CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

EN VARIAS VARIABLES TEMA 2

SUCESIONES NUMÉRICAS

Estudiaremos un objeto matemático de naturaleza discreta y de mucha importancia enel cálculo infinitesimal: las sucesiones. Hablando en términos coloquiales, las sucesionesson listas infinitas, donde pueden haber elementos repetidos. Nos interesará estudiar elcomportamiento de estas listas en el infinito, a través de un concepto conocido como con-vergencia.

2.1 Definición y ejemplos de sucesiones

Comencemos dando la definición formal de sucesión, la cual resulta ser bastante sencilla,pero es necesario precisar la notación que usaremos de ahora en adelante.

Definición 2.1.1. Una sucesión de números reales es una función

a : N→ R.

El elemento a(n) se denomina término n-ésimo de la sucesión, y se denota por an. A la sucesión,por otro lado, se le denota por {an}n∈N, o simplemente por {an}.

Observación 2.1.2. En la definición anterior, se puede incluir al cero 0 en N o no. Esto puededepender de cómo an esté definido. Por ejemplo, si an = 1/n, entonces en este caso excluímos al 0.

Estas funciones llamadas sucesiones son, en cierto sentido, diferentes a las funciones devariable real f : R → R estudiadas en el curso de Cálculo Diferencial e Integral en unaVariable. Esta diferencia está marcada en que las sucesiones tienen como dominio a N yno a R. Por ejemplo, para sucesiones no se puede hablar del límite de a : N → R en un

1

punto n0 ∈ N, ya que en N no existe la noción de aproximación a un punto que teníamosen R. Por esta misma razón, no se puede hablar tampoco de derivadas ni de integrales desucesiones. Sin embargo, las sucesiones y las funciones de variable real comparten unasimilitud importante: el estudio de límites en +∞, como veremos en secciones posteriores.

Al finalizar los temas 2, 3 y 4 del curso, podremos apreciar cierto paralelismo entre lassucesiones y las funciones de variable real.

sucesiones funciones realeslímites de {an} cuando n→ +∞ límites de f : R→ R cuando x→ +∞

series numéricas (Tema 3) integrales impropias (Tema 4)∑∞n=0 an

∫∞x0f(x)dx

En esta ocasión nos enfocaremos únicamente en el estudio de límites de sucesiones cuandoen el infinito, y dejaremos para después el estudio de series e integrales impropias (ambostemas de mucha relación con el concepto de sucesión).

Los objetivos principales en estas notas serán los siguientes:1. Saber cuándo el límite limn→+∞ an existe en R.2. Estudiar la relación entre sucesiones y continuidad de funciones de variable real.

Ejemplo 2.1.3. En los siguientes ejemplos, y de hecho en cualquier problema que involucre suce-siones, conviene calcular los primeros términos de la sucesión para observar su comportamiento.

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1. Sucesión constante:

an = 1,∀ n ∈ N.

a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, · · ·

Para el caso más general donde c ∈ R fijo, tenemos la sucesión constantemente igual a cdada por an = c, para todo n ∈ N.

2. Sucesión identidad:

an = n,∀ n ∈ N.

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, · · ·

3

3. Sucesión armónica:

an =1

n,∀ n ∈ N.

a1 = 1, a2 =1

2, a3 =

1

3, a4 =

1

4, · · ·

4. Sucesión alternante:

an = (−1)n, ∀ n ∈ N.

a0 = 1, a1 = −1, a2 = 1, a3 = −1, · · ·

5. Algunas veces, las sucesiones pueden estar dadas por dos y más fórmulas. Por ejemplo,considere la sucesión dada por:

a2n = 2n2 y a2n+1 = 1, ∀n ∈ N.

En este caso tenemos:

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 8 · · ·

6. Sucesión de Fibonacci: En todos los ejemplos anteriores, las sucesiones están dadas por loque se conoce como una fórmula cerrada, es decir, una regla directa que para cada n ∈ Ncalcula el término an de la sucesión. Este no siempre es el caso, como sucede con la famosa

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sucesión de Fibonacci {Fn}:

F0 = F1 = 1 y Fn = Fn−1 + Fn−2, ∀n ≥ 2.

La expresión anterior es un ejemplo de lo que se conoce como fórmula de recurrencia. Esdecir, a partir de n ≥ 2, para calcular Fn tengo que conocer los dos términos anteriores Fn−1y Fn−2.También existe una fórmula cerrada para hallar los términos de la sucesión de Fibonacci.La misma viene dada por:

Fn =ϕn − ψn

ϕ− ψ, ∀n ≥ 1.

La expresión anterior se conoce como fórmula de Binet, donde

ϕ =1 +√5

2≈ 1, 6180339887...

es la llamada razón áurea, y

ψ =1−√5

2= 1− ϕ = − 1

ϕ≈ −0, 6180339877...

2.2 Convergencia de sucesiones

Como mencionamos anteriormente, nos interesa estudiar el comportamiento de una suce-sión {an} cuando n→∞. Esto se hará mediante el estudio del límite de an cuando n tienea +∞. Tal concepto lo vimos para funciones de variable real. La definición de tales límitespara sucesiones es análogo, y la presentamos a continuación.

Definición 2.2.1. Una sucesión {an} es convergente a A ∈ R, o tiene límite A, si para cadaε > 0 existe N = Nε ∈ N tal que

|an − A| < ε para todo n ≥ Nε.

Si {an} converge a A ∈ R, lo denotaremos por

limn→∞

an = A.

Otra forma de escribir limn→∞ an = A es la siguiente:

∀ε > 0, ∃Nε ∈ N / an ∈ E(A, ε), ∀n ≥ Nε.

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Recordemos que E(A, ε) = (A− ε, A+ ε) es el entorno de centro A y radio ε, y que

|an − A| < ε⇐⇒ −εan − A < ε⇐⇒ A− ε < an < A+ ε.

Básicamente lo que se busca es aproximar los términos de la sucesión alrededor de A. Elvalor ε > 0 escogido representa qué tanto nos queremos aproximar a A. Así, elegir unaestimación ε > 0 arroja un N (que depende de ε) de tal manera que, a partir de aN , todoslos términos an quedan dentro de la franja de aproximación dada por (A− ε, A+ ε).

Diremos que {an} diverge cuando no converge, es decir, cuando limn→∞ an no existe o noes finito. Esto último puede incluir tres casos:

1. limn→∞ an = +∞: En este caso, se dice que {an} diverge a +∞, y se tiene la siguientedefinición:

∀L > 0, ∃N ∈ N / an > L ∀n ≥ N.

Acá la idea es la siguiente: an se hace infinitamente grande y positivo. Entonces, siescojo L > 0, tan grande como yo quiera, podemos encontrar un N ∈ N tal que apartir de aN , todos los términos an de la sucesión quedan por encima de L.

2. limn→∞ an = −∞: Este caso es análogo al anterior. Tiene la siguiente definición:

∀S < 0, ∃N ∈M / an < S ∀n ≥M.

3. limn→∞ an no existe. Esto sucede por ejemplo con la sucesión alternante.

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Ejemplo 2.2.2. Hagamos algunos ejemplos de convergencia y divergencia para algunas de lassucesiones estudiadas antes:

1. La sucesión constantemente igual a 1, an = 1, converge a 1.

Para probar la convergencia o divergencia de una sucesión usando únicamente la defini-ción, siempre conviene escribir lo que se quiere probar. En este caso, queremos probar quelimn→∞ an = 1, es decir:

∀ε > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ |an − 1| < ε.

Supongamos entonces que se nos da ε > 0, arbitrario, para el cual queremos hallar unN ∈ N que cumpla con la implicación n ≥ N =⇒ |an − 1| < ε. En este caso, como|an − 1| = |1 − 1| = 0 < ε siempre es cierto, podemos escoger cualquier N ∈ N. Digamosentonces que N = 0, y supongamos que n ≥ N = 0. Entonces, claramente se tiene que|an − 1| = 0 < ε.

2. Elevemos un poco la dificultad. Probemos ahora que la sucesión armónica an = 1/n convergea 0. Queremos probar que:

∀ε > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ |an − 0| < ε,

es decir,∀ε > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ 1

n< ε.

En este caso no es tan obvio el N que cumple con lo anterior. La idea para estos casos máscomplicados es trabajar con la expresión que queremos probar, |an− 0| < ε, para poder “ras-trear” el N . Teniendo esto en cuenta, notamos lo siguiente:

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1

n< ε⇐⇒ n >

1

ε.

Entonces, |an − 0| < ε se cumple para todo n mayor que 1/ε. Ahora, no podemos escogerN = 1/ε porque 1/ε no siempre es un número natural. Por lo tanto, elegimos N como elmenor número natural que sea mayor que 1/ε.

Ahora toca hacer la prueba de que tal N funciona, es decir, demostrar la implicación n ≥N =⇒ |an − 0| < ε. Supongamos que n ≥ N . Luego, n > 1/ε. Tomando los inversosmultiplicativos, se invierte la desigualdad y queda 1/n < ε, lo que se quería demostrar.

3. Probemos ahora que la sucesión identidad an = n diverge (a +∞). Queremos probar:

∀L > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ an > L.

Como se trata de la sucesión identidad, note que basta tomar N como el menor númeronatural que sea mayor que L. Compruebe usted que tal N funciona.

2.3 Propiedades de la convergencia de sucesiones

En esta sección vamos a ver algunas propiedades algebraicas del concepto de conver-gencia. Antes de esto, lo primero es verificar que para una sucesión, en caso de tenerconvergencia, su límite es único.

Proposición 2.3.1 (unicidad). Si {an} es una sucesión que converge a A ∈ R, entonces A esúnico.

Demostración: Para demostrar esto, supongamos que {an} converge tanto a A como a A′,y probemos que A = A′. Tenemos entonces que limn→∞ an = A y que limn→∞ an = A′:

∀ε > 0,∃N1 ∈ N / n ≥ N1 =⇒ |an − A| < ε,

∀ε > 0,∃N2 ∈ N / n ≥ N2 =⇒ |an − A′| < ε.

Tomamos ε > 0 arbitrario y N = max{N1, N2}, donde N1 y N2 están dados por los límitesanteriores. Supongamos que n ≥ N . Luego, n ≥ N1 y n ≥ N2, por lo que se cumplen|an − A| < ε y |an − A′| < ε. Usando la desigualdad triangular, obtenemos lo siguiente:

2ε > |an − A|+ |an − A′| = |A− an|+ |an − A′|≥ |(A− an) + (an − A′)| = |A− A′|.

Es decir, tenemos que |A− A′| < 2ε. Como ε es arbitrario, tiene que ocurrir forzosamenteque |A− A′| = 0. Por lo tanto, A = A′.

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La siguiente proposición se deja, en su mayoría, como ejercicio. Su prueba es totalmenteanáloga a las propiedades de los límites del curso anterior de CDI1V. Pensando en laredacción del lector para este tipo de ejercicios, probaremos solo una de las propiedades.

Proposición 2.3.2 (álgebra de convergencias). Sean {an} y {bn} dos sucesiones convergentesa A ∈ R y a B ∈ R, respectivamente, y sea λ ∈ R. Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Criterio de linealidad: {an + bn} converge a A+B.

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn = A+B.

2. Criterio de homogeneidad: {λan} converge a λA.

limn→∞

(λan) = λ limn→∞

an = λA.

3. Criterio del producto: {anbn} converge a AB.

limn→∞

(anbn) =(limn→∞

an

)(limn→∞

bn

)= AB.

4. Criterio del cociente: {an/bn} converge a A/B, si bn 6= 0 para todo n ∈ N, y B 6= 0.

limn→∞

anbn

=limn→∞ anlimn→∞ bn

=A

B.

Demostración: Probemos únicamente la propiedad de homogeneidad. Supongamos queλ 6= 0, ya que el caso λ = 0 es trivial (la sucesión constantemente igual a 0 converge a 0).Queremos probar que:

∀ε > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ |λan − λA| < ε.

Notamos que:

|λan − λA| < ε⇐⇒ |λ||an − A| < ε

⇐⇒ |an − A| <ε

|λ|.

Por otro lado, como limn→∞ an = A, tenemos que:

∀ε′ > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ |an − A| < ε′.

Para ε > 0, tomamos ε′ = ε/|λ| en la expresión anterior. Tenemos que existe N ∈ N tal que:

n ≥ N =⇒ |an − A| <ε

|λ|.

9

Por otro lado,|an − A| <

ε

|λ|⇐⇒ |λan − λA| < ε.

Por lo tanto,n ≥ N =⇒ |λan − λA| < ε,

como queríamos probar.

Ejemplo 2.3.3. Estudiemos la convergencia del siguiente par de sucesiones.

1. an = nn+1− n+1

n.

Las sucesiones n/(n + 1) y n+1n

son ambas convergentes a 1. Entonces, por el criterio delinealidad, se tiene que:

limn→∞

an = limn→∞

n

n+ 1− lim

n→∞

n+ 1

n= 1− 1 = 0,

es decir, {an} converge a 0.

2. an = n2

n+1− n2+1

n.

En este caso, los términos n2/(n+ 1) y (n2 + 1)/n divergen (a +∞), por lo que no podemosaplicar el criterio de linealidad. El hacerlo generaría una indeterminación del tipo∞−∞.

Para levantar la indeterminación en este caso, hacemos la correspondiente resta de fracciones.

an =n2

n+ 1− n2 + 1

n=n2n− (n2 + 1)(n+ 1)

n(n+ 1)=n3 − n3 − n2 − n− 1

n2 + n

=−n2 − n− 1

n2 + n=n2(−1− 1

n− 1

n2

)n2(1 + 1

n

) =−1− 1

n− 1

n2

1 + 1n

.

Ahora bien, los términos −1− 1/n− 1/n2 y 1 + 1/n convergen a −1 y 1, respectivamente.Usando el criterio del cociente, tenemos que {an} converge a −1.

limn→∞

an = limn→∞

−1− 1n− 1

n2

1 + 1n

=limn→∞−1− 1

n− 1

n2

limn→∞ 1 + 1n

= −1.

Terminamos esta sección con un par de criterios más, que involucran desigualdades.

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Proposición 2.3.4. Sean {an}, {bn} y {cn} tres sucesiones.

1. Criterio de comparación: Si an ≥ bn para todo n ∈ N, y {an} y {bn} convergen a A y B,respectivamente, entonces A ≤ B.

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.

2. Criterio del sandwich: Si an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N, y {an} y {bn} convergen ambasa L, entonces {cn} converge a L.

Demostración: Sólo probaremos el criterio del sandwich. El criterio de comparación sepuede probar usando argumentos parecidos a los siguientes, y lo dejamos como ejercicio.

Queremos probar que:

∀ε > 0, ∃N ∈ N, / n ≥ N =⇒ |cn − L| < ε.

Supongamos entonces que se nos da ε > 0. Como {an} y {bn} convergen a L, entoncesexisten N1, N2 ∈ N tales que:

n ≥ N1 =⇒ L− ε < an < L+ ε y n ≥ N2 =⇒ L− ε < bn < L+ ε.

Sea N = max{N1, N2}. Supongamos que n ≥ N . Luego, como n ≥ N1, se tiene que

L− ε < an. (i)

Por otro lado, como n ≥ N2, tenemos además

bn < L+ ε. (ii)

Combinando la desigualdad an ≤ cn ≤ bn con (i) y (ii), obtenemos:

L− ε < an ≤ cn ≤ bn < L+ ε

−ε < cn − L < ε,

es decir, n ≥ N =⇒ |cn − L| < ε.

Observación 2.3.5. En el criterio de comparación, ambas sucesiones deben ser convergentes paraque la desigualdad limn→∞ an ≤ limn→∞ bn tenga sentido. Por ejemplo, si an = (−1)n es lasucesión alternante, y bn = 2 es la sucesión constantemente igual a 2, tenemos que an ≤ bnse cumple para todo n ∈ N. Por otro lado, {an} diverge mientras que {bn} converge a 2. Sinembargo, limn→∞ an ≤ limn→∞ bn no significa nada en este caso, ya que limn→∞ an ni siquieraexiste.

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Ejemplo 2.3.6. Estudie la convergencia de la sucesión

an =n

2n.

Como 1 ≤ n ≤ (√2)n, tenemos

1

2n≤ n

2n≤ (√2)n

2n=

1

2n/2.

Por otro lado, 1/2n y 1/2n/2 convergen a 0. Por el criterio del sandwich, tenemos que n/2n con-verge a 0.

El siguiente criterio es bastante útil para una gama considerable de ejercicios. Su de-mostración se la dejamos al lector.

Proposición 2.3.7. Si {an} es una sucesión acotada y {bn} es una sucesión que converge a cero,entonces {anbn} converge a cero.

Ejemplo 2.3.8. Estudie la convergencia de la sucesión

an =n2/3sen(n!)

n+ 1.

La sucesión {sen(n!)} es acotada. Por otro lado, n2/3/(n+ 1) converge a cero, ya que:

n2/3

n+ 1=

n2/3n1/3

n1/3(n+ 1)=

n

n1/3(n+ 1)=

13√n(1 + 1/n)

.

Por la proposición anterior, tenemos que {an} converge a cero.

2.4 Sucesiones acotadas, monótonas, y convergencia

Además de los resultados anteriores, obtendremos más criterios de convergencia parasucesiones a partir de los conceptos de acotación y monotonía. Por criterio de convergencianos referimos a cualquier resultado que dé unas condiciones suficientes para asegurar laconvergencia o divergencia de una sucesión.

Definición 2.4.1. Una sucesión {an} es:

1. acotada superiormente si existe K ∈ R tal que an ≤ K, para todo n ∈ N;

2. acotada inferiormente si existe K ∈ R tal que an ≥ K, para todo n ∈ N;

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3. acotada si es acotada superiormente e inferiormente, es decir, si existe K ∈ R tal que|an| ≤ K, para todo n ∈ N.

Proposición 2.4.2. Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración: Supongamos que {an} es una sucesión que converge a A ∈ R. Queremoshallar un K ∈ R tal que |an| ≤ K para todo n ∈ N.

Como limn→∞ an = A, para ε = 1 existe N ∈ N tal que:

n ≥ N =⇒ |an − A| < 1.

Por otro lado, |an| − |A| ≤ |an − A|. Entonces, tenemos que:

n ≥ N =⇒ |an| < 1 + |A|.

En otras palabras, 1 + |A| es una cota para los términos an de la sucesión a partir de N .Pero debemos acotar también los términos anteriores. Debido a esto último, tomamos

K = max{|a1|, |a2|, . . . , |aN−1|, 1 + |A|}.

Verifique que tal K satisface |an| ≤ K para todo n ∈ N.

Observación 2.4.3.1. El recíproco del teorema anterior no es cierto en general. Por ejemplo, la sucesión alternantean = (−1)n es acotada pero no converge.

2. También hay sucesiónes alternantes no acotadas que tampoco convergen. Tal es el caso dean = (−1)nn.

Veamos ahora qué papel juega la monotonía dentro de la convergencia de sucesiones.

Definición 2.4.4. Una sucesión {an} es:

1. (estrictamente) monótona creciente si an ≤ an+1 (resp., an < an+1) para todo n ∈ N;

2. (estrictamente) monótona decreciente si an ≥ an+1 (resp., an > an+1) para todo n ∈ N.

Ya sabemos que no toda sucesión acotada converge. Pero si agregamos una condiciónadicional, podemos garantizar convergencia.

Teorema 2.4.5. Sea {an} una sucesión.

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1. Si {an} es monótona creciente y acotada superiormente, entonces converge.

2. Si {an} es monótona decreciente y acotada inferiormente, entonces converge.

Demostración: Solo probaremos el caso en donde tenemos monotonía creciente y cotasuperior. El otro caso es análogo.

Supongamos entonces que {an} es una sucesión acotada superiormente y monótona cre-ciente. Veamos a {an} como una función a : N→ R. Como {an} es acotada superiormente,tenemos que la imagen de a, denotada por Im(a), es un subconjunto de R acotado superi-ormente, y por lo tanto posee supremo, por el Axioma de Completitud. Sea entonces

A = sup(Im(a)).

Veamos que {an} converge a A. Queremos probar que:

∀ε > 0, ∃N ∈ N / n ≥ N =⇒ A− ε < an < A+ ε.

Consideremos A − ε. Como A = sup(Im(a)) es la menor cota superior de Im(a), tenemosque A − ε no puede ser cota superior de Im(a). Luego, existe N ∈ N tal que A − ε < aN .Ahora, como {an} es monótona creciente, tenemos que A− ε < aN ≤ an para todo n ≥ N .Entonces, para todo n ≥ N , nos queda:

A− ε < an ⇐⇒ A− an < ε⇐⇒ |an − A| < ε.

En el último paso, tengamos en cuenta que |an − A| = A − an. Queda así demostrado elteorema.

Corolario 2.4.6. Una sucesión monótona converge si, y solo si, es acotada.

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El siguiente es un criterio de convergencia bastante útil, que se prueba a partir del Teo-rema 2.4.5. Su demostración se deja como ejercicio.

Proposición 2.4.7 (Criterio de la razón). Sea {an} una sucesión de términos positivos tal que

limn→∞

an+1

an= L ∈ R o L =∞.

Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Si L < 1, entonces {an} converge a 0.

2. Si L > 1, entonces {an} diverge (a +∞).

Observación 2.4.8. Si L = 1 en la proposición anterior, no se puede concluir nada sobre la con-vergencia o divergencia de {an}. Como ejercicio, halle ejemplos de sucesiones {an} y {bn} tales quelimn→∞

an+1

an= 1 y limn→∞

bn+1

bn= 1, pero con {an} convergente y {bn} divergente.

Ejemplo 2.4.9. Estudie la convergencia o divergencia de la sucesión

an =5n

n!.

Como 5n “tiene menor orden” que n!, o 5n “crece más lento” que n!, podemos esperar que esta suce-sión converja a 0. Esta apreciación podemos demostrarla usando el criterio de la razón. Notamosprimero que:

an+1

an=

5n+1/(n+ 1)!

5n/n!=

5n5n!

5n(n+ 1)n!=

5

n+ 1.

Luego,

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

5

n+ 1= 0 < 1.

Tenemos entonces que {5n/n!} converge a 0.

2.5 Subsucesiones

En la mayoría de los resultados que vimos en secciones anteriores, se daban condicionessuficientes para garantizar la convergencia de una sucesión. En esta sección le daremosun poco más de importancia a la divergencia.

En algunas ocasiones, para estudiar la convergencia o divergencia de una sucesión o lista{an}, conviene estudiar el comportamiento de sublistas (infinitas) de {an}. Tales sublistasse conocen como subsucesiones, y tiene una serie de propiedades útiles que veremos acontinuación.

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Definición 2.5.1. Sea {an} una sucesión de números reales, y {nk} una sucesión estrictamentecreciente de números naturales. A la sucesión {ank

} se le conoce como subsucesión de {an}.

Observación 2.5.2.

1. La idea de formar una subsucesión de {an} es escoger una lista infinita, más pequeña, con-tenida en {an}. Nótese que escoger dicha lista es equivalente a escoger subíndices de an, y talelección da lugar a una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Por ejemplo,si de {an} escogemos a1, a2, a4, a6, a7, y así sucesivamente, tenemos la sucesión crecientede números naturales, 1, 2, 4, 6, 7, . . . formada por los subíndices. Recíprocamente, escogeresta sucesión creciente en N determina la subsucesión {a1, a2, a4, a6, a7, . . . }. En este caso,tenemos n0 = 1, n1 = 2, n2 = 4, n3 = 6, n4 = 7 y así sucesivamente.

2. La monotonía de {an} no tiene nada que ver en la definición de subsucesión. Solo se pide que{nk} sea creciente.

3. En la definición anterior, se dice que {ank} es también una sucesión. Debido a que esto no

corresponde con la notación usual de sucesiones, lo que hacemos es considerar a la subsuce-sión {ank

} como la sucesión {bk} dada por bk = ank, para todo k ∈ N.

Ejemplo 2.5.3. Estudiemos un par de ejemplos.

1. Consideremos la sucesión alternante an = (−1)n. Sabemos que an = 1 si n es par, y quean = −1 si n es impar. Supongamos que queremos escoger la subsucesión de {an} dadapor la lista infinita {1, 1, 1, . . . }, o lo que es lo mismo, escoger índices pares. En este caso,tenemos la subsucesión ank

= 1 para nk = 2k, con k ∈ N.

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De manera similar, amk= −1 para mk = 2k + 1, con k ∈ N, es la subsucesión formada por

números impares.

2. Sea an = cos(nπ/2). Estudiemos el comportamiento de la sucesión en sus primeros términos:

a0 = 1, a1 = 0, a2 = −1, a3 = 0,

a4 = 1, a5 = 0, a6 = −1, a7 = 0, . . .

En este caso, hay tres subsucesiones bastante obvias que podemos formar: {1, 1, 1, . . . },{0, 0, 0, . . . } y {−1,−1,−1, . . . }.

• Notamos que an = 1 si n es múltiplo de 4. Entonces, ank= 1 para nk = 4k, con k ∈ N.

• Por otro lado, an = 0 para índices impares. Así, amk= 0 paramk = 2k+1, con k ∈ N.

• Finalmente, an = −1 para n = 2, 6, 10, 14, . . . . Notamos que los números anterioresse pueden escribir como 4k + 2. Entonces, alk = −1 para lk = 4k + 2, con k ∈ N.

Observación 2.5.4. Las sucesiones de los ejemplos anteriores son ambas divergentes, pero hemoshallado en cada caso subsucesiones que convergen a puntos diferentes. Esto representa un criteriopara saber si una sucesión diverge: Si {ank

} y {amk} son subsucesiones de {an} tales que {amk

} y{amk

} convergen a valores diferentes, entonces {an} diverge. Esto lo probaremos a continuación.

Proposición 2.5.5. Si {an} es una sucesión que converge a A ∈ R, entonces toda subsucesión de{an} converge a A.

Demostración: Sea {ank} una subsucesión de {an}. Queremos probar:

∀ε > 0, ∃K ∈ N / k ≥ K =⇒ |ank− A| < ε.

Supongamos que se nos da un ε > 0. Como limn→∞ an = A, sabemos que existe N ∈ N talque:

n ≥ N =⇒ |an − A| < ε. (iii)

Lo anterior sugiere tomar K = min{k ∈ N / nk ≥ N}. Supongamos entonces que k ≥ K.Como {nk} es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, tenemos quenk ≥ nK ≥ N para k ≥ K. Luego, por (iii), tenemos que

k ≥ K =⇒ nk ≥ N =⇒ |ank− A| < ε,

como queríamos probar.

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2.6 Teorema de Bolzano-Weierstrass

A estas alturas sabemos que una sucesión acotada {an} puede ser convergente o diver-gente. De ser convergente, tenemos que toda subsucesión de {an} converge (al mismovalor que {an}). Ahora, si {an} es acotada y divergente, se puede garantizar al menos queexista una subsucesión de {an} que sea convergente. Este resultado se conoce como elTeorema de Bolzano-Weierstrass, que demostraremos en esta sección. Para hacer la prueba,necesitamos algunos preliminares básicos sobre topología en R.

Definición 2.6.1. Sea x0 ∈ R un punto y S ⊆ R un subconjunto de números reales. Diremos quex0 es un punto de acumulación de S si para todo ε > 0se cumple que

E∗(x0, ε) ∩ S 6= ∅,

donde E∗(x0, ε) es el entorno reducido o perforado de centro x0 y radio ε > 0.

E∗(x0, ε) = E(x0, ε)\{x0} = (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε).

En otras palabras, x0 es un punto de acumulación de S si todo entorno de x0 contiene al menos unpunto de S diferente de x0.

Ejemplo 2.6.2. Analicemos algunos ejemplos de puntos de acumulación para ciertos conjuntos.

1. Sea S el conjunto finito {1, 2}. Para cualquier x0 ∈ R, con x0 6= 1, 2, sea

ε =min{|x0 − 1|, |x0 − 2|}

2.

Tomando ε como el mínimo de las distancias de x0 a 1 y a 2, y dividiendo por 2, podemosaislar a x0 del conjunto S. Notamos que para tal ε > 0, se tiene

E∗(x0, ε) ∩ {1, 2} = ∅.

Es decir, encontramos un ε para el cual la intersección E∗(x0, ε) ∩ {1, 2} es vacía. Por lotanto, x0 no es punto de acumulación de {1, 2}.

Para el caso x0 = 1 (el caso x0 = 2 es análogo), podemos tomar ε = |x0 − 2|/2 (la mitad dela distancia de x0 a 2) y notar que E∗(1, ε) ∩ {1, 2} = ∅.

Vemos que {1, 2} no posee puntos de acumulación. En general, podemos notar que cualquierconjunto finito no tiene puntos de acumulación. Dejamos la demostración del caso másgeneral como ejercicio.

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2. Por un argumento parecido al anterior, podemos ver tambiín que N no posee puntos de acu-mulación. En este caso, tenemos un conjunto infinito sin puntos de acumulación.

Sin embargo, pueden haber también conjuntos infinitos con puntos de acumulación. Tal esel caso del conjunto Q de los números racionales. Note que todo punto en R es un punto deacumulación de Q.

3. Para S = [0, 1), todo punto de S es punto de acumulación de S. Por otro lado, 1 es un puntode acumulación de S que no pertenece a S.

4. Para el conjunto S = {1/n : n ≥ 1}, tenemos que 0 es el único punto de acumulación.

El siguiente resultado es importante para poder demostrar que toda sucesión acotadaposee una subsucesión convergente. La demostración la omitiremos.

Teorema 2.6.3 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto de R infinito y acotado tiene al menosun punto de acumulación.

Teorema 2.6.4 (Bolzano-Weierstrass para sucesiones). Toda sucesión acotada tiene una sub-sucesión convergente.

Demostración: Consideremos el conjunto I dado por la imagen de la función a : N → Rque define a la sucesión {an}. Este conjunto I puede ser finito o infinito. En base a esto,dividiremos la prueba en dos casos:

• Caso 1: I es finito.

Para este caso, notamos que debe existir al menos un elemento deA ∈ I por el cual lasucesión {an} pasa infinitas veces1. Tomamos entonces an1 como el primer elementode {an} para el cual an1 = A. Luego, tomamos an2 como el segundo elemento de lasucesión que cumple an2 = A, y así sucesivamente. De esta forma, obtenemos unasubsucesión ank

de {an} que converge a A, ya que ank= A para todo k ∈ N.

1Puede pensar en la sucesión alternante an = (−1)n, por ejemplo.

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• Caso 2: I es infinito.

Tenemos en este caso un subconjunto I ⊆ R infinito y acotado. Por el Teorema deBolzano-Weiestrass, sabemos que I tiene al menos un punto de acumulación, al cualllamaremos A.

La idea ahora es construir una subsucesión de {an} que converja a A.

Construímos an1 tomando ε1 = 1. Para tal ε1, se tiene que

E∗(A, 1) ∩ I 6= ∅.

Elegimos an1 como cualquier elemento en E∗(A, 1) ∩ I . Para acercarnos más a A,tomamos ε2 = 1/2 y

an2 ∈ E∗(A, 1/2) ∩ I 6= ∅,

y así sucesivamente:ank∈ E∗(A, 1/k) ∩ I 6= ∅.

Como ejercicio, demuestre que la subsucesión {ank} construida de esta manera con-

verge a A.

Ejemplo 2.6.5. Agregamos algunos ejemplos más de subsucesiones y convergencia.

1. Estudiemos la sucesiónan = (−1)n2n− 1

n2 + 3.

Como |an| = |2n−1||n2+3| < 1, tenemos que {an} es una sucesión acotada. Veamos cómo se com-

portan las siguientes subsucesiones:

• xk = a2k: Tenemos que xk = (−1)2k 2(2k)−1(2k)2+3

= 4k−14k2+3

, y notamos que {xk} converge a 0.

• yk = a2k+1: En este caso, yk = (−1)2k+1 2(2k+1)−1(2k+1)2+3

= 4k+14k2+4k+4

converge a 0.

• zk = k2: Esta subsucesión nos queda zk = (−1)k2 2k2−1k4+3

. Vemos que {zk} converge a 0,porque {(2k2 − 1)/(k4 + 3)} converge a 0 y {(−1)k2} es acotada.

De hecho, la sucesión original converge a 0 por este mismo argumento, y cualquiersubsucesión va a converger a 0.

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2. Veamos la siguiente sucesión definida por partes:

an =

{1n, si n es par,

3, si n es impar.

• La subsucesión xk = a2k = 1/2k converge a 0.• La subsucesión yk = a2k+1 = 3 converge a 3.

En este punto podemos concluir que an diverge, porque tiene dos subsucesiones queconvergen a puntos diferentes.

• La subsucesiónzk = ak2 =

{1k2, si k2 es par,

3, si k2 es impar.

diverge. Acá podemos notar lo siguiente: {an} es una sucesión acotada, que contienesubsucesiones que son convergentes y otras que son divergentes. Esto puede pasarperfectamente. El Teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza la existencia de al menosuna subsucesión convergente para una sucesión acotada {an}, pero en ningún momentodice que todas las subsucesiones sean convergentes.

2.7 Aplicación: continuidad de funciones

Al principio de estas notas mencionamos que una aplicación de las sucesiones está enel estudio de continuidad de funciones. Recordemos que una función de variable realf : R→ R es continua en x0 ∈ R si limx→x0 f(x) = f(x0). Esto significa que:

∀ε > 0, ∃δ > 0 / |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε,

o equivalentemente,

∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈ E(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ E(f(x0), ε).

Es decir, si x se acerca a x0 a una distancia menor que δ, su imagen f(x) se acerca a f(x0) auna distancia menor que ε. Ahora, este acercamiento a x0 podemos hacerlo mediante unasucesión convergente a x0, sin necesidad de tomar todos los puntos del intervalo E(x0, δ).Esto lo enunciamos en el siguiente resultado, que representa una caracterización del con-cepto de continuidad mediante el uso de sucesiones.

Teorema 2.7.1. Sea f : R → R una función de variable real, y x0 ∈ R. Entonces, f es continuaen x0 si, y solo si, para toda sucesión {an} que converge a x0, se tiene que la sucesión {f(an)}converge a f(x0).

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Demostración: La implicación (=⇒) es un buen ejercicio para el lector. La implicacióninversa (⇐=), por otro lado, la omitiremos debido a su dificultad.

Una utilidad del teorema anterior tiene que ver con encontrar discontinuidades de salto.Si podemos hallar dos sucesiones {an} y {bn} convergentes a x0, tales que {f(an)} y{f(bn)} convergen a puntos diferentes, entonces f presenta una discontinuidad de saltoen x0. Piense por ejemplo en la función

f(x) =

{1, ∀x ≥ 0,−1 ∀x < 0.

Como ejercicio, encuentre un par de sucesiones {an} y {bn} convergentes a 0 tales que{f(an)} y {f(bn)} convergen a puntos diferentes.

Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.

Material consultado:• Calculus Vol. 1, de Tom Apostol.• Notas de Marcelo Fiori.

Última actualización: 18 de Marzo de 2020.

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