o carga periódica que va variando en el transcurso del tiempo. Acciones: Cada una de las partes alícuotas en que se divide el capital de una sociedad anónima. Alquiler: Precio en que se alquila algo. Anual: De un año. Anualidad: Importe anual de una renta o carga periódica, como la de amortización o la de capitalización. Beneficio: Diferencia ingresos y gastos. Beneficio neto: Beneficio después de impuestos. Cotizar: Pagar una cuota. Cupón: Elemento que forma parte de un valor mobiliario a través del que se puede ejercer el derecho que le corresponde. Caja de ahorros: Entidad financiera con fines lucrativos y sociales. Comisión: Cuantía pagada por la labor de intermediación. Compra: Adquisición de un bien, servicio u obligación a cambio de un pago. Comprador: El que compra. Corretaje: Comisión pagada a los corredores o intermediarios por su intervención en una operación. Descuento: Procedimiento financiero que consiste en la venta de particulares a entidades financieras de efectos comerciales. Descuento racional: Deudor: El que tiene una deuda. Efectivo: Monedas y billetes de banco en manos de personas físicas o jurídicas. Efecto comercial: Valor utilizado en las operaciones de comercio por el que a favor del tenedor se incorpora un derecho a crédito y a cargo del deudor una obligación futura de pago. Entidad financiera: Corporación bancaria (bancos y cajas de ahorros). Deposito: Fondos ingresados en una institución de crédito por un cliente para la obtención de intereses. Deudor: El que está obligado a satisfacer una deuda. Devengo: Momento en que nace la obligación de pagar.


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Disponibilidad: Conjunto de fondos o bienes disponibles en un momento dado. Empresa: Unidad económica que organiza la producción de bienes y servicios. Excedentes: Cantidad de mercancías o dinero que sobrepasa las previsiones de producción o de demanda. Fecha de disponibilidad: Momento en el que se dispone de algo. Fraccionamiento de pago: División de una cantidad única en varias. Franquicia: Concesión de derechos de explotación de un producto, actividad o nombre comercial, otorgada por una empresa a una o varias personas en una zona determinada. Inflación: Crecimiento generalizado y continuo de los precios de los bienes y servicios a lo largo del tiempo. Interés: Pago por el uso de capital ajeno. Cobro por la prestación de capital. Interés anual: Pago por el uso de capital ajeno en un año o cobro por la prestación de capital en un año. Interés compuesto: Los intereses se van acumulando. Interés simple: Los intereses no se van acumulando. Interés subanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo inferior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo inferior a un año. Interés superanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo superior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo superior a un año. Inversión: Desembolso de dinero utilizado para la compra de bienes de producción destinados a obtener un beneficio. Inversión financiera: Capacidad de poder satisfacer las obligaciones contraídas. Inversor: El que invierte. Liquidez: Relación entre el conjunto de dinero en caja y de bienes fácilmente convertibles en dinero, y el total del activo, de un banco u otra entidad. Montante: Importe, cuantía. Operaciones combinadas: Operaciones que utilizan interés simple y compuesto. Periodo subanual: Espacio de tiempo inferior al año. Periodo superanual: Espacio de tiempo superior al año. Prestación: Renta, tributo o servicio pagadero al señor, al propietario o a alguna entidad corporativa. Prestamista: El que realiza el préstamo.


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Préstamo: Contrato mediante el cual un particular se obliga a devolver el dinero que le ha sido prestado. Pensión: Cantidad periódica, temporal o vitalicia, que la se paga por razón de jubilación, viudedad, orfandad, incapacidad... Plazo fijo: Inversión fija en un periodo de tiempo. Prestatario: El que recibe el préstamo. Previsión de ventas: Ventas que se estiman para un periodo venidero. Progresión aritmética: Rentas en la que la ley de sus término viene expresada: aj=a1+(j−1)d. Progresión geométrica: Rentas en las que la ley de sus términos viene expresada: aj=a1*rj−1 para su término general. Productividad: Relación entre lo producido y los medios empleados, tales como mano de obra, materiales, energía, etc. T.A.E.: Tasa anual efectiva. Tipo de interés o tasa: Remuneración recibida por los ahorradores a cambio de prestar sus fondos a quien los necesita. Tenedor: Persona que tiene o posee algo, especialmente la que posee legítimamente alguna letra de cambio u otro valor endosable. Tesorería: Parte del activo de un comerciante disponible en metálico o fácilmente realizable. Tomador: Persona a la orden de quien se gira una letra de cambio. Valor efectivo: Valor que tendrían en este momento los efectos o valores en cuestión si se procediera a su venta o negociación. Valor nominal: Importe que representa el valor del activo financiero y que aparece en él aunque no tiene por qué ser su valor real. Vencimiento: Cumplimiento del plazo de una deuda, de una obligación, etc. Vencimiento medio: Se caracteriza por una condición optativa complementaria, que consiste en la igualdad de los nominales. Venta: Cesión de un bien, derecho u obligación a cambio de un cobro. Reintegro: Pago de un dinero o especie que se debe. Reinvertir: Volver a invertir un capital. Renta: Toda distribución o conjunto de capitales financieros con vencimientos equidistantes en el tiempo. Renta constante: Renta que tiene igualdad de las cuantías de sus términos. Renta diferida: El primer vencimiento ocurre dentro del periodo de diferimiento o carencia. Renta perpetua: Aquella en la que el número de términos es ilimitado. Renta postpagable: Que se pagan después del devengo. Renta prepagable: Que se pagan antes del devengo. Renta subanual: Sus términos sucesivos vencen por subperiodos (meses, trimestres, etc...)


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Renta superanual: Sus términos sucesivos vencen por superperiodos (bienios, trienios, etc...) Renta temporal: Aquella en la que el número de términos es limitado. Renta unitaria: Aquella que vence en un solo pago o cobro. Semestral: De seis meses. Sociedad: Acuerdo por el que dos o más personas se obligan a poner en común dinero bienes o industria con ánimo de repartir las ganancias. cambio de prestar sus fondos a quien los necesita.

Apuntes de Matematicas Financieras

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