articulo cientifico

REVISION REVISTA MEXICANA DE FISICA 52 (6) 479500 DICIEMBRE 2006

Optica difractiva: una revisi on al diseno y construccion de sistemasopticosempleando lentes difractivas

J. Castro-Ramos, S. Vazquez-Montiel, J. Hernandez-de-la-Cruz, O. Garca-Lievanos y W. Calleja-ArriagaInstituto Nacional de AstrofsicaOptica y Electronica,Apartado Postal 51 y 217, 72000, Puebla, Pue. Mexico,

e-mail:[email protected]

Recibido el 20 de diciembre de 2005; aceptado el 10 de noviembre de 2006

Hoy en da laoptica difractiva esta teniendo un gran auge en la construccion de sistemasopticos formadores de imagen, debido principalmentea las ventajas que se obtienen en la calidad de la imagen y al empleo de una menor cantidad de elementosopticos. As, los elementosopticos difractivos (EOD) han alcanzado un gran impacto que va en incremento da a da; una clara muestra son los artculos cientficos deinvestigacion y divulgacion [1-3] que han aparecido por parte de companas transnacionales como CANON, KODAK y NYKON, entre otras,las cuales mencionan una gran cantidad de proyectos en los que planean construir y evaluar camaras digitales, proyectores de cristal lquidoy otros equipos formadores de imagen, todo ello mediante el empleo de EOD. Bajo el contexto anterior se plantea en este artculo hacer unarevision de los fundamentos en los que se basa laoptica difractiva, los metodos que se utilizan para disenar los sistemasopticos empleandoelementosopticos difractivos, as como la descripcion de las tecnicas mas comunes para su fabricacion y el empleo que tienen estos sistemasopticos.

Descriptores:Elementosopticos difractivos; microcomponentesopticos; diseno opticos; litografa opticos.

Nowadays diffractive optics in the fabrication of imaging optical systems is having a boom due to many advantages over the image qualityand the use of less optical elements. Diffractive Optical Elements (DOEs) are showing a huge growth in the optical industry and it goes inincreasing day to day. Transnational companies like CANON, KODAK and NYON refer to great quantity of projects for building imagingequipment, digital cameras; liquid crystal projectors among others by means of using DOEs, already their results have been appearing in alot of published papers and technical reports [1-3]. Due to above written, a review on fundamental concepts in which the diffractive optics isbased is explained. The methods employed to design optical systems by using diffractive optical elements are check over, the most commontechniques to produce such elements are also reviewed. Finally some applications based on DOEs are explored in this paper.

Keywords:Diffractive optical elements; integrated optics; optical design; photolithography.

PACS: 01.30.Rr; 07.60.-j; 42.15.Eq; 42.0.Lx

1. IntroduccionEl primer elementooptico difractivo la placa zonal, el cualconsiste en un conjunto de regiones circulares opacas y trans-parentes, fue realizado quiza por Lord Rayleigh en 1871 [4].Este sistema funciona como una lente que tiene un conjuntoinfinito de focos a lo largo de su ejeoptico, cada uno de loscuales contiene una cierta fraccion de la energa incidente.Desafortunadamente, el foco principal solo contena el 10 %de la energa total incidente y el resto de la energa era distri-buida entre los otrosordenes difractados.Esta era la principalpropiedad de la placa zonal de Fresnel, con lo cual se daba lu-gar a una pobre calidad en la imagen.

En 1918 Wood fabrico la placa zonal de Fresnel (o placazonal de fase invertida) [4] que capto un redituable 40 % deenerga en el foco principal. Ese tipo de placa fue construidareemplazando las regiones opacas con un material transpa-rente de cierto grosoroptico. Mientras la eficiencia en losordenes de difraccion fue mejorada sustancialmente, hubouna gran senal de fondo que tendio a reducir el contraste dela imagen.

A principios de los anos 50 y 60s, varios investigadoresconsideraron cortes en forma de dientes de sierra (blazing) enla placa zonal, con la finalidad de incrementar la cantidad deenerga que se concentra en un orden de difraccion particu-lar. De manera teorica, dentro de la aproximacion escalar, era

posible alcanzar una eficiencia de difraccion del 100 % en unfoco dado, haciendo uso de este tipo de lente de Fresnel (bla-zed). Desafortunadamente, la tecnologa para la fabricacionde este tipo de elemento difractivo, en aquellos anos no esta-ba disponible para producirlos en cantidades significativas.

A finales de 1960, Lesem, Hirsch y Jordan desarrollaronel kinoform; elementooptico difractivo cuyo control de fa-se se hace modulando el perfil de una superficieoptica, estoes, modulando el espesor de la misma. Durante este periodose iniciaron varias tecnicas de fabricacion, las cuales serandetalladas mas adelante, con ellas surgio un gran interes enel inicio de la construccion de laoptica difractiva en relievede superficies. De particular interes fue el metodo para crearel perfil de la superficie, basado en un conjunto de mascarasfotolitograficas binarias desarrollado en los anos 70s [5,6].Sin embargo, el auge de laoptica difractiva llego realmenteen los anos 80s, cuando el termino deoptica binaria reci-bio gran atencion gracias al excelente trabajo que fue realiza-do en el MIT Lincoln Laboratory [7,8]. Este trabajo hizo po-sible la fabricacion de lentes de Fresnel con una eficiencia dedifraccion aproximadamente del 90 %. Actualmente las su-perficies de relieve de los EOD, son fabricadas por procesosfotolitograficos y grabados de plasma, lo cual produce super-ficies suaves y bien definidas, con eficiencias de alrededor del94 % [9].

480 J. CASTRO-RAMOS, S. VAZQUEZ-MONTIEL, J. HERNANDEZ-DE-LA-CRUZ, O. GARCIA-LIEVANOS Y W. CALLEJA-ARRIAGA

FIGURA 1. Configuracion de los planos de abertura y de observa-cion.

En este artculo presentamos una revision, de las tecnicasde diseno y fabricacion mas relevantes que se utilizan actual-mente para desarrollar y aplicar los EOD. El trabajo inicia enla Sec. 2, donde se presentan los fundamentos de la teora es-calar de la difraccion, de Fresnel y Fraunhofer. En la Sec. 3 sepresentan las propiedades de transmision y fase de los EOD,mientras que en la Secs. 4 y 5 se presentan los metodos parafabricar y probar los EODs. El artculo concluye en la Sec. 6donde se presentan las aplicaciones mas usuales de los EODy finalmente se detalla un ejemplo muy particular de un EOD,el cual empieza desde el diseno hasta su construccion.

2. Difraccion de Fresnel y de Fraunhofer

De acuerdo con Goodman [10], la difraccion no es ni refle-xion ni refraccion. El termino difraccion viene del latn dif-fractus,que significa quebrar o desviar. La difraccion es jun-to con la interferencia un fenomeno tpicamente ondulatorioy se observa cuando en su propagacion una onda se distor-siona al incidir en un obstaculo cuyas dimensiones son com-parables a la longitud de onda de la radiacion incidente. Estefenomeno de la difraccion tiene su explicacion en el principioenunciado por Christian Huygens en 1690, el cual dice quecada punto de un frente de onda primario sirve como fuentede onditas esfericas secundarias, tales que el frente de ondaprimario un tiempo mas tarde es la envolvente de esas ondi-tas. Ademas las onditas avanzan con una rapidez y frecuen-cia igual a la de la onda primaria en cada punto del espacio.As mismo podemos hablar de difraccion de campo cercano ode Fresnel y de campo lejano o de Fraunhofer. Consideremosla difraccion de un frente de onda monocromatico debido auna abertura finita, en una pantalla opaca infinita, como semuestra en la Fig. 1.

Analticamente la difraccion de Fresnel o campo cercanoes un caso especial de la solucion general obtenida por Som-merfeld conocida como la formula de difraccion de Rayleigh-Sommerfeld [10]:

U (P ) =1i

A

U0 (xo, y0)eikr

rCos

(_,

_r)

dx0dy0; (1)

ecuacion que nos proporciona la amplitud del campo (electri-co o magnetico) difractado de una onda monocromatica en elpunto de interesP localizado a lo largo der = ~r debidaa una abertura finita. La Ec. (1) se puede interpretar como lasuperposicion de ondas esfericas secundarias que se originanen fuentes secundarias virtuales sobre el plano de la abertu-ra. La amplitud de estas ondas esfericas es proporcional a laamplitud del campooptico incidenteU0 (xo, y0) en la aber-tura y tambien es proporcional al factor 1/, donde es lalongitud de onda de la radiacion incidente,k es la magnituddel vector de propagacion (2/), e i es el numero imagina-rio puro. Ademas la amplitud de estas ondas secundarias seve afectada por el factor de oblicuidadcos (n, r), que descri-be la direccion de las mismas y que esta representado por elcoseno delangulo entre el vector normal a la abertura

n y el

vector de posicionr, como se muestra en la Fig. 1.

Si ahora suponemos que la distancia desde el punto enel plano de la abertura de difraccion al punto en el plano deobservacion es mucho mayor que el tamano de la abertura,entonces

1/r 1/z y cos(

_,

_r) 1.

Hacemos notar que la magnitud del vector de posicion rque se encuentra en el exponente no se puede aproximar de lamisma manera, como en el denominador del integrando, yaque con variaciones pequenas de fase el exponente cambiaconsiderablemente [10]. Si hacemos una aproximacion en lamagnitud del vector de posicion r hasta un segundo termi-no usando el teorema del binomio, a partir de la Ec. (1) sepuede obtener la amplitud del campo en el plano de observa-cion [10]:

U (x, y) =eikz

iz

A

U0 (x0, y0) eik2z [(xx0)2+(yy0)2]dx0dy0. (2)

Esta ecuacion es conocida como laintegral de difraccionde Fresnel o de campo cercano, que representa una super-posicion de ondas esfericas en la aproximacion paraxial. Laamplitud de estas ondas es proporcional a la amplitud com-pleja del campo que incide en la aberturaU0 (xo, y0) y alfactor 1/. Igualmente estas ondas tienen un corrimiento defase de/2 indicado por el factor1/i.

La difraccion de Fraunhofer ocurre cuando el caminooptico de puntos desde la abertura de difraccion al puntode observacion depende linealmente de las coordenadas dela abertura. Esto puede llevarse a cabo considerando que lafuente y el plano de observacion se encuentran muy lejos dela abertura.

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OPTICA DIFRACTIVA: UNA REVISION AL DISENO Y CONSTRUCCION DE. . . 481

FIGURA 2. Esquema de la rejilla de difraccion.

A diferencia de la difraccion de Fresnel, la difraccion deFraunhofer tiene lugar en un plano de observacion a una dis-tancia todava mucho mas grande comparada con el tamanode la abertura [10, 11] (1 Km), por lo que tambien es lla-mada difraccion de campo lejano. Para determinar la integralde difraccion de Fraunhofer, desarrollamos los binomios enla integral de difraccion de Fresnel, para campo cercano yde acuerdo con Born & Wolf [11] se acostumbra la siguienteaproximacion:

z k2

(x20 + y

20

) e ik2z (x20+y20) 1dondek = 2/, ante esta aproximacion se tiene la siguienteecuacion conocida comola integral de difraccion de Fraun-hofer o de campo lejano, expresion que es facilmente reco-nocible y se puede escribir en terminos de la transformada deFourier [12]:

U (x, y) =eikz

ize

ik2z (x2+y2)

A

U0 (x0, y0)ei2(ux0+vy0)dx0dy0

=eikz

ize

ik2z (x2+y2)={U0 (x0, y0)} , (3)

donde se han definido las coordenadas de frecuencia espacialu = x/z v = y/z. Lo anterior significa que la ampli-tud compleja del patron de difraccion de Fraunhofer es pro-porcional a la transformada de Fourier de la distribucion delcampooptico en el plano de la abertura. Mediante algunas su-posiciones, como el hecho de que para ondas planas o esferi-cas y monocromaticas la distribucion de irradiancia del cam-po es proporcional al modulo cuadrado de la intensidad [11],es decir,

I (x, y) =1

2z2|= {U0 (x0, y0)}|2 . (4)

Aprovechando la relacion entre la teora escalar de difrac-cion y del analisis de Fourier, describimos algunos teoremasque seran muyutiles. Sabemos de la Ref. 12, que toda fun-cion periodica, real o compleja, se puede expresar como undesarrollo en serie de funciones armonicas seno o coseno obien como una exponencial compleja, de tal manera que sif(t) es la funcion descrita entonces:

f (t) =

n=Cne

i n w0 t, (5)

donde los coeficientesCn, la frecuenciaw0 y el periodoT dela funcion estan relacionados por

w0 = 2/T , Cn =1T

T/2

T/2

f (t) ei n w0 tdt. (6)

Existe en el analisis de Fourier un teorema conocido co-mo el de la energa o de Parseval, que nos dice que si unafuncion es real y periodica, entonces

1T

T/2

T/2

[f (t)]2 dt =

n=|Cn|2, (7)

lo que se interpreta como energa total del sistema, esto es,si se supone quef(t) es el voltaje de una fuente conectada atraves de una resistencia de 1, entonces la cantidad del ladoderecho de la Ec. (7) es la energa total entregada por la fuen-te; de esto vemos que los coeficientes de la serie de Fouriernos proporcionan la energa total en el plano de observacion.

Bajo las consideraciones anteriores se define aqu la efi-cienciam para un orden de difraccionm como

m = CmCm = |Cm|2 . (8)

que se entiende como la fraccion de la energa incidente quees difractada dentro del ordenm en particular. Esta eficien-cia esta dada por el modulo cuadrado de los coeficientes deFourier, donde el asterisco denota el complejo conjugado.

2.1. Rejilla de difraccion

Brevemente podemos decir que una rejilla de difraccion esuna pieza de material transparente o semitransparente, queesta compuesta de un gran numero de rendijas paralelas deigual tamano y situadas a la misma distancia una de la otra.Analicemos como ejemplo de la difraccion de Fraunhofer ala rejilla de difraccion. Por simplicidad se considera una re-jilla unidimensional y el analisis se restringe al planoyz, larejilla esta colocada a lo largo del ejey, enz = 0, la Fig. 2muestra una vista de perfil y de frente de la rejilla.

Definamos, como es comun, la funcion de transmitan-cia de un objeto como la razon del campooptico salien-te y el campo incidente. Supongamos que la rejilla de di-fraccion tiene un periodo fundamentalL, lo que lleva a es-cribir la funcion de transmision U(y)para la rejilla comoU(y) = U(y + L). Debido a la periodicidad,U(y) se puedeexpresar como se describio en la seccion anterior, en terminosde una serie de Fourier:

U (y) =

m=Cm exp (i2mfoy), (9)

dondef0 = 1/L es la frecuencia espacial de la rejilla y loscoeficientesCmestan dados por la Ec. (6).

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Si U(y) es una funcion puramente real y positiva, enton-ces la rejilla es unarejilla de amplitud, mientras que siU(y)es una funcion compleja es unarejilla de fase. En generalU(y) puede tener tanto componentes de amplitud y fase. Sinembargo, para muchas aplicaciones practicas, es importantemaximizar la transmision del sistema, as que los elementosde fase son preferidos. Supongamos que una onda plana deamplitud unitaria que incide a unanguloi con respecto aleje z (ver Fig. 2) en la rejilla, en el planoz = 0, tiene laforma dada por [13]

Uonda plana(y, z = 0) = exp(

i2

v/ny sin (i)

), (10)

donden es elndice de refraccion del sustrato en el que segraba la rejilla,n es elndice de refraccion del medio des-pues de que la luz atraviesa la rejilla,i es elangulo con elque incide la luz y es la longitud de onda de la radiacionincidente. El campo transmitido por la rejillaUt (y, z = 0),es el producto entre el campo incidente y la funcion de trans-mitancia, as tenemos que

Ut (y, z = 0) = Uonda plana (y, z = 0) U (y)

= exp(

i2

v/ny sin (i)

) m=

Cm exp (i2mfoy)

=

m=Cm exp

[i2y

(sen(i)v/n

+ mfo

)]

=

m=Cm exp

[i2y

sen(d)v/n

]. (11)

La expresion anterior representa el campooptico difrac-tado por una rejilla de frecuenciaf0 como una serie de ondasplanas con amplitudes iguales a los coeficientes de FourierCm, donde losangulos de propagacion de la onda plana inci-dente y emergente de la rejilla se pueden obtener a partir dela Ec. (11) y estan relacionados de la siguiente forma:

sen(d)v/n

=sen(i)v/n

+ mfo,

m = 0,1,2, . . . ..,. (12)

La Ec. (12) es conocida como ecuacion de la rejilla, estosignifica que si un haz de luz monocromatico de ondas planasincide sobre la rejilla la luz se difractara en cada una de laslneas de la rejilla, emanando de cada una de ellas una serieinfinita de haces colimados como se muestra en la Fig. 2. Lafrecuencia de la rejilla determina la direccion de la propaga-cion de losordenes difractados, mientras que las propiedadesde transmision de un periodo individual determinan la distri-bucion de energa entre los variosordenes difractados, es de-cir, la distribucion de energa entre losordenes sera funciondel unico periodo de la funcion de transmitancia.

FIGURA 3. Placa zonal con radio rn iluminada con una onda plana.

2.2. La placa zonal

Ahora tomemos a la placa zonal como ejemplo de la difrac-cion de Fresnel. Consideremos una abertura dividida en re-giones anulares como las de la Fig. 3, es decir, una pantallade rendijas estrechas de crculos concentricos si la pantalla esiluminada por una onda plana monocromatica de longitud deonda0. En el punto P enfrente de la pantalla las ondas queemergen de cada una de las ranuras estan en fase, si la dife-rencia de caminooptico es un multiplo enteron de la longitudde onda,i.e., ln f0 = n, del teorema de Pitagoras vemosque el radio de los crculos concentricos es calculado comorn =

l2n f20 , o bien

rn =

(n)2 + 2f0n n = 0, 1, 2, . . . .. (13)De esta ecuacion vemos que las rendijas circulares concentri-cas son capaces de enfocar una onda monocromatica planaen pequenas regiones con mucha intensidad. Si suponemosque los anchos de las rendijas concentricas abarcan todos losrayos de luz constructivos en el punto focal, entonces las ren-dijas deberan llegar a tener medio periodo de las zonas cir-culares, las cuales se definen como zonas de Fresnel. Si lasaberturas circulares son divididas en zonas de Fresnel y laszonas alternas son cubiertas con un material opaco, tenemoslo que es llamado una placa zonal de Fresnel. Ademas, si latransmitancia de una placa zonal de Fresnel vara sinusoidal-mente, obtenemos lo que se conoce como una lente zonal deFresnel.

Segun la definicion anterior la transmitanciat(x, y) deuna placa zonal de Fresnel en amplitud es una funcion der2

y se puede escribir comot(r2

)=

A (r2) ei(r2), donde

(r2) representa la variacion de la fase introducida por laplaca zonal. Debido a su periodicidad enr2, la funcion detransmitancia se puede representar como una suma de seriesde Fourier, de tal manera que haciendo uso de la Ec. (5) dichafuncion queda expresada mediante [14]

t(r2

)=

n=

Anei 2nr

2p , con

An =1p

x0+p

x0

t(r2

)ei

2nxp dr2. (14)

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Por otro lado la aproximacion cuadratica de una ondaesferica divergente que proviene de un punto situado a unadistanciaz del plano(x, y) es considerado como [10]

exp[

ik

2z(x2 + y2

)]= exp

[ikr2

2z

];

comparando con la funcion de la placa zonal de Fresnel

exp(

i2nr2

p

)

se tiene que

exp[i2nr2

p

]= exp

[ikr2

2z

].

De aqu quez = f = p/2n, representan los focos de unaonda esferica convergente o divergente.

Se puede observar que una placa zonal periodica enr2,al iluminarla con una onda plana monocromatica, dara lugara una serie de ondas esfericas que convergen o divergen depuntosfn, tales quefn = p/2n. Para cadan=1 se ob-tiene el denominado foco principal o simplemente foco de laplaca zonal y paran6= 1 se tienen las distancias focales se-cundarias. La luz no difractada que pasa a traves de la PZFforma el orden cero. La expresion fn = p/2n nos dice queuna placa zonal es un elemento con cromatismo pronunciado,ya que cada uno de los focos es inversamente proporcional ala longitud de ondade iluminacion y que la longitud focalpara el color rojo sera mas corta que para el color azul.

Derivemos de una manera mas formal una ecuacion paralas coordenadas z de los planos focales y para las amplitu-des de losordenes difractados usando la teora escalar de ladifraccion.

Denotamos port (x, y) la funcion compleja de transmi-tancia de la PZF. Ya queesta tiene simetra radial podemosescribir

t(r2

)= t

(x2 + y2

)= t

(r2 + mr2p

). (15)

En esta ecuacionm denota un entero arbitrariom=0,1,2,3,. . . .etc.Si suponemos que la placa zonal esta en la posi-cion z = 0 y ademas es iluminada por una onda plana, en-tonces la amplitud complejaU (x, y, z)del campoopticodifractado en algun planoz 0esta dada por la integral dedifraccion de Fresnel [Ec. (2)]. Al sustituir la Ec. (14) en laEc. (2) se tiene

U (x, y, z) =

s

Aseiz (x2+y)

ei2

(s

r2p+ 12z

)(x2+y2)

ei2z (xx+yy)dxdy. (16)

En el origen, esto es, enx = y = 0, tenemos

U (0, 0, z) =

s

As

ei2

(s

r2p+ 12z

)(x2+y2)

dxdy. (17)

Si ahoras/r2p + 1/2z = 0 tenemos picos que son losfocos para la PZF, paraz = zs, zs = (r2p)/(2s) s= 0,1, 2, 3. . . .. Lo cual esta de acuerdo a lo mencionadolneas arriba donde el periodo fundamentalp = r2p. Se de-be notar que paras = 0, zs < 0, corresponde a una on-da esferica divergente de la PZF, y los valores negativos desdan las coordenadasz de los planos focales de la PZF. Losplanosz = zpson los planos focales de la PZF, recordando ladefinicion de la de Dirac, la Ec. (16) se puede escribir como

U (x, y, z) = Asei

zs(x2+y2)

(x

zs,

y

zs

)

+

m 6=sAm. (18)

Los coeficientes de Fourier dan los valores de la amplitud delos focos de la PZF. La amplitud de la onda enfocada en elplanozs esAs. La suma en la Ec. (18) param6=s represen-tan las ondas que son difractadas dentro de los otros planosz = zm.

En esta seccion hemos revisado de manera muy generalla difraccion de Fresnel y Fraunhofer, como ejemplo espe-cifico de ellas, hemos analizado la rejilla de difraccion y laplaca zonal Fresnel. En la siguiente seccion se analizaran laspropiedades de las lentes difractivas, deducidas en base a lorevisado en esta seccion.

3. Lentes difractivas

En esta seccion analizaremos los modelos que se han estable-cido para el diseno de lentes difractivas. Empezaremos con elanalisis del funcionamiento de los elementos difractivos y sucomparacion con el funcionamiento de las lentes convencio-nales, la representacion general de la fase de los elementosdifractivos, las aberraciones de primer y tercer orden de laslentes difractivas. Finalmente, se explicaran las ventajas quese obtienen al combinar las lentes difractivas con lentes con-vencionales.

FIGURA 4. Exposicion geometrica del holograma

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FIGURA 5. Lente equivalente de un elementooptico holografico.

FIGURA 6. Vista ampliada de una lente equivalente.

3.1. Descripcion de elementosopticos difractivos y holo-graficos como lentes

Un elementooptico difractivo (EOD) es una nueva clase deoptica que opera sobre el principio de la difraccion. Los ele-mentosopticos convencionales usan su forma para desviarla luz. Laoptica difractiva trabaja por dividir las ondas, en-trantes de luz en un gran numero de ondas las cuales al re-combinarse forman ondas completamente nuevas como seexplico en la teora de difraccion. De manera general, unalente difractiva consiste en una serie de anillos radiales o zo-nas de ancho decreciente tal y como una placa zonal.

Existen algunas maneras de explicar el funcionamientode una lente difractiva; daremos aqu la mas aceptada. Es unhecho conocido que para un cierto orden de difraccion, unElemento holografico o difractivo puede ser considerado co-mo una lente convencional donde elndice de refraccion seaproxima a infinito y las curvaturas y espesor se aproximana cero, de tal manera que el elemento holografico permanecefinito [15].

Los elementos holograficos son expuestos normalmenteusando dos ondas esfericas, como se muestra en la Fig. 4.

Cualquier holograma plano que es expuesto usando dosondas esfericas que interfieren, puede ser representado exac-tamente por dos lentes plano convexas en contacto, donde lassuperficies convexas son hiperboloides y elndice se aproxi-

ma a infinito. En la Fig. 5 se presenta la lente equivalente deun elementooptico holografico, formado con las caractersti-cas anteriores.

La Fig. 6 muestra una vista ampliada del modelo dedos lentes. La lente de la izquierda es plano hiperboli-ca, esta transforma la onda esferica divergente del punto(x1, 0, z1) dentro de una onda plana propagandose en la di-reccionz [16]. La lente plana hiperbolica de la derecha trans-forma la onda plana en una onda esferica convergente, enfo-cando en el punto (x2, 0, z2). Los hiperboloides que descri-ben las superficies 1 y 2 son descritos, respectivamente, por

y2 + (x x1)2 =(n20 1

)z2 2 (n0 1) 2z1,

y2 + (x x2)2 =(n20 1

)z2 2 (n0 1) 2z2. (19)

Estas superficies tienen radios de curvatura medidos apartir de sus vertices, dados por

r1 = (n0 1) z1 n0z1,r2 = (n0 1) z2 n0z2, (20)

y constantes de conicidad

k1 = k2 = n20, (21)

donden0 es el ndice de refraccion asociado con la longi-tud de onda de exposicion0. Tal como ha sido comprobadopor Sweatt [15], la teora mencionada se satisface completa-mente al realizar un trazo de rayos a traves de un elementoholografico empleando la teora de la difraccion [17].

3.2. Lentes difractivas y su funcion de fase

En algunas aplicaciones, una componenteoptica puede re-querir el uso de una superficie difractiva combinada con unalente clasica convencional. En otros casos los requerimientospueden ser satisfechos con solo un elemento difractivo. Unalente difractiva es un elementooptico que funciona de ma-nera similar a una lente convencional (refractiva-reflectiva).Este elementooptico utiliza alguna estructura periodica fun-damental junto con la naturaleza ondulatoria de la luz a finde cambiar la direccion de propagacion de la luz de mane-ra controlada. Este elemento consiste en zonas que retardanla luz incidente por modulacion del perfil de la superficie, esdecir, la funcion de fase que caracteriza este elementoopticohace que la luz incidente interfiera y forme al final el frentede onda deseado.

Para obtener el frente de onda deseado, despues de pa-sar por el sistemaoptico difractivo, es necesario conocer lafuncion de fase de este elemento, la cual permitira modularla luz. Supongamos que iluminamos un elemento de fase conun frente de onda esferico incidentei(x, y), este elementogenera una onda de salidas(x, y), el cual queda determina-do por su funcion fase (ver Fig. 7):

s(x, y) = i(x, y) + (x, y). (22)

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FIGURA 7. Elemento difractivo que forma un punto imagen(x2, y2, z2) del punto objeto (x1, y1, z1).

De esta ecuacion se puede obtener la funcion de fase delelemento difractivo(x, y), la cual es descrita por la ecua-cion

(x, y) = s(x, y) i(x, y). (23)Con ayuda de la siguiente expresion podemos determinar

las fasesi(x, y) y s(x, y)para la onda de entrada y salida apartir de la geometra de la Fig. 7:

i(x, y) =20

(x xi)2 + (y yi)2 + z2i , (24)

donde0 es la longitud de onda de diseno, el termino queacompana la raz cuadrada que se encuentra del lado dere-cho de la Ec. (24) indica el caminooptico de la luz (donde elndice de refraccion es 1) y el subndicei = 1, 2 indica lascoordenadas del punto objeto e imagen, respectivamente.

Para el caso mas general, la funcion de fase(x, y) delelementooptico difractivo es expresada como [18]

(x, y) =20

m

n

amnxmyn, (25)

donde el factoramn representan los coeficientes de la fun-cion fase que quedan determinados si se conoce la posiciondel objeto e imagen yx, y son las coordenadas en el elemen-to optico difractivo. Cuando se tiene simetra rotacional en elEOD la Ec. (25) se reduce a la siguiente expresion:

(x, y) =20

(a2 (x + y) + a4 (x + y)

2

+ a6 (x + y)3 + a8 (x + y)

4 + . . .)

. (26)

Esta es una expresion mas simple de trabajar, desde el pun-to de vista en que el numero de coeficientes a encontrar esmenor que en la Ec. (25).

Para disenar un EOD basta con encontrar la funcion defase(x, y) que module el frente de onda incidente y obte-ner as el frente de onda deseado. Una vez que se obtiene la

funcion de fase, la estructura fsica de la lente difractiva escalculada mediante la funcion de perfil

h(r =

x2 + y2

)=

(0

n (0) 1)

mod[ (r, 0)

2

],

donde la altura maxima del perfil de la superficie correspondea una fase de 2 y es igual a

hmax = 0/ [n (0) 1]

En la siguiente seccion se describiran dos metodos para en-contrar los coeficientesai de la funcion de fase dada por laEc. (26).

3.2.1. Placa zonal y sus aberraciones

Con la finalidad de entender que significado tiene cada co-eficiente de la Ec. (26), tomemos como modelo a la placazonal. Supongamos que iluminamos a la placa zonal de radiorn con una onda plana o con luz colimada monocromatica delongitud de onda (ver Fig. 3).

Los radiosrn de cada zona se pueden calcular conside-rando que la diferencia de caminooptico entre un rayo quepasa por el centro y otro rayo que pasa en el borde de la placazonal de radiorn sea den/2. As, tenemos de la Ec. (13)que

rn =

nf +

n22

4,

dondef es la distancia focal de la placa zonal yn es el nume-ro total de anillos.

Se pueden encontrar las aberraciones de tercer orden enuna placa zonal similarmente a como se hace para el casode una superficie refractiva. Desarrollando en una serie bino-mial la diferencia de caminooptico de los rayosF f [19](ver Fig. 3), para obtener finalmente

DCO =r2n2f

r4n

8f3+

r6n16f5

5r8n

128f7+ . . . (27)

Haciendo la comparacion con la Ec. (26), tenemos queel primer terminoa2 = 1/2f tiene una dependencia enr2ny depende de las propiedades paraxiales de la placa zonal;estos son, el numero de anillos, el semidiametro de la lente,la longitud de onda de iluminacion y la distancia focal de lalente.

En el segundo termino de la Ec. (27),r4n/8f9,

a4 = 1/8f3, se observa que tiene una dependencia a lacuarta potencia del radio de la placa zonal que, comparan-do con las aberraciones de Seidel [11], se puede decir quecorresponde a la aberracion esferica de tercer orden del fren-te de onda. Los terminos de orden mayor indican la cantidadde aberracion esferica de alto orden.

Las expresiones para las aberraciones fuera de eje en laplaca zonal se pueden encontrar considerando que se iluminala placa con luz colimada a unangulo (ver Fig. 8).

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FIGURA 8. Placa zonal iluminada con luz colimada inclinada unangulo.

La diferencia de caminooptico (DCO) entre un rayo quepasa por el borde y otro que pasa por el centro [20] de la placazonal es

DCO = rnsen() + f

[1 +

(tan rn

f

)2]1/2

f [1 + tan2 ]1/2 . (28)

Nuevamente,rn es el semidiametro yfes la distancia fo-cal de la placa zonal.

Con la finalidad de obtener las aberraciones de Seidel fue-ra de eje, se hace un desarrollo binomial a las expresiones quese encuentran entre parentesis en la Ec. (28) y sus correspon-dientes en series de potencias a las funciones sen() y tan(),para finalmente obtener

DCO =r2n2f

r4n

8f3+

r3n

2f2 3r

2n

2

4f+ . . . (29)

Se puede observar que las primeras dos expresionescorresponden a los mismos terminos que en la Ec. (29) yadescritas anteriormente.

El tercer termino de la Ec. (29) tiene una dependencia ala primera potencia con elangulo de campo y a la tercerapotencia del semidiametro de la pupila, por consiguiente se leatribuye a esta expresion la aberracion de coma. En el cuartotermino esta inmerso el astigmatismo y la curvatura de Petz-val. Se divide este termino en dos expresiones y haciendo unaanaloga con los terminos correspondientes al astigmatismoy curvatura de Petzval para las aberraciones de Seidel de unasuperficie refractiva, tenemos que(r2n2)/2f representa elastigmatismo y(r2n2)/4f a la curvatura de Petzval. Puedenotarse que no existe el termino de distorsion y que por con-siguiente la imagen que se forma por la placa zonal esta librede esta aberracion a lo largo del campo.

3.2.2. Modelo de Sweatt

Como se ha descrito anteriormente, una lente difractiva esuna rejilla de difraccion con frecuencia variable. Una alter-nativa para disenar este tipo de lentes es usar el modelo ma-tematico propuesto por Sweatt [15]. Este autor propone queuna lente difractiva se puede analizar como una lente delgada

refractiva, pero con la diferencia de que esta lente debe tenerunndice de refraccion muy grande, por ejemplo 10,000 [21].Una ventaja principal de usar este modelo, es que nos permitedisenar las lentes difractivas aplicando el trazo de rayos pa-ra superficies convencionales. Dicho en otras palabras, estemodelo permite derivar las expresiones para los coeficientesde las aberraciones a tercer orden para una lente difractiva,directamente de las ecuaciones de lentes delgadas conven-cionales [20,21].

En las lentes convencionales las curvaturas son usadas co-mo variables en el proceso de optimizacion, en las lentes di-fractivas, el coeficientea2 de la Ec. (26) esta relacionadonti-mamente con las propiedades paraxiales de la lente difractiva,como se vio en la seccion anterior y se calcula de la siguientemanera:

a2 = 12f , (30)dondef es la distancia focal de la lente difractiva.

Los coeficientesa4, a6, . . . son los grados de libertad deldisenador. Turunen y Wyrowski [22] nos dicen que el espesorintroducido por aquellos terminos adicionales de asfericidad[Ec. (31)], puede ser facilmente convertido a valores de loscoeficientes de la fase difractiva.

De acuerdo con la relacion lineal que existe entre elndicede refraccion y la potencia de la lente, elndice de refraccioncomo una funcion de la longitud de onda puede ser escritocomo

ns() =

0[ns (0) 1] + 1,

donde el subndices se refiere al modelo de Sweatt,0 es lalongitud de onda de diseno y en el cual se esta suponiendoque corresponde al primer orden de difraccion.

Por otra parte, supongamos que la sagita de la superficiese puede rescribir como

z (r) =cr2

1 +

1 (cr)2+ dr4 + er6 + . . . , (31)

dondec, d, e, etc son constantes; para una lente de espe-sor z (r) tenemos que la diferencia de caminooptico puedeser expresada comon z (r), donden = [ns () n]representa el cambio dendice de refraccion que ocurre alpasar de un medio a otro. El signo + es empleado cuando lasuperficie asferica esta en la primera superficie de la lente yel signo corresponde cuando la superficie asferica esta en lasegunda superficie de la lente,n es elndice de refraccion delmedio que rodea la lente, en este caso es aire y, por lo tanto,es aproximadamente igual a 1,nses elndice de refraccionantes mencionado.

Expandiendo el primer termino en una serie de Taylor yagrupandolos con los terminos de la misma potencia, los co-eficientes de la lente difractiva pueden ser re-escritos como

a4 = [ns (0) 1](

c3

8 + d)

,

a6 = [ns (0) 1](

c5

16 + e)

,. (32)

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d y e son los coeficiente de asfericidad,c es la curvatura de lasuperficie donde sera grabada la lente difractiva del sustrato.

3.2.3. Aberraciones de Seidel para lentes difractivas

Generalmente la imagen producida por un sistemaopticonunca esta libre de erroresopticos geometricos, habitual-mente denominados aberraciones. Fue Ludwig Von Seidel en1856 el primero en describir matematicamente las imagenesproducidas por un sistemaoptico y que hoy en da se co-noce como aberraciones de Seidel, las cuales correspondena las aberraciones monocromaticas de tercer orden, a saber:aberracion esferica, coma, astigmatismo, curvatura de campoy distorsion. Los coeficientes para las aberraciones de Seidelde una lente difractiva, se pueden obtener directamente de lasaberraciones de Seidel para lentes delgadas [20]:

W (h, , cos) =18SI

4 +12SIIh

3 cos

+12SIIIh

22 cos2 , +14

(SIII + SIV )h22

+12SV h

3 cos , (33)

donde h es la altura objeto normalizado, y soncoordenadas polares medidas en la pupila de entrada ySI , SII , SIII , SIV , SV son las sumas de Seidel. Cuando eldiafragma de abertura esta colocado sobre la lente, cada unarepresenta a las diferentes aberraciones primarias: esferica,coma astigmatismo, curvatura de campo y distorsion respec-tivamente, las cuales son expresadas mediante las siguientesecuaciones:Aberracion esferica

SI =14y4k3

[(n

n 1)2

+n + 2

n (n 1)2 B2

+4 (n + 1)n (n + 1)

BC +3n + 2

nC2

]. (34)

Coma

SII = 12y2k2H

[n + 1

n (n 1)B +2n + 1

nC

]. (35)

AstigmatismoSIII = H2k. (36)

Curvatura de campo

SIV =H2k

n. (37)

DistorsionSV = 0. (38)

En todas estas ecuacionesn es elndice de refraccion,y esla altura del rayo marginal paraxial en la lente,k es la po-tencia de la lente expresadas en terminos de sus curvatu-rask = (n 1) (c1 c2), H es el invariante de Lagrange.

B y C son el factor de forma y de conjugados o amplifica-cion dados como

B =c1 + c2c1 c2 y C =

u + u

u u , (39)

u y uson losangulos del rayo paraxial marginal inicial y fi-nal en la lente.

Considerando que elndice de refraccion tiende a infini-to [21] y agregando un coeficiente asferico de cuarto orden ala aberracion esferica [22], obtenemos la Ec. (40):

SI =y4k3

4

[(n

n 1)2

+n + 2

n (n 1)2

(

B +2

(n2 1)

n + 2C

)2 n

n + 2C2

+ 8dy4(n), (40)

o directamente en terminos del coeficiente a4 obtenemos lasaberraciones de Seidel a tercer orden para los EODs:

SI=y4k3

4

[1+B2+4BC+3C2

]8a4y4m0, (a)

SII = y2k2H

2 [B + 2C] , (b)

SIII = H2k, (c)

SIV = 0, (d)

SV = 0, (e)

(41)

Dado que elndice de refraccion tiende a infinito,c1 y c2deben tender a la curvatura del sustratocs, que es la curvaturadonde sera grabada la lente difractiva. Nosotros necesitamosredefinir el factor de formaB para que no quede indetermi-nado:

B =c1 + c2

(n 1) (c1 c2) =c1 + c2

k=

2csk

, (42)

y las curvaturas que representan a una lente difractiva comouna lente convencional se calculan como

c1,2 = cs k02 [ns (0) 1] ; (43)

recordando que el lente tendra unndice de refraccion mayorde 10000.

3.3. Propiedades cromaticas de las lentes difractivas ycorreccion

Como se explico en la Sec. 3.2.2, elndice de refraccion paralas propiedades cromaticas se puede rescribir como una fun-cion de la longitud de onda:

ns () = m

0[ns (0) 1] + 1, (44)

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donde el subndices se refiere al modelo Sweatt [15],m esel orden de difraccion y0 es la longitud de onda del diseno.De la Ec. (44) podemos derivar las expresiones del numerode Abbe y de la dispersion relativa parcial para las lentes di-fractivas:

V d =d

FCy Pd =

1 2F C . (45)

Para el visible,Vd = 3.45. Con lo cual se muestra quelas lentes difractivas tienen dispersiones opuestas a las lentesconvencionales (Vd > 0). Estas ecuaciones se utilizan en eldiseno a primer orden en los sistemas que contienen lentes di-fractivas, dandonos la facilidad de tratarlas como lentes con-vencionales con su respectivo numero de Abbe. La correc-cion de la aberracion cromatica, usandounicamente lentesdifractivas, se hace tomando la ecuacion de la potencia parados lentes delgadas separadas y proponiendo que las poten-cias para dos longitudes de onda sean iguales,

Fdfd1

+F

dfd2 d

fd1fd2

2F2d

=C

dfd1+

Cdfd2

dfd1fd2

2C2d

. (46)

encontrando que la separacion que deben tener para cumplirlo anterior es

d = (fd1 + fd2)[

dF + C

]. (47)

Para el caso del visible se podra aproximar bastante bien por

d (fd1 + fd2) 12 . (48)

Otra manera de corregir la aberracion cromatica es com-binando lentes difractivas con lentes convencionales, con loque se obtienen las denominadas lentes hbridas (refractivo difractivo), las cuales se describen a continuacion.

3.3.1. Lentes hbridas (refractivodifractivo)

Los elementos hbridos son principalmente utilizados paramejorar su funcionalidad por separado. La adicion de unalente difractiva a una lente refractiva trajo como consecuen-cia una mejora en las propiedades dispersivas de ambas,aumento los grados de libertad en el diseno de sistemas, conuna contribucion casi nula en el volumen y peso total del sis-tema, tal como es el caso de los dobletes hbridos [22-24].En estos, la potencia de la parte refractiva y la parte difrac-tiva que compensan la aberracion cromatica se hace con lasecuaciones convencionales considerando el numero de Abbede un elemento difractivo [Ec. (45)]. Ya que la dispersion dela lente difractiva es de signo opuesto a las lentes convencio-nales, un doblete acromatico positivo se puede lograr con lasdistancias focales positivas en ambas lentes;esta es una dife-rencia con los dobletes que son hechos solo con lentes con-vencionales, donde un doblete acromatico se hace combinan-do una lente fuertemente positiva de baja dispersion con una

lente debilmente negativa con una dispersion grande. Tpica-mente el poder del lente con dispersion baja es 2.5 veces elpoder total del doblete, lo cual limita la fabricacion de doble-tes acromaticos con grandes aberturas. Para el caso del doble-te hbrido el poder de la lente de vidrio es menor que el podertotal del doblete, por lo tanto es posible hacer dobletes hbri-dos con grandes aberturas, en adicion al reducir las curvaturasfacilita la correccion de las aberraciones monocromaticas. Ladesventaja que presentan los dobletes hbridos es que tienenun espectro secundario grande, pero reducen la necesidad deusar vidrios exoticos con propiedades acromaticas grandes,comparadas con los dobletes convencionales como se puedeobservar en la Fig. 9; pero esta desventaja puede ser mini-mizada con tripletes acromaticos hbridos. Comunmente, losvidrios Crown son utilizados para dobletes hbridos.

4. Metodos para fabricar lentes difractivas

Despues de que en la seccion anterior se ha mostrado comodeterminar los coeficientes de la fase del elementooptico di-fractivo, el siguiente paso es construirlo. A pesar de que exis-te una gran cantidad de tecnicas, en esta seccion solamentese hace una descripcion de los metodos mas comunes parafabricarlos. En general, lo que se reproduce en las lentes di-fractivas es el perfil de fase(y), que no es otra cosa quela modulacion en2 de la funcion de fase (y) de la len-te difractiva. Como se ha explicado en la Sec. 2, los EODse pueden considerar estructuras de amplitud o bien estruc-turas de fase; en estosultimos la fase del frente de onda queatraviesa el EOD es modulada y esta modulacion de fase esalcanzada por una gran cantidad de medios y metodos.

Si tenemos un EOD delgado inmerso en un medio dendi-ce de refraccion n0 , la diferencia de caminooptico introdu-cido por este elemento es(n n0)d(y), donded(y) es la al-

FIGURA 9. Variacion de la distancia focal para el doblete hbrido ypara el doblete convencional.

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FIGURA 10. Perfil de fase de un EOD diente de sierra blaze deperiodo L.

tura del relieve. As se tiene que el perfil de fase para unalongitud de onda0 es [22]

(y) =20

[n n0] d(y). (49)

Si hacemos que el perfil de fase(y) vare en2, es de-cir, que haya avanzado un periodo espacial (longitud de ondade la radiacion incidente), tenemos que la altura maxima delrelieve se obtiene al aplicar la ecuacion

dmax =0

n n0 . (50)

Entonces, el perfil de la superficie de relieveh(y), esta dadopor la siguiente ecuacion:

h(y) =0

n n0 MOD[(y)2

], (51)

recordando que(y)es la funcion del perfil de fase, que seobtiene de modular la funcion de fase (y) del elemento di-fractivo, por el valor de 2 como se muestra en al Fig. 10.

De manera general, la diferencia de fase relativa impar-tida a la onda de luz incidente es directamente proporcionala la profundidad de la estructura de relieved de la superficielocal. La relacion entre la fase de un EOD y la profundidadde relieve es dada por

d (x, y) =

{(x,y)

2

(n1n0) , EOD reflexion;(x,y)

2

2n0, EOD transmision,

(52)

donde es la profundidad de fase de la estructura en radianes,y n1 y n0 son losndices de refraccion del material sustratoy el medio que lo rodea a la longitud de onda operante.

La fabricacion de las superficies con estructura de relieved para los EOD se pueden separar en tres estructuras princi-pales:

1. Tecnicas litograficas: la superficie de la estructura derelieve con tecnicas que hacen uso de polmetros sen-sibles a la luz y son controlados por grabado, las tecni-cas que caen en esta categora incluyen la holografa,escritura directa de haz de electrones, escritura directade laseres, procedimiento de mascaras binarias y lito-grafa en mascaras de niveles de gris.

2. Maquinado directo: las estructuras de las superficies derelieve son generadas a traves de la remocion directa

del materialoptico de una manera controlada sin el usode procesos intermedios. Las tecnicas incluidas en es-ta categora son trazo mecanico, torneado en diamante,fresado por haz de electrones y ablacion laser.

3. Replicado: copias de las estructuras de la superficiesde relieve son fabricadas en polmeros u otros materia-les de un molde patron producido por alguna tecnicacomo las mencionadas arriba; las tecnicas clasificadasen esta categora son inyeccion en moldes de plastico,repujado termico y fundido.

4.1. Tecnicas para fabricar elementosopticos difracti-vos

La fase deseada de un EOD puede ser generada por una mo-dulacion del perfil de la superficie y se puede demostrar quela eficienciam para muchas estructuras periodicas y comoun caso particular para la rejilla kinoform [8,18] tiene unadependencia con la longitud de onda.

De lo dicho en las Secs. (2), (2.2) y de acuerdo conSwanson [8], supongamos una placa zonal de periodop = r2,la cual es iluminada con radiacion electromagnetica de doslongitudes de onda, la primera0, lo cual implica que focali-zara a una distanciaf, dada por20f = p, y la segunda conlongitud de onda, la cual focaliza en2 f = p; de aqu quehay que determinar los coeficientesCn de la funcionei2x/p

.

Al aplicar la Ec. (6) a nuestro problema tenemos

Cn =1p

p

0

ei2x/pei2x/pdx

=1p

p

0

ei2(1/p)[(0/)n]xdx

={

1/i 2 [(

0/) n

]}

{

ei 2

[(0/

)n

]

1}

. (53)

De acuerdo con la Ec. (8), la eficiencia o intensidad difracta-da por la placa zonal para cualquier orden de difraccion sera

n ={

1/42

[(0/

) n

]2}

{

2 2 cos{

2[(

0/) n

]}}

= Senc2[(

0/) n

], (54)

donde0 es la longitud de onda de diseno y es la longitudde onda con la cual se ilumina el sistemaoptico. Si la longitudde onda de iluminacion es = 0/n, tenemos que la eficien-cia para cualquier orden de difraccion puede ser del 100 %.Esto se puede inferir de la Ec. (54) (Sinc(0)=1), y quiere decirque un EOD con un perfil de fase continuo tiene idealmente

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una eficiencia del 100 %, en particular, cuando = 0, laEc. (54) se reduce an = Senc2(1 n) y para el orden dedifraccion n = 1 tenemos una eficiencia de difraccion del100 %.

Al aplicar la Ec. (8) para el primer orden de difraccion noes difcil demostrar, como se aprecia en la Fig. 11, las eficien-cias de difraccion para cuatro diferentes perfiles.

Aqu es el maximo cambio de fase proporcional al es-pesor de la pelcula, es la razon de la longitud de la basedel diente de sierra y el periodo de la rejilla, es la maxi-ma desviacion de la fase del perfil diente de sierra y es larazon del perfil ideal sobrante y el periodo de la rejilla.

En general, la eficiencia de difraccion dependera del ti-po de tecnica de fabricacion que se utilice para reproducir elperfil continuo del elementooptico. La tecnica de fabricaciona utilizar depende de la precision optica y de la eficiencia re-querida por la lente difractiva para cada aplicacion especfi-ca, que junto con el alto o bajo volumen de produccion vana tener una repercusion en el costo final. A continuacion sedescriben algunas tecnicas de fabricacion mas usuales paraconstruir lentes difractivas:

4.1.1. Fotolitografa

El metodo de la fotolitografa [25-31] esta basado en el usode unfotoresisto simplementeresist, una pelcula de polme-ro organica fotosensible. El procedimiento usado para formarpatrones enfotoresistes colectivamente referido como foto-litografa.

La idea general es recubrir el sustrato con una pelculade fotoresista procesar. El grueso tpico es unas decimas demicra, aunque capas mas gruesas tambien son empleadas. Elresistes distribuido sobre el sustrato y cuandoeste es expues-to a la luz, llega a ser soluble a un solvente de revelado (resistpositivo), o insoluble (resistnegativo).

FIGURA 11.Parametros que influyen en la eficiencia de difraccion.

FIGURA 12. Proceso de fabricacion por el metodo fotolitograficopara el caso de 2 y 4 niveles.

Despues del recubrimiento, el sustrato y la pelcula defo-toresistson horneadas para eliminar el solvente sobrante. Elsiguiente paso es el de exposicion en el que los patrones sonformados en la capa defotoresistusando un patron de varia-ciones espaciales llamada mascara litografica (mostrado en laFig. 12a). La distribucion de luz puede ser alcanzada al usaruna fuente de luz ultravioleta y la mascarilla.

Despues de la exposicion, el sustrato es sometido a unproceso de revelado en el cual las partes delfotoresistson re-movidas por lavado dependiendo si ellas fueron o no expues-tas a la radiacion incidente. Muchos procesos usanfotoresistpositivo en el cual lasareas que fueron atacadas por la luzdurante la exposicion son removidas durante el revelado y elfotoresistnegativo actua de manera opuesta.

Si se repite el proceso, es decir, si se emplean dos masca-ras, uno puede alcanzar una aproximacion de cuatro nivelescomo se muestra en la Fig. 12b.

La primera exposicion de la mascara y el grabado produ-cen una estructura tosca. La profundidad de grabado esd/4,esta estructura es recubierta conresist y expuesta en la se-gunda mascarilla, la cual representa una resolucion mas al-ta. Esencialmente cada anillo en la mascarilla es dividido endos, el siguiente pasod/4 es grabado como se muestra en laFig. 13.

La eficiencia para el primer orden de difraccion y para untotal de N niveles es obtenida mediante el uso de la Ec. (8),la cual es dada por Borreli [32]:

1 (N) =Sinc

( N

)2

. (55)

El resultado paraN = 4, produce una eficiencia maximadel 81 %. Uno puede ir a tres mascarillas, cada una doblandola resolucion de la precedente, la cual producira ocho nivelescon una eficiencia del 95 %. Es facil ver que hay una rela-cion entre el numero de mascarillas usadasN y el numero denivelesL, la cual esL = 2N .

4.1.2. Litografa de haz de electrones

Una distincion basica de la litografa de haz de electrones(Lh-e) de la litografa optica convencional es el uso de elec-trones de alta energa en la inicializacion del proceso fsicoqumico del fotoresist. Considerando las limitaciones de di-fraccion de la fotolitografa en combinacion con el concepto

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FIGURA 13.Esquema de 4 niveles.

FIGURA 14.Dispositivo tpico de haz de electrones.

de mecanica cuantica de movimiento libre de micro partcu-las, podemos decir que para voltajes de aceleracion 104 Vtenemos una longitud de onda de 1011 m, es decir, una re-solucion de 0.1A y que este proceso no impone ninguna limi-tacion en principio, pues el tamano del electron es del ordende 105A esto significa una ventaja esencial en terminos deresolucion.

La Lh-e esta basada en el uso de un barrido, de un h-e bienenfocado con la computadora que es enfocado para controlarsu movimiento y modular la intensidad. Mientras se experi-menta el bombardeo del h-e, elfotoresistllega a ser expues-to, los electrones cortan o rompen las cadenas molecularesatomicas y esto cambia las propiedades locales defotoresist.

La dosis de h-e es controlada al variar el tiempo de ex-posicion sobre un dominio determinado y es definido usan-do una curva calibrada (la relacion entre la dosis de h-e yla profundidad de grabado). Esta relacion es determinada alfotografiar el relieve del paso de la rejilla con ayuda de unmicroscopio de barrido de electrones. Despues de la exposi-cion, lasareas expuestas o no expuestas son lavadas duranteel proceso de revelado dependiendo del fotoresist usado. Ha-biendose generado de tal manera el micro relieve que presen-ta un patron topologico usado para subsecuentes operacionestecnologicas. El procedimiento descrito para la generacion depatrones topologicos es usado en la fabricacion y replica de

foto mascaras o directamente sobre el sustrato bajo proceso.La litografa de haz de electrones (Lh-e) es una tecnica

especializada para crear patrones extremadamente finos (mu-cho mas pequenos de los que se pueden ver a simple vista),requeridos por la moderna industria electronica de los cir-cuitos integrados. Derivada de los primeros microscopios debarrido electronico, la tecnica brevemente consiste de barrerun haz de electrones a traves de una superficie cubierta conalguna pelcula fotosensible, sensible a los electrones. El pro-ceso de formar un haz de electrones y barrereste a traves deuna superficie es muy similar a lo que pasa dentro de cadacinescopio de television, pero la Lh-e tiene tresordenes demagnitud de mejor resolucion. Algunas caractersticas de latecnologa son: 1) alta resolucion, 2) es una tecnica flexibleque puede trabajar con una variedad de materiales y con unnumero infinito de patrones, 3) es una tecnica lenta, siendo unorden de magnitud mas lenta que la litografa y 4) es costosay complicada.

La Fig. 14 muestra un dispositivo tradicional con el quese realiza esta tecnica. Actualmente existen en el mercadomuchas empresas como RAITHTM , CRESTECTM , quienesvenden dispositivos para aplicaciones en la investigacion oindustria con los que se pueden alcanzar patrones de ultraalta resolucion en diametros de 8 pulgadas como la rejillamostrada en la Fig. 14.

4.1.3. Metodo de escritura directa

Este metodo [35-38] es muy semejante al de haz de electro-nes, la diferencia es queeste es un metodo mas economico yla precision obtenida es la misma. Un haz de laser o un haz deelectrones escriben directamente sobre el material fotosensi-ble (fotoresist). No se usa ninguna mascarilla, la cubierta del

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fotoresistsobre el sustrato soporte es barrido bajo un haz delaser HeCd (=442 nm) controlado en intensidad sincroni-camente para escribir un patron completo bidimensional (verFig. 15). El proceso de revelado se puede realizar mediante eluso de revelador Shipley microposit AZ 303R. El fotoresistrevelado proporciona una micro-estructura de relieve conti-nuos, para el proceso de grabado elfotoresistes sometido me-diante una tecnica llamada RIE (Reactive Ion Etching), dondese usa una combinacion de oxgeno y fluoruro de carbon con-teniendo algunos gases, la solubilidad es uno a uno, el vidrioy fotoresistdeben ser grabados en la misma razon, el cual esusado para formar un master con lo que se puede hacer lareplica de un gran numero de elementos.

4.1.3.1. Enfocamiento mediante haz de iones

Este metodo es usado para la generacion de estructuras direc-tas con dimensiones por debajo de las micras, es muy similaral de escritura directa; la diferencia es que el sustrato se co-loca en una camara de vaco y es equipada con una fuente deiones, generalmente galio. Los iones tienen suficiente energapara maquinar vidrio y cuarzo, silicio o arseniuro de galio. Elhaz de iones de galio opera con energas de 20 keV a 160pA de corriente y se alcanza un tamano de la mancha de 200nm, la razon de grabado de material es de 0.06m3 /seg, locual corresponde a la fabricacion de una micro lente de 10de diametro y una profundidad de 1m en el relieve en untiempo de 20 minutos.

4.1.4. Mascarilla en escala de grises

En este caso el nivel de la funcion de exposicion es construidosobre la mascara de exposicion misma [39-41]. La transmi-tancia radial debera lucir como la de la Fig. 16a, despues deexponer esta mascara el patron en elfotoresistpositivo reve-lado debera ser como el mostrado en la Fig. 16b. Una manerade hacer esto es utilizar la capacidad de la escala de grises delos actuales sistemas de escritura de laser de electrones.

Suponiendo que se tiene unfotoresistpositivo que tieneuna respuesta lineal sobre un nivel razonable de exposicion,entonces se tiene que fabricar la funcion de transmitancia dela mascarilla que da la forma de la superficie deseada. Unfo-toresistpositivo es aquel que es subsecuentemente removidoen el proceso de revelar donde fue expuesto.

4.1.5. Ablacion mediante laser

Otra tecnica desarrollada para remover material del sustratoes por ablacion de laser [42,43]; en este caso un laser de exci-mer UV es dirigido a una mascarilla (por ejemplo polymide)y entonces es enfocado sobre el sustrato (ver Fig. 17). Losniveles de energa para ablacion de polmeros y vidrio es de100Joule, las estructuras de relieve continuas se obtienen alvariar la repeticion de los pulsos de energa del laser duranteel barrido.

FIGURA 15. Imagen del metodo de escritura directa.

FIGURA 16. Grafica de la funcion de exposicion para el caso delmetodo de mascarilla en escala de grises.

FIGURA 17.Esquema del metodo ablacion de laser.

El ancho de los grabados mas pequenos que han sido re-portados son menores a 1m y las profundidades alcanzadasson del orden de 32m,

4.1.6. Punta de diamante

En este metodo se emplea un torno con una punta de diaman-te [44-47], las caractersticas del tamano o de la zona maspequena esta limitada por la herramienta del torno, la cualproduce una estructura de diente de sierra lineal, esferico o

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asferico sobre un sustrato plano o una superficie curva. Algu-nos materiales son mas difciles de esmerilar que otros; en-tre los que pueden ser exitosamente esmerilados se incluyenplasticos, zinc, as como otros tipos de materiales cristalinospara el infrarrojo. Este metodo es usualmente empleado pa-ra fabricar la insercion, en la cual se inyectan polmeros y secomprimen en los moldes de plastico para generar los EOD.La Fig. 18 muestra una maquina de este tipo y los perfiles quese pueden obtener con esta tecnica, los cuales son del ordende 10 micras de periodo y 5 micras de profundidad.

A pesar de que existe (de acuerdo a lo descrito) una grancantidad de metodos para generar patrones de las superficiesdifractivas,estas se encuentran en sus primeras etapas y estanevolucionando continuamente. Actualmente siguen surgien-do nuevas tecnicas de multicapas [48], pero el metodo finalaun no esta descrito, cada uno tiene sus ventajas y desventa-jas, hoy en da no hay tecnica que solucione todos los proble-mas de fabricacion para los EOD.

5. Prueba de lentes difractivas

Una vez que la superficie patron ha sino generada en el ma-terial fotosensible o grabada en un sustrato, necesitamos ve-rificar su calidad. Al igual que en el caso anterior, y para noahondar mucho en el tema, se mencionaran las tecnicas mas

importantes de prueba de los EOD. Se sugiere leer las refe-rencias mencionadas posteriormente.

5.1. Metrologa

5.1.1. Microscopa optica

Los microscopios son una herramienta muy comun para pro-bar EOD, en muchos casos el objetivo de un microscopiocontiene una retcula con marcas igualmente espaciadas; alcalibrar la distancia entre las marcas y usando una referenciaconocida es posible medir los tamanos de cada patron de ani-llos. Este dispositivo sirve para determinar de manera rapidala localizacion de defectos de fabricacion severos( puede re-visarse con mayor detalle en M.T. Postek,et al. [49]).

5.1.2. Perfilometra mecanica

Despues de la microscopa, el siguiente metodo mas usual esla perfilometra. Un perfilometro es un instrumento delicadoen el que una aguja delgada se mueve sobre el EOD, midien-do las profundidades, valles y rugosidades de la superficie, elrango de este metodo es ajustable desde micras hasta milme-tros. El uso deeste debe hacerse con mucho cuidado, ya quela aguja esta en contacto con la superficie y elfotoresistesun material muy suave (puede revisarse con mayor detalle enLauchlan,et al. [50]).

FIGURA 18.Herramienta de punta de diamante y grafica de las aproximaciones del perfil.

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FIGURA 19.Arreglo de micro lentes.

FIGURA 20.Acoplamiento del micro-lentes con la fibraoptica.

5.1.3. Microscopios de fuerza atomica

Los microscopios de barrido electronico tambien sondispositivos que se emplean para medir las estructuras delos EOD. Su funcionamiento es similar a un perfilometromecanico, por que utiliza una aguja muy fina (


FIGURA 21.Telescopio Galileano.

FIGURA 22.Arreglo de micro-lentes como detector.

FIGURA 23.Sensor del frente onda.

Este tipo de arreglo generalmente tambien es usado comoacopladoroptico de un sistema micro-electromecanico de es-pejos u otro tipo de mecanismos [59,60].

6.1.2. Deflector de haz usando un arreglo de microlentes

En el telescopio galileano (que es una combinacion de unalente positiva y una lente negativa separadas por sus longi-tudes focales) generalmente se observa que cuando las doslentes estan centradas y sus ejesopticos coinciden, la com-binacion actua como una losa de vidrio; sin embargo, si susejesopticos estan descentrados por una cantidadx, un hazcolimado viajando paralelo al ejeoptico sera deflectado enun angulo = x/f . Para alcanzar desviaciones signifi-cativas, la longitud focal de las lentes debe hacerse tan cortacomo sea posible, lo que significa que la curvatura se incre-mentara y esto a su vez hara que cada elemento sea mas grue-

so. Una alternativa para resolver este problema consiste enser reemplazado por dos substratos delgados compuestos porlentes difractivas como se muestra en la Fig. 21. Con estoselementos se puede dirigir el haz de la manera como fue des-crita anteriormente, pero con la ventaja de que las lentes soncasi planas, estan mas juntas, y ademas se pueden alcanzargrandes desviaciones del haz [61,62].

6.1.3. Arreglo de lentes para detectores

Una aplicacion mas del arreglo de microlentes que es parti-cularmenteutil, es que pueden actuar junto con un arreglode multiples detectores como el CCD para tener un realceen la eficiencia global de deteccion. Una aproximacion queusaoptica difractiva para ganar los espacios muertos entrelos pxeles al colocar un arreglo de microlentes con la mismacantidad que detectores a la longitud focal del plano del arre-glo (Fig. 22). De esta manera, la luz destinada para una regioninactiva alrededor del detector es colectada por microlentes ydirigida sobre elarea del detector.

Tambien con las lentes difractivas se obtiene conjunto conun arreglo de detectores es un sensor del frente de onda comoes mostrado en la Fig. 23. En este caso hay un subarreglo dedetectores localizados debajo del arreglo de micro-lentes. Enlugar de usar el detector para grabar la imagen, este arregloes usado para medir la forma del frente de onda que incidesobre el arreglo. Si un haz colimado de un frente de ondaincide de manera normal sobre el arreglo de lentes,este de-bera ser enfocado por las lentes al detector en el subarreglo;para ondas no planas, el frente de onda es enfocado por unalente sobre uno o varios detectores, la senal relativa de estosdetectores puede ser usada para determinar la pendiente delfrente de onda. Al colectar la informacion de la pendiente enlos subarreglos e interpolar los valores entre los puntos, unadescripcion completa de la forma del frente de onda puedeser generado.

6.2. Homogeneizadores de haces

Aunque es facil generar un haz gaussiano a la salida demuchos laseres, algunos, principalmente los que trabajan congases nobles como el de excimero que opera en el UV, tie-ne salidas con grandes variaciones de irradiancia a traves delhaz. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las que se re-quiere que el haz del laser tenga un perfil suave, algunas deestas demandan una forma de copa-sombrero [63]. Para sercapaces de alcanzar estos perfiles, primero el haz debe de ho-mogeneizarse, esto se puede lograr al hacer pasar un haz nouniforme a traves de una lente enfocadoraf1, despues pa-sa a traves de un arreglo de microlentes de longitud focalf2como se muestra en la Fig. 24. Las diferentesareas del hazincidente pasan a traves del foco de las micro-lentes y en-tonces divergen produciendo un haz homogeneo, usando unaaproximacion simple vemos que el ancho de la forma de copade sombrero esD(f1/f2) dondeD es el diametro del arreglode micro-lentes.

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FIGURA 24.Homogeneizador de un haz de laser.

FIGURA 25.Funciones basicas del elementooptico difractivo.

FIGURA 26.Telescopio galileano.

FIGURA 27. Perfilometrooptico usando lentes difractivas (las doslentes son difractivas).

6.2.1. Diseno de un resonador de laser

En adicion a los elementos homogeneizadores de haces sepuede hablar de la incorporacion de un elemento difractivodentro de una cavidad laser. Al elegir el diseno apropiado es

posible hacer que el laser emita luz en modos que no se pue-den alcanzar usando las tecnicas convencionales, por ejem-plo una placa difractiva puede ser colocada en substitucionde uno o ambos espejos de la cavidad del laser para alterarlos modos dominantes de la cavidad [64].

6.3. Aplicaciones como rejillas, placas generadoras ycorrectoras del frente de onda

Los elementosopticos difractivos son estructuras periodicasal igual que las rejillas, donde la separacion angular de losordenes de difraccion esta determinada por el periodo de larejilla y la longitud de onda de la luz que ilumina la reji-lla, mientras que la distribucion de luz entre los variosorde-nes difractados esta determinado por la estructura de la rejilladentro de un solo periodo de la rejilla o celda unitaria. Conestos factores en mente, muchos tipos de diferentes patronespueden ser generados para una gran variedad de aplicaciones,tales como deflectores de haz, divisores de haz, difusores deangulo controlado, etc. Tambien pueden ser utilizadas comoplacas correctoras del frente de onda y placas generadoras dede algun frente onda especifico (Fig. 25).

6.4. Placas de fase

En el diseno de sistemasopticos es usualmente deseablecontrolar la orientacion o polarizacion del vector de campoelectrico. Por ejemplo, la polarizacion de la luz se mezcladurante su propagacion dentro de una fibra. Para resolver es-te problema a la salida de la fibra, el haz se separa en doscomponentes ortogonales, una es rotada hasta alinearla conla polarizacion requerida por el modulador de la fibra; esteprocedimiento se realiza de manera ordinaria con un mate-rial birrefringente [65], pero tambien es posible realizar conestructuras difractivas que se disenan con dimensiones infe-riores a la longitud de onda empleada.

6.5. Sistemas hbridos

Los elementos difractivos pueden combinarse junto conlos refractivos, de manera que se puedan aprovechar las pro-piedades de ambos elementos. Este tipo de elementos son co-nocidos como hbridos (Fig. 26). Generalmente en los ele-mentos difractivos se tiene una dispersion negativa, mientrasque en los elementos refractivos es positiva. Se pueden apro-vechar las propiedades de estos elementosopticos para com-pensar la aberracion cromatica presente en los sistemasopti-cos Un caso particular es el telescopio hbrido [66,67], el cualconsiste de un triplete (primeros dos elementos refractivos yel ultimo difractivo) en el objetivo y un triplete en el ocular(primer elemento difractivo y los dosultimos son refractivos).

6.6. Perfilometro optico usando lentes difractivas

Generalmente en los perfilometrosopticos, como el mostradoen la Fig. 27 [64], se requiere que el sistemaoptico sea muyrapido o que tenga numerosf pequenos, esto es debido a que

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TABLE I. Parametros de construccion lente hbrida.

Superficie Radio de curvatura Espesor Semi-diametro Medio

1 56.39984 10.00 12.5 Aire

2 -2.1063 e-03 93.958895 11.859 Bk7

3 0.0000 0.000000 1. Aire

Coeficientes de la funcion de fase, a0 = 0.00, a2=-0.000323, a4=3.0714-e-07, a6=-1.2784e-11.

FIGURA 28.Lente disenada, parametros a primer orden y aberracion transversal.

la resolucion transversal del perfilometro depende directa-mente del numerof del sistemaoptico. En los sistemasopti-cos convencionales tener un numerof pequeno es muy difcil,porque esta limitado por los radios de curvatura que hacenmuy difcil la fabricacion de los lentes correspondientes. Unaalternativa es usar elementosopticos difractivos.

Como se puede ver de lo descrito en esta seccion, haymuchas aplicaciones de los EOD y es posible encontrar aunmas aplicaciones, por lo que sugerimos al lector interesadorevisar la bibliografa mencionada mas adelante [67-77].

7. Un ejemplo muy particular

7.1. Lente hbrida (refractiva-difractiva)

Disenamos con la metodologa explicada en las secciones an-teriores una lentef/4 con una longitud focal de 100 mm.Usamos vidrio BK7 como substrato D. Faklis [78-81], elcual tiene unndice de refraccion den = 1.5168, la dis-

persion o numero de Abbe refractivo es calculado comose menciono en la Sec. 3,Vref = 64.17. Calculamos unEOD con las longitudes de onda correspondientes a la re-gion visible, con lo que se tiene un numero de Abbe di-fractivo [5,6] deVdif = -3.45. De la relacion f/Diam = 4,=> Diam = 100/4 = 25 mm.Al considerar la ecuacionde las lentes delgadas y teniendo en cuenta el diseno deuna lente plano convexa, obtenemos los parametros estruc-turales como el radio de curvatura de la primera superficier1 = 103.35 mm,r2 infinito, n=1.5167. Al emplear el meto-do convencional (aplicado a un EOD) para disenar un doble-te acromatico [4] es posible mostrar queeste esta compuestopor una parte difractiva y otra refractiva y las distancias foca-les son respectivamente dadas por

fdif = fVdifVref

Vdif= 100

3.452 64.173.452 = 1958.922,

fref = fVrefVdif

Vref= 100

64.17 (3.452)64.17

= 105.379.

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FIGURA 29.Mascarilla del patron de anillos de la lente hbrida y su perfil transversal teorico.

FIGURA 30.Sustrato de vidrio para fabricar la lente plano-convexa.

FIGURA 31. a) Microfotografa y b) trazo del perfilometro en vi-drio BK7.

Considerando una aproximacion a primer orden y lo des-crito en la Sec. 3 el sistema se optimiza mediante el empleodel programa comercial para evaluacion de sistemasopticosOSLOR[82]. Para obtener el diseno final (mostrado en laFig. 28) donde se muestra el bosquejo de la lente, los radios

de curvatura son proporcionados en la Tabla I, as como loscoeficientes de la funcion de fase [Ec. (26)], y la aberraciontransversal.

Despues de concluir el diseno, se utilizo un programa rea-lizado en lenguaje C junto con las Ecs. (13) para simular laforma de la lente binaria. Utilizando esta rutina, el patron esgenerado con el numero exacto de anillos para obtener la faseenvuelta de la lente de acuerdo a lo explicado en la Sec. 4, talcomo se muestra en la Fig. 26.

7.2. Desarrollo experimental

El primer paso en la fabricacion de elementosopticos fue laeleccion del material a utilizar como substrato. Para la lentehbrida elegimos un vidriooptico comercial, el vidrio BK7de SchottR, para el rango visible, el cual reune los reque-rimientosopticos. La maxima rugosidad medida despues depulida la superficie fue de 60nm; y la mnima fue de 10nm.En la Fig. 27, se muestra la lente plano-convexa.

El segundo paso, en el desarrollo de la fabricacion fue elproceso fotolitografico. El substrato se limpio con acetona yse enjuago con agua des-ionizada. Despues se deposito unacapa uniforme de fotoresina negativa sobre ambas caras de lalente, utilizando una centrifuga. Acto seguido se realizo unproceso de horneado de la muestra a 110C. Posteriormente,el patron mostrado en la Fig. 26, fue impreso en el materialfotosensible utilizando luz UV, enseguida se realizo el reve-lado y horneado final a 140C. El paso final fue el grabadoqumico sobre la superficie del substrato, utilizando una so-lucion acuosa deacido fluorhdrico (HF). A fin de evitar ungrabado lateral excesivo, este procedimiento fue monitoreadoen lapsos de tiempo cortos. La Fig. 28a) muestra la estructu-ra final y la Fig. 28b) muestra los trazos obtenidos con unperfilometro, la profundidad del grabado resulto ser de 1m100nm.Debido a que se diseno y grabo una lente difracti-va binaria, la eficiencia maxima teorica que se puede obtener

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se calcula mediante la Ec. (55) paraN = 2, lo cual da unaeficiencia del 41 %, ante esta deficiencia estamos trabajandopara que en un futuro cercano se reporten resultados expe-rimentales con grabados multi-nivel como se describio en laSec. 4.1.1.

8. Conclusiones

En este artculo hemos realizado una revision de los EOD,desde sus inicios hasta las mas recientes tecnicas para di-senarlos, construirlos y probarlos, se ha explicado de maneraconcisa cada una de estas etapas, haciendo mencion de unagran cantidad de bibliografa para que el lector interesado

pueda profundizar mas en los temas de su interes. De maneraadicional se han mencionado las aplicaciones en las que losEOD son empleados actualmente. Con todo ello pretendemoshacer notar el valor que estos EOD tienen en la construccionde los modernos aparatosopticos visuales, haciendo de ellosla optica del futuro.

Agradecimientos

Agradecemos a Ignacio Juarez y Mauro Landa la ayuda pro-porcionada. SVM agradece al CONACYT por el apoyo otor-gado mediante proyecto 40086-F. JCR agradece tambien alCONACYT el apoyo otorgado mediante proyecto 5880-J.

1. K. Bergman, N. Bonadeo, I. Brener and I. Chiang, Test, Integra-tion and Packaging of MEMS 2001,Proc. SPIE 4408(2001) p.2.

2. W. Golstsos and M. Holz,Opt. Eng.29 (1990) 1392.

3. J.R. Leger, D. Chen, and G. Mowry,Appl. Opt.34 (1995) 2498.

4. E. Hecht,Optica , 3th ed. (Addison Wesley, Espana, 2000) p.496.

5. L dAuria, J.P Huignard, A.M Roy, and E. Spitz,Opt. Comm.5(1972) 232.

6. J.J. Clair and C.I Abitbol,Progress in OpticsXVl , E. Wolf , Ed.North Holland, Amsterdam (1978) p. 73.

7. W.B. Veldkamp and G.J. Swanson, S.H Lee, Ed.Proc. SPIE437(1983) 54.

8. G.J Swanson, Binary optics technology: the theory and de-sign of multi-level diffractive optical elements, MIT LincolnLaboratory Report 854 Massachusetts Institute of Technology,Cambridge, MA (1989).

9. W.C Tian, J.W. Weigold, and S.W. Pang,J. Vac. Sci. Tech. B.18 (2000) 1890.

10. J.W. Goodman,Introduction to Fourier Optics, 2nd ed.(McGraw-Hill, San Francisco 1996).

11. M. Born and E. Wolf,Principles of optics, 7th ed. (Cambridge,United Kingdom 1999).

12. R.N. Bracewell,The Fourier Transform and its applications,3rd ed. (McGrawHill, USA, 2000).

13. Lambda Research Corporation,OSLO Optics Software for La-yout and Optimization, Optics Reference, Version 6.1, Little-ton, MA, USA (2001).

14. P.A. Bou, Placas zonales: Obtencion de una lente kinoformpor metodos holograficos, Tesis Doctoral, Universidad de Va-lencia, Facultad de Fsica, Valencia Espana (1983).

15. W.C., Sweatt,JOSA67 (1977) 803.

16. E. Hecht,Optica, 3th ed. (Addison Wesley, Espana 2000) p.151.

17. A. Offner,JOSA56 (1966) 1509.

18. Martellucci and A.N. Chester,Diffractive optics and opticalMicrosystems(Plenum press, New York 1997).

19. M. Young,J.O.S.A.62 (1972) 972.

20. W.T. Welford, Aberrations of the symmetrical optical system(Academic Press Inc, London, 1974).

21. D.A. Buralli and G. Michael Morris,Appl. Opt.30(1991) 2151.

22. J. Turunen and F. Wyrowski,Diffractive optics for industrialand commercial applications(Akademie Verlag, Berlin 1997).

23. T. Stone and N. George,Appl. Opt.27 (1988) 2960.

24. G.M. Morris,Appl. Opt.20 (1981) 2117.

25. T. Fujita, H. Nishihara, and J. Koyama,Opt. Lett.6 (1981) 613.

26. T. Fujita, H. Nishihara, and J. Koyama,Opt. Lett.7 (1982) 578.

27. M.T. Gale and K. Knop, in Industrial Applications of Laser Te-chnology, W.F. Fagan, Ed.,Proc. SPIE398(1938) 347.

28. M.T. Galeet al., Appl. Opt.32 (1993) 2526.

29. J.P.B. Owen, R.L. Michaels, and C.G. Blough,Appl. Opt.36(1997) 8970.

30. M.T. Gale, inMicro-optics: Elements, Systems, and applica-tions, H.P. Herzig, Ed., Taylor and Francis, London, (1997) p.87.

31. A.G. Poleshchuk,Optoelectron. Instrum. Data Process1(1992) 67.

32. Borreli and F. Nicholas,Microopitcs technology, fabricationand applications of lens array and devices(Marcel Dekker,New york, USA, 1999).

33. T.J. Suleski and D.C. OShea,Appl. Opt.34 (1995) 7507.

34. W. Daschner, P. Long, M. Larsson, and S.H. Lee,J. Vac. Sci.Technol.B 13 (1995) 2729.

35. S. Wolf and R.M. Tauver,Silicon Processing for the VLSI Era,Vol. 1: Process Technology. (Eattice Press, Sunset Beach, CA1986).

36. D.J. Elliot,Microlithography Process Technology for IC Fabri-cation. (McGraw-Hill, New York 1998).

37. P. Rai-Choudhury,Handbook of Microlithography, Microma-chining, andMicrofabrication, Vol. 1: Microlithography. SPIEPress, Bellingham, WA (1997).

Rev. Mex. Fs. 52 (6) (2006) 479500


38. J.R. Sheats and B.W. Smith,Microlithography Science and Te-chnology. (Marcel Dekker, New York 1998).

39. H.J. Levinson,Principles of Lithography. (SPIE Press, Belling-ham, WA 2001).

40. J. Suleski, inEncyclopedia of Optical Engineering, R.G. Drig-gers, Ed., Marcel Dekker, New York, (2003) p. 374.

41. M.J. Madou,Fundamentals of Microfabrication: The Scienceof Miniaturization,2nd ed. (CRC Press LLC, Boca Raton, FL,2002).

42. M.T. Duignan, inDiffractive Optics, 11 of OSA Technical De-ges Series. Optical Society of America Washington, DC (1994)129.

43. C. Londono, Design and fabrication of surface relief diffrac-tive optical elements, or kinoforms, with examples for opticalathermalization,Ph.D. thesis, Tufts University, Medford, MA(1992).

44. T.T. Saito,Opt. Eng. 17 (1978) 570.

45. M.J. Riedl and J.T. McCann, ininfrared Optical Design and fa-brication,R.Harsman and W.J. Smith, Eds.,SPIE PressCR38(1991) 153.

46. P.P. Clark and C. Londono,Opt. News(1989) 39.

47. C.G. Blough, M. Rossi, S.K. Mack, and R.L. Michaels,Appl.Opt.36 (1997) 4648.

48. http://www.canon.com/camera-museum/tech/report/200106/report.html

49. M. T. Postek, A. E. Vladar, S. N. Jones and W. J. Keery,J. Res.of Nat. Inst. Stan. & Tech.98 (1993) 447.

50. L.J. Lauchlan, D. Nyyssonen, and N. Sullivan, inHandbookof microlithography, Micromachining and Microfabrication,Vol. 1: Microlithography, P. Rai-Choudhury, Ed., SPIE Press,Bellingham, W.A, (1997) 475.

51. Williams and E. Fu.,Proc. SPIE 2439(19 40195).

52. J.E. Greivenkamp and J.H. Bruning, inOptical Shop Testing,D. Malcara (Ed. Wiley, New York, 1992) 501.

53. M.W. Farn and J.W. Goodman, I. Cindrich and S.H. Lee, Eds.,Proc. SPIE1211(1990) 125.

54. M.B. Stern, M. Holz, S.S. Medeiros and R.E. Knowlden,J. Vac.Sci.Technol. B 9 (1991) 3117.

55. J.M Miller, M.R. Taghizadeh, J. Turunen, and N. Ross,Appl.Opt.32(1993) 2519 .

56. D.A. Pommet, E.B. Grann, and M.G. Moharam,Appl. Opt.34(1995)2430-2435.

57. D.C. OSheaet al., SPIE Tutorial Texts in Optical Engineering,TT62 2003.

58. T.W. Stone and B J. Thompso, SPIE Optical Engineering Press,Vol. MS34, Washignton USA, 1991.

59. K. Bergman, N. Bonadeo, I. Brener, and K. Chiang, inDesign,Test, Integration, and Packagain of MEMS/MOEMS 2001, B.Courtoiet al., Eds., SPIE 4408 (2005) 2.

60. E. Goldstein, L.Y. Lin, and J. Walker, Lightwavemicromachi-nes for optical networks, Opt. Photonics News(2001) 60.

61. W. Goltsos and M. Holz,Opt. Eng.29 (1990) 1392.

62. M.E. Motamedi, A.P. Andrews, W.J. Gunning, and M. Khosh-nevisan,Opt. Eng.33 (1994) 3616.

63. F. Nickolajeff, S. Hard, and B. Curtis,Appl. Opt.36 (1997)8481.

64. J.R. Leger, D. Chen, and G. Mowbry, Appl. Opt.34 (1995)2498.

65. J.N. Mait and D.W. Phather (Eds.),Selected Papers of Subwa-velength Diffractive Optics, MS 166, SPIE Press, Bellingham,WA (2001).

66. O. Garca Lievanos and S. Vazquez-Montiel,Proceedings ofSPIE 58750R(2005) 1.

67. L. Castaneda, Diseno de sistemas opticos con elementos hi-bridos y elementos difractivos, tesis de maestria, INAOE, To-nantzintla, 2002.

68. J.A. Hernandez and S. Vazquez-Montiel,Optical design andanalysis of a non-contact profiler using diffractive optical ele-ments (DOEs) Proceedings of SPIE58750S(2005) 1.

69. D.A. Buralli and G.M. Morris,Appl. Opt.28 (1989) 3950.

70. D.A. Buralli and G.M. Morris,Appl. Opt. 31 (1992) 38.

71. J.A. Futhey, M. Beal, and S. Saxe, inAnnual Meeting, Vol. 17of OSA Technical Digest Series. Optical Society of America,Washington, DC (1991).

72. D. Fakilis and G.M. Morris,Appl. Opt.34 (1995) 2462.

73. J.M. Sasian and R.A. Chipman,Appl. Opt.32 (1993) 60.

74. A.P. Wood,Using hybrid refractive-diffractive elements in in-frared Petzval objectives Proc. SPIE 1354(1990) 316.

75. W. Chen and S. Anderson, inDiffractive and MiniaturizedOptics, S.H. Lee, Ed., CR 49.SPIE Press, Bellingham, W.A.(1993) 77.

76. M.D. Missing and G.M. Morris,Appl. Opt.34 (1995) 2452.

77. J.R. Leger, D. Chen, and G. Mowry,Appl. Opt.34 (1995) 2498.

78. A.D. Kathman, W. Heyward, and S.W. Farnsworth, inGradientIndex, Miniature, and Diffractive Optical Systems, A.D. Kath-man, Ed.,Proc. SPIE3778(1999) 104.

79. M.M. Meyers,Proc. of SPIE 26891996.

80. D. Faklis,Optics & Photonics News(1995).

81. H.P. Herzig,Design of Refractive and Diffractive opticsMarte-llucci & Chester (Plenum Press, 1997).

82. Lambda Research Corporation,OSLO Optics Software for La-yout and Optimization, Optics Reference, Version 6.1, Little-ton, MA, USA, 2001.

Rev. Mex. Fs. 52 (6) (2006) 479500

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