MÉTODO DE RIGIDEZ PARA EL CÁLCULO DE UNA CERCHA PLANA

Estudio de Caso: Puente Autopista Medellín – Bogotá

POR:

ANDRÉS FELIPE GUZMÁN

GENERALIDADES

• Ubicación: Autopista Medellín-Bogotá• Dimensiones (calculadas):

Altura = 6m Longitud = 33.8m

• Número de barras: 37 (29 reales)• Material: Hormigón Reforzado• Tipo de Estructura: Cercha Plana

DESARROLLO HISTÓRICO 1880: análisis de deformaciones de nudos rígidos

producidas por momentos flectores y fuerzas axiales.

1892: método aproximado para estructuras hiperestáticas que implicaba un sistema de ecuaciones de rotación de nudos.

1914: método de EPD en términos de rotación de nudos.

1930: método de distribución de momentos 1945-1955: grandes progresos de la tecnología

digital y desarrollo del máximo potencial del método de análisis matricial.

METODOLOGÍA

• Método Matricial de Rigidez aplicado a una estructura tipo cercha plana.

• Caracterización de la estructura.• Incógnitas = Desplazamientos.• Determinación envolvente.

DESARROLLO DEL MÉTODO

• Ubicación del sentido de las barras• Cálculo de alturas y ubicación de coordenadas

COORDENADASh= 16,9k= 0a= 16,9b= 6

NUDO X Y1 0 02 3,8 2,1906786693 3,8 3,7906786694 7 2,45 7 4,862739036 10,3 2,47 10,3 5,5235347338 13,6 2,49 13,6 5,884501592

10 16,9 2,411 16,9 612 20,2 2,413 20,2 5,88450159214 23,5 2,415 23,5 5,52353473316 26,8 2,417 26,8 4,8627390318 30 2,19067866919 30 3,79067866920 33,8 0

(𝑥−h)2

𝑎2+(𝑦−𝑘)2

𝑏2=1

• Enumeración de las barras, los nudos y los grados de libertad libres y restringidos de toda la estructura.

• Cálculo de las matrices elementales para cada elemento.

Cos²α Cosα Senα - Cos²α - Cosα Senα= A*E Cosα Senα Sen²α - Cosα Senα - Sen²α

L - Cos²α - Cosα Senα Cos²α Cosα Senα- Cosα Senα - Sen²α Cosα Senα Sen²α

BARRA 1Xi= 0Yi= 0Xf= 3,8Yf= 2,190678669L= 4,386236773A= 0,04E= 2,00E+08

Cosα= 0,8663463Senα= 0,499443779

37 38 1 2(K) = 1823887 1368929,13077 789179,95964 -1368929,13077 -789179,95964 37

789179,95964 454957,81681 -789179,95964 -454957,81681 38-1368929,13077 -789179,95964 1368929,13077 789179,95964 1-789179,95964 -454957,81681 789179,95964 454957,81681 2

BARRA 3Xi= 3,8Yi= 2,19067867Xf= 3,8Yf= 3,79067867L= 1,6A= 0,0081E= 200000000

Cosα= 0Senα= 1

1 2 3 4(K) = 1012500 0 0 0 0 1

0 1012500 0 -1012500 20 0 0 0 30 -1012500 0 1012500 4

BARRA 4Xi= 3,8Yi= 2,19067867Xf= 7Yf= 2,4L= 3,20683885A= 0,04E= 200000000

Cosα= 0,99786742Senα= 0,06527342

1 2 5 6(K) = 2494668,54 2484039,71 162488,28 -2484039,71 -162488,28 1

162488,28 10628,8322 -162488,28 -10628,8322 2-2484039,71 -162488,28 2484039,71 162488,28 5-162488,28 -10628,8322 162488,28 10628,8322 6

• Matriz de Rigidez

K0

K3K2

K1

3852968,83991

• Tipos de carga impuestos en la estructura

Cargas Verticales Superiores = 13KNCargas Verticales Inferiores = 20KNCargas Horizontales = 15KNCargas Diagonales = 20KN

F1 0F2 0F3 0F4 -13F5 0F6 0F7 0F8 -13F9 0

F10 0F11 0F12 -13F13 0F14 0

F=

F15 0F16 -13F17 0F18 = 0F19 0F20 -13F21 0F22 0F23 0F24 -13F25 0F26 0F27 0F28 -13F29 0F30 0F31 0F32 -13F33 0F34 0F35 0F36 -13F37 F37F38 F38F39 F39F40 F40

• Vectores de Cargas Nodales

F1 0F2 -20F3 0F4 0F5 0F6 -20F7 0F8 0F9 0

F10 -20F11 0F12 0F13 0F14 -20

F=

F15 0F16 0F17 0F18 = -20F19 0F20 0F21 0F22 -20F23 0F24 0F25 0F26 -20F27 0F28 0F29 0F30 -20F31 0F32 0F33 0F34 -20F35 0F36 0F37 F37F38 F38F39 F39F40 F40

F1 0F2 0F3 15F4 0F5 0F6 0F7 15F8 0F9 0

F10 0F11 15F12 0F13 0F14 0

F=

F15 15F16 0F17 0F18 = 0F19 15F20 0F21 0F22 0F23 0F24 0F25 0F26 0F27 0F28 0F29 0F30 0F31 0F32 0F33 0F34 0F35 0F36 0F37 F37F38 F38F39 F39F40 F40

F1 0F2 0F3 18,96405481F4 -6,353316075F5 0F6 0F7 19,61070365F8 -3,926869302F9 0

F10 0F11 19,88141472F12 -2,174706614F13 0F14 0F15 19,98776158F16 -0,699562013F17 0

F=F18

=0

F19 0F20 0F21 0F22 0F23 -19,98776158F24 0,699562013F25 0F26 0F27 -19,88141472F28 2,174706614F29 0F30 0F31 -19,61070365F32 3,926869302F33 0F34 0F35 -18,96405481F36 6,353316075F37 F37F38 F38F39 F39F40 F40

F1 0F2 -20F3 33,96405481F4 -19,35331607F5 0F6 -20F7 34,61070365F8 -16,9268693F9 0

F10 -20F11 34,88141472F12 -15,17470661F13 0F14 -20

F=

F15 34,98776158F16 -13,69956201F17 0F18 = -20F19 15F20 -13F21 0F22 -20F23 -4,98776158F24 -12,30043799F25 0F26 -20F27 -4,881414717F28 -10,82529339F29 0F30 -20F31 -4,610703646F32 -9,073130698F33 0F34 -20F35 -3,96405481F36 -6,646683925F37 F37F38 F38F39 F39F40 F40

Verticales Superiores

Verticales Inferiores

Horizontales Diagonales Totales

• Cálculo de los Vectores de Desplazamientos Nodales

{𝐹 }= [𝐾 ]∗ {𝑈 }

{𝐹 0

𝐹1 }=[𝐾0 𝐾 1

𝐾 2 𝐾 3]∗{𝐾0

𝐾1 }{𝐹 0 }=[𝐾 0 ]∗ {𝑈 0 }+[𝐾 1 ]∗ {𝑈 1 }

{𝐹 1 }=[𝐾 2 ]∗ {𝑈 0 }+[𝐾 3 ]∗ {𝐾1 }

{𝐹 0 }=[𝐾 0 ]∗ {𝑈 0 }{𝐹 1 }=[𝐾 2 ]∗ {𝑈 0 }

{𝑈 0 }=[𝐾 0 ]− 1 {𝐹 0 }

U1 -2,06308E-06U2 -8,10994E-05U3 5,98482E-05U4 -0,000114831U5 -4,46262E-07U6 -0,000517084U7 0,000144736U8 -0,000553277U9 -9,56323E-06

U10 -0,000869474U11 0,00013775U12 -0,000899171U13 -1,01669E-05

U=U14

=-0,001109502

U15 8,14777E-05U16 -0,001129092U17 8,91526E-06U18 -0,00121508U19 2,38175E-06U20 -0,001228737U21 1,22807E-05U22 -0,001097524U23 -7,6295E-05U24 -0,001117114U25 1,1677E-05U26 -0,000860402U27 -0,000132885U28 -0,000890099U29 2,56004E-06U30 -0,000510919U31 -0,000140453U32 -0,000547112U33 3,9925E-06U34 -7,77526E-05U35 -5,65096E-05U36 -0,000111485

U1 5,92004E-06U2 -0,000146345U3 0,000103428U4 -0,000180799U5 6,36476E-06U6 -0,000814044U7 0,000230786U8 -0,00084028U9 -9,23552E-06

U10 -0,001332384U11 0,000214888U12 -0,001340083U13 -1,15741E-05

U=U14

=-0,00166337

U15 0,000124752U16 -0,001650802U17 1,01492E-05U18 -0,001786156U19 2,7114E-06U20 -0,001762923U21 1,39804E-05U22 -0,001649734U23 -0,000118852U24 -0,001637166U25 1,16419E-05U26 -0,001322057U27 -0,00020935U28 -0,001329755U29 -3,95842E-06U30 -0,000807025U31 -0,00022591U32 -0,000833262U33 -3,72358E-06U34 -0,000142535U35 -9,96272E-05U36 -0,000176989

U1 0,000325538U2 -0,000491175U3 0,000400846U4 -0,000461892U5 0,000345256U6 -0,000435589U7 0,000374006U8 -0,000412527U9 0,000358389

U10 -0,000339763U11 0,000347121U12 -0,000314339U13 0,000364235

U=U14

=-0,000221284

U15 0,00032562U16 -0,000194114U17 0,000366164U18 -8,80987E-05U19 0,000310538U20 -8,48557E-05U21 0,000357673U22 6,29865E-05U23 0,000291084U24 4,24232E-05U25 0,000345015U26 0,000208787U27 0,000291478U28 0,000189667U29 0,000326876U30 0,000344787U31 0,00031115U32 0,000324631U33 0,000307823U34 0,000451924U35 0,000347687U36 0,000419246

U1 0,000179164U2 -0,000292293U3 0,000238707U4 -0,000284927U5 0,00018767U6 -0,000332516U7 0,000228776U8 -0,000323233U9 0,000188798

U10 -0,000316541U11 0,00019557U12 -0,000300189U13 0,000185239

U=U14

=-0,000258317

U15 0,000152471U16 -0,000239188U17 0,000143085U18 -0,000209292U19 0,000103927U20 -0,000200588U21 0,000131788U22 -0,000112292U23 5,97778E-05U24 -0,000113623U25 0,000120221U26 -1,49202E-05U27 4,22681E-05U28 -1,40425E-05U29 0,000108906U30 7,73979E-05U31 4,92343E-05U32 7,69654E-05U33 0,000103767U34 0,000149064U35 7,53834E-05U36 0,000136742

U1 0,000750275U2 -0,001366767U3 0,001077957U4 -0,001373036U5 0,000795643U6 -0,002377599U7 0,001226911U8 -0,002392122U9 0,000799227

U10 -0,00303683U11 0,00112973U12 -0,003017704U13 0,000808384

U=U14

=-0,003323809

U15 0,000918901U16 -0,003268688U17 0,000846399U18 -0,003229285U19 0,000668239U20 -0,003211147U21 0,000833453U22 -0,00260507U23 0,00042634U24 -0,002656879U25 0,000801295U26 -0,001689281U27 0,000287678U28 -0,001766779U29 0,000735864U30 -0,000511694U31 0,000318422U32 -0,000614536U33 0,000696315U34 0,000811019U35 0,000616874U36 0,000672694

• Vectores de Desplazamientos Nodales

Verticales Superiores

Verticales Inferiores

Horizontales Diagonales Totales

• Cálculo de Reacciones

{𝐹 1 }=[𝐾 2 ]∗ {𝑈 0 }

F=158,336950

136,2422636-293,336950

160,7577364

• Fuerzas en las barras y envolvente de la

estructura

𝐹 𝑖=𝐴𝑖∗𝐸𝑖

𝐿𝑖∗ [cos𝛼∗ (𝑈 𝑥𝑓−𝑈 𝑥𝑖 )+sin𝛼∗ (𝑈 𝑦𝑓 −𝑈 𝑦𝑖) ]

BARRA

FUERZAS EN LAS BARRAS (KN) ENVOLVENTEVERTICALES SUPERIORES

VERTICALES INFERIORES HORIZONTALES DIAGONALES TOTALES CARGA MÁX

POSITIVACARGA MÁX

NEGATIVA1 -77,13568314 -123,9556225 66,96251938 16,84262577 -59,50557692 66,96251938 -123,95562252 -28,28375856 -39,77573924 -30,97862485 -23,53732908 -150,8310016 - -150,83100163 -34,15363959 -34,88426993 29,64923184 7,457469055 -6,347495021 29,64923184 -34,884269934 -66,96903074 -107,6179993 58,1367123 14,62273071 -51,66261123 58,1367123 -107,61799935 48,76539172 75,85533896 -28,53917921 -12,92634947 65,68597019 75,85533896 -28,539179216 -68,28566996 -103,0685113 -11,3454439 -25,07129417 -211,9710297 - -211,97102977 -23,80797777 -17,2586585 15,16979359 6,106599126 -9,552999975 15,16979359 -23,807977778 -22,10173618 -37,81886196 31,83843323 2,736331049 8,69050626 31,83843323 -37,818861969 25,75190672 40,11550217 -22,04605202 -14,17969789 16,85382423 40,11550217 -14,17969789

10 -87,08196752 -132,4577578 -8,250065555 -32,65500436 -254,0544484 - -254,054448411 -15,40202475 -3,992784847 13,18558049 8,480772325 9,91985251 13,18558049 -15,4020247512 -1,463462672 -5,669215157 14,17013176 -8,627661778 22,19761615 22,19761615 -8,62766177813 13,24883958 20,59465065 -18,3753183 -12,93711364 -8,184828751 20,59465065 -18,375318314 -95,57570476 -145,7004217 -9,802374983 -42,75863789 -279,7048848 - -279,704884815 -9,107544135 5,842783542 12,63159852 8,893256861 25,62643156 25,62643156 -9,10754413516 14,54829891 16,56187367 1,47095839 -32,13891252 28,98262762 28,98262762 -32,1389125217 4,232216124 6,573211673 -16,57272722 -9,505850756 -26,48623947 6,573211673 -26,4862394718 -97,97913622 -149,4478679 -13,35663724 -55,99069152 -295,0021701 - -295,002170119 -6,145751825 10,45480513 1,459372367 3,916896086 8,162223958 10,45480513 -6,14575182520 -97,97913622 -149,4478679 -28,36582168 -55,99069152 -310,0113546 - -310,011354621 4,232216124 6,573211673 14,56276019 4,111180993 42,79019318 42,79019318 -22 8,158615587 9,287818559 -20,58457405 -27,38673212 -31,38275819 9,287818559 -31,3827581923 -9,107544135 5,842783542 -9,560205039 -0,618711201 -24,08716946 5,842783542 -24,0871694624 -95,57570476 -145,7004217 -18,44413386 -33,33940316 -277,0530862 - -277,053086225 13,24883958 20,59465065 13,90733012 0,900045647 64,13406589 64,13406589 -26 -1,463462672 -5,669215157 -30,68488646 -28,04039764 -77,96064883 - -77,9606488327 -15,40202475 -3,992784847 -9,916856262 0,455193083 -40,19371028 0,455193083 -40,1937102828 -87,08196752 -132,4577578 -8,397925397 -12,85690205 -228,3967612 - -228,396761229 25,75190672 40,11550217 16,58080425 -0,7610746 100,6427945 100,6427945 -0,761074630 -22,10173618 -37,81886196 -43,97319077 -27,4304519 -158,6185023 - -158,618502331 -23,80797777 -17,2586585 -13,25886677 -0,284454817 -67,64979815 - -67,6497981532 -68,28566996 -103,0685113 5,329918153 6,743402903 -146,2582808 6,743402903 -146,258280833 48,76539172 75,85533896 22,64104016 -3,292536022 168,5118278 168,5118278 -3,29253602234 -66,96903074 -107,6179993 -64,8764495 -24,46291907 -313,8359826 - -313,835982635 -34,15363959 -34,88426993 -33,08644084 -12,47588194 -140,0536983 - -140,053698336 -28,28375856 -39,77573924 36,46846693 31,55263868 28,0091287 36,46846693 -39,77573924

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