1

1 2 3 4 5 6 7 8

Conjunto de los Naturales ( )

A mi parecer, el ser humano a la par de comunicarse mediante el lenguaje, necesitó de las

matemáticas para una de las actividades más primitivas, que era la necesidad de contar cosas y

obviamente para ello le fue necesario un conjunto numérico. Creo este es el primer contacto del

hombre con las matemáticas, para posteriormente irse desarrollando para explicar muchas de las

cosas que el hombre fue necesitando de acuerdo al desarrollo de la humanidad.

Por tanto vamos ahora a conocer un poco más del primer conjunto que el hombre necesitó

para contar inicialmente, aunque como verás, aparecerán muchas otras ideas que te irán

ayudando a entender más este mundo.

Pinceladas históricas

Muchos matemáticos trabajaron en el mundo de los números, pero en particular en el

mundo de las naturales debemos mencionar a Giuseppe Peano (1858 – 1932), quien el año 1889

publicó en Turín el libro “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita”, en el cual aparecen los

famosos “axiomas de Peano”, que determinan de mejor forma a los números naturales.

Te cuento de dos de ellos que creo los más importantes para nuestro estudio, que te dan la

idea de cómo podríamos construir este conjunto.

i) 1 , es el primero, no hay natural anterior al uno.

ii) Si a a 1 , esto presenta el concepto de sucesor.

Presentación de los Naturales.

Como ya lo comenté, es el conjunto por excelencia que permite la actividad de contar, y si

aplicamos los dos axiomas de Peano podríamos ir creando este conjunto, a saber:

1, es el primero, el sucesor de 1 es, 1 + 1 = 2, el sucesor de 2 es 2 + 1 = 3, y así

sucesivamente, por tanto tendríamos

1,2,3,4,5,6,... , los 3 puntitos, …, significan “y así sucesivamente”.

Observación: en varios países consideran los naturales desde el 0, pero aquí en Chile se le

considera el inicio de este conjunto al número 1, aunque no te hagas problema si consideras el 0

como el primero, pues sigue siendo válido el 2º axioma, es decir el que viene es 0 + 1 = 1 y así

sucesivamente.

Ahora definiremos las operaciones en este conjunto, para después entenderlos en su

mecánica y operarlos con eficacia.

Operatoria en los naturales.

Imagino que en la prehistoria cuando el humano se comenzó a unirse en grupos, y si uno

de ellos tenía 43 animales domésticos y otro grupo tenía 38, al reunirlos debe haber sido una lata

volver a contar desde uno para saber cuántos animales tenían en total, entonces el humano se le

ocurrió contar a partir de, es decir agregar a los que hay, ahí nace la operación suma (+), que es

la primera operación a estudiar.

Suma (+): esta operación implica agregar a un número otro, por tanto a modo de ejemplo;

2 + 3, sería igual a contar desde el 2 tres unidades más, tendríamos como resultado 5.

2 + 3 = 5

Resta (-): así como el hombre necesito de agregar, la suma, también se vio en la necesidad de

quitar, que es contraria a agregar, por tanto

2

7 – 4, sería quitarle 4 al número 7, es como decir contar en sentido opuesto, para atrás,

luego

7 – 4 = 3

Si piensas un poco te darás cuenta que tendríamos problema si el primer número de la

resta (minuendo) sea más pequeño que el segundo (sustraendo), pues no tendríamos

respuesta ya que en los Naturales hay un primer elemento que es el 1. Pronto

atenderemos está situación, por el momento diremos que:

Si a < b (a – b)

Multiplicación (·): varias veces el ser humano se encontró que debería sumar varias veces el

mismo número, para hacer de esta suma sucesiva más amigable, creo la multiplicación, es

decir que:

5 + 5 + 5 = 5 · 3 = 15

División (:) también nuestra especie se topó con que debía restar el mismo número varias veces

a otro, entonces invento la operación división, que podríamos decir es el número de veces

que puedo restar el mismo número de otro, veamos;

23 : 4 =

23 – 4 = 19, 19 – 4 = 15, 15 – 4 = 11, 11 – 4= 7, 7 – 4 = 3 como ya no podemos en los

naturales seguir restando, por tanto aquí nos detenemos, y tenemos que nos fue posible

restar 5 veces el 4, y al final sobraron 3.

23 : 4 = 5

3

Te recuerdo que 23 recibe el nombre de dividendo, el 4 se llama divisor, 5 sería el

cuociente y 3 se llama resto.

El proceso inverso nos daría lo siguiente:

3 + 5 · 4 = 23

Por tanto diremos que; “el dividendo (23) es igual al divisor (4) por el cuociente (5) más el

resto (3)”, esto se llama el “algoritmo de la división”.

Potencia: Algo similar a la multiplicación, debió el ser humano enfrentar al respecto de la

multiplicación sucesiva de un número, así creo la operación potencia, que no es más que

una multiplicación sucesiva de un número por si mismo.

43 = 4 · 4 · 4 = 64

En este operación 4 es la base, lo que se multiplica y 3 se llama exponente, que es el

número de veces que se debe multiplicar la base.

Orden de precedencia de las operaciones:

Al operar varias operaciones debes tener muy en cuenta el orden en que deben realizarse,

por tanto te entrego el orden que siempre se debe respetar:

1º Paréntesis

2º Potencias

3º Multiplicación o división

4º Suma o resta

Observaciones:

- Cuando tengas varios paréntesis y uno dentro de otro debes resolver siempre desde el

interior hacia el exterior.

3

MILLONES MILLARES UNIDADES

. .

100101102103104105106107108

- En el caso que tengas dos operaciones del mismo nivel de precedencia, debes operar

de izquierda a derecha según aparezcan.

Veamos un ejemplo;

25 – [3 + {2 – (100 – 99)}] =

25 – [3 + {2 – 1}] =

25 – [3 + 1] =

25 – 4 =

21, es la respuesta final

Otro ejemplo;

36 : 4 · 9 =

9 · 9 = 81

Notación decimal de un número natural.

Tomemos de ejemplo un número relativamente grande:

29.743, este número lo podemos escribir como.

20.000 + 9.000 + 700 + 40 + 3

Si lo seguimos separando, tendríamos,

2 · 10.000 + 9 · 1.000 + 7 · 100 + 4 · 10 + 3 · 1

Pero te darás cuenta que; 10.000 = 104, 1.000 = 103, 100 = 102, 10 = 101 y 1 = 100.

Más adelante explicaré porque 100 es 1, así que te pido que me creas por el momento.

Entonces tenemos que;

29.743 = 2 · 104 + 9 · 103 + 7 · 102 + 4 · 101 + 3 · 100

Esto nos muestra porque nuestros números se llaman decimales, pues los puedes

descomponer como suma de productos de cifras o dígitos por potencias de base 10, de

aquí el nombre de notación decimal de un número. Esto también es lo que se conoce como

los números en base 10, que es la base que usamos usualmente nuestro números.

Se llaman “cifras o dígitos” a los números que multiplican a las potencia de base 10.

Cifras o dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Ahora si recuerdas lo que te enseñaron, recordarás los nombres de las cifras según su

posición, esta tabla te relaciona el nombre con la potencia de 10 correspondiente.

Lo importante es que te des cuenta que la posición que ocupa una cifra dentro del número

es la que le da el valor real de ella.

4

Veamos un ejemplo, considera el número 74.345, te darás cuenta que tiene 2 cifras 4,

pero no tienen el mismo valor ya que una corresponde a 4.000 y la otra a 40. La cifra 3 por

si sola es menor que la cifra 5, pero en este número el dígito 3, significa 300 y el dígito 5

corresponde a 5, por tanto te darás cuenta que depende de la posición que ocupa la cifra,

es el valor real que tiene.

Por esto ahora entenderás que para sumar, hacia abajo, se ordenan los números de

acuerdo al valor correspondientes, es decir quedan en la misma columna las cifras que

multiplican a las mismas potencias de 10, por ejemplo:

3.426 + 781 = , al sumar uno frecuentemente lo hace hacia abajo y quedaría como:

3 4 2 6

+ 7 8 1

Recuerda: en básica te decían unidades con unidades, decenas con decenas y así

sucesivamente.

Sucesor, antecesor, pares, impares.

En los números naturales definimos, varios términos que tienen que ver con las primeras

intenciones de orden, como el anterior y el siguiente, además de una división de los

naturales en pares e impares, vamos con eso:

Sucesor, el sucesor de un natural es aquel que está inmediatamente después.

Si n , entonces n + 1, es el sucesor de n.

Antecesor, es el natural que está inmediatamente antes.

Si n , entonces n – 1, es el sucesor de n.

Ojo, que como los naturales tienen al 1 como el inicio, este no tiene antecesor.

Par, es aquel natural que se obtiene al multiplicar por 2 cualquier natural.

Si n , entonces 2 · n, es par

Números pares = {2,4,6,8,10,…}

Si te vas multiplicando ordenadamente los naturales por 2, obtendrás el conjunto de

los números pares. Aquí en el mundo de los pares también podemos aplicar el

concepto de sucesor y antecesor ya que es un conjunto ordenado.

Par sucesor: es aquel para que esta inmediatamente después de otro par.

p pares p 2 , es par sucesor de p.

Dice “Para todo ( ) p que pertenece a los pares, entonces p + 2 es par sucesor de

p”.

Par antecesor: es aquel que esta inmediatamente antes de otro par.

p pares p 2 , es par antecesor de p.

Te darás cuenta que solo hay que sumar 2 o restar 2, para encontrar el par sucesor o par

antecesor, si debes cuidar que el 2 sea el primer par, por tanto en los naturales, el 2 no tiene par

antecesor.

Si vamos ahora a los número naturales te darás cuenta que al lado de cada par hay otro

natural que no es par.

5

Al lado de cada par hay un número natural que se llama impar, ahora si vemos que el 2 es

el primer par, y en los naturales al lado del 2 está el 1, por tanto diremos que:

Impar, es aquel natural que es antecesor de un par.

Si n , entonces 2 · n – 1, es impar.

Número impares = {1,3,5,7,9,…}

Como te darás cuenta los impares están separados dos unidades, por tanto podemos decir

que:

Impar sucesor: es aquel impar que esta inmediatamente después de un impar.

q impares q 2 , es impar sucesor de q.

Impar antecesor: es él impar que esta inmediatamente antes de otro impar.

q impares q 2 , es impar antecesor de q.

Múltiplo, divisor y números primos.

Si hacemos 5 · 3 = 15, entonces diremos que 15 es múltiplo de 5 y es múltiplo de 3,

luego podremos decir que:

a,b,c a b c “c es múltiplo de a y de b”.

Si consideramos el mismo ejemplo anterior, 5 · 3 = 15, entonces diremos que 3 y 5 son

divisores de 15.

a,b,c a b c ”a y b son divisores de c”

Ahora si divides 15 por 3 tendríamos:

15 : 3 = 5

0/

Por esto podríamos decir que si un número al dividirlo por otro el resto da cero, entonces el

otro es divisor del número. Cuando digamos que un número lo podemos dividir por otro, es

cuando el resto es cero, es decir lo divide exactamente.

Si clasificamos por cantidad de divisores a los números naturales nos encontraremos que:

1, solo lo podemos dividir exactamente por 1 solamente.

2, lo podemos dividir por 1 y por 2.

3, solo lo podemos dividir por 1 y 3.

4, lo podemos dividir por 1, 2 y 4.

5, sólo lo podemos dividir por 1 y 5.

6, lo podemos dividir por 1,2,3 y 6.

Podríamos seguir indefinidamente, pero ya podemos concluir que;

El único natural que solo se puede dividir por 1, es decir tiene un divisor, pero si te das

cuenta, el 2,3 y el 5 tienen 2 divisores, pero el 4 y el 6 tienen 3 y 4 divisores respectivamente.

Luego:

i) todo número natural es divisible por 1 y por si mismo.

ii) 1 es el único que tiene un divisor.

iii) hay naturales que tienen solo dos divisores, 1 y el mismo.

iv) hay naturales que tienen a lo menos 3 divisores.

6

60

6 10

2 3 2 5

2 · 2 · 3 · 5

Ahora a aquellos números que tienen solo dos divisores, les llamaremos números primos

y a aquellos que tienen a lo menos 3 divisores los llamaremos, números compuestos.

Números primos = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…}

Números compuestos = {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…}

Los números primos solo tienen dos divisores, como lo habíamos dicho, que es lo mismo

que decir que se pueden expresar de manera única como un único producto, por ejemplo;

7 = 1 · 7, y no hay otra forma de expresar el primo 7 como un producto.

Ahora los números compuestos se pueden expresar no como un único producto, a saber;

12 = 1 · 12, o 12 = 2 · 6, o 12 = 4 · 3

Es más, un número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de

números primos. Esto recibe varios nombres; “factorización de un número”, “teorema

fundamental de la aritmética” o “descomposición prima”, en particular me gusta la última.

Veamos ahora como obtenerla;

Haremos una tabla donde iremos dividiendo sucesivamente el número, por distintos primos

en la medida que se pueda, veámoslo:

24 : 2

12 : 2 Como verás, 24 = 2 · 2 · 2 · 3

6 : 2 24 = 23 · 3

3 : 3

1

Otra forma de obtener la factorización de un número es haciendo un diagrama de árbol.

Diagrama de árbol

Luego: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5

Este consiste en ir buscando los divisores más inmediatos y se van poniendo en las ramas

del árbol como lo muestra la figura anterior y así hasta que aparece un número primo, ahí la rama

se detiene. Una vez que sólo hay números primos al final dice cada rama, entonces se concluye

que el producto de todos ellos es la factorización del número.

Entonces decimos que la descomposición prima de 24 es 23 · 3, y es única para el 24.

Si te preguntara ¿cuántos divisores tiene el número 24? Es muy probable que tú los

comiences a buscar para después contarlos.

Pero como 24 = 23 · 3 = 23 · 31, si tomamos los exponentes y cada uno le sumamos 1 y

luego multiplicamos los resultados, tendremos el número de divisores.

3 + 1 = 4, y 1 + 1 = 2, por tanto 4 · 2 = 8, entonces el 24 tiene 8 divisores.

Vamos con la idea de “conjunto de múltiplos de un número”, a saber

7M x / x 7 k,k

”el conjunto de los múltiplos de 7 es igual a todos los x naturales, talque x es igual a 7 por

k, y k pertenece a los naturales”.

7 · 1 = 7, 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28, y así sucesivamente, luego:

7

M7 = {7,14,21,28,…}

Observa lo siguiente, a ver si puedes deducir lo siguiente:

M4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,…}

M6 = {6,12,18,24,30,36,42,48,…}

Entonces podemos decir que hay múltiplos comunes. Pero intuirás que como son infinitos

estos conjuntos, jamás podremos encontrar el múltiplo común mayor, pero sí está claro el menor,

12 en este caso.

Mínimo común múltiplo (m.c.m) que no es más que el menor de los múltiplos comunes

o iguales.

Si tomamos los conjuntos de múltiplos anteriores, te darás cuenta que el menor múltiplo

común es 12, por tanto podemos decir que:

m.c.m.(4,6) = 12, pero sería una lata estar construyendo, los conjuntos de múltiplos para

luego determinar el menor.

Si las hay, veámoslas;

La primera es hacer una tabla similar a la anterior pero ahora la haremos a todos los

números involucrados en obtener el mínimo común múltiplo, consideremos el ejemplo anterior:

Buscamos siempre primero un divisor primo común, en este caso 2, luego si

no hay divisor primo común dividimos de manera tal de dejar en cada

columna un 1 al final.

Finalmente multiplicamos todos los divisores, por tanto;

m.c.m(4,6) = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 = 12

La otra forma es cuando conoces la descomposición prima de los

números, fijémonos en el ejemplo:

4 = 2 · 2 = 22

6 = 2 · 3

Y el m.c.m(4,6) = 12 = 22 · 3

Notarás que aparece 22, que está en la factorización del número 4, y aparece también el 3,

que está en la factorización del 6.

Bueno, podemos decir entonces que para obtener el mínimo común múltiplo teniendo la

descomposición prima de los números, debemos multiplicar todas las potencias con su mayor

exponente.

Consideremos los números M = 23 · 32 · 5 y N = 22 · 34 · 52 · 7, luego el mínimo común

múltiplo será:

m.c.m.(M,N) = 23 · 34 · 52 · 7

Como ves, en ambos hay potencias de 2, se considera la de mayor exponente, lo mismo

ocurre con las potencias de base 3 y 5. En el número M no aparece potencia de base 7, lo que

indica que no es múltiplo de 7, pero si aparece en N, por tanto N es múltiplo de 7 y como

debemos obtener el m.c.m de ambos, debe ser múltiplo de 7, por tanto debe aparecer.

Así como se define el conjunto de múltiplos de un número, también se define el conjunto

de divisores de un número, a saber:

nD x / x es divisor de n

Por ejemplo, D6 = {1,2,3,6}

Ahora si vemos los divisores de 4, tenemos que D4 = {1,2,4}

4 6 : 2

2 3 : 2

1 3 : 3

1 1

8

Máximo común divisor (M.C.D.) es el mayor divisor común de dos o más números.

Si consideramos los números 4 y 6, verás que el M.C.D. es 2.

Igual que en el caso del m.c.m. existen las mismas dos formas pero obviamente tienen

diferencias, la tabla es muy parecida pero debes tener en cuenta que ahora buscamos el mayor

divisor común, por tanto debes detenerte cuando no encuentres más divisores comunes.

Buscamos siempre primero un divisor primo común, el 2, pero como ahora

me queda el 2 y el 3 y no tienen divisor común entonces aquí se termina la

tabla.

Luego el M.C.D.(4,6) = 2

Ahora si tenemos la descomposición prima de los números, tendríamos que:

4 = 2 · 2 = 22

6 = 2 · 3 = 21 · 31

Como verás en ambos está la potencia de base 2, pero aparece en el M.C.D. solo 21, es

decir la de menor exponente, y no aparece en el M.C.D. ninguna potencia de base 3 que aparece

en la factorización del 6. Eso es así porque 3 es divisor de 6 pero no de 4 por tanto no aparece.

“Teniendo la descomposición prima de los números debemos multiplicar las potencias de base

que se repiten en los números con su menor exponente”

Reglas de divisibilidad.

Como muchas veces necesitarás saber rápidamente cuando un número es divisible por otro

te contaré de las reglas de de divisibilidad, apréndetelas, te aseguro que las usarás.

i) Todo número es divisible por 2, si su última cifra es par.

ii) Todo número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

iii) Todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

iv) Todo número es divisible por 5, si su última cifra es 0 o 5.

v) Todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3, es decir si su última cifra es par y

la suma de las cifras es múltiplo de 3.

vi) Todo número es divisible por 8, si su 3 últimas cifras son ceros u múltiplo de 8.

vii) Todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Explicación de la regla de divisibilidad por 3.

Consideremos de ejemplo un número cualquiera de 4 cifras, pero pueden ser cualquiera,

entonces consideremos A.BCD, donde A, B, C y D son cifras, entonces si tomamos la notación

decimal de este número, nos queda;

A.BCD = A · 1.000 + B · 100 + C · 10 + D

Como A, B, C y D no los conocemos, y como si ubicamos a 1.000, 100, 10, estos lo

expresaremos de otra manera, pero pensando en número múltiplo de 3, ya que queremos sea

divisible por 3.

= A·(999 + 1) + B·(99 + 1) + C·(9 + 1) + D

999, 99 y 9 son múltiplos de 3, por eso descomponemos de esta manera. Ahora usaré un

propiedad que muy pronto conocerás, ella es la distributividad.

= A·999 + A + B·99 + B + C·9 + C + D , ordenemos ahora

= A·999 + B·99 + C·9 + A + B + C + D

No olvides que esta cosa fea es equivalente al número original, solo lo hemos escrito de

una manera que aparecieran múltiplos de 3, ahora;

4 6 : 2

2 3

9

= A·999 + B·99 + C·9 + A + B + C + D

Múltiplo de 3

Como 999 es múltiplo de 3, luego al multiplicarlo por la cifra A, obviamente A·999 deberá

ser múltiplo de 3, lo mismo ocurre con B·99 y C·9. Además debes tener presente que si sumas

dos o más múltiplos de 3, el resultado deberá ser múltiplo de 3 entonces;

A·999 + B·99 + C·9 es múltiplo de 3, pero si queremos que todo el número sea múltiplo de

3 solo falta que A + B + C + D sea múltiplo de 3, por eso:

“Todo número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3”

Algo que será de mucha utilidad para continuar se llama “Estructuras Algebraicas”, no te

asustes, lo que pasa es que los números nos acompañarán en cualquier estudio de matemáticas y

necesitamos saber hasta dónde puedo con ellos hacer cosas, y para eso hay que ver ciertas

estructuras que me permiten hacer más cosas es matemáticas. Hasta el momento los podemos

operar y aplicar a situaciones reales pero hay una actividad muy importante en matemáticas que

requiere una estructura mínima, y eso buscaremos, para tener la autorización de hacerla y no

vayamos a tener problemas.

( , ) , analizaremos los naturales con la suma.

i) La suma es cerrada, esto significa que “ a,b ,(a b) ”, cierto es que al

agregarle a un número otro el resultado será otro natural, ya que el conjunto es

infinito.

ii) La suma es asociativa, esto dice que “ a,b,c ,a (b c) (a b) c ”, esta

propiedad nos dice que no importa como agrupemos los números para sumar el

resultado siempre será el mismo.

iii) En los naturales no hay neutro para la suma, esto es “ a , e / a e a ”, no

existe para cualquier natural un número que al sumarlo de cómo resultado el

mismo.

Esto hace que este conjunto ( ) sea pobre estructuralmente, ya buscaremos un nuevo

conjunto que sea estructuralmente más poderoso. Ahora vamos a jugar (ejercitar) con todo lo que

vimos de los naturales.

Ejercicios

1. Completa los espacios ubicando en ellos el sucesor y el antecesor.

___ 82 ___ ___ 99 ___ ___ 1.000 ___

___ 55 ___ ___ 349 ___ ___9.999 ___

___ 1 ___ ___ 10 ___

2. Opera, sumas y restas.

1) 77 + 33 = 2) 1.001 – 2 =

3) 90 + 101 = 4) 789 + 324 =

5) 99 + 11 = 6) 25 + 52 =

7) 333 – 111 = 8) 789 – 324 =

9) 111 – 91 = 10) 10.999 – 1.111 = 11) 888 – 666 =

12) 10.423 – 554 = 13) 15 + 13 – 27 = 14) 56 – 46 + 10 =

15) 11 + 22 – 19 = 16) 37 – (12 + 18) = 17) (65 + 35) – 1 =

18) (23 + 42) – 35 = 19) 12 – 13 + 4 = 20) 18 + 32 – 24 =

21) 44 + 55 – 77 = 22) 56 – 34 + 90 = 23) (23 + 32) – 13 =

24) (47 – 23) + 16 = 25) (24 – 12 + 32) – 11 =

26) 101 – 99 + 2 – 1 + 345 = 27) 278 – 178 + 100 – 199 =

28) 10.900 – 900 – 1.000 – 1 = 29) 1.999.999 + 1 – 555.555 =

30) 999 + 1.000 + 10 =

10

3. Aplicando la suma y resta responde a estas situaciones reales.

1) La mamá de Antonio fue al negocio de la esquina y compró un paquete de mantequilla y un

kilo de pan, si el paquete de mantequilla le costo $ 550 y por el kilo de pan pagó $ 800,

entonces ¿cuánto gastó en total?

2) Pedro al iniciar el año tenía 42 lápices y durante el año perdió 17, ¿con cuántos lápices

terminó el año Pedro?

3) Vanessa el año 2.020 tendrá 31 años, ¿cuál es la edad de Vanessa este año?

4) Un agricultor vende su cosecha de maíz en $ 5.378.000. Si tuvo una pérdida de $ 285.000,

entonces ¿cuánto le quedó al agricultor?

5) Si del sueldo de una trabajador es $ 650.000, paga el dividendo de la casa que es $

150.000, paga el colegio de sus dos hijos, que es $ 70.000, el resto lo deja para los otros

gastos. ¿Cuánto le queda para los otros gastos?

6) Un automóvil recorre 90 kilómetros en una hora, otro recorre 100 kilómetros en una hora,

si ambos parten juntos hacia el mismo lugar y el viaje demora 2 horas para el segundo

auto, entonces si el segundo ya llegó ¿Cuántos kilómetros le faltan al primer vehículo para

llegar?

7) Un Ipad cuesta $ 350.000, si Elisa dio un pie de $ 175.000, entonces ¿cuánto le resta por

pagar?

8) A Julio lo mandaron a comprar con $ 500, si le dieron de vuelto $ 270, entonces ¿cuánto

gastó Julio?

9) Eremita nació en 1993, ¿cuál es su edad actual?

10) Antes de empezar los próximos ejercicios de multiplicación y potencias te daré dos tablas

para que no recurras a la calculadora, jajaja…

Tablas de multiplicación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

11

Cuadrados y cubos

4. Opera, multiplicaciones, divisiones y potencias.

1) 11 · 23 = 2) 32 · 7 = 3) 18 · 19 =

4) 27 · 12 = 5) 101 · 44 = 6) 54 · 8 =

7) 110 · 13 = 8) 700 · 800 = 9) 8 · 88 =

10) 66 · 78 = 11) 1.001 · 24 = 12) 790 · 11 =

13) 126 : 6 14) 88 : 22 = 15) 54 : 8 =

16) 27 : 8 = 17) 46 : 13 = 18) 1.000 : 333 =

19) 500 : 25 = 20) 78 : 7 = 21) 59 : 5 =

22) 1.001 : 31 = 23) 10.000 : 225 =

24) 68 : 9 = 25) 25 = 26) 34 = 27) 132 =

28) 203 = 29) 35 = 30) 26 = 31) 1002 =

32) 54 = 33) 1.0002 = 34) 74 = 35) 64 =

36) 84 = 37) 2 · 42 = 38) 33 · 9 =

39) 83 : 16 = 40) 73 : 7 = 41) 4 · 9 : 12 =

42) 24 : 42 = 43) 23 · 33 = 44) 24 – 4 · 3 =

45) 13 + 5 · 2 = 46) 3 · 15 : 9 = 47) 13 + 23 – 12 = 48) 23 + 33 =

49) 52 – 32 = 50) 132 – 3 · 20 = 51) 175 : 5 : 5 = 52) 5 · 4 · 4 =

53) 64 : 4 : 4 : 4 = 54) 2 · 4 · 8 = 55) 16 + 16 + 16 =

56) 1.011 : 3 · 2 = 57) 2 + {2 + [2 + (2 + 2)]} =

58) 3 · {3 + [32 – (6 – 3)] – 1} -1 =

59) {2 · [24 – 8] – 4 · 12} : 7 =

60) [3 · 42 : 8 -4] – {1000 : 4 · 5} =

61) 100 – {33 – 2.000 : 1.000} =

62) (128 : 4) – (32 : 4) + (63 : 23) =

5. Aplicar estas operaciones a situaciones reales.

1) Esteban tiene 3 cajas y en cada una de ellas hay 32 fotos, ¿cuántas fotos hay en total en

esas 3 cajas?

2) Aníbal da 314 pasos para llegar a si escuela, si tiene clases de lunes a viernes, ¿Cuántos

pasos deberá dar en una semana de clases?

3) A la señorita Pía le llegan 300 lápices para repartir en su curso de 45 alumnos, si los debe

repartir de manera que a cada alumno le corresponda la misma cantidad, ¿cuántos lápices

le sobraran?, ¿cuántos le corresponden a cada alumno?

4) Un automóvil viaja a una rapidez de 90 kilómetros por hora, ¿cuántos kilómetros recorrerá

en 8 horas?

5) La distancia entre Santiago y La Serena es 420 km., si la familia de Pepe viaja desde

Santiago a La Serena en su auto a una rapidez de 70 km/h, luego ¿cuántas horas

demorarán en llegar?

Cuadrado Cubo

1 1 1

2 4 8

3 9 27

4 16 64

5 25 125

6 36 216

7 49 343

8 64 512

9 81 729

10 100 1000

11 121 1331

12 144 1728

12

6) Una bacteria duplica su cantidad en cada minuto, luego al cabo de 5 minutos ¿cuántas

habrá si al comienzo solo había una?

7) Un edificio mide 66 m. de altura. Si cada piso tiene una altura de 3 m. ¿de cuántos piso se

compone el edificio?

8) Un grupo de 6 amigos fue a ver un partido de futbol, si la entrada costaba $ 2.500,

entonces ¿cuál es el dinero total que debieron gastar por las entradas?

9) En un edificio de 5 pisos, para ir de un piso a otro hay que subir una escala de 20

escalones, entonces una persona ¿cuántos escalones deberá pisar para llegar al último

piso?

10) Ismael recibe cada semana $ 10.000, de ese dinero debe dejar $ 4.000 para locomoción y

el resto para consumir algo en el colegio, si decide gastar el mismo dinero todos los días en

el colegio, entonces ¿Cuánto gastará en el colegio Ismael el día jueves?

11) La tierra de una vuelta sobre su eje en 24 horas, si en cada giro recorre aproximadamente

40.560 km en el Ecuador, ¿qué distancia recorre la tierra en una hora?

12) En un curso se decidió hacer una función de cine, para lo cual Gloria se comprometió a

vender 50 entradas. Si todavía le quedan por vender 17 entradas y tiene reunido $ 66.000,

¿cuántas entradas ha vendido y cuál es el valor de una de ellas?

13) Raúl gana $ 224.000 al mes y sus gastos son de $ 56.000, desea comprar una batería para

formar parte de un conjunto musical. Si la batería cuesta $ 840.000, ¿en cuántos meses

reunirá el dinero necesario?

14) Los 40 alumnos del 7º año se organizan para comprar un libro de matemáticas que cuesta

$ 7.200, pero si lo compran juntos, les harán un descuento de $ 1.200. ¿Cuánto tendrá

que aportar cada alumno?

15) A los futbolistas les otorgan un premio por cada gol que anoten al equipo contrario. Emilio

fue contratado por $ 5.000.000 al mes y $ 60.000 por cada gol que anote. Si en abril anotó

16 goles, ¿cuánto ganó en ese mes?

16) Del pueblo A al pueblo B hay una distancia de 875 km. De A sale hacia B un auto a las

6:00 A.M. con una velocidad de 100 km/h. A la misma hora, de B sale un bus a 75 km/h

hacia A. ¿A qué hora se encontrarán? ¿A qué distancia de A se encontrarán?

6. Ejercicios bonitos y desafiantes.

Existe una forma agradable de descubrir números sólo analizando, esto recibe el nombre

de “operaciones cifradas” y consiste en que los dígitos o cifras de un número se

reemplazan por letras, los números satisfacen una operación y de acuerdo a ella se pueden

obtener. Las reglas dicen que; si las letras que aparecen son iguales entonces las cifras

que representan son las mismas, y si son diferentes entonces los dígitos son distintos.

Bueno te propongo estas dos operaciones cifradas.

1) esta es con la multiplicación, te recuerdo

que P, Q y R son cifras que debes encontrar.

2) Esta es con suma, en este caso se suma un número de 5 cifras con

dos números de tres cifras y el resultado tiene 5 cifras, el resultado

es SIXTY.

3) En la figura debes poner los números 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 de manera tal que, que la suma a

lo largo de cada línea sea igual a 15, no debes repetir ninguno de ellos.

P P Q · Q

R Q 5 Q

F O R T Y T E N+ T E N

S I X T Y

13

4) Si todos los dígitos en la numeración de un libro se recortan y se echan a una caja, habría

un total de 192 dígitos, ¿cuántas páginas tenía el libro?

5) En la figura debes poner los números del 1 al 8 de manera tal que, no haya dos

consecutivos en los círculos conectados por una línea.

6) Uno de los alumnos escoge un número entre 1 y 1.000. Si tú debes encontrar el número

por medio de 10 preguntas de respuestas “si o no”, por ejemplo ¿es mayor que 300”. ¿lo

podrás encontrar?, y ¿cuántas preguntas debes hacer para encontrar un número menor

que un millón?

7) En un torneo de futbol participan 623 equipos. Un equipo se elimina del torneo tan pronto

pierde un partido. ¿Cuántos partidos habrá que celebrar para determinar el equipo

campeón?

14

Autoevaluación Nº 1

Naturales

1. 6 + (10 + 2) · 5 =

A) 26 B) 66 C) 70

D) 90 E) 100

2. Al ordenar de distinta forma las cifras del número 275, la mayor diferencia entre los

números resultantes es

A) 496 B) 475 C) 477

D) 468 E) 495

3. 2 + 7 · 8 =

A) 72 B) 59 C) 58

D) 57 E) 23

4. ¿Cuál es la suma de las cifras del resultado de la multiplicación entre 12.345 y 11?

A) 15 B) 21 C) 24

D) 25 E) 30

5. Si al mayor número de 6 cifras se le resta el menor número de 3 cifras resulta

A) 999.888 B) 999.899 C) 999.900

D) 999.111 E) 999.998

6. En un número de tres cifras, la cifra de las unidades es c, la de las decenas es b y la de las

centenas es a, dichas cifras son menores que 9, si al número se le suma 111, entonces el

resultado es;

A) 101a +11b + c + 1

B) 100a+ 10b + c + 102

C) 100(a+1) + 10(b+1) + c + 1

D) a + b + c + 111

E) 100a + 10b + 111c

7. ¿Cuál es el menor número de 3 cifras que al ser dividido por 4 y 5 da resto 3?

A) 101 B) 102 C) 103

D) 115 E) 118

8. En un establo hay 36 vacas, para obtener el número de patas y cabezas, hay que hacer:

A) 36 · 4 B) 36 · 1 C) 36 · 1 + 36 · 4

D) 36 + 1 + 36 + 4 E) 36 + 36 : 4

9. El producto entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos naturales es

siempre:

I) Múltiplo del menor.

II) Múltiplo del mayor.

III) Igual al producto de ellos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

15

10. El emperador inca tenía 119 lingotes de oro y cada llama puede llevar 17 lingotes.

¿Cuántas llamas necesitará el emperador para transportar la carga?

A) 7 B) 8 C) 9

D) 17 E) 102

11. Sea i un natural impar y p es una par, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) i2 · p, es par.

II) i · p2, es impar.

III) i · p + i + p, es par.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

12. El promedio de 3 números pares consecutivos es 36, ¿cuál es el mayor de ellos?

A) 12 B) 14 C) 34

D) 36 E) 38

13. Si se suman 5 múltiplos de 4 consecutivos, entonces:

I) La última cifra del resultado es 0.

II) El resultado es múltiplo de 20.

III) Nunca el resultado es múltiplo de 16.

Es(son) falsa(s):

A) Sólo I y II B) Sólo III C) Sólo II y III

D) Sólo III E) Ninguna

14. La línea de buses “Águila” pasa cada 12 minutos por el frontis de la escuela, los buses

“Sureños” cada 15 minutos, si a las 13:00 h. ambos pasan por la escuela, entonces, ¿a

qué hora estarán ambos nuevamente en el frontis de la escuela?

A) 13:27 h. B) 13:30 h. C) 13:45 h.

D) 14:00 h. E) 14:15 h.

15. Si x es múltiplo de 3 e y es múltiplo de 5, entonces es falso

A) x · y es múltiplo de 5

B) x · y es un número terminado en cifra 0 o 5

C) 2 · x · y siempre termina en 0

D) y – x es siempre positivo

E) x · y es múltiplo de 3

16. La suma de todos los naturales entre 50 y 350 cuya última cifra es 1, es igual a:

A) 5.880 B) 5.539 C) 5.208

D) 4.887 E) 4.566

17. Si hoy es Martes, entonces en 40 días más será:

A) Viernes B) Sábado C) Domingo

D) Lunes E) Martes

16

18. ¿Cuál de las alternativas es verdadera?

A) Un número par más otro impar resulta un par.

B) El sucesor del antecesor de un número, resulta el mismo número más 2.

C) El producto de un par y un impar es impar.

D) Todo múltiplo de n es divisible por n.

E) La última cifra de un múltiplo de 5 es 0.

19. ¿Cuántos naturales de dos cifras son tales que al sumarles 9 el resultado es un número de

iguales cifras pero invertidas?

A) 0 B) 1 C) 8

D) 9 E) 10

20. Si un número se divide por 4, entonces el resto no puede ser:

A) 4 B) 3 C) 2

D) 1 E) 0

21. ¿Qué dígito falta en el numero 12.3 5, para que sea divisible por 9?

A) 9 B) 8 C) 7

D) 6 E) 1

22. El producto de dos primos distintos tiene

A) un divisor B) dos divisores

C) tres divisores D) cuatro divisores

E) más de 4 divisores

23. ¿Cuál es el número que sigue en la siguiente regularidad numérica; 1, 4, 13, 40, 121,…?

A) 136 B) 243 C) 254

D) 364 E) 850

24. Si un múltiplo de 6 es sumado con otro múltiplo de 6, entonces el resultado es siempre:

A) un múltiplo de 6 B) un múltiplo de 12

C) un múltiplo de 18 D) un múltiplo de 36

E) impar

25. ¿Un escalador subió a la cima de un cerro de 6.800 m de altura, lo hizo en tres etapas, la

primera ascendió 2.500 m, la segunda 3.200 y la tercera el resto, ¿cuál fue el ascenso de

la última etapa?

A) 900 m B) 1.100 m C) 1.300 m

D) 1.00 m E) 5.700 m

26. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 36?

A) 4 B) 5 C) 6

D) 8 E) más de 8

17

27. Si N es un número de dos cifras distintas menores que 5, P es el número formado por las

mismas cifras de N pero invertidas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) N + P es múltiplo de 11. II) N – P es múltiplo de 9.

III) La cifra de las unidades de N + P es igual a la suma de las cifras de P.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

28. Sean p y q números primos distintos, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) p·q es par II) p2·q tiene 6 divisores

III) p + q es siempre primo

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) I, II y III E) ninguna

29. 3+5(9 – 6)2 : 3 – 2 =

A) 12 B) 16 C) 17

D) 48 E) 136

30. El producto de dos impares positivos consecutivos es 255, ¿cuál es la suma de dichos

números?

A) 15 B) 32 C) 35

D) 42 E) 46

Sixto Maulén y Savane Emegu

2013