Polígonos, , Perímetros, áreas Y Volúmenes

Los PolígonosLos Polígonos Los polígonos son figuras planas cerradas cuyos lados son

segmentos de rectas. En el caso de los polígonos, su perímetro se calcula sumando las longitudes de todos sus lados.

Los polígonos más simples son los triángulos, que tienen tres lados.

POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES

Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida

se llama polígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular.

Una característica particular de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia.

Medida del ángulo central

ω

A

B

C

DE

θ

γ

ωρ

µβ

δε

φ

α Diagonal

Vértice

Medida del ángulo externo

Lado

Medida del ángulo interno

Centro

Apotema

•La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.

Clasificación de los polígonos por sus ángulos interiores

Cóncavos:

• Tiene al menos un Tiene al menos un ángulos interior de mas ángulos interior de mas de 180°.de 180°.

Convexos:

• Sus ángulos interiores Sus ángulos interiores son de menos de son de menos de 180°.180°.

Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados

Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono:

11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono:

20 lados

Clasificación de los polígonos por su número de lados.

Primera propiedad

Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores y ángulos exteriores son iguales.

• Lados

• Vértices

• Ángulos interiores

• Ángulos exteriores

• Ángulos centrales

Propiedades de los polígonos

Segunda propiedad

A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales.

Ejemplo:

ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

Diagonales en rombo y cuadrado son perpendiculares.

Diagonal en cuadrado de lado a = a√2 Diagonal de cubo de arista a = a√3

Tercera propiedad

El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono:

2

)3n(nND

−=

Ejemplo:

diagonales 52

)35(5ND =−=

Cuarta propiedad

Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos

Ejemplo:

3

2

1

Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

Quinta propiedad

Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono:

S∠i =180°(n-2)

Ejemplo:

180º

180º

180º

S∠i = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º

Donde (n-2) es número de triángulos

Suma de las medidas de losángulos interiores del triangulo

Sexta propiedadSuma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º S∠e = 360°

θ + γ + ω + ρ + µ = 360º

Ejemplo:

Séptima propiedad

Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos

Ns. = n = 5 = 6 triángulos

Ejemplo:

Áreas y perímetros de los cuerpos elementales

áreaperímetro

Base por altura

partido por dos

Suma de los

tres lados

Triángulo

altura

h h

baseb b

Área = 2

hb ⋅

área perímetro

Lado por lado = lado al cuadrado

Suma de los lados

Cuadrado

A=a2

P=4a

a a

áreaperímetro

Lado mayor por lado menor

Suma de los lados

Rectángulo

a

bb

a

A=a·b P=2(a+b)

área perímetro

Diagonal mayor por diagonal menor partido por dos

Suma de los lados

Rombo

a

P= 4a

E J E M P L O

Área = 2

dD ⋅

2202

58cm=⋅

D

d

8 cm

5 cm

área perímetro

Semisuma de las bases por la altura

Suma de los lados

Trapecio

E J E MP L O

h

altura

b1

b2

bases

5 cm

3 cm

2 cm

Área =( )

hbb ⋅+

221

( ) 2822

35cm=⋅+

círculo circunferencia

π (pi) por el radio al

cuadrado

Diámetro por π π≅3,14159...

Circunferencia y círculo

E J E M P L O

Área = 2r⋅π

r

10 cm

22 10010 cmππ =⋅

E J E M P L O

longitud = r⋅⋅π2

r

5 cm

cmππ 1052 =⋅⋅

Cálculo de volúmenesCálculo de volúmenes

Relaciones en figuras y cuerpos geométricosRelaciones en figuras y cuerpos geométricos Áreas Sombreadas (Achuradas)Áreas Sombreadas (Achuradas)

Corresponden a una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras relacionadas entre sí, generando intersecciones y uniones entre ellas. Para distinguir la parte que se debe calcular, se procede a sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando texturas. Luego, se identifican las figuras simples que componen la figura más compleja, llevando la situación al cálculo de áreas de cuadrados, rectángulos, etc.

Suma de áreas de figuras planasSuma de áreas de figuras planas Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas

de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Ejemplo En la figura, ABCD cuadrado de lado 4 cm. y arco DC semicírculo de centro O. Ésta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado.

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Resta de áreas de figuras planas

Este tipo de ejercicios es el más común y corresponde a aquellos que presentan unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado.

Ejemplo

En la figura, ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm. con semicírculo de diámetro AB inscrito.

diámetro =12

Radio= 6