Apuntes Del Curso Fisica IV

5/28/2018 Apuntes Del Curso Fisica IV

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Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ciencias Fsicas

Fsica IVApuntes del Curso de Teora

Prof.: Lic. Csar Jimnez

2013

Temario del Curso

Cap t ul o I : Ecuaci ones de Maxwel l Cap t ul o I I : Ondas El ect r omagnt i cas Cap t ul o I I I : pt i ca Geomt r i ca Cap t ul o I V: pt i ca F si ca Cap t ul o V: Fundament os de F si ca Moderna


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Apuntes del Curso de Fsica IV (UNMSM)

Lic. Csar Jimnez T. Pg. 2

Prlogo

Esta publicacin est conformada por los apuntes del curso de Fsica IV, dictado en lasFacultades de Ing. Electrnica e Ing. Qumica de la UNMSM, durante los semestrescorrespondientes a los aos 2009 y 2010.

La informacin contenida en este trabajo es complementaria y referencial, es susceptiblede ser revisada, corregida y aumentada. Se invita al estudiante a revisar la bibliografa

para obtener un mejor conocimiento de los tpicos correspondientes a Fsica IV.

Es importante incluir un captulo con tpicos de Fsica Moderna (relatividad y FsicaCuntica) para los estudiantes de las Facultades de Ing. Electrnica e Ing. Qumica,

puesto que servir como una introduccin para algunos cursos de inters, comoDispositivos Electrnicos de Estado Slido y Qumica Cuntica, respectivamente.

Se sugiere al alumno que revise exhaustivamente la bibliografa recomendada y que trate

de entender el concepto fsico y la Fsica del problema antes de tratar de resolver losproblemas y ejercicios de aplicacin. Un paradigma, errado por supuesto, entre muchosestudiantes de ingeniera, es considerar que la Fsica solo consiste en saber resolver

problemas difciles. Sin embargo, no debe descuidarse el aprendizaje del concepto fsicopara explicar el problema fsico en s.

Lima, marzo de 2013


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SILABO DEL CURSO DE FISICA IV

I. INFORMACION GENERAL1.1 Asignatura : FISICA IV1.2 Carcter : Obligatorio1.3 Requisitos : Fsica III, Ecuaciones Diferenciales1.4 Crditos : 041.5 Semestre Acadmico : 2013-I1.6 Profesor : Lic. C. Jimnez ([email protected])

II. OBJETIVOS1. Describir y formular fsica y matemticamente las leyes y principios de los

fenmenos pticos desde el punto de vista clsico y los principios de la FsicaModerna.

2. Introducir en forma equilibrada los conceptos, leyes y principios ms importantesde la ptica de modo que proporcione al alumno una base slida para un estudio

posterior.

III. SUMILLAEcuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas. Luz. ptica geomtrica:reflexin y refraccin. Instrumentos pticos. ptica fsica: interferencia ydifraccin. Polarizacin. Fundamentos de Fsica Moderna.

IV. CONTENIDO ANALITICO

CAP 1. ECUACIONES DE MAXWELLOperadores vectoriales: gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano. Forma

diferencial e integral de las Ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones de Maxwell en elespacio libre. Ecuacin de onda para las ondas electromagnticas. Energa ycantidad de movimiento de una onda electromagntica. El vector de Poynting.Espectro electromagntico. Problemas.

CAP. 2. OPTICA GEOMETRICANaturaleza de la luz. Reflexin y refraccin. Reflexin total interna. Principio deHuygens: reflexin y refraccin. Principio de Fermat: reflexin y refraccin.Problemas sobre la luz. Espejos planos y esfricos: Diagrama de rayos. Imgenesformadas por refraccin. Lentes delgadas: Diagrama de rayos. Lentes mltiples.La fibra ptica. Problemas.Primer Examen

CAP. 3. OPTICA FISICAExperimento de la doble rendija de Young. Interferencia en pelculas delgadas.Diagrama de interferencia de dos rendijas. Diagrama de difraccin de una solarendija. Diagrama de interferencia-difraccin de dos rendijas. Difraccin deFraunhofer y de Fresnel. Anillos de Newton. Resolucin de una rendija yaberturas circulares. Rejilla de difraccin. Polarizacin de la luz. Polarizacinlineal. Polarizacin circular. Problemas.


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CAP. 4. FUNDAMENTOS DE FISICA MODERNAPrincipios de Relatividad. Radiacin trmica. Constante de Planck. Efectofotoelctrico. Efecto Compton. Rayos X. Postulado de De Broglie. Principio deIncertidumbre. Modelo atmico de Bohr. Teora de Schrodinger de la mecnicacuntica. Ecuacin de Schrodinger. Aplicaciones. Problemas.

Examen Final

EXAMEN SUSTITUTORIO

V. METODOS Y TECNICAS DE ENSEANZAExposiciones de clases magistrales terico-prcticas utilizando pizarra y mediosaudiovisuales.

VI. METODO DE EVALUACIONEl sistema de calificacin usado en cada una de las evaluaciones es vigesimal, de

acuerdo a lo indicado:1. Se tomarn dos (02) exmenes parciales de teora (E1, E2) y un (01)examen sustitutorio (ES) cuya nota reemplazar a la ms baja calificacinobtenida en los exmenes.

2. La nota final del curso (NF) se obtendr mediante la siguiente frmula:

5.103

21

PLEENF

VII. BIBLIOGRAFIA1. Serway, Raymond; Fsica, Sptima Edicin, Tomo II; Editorial McGraw-

Hill, Mxico 2008.2. Alonso, Marcelo - Finn, Edward; Fsica, Volumen II: Campos y Ondas;

Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware 1987.3. Hecht, Eugene - Zajac, Alfred; Optica; Editorial Addison-Wesley

Iberoamericana, Delaware, 1986.4. Eisberg, R. Fundamentos de Fsica Moderna. Editorial Limusa. Mxico, 1978.5. Pgina web con informacin del curso: http://cjimenez.741.com/fisica4.htm


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CAPTULO I: LAS ECUACIONES DE MAXWELL DESDE UNA PERSPECTIVASIMPLIFICADA

En este captulo se vern las ecuaciones de Maxwell, pero, desde una perspectivasimplificada: no habr necesidad del uso del clculo superior (diferencial e integral), slo

el lgebra y la geometra sern las herramientas matemticas ms que suficientes. Estasecuaciones resumen las principales leyes del electromagnetismo, fueron reunidas ysintetizadas por el fsico ingls J. Maxwell durante la segunda mitad del siglo XIX yconstituyen uno de los ltimos triunfos de la fsica clsica, luego de la cual surgira lafsica moderna a principios del siglo XX. Maxwell logr predecir que las ondaselectromagnticas se propagaban a la velocidad de la luz en el vaco (3x108 m/s). Estoconstituye la base de la tecnologa de la comunicacin inalmbrica en la actualidad.

James Clerk Maxwell (1831-1879), fue un fsico britnico cuyas investigaciones yescritos explican las propiedades del electromagnetismo. Estos trabajos le convirtieron enuno de los cientficos ms importantes del siglo XIX. Tambin elabor la teora cinticade los gases, que explica las propiedades fsicas de los gases y su naturaleza.

Naci en Edimburgo y estudi en las universidades de Edimburgo y Cambridge. Fueprofesor de fsica en la Universidad de Aberdeen desde 1856 hasta 1860. En 1871 fue elprofesor ms destacado de fsica experimental en Cambridge, donde supervis laconstruccin del Laboratorio Cavendish. Maxwell ampli la investigacin de MichaelFaraday sobre los campos electromagnticos, demostrando la relacin matemtica entrelos campos elctricos y magnticos. Tambin mostr que la luz est compuesta de ondaselectromagnticas. Su obra ms importante es el Tratado sobre Electricidad yMagnetismo, en donde, por primera vez, public su conjunto de cuatro ecuaciones

diferenciales en las que describe la naturaleza de los campos electro-magnticos entrminos de espacio y tiempo.

El trabajo de Maxwell prepar el terreno para las investigaciones de Heinrich Hertz, querealiz experimentos para apoyar sus teoras electromagnticas. Posteriormente, el trabajode Maxwell ayud a los cientficos a determinar la igualdad numrica de la velocidad dela luz en las unidades del sistema cegesimal y la relacin de las unidadeselectromagnticas con las electrostticas. La unidad de flujo magntico en el sistemacegesimal se denomin maxwell en su honor.

Incrementos

Sea y=f(x), una funcin, el punto ),( yyxx pertenece a la curva, donde los deltasson cantidades muy pequeas:

)( xxfyy (1.1)

Luego, obtenemos:)()( xfxxfy (1.2)


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Fig. 1. Geometra del modelo

Ejemplo: Sea la funcin parablica y = x2, entonces aplicando las ecuaciones (1) y (2) yconsiderando (x)2 insignificante, tendremos el incremento y = 2xx.

Flujo de un campo vectorial ( )Es una magnitud fsica escalar que nos informa acerca del nmero de lneas de campo(perpendiculares a la superficie) que atraviesan dicha superficie. Se define un vector S

perpendicular a la superficie, cuyo mdulo es numricamente igual al rea y cuyo sentidoest dado por la regla de la mano derecha: se cierra los 4 dedos sobre la palma de la manosiguiendo la direccin del recorrido sobre la curva C, el dedo pulgar extendido indicar elsentido del vector S. Matemticamente, el flujo es un producto escalar:

cos. SVVS

(1.3)

donde:V : campo vectorialS : vector normal a la superficie: angulo formado por S y V

Fig. 2. Definicin de flujo

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO E

Las principales propiedades de las lneas de fuerza son las siguientes:a) Toda linea de fuerza nace en una carga positiva (fuente) y termina en una negativa(sumidero). Son continuas, en caso contrario, se propagan hasta el infinito.


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b) El vector campo elctrico E

tiene una direccin tangente a la linea de fuerza en todopunto.c) Dos lneas de fuerza de un mismo campo no pueden cruzarse, de lo contrario, habrados direcciones del campo elctrico en el mismo punto.La ley de Gauss sostiene que: El flujo elctrico a travs de una superficie cerrada que

encierra a una carga neta es directamente proporcional a dicha carga. En formamatemtica:

0

qE

(1.4)

donde:0 8.85x10

-12C2/Nm2: permitividad elctrica del vaco.

La carga elctrica es de naturaleza monopolar, es decir, pueden existir monopoloselctricos aislados.Pero, cul es la utilidad prctica de esta ecuacin? Ser til para facilitar los clculos

para hallar el campo elctrico E

para sistemas de alta simetra, como se ver acontinuacin.

Obtencin de la ley de CoulombSea una carga q puntual, el flujo a travs de una superficie gaussiana esfrica de radio restar dada por la ecuacin (4), pero de la definicin de flujo:

ESESE

cos

donde vale cero, puesto que los vectores E y S son radiales y apuntan hacia fuera. Elrea S es la de una esfera, entonces:

)4(

2

rEE

Reemplazando en la ecuacin (4):

0

2 )4(

q

rE =>2

04

1

r

qE

(1.5)

El campo elctrico producido por una carga puntual Q en un punto a una distancia r es lafuerza de interaccin entre esta carga y otra carga de prueba q dividido entre q:

q

FE

(1.6)

Luego de (5) y (6) tenemos:

204

1

r

qQF

o en forma vectorial:

rr

qQF

4

12

0

(1.7)

donde r es un vector unitario en la direccin radial.


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Fig. 3. Campo E

de una carga puntual

LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNTICO B

En un material magntico, las lneas de fuerza salen del polo norte e ingresan al polo sur,del mismo modo como el nmero de lneas que salen de un polo debe ser igual al nmerode lneas que entran al polo contrario del mismo imn. De esto se deduce que: El flujomagntico a travs de una superficie cerrada es nulo:

0B

(1.8)

En otras palabras, el flujo entrante es igual al flujo saliente. La unidad del flujo magnticoes el weber (Wb). De esta ley, se puede inferir lo siguiente:

a) Las lneas de fuerza del campo magntico se cierran sobre s mismas. Es como si fueraun crculo vicioso: no tienen principio ni fin.

b) No pueden existir fuentes (lugar donde nacen las lneas) ni sumideros (lugar donde

terminan las lneas) de campos magnticos.c) Y lo ms importante: dentro de la fsica clsica no existen monopolos magnticosaislados.

Fig. 4. Campo magntico de un imn

Esto explica el hecho de que al romper un imn por la mitad, automticamente seobtienen dos imanes independientes, cada uno con su propio polo norte y sur.

LEY DE AMPERE-MAXWELLEl fsico dans Oersted comprob que la corriente elctrica interaccionaba de una


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manera misteriosa con los imanes. De esto, se puede deducir que las cargas elctricas enmovimiento generan campos magnticos. Una aplicacin prctica de este principio es elelectroimn.

La ley de Ampere para campos y corrientes estacionarias, es decir, que no dependen deltiempo, se puede expresar como:

ILBn

i

ii 01

.

(1.9)

Donde:)/(104 70 ampmWb

: constante de permitividad magntica del vaco.

I: corriente total encerrada por la trayectoria cerrada. Unidad: amperio.B

: densidad de flujo magntico o campo magntico. [B] = Tesla = 1 Wb/m2L

: vector tangente a la trayectoria cerrada.

Debe observarse que la sumatoria debe hacerse siguiendo un camino cerrado arbitrario.Se debe hacer todo lo posible, al escoger el camino, de tal manera que B sea constante ylos vectores B

y L

formen ngulos conocidos. Para un mejor entendimiento, el

siguiente ejemplo puede disipar las dudas sobre el concepto mencionado:

Campo magntico producido por un conductor muy largoSea un conductor muy largo por el cual circula una corriente I dirigida hacia arriba. Por laregla de la mano derecha el campo magntico B

a una distancia r del conductor est

dirigido como indica la Figura 5. La trayectoria cerrada o circulacin ser unacircunferencia de radio r con sentido antihorario. El vector L

es tangente a la trayectoria

y tiene la misma direccin y sentido que el vector B

en todo punto. Adems, debido a la

alta simetra B es constante en mdulo en todo punto de la trayectoria. Luego, de la ley deAmpere:

n

i

n

i

ii

n

i

ii LBLBLB1 11

cos..

siendo = 0, entonces cos= 1

n

i

i

n

i

ii LBLB11

.

pero, la suma de todos los desplazamientos pequeos ser igual a la longitud de lacircunferencia: 2r, luego:


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Fig. 5. Campo B de un conductor largo

IrBLBn

i

ii 01

)2(.

, entonces:

r

I

B

20

(1.10)

Campo magntico producido por un plano infinitoSea un plano infinito que conduce una corriente por unidad de longitud horizontal: =I/a,hacia abajo. De acuerdo a la regla de la mano derecha B est dirigido como se muestra enla Figura 6. La circulacin es un rectngulo de lados a y 2b, en sentido antihorario. Deacuerdo a la ley de Ampere:

44332211

4

1

..... LBLBLBLBLBi

ii

333222111

coscoscos LBLBLB444

cosLB

pero, 9031 y 18042 , luego:

)180cos()180cos( 44220 LBLBI

Fig. 6. Campo magntico B de un plano

donde: BBB 42 y aLL 42 BaBaBaI 2)1()1(0


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Pero, la corriente est dirigida hacia abajo:aI , por lo tanto: Baa 2)(0

Finalmente:

20B (1.11)

Y que ocurre si los campos son variables en el tiempo? Maxwell generaliz la ecuacin(9) para campos dependientes del tiempo agregando un trmino conocido como corrientede desplazamiento:

tI Ed

0 (1.12)

Luego, la ecuacin de Ampere-Maxwell ser:

tILB E

n

i

ii 0001 .

(1.13)

En ausencia de corrientes netas encerradas por la circulacin (I=0), tenemos:

tLB E

n

i

ii

001

.

(1.14)

de donde se deduce mas claramente que los campos elctricos variables en el tiempotambin generan campos magnticos.

LEY DE FARADAYFaraday saba (por los trabajos de Oersted) que las corrientes elctricas generaban camposmagnticos, siendo el electroimn una aplicacin prctica de este principio. Pero, seracierto lo inverso: puede un campo magntico generar una corriente elctrica? Se

preguntaba Faraday y obsesionado por esta interrogante, la cual le llev a investigar en sulaboratorio durante ms de 9 aos, encontrando en 1831 la respuesta a su interrogante.

El voltaje inducido en una espira de alambre es directamente proporcional a la variacindel flujo magntico en un intervalo de tiempo:

tV B

(1.15)

Y por qu el signo negativo? La regla de Lenz sostiene que el sentido de la corrienteelctrica inducida es tal que sus efectos se oponen a la causa que la origina (accin yreaccin).

Para que exista voltaje inducido debe haber una variacin del flujo magntico o tambinun movimiento relativo entre el conductor y el flujo magntico.Se sabe que el voltaje o diferencia de potencial en un punto es proporcional al campoelctrico en ese punto y a la distancia de la carga generadora del campo al puntoconsiderado:


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EdV (1.16)

Para un caso general tenemos:

n

i

ii LEV1

.

(1.17)

Juntando las ecuaciones (15) y (17):

tLE B

n

i

ii

1

.

(1.18)

De donde se deduce que los campos magnticos variables en el tiempo generan camposelctricos.

Gran parte del progreso de la ciencia y la tecnologa actual ha sido posible debido a estaley. Se obtuvo la posibilidad de obtener corriente elctrica en forma eficiente y a bajo

precio. Es el principio fsico por el cual se basa el funcionamiento de los generadores enlas centrales elctricas.

EL CAMPO ELECTROMAGNETICO

Llegado a este punto, se sabe que la variacin de un campo magntico produce un campoelctrico (efecto Faraday) y que la variacin de un campo elctrico genera un campomagntico (efecto Oersted).

Maxwell se pregunt: qu ocurrira si en algn punto del espacio, un campo magnticofuera variable en el tiempo? Entonces, este generara un campo elctrico variable y este a

su vez, producira un campo magntico variable y as sucesivamente. La variacin de unogenerara al otro y al conjunto de ambos se le denomina campo electromagntico, elcual se propaga por el espacio mediante ondas electromagnticas a la velocidad de la luz(en el vaco), segn lo demostr Maxwell en 1864.

Sea un plano infinito con densidad lineal de corriente =I/a dirigido hacia arriba.Inicialmente no circula corriente =0. Luego, se conecta el circuito y se analiza: segenerar un campo magntico B

dirigido hacia adentro (en el lado 2 de la figura 7) y un

campo elctrico E

dirigido hacia abajo. La onda de B ha recorrido una distancia xmuypequea, de modo que B todava es nulo en los extremos 2 y 4. De la ecuacin (13):


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Fig. 7. Modelo para el clculo del campo electromagntico.

tI E

0000

donde:)2()180cos(. xaEESSE o

E

entonces: )2(0 000 aExt

a

t

xE

000 20

Perot

xv

, luego: Ev000

2

Y de la ecuacin (11) se obtiene:vEB 00 (1.19)

Sea un camino rectangular vertical de lados a y x (ver Figura 8), de la ecuacin (18):

44332211

4

1

..... LELELELELEi

ii

333222111 coscoscos LELELE 444 cosLE

donde: 9031 , 04E , luego:

)1(cos. 2224

1

EaLELEi

ii


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Fig. 8

Porque de la Fig. 6: 1802 y aL 2

El flujo a travs del rectngulo es: cos. BSSBB

=> BxaBxaB 180cos

Luego, en la ecuacin (18) se tiene: Bavt

xBa

t

BaxEa

)(

Entonces: vBE Ev

B1

(1.20)

De las ecuaciones (19) y (20) se tiene:

vv

100 =>

00

1

v (1.21)

Remplazando los valores numricos: smv /103 8

LA PARADOJA ELECTROMAGNETICA Y EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD

Las leyes de la fsica son invariables para cualquier sistema de referencia inercial. Noexiste un sistema de referencia privilegiado o algn mtodo para determinar la velocidadabsoluta. Este es el principio de relatividad de Galileo.

No obstante, las leyes del electromagnetismo violan claramente este principio derelatividad (a menos que se haga algo por reconciliarlos). Un observador en movimiento yotro en reposo obtendrn resultados diferentes para un mismo experimento.

Consideremos una carga puntual "q" a una distancia r de un alambre muy largo dedensidad lineal de carga constante. La magnitud de la fuerza sobre q es F = q E.Aplicando la ley de Gauss el campo elctrico producido por el alambre ser:

rE

02


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Luego, para un observador en reposo la fuerza es:

r

qF

02

Fig. 9 Observador en reposo

Fig. 10 Observador en movimiento

Ahora, consideremos un observador en movimiento paralelo al alambre y velocidaddirigida a la izquierda (esto es arbitrario). El ver que el alambre y la carga puntual semueven hacia la derecha con velocidad v. Adems observar una corrienteI = Q/t = vDe la ecuacin de la fuerza de Lorentz:

)( BvEqF (1.22)

donde:r

v

r

IB

2200

Luego:

r

vv

rqvBEqF

22)( 0

0

2000

12

vr

qF

Pero, oo = 1/c2, entonces el observador en movimiento obtiene:


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)1(2 2

2

0 c

v

r

qF

(1.23)

Ambos resultados difieren por un factor de (1-v2/c2), por lo tanto, segn las leyes delelectromagnetismo se obtienen dos resultados distintos para diferentes sistemas de

referencia. Quin tiene la razn: el observador en reposo, el observador en movimiento oninguno? Fallan las ecuaciones de Maxwell o se debe corregir los conceptos de lamecnica? Es vlido el principio de relatividad tanto para la mecnica como para laelectrodinmica?

Esta paradoja electromagntica es una de las brechas que abrieron paso a la teora de laRelatividad de Einstein a principios del siglo XX. Einstein reconcili a la mecnica y alelectromagnetismo con el principio de relatividad modificando algunas definiciones de lamecnica y las propiedades del espacio y el tiempo. En aquellos tiempos esta teoraresulto ser tan escandalosa (pues muchas de sus conclusiones entraban en contradiccinaparente con el sentido comn) que muchos cientficos se resistan a aceptarla e inclusoalgunos fsicos alemanes antisemitas la ridiculizaron. No obstante, el tiempo y las pruebascientficas le dieron la razn, y esta teora se erigi en un pilar de la fsica moderna.

CONCLUSIONES

Las ondas electromagnticas se propagan a la velocidad de la luz.

La luz es un fenmeno electromagntico. Para los tiempos de Maxwell esto parecaincreble. Poco despus de la muerte del ltimo fsico terico clsico se comprobexperimentalmente, con los trabajos de Hertz, que su prediccin era evidentemente cierta.

Esto abri la puerta a una posibilidad fantstica: la comunicacin inalmbrica, donde laonda electromagntica es el mensajero que se propaga a travs del espacio libre a lavelocidad de 3x108m/s.

Para hacer todo esto, Maxwell emple un aparato matemtico muy complicado; sinembargo, en el presente captulo se ha omitido el clculo superior y solo se ha utilizado ellgebra y la geometra, y se utilizar algo ms: la atencin, la concentracin y el deseo deaprender del lector.


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n

A

s

An ds

Ad Ads

CAPTULO II: ONDAS ELECTROMAGNTICAS

Antes de describir las ecuaciones de Maxwell y las ondas electromagnticas, debemoshacer un repaso del clculo vectorial:

Operadores VectorialesOperador Nabla

i j kx y z

Gradiente:grad

: funcin escalar

i j kx y z

Ejemplo:3

1( )

r

r r

S

P

El gradiente representa la mximaderivada direccional.

Divergencia:

Sea_

A un campo vectorial:_

x y zA i A j A k A

Se define la divergencia como:_ _

yx zAA A

div A Ax y z

Ejemplo:_

r i x j y k z

entonces_

3x y z

divrx y z

Flujo:


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Teorema de la Divergencia:

S V

dVAdivdSnA )(.

S V

Rotacional:

Se aplica sobre un campo vectorial

2 2 2

0 0 0

. ( ).

.

c s

i j k

rotA xAx y z

Ax Ay Az

A dl xA ndS

x y z

dDB dl I

dt

i j k

rotA xAx y z

Ax Ay Az

Circulacin:

Sea A un campo vectorial

C

rdAC

.


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Teorema de Stokes

C S

dSnAldA ).(.

Laplaciano:2

2

2

2

2

22

zyx

La ecuacin de Laplace: 2 0 donde : funcin potencial armnica.

Ecuaciones de Maxwell

Maxwell sintetiz las ecuaciones de electricidad y magnetismo. Demostr que las ondaselectromagnticas se propagan a la velocidad de la luz.

En forma integral:

1)

Ley de Gauss para E: 0. q

dSnE

2) Ley de Gauss para B : 0. dSnB 3) Ley de Ampere: dt

EdIldB

000.

Corriente de desplazamiento:d

dEI

dt

Se da en capacitores sometidos a un potencial variable. Es una corriente virtual.

Tarea

Calcular

2 1

r

Donde:

2 2 2r x y z


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4) Ley de Faraday: BdVd

entonces:

dt

dldE B

.

En su forma diferencial:

1) Ley de Gauss para EAplicando el teorema de la divergencia

S V

dVEdivdSnE

.

Por otro ladov

q dv

Luego:0 0

. v

v v

dv

Edv dv

Entonces:0

.E

2) Ley de Gauss para B : . 0B 3) Ley de Ampere: dSnBldB

S

..

Corriente: dSnJIS

.

Flujo elctrico: .Es

E ndS

Luego:

SSS

dSnt

EdSnJdSnB ... 000

SS

dSnt

EJdSnB .. 000

Entonces al final tenemos:t

EJB

000

4) Ley de Faraday:t

BE

Para el espacio libre de cargas y de corrientes:0

0J

1) . 0E


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2) . 0B 3)

t

EB

00

4)t

BE

Ecuacin de onda para el campo electromagntico

Para un espacio libre de cargas y corrientes:0

0J

t

BE

(1)

t

EB

00 (2)

De la identidad vectorial FFF 2).()( (3)

Aplicando el operador rotacional a la ecuacin (1):

)()(t

BE

)().( 2 B

tEE

tE

tE

00

2

Entonces:2

2

002

t

EE

(4)

donde: 0 021

v

00

1

v (5)

Reemplazando valores:70 4 10 T m/Amp

12 2

0 28.85 10

Nmx

C

8103v m/sEntonces: v c

Nota:Las ondas electromagnticas se propagan en el vacio a la velocidad de la luz.


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Para el campo magntico B :

Aplicando el operador rotacional a (2):

)()( 00t

EB

)().( 00

2

t

EBB

)()( 00002

t

B

tE

tB

2

2

002

t

BB

(6)

donde0 0

1v

Onda Electromagntica Plana

Una solucin (la ms simple) de la ecuacin de onda paraEes:

).cos(),( 0 trkEtrE (7)

donde: kes el nmero de onda:

2k

es la frecuencia angular: T

2

es la fase inicial.

Para el caso particular en que la direccin de propagacin es a lo largo del eje Z,tendramos:

itkzEtzE )cos(),( 0

Entonces: XE E i

Luego: )()(

00

yEk

xEj

E

zyx

kji

E xx

x

0 0

cos( )( )x

kz wt EE E ksen kz wt

z z

Por lo tanto:jtkzksenEE )(0

(8)

Z


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De la ecuacin de maxwell:

jtkzksenEt

BEB )(0

Luego:

dttkzsenjkEdtjtkzksenE

)()( 00

0 0 cos( ) cos( ) ..........(9)E k E k

B j kz wt B kz wt jw w

jtkzBtzB )cos(),( 0 (10)

Donde:

00 0 0..........(11)

EB E cB

c

Energa de las Ondas Electromagnticas

Las ondas electromagnticas transportan energa. La densidad de energa U se puedeexpresar:

22

00

1 ..........(12)2 2E B

BU U U E

2 22 2 0

0 20

cos ( )1cos ( )

2 2

E kz wtU E kz wt

c

220 0 0

00

( ) cos ( )2

EU kz wt

Entonces:2 2

0 0( )cos ( )U E kz wt

Nota:Nota: E B son ondas transversales mutuamente er endiculares.

d/dt

calcular valor medio del

{cos&}^2=1/2


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20 0 0( )cos ( )U E cB kz wt

Valor medio de la energa:

0 0 0

0 0

0

( )U E cB

E BU

c

Densidad de flujo de energa:

0 0

0

E Bc U

Vector de Poynting: BES

0

1

Impulso por unidad de volumen:

21vP Sc

Presin ejercida por la OEM sobre una superficie:1

P Sc

: en superficie absorbente

2P S

c : en superficie reflectora

Nota:1) El mdulo de vector de Poynting representa el flujo de energa.2) La direccin del vector de Poynting S coincide con la direccin de

propagacin de la onda electromagntica.


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Evolucin de las teoras sobre la naturaleza de la luz

Griegos:Pensaban que la luz era una emanacin que sala de los ojos de las personas.

Newton:Consideraba que la luz tena una naturaleza corpuscular. Su teora fallaba al tratar deinterpretar la interferencia y difraccin.

Huygens:Consideraba que la luz tena una naturaleza ondulatoria, pero se pensaba que era una ondamecnica que se propagaba a travs del ter.

Maxwell:Demostr que la luz era un fenmeno electromagntico.

Planck:La energa (de la luz) es discreta: quantum de energa.

Einstein:Teora corpuscular para explicar el efecto foto-elctrico.

De Broglie:La materia tiene una naturaleza dual: ondulatoria y corpuscular.La luz en el vaco se mueve con velocidad: v= 3x108/s


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Demostrar que en el caso de un condensador de placas paralelas, la corriente dedesplazamiento viene dada por:

dt

dVCId

donde C es la capacidad y V la tensin aplicada al condensador. Un condensador deplacas paralelas con C=5 nFse conecta a una fuenteE = E0 cos(t), siendo E0= 3V y = 500 rad/s. Hallar la corriente de desplazamiento entre las placas en funcin del tiempo.Despreciar las resistencias del circuito.

2. El campo elctrico de una onda plana (= 2x108Hz) en el vaco est dado por:

jtc

zE )(cos7.1

a) Hallar la direccin y sentido de propagacin de la onda.b) Hallar la longitud de onda. Qu unidades tiene el nmero 1.7?c) Hallar el campo magntico asociado.

3. En la superficie de la Tierra existe un flujo solar medio aproximado de 0.75 kW/m2.Una familia desea construir un sistema de conversin de la energa solar en potencia parasu casa. Si el sistema de conversin tiene un rendimiento del 30% y la familia necesita unmnimo de 25 kW, qu rea efectiva deber tener la superficie de los colectoressuponiendo que son absorbentes perfectos?

4. Partculas suficientemente pequeas pueden alejarse del sistema solar por la presin de

la radiacin del sol. Suponer que las partculas son esfricas con radio r y densidad 1g/cm3y absorben toda la radiacin con un rea eficaz de r2. Estn a una distancia Rdelsol, que tiene una potencia de emisin de 3.83x1025W. Cul es el radio rpara el cual lafuerza repulsiva de la radiacin equilibre exactamente la fuerza gravitatoria de atraccindel Sol?

5. Se desea sostener en posicin horizontal un papel negro de 100 cm2de rea y 1g demasa haciendo incidir luz sobre su cara inferior. Qu potencia deber tener dicha luz?Es posible hacerlo?


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CAPTULO III: PTICA GEOMTRICA

ndice de refraccin o densidad ptica.- Es la relacin entre el valor de la velocidad dela luz en el vaco y la velocidad de la luz en el medio ptico considerado.

cn

v

(3.1)

v : velocidad de la luz en el vaco.

Principio de FermatLa luz recorre la trayectoria para la cual el tiempo de recorrido es mnimo.

Medio homogneo ( n : constante): trayectoria rectaMedio no homogneo ( n : variable): trayectoria curva

Camino ptico

op geomL nL (3.2)Si 1n entonces op geomL L

Reflexin de la luz

Para superficies pulidas se cumple lo siguiente

Incidencia Normal

Se cumple:(a)El rayo incidente, el reflejado y la normal se encuentran en el mismo plano y ese

plano es perpendicular a la superficie.(b)El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin: i r


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Espejos planos

Objeto Imagen-------------p--------------q------------

La distancia focal del espejo plano es infinita.f

Imgenes mltiples

Para dos espejos que forman 90o

Si los espejos forman un ngulo el nmero de imgenes es:

3601N

(3.3)

Si los espejos son paralelos ( 0 ) entonces el nmero de imgenes es infinito:N

Zona virtualZona real


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Espejos esfricos

Pueden ser cncavos (convergentes) o cncavos (divergentes)

Espejo cncavo:

Espejo convexo:

Elementos:

v : Vrticef : Foco

c : Centro de curvaturaav : Eje principal

2

Rf (3.4)

Formacin de imgenes

Rayo (1): paralelo al eje principal, se refleja pasando por el foco.Rayo (2): pasa por el foco y se refleja en forma paralela al eje principal.

(1)

(2)


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p

q

La interseccin del rayo (1) y el rayo (2) forman las imgenes.

(a)Objeto: 2p f

Imagen real, invertida y de menor tamao.

(b)Objeto: 2f p f

Imagen real, invertida y de mayor tamao.

(c)Objeto: 0 p f

Imagen virtual, derecha y de mayor tamao.

Parmetros:p : distancia objeto-vrtice siempre es real, 0p q : distancia imagen-vrtice,

Si imagen Real: 0q Virtual: 0q

Frmula de Descartes1 1 1

p q f (3.5)

Donde:2

Rf es la distancia focal

f Espejo cncavo: 0f Espejo convexo: 0f


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Refraccin de la luz

Es la desviacin de los rayos de luz al pasar por medios de diferente ndice de refraccinn. Recordando la ecuacin 2.1:

cn

v

c : velocidad de la luz en el vaco.v : velocidad de la luz en un medio ptico.

Ejemplo:( ) 1n vacio ( ) 1n aire ( ) 1.33n agua

Leyes de la refraccin

(1)Los ngulos de incidencia, reflexin y de refraccin estarn ubicados en el mismoplano y perpendicular a la interface.

(2)Ley de Snell: para un rayo de luz se cumple que:1 2( ) ( )n sen i n sen r (3.6)

Esta ley puede demostrarse a travs del Principio de Fermat.

Reflexin total interna

Este fenmeno ocurre cuando el rayo de luz pasa de un medio de mayor densidad ptica aotro de menor densidad ptica.

1 2( ) (90 )o

cn sen n sen

1n

2n

Nota:(a)El ndice de refraccin depende de la longitud de onda de la luz

( )n n


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Para el caso donde el medio 2 es aire ( 2n =1), tenemos:

1( )

csenn

1( )c arcsenn

(3.7)

c : ngulo crtico

Aplicacin: La fibra pticaSi 1 2n n La fibra ptica transmite seales atravs de luz visible, mediante elfenmeno de reflexin total interna.

2n

1n

( ) 1n aire

( )n medio n

Nota:Para ngulos de incidencia mayores a cocurrir el fenmeno de reflexintotal interna.


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Lmina delgadaPara una lmina delgada de ndice de refraccin n, hallar el desplazamientoxentre el rayoincidente y el rayo emergente

airen sen nsen

.........(1)sen

senn

Del tringulo ABC:

( ) x

sendsen

=>( )

.........(2)cos

dsenx

De (1) y (2) se obtiene el valor exacto de x:

1 cos1

cosx d

n

xdsen


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Lentes Delgadas

Lentes gruesasTipos Lentes delgadas

Tipos de lentes delgadas

Lente convexa Plano convexa Biconvexa Bicncava

Ecuacin del fabricante de lentes

En general se cumple que:

1 2 2 1n n n n

p q R

(3.8)

Para una lente delgada (siendo 1n = 1, aire)

1 1 1n

p q R

Tambin se cumple que:

1 2

1 1 1 1 1( 1)( )n

p q R R f

Entonces habremos obtenido la distancia focal en funcin de los parmetros de la lente.

Ecuacin de Descartes:1 1 1

f p q

p q

2n1n


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Formacin de ImgenesRayo (1) sale de la punta del objeto paralelo al eje principal, al llegar al lente se refracta y

pasa por el foco.Rayo (2) sale de la punta el objeto y pasa por el centro de la lente sin desviarse.La imagen se forma en la interseccin de los rayos (1) y (2).Adems, el rayo (3) que pasa por el primer foco emerge paralelo al eje principal.

Caso (a): p f

Zona virtual Zona real

Imagen real, invertida y mayor tamao

Caso (b): objeto ubicado en el foco, p f

No se forma imagenRayos (1) y (2) son paralelos al atravesar el lente.

Caso (c): objeto entre el foco y la lente p f

Zona virtual Zona real

Imagen virtual, derecha y de mayor tamao

p q

F F


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Para una lente divergente (cncava)

Caso (a): p f

Imagen virtual, derecha y de menor tamao.

Caso (b): p f

Se intercambia objeto por imagen.Objeto entre el foco y la lente, forma una imagen virtual, derecha y de mayor tamao.

Problema:En una lente se midi los radios de curvatura, 1 20R cm , 2 20R cm , 1.5n . Hallar:

a) La distancia focal qu tipo de lente es?b) Un objeto se coloca a 30cm de la lente, hallar el diagrama de imgenes.c) Hallar el valor de q Qu tipo de imagen es?d) Hallar el aumento

Solucin:(a)

1

2

20

20

1.5

R cm

R cm

n

1 2

1 1 1 1 1( 1)( )n

p q R R f =>

1 100 100(1.5 1)( )

20 20f

20f cm Entonces como 0f , la lente es convergente.

(b)

Imagen real, invertida y de mayor tamaop q


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(c)

1 2

1 1 1

1 1 1

30 20

6030

1 1 1

60

p q f

q

q cmMp cm

f f f

q cm

1 1 1p q f

1 1 1

30 20q

60q cm

d) Aumento de la imagen: 6030

q cmMp cm => 2M

Esta lente produce un aumento del doble

Sistema ptico compuesto

Zona virtual Zona real Espejo o lente

Objeto

Analizar primero La imagen del lente es objeto para el espejo

Por ejemplo, el microscopio tiene 2 lentes, uno con distancia focal grande y uno condistancia focal pequea (ocular). Un sistema ptico compuesto es la combinacin de ms

de un lente y/o espejo (plano o esfrico). La metodologa para resolver problemas es lasiguiente:

1. Se resuelve primero para el objeto 1 (O1), luego obtenemos la imagen 1 (I1) que ser elobjeto (O2) para la lente 2 (L2).2. Se considera solo lente 2 y objeto 2 (es decir I1).3. El aumento M = M1x M24. Si hay lentes en contacto entonces:

1 2f f f

1 2

1 1 1

f f f


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Aplicaciones:Cmara fotogrficaOjo humanoMicroscopio compuestoEl Telescopio

Problema: En una expresin de la ecuacin de la lente utilizada por Newton, y que es tilen algunos casos, se miden las distancias objeto e imagen a partir de los puntos focales.Demostrar que six=p-fyx=q-f, puede escribirse la ecuacin de las lentes delgadas como

xx=f2, y que la amplificacin lateral viene dada por: m=-x/f=-f/x. Hacer un esquema de

una lente y sobre el indicar x y x.

Si x p f x q f

Demostrar:2xx f

x fM

f x

Sabemos que:1 1 1

p q f

1 1 1

x f x f f

Entonces:2x x f

Amplificacin:'q x f f

Mp x f x

TareaInvestigar las aplicaciones como la cmara fotogrfica y ojo humano.

x x


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Problema:A qu distancia mxima x de una pantalla una lente convergente de distancia focal

4.2f m formar la imagen de un objeto luminoso situado a 20m de la pantalla?


1. Investigar el efecto sobre el ngulo crtico de una delgada capa de agua sobre una

superficie de vidrio para los rayos que se originan en el vidrio. Tmese n = 1.33 para lagua y n = 1.5 para el vidrio. Cul es el ngulo crtico para reflexin total interna en lasuperficie vidrio agua? Son posibles rayos incidentes de ngulo mayor que

c para la

reflexin vidrio-aire, de modo que los rayos de luz abandonen el vidrio y el agua y pasenal aire?

2. Un haz laser incide sobre una placa de vidrio de 3 cm de espesor. El vidrio tiene unadensidad ptica de 1.5 y el ngulo de incidencia es 40. Las superficies superior e inferiordel vidrio son paralelas y ambas producen haces reflejados de casi la misma intensidadCul es la distancia perpendicular d entre los dos haces reflejados adyacentes?

3. Un foco puntual istropo se coloca debajo de una superficie de un gran estanque llenode lquido que tiene un ndice de refraccin n Qu fraccin de energa luminosaabandona directamente la superficie?

4. Una mujer utiliza un espejo cncavo de 1.5 m de radio para maquillarse A qudistancia del espejo deber estar su cara para que la imagen se encuentre a 80 cm de lacara?

5. Cuando se coloca 30 cm delante de una lente un foco luminoso brillante, aparece unaimagen derecha a 7.5 cm de la lente. Aparece tambin una imagen invertida dbil a 6 cm

delante de la lente debida a la reflexin en la cara delantera de la misma. Cuando se da lavuelta a la lente, esta imagen ms dbil e invertida, resulta estar a 10 cm delante de lalente. Hallar el ndice de refraccin de la lente.

6. En una expresin de la ecuacin de la lente utilizada por Newton, y que es til enalgunos casos, se miden las distancias objeto e imagen a partir de los puntos focales.Demostrar que si x=p-f y x`=q-f, puede escribirse la ecuacin de las lentes delgadas comoxx`=f2, y que la amplificacin lateral viene dada por: m=-x`/f=-f/x. Hacer un esquema deuna lente y sobre el indicar x y x`.

x

q p

20m

1 1 1

p q f 20p x

f x

1

2

1 1 1

20 4.214

6

x x

x m

x m


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7. (a) Demostrar que una pequea variacin dnen el ndice de refraccin del material deuna lente produce un pequeo cambio en la distancia focal dfdado aproximadamente por:

1

n

dn

f

df

(b) Utilizar este resultado para hallar la distancia focal de una lente delgada para la luzazul, con n=1.53, si la distancia focal para la luz roja con n=1.47, es 20 cm.

8. Un rayo de luz incide perpendicularmente en la hipotenusa del prisma 45-45-90, cuyondice de refraccin es n1=1.645.

a) Demuestre que hay reflexin total interna y el rayo emergente es paralelo al incidente.b) Los dos lados reflectantes se cubren con una capa delgada y uniforme de dielctrico(n2=1.42). Seguir siendo totalmente reflectante el prisma?c) Qu valores debe tener el ndice del dielctrico para que el prisma siga siendototalmente reflectante?

9. a) Los espejos retrovisores usados en autos, son convexos o cncavos? Por qu?b) Se desea utilizar un espejo esfrico de 60 cm de radio para proyectar una pelcula de 35mm sobre una pantalla situada a 20 m. Debe ser convexo o cncavo? En qu posicincolocara la pelcula y cul sera el aumento?c) Un objeto de 2 cm se coloca sobre el eje de un espejo esfrico convexo de 40 cm deradio y a 5 cm del vrtice. Construya la imagen y calcule el aumento.

10. Se desea construir una lente convergente con vidrio de n=1.5 tal que al usarlo dentrodel agua (n=4/3) tenga una distancia focal de 12 cm. Qu radios pueden tener lassuperficies que la conforman?

11. Un objeto se encuentra a 8 cm de una lente convergente de 5 cm de distancia focal.A qu distancia de la lente debe colocarse una segunda lente de distancia focal 10 cm

para que la imagen final se real, derecha y del mismo tamao que el objeto?

12. Una lmina delgada de vidrio (n = 1.5) de espesor 1 cm, se introduce en agua (n=1.33).Un rayo de luz incide sobre la lmina bajo un ngulo de incidencia de 30. Hallar:a) El ngulo de refraccin.

b) El ngulo crtico para que ocurra reflexin total interna en la lmina de vidrio.

c) El desplazamiento del rayo emergente del vidrio con respecto a la direccin del rayooriginal incidente.d) Hallar la longitud de camino ptico del rayo a su paso por la lmina.

13. Un objeto (de 10 cm de longitud) se encuentra a una distancia de 15 cm y sobre el ejeptico de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es igual a 50 cm.a) Dnde se encuentra la imagen del objeto?

b) Hallar el tamao de la imagen.c) Es real o virtual? derecha o invertida? de mayor tamao o ms pequea?d) Qu suceder con la imagen si alejamos el espejo 15 cm del punto?


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CAPTULO IV: PTICA FSICA

INTERFERENCIA

Es un fenmeno ondulatorio que se origina por la superposicin de ondas

electromagnticas. Su desarrollo matemtico es netamente vectorial.Sean dos fuentes puntuales 1S y 2S

Funciones de onda

1d r 2d r

El desfasaje o diferencia de fase ser:

1 2kr kr

1 22 ( )r r

(4.1)

Entonces el desfasaje resultante es:2 2

10 20 10 20( ) 2 cosres

( )res comprendido entre 10 20 cos 1 2n

10 20 cos 1 (2 1)n

2n : interferencia constructiva

(2 1)n : interferencia destructiva

Tambin:n: interferencia constructiva

1( )

2n : interferencia destructiva

(diferencia de caminos)

Experimento de Young de la doble rendija

Fuente puntual

1 10 1

2 20 2

( )

( )

sen wt kr

sen wt kr

1S 2S

1r

2r

d

1 2r r

a DS


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Por el principio de Huygens, al incidir el frente de ondas sobre las rendijas, estas secomportarn como nuevas fuentes puntuales.

a : Separacin entre las rendijasD : Distancia entre la pantalla y las rendijas

Si D a Entonces: 10 20

10 0

1 cos( ) 2 cos( )

2 2res

0( ) 2 cos( )2res

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si es pequeo entoncesy

sen tgD

1 2

yr r asen a

D

Tambin:

1 2

2( )r r

=>

2( )

ya

D

Intensidad2

0 cos ( )asen

I I

20 cos ( )

ayI I

D

(4.2)

Intensidad mxima cuando 2cos ( ) 1ayD

1S

2S

a

1r

2r

y

D


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ProblemaDos rendijas separadas por una distancia de 1 mm, se iluminan con luz roja( 76.5 10x m ). La pantalla se coloca a un metro de las rendijas.

(a)Hallar la distancia entre dos franjas brillantes(b)Hallar la distancia de la tercera franja oscura(c)

Hallar la distancia de la primera franja brillante

7

3

6.5 10

10

1

x m

a m

D m

a) Clculo de la separacin de dos franjas brillantes7

43

1 6.5 106.5 10

10

D x xy x m

a

b) 1( )2n

y n y

41(3 )6.5 102n

y x

32.3 10ny x m

c) 45 6.5 10ny n y x x m 39.25 10

ny x m

Puntos de Intensidad mxima (franjas brillantes)

asenn

Entonces:asen n

Tambin:ay

nD

n

n Dy

a

... 1,0,1,2...n

Separacin entre franjas brillantes:


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Dy

a

(4.3)

Puntos de Intensidad Mnima: Franjas Oscuras

1( )

2

Dy n

a

(4.4)

Patrn de interferencia

ProblemaEn el experimento de Young, las 2 rendijas estan separadas 0.8mm, se iluminan con luzmonocromtica de longitud de onda: 75.9 10x m . La pantalla se ubica a 0.5m de lasrendijas. Hallar la separacin entre 2 franjas oscuras.

Solucin:3

7

0.8 0.8 10

5.9 10

0.5

a mm x m

x m

D m

La separacin entre dos franjas oscuras consecutivas es igual a la separacin entre 2franjas brillantes, es por ello que:

7

4

0.5 5.9 10

8 10

D x xy

a x

43.7 10y x m

Interferencia en una pelcula delgada

Sea una pelcula delgada de espesor uniforme e ndice de refraccin n.

Tarea (Pregunta tentativa para el 2doexmen)Una antena de TV emite una seal de 1200 KHz, un pueblo (p) situado a 80km dela antena y en una direccin que forma 30o con la lnea este-oeste. Cul es ladistancia mnima a la que habr que colocar una segunda antena al norte de la

primera, para que operando las dos antenas en fase, la seal recibida en P sea dosveces mayor?


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Reflexin por pelculas delgadas

(1) (2)

n

(1)Una onda que se propaga en un medio de bajo n sufre un cambio de fase de 180al reflejarse en un medio de mayor n.

(2)La longitud de la onda de la luz n en un medio cuyo indice de refraccin es n, estadado por:

nn

Interferometra radar INSAREs una tcnica relativamente nueva que utiliza imgenes satelitales (obtenidas por radar)

para estudiar la deformacin de la corteza terrestre debido a la interaccin de las placastectnicas, terremotos, deslizamientos, volcanes, etc. mediante la teora de interferenciade ondas electromagnticas.

Fig. xx Patrn tpico de interferometra INSAR.


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DIFRACCIN

Es un fenmeno ondulatorio que se observa cuando una onda se distorsiona debido a unobstculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda de aquella.

Difraccin de Fresnel: Los rayos indicentes se originan en una fuente puntual o seobservan los rayos difractados en un punto determinado del espacio (campo cercano).

Difraccin de Fraunhofer: Se supone que los rayos incidentes son paralelos y que seobserva un patrn de difraccin a una distancia muy grande como para que se reciba solorayos difractados paralelos (campo lejano).

Difraccin de Fraunhofer solo para una rendija

Ep

Diagrama de rotores

Ep: Campo elctrico en P.: Diferencia de fase entre el rayo que procede de la franja inferior y el procedente de lafranja superior.

a

asen

o

p


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En el lmite: # de franjas Tenemos un arco de circunferencia:

Radio =S

Amplitud resultante: Ep

( / 2)

/ 2psen

E S

La diferencia de recorrido entre el rayo superior e inferior es asenpor lo tanto:2

asen

Luego:

( )

p

asensen

E Sasen

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud2

0

( )asen

senI I

asen

(4.5)

Obtendremos lo siguiente:

El mnimo valor deasen

para 0I es . sen

a

S

2

2

0I


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En general : mm

sena

(4.6)

Problema:La intensidad de la luz en la difraccin de fraunhofer de una sola rendija es:

2

0( )senI I

donde asen

a) Demostrar que la ecuacin que da los valores de para I mximo es: tg b) Cmo se resuelve esta ecuacin?

Solucin:

a) 0dId

2

0 0

( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( )

dI d sen sen d senI I

d d d

0 2

( ) cos2 ( )( ) 0

dI sen senI

d

cos 0sen

cos

sen

Entonces: tg

b) Esta ecuacin puede resolverse por mtodos grficos o mtodos numricos, porejemplo se puede aplicar el mtodo de Newton-Rhapson:

1 '

( )

( )n

n n

n

f xx x

f x

donde: ( )f x tgx x


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Difraccin de Fraunhofer para una abertura circular

- - - - - - - - -

Patrn de difraccin

El ngulo correspondiente al primer disco oscuro esta dado por la condicin:2

3.8317Rsen

(4.7)

Si 0 entonces 1.22 1.222

senR D

, por lo tanto:

1.22D

(4.8)

Esta expresin da adems el poder resolvente (o resolucin) de una abertura circulardefinido segn Rayleigh, como el ngulo mnimo entre las direcciones de las incidenciasde 2 ondas planas provenientes de 2 puentes puntuales diferentes.

Red de difraccinEs un conjunto de rendijas, todas paralelas y del mismo ancho, separadas por intervalosiguales.

d: constante de la red

El problema de hallar la intensidad de la luz transmitida por la red combina los principios

de interferencia y difraccin.

1m : mximo de primer orden2m : mximo de segundo orden

d

2

d

ab


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Para que haya interferencia constructiva es necesario que ab m

m

msen

d

(4.9)

0,1,2,...m

Condicin necesaria para un mximo. El ngulo es tambin el ngulo de desviacin delos rayos que forman el mximo, respecto a la direccin de la luz incidente.

ProblemaLos lmites del espectro visivle son de 400nm a 700nm. Hallar la amplitud angular( r v ) del espectro visible, de primer orden producido por una red plana que tiene 600rendijas por milmetro, cuando la luz incide normalmente sobre la red.

Solucin:

mmmrendijasN

redlongitudd 61067.16001)(

Violeta:9

6

400 105

103

v

xsen

x

3 11200 2410 10 0.245 10

x x

13.88ov

Rojo:9

6

700 105

103

r

xsen

x

32100 10 0.425

x

24.83or

Por lo tanto, la desviacin angular es:10.95o

r v

Nota:El disco ptico (CD o DVD) puede actuar como una red de difraccin.


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POLARIZACIN

(a)Solo se observa en ondas transversales, por ejemplo la luz.(b)El plano de polarizacin es aquel en el cual oscila el campo E.

AntenaLuz linealmente polarizada

Luz ordinaria Luz polarizada

Polarizacin por ReflexinCuando la luz natural incide sobre una superficie reflectante se observa que existereflexin preferente para aquellas ondas en las que el vector elctrico vibra

perpendicularmente al plano de incidencia.

Existe polarizacin total cuando el rayo reflejado y el rayo reflejado forman un ngulo de90.

Incidente Reflejado

Refractado

90 180o op

E

E

E

E

E

2n

1n p

p


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90op

90op

Ley de Snell:

1 2pn sen n sen

2

2 1

psen n

n sen n

=>

1

2

cos n

nsen

p

p

Por lo tanto tenemos:

1

2

n

ntg

p (4.10)

Esta ecuacin es conocida como la Ley de Brewster.

Para la interface aire-agua: n1= 1, n2= 4/3, luego:

3

4

1

3/4

ptg => 53op

53op esto se cumple para una piscina, ro, mar, charco de agua, etc.

Problema:Hallar a que hora se da el fenmeno de polarizacin por reflexin.

Hora0o 12

90

o

6

30o 10

Si: h m b Si 0 12b

Si1

90 6 90( ) 1215

m m

Entonces 1215

h

(horario de la maana)

12m10am

8am

6am 6pm


53/65



1215

h

(horario de la tarde)

Entonces si 53op entonces53

12 8.4715

h horas

Que es equivalente a 08h con 28 minutos. La hora correspondiente a la tarde es 15 horas

con 32 minutos.

Doble refraccin o birrefringenciaMuchas sustancias transparentes cristalinas que, aunque homogeneas, son anisotropas. Esdecir, la velocidad de la luz que se propaga en ellas no es la misma en todas lasdirecciones.

Un rayo se refracta segn la ley de Snell pero otro toma un camino distinto.

DicroismoCiertos cristales birrefringentes presentan dicroismo, esto es, una de las componentes esobservada con mucha mayor intensidad que la otra. Si el cristal se corta a un espesoradecuado, una de las componentes se extingue por absorcin, mientras que la otra setransmite en proporcin apreciable.


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Polaroide

Son filtros pticos que permiten polarizar la luz Analizador (tambin es unpolarizador)

Sensor fotoelctrico

Fig. XX Esquema de un polaroide

Porcentaje de polarizacin: max min

max min

100%I I

xI I

(4.11)

La cantidad de energa es proporcional al cuadrado de la amplitud.

2

cosoI I (Ley de Malus) (4.12)

: es el ngulo formado por el analizador y el polaroide (polarizador).


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1) En el experimento de Young, dos rendijas separadas por una distancia de 1mm. Seiluminan con luz roja ( = 6.5x10-7m). La pantalla se coloca a 1m de las rendijas.a) Hallar la distancia entre dos franjas brillantes.

b) Hallar la distancia de la 3ra franja oscura y de la 5ta franja brillante a partir de la franjacentral.

2) La intensidad de luz en la difraccin de Fraunhofer para una sola rendija es:

20 )(

senII

asen

a) Esbozar una grfica de I vs

b) Demostrar que la ecuacin que da los valores de para I mximo es: )(tg

c) Cmo puede resolver esta ecuacin? Halle un valor de

3) Una calle de 10 m de ancho se encuentra inundada. A un costado de la calle hay unposte de 5 m de altura que sostiene un foco. En la vereda del frente una persona observaque la luz del foco reflejada en el agua est polarizada. Hallar:a) El ngulo de polarizacin.

b) La estatura de la persona si la distancia de los ojos a la coronilla es de 5 cm.c) Qu hora aproximada piensa que puede ser?

4) Responda los siguientes puntos:a) Cmo funciona una fibra ptica?

b) Cmo se forman los anillos de Newton?c) En qu consiste la polarizacin de la luz?d) Explique la interferencia en una pelcula delgada.


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CAPTULO V: FUNDAMENTOS DE FSICA MODERNA

RELATIVIDAD ESPECIAL O RESTRINGIDA

Postulados de la Relatividad:

1. Las leyes fsicas pueden ser expresadas mediante ecuaciones de la misma forma entodos los marcos de referencia que se muevan a velocidad constante los unos respectos alos otros.

2. La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor para todos losobservadores independientemente de su estado de movimiento.

La transformacin de Galileo

(velocidad relativa)

Las ecuaciones son:

' .........(1)

' .........(2)

' .........(3)

' .........(4)

x x vt

y y

z z

t t

Derivando con respecto al tiempo:

'' .........(5)

'' .........(6)

'' .........(7)

xVx Vx V

t

yVy Vy

t

zVz Vz

t

Si Vx c , entonces 'c c V

Entonces vemos que no cumple con el segundo postulado. Se necesita una transformacindiferente. La transformacin de Lorentz.

y y

x x

zz

S'S

'v


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Transformacin de LorentzEs razonable que: ' ( ).........(8)x k x vt donde k: factor de proporcionalidad, no depende dexni de t, pero puede ser funcin de lavelocidad v.

Del primer postulado: ( ' ').........(9)x k x vt

Tambin:

'

'

'

y y

z z

t t

Reemplazando (8) en (9):

2

( ( ) ')

( ) '

x k k x vt vt

x k x vt kvt

De donde: xkv

kktt

21' (5.10)

El segundo postulado nos permite hallar k.

Si en t=0, t=0, ambos sistemas S y S coinciden. Se enciende una luz en el origen,entonces ambos observadores miden:

: .........(11)

' : ' '.........(12)

S x ct

S x ct

Reemplazando x y t mediante (8) y (10) en (12):

x

kv

kktcvtxk21)(

Despejando x:

ckv

kk

vktcktx

21

=>

ckv

kk

kc

vk

ctx21

=>

v

c

k

c

v

ctx

)11

(1

1

2

Luego, el parntesis debe ser igual a la unidad:

1)1

1(1

1

2

v

c

k

cv

=>v

c

kc

v)1

1(11

2

Entonces: 2/1

1

cvk

(5.13)


58/65



Luego:

2/1'

cv

vtxx

(5.14)

yy' (5.15)zz' (5.16)

22

/1'

cv

c

vxt

t

(5.17)

Si v c se obtiene la transformacin de Galileo.

La transformacin inversa se obtiene haciendo el cambio de variable:

'x x

v v

2)/(1

''

cv

vtxx

(5.18)

'.........(19)y y

'.........(20)z z

2

2

/1

''

cv

c

vxt

t

(5.21)

Contraccin de Lorentz Fitzgerald

Dimensiones pueden cambiar f (velocidad)

Varilla: 0 2 1.........(22)L x x

0L : longitud de la varilla en reposo, para un observador en movimiento:

0L

1x 2x


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11 2

22

2

' '

1

' '

1

x vtx

v

c

x vtx

v

c

2 1

2 1

2

' '

1

oL x x

x x

v

c

Definimos:

2 1.........(23)oL x x Luego:

20 )(1

c

vLL (5.24)

Dilatacin del tiempo

Los relojes que se mueven con respecto a un observador parece que tienen un tic-tacmenos rpida que cuando estan en reposo respecto al mismo.

Sea un reloj ubicado en x del sistema en movimiento S cuando un observador en Sencuentra que el tiempo es t un observador en S medir:

22

'1

1/1

'

cv

c

vxt

t

Despus de un intervalo t0para el sistema S, Smedir que el tiempo es t2 segn su reloj:'1

'20 ttt (5.25)

Sin embargo, el observador en S mide al final del mismo intervalo:

2

2'2

2/1

/'

cv

cvxtt

De manera que para l la duracin del intervalo t es:

Notas:1) La longitud de un objeto en movimiento respecto a un observador parece este

mas corta que cuando esta en reposo.2) La contraccin relativista de longitud es despreciable para velocidades

ordinarias, pero es un efecto importante a velocidades cercanas a la de la luz.


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2 12 1 2

' '

1

t tt t t

v

c

Entonces:

20

/1 cvtt

(5.26)

t : estacionario

0t : en movimiento

Relatividad de la Masa

La masa de un cuerpo que se mueve a velocidad v con respecto a un observador es:

20

/1 cv

mm

(5.27)

donde: 0m : masa en reposo

Los incrementos de masa relativista slo son apreciables a velocidades cercanas a la de laluz.

Masa y Energa

La relacin ms clebre que obtuvo Einstein de los postulados de la relatividad especiales: 2E mc

Deduccin:

Energa Cintica: S

sdFT0

. (5.28)

donde Fy ds son parelelos:( )P mv

Ft t

0 0

( ) ( )( )

s mvd mv dSd mv

T dS vd mvdt t

Nota:Un reloj estacionario mide mayores intervalos de tiempo entre acontecimientos queocurren en un marco de referencia en movimiento que un reloj situado en el marco enmovimiento


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Entonces:

)/1

(0

2

0

mv

cv

vmvdT

Esta integral se resuelve usando el mtodo de integracin por partes:

v

cv

vdvm

cv

vmT

02

0

2

20

/1/1

v

c

vcm

cv

vm

0

220

2

20 1/1

Entonces:

11/1

22

02

20

c

vcm

cv

vmT

2

02

20

/1cm

cv

cmT

Por lo tanto tenemos:2

02 cmmcT (5.30)

20

2 cmTmc (5.31)

Energia total Energa en reposo2mcE (5.32)

La energa cintica relativista es:

2

02

202

02

/1cm

cv

cmcmmcT

=

1

/1

12

20

cvcm

Si v c entonces:2

21

v

c

Se puede expresar la raiz en forma exponencial:

2/12

2)(1

/1

1

c

v

cv

Entonces se tiene que: 2

22/12

2

11/1

c

vcv

22

0 2

11 1 1

2

vT m c

c

20

1

2T m v esto es la energa cintica clsica.


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Observacin:Si 1x , entonces: (1 ) 1nx nx

Importante: la formulacin correcta de la mecnica se basa en la relatividad y con la

mecnica clsica se obtiene solamente una aproximacin que es correcta unicamente endeterminadas circunstancias: v c .

BIBLIOGRAFIA

Recomendacin:Una lectura recomendable de leer esQu es la Teora de la Relatividad? de L. Landau, Y. RumerEditorial MIR Mosc.Este libro esta disponible en internet, y Ud.Puede descargarlo desde la siguiente direccin:

http://uploadbox.com/files/YkIDOPoG80


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FSICA CUNTICA


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1) Responda los siguientes puntos:a) Enuncie los postulados de la Teora de la Relatividad.

b) Cules son las Transformaciones de Galileo?c) Una varilla mide 10m para un observador en reposo, cuanto medir dicha varilla paraun observador en una nave espacial con v = c/2?d) Si la masa en reposo de la nave espacial es 9000 kg, cul ser su masa para v = c/2?

2) Un rayo de luz de longitud de onda =5.893x10 -7 m incide sobre una superficie depotasio. El potencial retardado para los electrones emitidos es 0.36 V. Hallar:a) La energa mxima del fotoelectrn en eV.

b) La funcin trabajo realizado por el electrn en eV.c) La frecuencia lmite de la radiacin resultante.d) Si luz de frecuencia f=4.8x1014Hz incide sobre dicho metal, hallar la energa cinticadel electrn emitido.

3) En relacin con el postulado de De Broglie y el fenmeno de difraccin de electrones,se ha demostrado el comportamiento ondulatorio de partculas del mundo microscpico.En mrito a las relaciones de momentum y energa de De Broglie, hallar:a) El momentum relativstico correspondiente a un electrn de 100 keV de energacintica.

b) La longitud de onda de las ondas asociadas de De Broglie.c) Si la indeterminacin en la posicin del electrn es comparable a la longitud de ondade De Broglie, hallar la indeterminacin en su momentum lineal.

4) Una partcula cuntica se encuentra en un pozo de potencial infinito de ancho L.

U(x) = 0 si 0 < x < La) Hallar una solucin de la ecuacin de Schrodinger para la regin 0 < x < L.

b) Hallar la constante de normalizacin.c) Hallar la probabilidad de encontrar a la partcula entre 0 y L/2.

5) Explique cada uno de los siguientes conceptos:a) El efecto fotoelctrico.

b) El efecto Compton.c) El principio de De Broglie.d) El principio de Incertidumbre.


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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Serway, Raymond; Fsica, Sptima Edicin, Tomo II; Editorial McGraw-Hill, Mxico2008.

Hecht, E., Zajac, A. ptica. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, 1986.

Eisberg, R. Fundamentos de Fsica Moderna. Editorial Limusa. Mxico, 1978.

Alonso, Marcelo - Finn, Edward; Fsica, Volumen II: Campos y Ondas; EditorialAddison-Wesley Iberoamericana, Delaware 1987.

Jay Orear. Fsica Fundamental. Editorial Limusa-Wiley, S.A., Mexico, 1966

R. Stollberg & F. Hill. Fsica, fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural S.A.,Mexico, 1967.

Tarasov y Tarasova. Preguntas y Problemas de Fsica. Editorial MIR, Mosc.

Apuntes Del Curso Fisica IV

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