El clculo del rea bajo la curva, como sucede con el rea que cubre el andamiaje bajo la pista de una montaa rusa, es una aplicacin de la integracin.

NTEGRACIN

1 Antiderivacin: la integral indefinida2 Integracin por sustitucin3 La integral definida y el teorema fundam ental del clculo4 Aplicacin de la integracin definida: rea entre curvas y valor promedio5 Aplicaciones adicionales de negocios y econom a6 Aplicaciones adicionales de las ciencias sociales y de la vida

Resumen del captuloTrminos, smbolos y frmulas importantes Revisin del captulo 5 Problemas de repaso

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5.1 Antiderivacin: la integral indefinida

356 CAPTULO 5 Integracin ' 5-2

Cmo se puede em plear una tasa de inflacin conocida para determinar precios futuros? Cul es la velocidad de un objeto en movimiento rectilneo con aceleracin conocida? Cmo se puede usar la tasa a la cual cambia la poblacin para predecir niveles futuros de poblacin? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuacin se presenta la terminologa que se usar en el proceso de obtencin de una funcin a partir de su derivada.

A n tid e riva c i r a Se dice que una funcin F(x) es una antiderivada de f ( x ) si

F'{x) = f ( x )

para cada x en el dominio de f (x ) . El proceso de determinar las antiderivadas recibe el nombre de antiderivacin o integracin indefinida.

N O } A Algunas veces se escribe la ecuacin

F'(x) = f ( x )

como

dF

Ms adelante se estudiarn las tcnicas que se pueden usar para determinar antiderivadas. Una vez que se encuentra la supuesta antiderivada de una funcin, se puede verificar la respuesta derivando esa antiderivada. Se deber obtener la funcin original. El siguiente es un ejemplo.

EJEM PLO I 5.1.1

Verifique que F{x) = - x3 + 5x + 2 es una antiderivada de f(x) = x 2 + 5.

Solucin

F(x) es una antiderivada d e /(x ) si y slo si F \x ) = f{x). Derivando F se llega a que

F ' t o = 7t(3*2) + 5

= x 2 + 5 = / ( * )

como era necesario.

L cm iderivada Una funcin tiene ms de una antiderivada. Por ejemplo, una antiderivada de la funcin genero! de u n a f ( x ,) = 3a2 es F(x) = x 3, puesto que

fu n c i n , . 2F (x) = 3x = f ( x )

pero tambin lo son x 3 + 12 y x 3 5 y x 3 + u , puesto que

( * 3 + 12) = 3.v2, - 5) = 3x2, ~ ( . x 3 + tt) = 3.v2dx dx

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5 - 3 SECCIN 5.1 ! Antiderivacin: la integral indefinida 357

En general, si F es una anliderivada de / , entonces tambin lo es cualquier funcin de la forma G(x) = F(x) + C, para C constante, ya que

G'{x) = [F(x) + c y

F \x ) 4- C' regla de la derivada de la sumas

= F \x ) + 0 porque la derivada de una constante es 0

f (x ) ya que F es una antiderivada de f

Y a la inversa, se puede demostrar que si F y G son antiderivadas d e /, entonces G(x) = F(x) 4- C, para alguna constante C (problema 62). Resumiendo

0aE0) i CG1o _ico

REPASORecuerde que dos lneas son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales.

i EXPLORE!Introduzca la funcin F(x) = x3 en Y1 del editor de ecuaciones, en un estilo de graficacin en negritas. Genere una familia de transformaciones verticales Y2 = Y1 + L1, donde L1 es una lista de constantes {-4 , -2 , 2, 4}. Utilice la pantalla [-4.7, 4.711 por[-6 , 6]1. Qu se puede observar acerca de las pendientes de todas estas curvas para x = 1 ?

Propiedad fundamental de las antsdsri^adas Si F(x) es una antiderivada de la funcin continua / ( x), entonces cualquier otra antiderivada f (x ) tiene la forma G(x) = F(x) + C para alguna constante C.

Existe una interpretacin geomtrica simple para la propiedad fundamental de las antiderivadas. Si F y G son antiderivadas d e / , entonces

G \x ) = F'(x) = f(x )

Esto significa que la pendiente F'(x) de la recta tangente a y = F(x) en el punto (x, F(x)) es la misma que la pendiente G'(x) de la recta tangente a y = G(x) en (je, G(,v)). Dado que las pendientes son iguales, se deduce que las rectas tangentes en (x, F(x)) y (x, G(x)) son paralelas, como se muestra en la figura 5.1#). Puesto que esto es vlido para todax, la curva completa y = G(x) debe ser paralela a la curva y = F(x), de manera que

y = G(x) = F(x) + C

En general, el conjunto de grficas de todas las antiderivadas de una funcin dada/ , es una familia de curvas paralelas que son traslaciones verticales una de otra. Esto se ilustra en la figura 5Ab para la familia de antiderivadas de/ ( x) = 3x~.

F6GUR 5.1 Las grficas de las antiderivadas de una funcin/forman una familia de curvas paralelas.

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358 CAPsULO 5 Integracin 5-4

La in te g ra l in d e f in id a

REPASO________Recuerde que se analizaron las derivadas en la seccin 2.5.

La mayora de las calculadoras .Y", i graficadoras permiten la

construccin de una antiderivada por medio de su integral numrica fnlnt(expresin, variable, lmite inferior, lmite superior), que se encuentra en el men MATH. Escriba en el editor de ecuaciones de su calculadora

Y1 = fnlnt(2X, X, {0 ,1,2},X)

y grafique, empleando la pantalla ampliada, [-4 .7 , 4.7]1 por [-5 , 5]1. Qu observa y cul es la forma general de esta familia de antiderivadas?

Se acaba de ver que si F(x) es una antiderivada de la funcin continua / ( a ) , entonces todas las antiderivadas pueden ser escritas como F(x) + C, donde C es una constante. La familia de todas las antiderivadas de/(.y) se representa como

J f i x ) dx = F(x) + C

y se denomina integral indefinida d e /(.y). La integral es indefinida porque contiene una constante C que puede tomar cualquier valor. En la seccin 5.3 se introduce la integral definida, la cual tiene un valor numrico especfico y es usada para representar muchas magnitudes, como por ejemplo, el rea. En la seccin 5.3 se muestra la relacin entre la integral definida y la integral indefinida, a travs de un importante resultado conocido como el teorema fundamental del clculo.

En el contexto de la integral indefinida f(x)dx = F(x) + C, j es el smbolo de la integral, la funcin / ( a ) se denomina integrando, C es la constante de integracin, y dx es una diferencial que indica que a* es la variable de integracin. Esta notacin se muestra en el siguiente diagrama para la integral indefinida de / ( a ) = 3a2:

i n t e g r a n d o ---------- c o n s t a n t e d e i n t e g r a c i n

3.x2 dx = x 3 + C

--------------------variable de ntv^rn ionT

smbolo de la integral -----

Para cualquier funcin derivable F, se tiene

J F ' ( x ) dx = F(x) + C

ya que, por definicin, F(a) es una antiderivada de F'(x). De la misma forma

fd FI dx = F(x) + C

Esta propiedad de las integrales indefinidas es til en especial en problemas prcticos donde se proporciona una razn de cambio F'(x) y se desea determinar F(x). Posteriormente, en los ejemplos 5.1.4 al 5.1.8, se analizarn problemas de este tipo.

Es til recordar que si se ha realizado el clculo de una integral indefinida que conduce al resultado J/(a) dx = G(x) + C, entonces se puede verificar el clculo mediante la derivacin de G(x):

Si G'(x) = f(x), entonces la integracin \f{x)dx = G(x) + C es correcta, pero si G '( a ) es distinta a / ( a ), se ha cometido un error.

Esta relacin entre derivacin y antiderivacin permite establecer estas reglas de integracin inviniendo las reglas de derivacin anlogas.

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5-5 SECCIN 5.1 i Antiderivacin: la integral indefinida 359

Grafique y = F(x), donde v t l = ,n M - ln(abs(x)) en

negritas, y f{x) = 1/x en el estilo de graficacin regular, empleando una pantalla de graficacin decimal. En cualquier punto x ^ 0, demuestre que la derivada de F(x) es igual al valor de f[x) en ese punto particular, y confirme as que F(x) es la antiderivada de f(x).

Reglas para in te g ra r func iones e lem enta les

Regla de la constante: J k dx = kx + C para k constante

f x"+1Regla de la potencia: x" dx = ----------h C para todo n * - 1J n + 1

Regla logartmica: dx = ln Ixl + C para todo x * 0

Regla exponencial: I eL' dx = ~ e Lx + C para la constante k * 0

Para comprobar la regla de la potencia, es suficiente demostrar que la derivadax" + 1

d e -------- es x":n + 1

d ( x n + l \ 1- = T (n + D xT = x" d x \n + 1 / n + 1

Para la regla logartmica, si x > 0, entonces Ixl = x y

d d 1 (ln Ixl) = (ln x) = -dx dx x

Si x < 0, entonces x > 0 y ln Ixl = ln ( x), y de la regla de la cadena se deduce que

T "(ln Ixl) = [ln ( -x ) ] = ( - 1) = -dx dx (x) x

Entonces, para todo x ^ 0,

por tanto

T"(ln l-vl) = - dx x

dx = ln Ixl + Cx

En el problema 64 se pide comprobar la regla de la constante y la regla exponencial.

MOTA Observe que la regla del logaritmo llena el vaco que queda en la regla de la potencia; es decir, el caso donde n 1. Las dos regias se pueden combinar de la siguiente forma:

x n dx = n + 1ln Ixl + C si n = - 1

EJEM PLO 5 .1 .2

Determine estas integrales:

a) f 3 dx b) x ' 7 d x c) d) J e ~ 3 ' dx

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360 ! CAPTULO 5 i Integracin 5-6

Solucin

a) Usando la regla de la constante con A: = 3 : j 3 l r = 3x + C

I 1 *7 1 I ?b) Usando la regla de la potencia con n = 17: I x dx = x + C

1 , 1c) Usando la regla de la potencia con n = : como n + 1 =

[ - = f x ~ ' n dx = 4 - . ' + C = 2 X ^ + CJ V x J 1/2

d) Aplicando la regla exponencial con k = 3:

J_- 3