CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO1. OBJETIVOS DEL CAPITULO Para analizar la cinemtica de un cuerpo sometido a rotacin alrededor de un punto fijo y movimiento en plano general. Proporcionar un anlisis relativo de movimiento de un cuerpo rgido con traslacin y ejes de rotacin.8.1 Rotacin alrededor de un punto fijoCuando un cuerpo rgido gira con respecto a un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partcula P ubicada sobre el cuerpo es la misma para cualquier posicin del cuerpo. Entonces la trayectoria de movimiento para la partcula se encuentra sobre la superficie de una esfera con radio r y centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre solo a partir de una serie de rotaciones ocurridas durante un intervalo de tiempo finito, primero desarrollaremos cierta familiaridad con algunas propiedades de los desplazamientos rotatorios.El aguiln puede girar hacia arriba y abajo, y debido a que est articulada en un punto sobre el eje vertical alrededor del cual gira, es sometido a rotacin alrededor de un punto fijo.El teorema de Euler. Establece que dos rotaciones componentes con respecto a ejes diferentes que pasan por un punto son equivalentes a una sola rotacin resultante con respecto a un eje que pasa por el punto. Si son aplicadas ms de dos rotaciones, pueden ser combinadas en pares y cada par, a su vez, reducirse adicionalmente para combinarlo en una rotacin.Rotaciones finitas. Si las rotaciones componentes usadas en el teorema de Euler son finitas, es importante que se mantenga el orden en que se aplica. Es es porque las rotaciones finitas no obedecen la ley de la suma vectorial, y por ello no pueden ser clasificadas como cantidades vectoriales. Para mostrar esto, considere las dos rotaciones finitas + aplicadas al bloque mostrado en la figura 08-1a. Cada rotacin tiene magnitud de 90 y direccin definida por la regla de la mano derecha, como indican las flechas. La orientacin resultante del bloque se muestra a la derecha. Cuando estas dos rotaciones son aplicadas en el orden + , como puede apreciarse en la figura 08-1b, la posicin resultante del bloque no es la misma que la de la figura 08-1a. en consecuencia, las rotaciones finitas no obedecen la ley conmutativa de la suma + + , y por tanto no pueden der clasificadas como vectores. Si se hubiesen usado rotaciones ms pequeas pero finitas para ilustrar este punto, por ejemplo, 10 en vez de 90, la orientacin resultante del bloque despus de cada combinacin de rotaciones seria tambin diferente; sin embargo, en este caso la diferencia seria solo una cantidad pequea.

(a)(b) Fig. 08-1Las rotaciones infinitesimales. Al definir los movimientos angulares de un cuerpo sometido a movimiento tridimensional, solo sern consideradas rotaciones que sean infinitesimalmente pequeas. (a) Tales rotaciones pueden ser clasificadas como vectores, ya que es posible sumarlas vectorialmente de cualquier manera. Para mostrar esto, simplemente consideremos que el cuerpo rgido es una esfera a la que se le permite girar con respecto a su punto fijo central O, figura 08-2a. si imponemos al cuerpo dos rotaciones infinitesimales d + d, puede verse que el punto P se mueve a lorgo de la trayectoria d x r + d x r y termina en P. si las dos rotaciones sucesivas hubiesen ocurrido en el orden d + d, entonces los desplazamientos resultantes de P habran sido d x r + d x r. como el producto vectorial cruz obedece la ley distributiva, por comparacin (d + d) x r = (d + d) x r. aqu las rotaciones infinitesimales d son vectores, ya que estas cantidades tienen magnitud y direccin para las cuales el orden de la suma (vectorial) no es importante, esto es, d + d = d + d. Adems, como se muestra en la figura 08-2a, las dos rotaciones componentes d + d son equivalentes a una sola rotacin resultante d = d + d, lo que es consecuecia del teorema de Euler.Velocidad angular. Si el cuerpo est sometido a una rotacin angular d con respecto a un punto fijo, la velocidad angular del cuerpo es definido mediante la derivada con respecto al tiempo, = (08-1)A la lnea que especifica la direccin de , la cual es colineal con d, se le llama eje instantneo de rotacin, figura 08-2b. En general, este eje cambia de direccin durante cada instante. Como d es una cantidad vectorial, lo es tambin , y se infiere de la suma (b) Fig. 08-2vectorial que si el cuerpo est sometido a dos componentes de movimiento angular, 1 = 1 y 2 = 2, la velocidad angular resultante es = 1 + 2.Aceleracin angular. La aceleracin angular del cuerpo es determinada a partir de la derivada en el tiempo de su velocidad angular, es decir, = (08-2)Para el movimiento con respecto a un punto fijo, debe tomar en cuenta tanto el cambio de magnitud como el de direccin de , por lo que, en general, no est dirigido a lo largo del eje instantneo de rotacin, figura 08-3.Como la direccin del eje instantneo de rotacin (o la lnea de accin de ) cambia en el espacio, el lugar geomtrico de los puntos definidos por el eje crea un cono espacial fijo. Si el cambio en este eje es visto con respecto al cuerpo rotatorio, el lugar geomtrico del eje crea un cono de cuerpo, figura 8-4. En cualquier instante dado, estos conos son tangentes.

Fig. 08-3A lo largo del eje instantneo de rotacin, y cuando el cuerpo est en movimiento, el cono de cuerpo parece rodar sobre la superficie interior o exterior del cono espacial fijo. Siempre que las trayectorias definidas por los extremos abiertos de los cono son descritas mediante la cabeza del vector , debe actuar tangente a estas trayectorias en cualquier instante dado, ya que la razn de cambio con respecto al tiempo de es igual a , figura 08-4.

Fig. 08-4Velocidad. Una vez que se especifica, la velocidad de cualquier punto en un cuerpo girando alrededor de un punto fijo se puede determinar usando los mismos mtodos como para un cuerpo en rotacin alrededor de un eje fijo. Por lo tanto, por el producto vectorial v = x r (08-3)Aqu r define la posicin de P medida desde el punto fijo O, figura 08-3

(a)

Aceleracin. Si y son conocidas en un instante dado, la aceleracin de cualquier punto P sobre el cuerpo puede ser obtenida por diferenciacin con respecto al tiempo de la ecuacin 08-3, lo cual resulta en a = x r + x ( x r ) (08-4)8.2 La derivada con respecto al tiempo de un vector medido desde un sistema fijo o rotatorio en traslacin.En muchos tipos de problemas que implican el movimiento de un cuerpo con respecto a un punto fijo, la velocidad angular es especificada en trminos de sus movimientos componentes angulares. Por ejemplo, el disco mostrado en el figura 08-5 gira con respecto al eje horizontal y a s mientras que rota o procesa con respecto al eje vertical z a p. por tanto, su velocidad angular resultante es = s + p. si la aceleracin angular = de un cuerpo con tal forma debe ser determinada, a veces es ms fcil calcular la derivada con respecto al tiempo de usando un sistema coordenado que tenga rotacin definida mediante un o ms de las componentes de . * Por esta razn, y para usos posteriores, derivaremos ahora una ecuacin que relaciona la derivada con respecto al tiempo de cualquier vector A definida desde un marco de referencia en traslacin y rotacin a su derivada con respecto al tiempo definida desde una referencia fija.Considere que los ejes x,y,z del maco de referencia mvil tiene una velocidad angular medida desde los ejes fijos X,Y,Z figura 08-6a. En el siguiente anlisis ser conveniente expresar el vector A en trminos de sus componentes i,j,k, las cuales definen las direcciones de los ejes mviles. Por consiguiente,A = Axi + Ayj + Azk

(a)

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta el cambio tanto en magnitud como en direccin del vector. Sin embargo, eta derivada se toma con respecto al marco de referencia mvil. Debe considerarse solo un cambio en las magnitudes de las componentes de A, ya que las direcciones de las componentes no cambian con respecto a la referencia mvil. Por consiguiente, = xi + yj + zk (08-5)Cuando la derivada con respecto al tiempo de A se toma con respecto al marco fijo de referencia, las direcciones de i,j,k solo cambian debido a la rotacin de de los ejes y no a su traslacin. por ello, en general. = xi + yj + zk + Axi + Ayj + AzkConsideremos ahora las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unitarios. Por ejemplo, i = di/dt representa solo un cambio en la direccin de i con respecto al tiempo, ya que i tiene magnitud fija de 1 unidad. Como se muestra en la figura 08-6b, el cambio, di, es tangente a la trayectoria descrita por la cabeza de flecha de i cuando i se mueve debido a la rotacin . Por tanto, para tomar en cuenta la magnitud y la direccin de di, podemos definir i usando el producto cruz, i = x i, en general.= x i = x j = x k

Fig. 08-6Estas formulaciones fueron desarrolladas tambin en la seccin 16.8, considerando el movimiento plano de los ejes. Sustituyendo los resultados en la ecuacin anterior y usando la ecuacin 20-5, obtenemos = + X A (08-6)Este resultado es muy importante y ser usado en toda la seccin 08-4 y en el captulo 21. Establece que la derivada con respecto al tiempo de cualquier vector A tal como es observado desde el marco fijo de referencia X.Y.Z es igual a la razn de cambio con respecto al tiempo de A como es observado desde el marco x,y,z de traslacin y rotatorio, ecuacin 08-5, mas x A, el cambio de A causado por la rotacin del marco x,y,z. como resultado , la ecuacin 08-6 debe ser usada siempre que genere un cambio en la direccin de A como se aprecia desde la referencia X,Y,Z . si este cambio no ocurre, esto es, = 0, entonces = y la razn de cambio con respecto al tiempo de A como es observado desde ambos sistemas coordenados ser la misma.EJEMPLO 08.1El disco se muestra en la figura. 08-7 gira sobre su eje con una velocidad constante angular= 4 rad / s, mientras que la plataforma horizontal sobre el cual el disco est montado gira alrededor del eje vertical a una velocidad constante = 2 rad / s. Determine la aceleracin angular del disco y el velocidad y la aceleracin del punto A en el disco cuando se est en el posicin que se muestra.

SOLUCIONEl punto de 0 representa un punto fijo de rotacin para el disco si uno considera una extensin hipottica del disco hasta este punto. Para determinar la velocidad y la aceleracin del punto A, es necesario en primer lugar determinar la velocidad angular y la aceleracin angular del disco, ya que estos vectores se utilizan en las ecuaciones. 08-3 y 08-4.Velocidad angular. La velocidad angular, que se mide a partir de X, Y, Z, es simplemente la suma de vectores de los dos movimientos componentes. As = + = (4j 2k) rad /sAceleracin angular. Dado que la magnitud de es constante, slo un cambio en su direccin, como es visto desde una referencia fija, crea la aceleracin angular del disco. Una manera de obtener es calcular la derivada en el tiempo de cada uno de los dos componentes de utilizando la ecuacin. 08-6. En el instante mostrado en la figura. 08-7, imagine que los ejes X, Y, Z fijos coinciden con un marco rotatorio x, y, z. Si se elige que el marco rotatorio x, y, z tenga una velocidad angular de = = {-2k} rad / s, entonces, siempre se dirige a lo largo del eje y (no de Y), y la razn de cambio de como se ve a partir de x, y, z es cero, es decir, = 0 (la magnitud y la direccin de es constante). Por lo tanto, = + x = 0 + (-2k) x (4j) = (8i) rad / Con la misma seleccin de rotacin de ejes, = , o incluso con = 0, la derivada con respecto al tiempo = 0, ya que tiene una magnitud y direccin constante. Por lo tanto, = + x = 0 + 0 = 0La aceleracin angular del disco es por lo tanto = = + = (8i) rad / Velocidad y Aceleracin. Dado que y han sido ahora determinados, la velocidad y la aceleracin del punto A se pueden encontrar utilizando las ecuaciones. 08-3 y 08-4. Observando que = {1j + 0.25k} m, Figura 08-7, tenemos: = x = (4j 2k) x (lj + 0.25k) = (3i) m/s = x + x ( x )= (8i) x ( lj + 0.25k) + (4j 2k) x {(4j 2k) x (lj + 0.25k)}= (-8j 12k) m/EJEMPLO 08.2En el instante = 60 , el trompo giroscpico que aparece en la figura. 08-8 tiene tres componentes de movimiento angular dirigida como se muestra y que tiene magnitudes definidas como: Giro: = 10 rad / s, aumentando a razn de 6 rad / Nutacin: = 3 rad / s, aumentando a razn de 2 rad / Precesin: = 5 rad / s, aumentando a razn de 4 rad / Determine la velocidad angular y la aceleracin angular del trompo.SOLUCIONVelocidad angular. El trompo est girando alrededor del punto fijo O. Si los marcos fijos y rotatorios son coincidentes en el instante mostrado, entonces, la velocidad angular se puede expresar en trminos de las componentes i, j, k, asociadas al marco x, y,z es decir, = - n i + s sen j + ( p + s cos ) k = -3i + 10 sen 60j + ( 5 + 10 cos 60 ) k = { -3i + 8.66j + 10k } rad/s

Fig. 08-8Aceleracin angular. Al igual que en la solucin del Ejemplo 08.1, la aceleracin angular ser determinada investigando por separado la razn de cambio con respecto al tiempo de cada uno de los componentes de la velocidad angular tal como son vistas desde la referencia fija X, Y, Z. Vamos a elegir una para el x, y, z de referencia de manera que el componente de W que est siendo considerada sea vista con una direccin constante cuando se observa a partir de x, y, z.Un examen cuidadoso del movimiento del trompo revela que tiene una direccin constante en relacin con x, y, z si estos ejes giran a = + .Por lo tanto, = + ( + ) x = ( 6 sen 60j + 6 cos 60k ) + ( -3i 5k ) x ( 10 sen 60j + 10 cos 60k ) = { -4330i + 20.20j 22.98k } rad/Como siempre se encuentra fijo en el plano X-Y, este vector tiene una direccin constante si el movimiento se ve desde los ejes x, y, z que tiene una rotacin de = (no = + ). Por lo tanto. = + x = -2i + (5k) x (-3i) = {-2i 15j} rad/Por ltimo, la componente siempre se dirige a lo largo del eje Z de modo que aqu no es necesario pensar que los ejes x, y, z estn rotando, es decir, = 0. Expresando los datos en trminos de los componentes i,j,k, por lo tanto, tenemos = ()xyz + 0 x = {4k} rad/Por lo tanto, la aceleracin angular del trompo es = + + = {-45.3i + 5.20j 19.0k} rad/8.3 Movimiento general.Se muestra en la figura. 08-9 un cuerpo rgido sometido a un movimiento general de tres dimensiones para el cual la velocidad angular es y la aceleracin angular es . Si el punto A tiene un movimiento conocido y , el movimiento de cualquier otro punto B se puede determinar mediante el uso de un anlisis de movimiento relativo. En esta seccin se utilizar un sistema de coordenado en traslacin para definir el movimiento relativo, y en la siguiente seccin consideraremos una referencia que gira y se traslada

Fig. 08-9Si el origen del sistema de coordenadas en traslacin x, y, z ( = 0) es situado en el "punto base" A, entonces, en el instante mostrado, el movimiento de el cuerpo puede considerarse como la suma de una traslacin instantnea del cuerpo que tiene un movimiento de y , y una rotacin del cuerpo con respecto a un eje instantneo que pasa por el punto base. Dado que el cuerpo es rgido, el movimiento del punto B medido por un observador situado en A es por lo tanto la misma que la rotacin del cuerpo alrededor de un punto fijo. Este movimiento relativo se produce alrededor del eje instantneo de rotacin y se define por = x , Eq. 08-3 y = x + x ( x ), Ecuacin. 08-4. Para los ejes de traslacin, los movimientos relativos estn relacionados con los movimientos absolutos por medio de = + y= + , las ecuaciones. 16-15 y 16-17, de modo que la velocidad y aceleracin absoluta del punto B puede determinarse a partir de las ecuaciones.vB = vA + x rB/A (08-7)aB = aA + x rB/A + x ( x rB/A) (08-8)Estas dos ecuaciones son idnticas a los que describe el movimiento plano general de un cuerpo rgido, las ecuaciones. 16-16 y 16-18. Sin embargo, aparecen dificultades en su aplicacin al movimiento tridimensional, debido a que mide el cambio tanto en la magnitud y la direccin de .PROBLEMAS DESARROLLADOS1. El movimiento del trompo es tal que en el instante mostrado esta rotando con respecto al eje z a = 1.2 rad/s mientras gira a = 10 rad/s . determine la velocidad angular y la aceleracin angular del trompo en este instante. Exprese el resultado como un vector cartesiano.

Solucin: = + = 1.2k + 10 cos 45 j + 10 sen 45 k = { 7.07 j + 8.27 k } rad/s Respuesta.Permitir x,y,z tengan velocidad angular de = asi= 0 = + ( x ) = 0 + (1.2k) x (10 cos 45 j + 10 sen 45 k) = -8.48 i = = {-8.48 i} Respuesta.2. En el instante mostrado, la gra est rotando con respecto al eje z a velocidad angular = 0.5 rad/s , la cual est aumentando a 0.8 rad/. El aguiln OA se encuentra rotando hacia abajo con velocidad angular = 0.6 rad/s , la cual esta aumentando a 0.9 rad/ . Determine la velocidad y aceleracin del punto A ubicado en la parte superior del aguiln en este instante.Solucin: = + = { -0.6 i + 0.5 k } rad/s = { 0.5 k }rad/s = + x = { -0.9 i + 0.8 k } + {0.5 k} x { -0.6 i + 0.5 k } = { -0.9 i 0.3 j + 0.8 k } rad/ = 30cos 30 j + 30sen 30 k = { 25.9 j + 20 k } = x = ( -0.6 i + 0.5 k ) x ( 25.9 j + 20 k ) = { -12.95 i + 12 j 15.54 k } Respuesta.

= x + x = (-0.9 i 0.3 j + 0.8 k ) x (25.9 j + 20 k ) + (-0.6 i + 0.5 k ) x (-12.95 i + 12 j 15.54 k ) = { -32.72 i + 2.21 j 30.51 k } Respuesta.8.4 Anlisis de movimiento relativo usando ejes en traslacin y en rotacin.La forma ms general de analizar el movimiento tridimensional de un rgido cuerpo requiere el uso de X, Y, Z que tanto traducir y girar en relacin a un segundo marco de X, Y, Z. Este anlisis tambin proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos A y B situados en los miembros separados de un mecanismo, y el movimiento relativo de una partcula con respecto a otra cuando una o ambas partculas se mueven a lo largo de trayectorias curvas. Como se muestra en la figura. 08-11, las ubicaciones de los puntos A y B se especifican relacin al eje X, Y, Z marco de referencia de vectores de posicin y ' El punto base A representa el origen del sistema de coordenadas x, y,z, que se traslada y que gira con respecto a X, Y, Z. En el instante considera, la velocidad y la aceleracin del punto A son y , y la velocidad angular y la aceleracin angular de los ejes x, y,z son y = d / dt. Todos estos vectores se miden con respecto a los ejes X, Y, Z marco de referencia, a pesar de que se pueden expresar en coordenadas cartesianas forma de componentes a lo largo de uno u otro conjunto de ejes.

Posicin. Si la posicin de B con respecto a A es especificada mediante el vector de posicin relativa , figura 08-11, entonces, por suma vectorial, = + (08-9)Dnde: = posicin de B = posicin del origen A = posicin relativa de B con respecto a AVelocidad. La velocidad del punto B medida desde X,Y,Z, se determina tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin 08-9, que resulta en: = + Los primeros dos trminos representan y . El ultimo termino es evaluado aplicando la ecuacin 08-6 ya que es medida entre dos puntos en una referencia giratoria. Por consiguiente, = + x = + x (08-10)Aqu es la velocidad relativa de b con respecto a A medida desde x,y,z. Asi, = + x + (08-11)Dnde: = velocidad de B = velocidad del origen A del marco de referencia x,y,z. = velocidad relativa de B con respecto a A como es medida por un observador situado en el marco de referencia x,y,z =velocidad angular del marco de referencia x,y,z = posicin relativa de B con respecto a AAceleracin. La aceleracin del punto B medida desde X,Y,Z se determina tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin 08 11, lo cual resulta en, = + x + x + Las derivadas con respecto al tiempo definidas en los trminos primero y segundo representan y , respectivamente. El cuarto trmino es evaluado usando la ecuacin 08-10, y el ltimo trmino es evaluado aplicando la ecuacin 08-6, lo que queda = + x = + x Aqu es la aceleracin de B con respecto a A medida desde x,y,z . Sustituyendo este resultado y la ecuacin 08-10 en la ecuacin anterior y simplificando, tenemos = + x + x ( x ) + 2 x + (08-12)Dnde: = aeleracion de B = aceleracin del origen A del marco de referencia x,y,z. , = aceleracin relativa y velocidad relativa de B con respecto a A. medidas por un observador situado en el marco de referencia giratorio x,y,z ., = aceleracin angular y velocidad angular del marco de referencia x,y,z. = posicin relativa de B con respecto a A.Las ecuaciones 08-11 y 08-12 son idnticas a las usadas en la seccin 16.8 para analizar movimiento plano relativo. * Sin embargo, en ese caso, la aplicacin se simplifica ya que y tienen una direccin conatante que siempre es perpendicular al plano de movimiento. Para movimiento tridimensional, debe calcularse usando la ecuacin 08-6, ya que depende del cambio tanto en magnitud como en direccin de .El complicado movimiento espacial de la cubeta B de concreto ocurre debido a la rotacin del aguiln con respecto al eje Z, al movimiento de la canasta A a lo largo del aguiln, y a la extensin y oscilacin del cable AB. Un sistema coordenado x,y,z en traslacin y giratorio puede ser establecido sobre la canasta, y es posible aplicar un anlisis de movimiento relativo al estudio de este movimiento.PROCEDIMIENTO DE ANALISISEl movimiento tridimensional de partculas o cuerpos rgidos puede ser analizado con las ecuaciones 08-11 y 08-12 usando el siguiente procedimiento.EJES COORDENADOS.Seleccione la ubicacin y la orientacin de los ejes coordenados X,Y,Z y x,y,z. a menudo las soluciones son obtenidas fcilmente si en el instante considerado:1) Los orgenes coinciden.2) Los ejes son colineales.3) Los ejes son paralelos.Si varias componentes de velocidad angular estn implicadas en un problema, los clculos se reducirn si los ejes x,y,z son seleccionados de manera que solo una componente de velocidad angular es observada en este marco () y el marco gira con definida mediante las otras componentes de velocidad angular.ECUACIONES CINEMATICASDespus que el origen A de la referencia mvil se ha definido y el punto mvil B ha sido especificado, las ecuaciones 08-11 y 08-12 deben escribirse en forma simblica como. = + x + = + x + x ( x ) + 2 x + Si y parecen cambiar de direccin al ser observadas desde la referencia fija x,y,z use un conjunto de ejes de referencia con primas, , , , que tengan = , y la ecuacin 08-6 para determinar y el movimiento y del origen de los ejes mviles x,y,z.Si y parecen cambiar de direccin al der observados desde x,y,z entonces use un conjunto de ejes de referencia con primas, , , que tengan = y la ecuacin 08-6 para determinar y el movimiento relativo y .Despus que las formas finales de , , , , , , son obtenidas, los datos numricos del problema pueden ser sustituidos y los trminos cinemticos evaluados. Las componentes de todos estos vectores pueden seleccionarse a lo largo de los ejes X,Y,Z o x,y,z. la seleccin es arbitraria, siempre que sea usado un conjunto consistente de vectores unitarios.EJEMPLO 8.4Un motor y una barra AB unida a l tienen los movimientos angulares mostrados en la figura 08-12. Un collarn C instalado sobe la barra se ubica a 0.25 m de A y se est moviendo hacia abajo a lo largo de la barra con velocidad de 3 m/s y aceleracin de 2 m/ . Determine la velocidad y aceleracin de C en este instante.SOLUCIONEjes coordenados. Elegimos ubicar el origen de la referencia fija X,Y,Z en el centro de la plataforma, y el origen del marco mvil x,y,z en el punto A , figura 08-12. Como el collarn est sometido a dos componentes de movimiento angular, y , ser considerado con una velocidad angular de = en x,y,z .Los ejes x,y,z se unirn a la plataforma de manera que =.

Ecuaciones cinemticas. Las ecuaciones 08-11 y 08-12, aplicadas a los puntos C y A, toman la formavC = vA + x + aC = aA + x + x ( x ) + 2 x + Movimiento de A.Aqu cambia de direccin con respecto a XYZ. Para encontrar las derivadas con respecto al tiempo de , usaremos un conjunto de ejes , , que coincidan con los ejes X,Y,Z que giran a = = . Entonces = = {5k} rad/s = = {2k} rad/s2 = {2i} mvA = = + x = 0 + 5k x 2i = {10j} m/saA = = [ + x ] + x + x = [0 + 0] + 2k x 2i + 5k x 10j = {-50i + 4j}m/s2 Movimiento de C con respecto a A.Aqu cambia de direccion con respecto a x,y,z Para encontara las derivadas con respecto al tiempo de , use un componente junto de ejes , , que giren a = = , asi = = {3i} rad/s = = {1i} rad/s2 = {-0.25k} m = = + x = -3k + [3i x (-0.25k)] = {0.75 -3k} m/s = = [ + x ] + x + x = [-2k + 3i x (-3k)] + (1i) x (-0.25k) + ( 3i) x (0.75j -3k) = {18.25j + 0.25k} m/s2Movimiento de C.vC = vA + x + = 10j + [5k x (-0.25k)] + (0.75j 3k) = {10.75j 3k} m/saC = aA + x + x ( x ) + 2 x + = (-50i + 4j) + [2k x (-0.25k)] + 5k x [5k x (-0.25)] + 2[5k x (0.75j 3k)] + (18.25j + 0.25k) = {-57.5i + 22.25j + 0.25k} m/s2 Problemas resueltos:1. En el instante mostrado, el helicptero se est moviendo hacia arriba con velocidad = 5 pies/s y tiene aceleracin = 3 pies/ . en el mismo instante, el marco H, no las aspas horizontales, esta girando con respecto a un eje vertical a velocidad angular constante = 0.7 rad/s. si las aspas B de la cola estn girando a velocidad angular constante = 170 rad/s, medida con relaciona H , determine la velocidad y la aceleracin del punto P, ubicado en la punta de una aspa, en el instante en que el aspa est en posicin vertical.

Solucin:Relativo a XYZ, permitir xyz para tener : = { 0.7k } rad/s = 0 = { 15j } ft = = + x = 5k + (0.7k) x (15j) = { -10.5 i + 0.7 k } ft/s = = [ + x ] + x + x = [ 3k + 0 ] + 0 + [ (0.7k) x (-10.5 i + 0.7 k) ] = { -7.35j + 3k } ft/Relativo a xyz, permitir , , para tener : = {-170i } rad/s = 0 = { 1.5k } ft = = + x = 0 + ( -170i ) x ( 1.5k) = { 255j } ft/s = = [ + x ] + x + x = [ 0 + 0 ] + 0 + ( -170i ) x ( 255j ) = { -43350k } ft/As : = + x + = (-10.5 i + 0.7 k ) + [ (0.7k) x ( 1.5k ) ] + (255j) = {-10.5i + 255j + 0.7k } ft/s Respuesta. = + x + x ( x ) + 2 x + = ( -7.35j + 3k ) + 0 + (0,7k) x [ (0.7k) x (1.5k) ] + [ 2(0.7k) x (255j) ] + (-43350k)= ( -357i 7.35j 43347k ) ft/. Respuesta.