CLASE N5ESTADISTICA ICLAUDIO GUTIERREZ P:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALUna vez realizadas algunas representaciones grficas de las expuestas en el tema anterior, el siguiente paso del anlisis de datos es el clculo de una serie de valores, llamados estadsticos, que nos proporcionan un resumen acerca de cmo se distribuyen los datos. Estos estadsticos o caractersticas las podemos clasificar de la siguiente forma:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISPERSIN Y FORMA DEUNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASa) Caractersticas de posicin o tendencia central: Son los valores alrededor de los cuales se agrupan los datos. Dentro de este clase se incluye a la media, mediana y la moda.b) Caractersticas de dispersin: Nos proporcionan una medida de la desviacin de los datos con respecto a los valores de tendencia central (recorrido, varianza,...)c) Caractersticas de forma: Nos proporcionan una medida de la forma grfica de la distribucin (simetra, asimetra, etc...)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISPERSIN Y FORMA DEUNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASEstos resmenes nos sern tiles para resolver problemas como los que se plantean a continuacin.Al medir la altura en cm. que pueden saltar un grupo de atletas, antes y despus de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes. Piensas que el entrenamiento es efectivo?

Altura saltada en cm.

AtletasABCDEFGHIJAntes del entrenamiento115112107119115138126105104115Despus del entrenamiento128115106128122145132109102117

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISPERSIN Y FORMA DEUNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASDurante una epidemia de gripe, los tiempos de espera en cierto centro de salud fueron ms largo de lo habitual. La siguiente tabla resume la distribucin de los tiempos de espera para una muestra de 20 pacientes que visitaron el centro de salud durante este periodo

El centro de salud ha decidido que al 20% de los pacientes que ms tardan en ser atendidos, los remitir a una consulta adicional que ha habilitado. Cunto tiempo tiene que esperar como mnimo un paciente para ser enviado a esta consulta especial?

Tiempo de Espera (horas) [0 - 1) [1 - 2) [2 - 3) [3 - 4]

N de Pacientes6 9 4 1

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISPERSIN Y FORMA DEUNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASSupongamos que dos empresas desean repartir beneficios entre sus cuatro principales accionistas, y que el reparto se realiza de la siguiente forma (en miles de pesos)Cul de los dos repartos es el ms equitativo?.

Empresa AEmpresa B

1r accionista10012002 accionista50013003r accionista30014004 accionista1001100

CARACTERISTICAS DE POSICION CENTRAL: LA MEDIALa principal medida de tendencia central es la media aritmtica. La media de una muestra se representa por y se calcula mediante la expresin.DEF*

CARACTERISTICAS DE POSICION CENTRAL: LA MEDIAPara calcular la media basta aplicar la definicin DEF*. En caso de que los datos se presenten en una tabla de valores agrupados en intervalos, se aplica la misma frmula, siendo Xi los valores de las marcas de clase. Como se indic anteriormente, la agrupacin de los valores de la variable implica una prdida de informacin sobre dichos valores.Esto se traduce en el hecho de que los estadsticos calculados a partir de valores agrupados estn afectados por el error de agrupamiento. Por este motivo, y siempre que sea posible han de calcularse los estadsticos a partir de los datos originales, utilizando las frmulas para datos no agrupados.

CARACTERISTICAS DE POSICION CENTRAL: LA MEDIANo obstante, puede suceder a veces, que no tengamos los valores individuales de las observaciones si no, por el contrario, dispongamos tan solo de una tabla de frecuencias. En este caso conviene recordar que los valores obtenidos son slo aproximados.

Tema de Estudio 7La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es de 1,38, 1,42, 1,60, 1,40. Cul sera la altura ms probable del quinto estudiante?Un anuncio de cajas de fsforos indica que el nmero medio de fsforos por caja es 35. Representa una grfica de una posible distribucin del nmero de fsforos en 100 cajas, de modo que la media sea igual a 35.

Propiedades de la mediaLa suma de las desviaciones de los valores con respecto a la Media es igual a cero.

Propiedades de la mediaLa media aritmtica del producto de una constante, a, por una variable, X, es igual al producto de la constante por la media aritmtica de la variable dada, o sea,

Esta propiedad implica que, al efectuar un cambio de unidad de medida a los datos (por ejemplo al pasar de metros a centmetros), la media queda afectada por dicho cambio de escala.

Propiedades de la mediaLa media aritmtica de la suma de dos variables, X e Y, es igual a la suma de las medias aritmticas de cada una de las variables:

Propiedades de la mediaLa media aritmtica de la suma de una constante entera, a, con una variable, X, es igual a la suma de la constante, a, con la media aritmtica de la variable dada, es decir:

Tema de Estudio 8Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 60 kilos y el de los hombres de 80. Cul es el peso medio de las 10 personas del ascensor?Qu representa el valor obtenido al calcular la media aritmtica simple de la esperanza media de vida al nacer en los 97 pases del Proyecto 1? Cmo habra que hacer para calcular la esperanza media de vida al nacer en hombres y mujeres, si no tenemos en cuenta el pas de nacimiento?

Media aritmtica ponderadaUn error muy frecuente en el tema 8 actividad 1 es contestar que el peso medio es 70 kilos.Tenemos una tendencia a considerar que la media tiene la propiedad asociativa, es decir, que para calcular la media de un grupo de datos se puede calcular las medias parciales y luego promediar todas ellas para obtener el resultado final. Esto no es cierto.

LA MODACuando la variable es cualitativa no podemos calcular la media,. Para describir un grupo podemos, entonces usar la moda Mo, que es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia.En una distribucin puede haber ms de una moda. Si existe una sola moda se llama unimodal, si existen dos bimodal, si hay ms de dos se llamar multimodal.

LA MODAPodemos tambin calcular la moda en variables numricas y distinguiremos para su clculo dos casos:a) Variable cualitativa o numrica discreta: Su clculo es sumamente sencillo, pues basta hallar en la tabla de frecuencias el valor de la variable que presenta frecuencia mxima.

LA MODAb) Cuando la variable est agrupada en intervalos de clases (intervalos), la moda se encontrar en la clase de mayor frecuencia, pudiendo calcular su valor por medio de la expresin:

LA MODALa moda presenta algunas limitaciones como medida de tendencia central. Si las frecuencias se condensan fuertemente en algunos valores de la variable, la moda no es una medida eficaz de tendencia central.

LA MODAConsideremos la siguiente distribucin de las puntuaciones obtenidas por 40 alumnos en un examen de un mximo de 10 puntos:Puntuaciones: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10N 8 9 8 4 0 0 0 0 0 0 11Decir que la moda es 10 (Sobresaliente), cuando el 72.5% no ha superado el examen, nos da idea de la limitacin de la moda en este caso. Esto es debido a que en el clculo de la moda no se tienen en cuenta todos los valores de la variable.

ModaSin embargo, la media es 3.675, y en el clculo de la media s se tiene en cuenta todos los valores de la variable.

Modab) Una misma distribucin con los valores agrupados en clases distintas, puede dar distinta moda, en el clculo aproximadoAdems de ser uno de los principales conceptos estadsticos, la media tiene muchas aplicaciones en cuestiones prcticas de la vida diaria. Sin embargo no siempre se usa adecuadamente.

Un error muy frecuente es no ponderar adecuadamente en el clculo de promedios, como en el problema presentado en la actividad anterior.

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