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Captulo 4.- Distribuciones de Probabilidades importantes. 4.1. Distribuciones Discretas. Los conceptos bsicos de probabilidades nos permitieron definir el concepto de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad as como para desarrollar sus propiedades generales. Analizaremos en este captulo con detalle algunas distribuciones especficas de probabilidad que han demostrado ser modelos tiles para diversos problemas prcticos. Se examinarn varias distribuciones tanto discretas como continuas. En cada caso, se detallarn las caractersticas distintivas de las distribuciones particulares y se deducirn sus medias varianzas, factores de forma, y otras medidas descriptivas numricas. Se usarn las letras n y k para referirse a los parmetros de conteo, p para la proporcin, para la rapidez, para la localizacin, y para la escala, y y para la forma. Un parmetro de rapidez () representa la rapidez en que ocurre un evento aleatorio en el tiempo o en el espacio. Un parmetro de localizacin () relaciona la funcin de densidad de probabilidad con el origen de la escala de medicin, localizndola sobre el eje de las x sin tener algn efecto sobre su apariencia. Un parmetro de escala influye sobre la dispersin de una variable aleatoria, y de esta forma afecta la apariencia de la funcin de probabilidad. Un parmetro de forma afecta la forma de la funcin de probabilidad en diverso grado, dependiendo del modelo particular. Analizaremos en detalle cuatro familias de distribuciones de probabilidad discreta: Distribuciones binomial, multinomial, Poisson, hipergeomtrica, binomial negativa y la distribucin geomtrica. 4.1.1. La distribucin binomial. Es una de las distribuciones discretas de ms utilidad. Sus reas de aplicacin incluyen inspeccin de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, y otras. Est basada en un experimento en el que el resultado es la ocurrencia (xito) o la no ocurrencia (fracaso) de un evento. Sea p la probabilidad de xito cada vez que el experimento se lleva a cabo, y 1 p la probabilidad de fracaso. Suponga adems que el experimento se realiza n veces, y cada uno de stos es independiente de los otros, y sea X la variable aleatoria que representa el nmero de xitos en n ensayos. El inters esta en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x xitos durante los n ensayos. Los dos supuestos claves para la distribucin binomial son:

La probabilidad de xito p permanece constante para cada ensayo. Los n ensayos son independientes entre s.

Sea X variable aleatoria que representa el nmero de xitos en n ensayos y p la probabilidad de xito. Se dice que X distribuye binomial con funcin de probabilidad:

p(x; n, p) = p x (1 p) n x x = 0, 1, 2, ....

n x

E[X]=np, V[X]=np(1-p)

1

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Los parmetros de la distribucin binomial son n y p, estos definen una familia de distribuciones binomiales, en donde cada miembro tiene la funcin de probabilidad antes indicada. Veamos algunas grficas de esta distribucin:

n = 5, p = 0.2 n = 5, p = 0.5 n = 5, p = 0.8

ni

0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 El nombre distribucin binomial proviene del hecho de que los valores de p(x; n,p) para x = 0,1,2.., son los trminos sucesivos de la expansin binomial de [(1 p) + p] n La probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor especfico x se determina por la funcin de distribucin acumulativa: x

P(X x) = F(x; n, p) = p i (1 p) n-i i=0 La distribucin binomial se ha tabulado para distintos valores de n y p; y esto permite obtener las probabilidades individuales para distintos valores. Debemos notar que si n = 1, la funcin de probabilidad binomial se reduce a:

p(x; p) = p x (1 p) n-x x = 0, 1 que es la funcin de distribucin de Bernoulli. Ejemplo 1: Todos los das se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de manufactura con el propsito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la produccin. Con base en la informacin pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. la gerencia ha decidido detener la produccin cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o ms defectuosas. cul es la probabilidad de que, en cualquier da la produccin se detenga?. Sol. si el modelo apropiado para este problema es la distribucin binomial, debemos suponer que las 15 unidades que se seleccionan diariamente, constituyen un conjunto de ensayos independien era que la probabi er una unidad d 0.05 entre ensayos. Si con n = 15 que X sea ig P(X tes de man

consideramos X el numero de fectuosas que se e ntre las 15, y p = 0.05, la probabilidad de lual o mayor que dos.

2) = 1 P(X 1) = 1 F(1lidad de tenunidades de

a produccin se detenga es ig

; 15,0,.05) = 1 0.8290 = 0.

2efectuosa esncuentran eual a la probabilidad de

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Ejemplo 2: Supngase que para personas determinada edad, la probabilidad de que mueran por una enfermedad transmisible es 0.01. cuntas personas de este grupo pueden exponerse a la enfermedad de manera que la probabilidad de que no ms de una persona muera sea por lo menos 0.95?. El resultado se obtiene al resolver la ecuacin (0.999)n-1 (0.999 + 0.001 n) = 0.95 que se resuelve de manera explicita, sino mediante el empleo de tcnicas iterativas. (n = 356). Ejemplo 3: Un club nacional de automovilistas comienza una campaa telefnica con el propsito de aumentar el nmero de miembros. Con base en experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se unen al club. Si en un da 25 personas reciben la llamada telefnica, cul es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban en el club? cul es el nmero esperado?.

3

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4.1.2. La distribucin de Poisson. Es otra distribucin de probabilidad discreta muy til en que la variable aleatoria representa el nmero de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. Algunos ejemplos tpicos son el nmero de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado, el nmero de defectos en piezas similares para el material, el nmero de bacterias en un cultivo, el numero de solicitudes de seguro procesadas por una compaa, etc. La distribucin de Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de lneas de espera.

Sea X una variable aleatoria que representa el nmero de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable X tiene una distribucin de Poisson con funcin de probabilidad:

e - x x! p(x;) = x = 0, 1, 2, ...., > 0

E[X] = , V[X] =

El parmetroevento aleatodistribucionealgunas grfi 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 Ejemplo elctrico, el tener 1.000 h1.000 horas.existe sufic La distribuciy p 0 de mteorema (form = 1

de la distribucin de Poisson es rio por unidad de tiempo. Para vals con una funcin de probabilidadcas de esta distribucin:

0.4

0.3

0.2

0.1

2 3 4 5 0 1 2

4: despus de una prueba de labfabricante determina que en promoras de operacin. Un comprador o Si el nmero de componentes quiente evidencia para dudar de la con

n Poisson tambin es una forma lanera que no permanece constante.

ulado por Poisson):

4 = 2

, es el nmero promedio deores mayores que cero, defin determinada por la funcin

0.4

0.3

0.2

0.1

3 4 5 6 0 1 2

oratorio muy rigurosa con ciedio, solo fallarn dos compbserva que son cinco los que fe fallan es una variable aleaclusin del fabricante?.

mite de la distribucin binomi Este resultado se obtiene med = 4

ocurrencias del e una familia de

anterior. Veamos

3 4 5 6 7 8

erto componente onentes antes de allan antes de las toria de Poisson,

al cuando n iante el siguiente

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Teorema. Sea X una variable aleatoria con distribucin binomial y funcin de probabilidad:

p(x; n, p) = p x (1 p) n x x = 0, 1, 2, ....n

e- x x!

si para n = 1, 2, ... la relacin p = /n es cierta para alguna constante > 0, entonces: lim p(x; n, p) = , x = 0, 1, 2, ..

n x

n p0

Tabla Comparacin valores de las probabilidades binomial y Poisson

Binomial p(x; n, p) Poisson p(x;) X p(x; 10, 0.2) p(x; 20, 0.1) p(x; 40, 0.05) p(x; 100, 0.02) p(x; 2) 0 0.1074 0.1216 0.1285 0.1326 0.1353 1 0.2684 0.2702 0.2706 0.2707 0.2707 2 0.3020 0.2852 0.2777 0.2734 0.2707 3 0.2013 0.1901 0.1851 0.1823 0.1804 4 0.0881 0.0898 0.0901 0.0902 0.0902 5 0.0264 0.0319 0.0342 0.0353 0.0361

Ejemplo 5: Un comprador de grandes cantidades de circuitos electrnicos ha adoptado un plan para aceptar un envi de estos y que consiste en inspeccionar una muestra aleatoria de 100 circuitos provenientes del lote. Si el comprador encuentra no ms de dos circuitos defectuosos en la muestra, acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. Si se enva un lote que contiene 1% de defectuosos, cul es la probabilidad de que ste sea aceptado?.

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4.1.3. La distribucin Hipergeomtrica. Supongamos que tenemos un lote relativamente pequeo que consiste en N artculos, de los cuales k tienen defectos. Si se extraen dos de ellos en forma sucesiva, entonces el resultado de la segunda extraccin depende en gran medida de lo que haya sucedido en la primera, siempre que el primer objeto extrado no se regrese al lote. Estamos frente a un caso de pruebas o ensayos dependientes.

Sea N el nmero de artculos en una poblacin finita, de los cuales k son de un tipo (que llamaremos xito) y N k son de otro tipo (fracaso). Si se selecciona una muestra aleatoria de n artculos y no se regresa ninguno de los tomados como muestra (esto se llama muestreo sin reemplazo). La probabilidad de que x sean de un tipo y (n x) sean del otro tipo, esta dada por la funcin de probabilidad hipergeomtrica:

[ ] , [ ] 11

k k kE X n V X nN N N

N nN

= =

k N kx n x

N n

p(x; N, n, k) = x = 0, 1, 2, ...., n ; x k, n x N k; N, n, k , enteros positivos

Los parmetros de la distribucin hipergeomtrica son N, n y k. Estos definen una familia de distribuciones con funcin de probabilidad antes descrita. Ejemplo 6: supngase que se tienen 50 representantes de una colectividad poltica, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Se seleccionan aleatoriamente 5 personas, cul es la probabilidad de que, entre estos 5, por lo menos dos apoyen al candidato A?. Ejemplo 7: considrese un fabricante de automviles que compra los motores a una compaa donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra manera lo rechaza. Si lote contiene dos motores con serios defectos, cul es la probabilidad de que sea aceptado?. La distribucin Hipergeomtrica tiende a la binomial cuando n/N 0 y N d

lim pH (x; N, n, p) = pB(x; n, p) N

Ejemplo 8: un fabricante asegura que solo el 1% de su produccin total se encuentra defectuosa. Supngase que se ordenan 1000 artculos y se seleccionan 25 al azar para inspeccionarlos. Si el fabricante se encuentra en los correcto, cul es la probabilidad de observar dos o ms artculos defectuosos en la muestra?.

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4.1.4. Distribucin Binomial negativa. Consideremos una situacin de procesos con las mismas condiciones de una binomial, una secuencia de ensayos independientes con probabilidad de xito en cada ensayo constante e igual a p. En lugar de fijar el nmero de ensayos en n y observar el nmero de xitos, supngase que se continan los ensayos hasta que hayan ocurrido exactamente k xitos.

Sea X, el nmero de ensayos independientes necesarios para obtener de manera exacta, k xitos en un experimento binomial en donde la probabilidad de xito en cada ensayo es p. Se dice entonces que X es una variable binomial negativa con funcin de probabilidad: x = k, k+1, k+ 2, ... p(x; k, p) = p k (1 p) x - k 0 p 1

x 1 k 1

2

(1 )[ ] , [ ]k kE X V Xp p

= = p

La distribucin se llama binomial negativa porque las probabilidades corresponden a los trminos sucesivos de la expansin binomial de : -k

(k + x) x!(k)

Los parmetros de la distribucin son n y k. Si k no es entero, sta recibe el nombre de distribucin de Pascal, y esta distribucin se interpreta como el tiempo que hay que esperar para que ocurra el k-simo xito. La funcin de probabilidad incorporando la funcin , adopta la siguiente forma: p(x; k, p) = x= 0, 1, 2,..... k > 0 , 0 p 1

1 1 pp p

Por otro lado, si k = 1 surge un caso especial de la distribucin binomial negativa, que se conoce como distribucin geomtrica y cuya funcin de probabilidad est dada por: p(x; p) = p(1 p)x , x = 0, 1, 2, .... 0 p 1 La variable aleatoria gepresente el primer xitoalternativa para el modeel tiempo o el espacio. Tde accidentes, datos psdonde la frecuencia de o omtrica representa el nmero de fallas que ocurren antes de que se . La aplicacin primaria de la distribucin binomial negativa es una lo de Poisson cuado la frecuencia de ocurrencia no es constante sobre ambin se emplea de manera frecuente para modelar las estadsticas

icolgicos, compras del consumidor y otras situaciones similares en currencia entre grupos o individuos no se espera que sea la misma

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4.2. Distribuciones Continuas. Estas distribuciones se emplean en el estudio de fenmenos aleatorios en disciplinas como la ingeniera y las ciencias aplicadas, en los negocios y en la economa. Al igual que en el caso discreto, analizaremos los modelos de probabilidad ms importantes: uniforme, exponencial, gamma, chi-cuadrado, normal, etc. 4.2.1. La distribucin uniforme.

Supngase que ocurre un evento en que una variable aleatoria toma valores de un intervalo finito, de manera que stos se encuentran distribuidos igualmente sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma.

Una variable aleatoria X tiene una distribucin uniforme sobre el intervalo [a, b], si su funcin de densidad de probabilidad est dada por:

ab

1 a x b f(x; a, b) =

0 todo otro lugar

En la grfica siguiente se muestra la funcin de densidad de probabilidad uniforme, que tambin se conoce como distribucin rectangular: f(x)

ab1

a b x El caso especial cuando a = 0 y b = 1, se conoce como distribucin uniforme en [0, 1], que tiene como funcin de densidad de probabilidad f(x; 0, 1) = 1, 0 x 1. Esta distribucin juega un papel importante en la simulacin de los valores de una variable aleatoria con una distribucin especfica. Ejemplo 9: Cuando deja de funcionar una tarjeta de circuito integrado, un sistema de cmputo se detiene hasta que se entregue una tarjeta nueva. El tiempo de entrega X est uniformemente distribuido en el intervalo de uno a cinco das. El costo C de esa falla y la parada comprende un

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costo fijo c0 de la reparacin y un costo c1 que aumenta en forma proporcional a X2, de modo que C = c0 + c1 X 2

a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de entrega sea de dos a cinco das o ms. b) Calcular el costo esperado de una determinada falla del componente en trminos de c0 y c1.

4.2.2. La distribucin gamma. Supngase que una pieza metlica se encuentra sometida a cierta fuerza, de manera que se romper despus de aplicar cantidad especfica de ciclos de fuerza. Si los ciclos ocurren de manera independiente y a frecuencia promedio, entonces el tiempo que debe transcurrir antes de que el material se rompa es una variable aleatoria que cumple con la distribucin gamma.

Una variable aleatoria X tiene una distribucin gamma si su funcin de densidad de probabi est dada por:

x

f(x;

Esta distribucin

Esta distribucinpara representar exacta los compo = 1/ por unlidad

, ) =

presenta v

=1 =1

se empleael tiempo nentes fallidad de ti una una ex

1

)(1 x >

0 todo o

arios perfiles dependiendo de

=2 =1

de manera extensa en una aleatorio de falla de cada uan y la falla de cada componempo. Tambin se emplea e

9 0, , > 0

tro lugar

l valor del parmetro .

=2=2

gran diversidad de reas; por ejemplo, n sistema que falla solo si de manera ente ocurre a una frecuencia constante n problemas de lneas de espera para

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representar el intervalo total para completar una reparacin si esta se lleva a cabo en subestaciones; completar la reparacin en cada subestacin es un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante igual a = 1/. Para valores grandes de , la distribucin gamma puede aproximarse, en algn grado, por una distribucin normal, Z =

X

Ejemplo 10: supngase que cierta pieza metlica se romper despus de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas, obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo: a) dentro de una desviacin estndar del tiempo promedio, y b) a ms de dos desviaciones estndar por encima de la media. Ejemplo 11: Supngase que el intervalo de tiempo Y necesario para efectuar una comprobacin peridica de mantenimiento, de acuerdo a la experiencia, en un dictfono, sigue una distribucin tipo gamma con = 3 y = 2 (minutos). Supngase tambin que un mecnico nuevo necesita 20 minutos para revisar un dictfono. No concuerda este tiempo de comprobacin de mantenimiento con la experiencia anterior?. Cuando es un entero > 0, la distribucin gamma se conoce como distribucin de Erlang. Existe una asociacin entre los modelos de probabilidad de Poisson y Erlang. Si el nmero de eventos aleatorios independientes que ocurren en un lapso especifico es una variable Poisson con una frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/ , entonces para una variable , el tiempo de espera hasta que ocurre el -simo evento de Poisson tiene una distribucin Erlang.

Cuando el parmetro de forma es igual a uno, la distribucin de Erlang (gamma) se reduce a lo que se conoce como la distribucin exponencial negativa. Esta distribucin se usa para representar lapsos aleatorios de tiempo. Otro caso especial del modelo de probabilidad de gamma es la distribucin chi-cuadrado (2). Si se reemplaza el parmetro de forma con /2 y el parmetro de escala con 2, el resultado es la funcin de densidad de probabilidad Chi-cuadrado.

Una variable aleatoria X tiene una distribucin chi-cuadrado ( 2) si su funcin de densidad de probabilidad est dada por: x > 0, 22 xv ex f(x; v) =

0 todo otro lugar

2

1

22

vv

La distribucin 2 se encuentra caracterizada por un solo parmetro v, que recibe el nombre de grados de libertad. 4.2.3. La distribucin de exponencial.

Una variable aleatoria X tiene una distribucin de probabilidad exponencial si su funcin de densidad de probabilidad est dada por:

x 0, constante xe

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f(x; ) = 0 todo otro lugar

Esta distribucin se utiliza con frecuencia en ingeniera y ciencias, dado que muchas variables se pueden modelar en forma adecuada como si tuvieran distribuciones exponenciales. Por ejemplo, representa los tiempos entre las llegadas de vehculos a un punto fijo en una carretera unidireccional.

Ejemplo 12. una refinadora de azcar tiene tres plantas de proceso, y todas reciben azcar morena a granel. La cantidad de azcar que puede procesar una planta en un da se puede representar mediante una funcin exponencial con un promedio de 4 (mediciones en toneladas) para cada una de las tres plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que sea exactamente dos de las tres plantas las que procesen ms de 4 toneladas en un da determinado. cunta azcar morena se debe almacenar para esa planta cada da para que la probabilidad de quedarse sin producto slo sea 0,05?

4.2.4. La distribucin normal. La distribucin normal o Gausiana es sin dudas la ms importante y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Su uso es fundamental en Inferencia estadstica en el anlisis de datos, puesto que las distribuciones de muchas estadsticas muestrales tienden hacia la distribucin normal conforme crece el tamao de la muestra. La apariencia grfica de esta distribucin es una curva simtrica en forma de campana, que se extiende sin limite hacia - y hacia +. Su valor se centra en el valor promedio y su dispersin se mide con la varianza 2, estos dos parmetros definen completamente la funcin normal de densidad. Muchas mediciones que se hacen en forma natural tienden a tener distribuciones de frecuencia relativa que se asemejan mucho a la curva normal, probablemente porque la naturaleza tiende a promediar los efectos de las diversas variables que intervienen en una respuesta determinada, por ejemplo, la altura de un grupo de personas tiende a una distribucin que tiende a una distribucin que muestra muchas mediciones agrupadas estrechamente a una altura promedio, y se encuentran, relativamente, muy pocas personas muy pequeas o muy grandes; en otras palabras, la distribucin de frecuencia relativa se acerca la normal.

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Una variable aleatoria X se encuentra normalmente distribuida, si su funcin de densidad de probabilidad est dada por:

f(x; , ) =2

21

21

x

e , 0, >

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a) P(Z 1); b) P(Z < -1.5) c) P(Z > 1) d) P(-1.5 Z 0.5) Ejemplo 14: una empresa que fabrica y embotella jugo de manzana tiene una mquina automtica que llena las botellas de 16 onzas (450 ml). Sin embargo, hay cierta variacin en la cantidad de lquido que llega a cada botella. Durante un intervalo muy grande se tuvo una cantidad promedio entregada a cada botella de 16 onzas, con una desviacin estndar de una onza en las mediciones. Si se supone que la cantidad servida en cada botella tiene una distribucin normal, estimar la probabilidad de que la mquina vace ms de 17 onzas de lquido en cualquier botella.

Captulo 4.- Distribuciones de Probabilidades i