CIENCIA APLICADA

ciencia aplicada2 de julio de 2011

VECTORES

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Dirección de un vector

La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector

o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

Módulo de un vector

El módulo del vector es la longitud del segmento AB , se representa

por . El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

1


Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo

menos las coordenadas del origen .

Clases de vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen

igual módulo, dirección y sentido .

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores

equipolentes entre sí se llama vector libre. Es

decir los vectores libres tienen el

mismo módulo, dirección y sentido.

2


Vectores fijos

Un vector fijo es un

representante del vector libre.

Es decir, los vectores fijos tienen

el

mismo módulo, dirección,

sentido y origen.

Vectores ligados

Los vectores ligados son

vectores equipolentes que

actúan en la misma recta. Es

decir, los vectores fijos tienen el

mismo módulo, dirección,

sentido y se encuentran en la

misma recta.

Vectores opuestos

3


Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y

distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario , de la misma dirección y sentido que

elvector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

4


Los vectores concurrentes tienen el

mismo origen.

Vector de posición

El vector que une el origen de coordenadas O con unpunto P se

llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientessi existe

una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que

sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal .

5


Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente

independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal

de los otros.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si suproducto

escalar es cero.

6


Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se

escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno

coincida con el extremo origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el

origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un

paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

7


Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se

suma con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las

componentes de los vectores.

8


Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector si k es positivo .

De sentido contrario del vector si k es negativo .

De módulo

Las componentes del vector resultante se

obtienen multiplicando por K las componentes del

vector.

9


Combinación lineal de vectores

s vectores: y , y dos números: a y b, el vector se

dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se

obtiene al sumar esos vectores multiplicadospor sendos escalares.

Cualquier

vector se puede

poner

como

combinación

lineal de otros

dos que

tengan distinta

dirección.

10


Esta

combinación

lineal es única.

Dados los vectores , hallar el vector

combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de

los vectores ?

11


Vectores linealmente dependientes e independientes

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente

dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual

al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación

lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes , entonces al

menos uno de ellos se puede expresar comocombinación lineal de los

demás.

12


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación

lineal de otros, entonces todos los vectores sonlinealmente

dependientes .

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si,

son paralelos.

3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2)

son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de

ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta

dirección y sus componentes no son proporcionales .

13


Ejemplo

Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los

vectores.:

= (3, 1) y = (2, 3)

Linealmente independientes

Base

D

os

vect

ores

y

co

n dis

tinta

direc

ción

form

an

una

base

,

porq

ue

cualq

14


uierv

ecto

r del

plano

se

pued

e

pone

r

com

ocom

bina

ción

linea

l de

ellos.

L

as co

orde

nada

s del

vect

or re

spect

o a

15


l

abas

e son

:

Ejemplos

Los dos vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

Ejemplo

Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

16


Base ortogonal

Los dos

vectores de la

base son

perpendiculare

s entre sí.

Base ortonormal

17


Los dos vectores de

la base son

perpendiculares entre sí,

y además tienen módulo

1.

Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica .

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte

nada se supone que se está trabajando en esa base.

Ejercicios

Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

18


Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6).

Determinar:

1. Si forman una base y .

2. Expresar como combinación lineal de los de la base

3. Calcular las coordenadas de C respecto a la base.

Las coordenadas de respecto a la base son: (2, 1)

Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué

coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?

(3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)

3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3

5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3

19


Las coordenadas de en la base B son (7/3, 1/3).

Sistema de referencia

En el plano, un sistema de

referencia está constituido por

un punto O del plano y una

base ( , ).

El punto O del sistema de

referencia se llama origen.

Los vectores , no

paralelos forman la base.

20


Ortogonal

Los vectores base son

perpendiculares y

tienen distinto módulo .

Ortonormal

Los vectores de la base

son perpendiculares, iguales y

unitarios, es decir, de módulo 1.

Se representan por las

letras .

Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados

cartesianos.

21


Aplicaciones de vectores

Coordenadas del punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto

medio de un segmento son la

semisuma de las coordenadas de

los extremos.

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

22


Condición para qué tres puntos estén alineados

Los puntos A (x1, y1), B(x2,

y2) y C(x3, y3) están

alineados siempre que los

vectores tengan la

misma dirección . Esto ocurre

cuando sus coordenadas son

proporcionales.

Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

23


Simétrico de un punto respecto de otro

Si A' es el simétrico de A

respecto de M, entonces M es el

punto medio del segmento AA'.

Por lo que se verificará igualdad:

Hallar el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, - 11).

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Coordenadas del baricentro

Baricentro o centro de

gravedad de un triángulo es el

punto de intersección de sus

medianas.

Las coordenadas del

baricentro son:

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), hallar las

coordenadas del baricentro.

25


División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un

punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos

partes, PA y PB, están en la relación r:

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6)

en tres partes iguales?

26


Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta

al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que

forman.

Ejemplo

27


Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

28


Ejemplo

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno

de ellos por la proyección del otro sobre él.

29


Ejemplo

Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

Propiedades del producto escalar

1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es

positivo.

30


Vectores. Producto escalar. Ejercicios

1Hallar el simétrico del punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11).

2Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro

G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y

B, de manera que se obtenga

4Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-

1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:

1 ·

2 ·

3 ·

4 ·

6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los

vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

7 Calcular el valor de k sabiendo que

31


8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los

vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

9 Calcula la proyección del vector sobre el

vector .

10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del

vector .

1

Hallar el simétrico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).

2

Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3,

0), calcular el tercer vértice.

32


3

Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B,

de manera que se obtenga

4

Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1,

-2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

33


5

Si { , } forma una base ortonormal, calcular:

1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1

6

Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los

vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

34


3 Formen un ángulo de 60°.

7

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los


Calcular el valor de k sabiendo que .

35


8

Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los


Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

9

Calcula la proyección del vector sobre el vector .

36


10

Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector

.

37


Vectores. Producto escalar. Ejercicios

1Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de

un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a

una circunferencia de centro (1, 2).

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y

C(0, 1).

4Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y =

(8. -8).

5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

6Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0),

B(3,5), C(-1,-1).

7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB

y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su

mitad.

8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base.

Expresar en esta base el vector = (−1, −1).

38


10Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y =

a − 2 formen un ángulo de 45°.

1

Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un

triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1

y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3

A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

39


2

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una

circunferencia de centro (1, 2).

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D

deben ser iguales

3

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y

C(0, 1).

Si:

40


4

Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8.

-8).

5

Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

41


2 0°

3 45°

6

Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0),

B(3,5), C(-1,-1).

42


7

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y

AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su

mitad.

43


44


8

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

45


9

Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base.

Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

= 2 − 3

10

Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a

− 2 formen un ángulo de 45°.

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