Conocimiento matemtico en la educaci³n de j³ve

Conocimiento matemático en la educación de jóvenes y adultos

Conocimiento matemático en la educación de jóvenes y

adultos

Jornadas de reflexión y capacitación sobre la matemática en la educación

F¿ío de Janeiro, Brasil, 24-28 de octubre 1995

UNESCO-SANTIAGO Santiago, Chile, 1997

Se puede reproducir y traducir total o parcialmente el texto publicado siempre que se indique el autor y la fuente.

Las opiniones expresadas en esta publicación son de la exclusiva responsabilidad de sus autores y no reflejan, necesariamente, la posición oficial de la UNESCO ni de sus países miembros y no comprometen a la Organización.

Publicado por UNESCO-SANTIAGO Oficina Regional de Educación para América Latina y el Caribe.

Santiago, Chile, 1997.

L.a edición de este libro ha sido posible gracias a la contribución voluntaria del Gobierno de España a las actividades del Proyecto Principal de Educación en América Latina y el Caribe.

Presentación

Globalización, educación multicultural y etnomatemática Ubiratan D ‘Ambrosio

Cuatro preguntas sobre la educación matemática de jóvenes y adultos Orlando Jóia

Un nuevo enfoque sobre $1 conocimiento matemático del profesor Nilza Eigenheer Bertoni

Indice

9

13

27

35

Lo popular y lo legítimo en la educación matemática de jóvenes y adultos Gelsa Knijnik

43

Contribuciones de la Escuela de Vigotski a la enseñanza de la matemática en la educación de jóvenes y adultos Newton Duarte

55

El conocimiento matemático de la práctica y el conocimiento matemático escolar desde la perspectiva del salón de clase Dione Lucchesi de Carvalho

65

Los saberes matemáticos previos de jóvenes y adultos: alcances y desafíos Gemán Mariño S

Repensando el currículo de matemáticas para la educación de los adultos Alicia Avila

Algunas proposiciones sobre la didáctica para la enseñanza de las matemáticas de jóvenes y adultos Isabel Soto Cornejo

Uso de materiales escritos en la enseñanza a distancia de la matemática con jóvenes y adultos: la experiencia argentina Marta Ester Fierro

Principales resultados del Seminario Internacional sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática a jóvenes y adultos realizado en Marly-le-Roi (Francia. en 1993) y sus proyecciones para América Latina Alfonso E. Lizanaburu

77

101

119

131

161

Presentación

Nicanor, albañil sin instrucción que asistía a un círculo de alfabetización en la ciudad mexicana de Guadalajara, mostraba bastante habilidad con las matemáticas. Sabía hacer cuentas mentalmente con suficiente agilidad, también identificar los precios de frutas y legumbres -expresados en pesos y centavos- en anuncios de supermercados y tiendas y, asimismo, tema facilidad para resolver problemas cotidianos que demandaban algún conocimiento matemático.

Son muchos los jóvenes y adultos latinoamericanos que como Nicanor, a pesar de tener nula o escasa escolaridad, pueden leer bien los precios y resolver situaciones que demandan operaciones matemáticas. Una razón explicativa de este fenómeno es que durante diversas instancias de sus vidas han logrado un conocimiento matemáti- co propio que funciona -como bien señala Alicia Avila- mediante la interacción de varios elementos como: un conocimiento de los dígitos; la asignación de una función al punto decimal; la construcción de hipótesis acerca del valor de los números repre- sentados; y el uso de indicadores del contexto para probar tales hipótesis.

Los anteriores elementos demandan un tratamiento especial para encarar adecuadamente una enseñanza matemática que, entre otros aspectos, debe rescatar el conocimiento matemático de jóvenes y adultos en programas de educación básica. Las implicancias de dichos saberes previos son evidentes cuando se trata de formar educadores o de planificar y ejecutar el currfculo. De allí la importancia de tratar de conocer los mecanismos mediante los cuales dichos jóvenes y adultos han construido esos saberes.

El aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas con jóvenes y adultos, a pesar de su influencia para el ejercicio de una mejor calidad de vida y de una ciudadanía moderna, no han sido aún suficientemente abordados. Más aún, una clara insuficiencia para la educación básica con jóvenes y adultos en situación de vulnerabilidad socioeconómica es que en muchos de los procesos de alfabetización -formales o “es- pontáneos”- los entes educativos y sociales han dado fundamental valor sólo al acceso a la lectoescritura y no a los dominios ni a los intereses matemáticos de la población.

La presente publicación es una de las pocas que se edita en nuestra región referida específicamente a la enseñanza y al conocimiento matemático de jóvenes y adultos en situación de aprendizaje. Los diferentes trabajos fueron presentados y analizados en las Jornadas de Reflexión y Capacitación sobre las Matemáticas en la Educa- ción Básica de Jóvenes y Adultos que se desarrolló en el marco de la REDALF en Río de Janeiro durante octubre de 1995, con el generoso concurso del Ministerio de Edu- cación y Deportes del Brasil.

El texto del reconocido intelectual brasilero Ubiratan D’Ambrosio es clave para entender la relación entre la disciplina identificada como matemática con la cultura y la historia en un mundo que se globaliza a ritmo vertiginoso. El rescate de la etnomatemática como “el estudio de las diversas maneras, técnicas, habilidades (technés o ticas) de explicar, de entender, de luchar y convivir (materna) en los distintos contextos naturales y socioeconómicos, espacial y temporalmente diferenciados, de la realidad (etno)“, es tesis central de su trabajo.

Los especialistas Nilza Bertoni, Gelsa Knijnik, Dione Lucchesi de Carvalho y Orlando Joica, desde distintos enfoques presentan reflexiones sobre sus propias experiencias matemáticas desarrolladas en diversos proyectos e institutos del Brasil.

Germán Mariño, basándose en sus experiencias en Colombia, Ecuador y El Sal- vador, aborda el importante tema del reconocimiento de la existencia de saberes matemáticos entre jóvenes y adultos, previos e independientes de los que se abordan vía programas educativos formales e informales.

Teniendo como punto de partida las limitaciones y pobreza de la actual educación básica con jóvenes y adultos y la necesidad de abordar correctamente su diversifica- ción, Alicia Avila plantea la urgencia de cambios en los currículos de matemáticas, introduciendo la perspectiva del necesario encuentro entre los propios conocimientos de los participantes para resolver problemas a través de la experiencia cotidiana y la apertura simultanea de dicha experiencia de vida a nuevos saberes, incorporando las necesidades y los intereses vinculados con las matemáticas en los proyectos o programas educativos.

La reciente experiencia argentina de terminalidad de la educación primaria a distancia para adultos, en lo correspondiente a los procesos de elaboración y uso de materiales del área matemática, es presentada en el trabajo de Marta Fierro.

Basándose en numerosas fuentes investigativas, Isabel Soto hace propuestas so-

ll

bre la didáctica para este tipo de enseñanza, tratando de responder a la siguiente pregunta: ¿Cómo concebir programas de formación matemática, textos, materiales de apoyo, dirigidos a poblaciones con experiencia laboral, social, familiar y que en su vida cotidiana desarrollan estrategias eficientes, pero específicas, de resolución de problemas matemáticos?

Newton Duarte nos introduce en el pensamiento de Lev Vigotski, con cinco hipó- tesis que surgen de su lectura pedagógica de la Escuela vigotskiana, alertando sobre otras interpretaciones que se vienen haciendo en Brasil de este eminente y muy actual psicólogo NSO y explicitando algunas de las principales contribuciones que dicha escuela pudiera aportar al campo de la enseñanza de la matemática con jóvenes y adultos.

Finalmente, Alfonso Lizarzaburu, a quien debemos la organización y traducción del portugués al español de varios trabajos aquí presentados, explicita los principales resultados y las proyecciones para América Latina del Seminario Internacional sobre “El aprendizaje y la enseñanza de la matemática a jóvenes y adultos” realizado en Marly-le-Roi, Francia, en 1993.

Confiamos que la lectura de estos trabajos ayude a desmitificar el campo de las matemáticas abriéndolo también a los educadores no matemáticos y contribuya a los actuales esfuerzos por transformar y dar nueva identidad a la educación con jóvenes y adultos.

José Rivero Especialista Regional

UNESCO

Globalización, educación multicultural y etnomatemática

Ubiratan D’Ambrosio*

En este trabajo abordamos la conceptualización de la Educación Multicultural como la dirección necesaria que debe tomar la Educación para afrontar la complejidad de un mundo que se globaliza a un ritmo creciente. El gran objetivo es evitar que el proceso de globalización conduzca a una homogeneización, cuyo resultado es la su- misión e incluso la extinción de diversas expresiones culturales. Así como la diversidad biológica es esencial para la continuidad de la vida, la diversidad cultural es esencial para la evolución del potencial creativo de toda la humanidad. Nuevos modos de pensamiento y de expresión sólo pueden resultar de una dinámica de encuentros culturales.

Los errores del colonialismo no se pueden repetir en esta nueva fase de relaciones entre individuos, comunidades, pueblos y naciones y que llamamos globalización. Esto nos conduce necesariamente a un análisis de las distintas formas de explicar, conocer, entender, luchar y convivir con la realidad reconocidas en las innumerables y distintas culturas. Una propuesta para ese análisis y una acción correspondiente es el Programa Etnomatemática.

EL PROGRAMA DE ETNOMATEMÁTICA

De manera diferente a lo que sugiere el nombre, etnomatemática no es sólo el estudio de las “matemáticas de las diversas etnias”. Es mucho más que eso. Una libertad *

Investigador y propulsor en América Latina de la etnomatemática. Docente universitario y Consultor internacional.

14 cONOCME&TO MWEMhnCO EN r!A EDOCACl6N DE J6VENES Y AD”LTOS

etimológica nos permite hablar de “etnomatemática” como el estudio de las diversas maneras , técnicas habilidades (technés o ticas) de explicar, de entender, de luchar y convivir (materna) en los distintos contextos naturales y socioeconómicos, espacial y temporalmente diferenciados, de la realidad (etno).

La disciplina identificada como matemática es, en realidad, una etnomatemática que se originó en Europa a partir de tradiciones de Egipto, Babilonia y Judea, asimi- ladas y desarrolladas por los griegos, posteriormente por los árabes, con alguna con- tribución de la civilización india y por los romanos y que llegó al siglo XVI produciendo una transformación en el pensamiento europeo. En Europa llegó a su forma actual en los siglos XVIII y XIX y fue llevada e impuesta a todo el mundo a partir del período colonial. Hoy es presentada con un carácter de universalidad debido, sobre todo, al predominio de la ciencia y la tecnología modernas, desarrolladas a partir del siglo XVIII en Europa. Así como el cristianismo es un producto del Imperio Romano que fue llevado a un carácter de universalidad después del colonialismo, también lo fueron la matemática, las ciencias y la tecnología. Desde entonces, el cristianismo viene siendo modificado, absorbiendo elementos de las culturas subordinadas y produciendo variantes notables de las creencias y prácticas traídas por el colonizador. Se esperarfa igualmente que las formas de explicar, conocer, luchar y convivir con la realidad sociocultural y natural, obviamente distintas de una región a otra -y que son la razón de ser de la matemática, de las ciencias y de la tecnología- también pasasen por ese proceso de “aclimatación” propio de la dinámica cultural. Sin embargo, eso no se dio y no se da y esas ramas del conocimiento, esto es, la matemática, las ciencias y la tecnología, adquirieron un carácter de absoluto universal. Al contrario de las religiones, las artes, las costumbres, que también son formas de explicar, conocer, luchar, convivir con la realidad sociocultural y natural, ellas no admiten variaciones o cualquier tipo de relativismo. Esto se ha incorporado hasta en los dichos populares: “tan cierto como que dos y dos son cuatro” y “esto es una verdad científica”.

El último número de la importante revista For the Leaming of Muthematics (Val. 14, N” 2, junio 1994) está dedicado a la etnomatemática, cuyo gran objetivo es el estudio de otras formas de conocimiento. Igualmente, la Sociedade Brasileira de Educacao Matemática (SBEM) decidió dedicar el primer número de su nueva revista temática, A Educacão Matemática em Revista, al tema “Etnomatemática” (Año 1, N” 1, 2” semestre de 1994).

La matemática ha sido conceptualizada como la ciencia de los números y las formas, las relaciones y las medidas, las inferencias y sus caracterfsticas apuntan hacia la precisión, el rigor, la exactitud. Por consiguiente, la matemática está asociada a valores dominantes en la vida social y privada corrientes de la llamada sociedad moderna. Los grandes héroes de la matemática, esto es, aquellos autores responsables del avance y consolidación de esa ciencia son identificados en la antigüedad griega y, posteriormente, en la Edad Moderna en los países centrales de Europa, sobre todo Inglaterra, Francia , Italia, Alemania. Los nombres más recordados son

Tales, Pitágoras, Euclides, Descartes, Galileo, Newton, Leibniz, Gauss, Hilbert. Son ideas y hombres originarios de Europa, del norte del Mediterráneo, que se impusie- ron a las ideas y prácticas de las poblaciones indígenas que fueron dominadas en el proceso de conquista y colonización.

Creo que es interesante efectuar una reflexión sobre lo que sucede con las poblaciones indígenas. Aunque esas poblaciones en algunos países sean muy reducidas, en el nivel internacional tenemos una variedad apreciable de culturas que merecen una reflexión cuidadosa. En un artículo reciente, Jason W. Clay dice que actualmente hay más de 200 estados y aproximadamente 6.000 naciones indígenas en el mundo, con una población total que representa entre el 10% y el 15% de toda la población del planeta.’

La preservación de las identidades nacionales en un mundo en proceso de globa- lización, con crecientes movimientos poblacionales, es de fundamental importancia. De ahí la conceptualización e importancia de la Educación Multicultural.’ Sus refle- jos en la educación matemática son notables. Hay numerosas propuestas de programas con un enfoque multiculturaL3

LA EDUCACIÓN INDÍGENA

La problemática de la educación indígena ha sido muy común en las Américas. Un elemento que se suma a esto es la presencia de la inmigración forzada, bajo la forma de esclavos, provenientes del Africa. Se trata de una situación completamente diferente de la inmigración voluntaria, que también vino para las Américas en situación precaria, pero voluntariamente. En América Latina, aumenta la situación de pobreza, en la que se encuentra la mayoría de las poblaciones indígenas y de inmigrantes forzados, esto es, los ex esclavos. La pobreza se manifiesta en la educación, en la falta de escuela para todos, en la carencia de profesores y en una práctica educativa desactualizada, aburrida y la mayoría de las veces inútil.

Curiosamente, aunque las dos situaciones, esto es, la condición de indígena y la pobreza, estén íntimamente ligadas, ha habido mas estímulo para las reflexiones y la investigación sobre la educación indígena que sobre la raíz de la pobreza y la educa- ción en la pobreza. Hay un argumento engañador -se trata fundamentalmente de una estrategia para ganar tiempo en el mantenimiento del status que-: la educación pue-

1 Jason W. Clay, “Olhando para o passado para avancar: prevendo e prevenindo viola@ dos direitos humanos”, en Marc S. Miller (ed.), Stare ofthe Peoples, (s.l.), Beacon Press. 1993.

’ La educación multicultural en el caso específico de la matemática la analicé en un artículo reciente: “~Multiculturalism and Mathematics Education”. intemational Journal of Mufhemarics Education in Science and Technology, Vol. 26, N” 3, mayo-junio 1995. pp. 32’7-346.

3 Véase, por ejemplo, David Nelson, George Ghevardese Joseph, Multiculturaf Mathemarics. Teaching Mathematicsfrom a Global Perspective, Oxford, Oxford University Press. 1993.

16 CONOCIMIENTO MAT&TlCO EN ‘4 HXKAC16N DE J6VENES Y ADULTOS

de eliminar la pobreza. Existe incluso una actitud cínica de aceptar la pobreza como propia del modelo económico vigente. Diría incluso que existe una aceptación de que es justo que haya pobreza, que algunos tengan y otros no tengan. Se llega incluso a atribuir al pobre la culpa de ser pobre...

En países con una fuerte presencia indígena o africana, como es el caso en las Américas, esas consideraciones son muy importantes. La contribución que hemos recibido de grupos de investigadores de las poblaciones indígenas y afroamericanas ha sido notable. Esa contribución no nos sugiere proponer una “matemática para indios” o una “matemática para pobres” u otras especificidades. Pero sí nos lleva a reconocer que la matemática tiene raíces culturales y que responde a una necesidad intelectual de disponer de explicaciones, de simplemente conocer, pero, al mismo tiempo, responde a las necesidades más inmediatas, a resolver problemas apremiantes de la vida cotidiana.

NECESIDAD DE UNATEOR~A GENERALDELACOGNICIÓN

Esa combinación de una postura intelectual teórica y de una postura práctica, esto es, del saber/hacer. es efectivamente la raíz primera de la motivación, la primera sensi- bilización, el sustrato sobre el cual se dan la generación, la organización intelectual y social y la difusión del conocimiento.4 Obviamente, llega un momento en que el individuo encuentra en el conjunto de los conocimientos la motivación. En otras palabras, lo que se conoce pasa a ser objeto de la realidad sensible para cada uno y a partir de ahí el hacer se hace sobre el propio objeto de conocimiento. Se amplía la realidad sensible, aquello que algunos llaman el universo de símbolos. Según J. Perner, “los términos mentales (mentefactos)... son términos teóricos, que tienen significado por estar inmersos en un cuerpo coherente de conocimiento o teoría”.5 Pero el proceso de generación y organización del conocimiento es el mismo, la dinámica es la misma. Lamentablemente, los sistemas escolares han visto esas situaciones como distintas. Pero no hay separación entre el hacer y el saber, somos igualmente informados por los artefactos y los “mentefactos”.6 Por consiguiente, cualquier teoría del conocimiento debe incluir, integradamente, estudios de la cognición, de epistemolo- gía, de historia, de política y de educación; todos concernientes a la elaboración y a la propia naturaleza del conocimiento, y deben ser contextualizados e insertados en una reflexión amplia sobre la sociedad.

4 Esto se muestra muy bien en el libro de Gelsa Knijnik, J3clwüo e legirimidade: educqáo e legifimidade cultural, Porto Alegre (Brasil), Artes médicas, 1995.

5 Joseph Pemer, Understanding rhe representational mind, Cambridge, Mass., The MIT Press, 1991, p. 258.

6 Para un análisis más amplio de este aspecto véanse mis libros Etnomatemática, Sáo Paulo, Editora Atica, 1990, y Severa¡ dimensions of science education: A Lutin-American perspective. CIDEREDUC, San- tiago (Chile), 1991.

LOS conocimientos que hemos recibido de los especialistas en educación indígena han sido particularmente interesantes. Como dije anteriormente, esto no quiere decir que vamos a incorporar la etnomatemática de las comunidades indígenas en la edu- cación. Pero aprendemos mucho con lo observado por los que trabajan en esas comunidades. Esto es así porque las mismas agresiones culturales que notamos en la edu- cación indígena se notan en las escuelas de la periferia e incluso en las escuelas de la clase media y alta. Obviamente, cuando hablamos de escuela de un cierto tipo no estamos ignorando el precepto legal que todos son iguales, que no hay escuelas dife- renciadas por clases, razas, religiones, condiciones físicas, aptitudes, etc., etc. Una excepción en el Brasil es la educación indígena. Hubo un tiempo en que había escuela para ciegos, escuela para sordos y así sucesivamente. Hoy, esto está superado. Pero es innegable que en todas las escuelas se nota alguna predominancia y, en función de ello, se habla de escuela de pobres, escuela de ricos, escuela de niñas y así sucesivamente.

No podemos negar que existe una caracterización de hecho a partir del predominio de la población estudiantil. Ese elemento ha sido tenido muy poco en considera- ción en las reflexiones sobre el currículo, sobre todo en los programas de capacita- ción y de perfeccionamiento y en la educación de adultos. Una tentativa destinada a superar los efectos del predominio de un espectro sociocultural es el busing (traslado de escolares en autobús a colegios fuera de su zona) adoptado en los Estados Unidos como medida de integración compulsiva de las escuelas. Son interesantes las consideraciones en tomo del ingreso de jóvenes mujeres en el Instituto Tecnológico de Aeronáutica de Sáo José dos Campos. Esa es una problemática de vieja data, cuando se introdujo la escuela única. Pero este es un tema marginal en relación con mi conferencia y pretendo abordarlo en otro trabajo.

LA MATEMÁTICA DOMINANTE Y LA ETNOMATEMÁTICA

Me voy a referir a la matemática dominante como aquella que se aprende en las escuelas, que se ve en los currículos, que se toma en las pruebas y exámenes. En otros términos, la que podtiamos llamar oficial. Y las etnomatemáticas siempre asociadas al entorno sociocultural predominante.7

Un primer hecho que hay que notar es que la matemática dominante es presentada y vista con un ropaje de superioridad, con el poder de desplazar e incluso de eliminar a las diversas etnomatemáticas. Lo mismo sucede con otras formas culturales, tales como el comportamiento, la medicina, el arte, la religión. Esto provoca la

7 Véase mi conferencia de clausura del 1 CIBEM “As matemáticas e o seu entorno cultural”, (Conferencia plenaria de clausura), en Memorias del Primer Congreso Iberoamericano de Educación Maremárica. Sevilla, 24-29 de septiembre de 1990. París, UNESCO, 1991, pp. 70-82.

eliminación de las comunidades como entidades culturales. Así, hubo una legisla- ción que castigaba ciertas prácticas religiosas, hay restricciones al uso de ciertas comidas y bebidas, existe una legislación contra prácticas médicas populares y los ejemplo son innumerables a lo largo de la historia. En el lenguaje, esto ha sido uno de los elementos de presión política. El caso más notable es el de la España de Fran- co.

Pero volviendo a la matemática, se nota -en particular en la geometría y la arit- mética- violentas contradicciones. Por ejemplo, la geometrfa del indio es colorida, mientras que la geometría griega eliminó el color. Y la aritmética popular es cualita- tiva, esto es, 50 reales (unidad monetaria del Brasil) es un “cincuenta” muy diferente de la casa N” 50 de la calle tal; pero en la aritmética dominante es una pura codifica- ción cuantitativa.*

Hasta hoy existen escuelas que prohiben “contar con los dedos”, lo que refleja ese intento de imponer la matemática dominante. Y las razones por las que se prohibe el uso de la calculadora son de la misma naturaleza.

No se puede definir criterios de superioridad entre manifestaciones culturales. Debidamente contextualizada, ninguna forma se puede decir superior a otra. Esto se ilustra bien en la tesis de Mariana Kawall Leal Ferreira Da origem dos homens à conquista da escn’ta: um estudo sobre povos indigenas e educa@0 escolar no Bra- sil, presentada en la Universidad de Sáo Paulo en 1992, que en el capítulo de reflexiones sobre la matemática, dio origen al excelente libro Com quantos paus se faz urna canoa! A matemática na vida cotidiana e na experiência escolar indígena (Bra- silia, MEC/Assessoria de Educacáo Escolar Indígena, 1994). Por ejemplo, véase ahí cómo el sistema binario de los xavantes (una tribu de Sáo Paulo) fue sustituido, como en un truco de magia, por un sistema “más eficiente” de base 10. ¿Por qué más eficiente? ¿Cómo se relaciona con el contexto xavante? No es diferente lo que sucede con la lengua nativa.

Sin duda alguna hay un criterio de eficiencia que se aplica en las relaciones interculturales. Sin aprender la “aritmética del blanco” el indio será engañado en SUS transacciones comerciales con el blanco. Véase el dramático caso, en un contexto de Africa, narrado por Céline en su novela Voyage au bout de la nuit. Igualmente, si no domina la lengua del blanco, el indio difícilmente tendrá acceso a la sociedad dominante. Pero eso sucede con todas las formas culturales. Yo tengo que dominar el inglés para participar en el mundo académico internacional. Pero jamás alguien dijo 0 incluso insinuó que el inglés es una lengua superior, intrínsecamente más importante que el portugués o que sería indiferente si yo olvidase el portugués. iCómo

8 Esto se ejemplifica en uno de los casos que mejor demuestran la imposición cultural del colonialismo. El primer libro de aritmética publicado en Europa fue el liber Abati de Leonardo de Pisa en 1300. A partir de entonces, todos los libros de aritmética fueron variantes de esaobra fundamental. Ei prtmer libro de arit- mética publicado en el período colonial fue el de Juan Díaz Freyle. Sumario compendioso de las cuen- tus... con algunas reglus tocantes al Aritmética, 1556, México. En ella se utiliza el sistema de numera- ción indígena. En el siglo siguiente, el libro cae en desuso y se publican otras aritméticas, ahora con el sistema de numeración hindú-arábigo.

GLOBALUAC~~N, EDUCACIÓN ML~~CUL~~ZAL Y EIWOMATEMATICA 19

osaría alguien sugerir que yo debería sentirme apocado o incluso avergonzarme de hablar mi lengua materna? Pero eso es lo que se hace con los pueblos indígenas, ya se trate del lenguaje, de los sistemas de conocimiento en general y de la matemática, en particular. Su lengua es calificada de inútil, su religión se toma superstición/idola- tUfetichismo, su arte y sus rituales son “folclore”, su ciencia y su medicina son “supersticiones” y su matemática se califica de “imprecisa” e “ineficiente”, cuando no de “inexistente”.

No se pone en cuestión la conveniencia e incluso la necesidad de enseñar al indígena la lengua, la matemática, la medicina, las leyes del blanco. Pero lo que sí se puede y debe hacer es proteger la dignidad y la creatividad de aquellos subordinados a esa estructura y minimizar los daños irreversibles que se pueden causar a una cultura, a un pueblo y, sobre todo, al individuo, si el proceso se condujera con ligere- za.

Los conflictos conceptuales que resultan de la introducción de la “matemática del blanco” en la educación indígena, que se manifiestan sobre todo en la formulación y resolución de problemas aritméticos simples, son muy bien ilustrados en el contexto cultural de los xavantes, los suyas, kayabis, jurunas, en el trabajo ya citado de Mariana K. L. Ferreira. Ejemplos variados, tales como transporte en barcos, manejo de cuentas bancarias y otros muestran que los indígenas dominan lo que es esencial para sus prácticas y las elaboradas argumentaciones con el blanco sobre aquello que les interesa, que generalmente se focaliza en el transporte, el comercio y el uso de la tierra. Así, la matemática se contextualiza como un recurso más para solucionar problemas nuevos que, habiéndose originado en otra cultura, llegan exigiendo instrumentos intelectuales de esa nueva cultura. La etnomatemática del indígena sirve, es eficiente y adecuada para muchas cosas -muy importantes- y no hay por qué sustituirla. La etnomatemática del blanco sirve para otras cosas, igualmente muy importantes y no hay cómo ignorarla. Pretender que una sea más eficiente, mas rigurosa, en fin, mejor que la otra es una cuestión falsa y falsificadora cuando se la excluye de una amplia discusión del contexto.Y

El dominio de las dos etnomatemáticas, así como de las dos lenguas y posible- mente otras más, obviamente ofrece mayores posibilidades de explicaciones. de com- prensión, de manejo de situaciones nuevas, de resolución de problemas específicos. Y es exactamente así que se hace investigación matemática y, en realidad, investiga- ción en cualquier otro campo del conocimiento. El acceso a un mayor número de instrumentos y de técnicas intelectuales dan, cuando se las contextualiza adecuadamente, mucho mayor capacidad para afrontar situaciones nuevas y resolver problemas, modelar correctamente una situación real para llegar, con el manejo adecuado de esos instrumentos, a una posible solución o curso de acción.

Esto nos lleva a conceptualizar el aprendizaje como la adquisición y el desarrollo

9 Deseo destacar la importante contribución de Samuel Lopez Bello Educqxio Mafemárica Indígena -Ch estudo etnomatemático dos indios guarani-kaiová do Mato Gmsso do Sul, Curitiba, Faculdade de Educa@, Universidad Federal do Paraná, 1994.

20 CONOCIMIENTO MATEMATKZO EN LA EDUcACl6N DE J6VENES YAD”L’IOS

de capacidades para explicar, comprender y afrontar críticamente situaciones nuevas. Aprender no es un mero dominio de técnicas, habilidades y, mucho menos, la memorización de algunas explicaciones y teorías.

UNA VEZ MÁS. EDUCACIÓN MULTICULTURAL

La educación formal, ya se trate de indígenas o de blancos, se basa en la mera trans- misión (enseñanza teórica) de explicaciones y teorfas y en el adiestramiento (ense- ñanza práctica) de técnicas y habilidades. Ambos procedimientos son totalmente equivocados desde el punto de vista de las teorfas modernas de la cognición. Como dice muy bien Mariana K. L. Ferreira, no hay cómo evaluar las habilidades cognitivas fuera del contexto cultural. Las dificultades son aun más profundas, pues es obvio que la capacidad cognitiva es propia de cada individuo. Así como hay estilos cognitivos propios de una cultura y por consiguiente se acepta hablar de diferencias interculturales, también hay importantes diferencias entre individuos de una misma cultura, pero hay cierta reticencia para aceptar las diferencias intraculturales.

Mi punto de vista sobre lo que es la educación multicultural coincide con la opinión de M. K. L. Ferreira cuando dice que cuando la educación procura de alguna manera compatibilizar diferentes principios organizacionales para dar inteligibilidad al sistema social del cual forman parte, no se puede eliminar la autenticidad y la individualidad de esos principios. De hecho, ignorar las variaciones individuales e intraculturales conduce a interpretar las capacidades y la propia acción cognitiva como estables, lineales y continuas, que obedecen a ciertos principios de estructura supuestamente inherentes a la especie como un todo. No será necesario destacar las limitaciones y la fragilidad del estructuralismo cuando se trata de entender la cons- trucción intelectual, individual y social y la construcción social del conocimiento, como un todo integrado, como la resultante de una historia social e individual en permanente modificación debido a fuerzas en exposición mutua. La adopción de ese estructuralismo ha sido común entre antropólogos, psicólogos y pedagogos y ha conducido a numerosas propuestas educacionales equivocadas. Entre esas propuestas están las de Jean Piaget, Lev Vigotsky y las diversas modalidades constructivistas que derivan de ellas. Todas esas corrientes tienen su origen en los diversos discursos sobre métodos que se pusieron en evidencia principalmente en el siglo XVII y que hoy son cuestionados. Esos errores se identifican más fácilmente en el contexto de la educación indígena. Nuevas percepciones sobre la generación del conocimiento han dado origen a numerosas propuestas alternativas, como la etnológica, la etnometodología, la etnohistoria, la etnomedicina, la etnosociología y otros tantos análisis del conocimiento culturalmente contextualizado.”

lo Véase las síntesis de Can01 E. Izard, Jerome Kagan y Robert B. Zajonghotionî, Cognition andBehavior, Cambridge University Press, 1984, y de L.Luca Cava&Sforza, Paolo Menozzi y Alberto Piazza, The History and Geography of Human Genes, Princeton, Princeton University Press, 1984.

Las consideraciones anteriores se aplican no sólo a la organización intelectual del conocimiento, esto es, una crítica a las epistemologías, sino igualmente a la orga- nización social y a la difusión del conocimiento. Así, se llega a la práctica pedagógi- ca resultante de la etnomatemática, de la etnociencia y de las otras etnodisciplinas.”

También se puede disponer de una etnodidáctica y una etnoeducación para entender el proceso de difusión del conocimiento en contextos culturales diversificados. ”

PROBLEMAS ESTRUCTUR.~LES DE L.4 EDucAcIóN

Esa preocupación es muy diferente de las propuestas usuales de los gobiernos, que se resumen en mejorar la calidad de la educación -importante, pero hasta cierto punto irrelevante- en aumentar el número de escuelas -sin afrontar el problema de que los niños lleguen a la escuela y permanezcan en ella-, de exigir la calificación de los profesores y otras tantas medidas inocuas, pues enmascaran el problema central, el fundamento del que derivan todos esos problemas: la pobreza.

Entre los numerosos problemas de la educación que se deben encarar, aunque sean derivados, destacamos los tres siguientes: - La falta de profesores y su deficiente formación. - La marginalidad y la criminalidad entre los adolescentes. - El abandono en los primeros años de escolaridad.

¿Cómo afrontar esos problemas? Sin duda alguna, afrontar esos problemas exige cambios estructurales en la sociedad, una reconceptualización de lo que es un Minis- terio de Educación y otra filosofía de la educación. Todo esto depende de una re- flexión más actualizada y más profunda sobre el conocimiento, indagando sobre SU generación (cognición), su organización intelectual (epistemología) y social (hiSto- ria) y sobre su difusión (educación y política). Se debe prestar más atención a las teorías recientes de la cognición, sobre todo a las contribuciones de los neuropsicólogos. Poco se puede avanzar con las teorías del aprendizaje que dominaban las reflexiones sobre la educación de las décadas de los años sesenta, setenta y ochenta. Se debe prestar más atención a los avances en la comunicación y a la teleinformática y menos a los clásicos enfoques de metodología de la educación. Y, naturalmente, una visión histórica y política que puede anclar una filosofía de la educación en un mundo globalizado, en el cual se notan nuevas relaciones de la sociedad y la familia, nuevas relaciones entre naciones, así como nuevos modelos de producción y propiedad. El

” Esas denominaciones conllevan una contradicción intrínseca que todavía no logramos superar. ’ El término “etnodidáctica” fue utilizado por María Luisa Oliveras Contreras en su tesis de doctorado

intitulada Etnomatemáticas en trabajos de artesanía andaluza. Su integración en un modelo para la f¿wmación de prqfesores y en la innovación del currículo matemático escolar. sustentada en la Univer- sidad de Granada (Esparia), en 1995. El término “etnoeducación” fue utilizado por Maria Victoria Peralta E. en un importante trabajo intitulado “Una base antropológico-cultural: carencia en los cunículos que se desarrollan en los jardines infantiles de nuestra latinoamérica”,Aula Abierta. (Caracas), 2’época. Vol. LII, octubre-diciembre de 1987, pp 2-9.

22 CoNoclM~m .&fuEMÁ77co EN LA EoocAcl4N DE J6vENS Y ADOLroS

mundo está cambiando rápidamente. Esto nos lleva a abordar los problemas mayores, tales como los mencionados anteriormente, con un enfoque más amplio. - Lu falta de profesores y su dejkiente formación: hacer que la profesión docente

sea atractiva y competitiva, pagando un buen salario a los profesores; entonces ellos encontraran el camino de su perfeccionamiento.

- Lu marginalidad y la criminalidad entre los adolescentes: hacer que los adolescentes sientan que la escuela les está dando algo, que está respondiendo a sus angustias y cuestionamientos más inmediatos y que no tenga solamente un carác- ter propedéutico; sólo entonces permanecerán en la escuela.

- El abandono en los primeros años de escolaridad: hacer que los niños menores de cinco anos sientan alegría de ir a la escuela, que es agradable y divertido ir a la escuela; de ser así, ellos harán lo necesario para participar en las clases. Obviamente, los problemas de la educación son más bien problemas sociales que

problemas educacionales. Creo que los educadores deberían dedicarse más a entender el porqué de la proliferación de las llamadas “nuevas religiones”, el éxito de las telenovelas, el porqué del atractivo por el sexo y la droga entre los adolescentes y los jóvenes y no quedarse tranquilos con la explicación ingenua que consiste en decir que “esto es el reflejo de una mala educación”. Siempre, en todos los grandes momentos históricos, la educación se ha revelado un reflejo de la sociedad y no al revés. Al alcanzar la edad promedio de 65 anos, el individuo vivió 63 x 365 x 24 = 569.400 horas. Durante todas esas horas estuvo aprendiendo, transformando su entendimien- to y sus instrumentos de explicación y acción. Asumiendo que tenga una escolaridad completa de l”, 2” y 3er nivel -muy pocos la tienen-, habría dispuesto, en la mejor de las hipótesis, 16 x 180 x 4 = 11.520 horas de aprendizaje formal.13

¿QuÉ EDUCACIÓN Y POR QUÉ?

Muchos se estarán preguntando: pero, La donde quiere llegar? La respuesta es simple: no tener la ilusión de que lo que es importante se aprende en la escuela. Todo lo que interesa aprender lo aprendemos en las 569.400 - ll ,520 horas fuera de ía escuela iNo quiero ser tan radical!; tal vez en las 11.520 horas aprendemos algo que nos interesa. Lo que es interesante tiene un alcance mucho mayor que el sentido puramente inmediatista asociado con aquello que se dice “que sirve”; significa, principalmente, la “construcción de instrumentos intelectuales de análisis y de explica- ción”. Lo grave es que, en general, se aprende muy poco en esas pocas horas, poco en el desarrollo de la capacidad crítica, la capacidad de analizar y evaluar hechos, actitudes, posiciones y poco en el sentido puramente utilitario, desarrollando la capacidad de socializar y de trabajar en equipo para lograr el bien común.

l3 Un estudio sobre datos de esta naturaleza, incluyendo el número de horas de consumo de televisión, de entretenimiento y otms muy significativos, fue hecho por David A. Hamburg, Today S Children: Creating a Futurefor a Generation in Crisis, New York, Times Books/ Random House, 1992.

ESO nos lleva a reflexionar frente a la pregunta ¿por qué ir a la escuela? En otras palabras, sobre qué es la educación.

Voy a dar una definición de “educación” que sintetiza las reflexiones anteriores: es la estrategia definida por las sociedades para que cada individuo desarrolle su potencial creativo y para estimular y desarrollar la capacidad de los individuos para comprometerse en acciones comunes.

Entre las cuestiones relacionadas con la preservación de las identidades nacionales destacamos como de fundamental importancia la equidad. Y uno de los factores más importantes para lograr la equidad y al mismo tiempo mantener la preservación de las identidades nacionales, está relacionado con el concepto de “conocimiento” y las “prácticas” asociadas con él.

Uno de los aspectos más importantes que hay que destacar tal vez sea la percep- ción de una dicotomía entre saber y hacer que predomina en el mundo llamado “civi- lizado”, que es la consecuencia de los paradigmas de la ciencia moderna, como la creada por Descartes, Newton y otros. La ciencia moderna, que surgió prácticamente al mismo tiempo que las grandes empresas de navegación y la consiguiente conquista y colonización, pretendió imponerse como el conocimiento racional por excelencia, sustrato de la eficiente y fascinante tecnología moderna. Esa ciencia es origina- ria de las culturas mediterráneas y, a partir de las naciones centrales, promovió una conceptualización del saber (conocimiento) y del hacer (habilidades) dicotómica y estructurada.

Esa dicotomía entre saber y hacer, con profundas implicaciones en las prácticas escolares, en la valorización de las profesiones y en las relaciones entre individuos, tiene consecuencias alarmantes en las relaciones sociales y es una de las causas más importantes de las desigualdades que ocurren en la sociedad. Ella se manifiesta en la aceptación de que las necesidades mínimas, esenciales para la supervivencia y la dignidad del ser humano, difieren de un individuo a otro. Decir que un “cuello blanco” (empleado) tiene necesidades básicas diferentes de las de un “cuello azul” (obre- ro) es la metáfora social de la dicotomía del saber y el hacer que se importó de los países industrializados. Esa dicotomía es generada en el contexto educacional y la matemática es, más que cualquier otra disciplina del currículo, instrumental para SU

fortalecimiento. Quien sabe, manda; quien hace, obedece. El trabajo intelectual se valoriza por encima del trabajo manual; las necesidades básicas del patrón y del empleado se consideran significativamente diferentes y las manifestaciones de esas dicotomías son innumerables. Incluso el concepto común de lo que es “justo” excluye reflexiones de este tipo. Se cree que es justo dejar que las cosas sigan como están.

Muchos encontrarán extraño, si no impertinente, una discusión de este tipo en una conferencia sobre matemática. Preferirían estar escuchando hablar sobre qué contenidos deben eliminarse y cuáles incluirse, qué metodología nos va a conducir a lograr mejores cuadros estadísticos en los resultados tabulados; lo que se puede hacer con el abandono escolar. Tal vez electrochoques para despertar a los alumnos, haciendo que estén más atentos en las clases, inyecciones calmantes para que estén menos inquietos, estímulos más altos o premios para los padres que fuerzan a sus

24 cONOClMtE,WO MATE.WhCO EN r!A EDUCACI6N DE J6VENES Y ADULTOS

alumnos a ir a la escuela a fin de evitar el abandono. Todo esto, que parece una figura retórica, i se practica!

iTendría razón Gustave Flaubert cuando daba la siguiente definición: “Matemá- tica. Aquello que seca el corazón”?

iE programa de etnomatemática muestra que Gustave Flaubert no tenía razón!

AÚN MÁS SOBRE ETNOMATEMÁTICA

Tratamos de definir los objetivos de la educación matemática en función de la con- ceptualización mucho más amplia de la “educación” que presentamos anteriormente. NOS sentimos muy identificados con la posición explicitada en el Plano Decenal de Educacão para Todos 1993-2003 (Plan Decenal de Educación para Todos 1993- 2003), aprobado por el Ministerio de Educación y Deportes (MEC) tras amplios debates con toda la sociedad y que, creo, aún está vigente y cumple su segundo año. La propia Declaración Mundial sobre Educación para Todos (Jomtien, marzo de 1990), incorporada en el Plano Decenal, nos da los elementos para una nueva visión de los objetivos de la educación matemática.

El Plano Decenal se inspira y reposa en la Declaración de Nueva Delhi (16 de diciembre de 1993), de la que el Brasil es signatario y tiene como antecedente la Conferencia de Jomtien, que es muy explícita al reconocer que “la educación es el instrumento preeminente de la promoción de los valores humanos universales, la calidad de los recursos humanos y el respeto de la diversidad cultural” (2.2) y que “los contenidos y los métodos de educación deben desarrollarse para satisfacer las necesidades básicas de aprendizaje de los individuos y las sociedades, proporcionán- doles el poder para enfrentar sus problemas más urgentes -combatir la pobreza, aumentar la productividad, mejorar las condiciones de vida y proteger el medio ambiente- permitiéndoles que asuman el papel que tienen por derecho en la construc- ción de sociedades democráticas y en el enriquecimiento de su patrimonio cultural” (2.4).

Nada podría ser más claro en relación con el reconocimiento de la subordinación de los contenidos programáticos a la diversidad cultural que impera en un país como el Brasil. Lo mismo sucede en lo que respecta al reconocimiento de una variedad de estilos de aprendizaje, igualmente implícito en el llamado al desarrollo de nuevas tecnologías. En lo fundamental, esas consideraciones determinan una gran flexibilidad, tanto en la selección de los contenidos como de la metodología.

Una pregunta que parece natural tras estas observaciones: ¿no sería mejor eliminar la enseñanza de la matemática en las escuelas? Esa pregunta se aplica a todas las categorías del saber/hacer propios de la cultura del dominador, con relación a todos los que muestran una identidad cultural. Esa pregunta sólo se puede formular y responder dentro de un contexto histórico. La contextualización es esencial para cualquier propuesta educacional, especialmente en la matemática.

Contextualizar la matemática es esencial. ¿Cómo dejar de relacionar los Elemen-

GLOBAL.EACION, FDLCACIÚN MIJL’I’I~~W Y ETNOMATE..TICA 2.5

tos de Euclides con el panorama cultural de la Grecia antigua? 0 la adquisición de la numeración indo-arábiga en la Europa de los siglos XIV y XV con el florecimiento del mercantilismo. No se puede entender a Newton y su éxito en Inglaterra sin entender el proceso de restauración conducido por Charles II. Sin duda, es posible repetir como loros algunos teoremas, decorar pizarras y mecanizar las reglas de las operaciones e incluso efectuar algunas derivadas e integrales que nada tienen que ver con nada en la selva, en los campos o en las ciudades. Lamentablemente, seguimos insis- tiendo en un aprendizaje descontextualizado, en la difusión del pensamiento medite- rráneo. Las discusiones precedentes abren el camino para una descripción teórica y práctica de la etnomatemática.

Voy a concluir con una reflexión sobre el fracaso escolar de la matemática. En primer lugar, considérese el choque inicial de la propia escuela, más específicamente de su organización en el estilo estratocrático europeo. Ese estilo se manifiesta en el aula, con carpetas cartesianamente dispuestas, profesores situados en el frente, a veces sobre un pupitre, un pizarrón como foco único de la curiosidad y la atención intelectual y teniendo como material de enseñanza libros y cuadernos estandarizados, listas de alumnos organizadas con criterios rígidos, pruebas, tareas, elogios y críticas públicas, notas con premios o castigos y otras caractetísticas más. Alumno feliz, quien hace lo que le place y quiere, rinde mucho.14

El resultado es prácticamente el mismo, en todos los niveles de escolaridad y en todas las disciplinas: el alumno es masacrado en su comportamiento, agredido en SU

inteligencia y castrado en su creatividad. Naturalmente, una conferencia no se justifica si fuera un muro de lamentaciones

y un foro de denuncias. Debe concluir con una propuesta de mejora.

CONCLUSIÓN.. . PROVISIONAL

Mi propuesta es lo que denomino “pedagogía etnomatemática”. Esto implica, sobre todo, una nueva conceptualización del currículo. Comienzo con una definición:

Currículo: es la estrategia de acción educativa.

Me explico: al partir para efectuar una acción, una práctica, todos van premunidos de una estrategia, de un plan de acción. En la acción pedagógica, por ejemplo, ir a una clase no es diferente.

Lo más común es que el profesor consciente, bien preparado, parta para la prác- tica docente con una idea clara de cuáles son los objetivos de dicha actividad (el porqué en los debates sobre didáctica a partir de comienzos del siglo), cuáles son 10s temas y contenidos que hay que enseñar (el qué) y cómo se desarrollarán esos conte-

l4 Véase la síntesis de veinte años de investigación de Teresa Amabile, The Social Psychology of Creativity, Springer Verlag, Boston, 1983.

26

nidos (el cómo). De ahí la conceptualización estática y cartesiana del currículo, sin- tetizada en objetivos, contenidos y métodos. Concluido el curso, viene la evaluación.

Pregunto: Ldónde están los alumnos individuales en esta formulación? Cierta- mente ellos fueron estudiados -en una muestra- mediante métodos de investigación

-cuantitativa reconocidos y se los clasificó en categorías. La definición del currículo se aplica a esas categorías. Los individuos deben enmarcarse en los objetivos defíni- dos para su categotía y aceptar los contenidos predefinidos, enseñados con una meto- dología muchas veces probada y considerada buena. Los que no satisfacen los criterios de evaluación son desaprobados o marginados, normalmente sujetos a una polí- tica contradictoria, la de promoción automática.15

Mi propuesta de currículo dinámico se basa en tres tipos de actividad: - sensibilización: que motiva para el momento educacional, clase o correspondien-

te; - apoyo: que da los instrumentos de trabajo a medida que se van haciendo necesa-

rios; y - socialización: en la que se ejecuta una acción que da lugar a un hecho, objeto o

aprendizaje. La pedagogía etnomatemática reposa sobre estos componentes. La sensibiliza-

ción se hace mediante las circunstancias que rodean la práctica educativa, mediante el análisis crítico de lo que pueda despertar el interés y la motivación.16

Esta etapa abre el camino para trabajos y tareas en grupo. El trabajo individual, desvinculado de una acción social, no tiene lugar en la escuela. Efectivamente, la escuela es, coherentemente con la definición de educación dada más arriba, la oportunidad de aprender a actuar en común, socializando conocimientos y habilidades con un objetivo de interés grupa], para el que cada individuo contribuirá con 10 que tiene para ofrecer. Las actividades de apoyo son aquellas que más se asemejan a 10s contenidos tradicionales, en el sentido de adquirir los instrumentos importantes para concretar la acción común.

No sólo en el aula, sino en la organización del curso, el concepto de currículo dinámico ha mostrado ser una buena opción.” La pedagogía etnomatemática encuentra en esa propuesta cunicular la estrategia adecuada para su implementación.

ls Hablo de una contradicción pues la “promoción” nos lleva a un falso problema. ¿Qué significa promover a un alumno? $valuar cuánto sabe? Véase al respecto mi aitículo “Avaliacáo: Eliminar ou Manter? ou Reconceituar?. Prof/Mat 94 - Atas. Leiria, 9 a 12 de Novembro de 1994. Associa@ de Professores de Matemática. Lisboa, 1994, pp. 137-141.

l6 El excelente libro de Marilyn Frankestein, Releaming Muthematics: A D@erent ThirdR - Radical Maths, London, Free Association, 1989. es una fuente de ejemplos de dicha práctica.

” Véase una relación de proyectos y una explicación más detallada sobre la organización de un curso según estos planteamientos en Ubiratan D’Ambrosio (organizador), 0 Ensino de Ciências e Matemática na América Latina, Campinas (São Paulo), PapiruskJNICAMP, 1984.

Cuatro preguntas sobre la educación matemática de jóvenes y adultos

Orlando Jóia’

Estos talleres reúnen a investigadores de la educación matemática interesados y comprometidos con la educación de jóvenes y adultos no escolarizados con técnicos que encaran el tema en las redes públicas de enseñanza. Durante tres días, los investigadores aquí presentes se esforzaron para trazar un mapa del terreno, enumerar las principales vertientes e identificar las cuestiones relevantes para el debate.

En lo que a mi respecta, no soy matemático; sólo soy un educador que desde hace veinte años labora en la enseñanza y la formación de profesores dedicados a quienes buscan los beneficios de la escuela básica y que un día tuvo un “choque” y quedó encantado con la matemática. Este “choque” lo experimentaron muchas de las personas que están aquí ahora: mucho antes de que las ciencias cognitivas nos convirtie- ran en objetos de estudio, los adultos insisten en recuperar, en el aula, los conceptos, procedimientos y nociones matemáticas que construyeron en el espacio cotidiano y de trabajo, independientemente de lo que sus profesores les quieren enseñar. El encantamiento vino de vislumbrar la posibilidad de aventurarse en las complejas relaciones entre los dos espacios donde se constituyen los conocimientos matemáticos, el de la escuela y el de la vida cotidiana, el de la calle y el del ambiente de trabajo.

Los investigadores han dado buena muestra de los frutos que pueden producir tales aventuras cuando son conducidas con “ingenio y arte”, método y pasión. En 10

* Asesor de la ONG A@o Educativa de Sáo Paulo, en laque trabaja en Assessoria, Pesquisa e Informa@o (Sáo Paulo) y director de un programa compensatorio en el Colegio Santa Cruz (Sáo Paulo).

28 cONOCIML3TO MATEMÁTKO EN l.4 EDUCACI6N DE J&ENES YAD”LTOS

que a mi se refiere, me propongo simplemente plantear un conjunto de preocupaciones que espero servirán de telón de fondo para las discusiones de orden metodológico que constituyen el foco de la atención de nuestro encuentro.

CONDICIONANTES

Al tratar de formar una noción de conjunto de la educación matemática de jóvenes y adultos, es bueno tratar de comprender el ambiente en que tienen lugar dichas prác- ticas escolares. En una frase feliz, Haddad (1992) dice que: “la educación de adultos. en el caso brasileiío, se constituye mucho más como producto de la miseria social que como producto del desarrollo. Es una consecuencia de los males del sistema público regular de educación y de las precarias condiciones de vida de la mayoría de la población, que acaban por condicionar el aprovechamiento de la escolaridad en la época apropiada (Haddad, 1992)“.

Es la miseria social -prosigue el autor- la que: “acaba por definir las diversas maneras de pensar y realizar la educación de adultos. Es una educacidn para los pobres, los jóvenes y los adultos de los sectores populares, para aquellos que son la mayoría en las sociedades del Tercer Mundo, para los excluídos del desarrollo y de los sistemas de educación. Incluso si constata que quienes consiguen tener acceso a los programas de educación de adultos son aquellos que “tienen mejores condiciones” entre los pobres, esto no les resta validez a la intención de estar dirigida a los excluidos.

Sobre esta plataforma básica, la educación de adultos se viene constituyendo más bien como una oportunidad de mejoría de las condiciones de vida, de supera- ción de la exclusión (Haddad, 1992, p. 3)”

Esos condicionantes de los que habla el autor tienen consecuencias concretas y palpables, que repercuten en la educación matemática. La educación básica orientada hacia los jóvenes y los adultos se plantea cada vez más como una necesidad fundamental, de importancia reconocida especialmente si tenemos en cuenta la grave si- tuación social existente en las últimas décadas y particularmente para los sectores más pobres de la población. Sin embargo, al lado de este reconocimiento -nos dice el mismo autor citado anteriormente- : “(...) durante los últimos años (...) el gobierno federal dejó, cada vez más, de asumir la responsabilidad de los programas de alfa- betización, trasladando dicha responsabilidad al plano municipal. También ha habido un creciente desistimiento en el plano estatal, reflejo de este movimiento de abandono de las políticas nacionales (Haddad, 1992, p. ll)”

Por consiguiente es necesario, antes que nada, reconocer esos condicionantes no sólo de la educación matemática, sino de la misma educación básica de jóvenes y adultos. Su reconocimiento no debe ser motivo para la parálisis o la queja inútil, sino un momento de conciencia esencial para su superación. Eso implica confrontar las

necesidades planteadas por el desafío de enseñar la matemática básica a millones de brasileños excluidos de la escuela con aquello que ya se acumuló como experiencia para vencer dicho desafío. Esa confrontación no deja un sabor muy agradable, pero nos puede dar algunas pistas.

LA INVESTIGACIÓN SOBRE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE JÓVENES Y ADULTOS

Nunca leí a alguien que negara la importancia que tiene el saber matemático para el joven o el adulto: unos quieren que sea útil para la supervivencia; otros como una base cultural para la integración en el modo de vida moderno; otros más como elemento necesario para el desarrollo cognitivo humano. Sin embargo, cuando se ponen frente a frente al discurso sobre la importancia atribuida a la enseñanza de la mate- mática y la inversión efectuada para hacer posibles esas adquisiciones, el balance es desfavorable.

A título de ejemplo, en 1990 participé en un proyecto de investigación del Centro Ecumênico de Documentacao e Informacao (CEDI) que suponía la recolección de la producción existente sobre la enseñanza de la matemática básica. Durante meses emprendimos una verdadera cacería de todo escrito sobre el tema (tesis, tesinas, informes, ponencias, libros, artículos de revistas, artículos mimeografiados, etc.). Al término de la investigación -si bien reconocemos que podemos haber dejado de lado algunas cosas, más por insuficiencia de medios que por descuido- sintetizamos las principales características del conjunto de investigaciones examinadas (los méritos académicos no eran objetos de examen) en dos palabras: eran reducidas en cuanto a su número y recientes en cuanto a su datación: “IA importancia que generalmente atribuyen los educadores involucrados en la alfabetización de jóvenes y adultos a la matemática no encuentra respaldo en la producción recopilada. Sólo dos tesinas de maestría (Duarte, 1987; Souza, 1988) abordan el proceso de adquisición de los conocimientos relacionados con el sistema de numeración y las cuatro operaciones, además de algunos estudios aislados que abordan aspectos parciales (como el de Avelar e Campelo, 1987). La primera de ellas (...) analiza una secuencia de ense- ñanza/aprendizaje de matemática. La segunda analiza la acción de alfabetizadoras en la enseñanza de matemática a adultos que frecuentaban clases de postalfabetización en Vitória (...).

Otro conjunto de investigaciones (...) proviene del área de la psicología cognitiva de la Universidad Federal de Pernambuco (Abreu, 1988; Acioly, 1985; Carraher 1988; Carraher et al., 1988: Lima, 1985; Magalháes e Schliemann, 1989; Schliemann e Acioly, 1989; Schliemann e Carrahel; 1988). Iniciados aparentemente en 1982, esos estudios no abordaron directamente la enseñanza de la matemática básica en cuanto proceso de enseñanza y aprendizaje; enfocan, más bien, las capacidades cognitivas de los adultos analfabetos o con poca escolaridad, su rendimiento en la

30 cONOCIMIEh70 MXTEM.bXO EN IA EDUCACIÓN DE J6VEVES Y ADCILTOS

solución de problemas, las características del conocimiento matemático adquirido en la vida cotidiana y las relaciones entre ese conocimiento matemático y aquél adquirido en la escuela (Ribeiro et al. 1992).

Aclaro que la recopilación se limitó a los grados iniciales y soy consciente que desde entonces se han producido cosas nuevas. Se publicaron nuevos trabajos a partir de la investigación de Recife, se elaboraron algunas tesis en otras universidades. Por ejemplo, la de Carvalho (1995). La propia autora indica en su tesis cuatro otras que no fueron cubiertas por la recopilación citada anteriormente, “realizadas teniendo como referencia directa el aula”. Las investigaciones basadas en la etnomatemática produjeron también sus frutos y así sucesivamente.

No creo que se deba depender solamente de los resultados nacionales -sería una grave ceguera- y no defiendo la idea de que lo que se produce teniendo en mente la escuela regular no nos sirva para nada. Lo que quiero reforzar al hacer visible el contexto de la investigación es que la educación matemática de jóvenes y adultos está a la espera de adquirir cuerpo propio, constituyendo un campo de preocupaciones y de problemas específicos. A título de ejemplo, compárese el volumen de producción sobre la enseñanza de la matemática con aquella que versa sobre la enseñanza de la lengua escrita. Las separan décadas de elaboraciones y propuestas que tienen en sus orígenes las más diversas influencias, corrientes de pensamiento y referencias teóri- cas.

Mi experiencia en la formación de profesores se ha limitado a aquellos que trabajan con los grados iniciales. Y aquí es forzoso reconocer que la deficiencia es básica: se trata, antes que nada, de elevar el grado de conocimientos básicos de matemática de los profesores. Lejos de mí la idea de culpar a esa categoría profesional por las diferencias de la enseñanza de la matemática, pero es preciso asumir el hecho de que los profesores vienen enfrentando -en el marco general de miseria y desagregación de la escuela- una creciente pérdida de los conocimientos y saberes que hacen de ellos profesionales. Es preciso encarar este aspecto y los desafíos son enormes.

Es imprescindible sacar del limbo a la educación matemática de los adultos y eso implica osar, proponer referencias, elaborar materiales. Hay necesidad de trabajar para constituir un campo propio de preocupaciones en la educación matemática de jóvenes y adultos, un campo no cerrado, abierto a influencias, resultados, investigaciones e ideas, pero que tenga un foco de atención: el joven y el adulto en situación de aprendizaje de los contenidos matemáticos, cqn sus características, problemas y pe- culiaridades. Esa necesidad repercute en diversos campos: en la investigación, en el desarrollo de metodologías, en los abordajes o procedimientos de enseñanza, en la elaboración de materiales didácticos u otros medios de enseñanza, etc.

La constitución de un cuerpo propio de la educación matemática de jóvenes y adultos pasa por dos cuestiones que considero cruciales.

31

No BASTA SABER LO QUE LOS ADULTOS SABEN

¿Quién no ha escuchado decir ya “mis alumnos adultos son analfabetos, pero jamás se equivocan con las cuentas”? El “conocimiento matemático previo”, es decir, desarrollado fuera de la escuela, es un aspecto crucial de la educación matemática destinada a jóvenes y adultos y da origen a lugares comunes como el citado. Pero como todo lugar común, este corre el riesgo de hacerse indiferenciado, poco nítido, per- diendo los contornos para terminar metiendo gatos y zapatos en el mismo saco.

No basta saber que los adultos saben “hacer cuentas mentalmente” o “calcular el número de ladrillos necesarios para hacer un muro” u otra habilidad de este tipo. No basta “respetar” ese conocimiento, si por “respetar” se entiende simplemente una “reverencia distante”. Es bueno que la gente se encante con lo que la vida puede enseñar a las personas sin la intervención de la escuela. Nos ayuda a ser más humil- des y tal vez más acotados, relativizando a la escuela como “única agencia docente en la sociedad moderna”. Lejos de desvalorizar la escuela, ese reconocimiento nos obliga a percibirla en sus relaciones con otras prácticas culturales que también inci- den en el aprendizaje, incluido el de la matemática.

Tampoco basta refugiarse en discursos apaciguadores y seudopolitizadores que pretenden involucrar la matemática directamente al servicio del “conocimiento de la realidad”, en el sentido de saber contar los hoyos de la calle, manipular los valores de los salarios y los descuentos, así como otros cálculos similares.

Las experiencias de educación popular nos ofrecieron algunas referencias fundamentales, entre ellas una lectura de la noción y del lugar del sujeto que aprende en el proceso de educación, pero es preciso ir más allá, articulando creativamente esas referencias con otras que den cuenta de la complejidad del aprendizaje y de los conceptos matemáticos.

El simple reconocimiento de que los sujetos no escolarizados o poco escolarizados son capaces de tener un conocimiento matemático es insuficiente. Durante este seminario, ustedes se encontraron juntos con los expositores, en el problema del conocimiento matemático de los adultos y su relación con la escuela; por consiguiente, no me voy a extender sobre este punto. Sólo recordaré -simplificadamente- que el conocimiento matemático que se adquiere fuera de la escuela tiene algunas caracte- rísticas relevantes.

En general, ese conocimiento se desarrolla en situaciones de trabajo o familiares, pero se trata de situaciones peculiares y tienden a producir un conocimiento (procedimientos, técnicas, etc.) contextualizado, careciendo de los atributos de universalidad y amplia aplicabilidad que posee el conocimiento escolar. Eso no lo descalifica como conocimiento legítimo, pero condiciona sus límites.

Por consiguiente, el principal desafío que se le plantea al educador es descubrir las características de ese conocimiento que el alumno trae consigo, las nociones que le sirven de base, los conceptos, los procedimientos utilizados. Mas aún, para no permanecer solamente en el encantamiento, es necesario saber cómo proponer situaciones de aprendizaje que permitan que el alumno exprese los conocimientos mate-

32 CONOCIME.WJ MATEMATKO EN M EDUCACIÓN DE JÓVENES Y AD”LTOS

máticos previos; faciliten el ejercitamiento de esos conocimientos por parte de los alumnos, explicitando en ese proceso su estructura básica y lógica subyacente y planteen formas de negociación entre los conceptos, procedimientos, etc., que el alumno trae y aquellos que proponen el conocimiento escolar.

Dicho en palabras de Dione Carvalho: “Los conceptos y procedimientos matemá- ticos que los individuos utilizan en la vida cotidiana están limitados a las circunstancias prácticas; por lo tanto, propician la construcción de instrumentos de media- ción contextualizados en la situación, pero no se transforman en amplificadores culturales. En estas situaciones, las personas no necesitan incluir la descripción de esos procedimientos en el diálogo comunicativo. Cuando el profesor solicita al alumno que los describa, éste último tendrá que tomar conciencia de las propiedades implí- citas de los instrumentos matemáticos que utiliza como mediadores, descontextualizándolos más de la situación que lo generó.

La elaboración de la descripción del procedimiento matemático presupone la construcción de un lenguaje que, poco a poco, a partir de la interacción con los diferentes interlocutores, se va aproximando al lenguaje matemático convencional. Esta transformación del lenguaje exteriorizado produce un cambio cualitativo en los instrumentos matemáticos que el individuo ha interiorizado, pues se hacen menos dependientes de las circunstancias concretas en que fueron generados.

Un momento de esa misma actividad es el registro gráfico que, ademas de ser el producto exteriorizado de las acciones mentales, las hace independientes de 10s gestos y expresiones faciales que acompañan la comunicación oral y (...) se con- vierte en lenguaje universal (Carvalho, 1995, p, 49).

¿QuIÉN ESELADULTODELQUEHABLAMOS?

Las más de las veces, el alumno real que frecuenta nuestra escuela no es aquél que puebla el discurso de la educación de adultos. Adquiriendo un “modo de pensar propio” (Haddad, 1987) en la década de los anos sesenta, la educación de adultos fijó una imagen de su sujeto (adulto, padre de familia, trabajador) que las violentas transformaciones sociales y económicas de la sociedad brasileña se vienen encargando de desvirtuar. Entren en cualquier aula de clases de un área urbana del Brasil (recuerdo que más del 70% de la población vive en las ciudades). Lo que encuentran tiene poco que ver con esa imagen tradicional. Los adolescentes y jóvenes van constituyendo la mayoría (especialmente en los grados correspondientes alo que se denomina Suplência II o cualquier otro nombre que tenga el nivel correspondiente a los grados 5” a So).

Si algún día cultivamos la ilusión de que la educación de adultos estaba dirigida al segmento envejecido de la población (como lo quiere el discurso que propugna la solución “natural” del analfabetismo adulto, es decir, mediante la desaparición progresiva de los no escolarizados), basta con hacer esa observación para volver a la realidad. Quienes ocupan hoy las salas de clase de la educación de jóvenes y adultos son adolescentes y jóvenes que tuvieron algún acceso a la escuela, fueron excluídos

_l___l-- -

de ella, pero no definitivamente. No salieron de la escuela por haber recibido un certificado ni por abandono definitivo: están en ella intermitentemente, entrando, saliendo, regresando.

Y la educación de esos alumnos nos plantea aún más desafíos, entre los cuales me gustaría recordar uno: ¿qué conocimientos matemáticos traen consigo a la escuela? Sospecho que debe ser un verdadero mosaico. Los procedimientos típicos de la mate- mática de la vida cotidiana se combinan -la mayoría de las veces de manera mecáni- ca y sin sentido- con diversos matices, con procedimientos adquiridos en la escuela.

EPíLoGo

Las cuatro preguntas que planteamos nos indican que necesitamos ajustar nuestras brújulas y repensar nuestro papel. La educación de jóvenes y adultos se sitúa cada vez más como una modalidad de la educación básica para todos los ciudadanos. Eso no quiere decir, sin embargo, que ella deba ser copia de la educación infantil. Su especificidad se funda justamente en la lectura que hacemos del sujeto de esa educa- ción, en la necesidad de reconocer, acoger y transformar -desde el seno del propio conocimiento- el bagaje que él trae de su vida. Se funda, pero no se acaba ahí. Si el conocimiento previo es un punto de partida, no se puede ignorar las demandas que la sociedad impone a ese sujeto. En este sentido, se ha vuelto un lugar común afirmar que la sociedad moderna tiene exigencias educacionales cada vez más complejas, pues es impositivamente letrada. Los medios de comunicación y el funcionamiento de la vida urbana imponen algún grado de alfabetización, incluso para quienes nunca fueron a la escuela.

Incluso dejando de lado cualquier adhesión ingenua a los beneficios futuros del neoliberalismo triunfante, en el proceso de globalización en el que nuestro país se inserta de modo subalterno y lento -pero por lo visto inexorable- las exigencias ya no apuntan hacia trabajadores formados en técnicas específicas e inmutables en el espacio de su vida productiva, sino hacia trabajadores con un dominio básico de 10s instrumentos de conocimiento científico-escolar que les permitan un elevado grado de flexibilidad y adaptabilidad. La educación matemática tiene que ayudar a responder a ese desafío.

REFERENCIAS srBLIocRÁncAs

ABREU, G. M. C. P., 0 uso da matemática na agricultura: o caso dos produtores de cana de acúcar. Dissertacão de Mestrado em Psicologia. Recife, Universidade Federal de Pemambuco, 1988.

ACIOLY, N. M., A lógica matemática no jogo do bicho: compreensão ou utiliza@0 de regras? Dissertacão de Mestrado em Psicologia. Recife, Universidade Fede- ral de Pemambuco, 1985.

AVELAR, R. F., A. M. M. B. CAMPELO, Alfabetiza@0 de adultos: um estudo de caso sobre o processo ensino-aprendizagem, Rio de Janeiro, Fundacáo Educar (DIRET-DEESE-DIAPE), 1987.

CARRAHER, T. N., Adult mathematical skills: the contribution of schooling. Paper apresentado à American Educational Research Association, New Orleans (USA), 1988.

CARRAHER, T. N., CARRAHER, D. W., SCHLIEMANN, A. D., “Written and oral mathematics”, Joumal for Research in Mathematics Education, No 8, 1987, pp. 83-97.

CARVALHO, D. L., A interacão entre o conhecimento matemático da prática e o escolar. Tese de Doutorado. Campinas, Universidade Estadual de Campinas- Faculdade de Educaqáo, 1995.

DUARTE, N., A relacáo entre o lógico e o histórico no ensino da matemática elementar. Dissertaqão de Mestrado. Sao Carlos, Universidade Federal de Sao Carlos, 1987.

H~UIDAD, S., M. C. SIQ~~EIRA Y M. V. FREITAS, Ensino supletivo no Brasil: o estado da arte, Brasília, INEP-REDUC, 1987.

HADDAD, S., “Tendencias atuais na educa@0 de jovens e adultos”, Aberto (Brasília), Vol. ll, N” 56, out.-dez. 1992.

LIMA, N. C., Aritmética na feira: o saberpopular e o saber da escola. Dissertaqáo de Mestrado em Psicologia. Recife, Universidade Federal de Pemambuco, 1985.

MAGALHAES, V. l? Y A. D. SCHLIEMANN, Social interaction and problem solving in an inflationary society. Paper apresentado à 10th Biennal Meetings of ISSBD. Jyvaskyla (Finland), 1989.

PAIVA, VI’., “Anos 90: as novas tarefas da educacao de adultos na América Latina”, in Encentro Latino-americano sobre Educa@0 de Jovens e Adultos, Anais, Brasília, INEP, 1994.

RIBEIRO, V. M. M., NAKANO, 0. JOIA Y S. HADDAD, Metodologia da Alfabetizacao: pesquisas em educacão de jovens e adultos, Campinas, PapiruslSáo Paulo, Centro Ecumênico de Documentacáo e Inforrnacáo, 1992.

SCHLEMANN, A. D. Y N. M. ACIOLY, “Mathematical knowledge developed at work: The contribution of practice versus the contribution of schooling”, Cognition and Znstruction, (Hillsdale-USA), Vol. 6, No 3, 1989, pp. 185-221.

SCXLIEMANX, A. D. Y T. N. CARRAHER, Everyday experience as a source of mathematical leaming: knowledge complexity and transfer. Paper apresentado no Annual Meeting of the American Education Research Association, 1988.

SOUZA, A. M. C., Educa&?0 matemática na alfabetizacao de adultos e adolescentes segundo a proposta pedagógica de Paulo Freire. Disserta@o de Mestrado. Vitória, Universidade Federal do Espírito Santo, 1988.

Un nuevo enfoque sobre el conocimiento matemático del profesor

Nilza Eingenheer Bertoni’

Una concepción bastante fuerte actualmente en el área de la educación matemática, en particular de los jóvenes y adultos, es la de trabajar con el conocimiento previo de los estudiantes, es decir, el conocimiento adquirido en la vida cotidiana. Dicho de manera más amplia -y desde una perspectiva etnomatemática- con la matemática que forma parte de la cultura del contexto de los estudiantes.

Es evidente que existe una gran distancia entre ese enfoque y la matemática oí?- cial -formal, académica, eurocéntrica, dominada por la precisión absoluta, intoca- ble, sin ninguna relación con el contexto-, que es la matemática aprendida y utilizada por el profesor durante largos años y que constituye, incluso inconscientemente, su parámetro de referencia como objetivo de llegada en los procesos de enseñanza- aprendizaje de la matemática.

Muchas propuestas vinculadas a la etnomatemática están asociadas a experiencias extraescolares que tuvieron una duración limitada en el tiempo, insuficiente para producir desarrollos y que se pudiera reconocer cuál es-el tipo de matemática que aparecería, en qué medida ella se distanciaría o se diferenciaría de la matemática oficial. Sin embargo, en muchas escuelas donde se considera el conocimiento previo del estudiante -principalmente en lo que se refiere a la numeración inicial- se nota cierta tendencia a saltar, de algún modo y en algún momento, la distancia mencionada, de modo que se llegue a satisfacer los parámetros de la matemática tradicional.

Miembrodel Comité Asesor de Pro Matemáticas del MEC, en Brasil.

36 CONOCIMIENID MATEhí4nco EN IA EDuc4cl6N DE KWENES Y m”LTo.5

Esta cuestión requiere ciertamente la atención de quienes se empeñan en lograr mejores resultados en la educación en matemática de los niños, los jóvenes y los adultos.

Gelsa Knijnik, Luciano Meira y Marcelo Borba contribuyen en la comprensión de esta cuestión cuando abordan la relación de la etnomatemática con la matemática oficial o con la matemática desarrollada en las escuelas.

Marcelo Borba se refiere, por una parte, a una matemática etnocéntrica, más asociada con trabajos fuera del sistema formal, que incentiva la diversidad cultural y, por el otro, una matemática multicultural. Una salida para esta disyuntiva - planteada por la propuesta multicultural y la etnocéntrica- podría ser, según él, “el establecimiento de una relación entre cultura y aprendizaje que tuviese en considera- ción no sólo los condicionantes ecoculturales del medio, sino también cómo ese individuo se relaciona con el medio, organizando y siendo organizado”. Según este autor, la participación de los estudiantes en la elección de los tópicos “puede ser el paso que permitirá un enfoque más flexible entre cultura y aprendizaje, en la medida en que sus intereses estarfan presentes en el currículo”.

Luciano Meira se refiere a las dificultades inherentes a la transposición de las prácticas a los diferentes contextos y defiende que las prácticas y los problemas fuer- temente asociados al contexto académico escolar también sean potencialmente ricos para la construcción de significados.

Gelsa Knijnik menciona las teorías legitimista y relativista de las culturas, que conllevan posiciones legitimistas y relativistas en educación. Concluye reclamando un saber sintético construido a partir del saber popular, pero que lo trasciende y de un aprendizaje de la matemática académica hecho posible a partir de la interpretación y la codificación de la matemática popular. Por otra parte, Knijnik considera que la apropiación de la matemática de los libros podría viabilizar una comprensión más amplia de las prácticas matemáticas populares.

En esta ponencia adopto como punto de partida la consideración de esa matemá- tica erudita, oficial, legitimada como un saber culto o científico y trato de explicar cómo se llegó a ella, es decir, a un producto de esas características.

También procuraré contraponer a esta perspectiva otras formas de presentación de la matemática, construidas a la luz de un amplio contexto histórico, sociológico y filosófico, insertando el problema en la cuestión de la etnocultura, la multicultura y la cultura política y justificar por qué considero que la construcción de esa nueva forma puede contribuir a la solución de la cuestión inicialmente planteada.

RAícES HISTÓRICAS DE LA FORMACIÓN ACTUAL DE LA MATEMÁTICA

Mencionaremos dos enfoques históricos: el primero, que influye directamente sobre ese modo de presentar la matemática académica e, indirectamente, sobre la matemá- tica de los libros y currículos escolares; el segundo, más directamente ligado a este último hecho.

El primero fue el formalismo, una de las corrientes de la filosofía de la matemá- tica que gana terreno tras la crisis de fundamentos de la matemática, en la transición del siglo XIX al siglo XX. David Hilbert deseaba mostrar que los procesos usuales de demostración eran suficientes para, a partir de ciertos axiomas, construir toda la matemática y que ese proceso no daría lugar a paradojas. Su programa involucraba la formalización de toda la matemática y la constatación de que no habrían inconsistencias formales. Este programa ganó impulso durante la década de los anos veinte del siglo XX.

El programa de Hilbert, si bien impulsó significativamente la matemática actual, se reveló irrealizable gracias al trabajo de Kurt Gödel (1931), que evidenció que todos los esfuerzos destinados a demostrar la consistencia de la aritmética estaban condenados al fracaso.

Browder describe el formalismo como una corriente que considera que la mate- mática es independiente de objetos o hechos matemáticos. La matemática sólo está constituida por axiomas, definiciones y teoremas. Existen reglas mediante las cuales se deduce una fórmula a partir de otra, pero las fórmulas no se refieren a cosa alguna, sólo son combinaciones de símbolos. Una teoría matemática podría estar dotada de un conjunto de axiomas suficientes para conducir a la totalidad infinita de las proposiciones verdaderas. A pesar de los resultados del trabajo de Gödel, Browder señala que “el formalismo se convirtió en la doctrina ortodoxa y logró efectos nunca soña- dos”.

En la forma en que se vulgarizó, el formalismo considera que la matemática consiste simplemente en la manipulación formal de símbolos no interpretados o en un raciocinio formal deductivo a partir de cualquier presupuesto, forma que según Browder, el mismo Hilbert había considerado aterradora.

Las características de esa forma de formalismo serían: - La negación de la existencia de cualquier contenido objetivo en cualquier área de

la matemática; - La negación del significado y el contenido de los campos de la matemática condi-

cionados históricamente; - La negación de la intuición y de los principales problemas.

En la década de los anos setenta, la influencia del formalismo decayó entre los investigadores en matemática, pero amplió su influencia en los nuevos currículos de las escuelas primarias y secundarias gracias al Movimiento de la Matemática Mo- derna en la Educación.

Una herencia de esa época es la definición de función que todavía persiste en muchos libros didácticos, desvinculada de su significado físico, concreto y asociada a una aparato formal: producto cartesiano-relación-caso especial, o a diagramas formales que encubren el significado.

Según Browder, el efecto más destructivo del formalismo en el ámbito de la edu- cación científica y matemática consiste en la tendencia a considerar la educación del

38 CONOCIMI~ nUTEM.&,CO EN IA EDUCXCl6N DE J6VENES Y I(D”LTOS

estudiante en un área determinada como un proceso de adoctrinamiento en dicha área, excluyendo cualquier apertura a otros tipos de experiencias y perspectivas.

A pesar del rigor impuesto por los formalistas a la matemática, que sirve de garantía para las demostraciones efectuadas, la aridez resultante fue el contrapeso indeseable. Los modelos formales que predominan en la matemática académica disponible no revelan el origen de ese conocimiento, no dicen cuál fue la necesidad, la motivación o la intuición inicial. Se trata de modelos que toman como punto de partida definiciones que son, en realidad, el punto de llegada de un largo proceso de conocimiento. Esos modelos no revelan para qué, ni cómo fue hecha la matemática.

Un segundo hecho histórico que deseo mencionar es la influencia de la era industrial sobre la matemática y los procedimientos escolares. Son característicos de esta época el reduccionismo, el mecanicismo y el análisis. Para ser entendida, cualquier cosa debe ser simplificada y reducida a sus partes componentes; el principio mecáni- co de causa y efecto domina cualquier conocimiento; la partición y el análisis son prioritarios y perjudican la visión del conjunto. Esas características, que dominan el sistema de producción norteamericano, se extienden a todos los sectores de la sociedad e influyen sobre los currículos y los procedimientos escolares. Ellas conducen a una concepción lineal del currículo, jerarquizado, dividido en áreas, temas, tópicos e ítemes con una línea de producción que se debe seguir porque se juzga que deberá llevar, tras algunos anos, al aprendizaje de la matemática.

La reducción a las partes, el mecanicismo de las reglas (haga así y obtendrá el producto) y la pérdida de la visión del conjunto llevaron a esa enseñanza mecánica basada en reglas y en la fragmentación que tenemos hoy en día.

La toma de conciencia de esas dos camisas de fuerza de la matemática escolar actual ya nos ha dado pistas para superar dichos problemas. Si retomarnos el largo proceso histórico de creación de la matemática, sin quedarnos en el momento del formalismo, comprenderemos las múltiples motivaciones, necesidades y métodos que sustentaron esa creación que, en realidad, fue rica y diversificada, tanto en términos de contenido como de forma. Variaron los sistemas numéricos, los modos de operar, el lenguaje y los símbolos utilizados.

Las formas únicas que utilizamos hoy sólo son depuraciones de esa diversidad, muchas veces en función de una rapidez y concisión de registros que acaban oscure- ciendo la interpretación y las intenciones de esos registros. Por otra parte, vivimos hoy en la era de la informática, que demanda procesos bastante diferentes de la rutina mecánica característica de la producción industrial. Para manipular, interpretar y comunicar datos necesitamos formas de pensamiento más avanzadas, ideas, capacidad de saber aprender. El conocimiento que se requiere actualmente ya no es de carácter lineal. Se trata de un conocimiento en red, en el que las interconexiones y las interdependencias deben estar presentes en todo momento.

Asimismo, los problemas que surgen en la sociedad actual presentan datos en exceso o incluso contradictorios que exigen un análisis global, atribución de valores

UN NUEVO ENFOQUE SOBRE EL CON oclmImT0 MATEMÁTICO Da PR”m.sOR 39

y toma de decisiones. El proceso escapa a un tratamiento algorítmico predetermina- do, de respuesta única; exige una autoregulación interna por parte del propio individuo. LOS procesos y los instrumentos de la matemática tradicional contribuyen a solucionar sólo algunos segmentos del problema total.

NO existe la posibilidad de huir a la pluralidad social de la actualidad y a las reflexiones filosóficas sobre el hombre y la sociedad. Volvamos entonces al problema de la matemática y de su enseñanza inmersos en la cuestión de las etnoculturas y las minorías culturales, de las multiculturas, de la intercultura y de la cultura política.

El sociólogo Michel Maffesoli destaca dos tendencias en las sociedades actuales: por una parte, el aislamiento de las características de las etnias o grupos sociales que tratan y deben sobrevivir conservando características propias; por el otro, la tendencia hacia la globalización, ya sea económica o en las relaciones de producción o de comunicación, generando semejanzas en los hábitos, costumbres, apariencias, comportamientos. Esas dos tendencias generan todo un pensamiento filosófico y socioló- gico sobre las tendencias universalistas y las tendencias particularistas, ambas con defectos y virtudes.

Las tendencias universalistas se refieren a la globalización económica, tecnológi- ca, de la comunicación, de los derechos humanos, de la conciencia ecológica. Las tendencias particularistas conducen a la identidad de las minorías que procuran libe- rarse de los dominadores y tienen también consecuencias irracionales: valoran exageradamente las culturas, tienen implicaciones normativas particularistas, es decir, derechos específicos, renacimiento de los nacionalismos, fundamentalismos, etc.

Se trata de tendencias que producen tensiones en el mundo actual y que deben ser armonizadas, equilibradas. Hay teorías, entre las cuales la de k-gen Haber-mas, que consideran que la globalización deberá incluir lo que es bueno para una sociedad justa, para el hombre singular/universal y debe absorber la variedad de los subgrupos, sin el particularismo de los derechos. Coexistencia y compatibilidad se convierten en palabras claves. Dentro del multiculturalismo es preciso que se tenga una cultura política común, que incluya los fundamentos institucionales de una sociedad justa, encontrada en la presuposición de prácticas. incluso en las culturas minoritarias y en la interculturalidad, como por ejemplo, la dignidad humana, la adhesión a los principios jurídicos consagrados, etc.

Es en esa perspectiva que veo la matemática y su enseñanza. Es decir, una perspectiva en la que, al explicitar su creación histórica y diversificada, las múltiples soluciones encontradas, la red de interconexiones entre sus conceptos, ella se convierta en parte de esa cultura común, significativa para el hombre universal. Se trata de descubrir ese enorme acervo creado por la humanidad, donde puedan coexistir prácticas especiales, encontrando afinidades, analogías y trascendencias.

Las investigaciones han mostrado que los niños y los adultos piensan con lógica y sentido común. La matemática desarrollada en la escuela, sin embargo, no posibi- lita estrategias espontáneas, multiplicidad de caminos, pensamiento lógico. La ma-

40 cONOClMlEWO MATEMhCO EN LA EDOCACrdnr DE JÓVENES Y ADULTOS

temática académica, por su parte, es unívoca; tiene en cuenta la lógica, pero la con- vierte en hermética, oculta sus orígenes y finalidades.

Si el profesor no está en condiciones de interpretar el conocimiento matemático de los alumnos -oriundo de las interacciones sociales- o la matemática presente en ciertas culturas específicas, así como de interpretar también la matemática como ciencia acumulada, superando la disonancia entre los dos aspectos, no estará en condiciones de conducir un proceso adecuado de enseñanza/aprendizaje desvinculado de prejuicios, estereotipos, ocultamientos y evitamientos.

Adquirir un conocimiento significativo de matemática según la forma tradicional-oficial en que actualmente se enseña, exige mucho esfuerzo. Alumnos y profesores generalmente se plantean mil interrogantes. Tienen curiosidad para explicar los mecanismos: - ¿Por qué menos por menos da más?

Tienen curiosidades creativas: - ¿Por qué, en una operación de división, no se divide unidad por unidad, decena

por decena, etc.? Tienen curiosidad por atribuir significado, aunque sea al precio de grandes confusiones:

- ¿Por qué, en las operaciones de multiplicación largas, sumo “decenas con unidades, centenas con decenas”, etc.? Tienen grandes confusiones epistemológicas:

- ¿Por qué x siendo el cociente de números, es un irracional? Tienen dificultades para armonizar conceptos:

- La fracción como parte de un entero y la fracción como cociente de dos enteros. En síntesis, se requiere un nuevo enfoque en relación con el conocimiento mate-

mático del profesor. Este deberá permitirle tener una visión de la matemática en 10s términos siguientes: - como sumatoria histórico-cultural, como ciencia creada y recreada muchas veces

a través de múltiples formas que expresan un mismo pensamiento, tanto por los pueblos occidentales como orientales;

- como una ciencia que aborda temas básicos e intuitivos de la experiencia y la práctica humanas, por medio de formas en constante elaboración, por medio, de instrumentos conceptuales y técnicos cada vez más ingeniosos;

- como una ciencia que puede ser un gran auxiliar en la sociedad actual, caracterizada por ser la era de la informática;

- que explique el carácter de red del conocimiento matemático: - que muestre diversos enfoques y representaciones de un mismo concepto y expbcite

claramente las conexiones lógicas entre ellos; - que enfatice las características del pensamiento avanzado, que hace posible res-

puestas a los problemas actuales. Es esa matemática la que puede crear una base de entendimiento común, que es

UN NUEVO EsmQm SOBRE LL CON-T0 MATEMÁTICO DEL PROFESOR 41

un imperativo de la escuela en sociedades multiculturales. Apoyándose en el desarrollo de formas básicas y no triviales del pensamiento humano en estrategias mentales y registros espontáneos, favoreciendo así el transito del individuo en su propia cognición y la expresión de formas culturales. Lo anterior se daría tanto en contextos culturales específicos como generales y recuperando la interacción de la matemática con todo el pensamiento y la práctica humanas.

Henri Poincaré, quien tanto destacó el papel de la lógica y la intuición en la construcción de la matemática, hace una comparación de esa ciencia con el esqueleto de ciertas esponjas: cuando la materia orgánica desaparece y sólo queda una tela frágil de silicio, poco importa la forma que ese silicio tiene, si no conocemos la esponja viva que le dio esa forma.

Por eso es necesario reconstruir en el profesor la esponja viva de la matemática de la que hablaba Poincaré, es decir, dar vida al esqueleto de las construcciones lógicas que sedimentaron. Es imprescindible recuperar la identidad, el alma y la vida de su conocimiento matemático.

BORBA, M. C., “Etnomatemática e a cultura da sala de aula”, A Educacáo Matemáti- ca en Revista, (Sociedade Brasileira de Educacao Matemática-SBEM), N” 1, segundo semestre, 1993.

BROWDER, F. E. Y S. A. MAC LANE, “A relevancia da matemática”, A Natureza da Matemática, (Associacáo de Professores de Matemática, Portugal), Série Cademos de Educacáo e Matemática, N” 1.

fiLJXIK, G., “0 saber popular e o saber acadêmico na luta pela terra”, A Educacüo Matemática em Revista, (Sociedade Brasileira de Educacao Matemática- SBEM), No 1, segundo semestre, 1993.

MEIRA, L., “0 ‘mundo real’ e o dia-a-dia no ensino de matemática”, A Educa@0 Matemática em Revista, (Sociedade Brasileira de Educacáo Matemática- SBEM), N o 1, segundo semestre, 1993.

MAFFESOLI, M., “0 fim do ideal democrático”, in Folha de Süo Paulo, 19 de marco de 1995.

POINCARÉ, H., “Intuicão e lógica em matemática”, A Natureza da Matemática, (Associacáo de Professores de Matemática, Portugal), Série Cadernos de Educacão e Matemática, N” 1.

ROMBERG, T. A., E. A. ZARINNIA Y K. F. COLLIS, “A new world assessment in mathematics”,Assessing Higher Order Thinking in Mathematics, (s. l.), Gerald Kulm, 1990.

RPIAMET, S. l? Y B. FREITAG, “Conversa con Habermas”, in Folha de Sáo Paulo, 30 de abril de 1995.

Lo popular y lo legítimo en la educación matemática de jóvenes y adultos

Gelsa Knijnik’

“Bueno, compañera, en la investigación que se hizo en los asentamientos y los campamentos en los que la gente estuvo se puede percibir las dejiciencias que existen entre nuestros compañeros. Entonces, la gente percibió que los compañeros asenta- dos tienen necesidad de la matemática. Ellos buscan la matemática como si busca- sen el remedio para una herida. Porque saben dónde es que está “ofuro da bala”, por el lado que ellos son explotados”.

Estas fueron las palabras con las que un monitor del Projeto de Alfabetizagxío de Jovens e Adultos do Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem-Terra do RS - MST- inició su conversación, tras la realización de la primera etapa de preparación del grupo de matemática. Se trata de un joven agricultor, acampado, que estuvo realizando junto con sus compañeros una recolección de los índices de analfabetismo y de las necesidades educacionales más apremiantes en los campamentos y asentamientos vinculados con el MST en el estado de Rio Grande do SU~.‘~

* Investigadora y docente en la Facultad de Educación (Programa de Post-Grado) de la Universidad Fedel ral del Rio Grande do Sul.

‘s Según datos suministrados por el Sector de Educación del MST (octubre de 1995), en la actualidad se están desarrollando proyectos de alfabetización en los 22 estados brasileños donde el MST esta organizado. Durante los últimos cuatro arios, en estos proyectos se alfabetizó a 5.000 jóvenes y adultos. El movimiento estima que hoy cuenta con aproximadamente 130 promotores en campamentos y asentamientos del MST, quienes alfabetizan aunas 2.000 personas. En general, estos promotores no tienen una escolarización superiora la del nivel primario. En lo que respecta a la educación de los niños de 10s

44

Al final de aquella tarde, los argumentos del joven agricultor me dieron a conocer el carácter crucial de la matemática en la lucha por la tierra en un país como el Brasil, con una de las mayores concentraciones de la propiedad de la tierra en el mundo, con tasas de analfabetismo rural y urbano que se acentúan justamente en las zonas de latifundio (Ferrari, 1991); en un país donde la visibilidad del MST es cada vez mayor y también por la importancia que el movimiento asigna a las cuestiones educacionales.

En esa ocasión recién iniciaba mi trabajo pedagógico con el MST, una actividad que me ha desafiado permanentemente a cuestionar las interrelaciones entre el saber popular y el saber académico en el contexto de la Educación Matemática. Este es exactamente ei tema de esta ponencia.

Una primera pregunta que hay que plantear: ¿Cuál es la relevancia de dicha temática para la Educación Matemática de Jóvenes y Adultos? iQué significado estoy dando a las expresiones “saber popular” y “saber académico” en el contexto de la Educación Matemática? ¿Qué tipo de implicaciones producen tales significados?

Comienzo la discusión puntualizando que entiendo por “matemática” un “sistema cultural permeado por relaciones de poder; una de las manifestaciones simbóli- cas de un determinado grupo social”. En esta perspectiva -alineada con el pensamiento etnomatemático- el saber académico, en particular, la matemática académica -producida por los profesionales en la academia- es una entre otras formas de pro- ducción de saber.19

Efectivamente, el amplio enfoque en que se sitúa la teorización etnomatemática permite que se consideren como formas de Etnomatemática, entre otras, la matemá- tica practicada por categorías profesionales específicas -en particular los matemáti- cos-; la matemática escolar; la matemática presente en los entretenimientos infantiles; la matemática de las diferentes naciones indígenas y la matemática practicada

campamentos y asentamientos, hay unos 35.000 niños estudiando en escuelas que ofrecen los cuatro primeros grados del nivel primario y 2O.ooO niños en edad escolar que no asisten ala escuela. principalmente en los campamentos. Se calcula que hay unos 3X00 jóvenes realizando estudios desde el 5” hasta el 8” grado en el nivel primario. Se cuenta con unos 1.500 profesores en las escuelas de los campamentos y asentamientos. De este total, unos 500 poseen titulo (Curso Magisterio de 2” nivel) y 40 tienen curso

superior. Especialmente en la región nordeste del país y en los estados de Paraná y Mato Grosso do Sul hay un gran número de profesores sin titulo cuya escolarización no supera los primeros grados del nivel primario. En la actualidad hay 102 integrantes del MST que siguen un Curso dc MugisférM, de Férius, en dos escuelas de 2” nivel vinculadas al Movimiento: una localizada en Sáo Mateus (ES) y otra en Braga (RS). El trabajo en el área de Educación Matemática desarrollado con el primer turno de esta última escuela es descrito y analizado en Knijnik (1995a, 1996). La propuesta pedagógica de la escuela de Braga fue publicada en FUNDEP (1994). El MST está realizando un censo educacional en sus campamentos y asentamientos que deberá estar concluido en enero de 1996.

” Al referirme al pensamiento etnomatemático hago mención especial de la teorización realizada por el educador Ubiratan D’Ambmsio (1990,1991,1993), quien por primera vez acuñó el término”Emomate- mática”.

por las mujeres y hombres del medio rural para satisfacer sus necesidades de supervivencia.

En esta perspectiva, la matemática tal como es entendida usualmente -es decir, producida únicamente por los matemáticos- es ella misma una de las formas de matemática. Una, pero no una cualquiera. La matemática académica, precisamente por ser producida por el grupo socialmente legitimado como el que puede, debe y es capaz de producir “ciencia”, es la que, desde el punto de vista social, vale más. Por consiguiente, no se trata de hablar ingenuamente de diferentes matemáticas, pero sí de considerar que dichas matemáticas son, en términos de poder, desigualmente diferentes. Y nosotros sabemos hasta qué punto los grupos que no tienen poder están interesados en aprender la matemática oficial, la matemática académica, porque de su aprendizaje puede depender, por ejemplo, el acceso a un empleo más calificado y mejor remunerado o la realización de sus actividades productivas en niveles más competitivos.

Por lo tanto, cuando la Etnomatemática habla de “otras” matemáticas, lo que está en juego no es que podamos sustituir la enseñanza de la matematica académica por la de otras matemáticas. Lo que se quiere resaltar es que no existe una única forma de producir matemática, incluso si se sabe que existe una que ha sido consa- grada como “ciencia”, que es la que se debe enseñar necesariamente.

Entre estas otras formas de matemática incluyo la que es practicada por los grupos que se localizan en el espacio social en una relación de desventaja en cuanto a la composición y el volumen del capital económico, social y cultural.20

De manera más específica aún, a la matemática que es producida y practicada por los trabajadores rurales del MST. A este tipo de matemática le he dado el nombre de matemática popular, sabiendo las dificultades teóricas que plantea el uso del adjetivo popular2’

Lo que desearía problematizar, a estas alturas de la ponencia, son las miradas que nosotros, educadores, hemos lanzado a las culturas de los diferentes grupos populares, como éste con el que vengo trabajando.

La primera de estas miradas es etnocéntrica. Desde el punto de vista del etnocentrismo de clase de los grupos dominantes, las culturas populares --en particular la matemática popular- son consideradas como deficitarias, atrasadas, como “no culturas”, como “no matemática”. La “operación” etnocéntrica practicada por quienes poseen el saber socialmente legitimado consiste en caracterizar como ca- rente de valor lo que no corresponda a su propia producción cultural. Es en esta perspectiva que se puede interpretar el desprecio que manifiestan los matemáticos profesionales por otros modos -que no son los suyos- de producción de significados matemáticos, a los que caracterizan como un mero “remedo” de procesos más nobles, es decir, de aquéllos que por el carácter “lógico” de los procedimientos que

2o Aquí sigo al sociólogo Pierre Bourdieu (1984) en su análisis del espacio social. ” Profundizo el análisis de estacuestión en Knijnik (1995a. 1996).

involucran y por el predominio de raciocinios “modelos” son los que tienen, para ellos, las credenciales para presentarse como “la” matemática.

Evidentemente, la Etnomatemática se opone a las teorizaciones etnocéntricas, debiendo mucho de su conformación a la perspectiva del relativismo cultural. Este, al reducir el sesgo etnocéntrico y hacer hincapié en la descripción de las culturas desde el punto de vista de su coherencia interna, establece una ruptura con aquéllas posiciones. En términos etnomatemáticos, esto significa estudiar las matemáticas de los grupos sociales subordinados destacando su coherencia interna, buscando descri- birlas no desde un punto de vista externo al contexto donde se producen, para que los valores y códigos que les dan sentido y a su vez dan sentido a dichas matemáticas, puedan ser descritos dentro de su propia lógica. Esta es una de las tareas a las que está dedicada la etnomatemática.

Sin embargo, es necesario cuestionar las teorías relativistas en lo que se refiere a la adecuación de su “aplicación” cuando el grupo estudiado pertenece a los sectores populares, ya que dichas teorías, “muy sensibles a lo específico de cada grupo, tienden a marcar la diferencia, sin explicar la desigualdad que los confronta y los vincula ’ con otros sectores” (Canclini, 1988, p.71). Todo ocurriría como si los artefactos sociales y culturales pudiesen tener una existencia independiente de la posición social del grupo que los produce.

Efectivamente, cuando se analiza esta perspectiva en el contexto de la educación matemática y se la aplica a grupos que viven en comunidades o regiones aisladas, produce análisis bastantes satisfactorios. Debido al “aislamiento” de estas culturas, al énfasis en su autonomía frente a la matemática legitimada por los grupos dominantes, es decir, la matemática académica, se apoya en el principio de que desde el punto de vista social estos grupos no están sometidos a las presiones y contradicciones provocadas por las desigualdades sociales. No obstante, el relativismo cultural exacerbado presenta limitaciones cuando se lo utiliza en el estudio de grupos socialmente subordinados, debido al énfasis en las caracterfsticas “internas” de las culturas y al “olvido” de sus conexiones con la estructura social más amplia. Estas resul- tarían evidentes, por ejemplo, si el trabajo que vengo desarrollando siguiese estrictamente este enfoque. Un relativismo exacerbado conduciría a la glorificación de la matemática popular, con el consiguiente fortalecimiento de las desigualdades sociales.

Es en la perspectiva de este análisis crítico que se puede interpretar, como intento de “superación” de la teoría del relativismo cultural, el abordaje que presenta la teoría de la legitimidad cultural. Esta, al insertar en sus análisis la relación de domi- nación y subordinación social, apunta hacia la posibilidad de interpretar las culturas populares en la perspectiva de su relación con la cultura legítima en particular la matemática “legítima”, es decir, la matemática producida en la academia.

Sin embargo, como instrumental analítico para interpretar las matemáticas PO- pulares, dicha teoría -así como la del relativismo cultural, pero de modo inverso-

Lo POPULAR Y LO LF.ornO EN LA EoUcACI6N &tKIEMÁTICA DE J6vENas Y ADULTOS 47

presenta, junto con su “fuerza” explicativa, limitaciones. Su “fuerza” reside en el hecho de que restituye el sentido de las diferencias culturales --en el caso que nos ocupa, las diferencias matemáticas-, sin hacer hincapié en una autonomía cultural, autonomía que ni siquiera los grupos dominados practican. Su principal limitación, proveniente al énfasis que otorga al aspecto relaciona1 y dcminado de la cultura popular, consiste en crear obstáculos para que dicha cultura pueda ser interpretada también como sistema de significados, es decir, en todas sus dimensiones simbólicas (Grignon y Passeron, 1992, p. 40).

Las teorías legitimistas y relativistas de la cultura corresponden, por, homología, en el ámbito de la educación a las pedagogías del mismo nombre. La pedagogía legitimista, al reconocer la jerarquía social de los saberes y las culturas y al considerar el sistema de enseñanza como un reflejo -pero también como un reproductor de esta jerarquía- se presenta, aparentemente, como la más calificada para reducir las desigualdades sociales ante la cultura legitimada. Sin embargo, dicha pedagogía al considerar los saberes, las prácticas y las culturas populares -en particular, las mate- máticas populares- como inferiores y al conducir a los grupos dominados a recono- cerlos como ilegítimos, acaba por convertirse en un enfoque que refuerza las desigualdades sociales. El enfoque de la “pedagogía crítico-social de los contenidos” converge, de cierta manera, en esta dirección al destacar como primera y última prioridad para iia educación de los grupos subordinados el dominio de los “saberes universales”, de aquellos contenidos usualmente definidos como legítimos para ser enseñados en la escuela, al mismo tiempo que no toma en cuenta la cultura local, los saberes particulares, lo que equivale a decir que éstos no son dignos de ser incorporados al proceso educativo.”

Las pedagogías relativistas, por su parte, se convierten en pedagogías menos hos- tiles a los grupos subordinados al valorizar la alteridad y la autonomía simbólica de sus culturas y prácticas. La pedagogía de Paulo Freire podría ser pensada en esta perspectiva. Hay en ella un énfasis en la valorización y la incorporación de los aspectos culturales de la vida de los educandos en el proceso pedagógico y el diálogo ocupa un lugar central en este proceso que busca crear un puente entre los saberes locales y los más distantes, los particulares y los generales.

‘2 Para los fines de mi argumentación no es relevante profundizar el debate sobre los fundamentos de la Pedagogía crítico-social dos conteúdos. Sin embargo, es conveniente destacar algunas de las posiciones de uno de sus más destacados representantes, José Carlos Libâneo, presentadas en su libro Democratizqáo da Escola Pública: a pedagogia crítico-social dos conteúdos (1985). En ella, el autor escribe que “la contribución de la escuela a la democratización plena de la sociedad está en el cumplimiento de la función que le es propia: trausmisión/asimilación activakevaluación crítica de los conocimientos (saber sistematizado)” (Ibidem, p. 142). Sin embargo. para Libâneo. este saber sistematizado no incluye el saber producido por las experiencias “ya traídas por el aíumno (experiencia frag- mentaria, sentido común) (...) que es inadecuado (anacrónico), frente a los grados más elevados de conocimientos exigidos por la sociedad” (Ibidem, p. 144).

Sin embargo, cuando valoran exageradamente los saberes populares -en el contexto de mi ponencia, la matemática popular- se transforman en “pedagogías populistas” y pueden conducir a la fetichización, la glorificación de la matemática popular, encerrando a los grupos dominados en ghettos, impidiéndoles el ejercicio de la autonomía que aparentemente les otorgan.

COMPLEXDAD DEL ESTUDIO DE GRUPOS SUBORDINADOS

LOS planteamientos presentados por esos diferentes enfoques sociológicos de la cultura, así como por las pedagogías correspondientes, muestran la complejidad del tema y las dificultades y limitaciones que tienen tanto la opción interpretativa por una de ellas, como la búsqueda de construcción de una directriz analítica y pedagó- gica que las articule, ampliando las características de autonomía y de heteronomía inherentes a cada una de ellas. Como argumenté anteriormente, esas dificultades y limitaciones se hacen especialmente difíciles cuando se trata del estudio de grupos socialmente subordinados, como el de los agricultores del Movimento dos Trahalhadores Rurais Sem-Terra con el que vengo trabajando.

No obstante, si ambas perspectivas presentan limitaciones, también es problemá- tica la tentativa teórica de establecer una articulación entre ellas que fuese “algo distinto de una oscilación o (...) sucesivas y contradictorias rectificaciones” (Ibidem, p. 83). Incluso considerando las limitaciones y dificultades teóricas y prácticas de establecer una articulación entre las perspectivas relativistas y legitimistas, la posi- ción defendida por Grignon y Passeron es que tal operación se ejecute en el estudio de los grupos populares. Argumentan sobre la necesidad de que se efectúen: “dos lecturas diferentes del mismo texto simbólico (en el sentido de que toda la realidad social o histórica puede ser descrita como sign$cante para una operación de rela- ción); dos lecturas, el análisis ideológico y el análisis cultural, que no tienen por objeto dos partes diferentes de la realidad. (Ibidem, p. 85)“.

Estas “dos lecturas” -una “ideológica” y la otra “cultural”- están asociadas, respectivamente, a las perspectivas legitimista y relativista de la que hablan estos autores: la primera de ellas está vinculada a las características que la cultura popular debe a la dominación simbólica; la segunda, a las que debe a la autonomía.

En concordancia con estos autores, he buscado establecer en mi trabajo una arti- culación entre esas dos perspectivas teóricas, siendo consciente, también, de que tal empresa analítica presupone -con todos los problemas que de ahí derivan- la posibilidad de que una educadora sea capaz de situarse en un lugar privilegiado a partir del cual sería posible “captar” todas las perspectivas.

Llegados a este punto, me gustaría destacar las razones que me llevaron a problematizar las teorizaciones que se vienen efectuando en el estudio de las culturas populares -en especial de las “matemáticas populares” y sus interrelaciones con la

Lo WPULAR Y Lo LEGÍlmlO Ev LA WUC.4CdN MATEMAncA DE J6EW Y ADULTOS 49

cultura legítima- con la matemática académica. En fin, qué tipo de ejemplos soy capaz de presentar que demuestren que esta es una temática relevante desde el punto de vista teórico, en la cual me involucré -y sigo estándolo- porque nació de la necesidad de enfrentar pedagógicamente dichos saberes en el trabajo concreto que realizo en educación matemática de jóvenes y adultos del medio rural.

Para desarrollar mis argumentos, presento por lo menos un ejemplo. No es el único, pero ciertamente se trata de uno que se presta de manera ejemplar para el debate que me interesa realizar aquí.Z3

Una de las prácticas relevantes para las mujeres y hombres del campo es lacubap?o de la tierra, es decir, el cálculo del área de una superficie de tierra. Por tratarse justamente de algo relevante, es un tema central siempre solicitado por los participantes en los proyectos de alfabetización. Aprendí con mis alumnos del MST su matemática popular para medir la superficie de la tierra. Sus métodos, cuando se los compara numéricamente con los que utiliza la matemática académica, producen resultados de una gran aproximación. Las desviaciones son menores cuanto más la forma de la tierra se aproxima a la de un cuadrado; en este caso, sus resultados coinciden con los oficiales.

Aquí se plantea la cuestión: determinado grupo social -en este caso, trabajadoras y trabajadores rurales- practica “otra” matemática que no es la producida por la academia y, por lo tanto, no está legitimada socialmente. ¿Cómo manejar, pedagógi- camente, esta diversidad cultural; en este caso, la diversidad matemática? ¿Qué tipo de consecuencias produce esto?

Presento ahora el enfoque que le di a estas interrogantes. Al narrar lo que he realizado no estoy imbuida de ninguna intención prescriptiva. Este proceso, como cualquier otro, está fundamentado y geogrticamente situado. Por lo tanto, es contin- gente.

Las prácticas de medición de la tierra ha sido objeto de una doble lectura. La primera de ellas en la perspectiva de su autonomía y coherencia interna. En este sentido, se valorizan sus conexiones con las condiciones materiales de vida de los agricultores. El proceso de investigación y análisis de los métodos populares de me- dición de la tierra se orientó teniendo como referencia la idea de que los mismos están intrínsecamente amalgamados con los propósitos, cualidades y naturaleza de aquello que está siendo medido: la tierra. Evito enfocar sus cualidades abstractas y universales, a fin de no retirarlas del mundo local donde están enraizadas. Es en esta perspectiva que la dimensión de autonomía de la cultura popular -vinculada con el pensamiento relativista- se destaca en el trabajo que desarrollo.

La segunda lectura que realizo de los métodos populares de medición de la tierra está orientada en la perspectiva de su heteronomía, de las desventajas económicas y

23 Se presentan otros ejemplos en Knijnik (1993, 1994, 1995a, 1996) y Soto (1994)

50 cONOClMlEA’TO M.4TEMhCO EN I.4 EDUCACl6N DE J6VENE.T Y ADULTOS

sociales que producen cuando se las compara con los métodos oficiales de medición de la tierra; por consiguiente, lo que estos diversos saberes (re)producen en términos de poder.

En síntesis, la perspectiva que he desarrollado se puede caracterizar por lo que he denominado un “enfoque etnomatemático”. Este consiste en : “la investigación de las tradiciones, prácticas y concepciones matemáticas de un grupo social subordi- nado (en cuanto al volumen y composición del capital social, cultural y económico) y el trabajo pedagógico que se desarrolla con el objetivo de que el grupo interprete y descodtjique sus conocimientos; adquiera el conocimiento producido por la mate- mática académica, establezca comparaciones entre su conocimiento y el conocimiento académico, analizando las relaciones de poder involucradas en el uso de estos dos saberes (Knijnik, 1996).

Efectivamente, el trabajo pedagógico que he realizado propicia el rescate y la interpretación de los métodos populares de medición de la tierra. De esta manera contribuí para que dichos saberes puedan ser aprendidos por los alumnos que todavía no los conocen o, cuando los conocen, no son conscientes de su carácter aproximado.

Así, junto con otros elementos de la cultura de los grupos subordinados, los mé- todos populares de medición de la tierra por no estar legitimados por la cultura dominante y, por consiguiente, no estar incluidos entre los contenidos que usualmente se transmiten en la escuela, frente a la precariedad de la tradición oral tienden a des- aparecer, ya que: “como bien se sabe, la muerte que apaga una vida, apaga también el conocimiento; y como bien se sabe también, el conocimiento que se apaga sin haber sido escrito es irrecuperable (Iturra, 1990, p. 67).”

Los testimonios de mis alumnos han mostrado que las prácticas de medición de la tierra -importantes en sus actividades productivas- están siendo “apagadas”. Es en este sentido que interpreto la valoración dada por los grupos con quien vengo trabajando -y por mí también- a la recuperación de algunas de sus tradiciones. La pregunta que es necesario plantear aquí es ¿para qué efectuar dicha recuperación? Es decir, La qué intereses sirve ella?

No se trata, obviamente, de glorificar el saber popuiar para así encerrar a los grupos subordinados en ghettos, reforzando mediante esta operación etnocéntrica las desigualdades sociales. Tampoco es la adhesión a lo que Silva (1995, p. 197) deno- minó “un viejo lugar común pedagógico: ‘partir de la cultura dominada”‘. Como bien argumenta el autor, este lugar común implica la “valorización” de los saberes populares justamente porque son “desvalorizados”, esto es, valen menos y, por consiguiente, deben ser superados. Es bajo este enfoque que se puede criticar algunos estudios etnomatemáticos. No fueron estas las motivaciones que me condujeron a orientar el trabajo pedagógico, en el sentido de que los alumnos pudiesen interpretar y descodificar la matemática popular de su grupo. Esta fue considerada “como una manifestación y expresión de formas de organización de la vida social que existen, al lado de otras, igualmente válidas” (Ibidem, p. 197). Y aquí necesito decir que son

igualmente válidas desde el punto de vista antropológico. Ciertamente, de valor des- igual cuando se las examina sociológicamente. Por consiguiente: “no se trata de “partir de la cultura dominada”, sino de interrogarla, cuestionarla, historiarla, de la misma manera en que se debe hacer con la cultura dominante. (Ibidem, p. 197)“.

En este sentido, el estudio realizado por Julia Varela (1994) al examinar un conjunto de cambios ocurridos a partir del Renacimiento en relación con los saberes pedagógicos -un proceso que la educadora denomina “pedagogización” de los conocimientos- puede brindar una ayuda en este debate. Según la autora, dicho proceso fue gestado y perfeccionado en gran medida por las instituciones jesuíticas de entonces “mediante transformaciones y reinterpretaciones que se extendieron a otras instituciones educacionales de su época y posteriores” (Ibidem, p. 89). Lo que los profesores jesuitas poseían eran: “saberes desvinculados de las urgencias materiales, de los problemas sociales, saberes que pretendían ser neutros e imparciales. De esa manera, los saberes vinculados al mundo del trabajo, a las luchas sociales, a las culturas de determinados grupos o clases sociales comenzaron a quedar marcados por el estigma del error y la ignorancia, y se vieron desterrados del recinto sagrado de la cultura culta, una cultura que, con el transcurso del tiempo, se convirtió en la cultura dominante y reclamó para síel monopolio de la verdad y la neutralidad (Ibidem, p. 89)“.

Esta evolución del proceso de “pedagogización” de los conocimientos permite que los saberes cultos se examinen en su proceso de constitución como saberes legí- timos que se convierten en saberes dominantes no por ser “en sí mismos” superiores, versiones más “refinadas” o “científicas” de la realidad. Lo que Varela afirma es que esto sucedió porque, a través de ese proceso histórico, los saberes producidos en estrecha conexión con el mundo práctico -pudiéndose entender aquí como los méto- dos populares de medición de la tierra- fueron siendo desacreditados gradualmente, a partir de entonces, por los educadores jesuitas, gracias a la prevalencia de sus saberes, “siempre en consonancia con la recta doctrina de la Iglesia y la tradición católica” (Ibidem, p. 89).

Al historiar los saberes hoy dominantes y dominados, Varela apunta hacia cuestiones relevantes desde el punto de vista de sus interrelaciones. Es en esta dirección que interpreto el argumento de Silva, antes referido, respecto a la necesidad de que la cultura dominante/las culturas dominantes y la cultura subordinada/las culturas subordinadas sean historiadas, interrogadas y cuestionadas. Esta es la perspectiva que, en líneas generales, busco asumir en la orientación del trabajo con el Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem-Terra.

Su desarrollo ha apuntado hacia dificultades antes no sospechadas por mí. Para nosotros, intelectuales producto y productores del pensamiento académico, es bastante complejo encarar las cuestiones planteadas por el saber popular, mirando con ojos menos sesgados otros modos de producir significados matemáticos que no son

52 cONOCI.M&WO MATEMhCO EN IA EDUCACl6N DE J6VENES YADLILTOS

10s de nuestra propia “tribu”. Y en este sesgo sitúo tanto la exacerbación de las perspectivas relativistas como de las legitimistas.24

Pero la complejidad de un enfoque como el que he utilizado abarca otras consideraciones. Por ejemplo, el hecho de que cuestione los métodos populares, al haber examinado las limitaciones de sus usos en determinados contextos por su carácter aproximado, ha conducido muchas veces a integrantes del grupo a proponer que sean radicalmente abandonados; es decir, ‘superados” por los conocimientos de la academia, incluso antes de que sean sometidos también a un análisis crítico.

Aquí hay un aspecto que me parece importante destacar: de manera análoga a la no glorificación del saber popular, he estado atenta para tampoco glorificar el saber académico como “la” única metanarrativa capaz de explicar y presentar soluciones - de preferencia una sola- para todas las situaciones-problema del mundo concreto. Al analizar los saberes producidos por la academia, en contextos específicos, se ha seña- lado sus desventajas. Ciertamente, desventajas de otro orden. Ahora no se trata de “desviaciones” en el área de la superficie de la tierra, sino del desperdicio de esfuerzos que, dependiendo de la forma y de los fines para los cuales se está midiendo la tierra, son innecesarios. Así, en determinados contextos, la matemática popular es la que se presenta con las mejores credenciales.

Es en este sentido que considero la importancia del pensamiento etnomatemático, pues problematiza la cientificidad, la aparente neutralidad de la matemática acadé- mica y pone en la escena a las “otras” matemáticas, generalmente silenciadas en la escuela, en la medida en que constituyen la producción cultural de grupos no hegemónicos.

Hechas todas estas consideraciones, interrumpo todo lo que aún tendría por decir sobre la matemática popular y la matemática académica en los procesos de alfabeti- zación de jóvenes y adultos. Retorno, entonces, el argumento principal que subyace en la teorización etnomatemática: en esta perspectiva, es posible construir un proyecto pedagógico donde pasando por nuestras visiones nos insertamos en procesos que buscan evitar aquello que el sociólogo Boaventura dos Santos denominó “epistemicidio” -es decir, “la destrucción del conocimiento de determinado grupo social”- cuya forma más radical es el genocidio, donde no sólo se eliminan las men- tes y los corazones, sino también el cuerpo de las personas.

REFERENCIAS rin3mciRÁmAs

BOURDIEU, P., Distinction: A social critique of the judgment of taste, Cambridge, (Mass.), Harvard University Press, 1984.

CANCLINI, NÉSTOR GARCíA, “Gramsci e as culturas populares na América Latina”, en

24 En Knijnik (1995b. 1996) discuto la relación intelectuales-movimientos sociales, a partir de un análisis de mi propia inserción en el MST.

COUTWHO, CARLOS NELSON Y MARCO ALRÉLIO NOGCEIRA (Org.), Grumsci e a América Latina, Sao Paulo, Paz e Terra, 1988, pp. 61-83.

D’AMBROSIO, U., Etnomatemática, São Paulo, Atica, 1990. -. “Etnomatemática: um programa”, La Educa@0 Matemática, (Blumenau),

Vol. 1, N” 1, 1993, pp. 5-11. -. “Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics”,

en HARRIS, M. (Ed.), Schools, Muthematics and Work, Hampshire, The Falmer Press, 1991, pp. 15-25.

FERRARI, A., “Analfabetismo no Rio Grande do Sul: sua producáo e distribuicáo”, Educacão e Realidude, (Porto Alegre), Vol. 16, N” 1, jan/jun 1991, pp. 3-29.

FLJNDEP, Coragem de Educar: urna proposta de Educa@0 Popular para o meio rural, Petrópolis, Vozes, 1994.

GRIGNON, C., “A escola e as culturas populares: pedagogias legitimistas e pedagogias relativistas”, Teoria & Educacão, (Porto Alegrej, N” 5, 1992, pp. 50-54.

GRIGNON, C. Y J. C. PASSERON, Lo culto y lo popular, Madrid, La Piqueta, 1992. ITURRA, R., A Constrqão Social do Insucesso Escolar: Memoria e Aprendizagem em

Vila Ruiva, Lisboa, Esther Publ., 1990. KNIJNIK, G., Cultura, Matemática, Educa@0 na luta pela terra. Tese de Doutorado.

Porto Alegre, UFRGS, Faculdade de Educacáo, Programa de Pós-graduacao em Educacáo, 1995a.

-. Intelectuais, Movimentos Sociais e Educacáo, in VEIGA NETO, Alfredo da (erg)., Crítica Pós-estruturalista e Educacüo, Porto Alegre, Sulina, 1995b.

-. “Según para quién puede cambiar el para qué”, Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, (Barcelona), N” 1, julio de 1994.

-. An ethnomathematical approach in mathematical education: a matter of political power”, For the Leaming of Muthematics, (Vancouver), Vo1 13, N” 2, junio 1993.

-. Exclusão e Resistencia: Educa@0 Matemática e Legitimidade Cultural. Porto Alegre, Artes Médicas, 1996.

MST-SETOR DE EDUCACAO, Alfabetiza@0 de Jovens e Adultos: Educa@0 Matemáti- ca, Sáo Paulo, Secretaria Nacional MST, 1994.

SILVA, TOMAZ TADELT DA, “Os novos mapas culturais e o lugar do currículo numa paisagem pós-moderna”, en Silva, Tomaz Tadeu da y Antonio Flávio Moreira, Territórios contestados: o currículo e os novos mapas políticos e culturais, Petrópolis, Vozes. 1995.

SOTO, 1. Palestra Plenária do II CIBEM. Blumenau, 1994. Texto digitado. VARELA, J. “0 estatuto do saber pedagógico”, en Silva, Tomaz Tadeu da, 0 sujeito da

Educacão: estudos foucaultianos, Petrópolis, Vozes, 1994.

Contribuciones de la escuela de Vigotski a la enseñanza de la matemática en la educación

de jóvenes y adultos Newton Duarte’

Esta presentación tiene algunos antecedentes en lo que se refiere a la trayectoria que hasta aquí hemos recorrido en el campo de los estudios e investigaciones en educa- ción. Todavía en situación de alumno del curso de Pedagogía en la Universidad Federal de Sáo Carlos, participamos de una experiencia de enseñanza e investiga- ción en Educación de Adultos. Nuestro campo específico de investigación en ese trabajo fue el de la enseñanza de la matemática. En 1986 se publicó la primera edición del libro donde presentamos una propuesta metodológica para la enseñanza de las cuatro operaciones (Duarte, 1986). Este libro fue publicado en un momento en que no existían otras publicaciones que pudiesen servir como material para ser utilizado por profesores que trabajaban en este campo de la enseñanza.

En 1987 sustentamos nuestra tesis de maestría en educación en la Universidad Federal de Sao Carlos, con el título A relacão entre o lógico e o histórico no ensino da Matemática Elementar (Duarte, 1987), donde abordamos dicha relación como fundamento metodológico-epistemológico de la citada experiencia de enseñanza.

Todavía en 1987, ingresamos al doctorado de educación en la Universidad Esta- dual de Campinas (UNICAMP). Durante la elaboración de la tesis decidimos que era el momento de profundizar nuestros estudios en el terreno de las mediaciones teóri- cas entre el campo de los fundamentos filosóficos, históricos y sociológicos de la

* Profesor del Depaaamento de Psicologia da Educa@o da Faculdade de Ciências e Letras da LJNESP, campus de Araraquara. Miembro del cuerpo docente del Programa de Post-Gradua@0 em Educacáo del campus de Marííia da UNESP

56 ~ONOCIM/.~WO ,w,kTE.wAnco EN IA EDLIOICION DE 16VmEs Y,w”LTOS

educación y el campo de las propuestas pedagógicas específicas de la enseñanza de los contenidos escolares, con vistas a hacer avanzar la corriente denominada en el Brasil Pedagogía Histórico-Crítica (Saviani, 1995).

Poco a poco se hizo más claro para nosotros que una de esas mediaciones debería estar constituida por una teoría que tuviese como objeto el proceso de formación del individuo. Para eso desarrollamos estudios en el interior del abordaje histórico-social de la individualidad humana, desde la obra de Marx, pasando por la escuela filosófica conocida como la Escuela de Budapest (Lukács, Heller, Markus, etc.) y también por la escuela psicológica conocida como Histórico-cultural o Escuela de Vigotski,2s que cuenta, además de la obra del propio Vigotski, también con las de Leontiev, Luria, Davidov, Elkonin, Galperin, etc. En octubre de 1992 sustentamos nuestra tesis de doctorado, que se publicó en 1993 con el título A Individualidade Para-Si y con el subtítulo Contribuicão a urna teoria histórico-social a’a forma@0 do individuo (Duarte, 1993).

HIPÓTESIS

Como producto de los estudios que hemos realizado sobre la escuela de Vigotski, desde 1990 estamos dando cursos en la disciplina Psicología de la Educación en la rama de Pedagogía, en la UNBSP (Araraquara), donde abordamos las contribuciones de esa escuela de psicología a la educación. Por consiguiente, basándonos en esa trayectoria anteriormente mencionada que procuraremos hoy reflexionar sumariamente acerca de las contribuciones de la Escuela de Vigotski al campo de la enseñanza de la matemática en la educación de jóvenes y adultos.

Si vamos a tratar esa escuela de psicología apuntando hacia la cuestión de la práctica pedagógica, no podemos dejar de presentar aquí una síntesis de algunas hipótesis que han orientado nuestra lectura pedagógica de la psicología histórico- culturaLZ6

Primera hipótesis: Para comprender el pensamiento de Vigotski y su escuela es indispensable el estudio de los fundamentos jilosójicos marxistas de esa escuela psicológica.

Algunos autores brasileños y extranjeros han pasado por encima de esta cuestión de los fundamentos marxistas de la obra de Vigotski. Llegan a tratar la influencia de

25 El nombre de Vigotski se encuentra en la bibliografia existente escrito de diversas formas: Wgotski, Qgotsky, Vigotskii, Vigotskij, Vygotski,Vigotsky. Optamos por emplear VIGOTSKI, pero reservaremos, en las referencias bibliográficas. la grafía adoptada en cada una de ellas.

26 Esas hipótesis fueron analizadas más detalladamenteen Duarte (1995).

57

Hegel, Spinoza y otros autores sobre la obra de ese psicólogo ruso, pero asignan una importancia secundaria al hecho fundamental de que Vigotski procuraba, antes que nada, construir una psicología marxista. Consideramos que es imposible comprender la obra de Vigotski y su escuela sin un conocimiento mínimo de la filosofía de Marx, tanto en lo que se refiere a la cuestion de su método de conocimiento, como en lo que respecta a cuestiones estrechamente relacionadas con esa, como la concepción del hombre, la sociedad y la historia.

Segunda hipótesis: La obra de Vigotski requiere ser estudiada como parte de un todo mayot; aquél constituido por el conjunto de los trabajos elaborados por la Psicología Histórico-Cultural.

NO es raro encontrar libros de divulgación del pensamiento de Vigotski en los cuales las únicas obras citadas de ese autor y su escuela son las ediciones en portugués de Pensamento e Linguagem (Vygotsky, 1979) y Formacao Social da Mente (Vygotsky, 1984).

Se trata, en este caso, de una enorme reducción de la bibliografía consultada. En primer lugar, esas dos ediciones en portugués no son las más indicadas para conocer el pensamiento de ese autor. En al caso de Pensamento e Linguagem, se trata de una traducción de una edición en inglés, en la cual el libro de Vigotski fue reescrito y reducido a una tercera parte del texto original. En el caso de A Formacao Social da Mente, se trata también de una obra reescrita a partir de manuscritos de Vigotski y los redactores de la misma afirman: “el trabajo consistente en reunir obras originalmente separadas fue hecho con bastante libertad. El lector no debe esperar encontrar una traducción literal de Vygotsky, pero sí una traducción editada en la cual omitimos las materias aparentemente redundantes y a la cual agregamos materias que nos parecieron importantes en el sentido de hacer más claras las ideas de Vygotsky)‘.

De esta manera, el lector que sólo tomó contacto con esas obras aún no ha tenido la oportunidad de leer a Vigotski sin la intermediación de los “coautores” que procuran “limpiar” sus textos. En segundo lugar, la obra de Vigotski es mucho mayor que esas dos obras publicadas en portugués. Parte de ella fue editada en las “Obras escogidas de Vigotski”, publicada originalmente en ruso y que ya cuenta con una traduc- ción a varios idiomas. Ya circulan, incluso en el Brasil, los dos volúmenes hasta aquí editados en español de esas Obras Escogidas (Vygotsky, 1991 y 1993). El segundo volumen de esas Obras Escogidas incluye el texto íntegro de Pensamento e Linguagem, donde se pone en evidencia toda la riqueza de esa obra frente a la aligerada edición en portugués hasta ahora existente. En tercer lugar, la obra de la Psicología Históri- co-Cultural va mucho más allá de la obra de Vigotski. Consideramos incluso que la lectura de la propia obra de Vigotski tiene mucho que ganar cuando se ve mediada

por la lectura de los continuadores de esa escuela psicológica. Para sólo citar un ejemplo de un libro editado en portugués, mencionamos 0 Desenvolvimento do Psiquismo, de Alexis Leontiev (1978). En este libro existen textos como “0 Homem e a Cultura” y ‘A Demarche Histórica no Estudo do Psiquismo Humano” que presentan, al mismo tiempo, una rica síntesis de los fundamentos filosófico-antropológicos de esa corriente de la psicología y una rica caracterización de las principales líneas de desarrollo de la misma, incluyendo el campo de estudios pedagógicos. En ese libro también encontramos importantes reflexiones sobre el origen histórico de la conciencia humana -además de un texto sobre “0 Desenvolvimento do Psiquismo ZnfuntiY- donde Leontiev presenta su importante teoría sobre la actividad dominante (en algunas traducciones de ese texto ese término aparece como “actividad principal”), como aquella que regiría cada estadio del desarrollo psíquico del niño y posi- bilitaría también comprender el tránsito de un estadio a otro. Para citar dos libros publicados en español, podríamos mencionar el libro de Marta Shuare (1990), “La psicología soviética tal como yo la veo” y la antología dirigida por Davidov y Shuare (1987) titulada “La psicología Evolutiva y Pedagógica en la URSS”. Esos son algunos ejemplos de hasta qué punto esta corriente de la psicología todavía está por ser estudiada de manera más profunda y difundida entre los educadores brasileños. Que- remos dejar bien en claro que no concordamos en absoluto con cualquier intento de aislar la obra de Vigotski del resto de la producción de su escuela. Eso traería, a nuestro parecer, una injustificable reducción del grado de amplitud de esa corriente de la psicología.

Tercera hipótesis: Lu Escuela de Vigotski no es interaccionista ni constructivista.

Esa es, sin duda, nuestra hipótesis más polémica y, desafortunadamente, no tendre- mos aquí el espacio para desarrollarla de manera satisfactoria. Nuestro argumento central para cuestionar la clasificación de Vigotski como un interaccionista-constructivista reside en el origen biologizante del modelo interaccionista-constructivista. Se trata de un modelo que se funda en los procesos interactivos existentes entre el organismo y el medio ambiente. En nuestra lectura, el principal intento de la Psico- logía Histórico-Social fue el de construir una psicología que diese cuenta de la naturaleza eminentemente histórica del psiquismo humano. Dicha historicidad no se puede comprender efectivamente si mantenemos el análisis dentro del modelo interaccionista-constructivista. Abordar a Vigotski mediante ese modelo es, a nuestro parecer, descaracterizar la especificidad de una psicología marxista frente a otras corrientes de la psicología que se respaldan en fundamentos filosóficos absolutamente distintos de un abordaje histórico-social del ser humano.

Cuarta hipótesis: Es necesaria una relación consciente con el ideario pedagógico que está mediatizando la lectura que los educadores brasileños vienen haciendo de los trabajos de la Escuela de vigotski.

Raras veces se explicita cuál es el ideario pedagógico a partir del cual los educadores brasileños vienen leyendo a Vigotski. Esa es una cuestión de máxima importancia, pues incide en el delicado problema de las relaciones entre la psicología y la pedago- gía. No aceptamos el modelo de simple aplicación, a la práctica pedagógica, de los conocimientos producidos por la psicología. Es preciso elaborar una teoría pedagó- gica y, en ese proceso, incorporar crfticamente las contribuciones de la Escuela de Vigotski o de cualquier otra escuela de psicología. En nuestro caso, el referencia1 pedagógico sobre el cual nos apoyamos es el de la Pedagogía Histórico-Crítica. Saviani define en los términos siguientes lo que implica la tarea de esa pedagogía frente a la cuestión de la educación escolar: - Identificación de las formas más desarrolladas en que se expresa el saber objetivo

producido históricamente, reconociendo las condiciones de su producción y com- prendiendo sus principales manifestaciones, así como las tendencias actuales de transformación;

- Conversión del saber objetivo en saber escolar, de modo que pueda ser asumible por los alumnos en el espacio y el tiempo escolares;

- Provisión de los medios necesarios para que los alumnos no sólo asimilen el saber objetivo como resultado, sino que aprendan el proceso de su producción, así como las tendencias de su transformación (Saviani, 1995, p. 14). No estamos afirmando que es sólo por medio del referencia1 de la Pedagogía

Histórico-Crítica que se pueda realizar una lectura pedagógica de la Escuela de Vigotski. Pero sí defendemos, en primer lugar, que existe una gran afinidad entre esa pedagogía y esa psicología y, en segundo lugar, que es indispensable la explicitación del ideario pedagógico a partir del cual cada educador está leyendo a Vigotski. En- tendemos que sólo así el debate podrá avanzar rumbo hacia una efectiva incorpora- ción. a la teoría y la práctica pedagógicas, de las contribuciones de esa corriente de la Psicología.

Quinta hipótesis: Una lectura pedagógica “escuelanovista ” de los trabajos de la escuela de Kgotski se contrapone a los principios pedagógicos contenidos en esa escuela psicológica.

Esa es otra hipótesis polémica. Si por un lado afirmamos, en los comentarios sobre la hipótesis anterior, que consideramos que es posible leer a Vigotski a partir de diferentes teorías pedagógicas, por el otro estamos ahora afirmando que no consideramos legítima una lectura de Vigotski a partir del ideario de la Escuela Nueva.

60 CONOCMENTO MATEM.hC# EN IA EDUCACKh’ DE JhFNES Y ADULTOS

Juzgamos que existen muchos elementos “escuelanovistas” en las lecturas constructivistas que se viene haciendo de Vigotski en el Brasil. Mencionaremos aquí sólo dos de esos elementos. El primero es el carácter secundario de la transmisión del saber históricamente acumulado. Se habla de diversos aspectos del pensamiento de Vigotski, desde la necesidad de las interacciones intersubjetivas hasta la cuestión semiótica, pero se deja de lado la cuestión de la enseñanza de los contenidos escolares. El segundo elemento sería que al tratar de las interacciones intersubjetivas poco o nada se comenta sobre la cuestión de la dirección de esas interacciones por parte del educador, es decir, poco o nada se analiza del hecho de que el educador es quien posee la visión de los objetivos pedagógicos, hacia cuyo logro esas interacciones deben estar dirigidas.

Contraponemos a esos dos elementos “escuelanovistas” dos aspectos centrales de la Pedagogía Histórico-Cultural. El primero es que la Escuela de Vigotski atribuye una gran importancia al proceso de apropiación, por parte del individuo, de la experiencia histórico-social; es decir, de los conocimientos producidos históricamente y ya existentes objetivamente en el mundo en el cual el individuo vive. El segundo es que la Psicología Histórico-Cultural considera los procesos de aprendizaje conscien- temente dirigidos por el educador como cualitativamente superiores a los procesos espontáneos de aprendizaje.

CONTRIBUCIONES

Presentadas de manera sumaria las cinco hipótesis que dirigen nuestra lectura peda- gógica de la Escuela de Vigotski, pasaremos ahora a las consideraciones sobre algunas de las contribuciones que esa corriente de la psicología puede aportar al campo de la enseñanza de la matemática en la educación de jóvenes y adultos.

Uno de los fundamentos más importantes de la concepción histórico-social del ser humano es, a nuestro juicio, la dialéctica entre los procesos de objetivación y apropiación.27

Entendemos que la escuela de Vigotski incorporó de la filosofía de Marx muchos aspectos de la citada relación dialéctica. El punto de partida de tal incorporación reside en la importancia atribuida al trabajo como actividad constituyente del mundo humano. El trabajo es una actividad en la cual los hombres producen las fuerzas objetivas y las facultades subjetivas. Los productos de esa actividad llevan en sí, objetivamente, las fuerzas humanas. Son, por consiguiente, fuerzas objetivadas, esto es, adquirieron una existencia objetiva. En este sentido, podemos decir que el trabajo es una actividad objetivadora, es un proceso de objetivación y también podemos decir que sus productos son objetivaciones del género humano. Los objetos producidos por

” Para un análisis más detallado de la dialéctica entre objetivación y apropiación véase Duarte (1993, capí- tu10 11.

el trabajo son objetivaciones, así como también lo son los instrumentos empleados para producir esos objetos, pues dichos instrumentos también son el resultado de actividades de trabajo. Históricamente, el trabajo generó también otras objetivaciones, como el lenguaje y las relaciones sociales establecidas entre los hombres para alcanzar las finalidades de la actividad productiva.

Este carácter objetivador de la actividad humana es el que la distingue de la actividad animal. Antes que nada, porque produce un mundo que pertenece al hombre, pero supera considerablemente los límites de las capacidades de su organismo. LOS animales también llegan a producir cosas, pero siempre dentro de los límite de sus capacidades orgánicas.

Pero el proceso de objetivación no puede existir sin el proceso de apropiación. En primer lugar, porque el hombre para producir objetos necesita apropiarse de la naturaleza. En segundo lugar, cada generación requiere apropiarse de los resultados de la actividad de las generaciones que la precedieron. La importancia de ese proceso de apropiación de la experiencia histórico-social para la formación y el desarrollo del psiquismo humano es bastante destacada por Leontiev (1978). Cada individuo, para llegar a ser humano, para humanizarse, requiere apropiarse de las características del género humano que adquirieron existencia social objetiva. Esto equivale a decir que el proceso de formación del individuo es un proceso mediante el cual el individuo aprende a objetivarse de forma humana, mediante la apropiación de las objetivaciones del género humano. Mediante este proceso, el individuo adquiere tanto las facultades específicamente humanas, como las necesidades también humanas. Este es un punto que desearíamos abordar: la dialéctica entre objetivación y apropiación genera no sólo las facultades humanas, sino también las necesidades humanas.

Las implicaciones de esa dialéctica para la enseñanza de la matemática en la educación de jóvenes y adultos son múltiples. Aquí sólo haremos hincapié en una de ellas. En primer lugar, se trata de entender la matemática como un producto de la actividad objetivadora de los hombres. La matemática, así como todo conocimiento humano, es una objetivación. Como tal, ella es objeto de apropiación constante por parte de los seres humanos. En la relación entre la objetivación y la apropiación de la matemática, los hombres van produciendo aquello que podríamos denominar “pensamiento matemático”. Así, el pensamiento matemático se forma y se desenvuelve en la relación con la matemática existente socialmente. Como dice Leontiev: “Por consiguiente, cada generación comienza su vida en un mundo de objetos y fenóme- nos creado por las generaciones precedentes. Ella se apropia de las riquezas de este mundo participando en el trabajo, en la producción y en las diversas formas de actividad social y desarrolla así las aptitudes específicamente humanas que se cris- talizaron, se encanaron en ese mundo. En efecto, incluso la aptitud para utilizar el lenguaje articulado sólo se forma, en cada generación, por el aprendizaje de la lengua que se desarmlló en un proceso histórico, en.fùnción de las características objetivas de esa lengua, Lo mismo sucede con el desarrollo del pensamiento o de la adquisición del saber Está fiera de cuestión que la experiencia individual de un hombre, por más rica que sea, baste para producir la formación de un pensamiento

62 ~ONOCIM~W~O MA~EMA~CO EV LA EUOCAC/~N BE J6vENES Y ADULTOS

lógico o matemático abstracto y sistemas conceptuales correspondientes. Sería necesario no una vida, sino mil. De hecho, incluso el pensamiento y el saber de una generación se forman a partir de la apropiación de los resultados de la actividad cognitiva de las generaciones precedentes (Leontiev, 1978, pp. 265266).

Por lo tanto, es inconcebible para esa corriente psicológica la idea del individuo que construye su pensamiento matemático sólo en contacto con los objetos físicos que lo rodean. El pensamiento matemático resulta, en el individuo, del proceso de apropiación del conocimiento matemático socialmente existente e históricamente producido. Cabe a la actividad escolar un importante papel en el proceso de transmi- sión-asimilación del conocimiento matemático. A partir del movimiento de la Es- cuela Nueva, se volvió hasta cierto punto tabú hablar de transmisión de conocimien- to, por considerarse que eso implica siempre pasividad y asimilación mecánica. Que- remos defender aquí una posición bastante diferente. Consideramos que una de las características que distingue al ser humano de los animales es la capacidad de acu- mular y transmitir conocimiento. No hay por qué desvalorizar el conocimiento que se aprendió mediante la transmisión realizada por otros individuos. Algunos idearios pedagógicos, si bien influidos indirectamente por la Escuela Nueva, tienden a valorar positivamente los conocimientos producidos por el individuo sin la ayuda de otras personas y tienden a valorar negativamente el proceso de transmisión de conocimientos. En nuestra opinión, la Escuela de Vigotski está lejos de respaldar ese tipo de concepción. Por el contrario, esa escuela valora positivamente el proceso por el cual la sociedad se organiza para realizar el proceso de transmisión de la cultura acumulada. Obviamente existen diferentes formas de transmisión del conocimiento, desde aquéllas que se detienen en la repetición por parte del alumno de aspectos superficiales y mecánicos, hasta las que producen en el alumno la capacidad de objetivarse efectivamente mediante el conocimiento del que se apropió. En el campo de la enseñanza de la matemática para jóvenes y adultos se trata de no asignar un lugar secundario a la transmisión del saber matemático de la humanidad que se acumuló a lo largo de la historia. Ese saber se convirtió en un patrimonio de la humanidad y debe universalizarse.

Todo esto remite a un tema muy tratado cuando se habla de educación de jóvenes y adultos: la relación entre el saber previo del educando y el saber escolar. No com- partimos las posiciones que tienden a exagerar el valor del saber previo del alumno o a encarar la relación entre ese saber y el saber escolar como una relación entre saberes diferentes, pero situados en el mismo plano. Consideramos que el saber escolar es cualitativamente superior al saber previo del alumno. En el caso de la matemática, no se trata de un diálogo entre varias matemáticas sino de un proceso de superación mediante incorporación, es decir, un proceso donde la apropiación por parte del alumno del saber matemático escolar, al mismo tiempo que incorpora su saber mate- mático previo, lo supera situando el conocimiento y el pensamiento del alumno en niveles cada vez má elevados. Somos totalmente opuestos a todo planteamiento que asigne un lugar secundario al proceso de transmisión del saber matemático escolar. Consideramos que dicho saber es una objetivación de la práctica social y, en cuanto

tal, debe ser apropiado por los alumnos para que puedan trabajar con la matemática en los niveles alcanzados por la sociedad.

Una segunda contribución que la dialéctica entre objetivación y apropiación aporta a la enseñanza de la matemática a jóvenes y adultos es la cuestión de la producción de necesidades. Como ya dijimos, dicha dialéctica genera no sólo fuerzas y facultades humanas, sino también necesidades humanas. Discrepamos con las concepciones pedagógicas que reducen el proceso educativo a la satisfacción de necesidades previamente existentes en los alumnos y manifestadas por ellos. Consideramos que le compete al trabajo educativo la tarea de producir en los alumnos necesidades nuevas y cualitativamente superiores. De esta manera, el proceso educativo es un proceso productor de necesidades. La enseñanza de la matemática debe producir nuevas necesidades en el alumno, en la dirección de la utilización de la matemática en los campos de la actividad humana que superan las necesidades prácticas de la vida cotidiana.

Para no alargar mas nuestra ponencia, pasaremos a otra contribución que la Es- cuela de Vigotskí puede aportar a la enseñanza de la matemática a jóvenes y adultos. Abordaremos ahora la importancia de la categoría mediación para dicha escuela psicológica.

Podemos decir que el hombre es un ser de mediaciones. Sus relaciones con la naturaleza son mediatizadas por el trabajo y el uso de instrumentos. Las relaciones entre los propios hombres son mediatizadas por el lenguaje y las relaciones socialmente producidas. Vigotski abordó el tema de la conciencia humana empleando la categoría de mediación. Para Vigotski, la conciencia humana posee una estructura mediatizada por los signos. Leontiev, por su parte, mostró que la estructura de la conciencia humana es mediatizada porque la estructura de la actividad humana es mediatizada.28

También el proceso de apropiación de la experiencia histórico-social por parte del individuo es un proceso mediatizado por otros individuos y por instituciones. Definimos el trabajo educativo escolar como una actividad mediatizadora entre la vida cotidiana de los individuos y los ámbitos no cotidianos de la vida social como, por ejemplo, el ámbito de la ciencia. Y la Escuela de Vigotski hizo hincapié en la importancia decisiva del carácter consciente y planificado de la mediación realizada por la escuela. En este punto no podemos dejar de abordar el conocido concepto de Vigotski de “zona de desarrollo próxima” (también traducido por “zona de desarrollo proximal” o “área de desarrollo potencial”).

Al abordar la relación entre aprendizaje y desarrollo, Vigotski defendió que el individuo posee dos niveles de desarrollo. El primero sería el nivel de desarrollo actual (también traducido por “nivel de desarrollo real” o “nivel de desarrollo efectivo”). Ese nivel se caracterizaría por todo aquello que el individuo es capaz de hacer solo. sin la ayuda de nadie. El segundo sería la zona de desarrollo próximo, caracte-

‘8 Para mayores detalles sobre el carácter mediatizado de la actividad humana y, por consiguiente, de la conciencia humana, véase Duarte (1993, pp. 82-93).

64 CONOCIMIENTO M.4TEMhCO EN IA EDUCK16N DE J&.WES Y ADLILTOS

rizada por aquello que el individuo no es capaz de hacer solo sino con la ayuda de alguien. Vigotski defiende que la enseñanza debe dirigirse hacia la zona de desarrollo próximo, es decir, en lugar de colocarse detrás del desarrollo ya alcanzado por el individuo, debe anticiparse a él, actuando en el ámbito de aquello que todavía no se interiorizó.

En el campo de la enseñanza de la matemática para jóvenes y adultos dichas ideas remiten hacia la cuestión del papel del educador. Este no se puede percibir tal como muchas veces ha sido caracterizado en el campo de la educación de adultos o de la educación popular, esto es, como un simple animador cultural o alguien cuyo papel se reducitía a propiciar condiciones para el aprendizaje. El educador es alguien que enseña, que transmite conocimientos. Su papel en el trabajo educativo es decisivo y no se le debe asignar una posición secundaria, so pena de anular el propio carácter educativo de esa actividad.

Tendríamos mucho mas que decir sobre las contribuciones de la Escuela de Vigotski a la enseñanza de la matemática a jóvenes y adultos, pero creemos que en un seminario como este el objetivo de una ponencia se resume en presentar algunas ideas iniciales a fin de provocar un debate que conduzca a su profundización y a la emergen- cia de otras. Consideramos que las ideas aquí esbozadas pueden aportar dicha contri- bución al debate propiciado por este seminario.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DAVIDOV, V. Y M. SHUARE (eds.), La Psicología Evolutiva y Pedagógica en la URSS (Antología), Moscú, Editorial Progreso, 1987.

DUARTE, N., 0 Ensino de Matemática na Educacao de Adultos, São Paulo, Cortez Editora e Autores Associados, 1986.

-. A Rela@o entre o Lógico e o Histórico no Ensino da Matemática. Disserta@o de Mestrado. Sao Carlos, Universidad Federal de Sao Carlos, 1987.

-. A Individualidade Para-Si (contribuicáo a urna teoria histórico-social da forma#ío do individuo), Campinas, Editora Autores Associados, 1993.

-. A Escola de Vigotski e a Educa&ío Escolar (algumas hipóteses para urna leitura pedagógica da psicologia Histórico-Cultural). Texto inédito, escrito en 1995.

LEONTIEV, A., 0 Desenvolvimento do Psiquismo, Lisboa, Livros Horizonte, 1978. SAVIANI, D., Pedagogía Histórico-Crftica (primeiras aproxima@es), 5” ed., Campinas,

Autores Associados, 1995. SHUARE, M., La Psicología Soviética tal coma yo la veo, Moscú, Editorial Progreso,

1990. VYGOTSKI, LEV S., Obras Escogidas 1, Madrid, MEClVisor, 1991. -. Obras Escogidas II. Madrid, MECNisor 1993. VYGOTSKI, Lev S., Pensamento e Linguagem, Lisboa, Antídoto, 1979. -* A Forma@io Social da Mente, São Paulo, Martins Fontes, 1984.

El conocimiento matemático de la práctica y el conocimiento matemático escolar desde la

perspectiva del salón de clase Dione Lucchesi de Carvalho*

Los datos que se mencionan en esta ponencia provienen de una investigación realizada con jóvenes y adultos que frecuentan cursos de alfabetización en la ciudad de Sao Paulo. Esa investigación, que sirvió de base para la elaboración de mi tesis de doctorado (Carvalho, 1995) tuvo como objetivo estudiar la interacción del conocimiento matemático adquirido en la práctica y aquél desarrollado en el ámbito escolar.

Las cuestiones relativas a la relación entre las formas de conocimiento matemáti- co han preocupado a varios científicos debido a sus implicaciones tanto en la educa- ción matemática como en otras áreas de la ciencia. Como subraya Neeleman (1994), no es suficiente restringir la valorización de la matemática que todas las culturas poseen al ámbito de un ideario filosófico o ideológico; nuestras investigaciones deben tratar de identificar la relación entre este conocimiento y el conocimiento mate- mático vehiculado en la escuela.

Una cuestión central que está presente en la relación entre estos dos tipos de saberes se refiere a la continuidad o ruptura entre ellos. Hay necesidad de transformar en tema de investigación dos presupuestos asumidos por muchos autores. El primero se refiere a las propiedades matemáticas subyacentes en el conocimiento desarrollado fuera de la escuela, que serían las mismas que el del conocimiento esco-

* Investigadora y docente del Centro de Educacáo Matemática (CEM) y Colegio Santa Cruz -Programa Compensatorio, São Paulo (Brasil).

lar. Intimamente relacionado con él, aunque no siempre explicitado en los textos, está el presupuesto de que la validación del conocimiento de la práctica se daría según la misma lógica escolar, o sea, la deducción, con la misma exigencia de coherencia (Horton, 1967).

Si llegaramos a la conclusión de que hay diferencias entre la “matemática informal” y la “matemática universal” -para utilizar los términos del educador matemá- tico Gerdes (1987)- no sería posible una transición suave, por continuidad, a pesar de que muchos etnomatemáticos- como el mismo Gerdes, por ejemplo- apoyaron SUS investigaciones sobre esta hipótesis.

Tulviste (1988) plantea una paradoja: si, por un lado, los estudios parecen indicar que el pensamiento de las personas provenientes de “culturas modernas” parece estar mucho más conectado con la “ciencia europea” de lo que se ha asumido; por otro lado, en su naturaleza, este mismo pensamiento parece ser mucho menos científico de lo que se suponía. La contradicción puede no estar en las investigaciones: “(...) sino entre nuestra representación de la naturaleza de “nuestro” pensamiento y lo que pensamos, por una parte, que es natural y universal y, por el otro, lo que es lógico y cientllfco” (Tulviste, 1988, pp. 279-280. Traducción de la autora).

La paradoja se esclarece si se considera la dependencia del pensamiento tanto de la actividad que las personas ejercen como de los tipos de problemas que emergen en la cultura a las cuales ellas pertenecen y que deben resolver. Se dispone de pocas bases tanto para suponer que el pensamiento denominado “científico” de las personas escolarizadas sea universal, como para reducirlo totalmente a una clase específi- ca, o sea, el pensamiento orientado hacia los conceptos ckentíficos. Parece que la importancia de la escolarización no está solamente en provocar en el pensamiento cambios referidos a la aplicación de “viejas habilidades” a un “nuevo material”; las transformaciones son más profundas (Tulviste, 1988), pues alteran incluso su fun- ción. Lave (1989) -suponiendo que la paradoja permanece cuando estudiamos los subgrupos urbanos inmigrantes- desarrolla sus trabajos basándose en la existencia de una “aritmética dialéctica” que sería utilizada en la solución de problemas generados en situaciones de compra de productos comestibles. Esa hipótesis se opone a otra según la cual el conocimiento de la práctica sería incorporado por la escuela por continuidad y complementariedad.

Los trabajos de Saxe y Posner (1983) también ofrecieron subsidios para el análi- sis contenido en mi tesis de doctorado (Carvalho, 1995). Dichos autores consideran las implicaciones que tienen en el desarrollo del pensamiento humano las tres propiedades indisociables de la representación numérica desarrollada hasta nuestros días. Comparto las ideas de esos investigadores cuando afirman que, incluso si se considera que toda la matemática no se restringe a representaciones numéricas, la cuantificación numérica, su representación, aunque sólo sea oral y las operaciones que se realizan con esa cuantificación, son partes importantes del conocimiento ma- temático que cualquier grupo cultural desarrolla. Las propiedades a las que ellos se refieren son:

EL CONO‘XMIENTO MA~ATICO DE LA PRÁLTICA Y EL CONOC~TO !&WS!ÁTICO ESCOLAR 67

- la utilización, por parte de los individuos, de elementos del medio ambiente como vehículos simbólicos para aumentar su “poder” para resolver problemas;

- el empleo de esos vehículos simbólicos para representar relaciones; - la transformación de los vehículos, que originalmente sólo teman una función

local, en objetos simbólicos de intermediación con los cuales los individuos inte- ractúan (Saxe y Posner, 1983, p. 292). Un ejemplo que supuestamente ocurrió hace millones de anos puede esclarecer

las tres propiedades. Considere los trazos verticales hechos por un pastor en un pedazo de madera; se utilizan elementos provenientes de la naturaleza. Para facilitar el cómputo, él los agrupó con un trazo horizontal, o sea, representa una relación. Este pedazo de madera puede haber sido el elemento intermediador de una transacción comercial, sin la presencia del rebano. En las sociedades “modernas”, los vehfculos simbólicos de la matemática son gráficos, si bien contienen en cuanto representa- ción, las tres propiedades citadas por Saxe y Posner.

Las investigaciones que se basan en el supuesto de que ios grupos de personas funcionan psicológicamente respondiendo a las demandas del contexto en el que viven, son útiles en los estudios referidos a grupos sociales poco letrados integrados a la compleja sociedad urbana de la ciudad de Sao Paulo. Siendo así, busqué la mayor parte de las referencias teóricas en trabajos de Vygotski (1979, 1984 ), Luria (1988, 1990), Bruner (1973), Tulviste (1988) y de los investigadores que basaron sus trabajos en estos autores.

Entretanto, los socio-interaccionistas piagetianos fueron escogidos como interlocutores privilegiados pues sus trabajos se asemejan a los de los vygotskianos, no sólo superficialmente, sino porque los análisis de los procedimientos de los sujetos se basan en concepciones donde la acción y el concepto están íntimamente ligados (Gamier, Bednarz y Ulanovskaya, 1991).

Un aspecto en el que las dos corrientes de investigación son particularmente complementarias -para mis propósitos- se refiere a la adquisición, en la escuela, de procedimientos generales que después serán aplicados a situaciones prácticas - preconizado por los vigotskianos- y el espacio reservado a los procedimientos propios de los alumnos, garantizado por los piagetianos. Además de eso, por la naturaleza de algunos trabajos, la metodología de la investigación utilizada por estos últi- mos me pareció adecuada para el estudio de la interacción entre el conocimiento matemático adquirido en la práctica y aquél adquirido en la escuela. Juzgué que dicha investigación sólo sería posible a partir del estudio de los procedimientos propios que los alumnos jóvenes o adultos traen al salón de clase.

Durante el desarrollo de los trabajos se utilizaron algunos “constructos” ya elaborados por investigadores de la cognición humana, mientras que otros fueron reelaborados en función de la educación matemática de jóvenes y adultos y no juzgamos que fuera posible utilizarlos tal cuales. Así se elaboraron los conceptos de “instrumentos matemáticos de mediación”, que se utilizaron para exteriorizar oral 0

68 cONOClMEhTO u4r~uAnco EN IA EDOCaCI6N DE J6WES Y AD”LTOS

gráficamente “los procedimientos matemáticos” que los alumnos utilizaron en la realización de las tareas propuestas en las clases de matemática. Si la interacción con socios más experimentados de la misma cultura es esencial en el proceso de aprendizaje humano (Vygotski, 1979 y 1984), juzgamos conveniente denominar “interlocutor principal” a la profesora de clase y a mi misma -que también actué en la sala de clase- y simplemente “interlocutor” al colega que actuaba como socio más experimentado, porque su conocimiento sobre el tema era más elaborado.

Las preguntas planteadas en este estudio se refieren tanto a la escolarización - cooperación o enfrentamiento entre las propiedades matemáticas utilizadas en los procedimientos adquiridos en la práctica, nivel de vinculaciones de los instrumentos matemáticos con el contexto en que se originó, posibilidades de incorporación de los conocimientos previos- como a aspectos más amplios -inserción de los alumnos en el sistema productivo, su historia de vida. La operacionalización de la investigación condujo al delineamiento de la temática: estudio del proceso de internalización de los instrumentos matemáticos no contextualizados a la práctica, necesario para la adquisición de la matemática escolar por parte de los jóvenes y adultos alumnos de las clases de alfabetización. Investigamos el proceso de intemalización del conocimiento matemático escolar y las transformaciones que los instrumentos matemáticos adquiridos previamente sufren cuando se orientan en la dirección de volverse menos contextualizados en relación con las situaciones que les dieron origen (Wertsch, 1988). Se analizaron detalladamente las representaciones, orales o gráficas, que los alumnos hicieron de sus procedimientos a fin de comprender el proceso de intemalización de los instrumentos que servirían de mediadores para las actividades matemáticas escolares. También se trató de identificar, en los instrumentos adquiridos en las clases, los trazos de aquellos construidos por los alumnos en experiencias anteriores, escolares 0 no.

Los procedimientos que las personas utilizan para resolver los problemas que emergen de las situaciones prácticas fueron investigados a medida que hubo posibilidades de interacción con ellos, es decir, a medida que fueron presentados por los sujetos en las clases de matemática de los dos programas de alfabetización, uno vespertino con 17 alumnos y otro nocturno con 22 alumnos, dirigidos por la misma profesora. Los programas pertenecían a un curso supletivo municipal que funcionaba en la sede social de una iglesia católica situada en la Zona Oeste de la ciudad de Sao Paulo, Sólo se entrevistó a 27 alumnos, debido al abandono escolar o a la asistencia irregular a clases; sin embargo, la escuela entra en el proyecto de vida de esas personas como uno de los pasos arriesgados e inevitables para la mejoría de las condiciones de vida.

Esa inestabilidad se aproxima a la descrita por Oliveira (1986); incluso si, aparentemente, algunas soluciones temporales -como abandonar la escuela o faltar mucho a las clases- encontradas por estos alumnos para hacer frente a los problemas cotidianos se revelan inadecuadas si se tiene en cuenta sus proyectos, ellos organizan

69

sus vidas en tomo a ellas. Sin embargo, dado el peso de los problemas concretos que estos alumnos encaran, las soluciones temporales se convierten en permanentes y los proyectos de vida no se ponen en práctica. Se crea un círculo vicioso debido a la interacción entre la precariedad de la vida cotidiana, con la inseguridad que le es inherente y la inestabilidad provocada por la manera como los alumnos enfrentan las situaciones, es decir, la inestabilidad genera inestabilidad.

Las informaciones obtenidas por medio de entrevistas o documentos de la escuela nos permitieron delinear un perfil de dichos alumnos. Se trataba de jóvenes: 43.6% tenía menos de 21 años de edad y 71.8% menos de 30; la gran mayoría -91.9%- era migrante y el 77.8% había nacido en la zona rural. El 63.6% de los alumnos era soltero; esta proporción, asociada al hecho de tratarse de jóvenes, caracteriza a una población que se encuentra en el inicio de la vida profesional. El 61.1% de las mujeres y el 23.1% de los hombres -el 45.2% del total- trabajaban en servicios no califi- cados, mientras que tres alumnos eran propietarios (de un salón de belleza, de un puesto de periódicos y de un carrito para la venta de perros calientes). El 64.3% de esas personas había pasado anteriormente por la escuela de manera discontinua e irregular. Podemos percibir la semejanza entre el perfil de esos alumnos y el de los sujetos de la investigación de Oliveira (1986).

La interacción entre el conocimiento matemático adquirido en la práctica y aquél adquirido en la escuela se investigó a fin de encarar la complejidad del salón de clase, o sea considerando las relaciones sociales ahí involucradas; no sólo las genera- das por las condiciones socioculturales e históricas (Freire y Shor, 1990), sino tam- bién aquellas que el propio sistema escolar hace emerger en las clases de matemática (Perret-Clermont, 1979; Martins, 1984). Se buscó analizar las interacciones en el salón de clase, tomando en consideración la totalidad que constituía aquel curso supletivo, su historia como institución educacional insertada en un barrio con cultura propia y dentro de parámetros sociohistóricos concretos. Así, la naturaleza del problema de la investigación se orientó hacia una metodología cuyo componente etnográfico fuese fundamental. A partir de estos presupuestos se abandonaron los enfoques metodológicos analíticos que tratan de establecer relaciones de causa-efec- to; el carácter del trabajo se vería perjudicado por un enfoque que excluyese el análi- sis de las variables emergentes. Realizamos el experimento pedagógico considerando -en una perspectiva etnográfica- el funcionamiento global de la escuela.

El trabajo de campo se desarrolló en tres fases: - preparatoria: constituida por reuniones -principalmente de asesoría en educa-

ción matemática ofrecida por la investigadora- con todos los profesores de la escuela;

- elaboración y desarrollo de las actividades en la sala de clase y de entrevistas individuales COIZ los alumnos. Fue el centro (eje) del trabajo de campo, pues el objetivo del análisis y la interpretación fueron los procedimientos utilizados por los alumnos para desarrollarlas.

- análisis documental y entrevistas con la profesora y dos profesores que habían actuado como dirigentes en la escuela. Se utilizaron tres tipos de registros de las actividades desarrolladas en el ámbito

de la investigación: grabaciones audio-visuales y anotaciones en el cuaderno. Ade- más del material grabado o anotado, se analizaron también los registros gráficos que 10s alumnos produjeron en las clases de matemática relacionadas con la investiga- ción.

Las actividades efectuadas en el salón de clase se convirtieron en una variable importante en el desarrollo de la investigación. En su evaluación se destacan dos puntos; uno de ellos es la atribución de valora los billetes de dinero. En las actividades no escolares, los alumnos disponen de diversos medios, además del número escrito, para reconocer el dinero en circulación, taies como los diseños y los colores; así, el diseño escogido para los billetes (Fig. 1) dificultaba su utilización como material didáctico.

Otro punto es la lectura de números escritos utilizando el sistema de numeración decimal. Cuando los adultos “leen” los precios de los productos en los diversos establecimientos comerciales, estiman su orden de magnitud según la naturaleza del producto y no por el número de dígitos utilizados, o sea, tienen instrumentos de lectura de números que funcionan contextualizados en aquella situación, pero fallan cuando el índice de inflación es muy alto, incluso en las situaciones no escolares. Para leer los números sin el referente de la utilización práctica, el alumno debe conocer las reglas de la representación gráfica del sistema de numeración decimal. La profesora y yo asumimos el papel de mediadores (Luria, 1988) y al final del semestre los

ji

alumnos de las dos clases, como grupo, habían adquirido estrategias de cómputo de cualquier tipo de objetos; eran capaces de escribir y leer números utilizando el sistema decimal de numeración; resolvían situaciones-problema utilizando las operaciones de adición y sustracción y registraban gráficamente los procedimientos utilizados.

Transcribo de la grabación en video una parte del primer diálogo que tuvo lugar en la clase del turno vespertino el día 12/09/90. Los diálogos transcritos serán utilizados como ejemplos de algunos de los puntos comentados en este texto.

El tema de discusión era descubrir el año de nacimiento de una persona cuando se conoce SU edad. Arno, un alumno de 20 años, utilizó un procedimiento lo suficientemente general como para ser aplicado a las edades de Rose, 22 arios y de Anete, 24 años. Inicialmente, Dione pidió a Fran que describiese el procedimiento del colega; no teniendo éxito, pidió al propio Arno que lo hiciese. Done: Pero, ¿cómo es que él sabe? Fran: Porque hizo /as cuentas y lo descubrió.

ELCON-mtinco ~~L.APRÁ~~~~A~F.LCONO- MATEMÁTICO EsC0!...4R 71

Dione: Fran: Dione:

Arno:

Dione: Arno:

Sí, ipero de qué manera? Es porque él es más inteligente. No; no es porque él es más inteligente; él tiene una manera de hacerlo. Haz /as cuentas para ella. Aumentando la edad de ella y restando de la fecha en que nació; porque ella es del sesenta y ocho, aumentó dos años por encima de la mía, yo soy del setenta; entonces, para tener dos años más que yo, ella debe ser del sesenta y ocho, sesenta y ocho para setenta van dos, para noyenta más veinte; entonces da veintidós. La otra tiene veinticuatro; ella es de/ sesenta y seis, para setenta van más cuatro, para noventa más veinte; son veinticuatro. i Vio cómo él está pensando? Aumenta la edad, disminuye la fecha de nacjmiento de la gente.

En el transcurso del análisis se pudieron percibir algunos factores mediadores implicados en la ocurrencia de los hechos; se relacionan con los recorridos de los dos grupos de alumnos, vespertino y nocturno que, como era de esperar, eran diferentes. Excluyendo los casos de alumnos que tienen como característica personal la timidez, pude recolectar las caractetisticas de las dos clases que probablemente están en rela- ción con las diferentes dinámicas. Una de ellas se refiere a la autoimagen de los alumnos en relación con la matemática. Probablemente los alumnos del turno vespertino no se juzgaban competentes (diálogo de Fran) para contribuir en la clase; solamente dos (2) intervenían espontáneamente en las discusiones. Intimamente relacionada con la concepción del “buen alumno” en Matemática está el arriesgarse en la realización de las tareas y en la participación en la clase (Carvalho, 1989). Los alumnos del turno vespertino mostraban dificultades para aceptar que un compañero fuera un colega más experimentado; no discutían las preguntas entre sí; todas las dudas y dificultades eran planteadas a los profesores. Parece que el discurso interno (Vygotski, 1984) de los alumnos del turno vespertino no les permitía todavía una autoregulación de la acción, por lo que necesitaban la mediación de la profesora o de la investigadora para organizar su pensamiento y hacer más disponibles sus instrumentos matemáticos. A pesar de la propuesta consistente en actividades destinadas a promover interacciones donde hubiese confrontación y cooperación (Garnier, Bednarz y Ulanovskaya, 1991) entre dos compañeros con niveles diferentes de conocimiento, al final del semestre en el turno vespertino todavía eran raras las interacciones es- pontáneas alumno-alumno en función de la construcción de los mediadores matemá- ticos.

Los alumnos del turno nocturno se arriesgaban a participar en las clases, incluso en lo que se refiere a la sistematización de los diferentes significados del número según su utilización y demostraban competencia al verbalizar ia generalización de la representación que se estaba discutiendo, o sea, fueron mostrando que tomaban conciencia del papel mediador del número (Saxe y Posner, 1983), papel que se dife- renciaba en cada tipo de situación. Ellos se arriesgaban a verbalizar SUS conclusio-

72 CONOClMEhTO MATEMÁTICO EN f.4 EDUCACIÓN DE 36VENES Y ADULTOS

nes, construyendo un campo semántico común para ese grupo (Luria, 1988). Entre las caractetísticas de los dos grupos que pueden estar relacionadas con la dinámica de las clases se destacó el tipo de inserción en el mercado productivo. La existencia de un mayor porcentaje de hombres en el turno nocturno -54,5% contra 41,2% en el vespertino- y el hecho de que dos mujeres del turno nocturno fueran propietarias -de un puesto de periódicos y de un carrito para la venta de perros calientes- hace que el salón de clase tenga un mayor número de personas responsables de la administración de su propio presupuesto. Parece que la manera como el alumno está inserto en el mercado de trabajo genera también comportamientos sociales diferenciados en las clases de matemática (Souza, 1992).

A pesar de que una gran parte de los alumnos participantes en la investigación ya habían frecuentado la escuela alguna vez, demostraban extrañeza ante la lógica de las tareas escolares. La cultura de la copia impregna el trabajo de educación en cualquier nivel (Carvalho, 1991; Franchi y Carvalho, 1992). En lo que se refiere a la Educación de Adultos, dicha cultura tiene un agravante: los alumnos ejercen actividades profesionales donde, en general, se aprende a hacer imitando lo más aproximadamente posible a un colega más experimentado o a un instructor.

Algunos alumnos mostraban la siguiente concepción: si es necesario registrar las operaciones utilizadas para resolver la tarea, esperemos que un colega más compe- tente lo haga y, entonces, se trata sólo de copiar; habrá el modelo esperado y, copian- do muchos modelos correctos, aprenderé mucha matemática. Unos esperan la eva- luación de esta competencia de la profesora o la investigadora; otros evalúan por sí mismos las competencias de los colegas.

Otra función de la copia, para aquellos alumnos, era encubrir el error, lo que produce una consecuencia nefasta: sólo se registra lo que es aprobado por el profesor que haya sido efectuado por un colega o escrito en la pizarra- lo que conduce a muchos alumnos adultos a copiar todo lo que está escrito en la pizarra, tenga o no relación con su procedimiento. Utilizar un procedimiento y registrar otro no parece ser el único problema de la cultura de la copia, pues revela que, para aquellos alumnos, los registros de los procedimientos matemáticos tenían el significado exclusivo de tarea escolar (Fig. 2).

I Fran - 16/10

tn fia.2

El hecho de que los alumnos del turno nocturno demostraran tener conciencia de que la utilización de los números amplía la capacidad humana de resolver problemas no implicaba la valorización de los cálculos y registros escolares. Ellos, como SUS

ELCONO~~~OMA~~ATICO DELA~~~C,~YELCONO CIMIENTO MATF;CZliTICO ESCOLAR 73

compañeros del turno vespertino, mostraban que concebían la ejecución de las tareas escolares como la presentación de un número que corresponda al resultado de la situación propuesta: las explicaciones de los procedimientos matemáticos, orales o escritos, les parecían carecer de significado.

La metodología (Franchi y Carvalho, 1992) que la profesora y yo utilizamos en las clases de matemática relacionadas con la investigación centra el motivo (Leontiev, 1978) de las actividades escolares en la reelaboración de los procedimientos previos de los alumnos (diálogos de Amo); siendo así, dichos procedimientos se deben explicitar de alguna forma. Además, los alumnos mostraban que ellos no consideraban las matematizaciones que habían efectuado hasta entonces como un conocimiento previo que se pudiera incorporar y utilizar en las clases. Tampoco consideraban sus explicitaciones, orales o escritas, como una fuente de validación de los resultados que habían obtenido o una forma de retornar la lógica de la propuesta de la actividad. Para ellos, el resultado obtenido se sobrepondría a cualquier validez de la tarea, ya fuera práctica o teórica. Mientras que los alumnos del turno nocturno trataban de validar sus resultados sin recurrir a explicaciones de sus procedimientos, para sus colegas del turno vespertino el criterio de lo correcto/incorrecto era el del profesor; elaborar criterios de autocorrección les parecía algo extraño, ya se basase en actividades prácticas o en propiedades matemáticas. Para aquellos alumnos, de uno u otro turno, los cálculos ejecutados mentalmente constituían conocimientos que cualquier persona adquiere y, por lo tanto, sin importancia; su verbalización parecía carecer de valor escolar y, en la vida práctica, esa verbalización era innecesaria. En lo que respecta a los registros gráficos, en la práctica, la única operación para la cual se utiliza el registro gráfico es la adición de precios de productos, así como cuando son muchas parcelas; los alumnos se resistían a registrar sus procedimientos en otras situaciones, pues no veían la necesidad práctica y no comprendían los motivos aca- démicos.

Los alumnos adultos tienen un orden de dificultades en relación con los registros escritos que no se observa en los niños que inician su escolarización. Un niño, aunque no esté en su primer año de escuela y tenga una historia de fracaso escolar, acepta la posibilidad de diseñar para registrar una tarea de matemática (Carvalho, 1986). El adulto sabe que existen normas convencionales para la representación grá- fica de las actividades escolares, aunque no sepa cuáles son. Supone, también, que en la escuela no se pueden utilizar esbozos y diagramas como formas intermediarias de representación de los procedimientos de resolución de problemas; para él? cuando cualquier interlocutor del mundo escolar le solicita que represente un procedimiento gráficamente sin darle un modelo, le está exigiendo un conocimiento del lenguaje matemático que aún no adquirió y no la utilización de recursos de los cuales él ya dispone.

Los alumnos que participaron en esta investigación describieron oralmente los procedimientos propios para contar y sumar que hacen uso de las mismas propieda-

des que los algotitmos escolares, si bien con otra secuencia de operaciones (Fig. 229 y Fig. 330).

Las contradicciones entre el saber adquirido en la práctica y el conocimiento escolar también fueron foco de nuestra atención. Se puso en evidencia que, para aquellos alumnos, la grafía utilizada en el comercio para representar los precios era una referencia importante en la escritura de los números y, desde este punto de vista, la concepción de “cero” que era posible percibir en algunos registros interfería significativamente: para muchos alumnos no tema sentido escribir del mismo tamaño un símbolo que representaba “nada” y los otros que representaban una cantidad de dinero. Por consiguien- ’ te, aunque les pareciese posible sustituir lapa- ag.3 labra “cruzeiro” por una coma y dos ceros, la utilización de tres ceros para indicar el millar la consideraban extraña (Fig. 4). Ade- mas en muchas situaciones que los alumnos habían vivido antes, cuando aparecían los tres ceros, estaban separados de los guarismos que indican el número de millares por un punto; este punto parecía ser otra referencia importante de valor para ellos, siendo el trazo de la representación no escolar de los números lo que generó el área

de mayor conflicto; los alumnos recha- zaban la aceptación de un sistema de re- presentación donde un punto no garan- tiza lo que los tres ceros pueden hacer. La utilización de la palabra “mil” o del

punto de manera inadecuada indicaba poca elaboración del sistema de numeración decimal como código de representación; los tipos de errores cometidos en esta utili- zación, sin embargo, eran variados, mostrando diferentes concepciones del código numérico. En fin, se estaban enfrentando con una regla del sistema de numeración decimal posicional que les parecía contradictoria: “Cuando se representan decenas, centenas o millares exactos, el cero (uno, dos o tres) se debe utilizar; cuando hay unidades (decenas y centenas) no se puede escribir” (Fig. 5).31

29 El procedimiento que Fran copió fue utilizado por Rose y se trata de lo siguiente. Para cakular la suma: 24 + 20 +26; la alumna lo hace 20 + 20 + 20 = 60 (anotado debajo del trazo; a continuación 4 + 6 = 10, y después 60 + 10 = 70 (el 10 debajo del segundo trazo fue un error de copia de Fran). La suma 25 + 14 + 10 se calculó análogamente.

3o Ado se había equivocado en la suma 7 + 6; cuestioné su resultado y produjo el registro de la derecha para explicar el procedimiento que había utilizado, corrigiendo el error.

3’ José quería escribir ciento cuatro; inicialmente escribió 1004 y enseguida se corrigió.

EL CON-0 MATEdTICO DE LA PRÁCTICA Y EL CONOCIMIMTO .MATEtiTICO ESCOLAR 75

Sin embargo, no siempre la representación JO.4 - 30/10

equivocada de los precios llevaba a los alumnos a resultados incorrectos (Fig. 6), pues efectuaban los cálculos mentalmente, sin utilizar el registro, que para ellos sólo tenía un sentido escolar iEs que tiene otro? tig. 5

Es importante destacar que las confrontacio- nes originadas por las contradicciones entre la re- presentación de los precios utilizada en el comercio y las reglas del sistema de numeración decimal no fueran traídas a la sala de clase, oral o gráficamente, por los alumnos que se consideraban -0 eran considerados por sus compañeros- como fracasados en matemática; solamente quie-

nes habían tenido buenos resultados teman el coraje de creer que sabían.


BRUNER, J. S., Uma nova teoria de aprendizagem, 2” ed., Rio de Janeiro, Bloch, 1973 (Trad. Norah L. Ribeiro).

CARVALHO, D., A interaccio entre o conhecimento matemático da prática e o escolar. Tese de Doutorado. Campinas, FEUNICAMP, 1995.

-. “Mathematical Education of Illiterate Adults”, Proceedings of the Working Group (WG 19) on Mathematics for Prematum School-leavers. ICME VII. Quebec, Cirade-UQAM, 1992.

-. Metodologia do ensino de Matemática, 2” ed. rev., Sao Paulo, Cortez Editora, 1992.

--. A concepcüo de Matemática do professor também se transforma. Dissertacão de Mestrado. Campinas, FEUNICAMP, 1989.

CARVALHO, N. LO. C., Etnomatemática: o conhecimento matemático que se constrói na resistencia cultural. Dissertacáo de Mestrado. Campinas, FEUNICAMP, 1991.

FRANCHI, A. Y D. L. GRVALHO, “Consideracóes metodológicas sobre Educacão Mate- mática” Cadernos do CEM, (São Paulo, Centro de Educacáo Matemática- CEM, finan. CAPES/PADCT/SPEC), N” 4, 1992, pp. 3-19.

FREIRE, P. E IRA SHOR, Medo e ousadia. 0 cotidiano do professor, 3” ed., Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1990 (Trad. Adriana Lopes).

GARNER, C., N. BERNARZ E 1. ULANOVSKAYA (eds.),Aprés Vygotski et Piaget. Perspectives sociale et constructiviste. Ecoles russe et occidentale, Bruxelles, De Boeck- Wesmael, 1991.

76 CONOCIM~~~O MATFMA~CO EN IA EDLKXC~~N DE J~VE~‘ES Y ADLILTOS

GERDES, P., Sobre o despertar do pensamento geométrico. Tese de Doutorado Maputo (Mocambique), Un. Eduardo Mondlane, 1987.

HORTON, R., “African traditional thought and Westem Science”,Africa, Vol. XXXVII, No 1 y 2, 1967, pp. 50-71; pp. 155-187.

LAVE, J., Cognition in practice: mind, mathematics and culture in everyday life, 2” imp., Cambridge, Cambridge University Press, 1989.

LEONTIEV, A., “Aparecimento da consciencia humana”, 0 desenvolvimento do psiquismo, Lisboa, Horizonte, 1978, pp. 69-88.

LURIA, A. R., Pensamento e linguagem: as últimas conferências de Luria, Porto Alegre, Artes Médicas, 1988 (Trad. Diana Myriam Lichtenstein y Mario Cor- so).

-. Desenvolvimento cognitivo: seus fundamentos culturais e sociais, Sao Paulo, Icone, 1990 (Trad. Fernando L. Gurgueira).

MARTINS, M. L. R., “Os aspectos: conteúdo pedagógico - e o matemático”, en Baldino, R. R., 0 aluno real, Rio de Janeiro, mimeo., 1984.

NEELEMAN, W., Ensino de Matemática em Mocambique 19751987 e sua relacüo com a cultura “tradicional”. Dissertacão de Mestrado. Rio Claro, IGCE- UNESP, 1993.

OLNEIRA, M. K., Raciocínio e solu@io de problemas na vida cotidiana de moradores de urna favela, Sao Paulo, FE-USP 1986 (Série Encontros de Psicologia).

PERRET-CLERMONT, A. La construction de 1 Intelligence dans 1 ‘interaction sociale, 2” ed., Beme, Peter Lang, 1979.

SAXE, G. B. Y J. POSNER, “The development of numerical cognition: cross-cultural perspectives”, en GINSBURG, HP (eds.), The development of mathematical thinking, Orlando, Academic Press, 1983.

SOUZA, A. C. C., Sensos matemáticos: urna abordagem extemalista da Matemática. Tese de Doutorado. Campinas. FEUNICAMP, 1992.

TULVISTE, F’., The cultural-historical development of verbal thinking (A psychological study), Tartu State University, Tallinn Valgus, 1988 (Trad. Marie Jaroszewska Hall).

VYGOTSKY, LEV S., Pensamento e linguagem, Lisboa, Edicões Antídoto, 1979 (Trad. M. Resende).

-. A formacao social da mente. 0 desenvolvimento dos processos psicológicos superiores, Sao Paulo, Martins Fontes, 1984 (Trad. José Cipolla Neto, Luís S. Menna Barreto y Solange C. Afeche).

Wertsch, James V., @gotAy y la formación social de la mente, Barcelona, Ediciones Paidós, 1988 (Trad. Javier Zanón y Montserrat Cortés).

Los saberes matemáticos previos de jóvenes y adultos: alcances y desafíos

Germán Mariño S’

Nuestro punto de partida en esta reflexión es el reconocimiento de la existencia de saberes matemáticos entre los jóvenes y adultos previos e independientes de los que presentan los programas educativos formales e informales.

Afortunadamente, en la actualidad disponemos de un inventario relativamente amplio de tales saberes, derivado de investigaciones realizadas en varios países de América Latina (Isabel Soto, Chile, 1992; Alicia Avila, México, 1990; Germán Ma- riño, Colombia, 1983; Ecuador, 1988; El Salvador, 1992).

Aquí no vamos a presentar esos trabajos. Quien desee conocerlos puede recurrir a las referencias bibliográficas pertinentes. Sin embargo, conviene dar cuenta de dos de los principales resultados: - El uso mental de algoritmos diferentes a los utilizados tradicionalmente para

realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. - El manejo mental de sistemas de notación diferentes al sistema de escritura

posicional. Es conveniente aclarar que tales estrategias son utilizadas con algunos cambios

según los sectores de la población que los emplean; estas variaciones dependen de variables tales como el tipo de trabajo desempeñado, el sexo, la zona (rural o urbana), etc. El universo numérico en el que se mueve con pericia un pequeño campesino no es el mismo que el de un mediano comerciante, por ejemplo. Esto quiere decir

* Investigador de Dimension Educativa, ONG con sede en Bogotá.

78 Co~oc~~h~o MU-EMA~ICO EN IA EDUCACIÓN DE 36~~~s Y AD”&-OS

que, a pesar de que existen tendencias bastante generales, se presentan variaciones. El reconocimiento e identificación sistemático de los saberes previos constituye,

en sí mismo, una verdadera revolución para cualquier proyecto de educación mate- mática, pues desde el comienzo el educador -y el currículo- se relaciona con un interlocutor que sabe muchas cosas -de aritmética, por ejemplo-, si bien opera de manera diferente. Su principal problema es la carencia de escritura. Ya no se está, pues, frente a un “ignorante” que debe ser llenado de saber, sino de un experto que trabaja con otra lógica.

Lo que acabamos de decir constituye quizás la principal consideración sobre los saberes previos, si bien existen otras que no por estar más alejadas de las prácticas diarias dejan de plantear enormes desafíos. La más importante, con toda seguridad, es la de responder a la pregunta de por qué coinciden no sólo los resultados de las investigaciones realizadas en diferentes países -sin que medie entre ellas comunica- ción alguna- sino básicamente el dar cuenta de las similitudes existentes durante largos períodos históricos y en los más diversos espacios. Como lo muestra la historia de las matemáticas, tales procedimientos fueron utilizados por los pueblos egip- cio y mesopotámico.

Al revisar la bibliografía sobre la investigación de los procesos de enseñanza- aprendizaje de la aritmética entre lo niños, encontramos que ahí también se han encontrado estrategias similares. Tendríamos, entonces, convergencias entre niños escolarizados y adultos analfabetos que nunca asistieron a la escuela; pero, además, convergencias de estos últimos con las poblaciones de culturas que vivieron hace muchos siglos (Dickson, Linda et al., 1991).

Ciertamente Piaget con su tesis ontogenética ya había encontrado situaciones similares en el surgimiento de nociones físicas, matemáticas y biológicas en los ni- ños (Piaget y García, 1982). Pero a las puertas de la postmodernidad, muchas de las tesis de los estructuralistas se encuentran seriamente cuestionadas.

Las similitudes encontradas ¿no son más que el producto de la ilusión generada por el efecto Pigmalión, es decir, que los investigadores sólo “ven lo que esperan ver”? ¿Hay ahí indicios de condicionamientos biológicos, de estrategias universales, de juicios sintéticos a priori (a la manera kantiana) o, simplemente, respuestas aná- logas frente a problemas similares?3’

No pretendemos responder aquí a tan compleja cuestión. Esa es una tarea que compete a los especialistas en epistemología y psicología.

Nuestra preocupación central es de carácter educativo, de ahí que la reflexión que sigue se encuentre íntimamente ligada con los fines de la educación y, más específi- camente aún, con los supuestos de los diversos modelos que orientan el reconocimiento de los saberes previos.

32 Esta temática la abordamos en la ponenciaAnalj¿ubetismojüncional, los conocimientos informados y los

medios masivos, presentada en la Reunión Técnica de la REDALF, San Salvador, 24-27 de noviembre de 1992. Cf. Mariño (1993).

79

¿QuÉ HACER CON LOS SABERES PREVIOS?

El reconocimiento y la caracterización de los saberes previos es un resultado en el que convergen, desde perspectivas diferentes, las investigaciones realizadas en el campo de la educación de adultos y de niños.

En la educación de niños se parte de una visión básicamente epistemológica, derivada de 10s trabajos de la Escuela de Ginebra y plasmada posteriormente en lo que se denomina el enfoque constructivistu. En esta perspectiva, el niño es un sujeto activo que, mediante una diaiéctica donde se conjuga lo que sabe previamente (“ama- rrado” a un determinado desarrollo lógico) con lo que le llega, va resignificando o rechazando lo nuevo (proceso de asimilación-acomodación).

En la educación de adultos el abordaje es sociológico y antropológico. Sociológi- co, en la medida en que se parte del presupuesto que desconocer los conocimientos de los adultos es simplemente una actitud altiva y vanguardista, con serias implicaciones en el plano político. Antropológico, porque se tiene como premisa la existencia de la diversidad cultural, lo que inicialmente sólo es claramente aceptado para otras etnias (de ahí, por ejemplo, los trabajos pioneros en etnomatemática) pero que gradualmente se va extendiendo a los grupos campesinos y urbanos marginales, ha- blándose entonces de culturas populares, las cuales deben ser respetadas y tenidas en cuenta.

Encontramos, pues, una convergencia, obtenida desde perspectivas diferentes. Pero existen también divergencias, explicables en gran medida precisamente por el ángulo de acercamiento. Las divergencias se presentan en la respuesta a la pregunta: iqué hacer con los saberes previos?

Para el enfoque constructivista, los saberes previos son indispensables para lograr que los alumnos aprendan lo que la escuela ha determinado de antemano. Esta posición es perfectamente justificable en la medida en que la escuela es una instancia donde se socializa el saber acumulado por la humanidad. De ahí que los niños, a partir de la “destrucción” de sus hipótesis previas (por sucesivos conflictos cognitivos, por ejemplo), deban ir acercándose a los saberes considerados por la comunidad científica como los más potentes en un determinado período histórico. Los saberes previos deben ser “extirpados”, para ser gradualmente sustituidos por los saberes estatuidos. En este sentido, lo que el enfoque constructivista propone en última instancia es más bien una reconstrucción que una verdadera construcción.

Sin embargo, el enfoque constructivista no logra evitar la idea de objetivos prede- terminados, ni siquiera enriqueciéndose con las tesis de Vigotsky quien incluye la dimensión cultural y social que, en gran medida, Piaget soslayó (al concebir al nino como un agente solitario que conquista gradualmente el mundo).

En este sentido, es muy serio el cuestionamiento que manifiesta el comentario que formula Jerome Bruner sobre la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), en una de las tesis vigotskianas más sugestivas, según la cual los niños avanzarían siempre de

lo que son (culturalmente) hacia una zona próxima que le propone el medio social (escuela, tradición, padres, etc.), siempre y cuando ésta se encuentre “al alcance de”, es decir, que no esté excesivamente lejos.

Haciendo un poco de futurología sobre las ideas de Vigotsky, Bruner afirma: “sus tesis saben demasiado a liberalismo del siglo XX. ¿La zona de Desarrollo Próximo es siempre la mejor? ¿El estrato superior de quién?’ (Bruner, 1988, p. 84).

Situaciones muy diferentes ocurren en el campo de la educación de adultos. Por una parte se encuentra la tendencia populista, para la cual sólo existe una posibilidad: la admiración incondicional de los saberes populares. Los adultos no sólo saben, sino que lo que saben es definitivamente superior y. por consiguiente, sus saberes deben mantenerse intactos y reverenciarse. Estos casos son muy frecuentes en campos como los de la salud, la agricultura, etc., y. obviamente, también se dan en las propuestas de educación matemática (y en etnomatemática).

En la educación de adultos también existe otra posición, que se podría enmarcar dentro de lo que se denomina el “diálogo cultural”. Como su nombre lo indica, consiste en enriquecerse con las distintas miradas. No se trata aquí de conocer al otro para “arrasarlo”, como lo pueden hacer los misioneros que aprenden una lengua indígena para luego traducir la Biblia e imponer, en nombre de una cultura superior, una determinada religión. Se trata de un intercambio de saberes, que sin ceder al populismo, evite la tentación del mesianismo.

En términos de educación matemática, el reto consistiría en diseñar sistemas de notación numérica o algoritmos para la suma, por ejemplo, que retornando las estrategias contenidas en los saberes previos las calificara con los aportes de la matemáti- ca estatuida.

LES posible llevar a la práctica esta última alternativa? &Se puede diseñar un currículo, unos materiales, unos procesos de capacitación y evaluación para tal empresa? A continuación, precisamente, presentamos un recuento de los alcances y desafíos planteados por las experiencias realizadas desde dicha óptica, algunas efectuadas en pequeña escala y otras a nivel de todo un país (por los Ministerios de Educación de Colombia, Ecuador y El Salvador).

ALGUNAS EXPERIENCIAS ALTERNATIVAS CON EL uso DE LOS SABERES PREVIOS

En pequeña escala

Los saberes matemáticos previos de jóvenes y adultos han sido utilizados en pequeña escala (nivel micro) de dos maneras. La primera como “telón de fondo”, como referente teórico para ayudar a comprender eventuales problemas de aprendizaje; el educador los tiene presentes para encarar situaciones donde los alumnos dan respuestas

81

“raras”, las cuales se consideran tradicionalmente “erróneas”. La segunda manera de utilizarlos está muy cercana de la óptica populista: se los presenta de manera autosuficiente, sin preocuparse por “conectarse” con el mundo de la escritura mate- mática estatuida. Dicho de otra manera: se asume una postura aislacionista.

Los algoritmos, por ejemplo, a pesar de que se enriquecen con la escritura (se respetan los procedimientos utilizados, pero se les “agrega” la escritura) -existiendo por ello una gran dosis de diálogo cultural, pues una cultura aporta el algoritmo y la otra la escritura- se detienen en la sistematización escrita de los saberes. Esto se justifica aduciendo que lo verdaderamente importante es que los jóvenes y adultos aprendan mejor lo que saben, lo que de por sí ya implica un tiempo que, en caso de alargarse (precisamente por tratar de dar visiones más amplias), bien podría incidir en el aumento de la ya inmensa deserción existente en tales programas.

Esa fue nuestra posición inicial entre 1983 y 1985.33 Escribíamos entonces: “No somos populistas, porque introducimos a los saberes

prácticos tanto la escritura para los algoritmos (que sólo “registra” mentalmente), como el sistema posicional (...), pero el adulto es pragmático e inmediatista; desea aprender cosas que le sirvan y, además, quiere hacerlo rápido.

Asumir la propuesta (presentada en la cartilla Cuentas claras-1983) contribuye a disminuir la deserción (...) y, más aún, en el caso de que deserte, se va con un conocimiento que optimiza su desempeño matemático y no como antes, donde lo único que se lleva son unos procedimientos ininteligibles que bien pronto terminará por olvidar (Mariño, 1986, pp. 69-70).”

Diez años después vemos con claridad que nos encontrábamos deslumbrados por el descubrimiento de los saberes populares y que llegábamos a valorarlos tanto que asumíamos una posición aislacionista.

Quizás nuestra terquedad no fue más que la expresión de un período histórico, donde requeríamos a toda costa darle identidad a los sectores populares para com- pensar las desigualdades sociales.34

33 Nosotros realizamos, en ese período, tres trabajos. El primero se denominó iCómo opera mufemática- mente el adulto del sectorpopular’? (Hipótesis para una investigación) y fue publicado en el marco del proyecto Co97347-5-02-83, financiado por COLCIENCIAS. Se trata de un estudio de carácter exploratorio que, como lo indica su subtítulo, no tenía mayores pretensiones. Una vez concluido este primer trabajo, emprendimos el diseño de una cartilla, Cuentas claras, de la que se imprimió sólo 100 ejemplares. Esta fue experimentada con vendedores de la Central de Abastos de Bogotá (CORABASTOS), apoyado por un pequeíio grupo de estudiantes de Psicología de la Universi- dad Javeriana. En 1986, como resultado que se continúa en 1985, nuevamente con el auspicio de COLCIENCIAS (CO 3217 - 10-002 -85), se publica una nueva aproximación; esta vez se trata de un estudio de 86 páginas que lleva el mismo título que la primera, pero con un subtitulo diferente: constataciones y propuestas, en la que se plantean nuestros puntos de vista in extenso.

34 La identidad nos llevó también a “rescatar” en la cartilla Cuentas claras ese asombroso ábaco de los incas llamado Yupana.

Una alternativa intermedia: la campaña CAMINA del Ministerio de Educación de Colombia

Hacia 1984, Jorge Castaño reelaboró los materiales de matemáticas (cartilla Leo y Escribo) para la campaña CAMINA, impulsada masivamente en Colombia. Este caso es muy interesante porque retorna tan sólo parcialmente nuestros planteamientos sobre los saberes previos de los jóvenes y adultos de los sectores populares.

Ciertamente, parte de una valoración de tales saberes: “Después de pedirle a los adultos que realicen una suma planteada en la cartilla, comenta: describa las operaciones que hizo en la mente (...). Claro, no es tan fácil. Uno también hace muchas cosas en la cabeza que después no sabe explicar (...). El adulto está descubriendo o, como se dice, “tomando conciencia” de sus métodos, y usted está aprendiendo cómo es que ellos hacen las operaciones. (Colombia, Ministerio de Educación Nacional, s.f., p. 63).”

Un poco más adelante, explicando una página de la cartilla donde aparece una estrategia del adulto, se dice: “(...) piense en la satisfacción que da el encontrar escrito, nada menos que en libro, jalgo que se ha descubierto por su propia cuenta! (Colombia, Ministerio de Educación Nacional, s.f., p. 64)”

Sin embargo, a pesar de la valoración positiva, toma distancia de una propuesta “radical”. Los pasos que presenta son, básicamente, los siguientes:

Primero: Problema -escritura de métodos usados por los adultos. Análisis de esos métodos.

Segundo: Presentación de problemas para encontrar un método que mejore los

anteriores. Tercero: Presentación de este nuevo método ligado a situaciones con dinero y

después con números. Cuarto: Presentación del método que nos han enseñado en la escuela. Dicho de otro modo: hace reconocer parte de los saberes de los adultos para pasar

a plantear sus limitaciones y posteriormente introducir “el método que nos han ense- ñado en la escuela”. Y al método estatuido le agrega el ábaco.

No estamos aquí frente a la primera perspectiva señalada, es decir, los saberes como telón de fondo para comprender problemas de aprendizaje; va mucho más allá: los recupera y hace tomar conciencia de ellos (tanto al educando como al educador).

Ahora se entiende por qué constituye una alternativa intermedia: los saberes previos son el punto de partida, pero no juzga prudente trabajar con ellos durante mucho tiempo. Veamos un segmento de la cartilla donde se presenta un ejemplo a propósito de la sustracción.

83

Esta conversación tiene entre sus temas ciertos aspectos que, seguramente, tocan muy de cerca a algunos participantes: por ejemplo, los problemas que tienen para encontrar mercado para sus productos, las consecuencias que trae verse obligados a vender a precios desventa- josos y otras situaciones similares. Apro- veche para interiorizarse en hechos que explican muchos de los problemas de este país. Talvez surjan ideas interesantes para enfrentar esos problemas y hasta acciones concretas... Definitivamente, es mucho lo que Ud. puede hacer a este respec- to.

10 Problemas de sustracción o resta

Observe, cuidadosamente, los 3 gráficos de esta lección. Verá que se siguen los mismos pasos que en la lección 8: “Adiciones o sumas completando la decena” ( es evidente que aquí se trata de “descompletar” y no de completar).

Como se trata prácticamente de lo ~--___ -~___~ __ .-- mismo, dediquemos un tiempo a ver como reaccionan en este caso los adultos parti- ~. cipantes (Ud. tendrá acceso, oportuna- mente, al conjunto de la lección). ___~-.----

84 CONOCIMIENTO .+fAT.?MhCO EN I.4 EDUCaCIh’ DE 36VENES Y ADLILTOOS

Miremos, por ejemplo, este caso: 27-8. El método del participante es, más o menos, el siguiente:

Como se puede observar, en este mé- todo se suma para poder restar!

Y este procedimiento es tan válido como el tradicional. Si no fuese porque con números grandes, por ejemplo de 3 cifras, el primer método se hace largo, difícil y poco práctico, hasta podrfamos prescindir del tradicional.

Veamos que se puede hacer con el ábaco en estos casos. Como siempre es muy útil. Trabajemos con el mismo ejemplo 27-8.

Para profundizar en como opera el adulto puede consultar a: Germán Mariño: ¿Cómo opera matemáticamente el adulto del sector popular? Hipótesis de una inves- tigación, Dimensión Educativa, Bogotá, Colombia.

Situación inicial Situación intermedia

Como no se puede sacar 8 de 7, es necesario sacar una

+ tapita del grupo de 10 y pa- sarla a la primera fila de la derecha.

Ahora en la fila de la derecha hay 17 tapitas de las que se sacaron 8.

Situación fiial

¿Qué le parece? Haga, Ud. ahora la siguiente operación: 36-7

Observe como este conjunto ilustra, al pie de la letra y a las mil maravillas, el método que usarnos diariamente:

27 -8

7-8 no se puede, entonces

17-8=9 ) (1) 27

-8 9

<

Ahora “bajo” el

1 (1) (17)

27 -8

19

El 1 que se pide “prestado” es la tapita que pasó ala tila de la derecha en el Abaco convirtiéndose en 10 (en el sistema decimal el 1 de la izquierda vale 10 a la derecha y el 10 de la derecha es 1 a la izquierda)

Hay que tener presente que este método, tan difícil de ser entendido cuando se explica sólo con números, es facilísimo con el Abaco . Sin embargo, no ha llegado aún el momento de presentar a los participantes este método aparentemente tan complicado. Se requiere que los participantes vayan avan- zando poco a poco.

El segmento que acabamos de presentar ilustra cómo, al mismo tiempo, retorna pero toma prudente distancia: “Si no fuera porque para números muy grandes el método resulta largo, difícil y poco práctico, hasta podtíamos quedarnos con él”.

Al respecto podríamos anotar que, ciertamente, el método resulta largo y difícil cuando todo se tiene que llevar en la memoria, pero existe la posibilidad de utilizar la escritura, sin abandonar el algoritmo original. Eso es precisamente lo que intenta- mos hacer en las experiencias que reseñaremos posteriormente.

De todos modos, sin pretender cerrar la controversia -hasta dónde es prudente “despegarse” de los algoritmos “espontáneos”- quisiéramos pasar a comentar la alternativa implementada: el dbaco.

Sin lugar a dudas, la utilización del ábaco es la propuesta que más frecuentemente aparece cuando hablamos de innovaciones en el campo de la educación matemáti- ca de jóvenes y adultos. En el encuentro sobre el tema, realizado en Medellín (Co- lombia) en 1990, el ábaco estuvo representado por tres experiencias muy consolida- das: la del grupo del CLEBA (Colombia), desarrollada por Orlando Mesa y Gabriel Pareja; la de Newton Duarte (Brasil) y la de Luis Benavides, del CREFAL (México) (Dimensión EducativaKLEBA, CEAAL, 1990). Más recientemente (1990), Ramiro Párraga, de la Comisión Episcopal de Educación de Bolivia, publicó el Abecedario Matemático, donde retorna el Yupana (Jakhuña) de los incas.

Cuando escribíamos las Impresiones Generales en la parte introductoria de las memorias del libro del encuentro de Medellín antes mencionado, anotábamos: “NO es fácil escribir algunos comentarios de un encuentro donde hubo tantos

desencuentros (...) precisamente uno de ellos fue la función de los apoyos didácti- cos: 2 Calculadoras electrónicas? ¿Abacos ? iRompecabezas? o simplemente cabe- zas? (Dimensión EducativaKLEBA, CEAAL, 1990, p. xiv).”

Lo decíamos porque ahí se presentó un debate muy interesante sobre los apoyos didácticos. Las opiniones sobre el ábaco eran muy diversas. Para algunos era un instrumento clave, que facilitaba enormemente el aprendizaje; otros (entre quienes me incluyo), no terminábamos de ver claro su papel.

Si los adultos de los sectores populares operan mentalmente, ¿para qué utilizar materiales concretos? ¿No supone esto adoptar una posición involutiva? El regreso a lo concreto, $0 es innecesario con personas que han elaborado los conceptos y operan con ellos en la cabeza‘?

No podemos dejar de recordar la polémica de Piaget con Montessori sobre el uso de algunos materiales didácticos, independientemente de lo que sucede “por dentro” de los niños. El concepto de “número”, por ejemplo, no se imprime como una copia de la realidad, como postulan los empiristas.

LCuáles son las implicaciones del uso del ábaco si no se tiene en cuenta para nada los algoritmos ya elaborados por el adulto ? $e podría utilizar el ábaco para visualizar el sistema posicional -que el adulto no maneja-, pero sin “arrasar” con los sistemas de notación “espontáneos” (los cuales son, entre otros, aditivos y multiplicativos) y los algoritmos previos? Más aún, ¿se podría utilizar el ábaco para visualizar el desarrollo de los saberes previos?

Ciertamente, nos parece una controversia muy interesante, que aún debe ser obje- to de debate. Avanzarfamos muy poco si simplemente nos situamos en dos bandos: quienes defienden el ábaco y quienes lo impugnan. La propuesta de Jorge Castaño da algunas pistas sugestivas que bien podrían ayudar a esclarecer el debate.

El Programa Nacional “EL ECUADOR ESTUDIA” del Ministerio de Educación del Ecuador

Hacia mediados de 1989, el Ministerio de Educación del Ecuador contrata al Centro de Educación y Promoción Popular (CEPP) -una ONG con sede en Quito- el diseño de una propuesta curricular y la elaboración de los materiales para el nuevo Progra- ma de Educación Básica de Adultos. Esta institución, con la cooperación técnica de funcionarios del ministerio y, en algunos puntos, con la colaboración de otras ONG,35 desarrolla su propuesta hasta principios de 1991. El área de matemáticas se desarrolla como parte de un currículo integrado donde hay temas como la educación, la salud, el trabajo y el medio ambiente.

35 La Corporación Ecuatoriana de Investigación y Servicios Educativos (CIESE), por ejemplo, trabaja cl tema generador Nuestra Educación. El eje de participación social fue trabajado por la Asociación Lati- noamericana de Derechos Humanos (ALDHU).

- .-.

LOS SABERES XM’EbGíTICOS PREVIOS DE J6VENZS Y ADLUOS: ALCANCZS Y DEsAFíOS 87

En esta experiencia se solicitó mi contribución en calidad de consultor y tuve la posibilidad de proponer una estrategia ya decantada, en la que se superaba la fase aislacionista de mi primera etapa y se planteaba un desarrollo simultáneo tanto de los sistemas de numeración (del adulto y el estatuido) como de los algoritmos para las cuatro operaciones aritméticas.36

Las personas que estuvieron a cargo de la elaboración de los materiales de mate- máticas (integrado en los módulos generales) fueron Norma Crespo (en la primera parte) y fundamentalmente, Cristina Jurado, quien venía de realizar un amplio trabajo de diseño de materiales para la enseñanza de matemáticas en un programa de educación a distancia (coordinado por el mismo CEPP).

El primer módulo (unidad de refuerzo), plantea la suma (llevando una y dos veces) y la resta. Como ya se mencionó, en esta propuesta se plantean simultánea- mente la escritura de los dos saberes, respetando el hecho de que el adulto suma “de los números grandes a los pequeños” (es decir, de izquierda a derecha) y que los números los escribe como se pronuncian (sistema aditivo-mulltiplicativo). Veámoslo en la página de la cartilla que se presenta a continuación:

Etapa 4

En esta etapa se realizan sumas “llevando” dos veces

l Ejercicio 1

Pedir que lean los problemas y luego analicen las sumas:

En un primer momento, al sumar 600 600 60 3 más 500 se obtiene 1.100 que se escribe +500 80 2 1.000 100 1000 100

600 60 3 Luego, se suma 60 + 80, obteniendo +500 80 2

140 y se escribe 100 40 1000 100

100 40

36 La coordinación técnica estuvo a cargo de Cecilia Amaluisa y la del diseño curricular de Rolando Pichún.

88

Ahora, se suma 3 + 2

Finalmente, se suma todo

Así se llega al resultado: 1.245

600 60 3 +500 80 2

1000 100 100 40 5

600 60 3 +500 80 2

1000 100 100 40 5

1000 200 40 5

Explique estos pasos en el pizarrón y haga lo mismo con el segundo problema. Sugiera que calculen cuanto dinero necesitan para comprar el diario, si es que

llega a su comunidad. En ese caso proponga que los participantes junten el dinero para comprarlo, aunque sólo puedan hacerlo algunas veces y lean el periódico en grupo.

9 Ejercicio 2

En este ejercicio los participantes resolverán las sumas siguientes:

Respuestas: 356 + 478 = 83,684 - 97 = 781 824 + 418 = 1.242,593 + 631 = 1.224, 3.468 + 2.716 = 6.184

En los módulos 1 y 2 se “despachan” todas las situaciones de la suma y la resta. Pero la situación se complica cuando se pasa a la multiplicación y a la división.

En el telefax enviado el 17 de mayo de 1990, Cecilia Amaluisa y Cristina Jurado comentan: “(...) En este momento tratamos de definir la conveniencia o no de presentar al educando el proceso tradicional de la multiplicación, tomando en cuenta que en el estudio de la suma y la resta se hizo un tratamiento paralelo de los dos procesos, de tal suerte que el educando, en un momento determinado, pueda aplicar el proceso tradicional (para la suma y la resta).

Pero con respecto a la multiplicación nos preguntamos: (...). Tal vez le interesa al adulto conocer los mismos procesos que manejan los demás (...) hay quienes plantean la necesidad de incluir los procesos tradicionales como mecanismo para mantener latente el interés del adulto por terminar la primaria (...).”

De todos modos y al mismo tiempo, la misma Cristina Jurado plantea alternativas para enfrentar el problema, sugiriendo “puentes” para pasar de un proceso a otro. Mi respuesta trata de incentivar la prosecución de una línea innovadora:

“Mi primera consideración es que hay que reconocerle al algoritmo tradicional dos grandes ventajas: su velocidad y el pequeño espacio de papel que requiere, aunque tal valor se empieza a relativizar cuando pensamos en que también (y con mucho mayor éxito) lo logran realizar las calculadoras electrónicas, ya no tan imposibles de adquirir por parte de los adultos.

El algoritmo tradicional es rápido y corto, pero es básicamente mnemotécnico. Es el resultado de sucesivas abstracciones que lo han alejado de la explicitación. El problema está en que en aras de esa velocidad, se soslaya el proceso analftico y termi- na aprendiéndose de memoria. Pero el algoritmo en sí mismo no es malo; lo malo es que se presente dejando a un lado su comprensión y, en el caso de los adultos, sus maneras de operar, el camino aprendido en la práctica social.

Creo, entonces, que el algoritmo tradicional bien podría ser enseñado, pero sin pretender atribuirle funciones que lo desbordan (pues, precisamente, ha desarrollado su optimización mediante el ocultamiento del proceso). Podría enseñarse como lo que es: un procedimiento mnemotécnico. El tratar de convertirlo en analítico nos conduce necesariamente a procesos similares a los identificados para el adulto no escolarizado.

Lo anterior implicaría que de todos modos habría que enseñar el camino analítico y, para el caso de la multiplicación, quizá no de forma paralela, sino posterior. Veá- moslo con el ejemplo que me envían (421 x 248).

Primer paso: proceso rápido.

421

1 .......................... 248 10 .......................... 2480 20 .......................... 4960

100.. ........................ 24800 200 .......................... 49600 400 .......................... 99200

248 4960

9920 104408

Segundo paso: Transición al algoritmo tradicional (puede omitirse posteriormente y pasarse directamente al tercer paso)

Segundo paso Tercer paso

248 248 X 400 20 1 X 421

248 248 4960 4960

99400 99400 104408 104408

En la multiplicación, el algoritmo del adulto explicita fantásticamente todo aquello que oculta el algoritmo tradicional (por ejemplo, los ceros).

Ciertamente, el denominado por ustedes proceso más rápido es una bonita y ele- gante alternativa que, eventualmente, podría sustituir el segundo y tercer pasos propuestos por mí o que bien podría integrarse de una manera como:

248 1 . +

248 -. --- 248

x 421 ----, -- 248

20 4960 4960 4960

400 99400 9400 99400

104408

Con este proceso más rápido, afinado con la explicación de los ceros, es posible tener una sugestiva propuesta que podría “venderse” con relativa facilidad.

Pero en caso de que no se lograra suficientes adeptos, se podría negociar que una vez realizado tal proceso se trabajara el algoritmo mnemotécnico, enseñando a construir las tablas, pero de manera sintética, como en la forma clásica (que no vale la pena entrar a desagregar aquí, salvo que habría que aclarar que sería suficiente con construir una única tabla que contuviera los resultados del 1 al 9). A la objeción de que el proceso entonces se alargaría demasiado se puede responder que no, puesto que esta fase no se trabajatía de forma analítica (pues, irremediablemente, regresa- ríamos a una explicación similar a las vistas; y el hecho de utilizar una forma analí- tica distinta a la ya elaborada por el adulto sería una gran pérdida de tiempo, además de que nuevamente lo estaríamos considerando un ignorante que no sabe nada, 10

que es tremendamente bancario y patemalistaj. De la manera anterior podríamos motivar al adulto para que continúe su prima-

Los SABEREr, hfATMATIcos PREVIOS DE JOVENES Y ADmmS: Alc4~CEs Y DESAROS 91

ver con el no tener en cuenta para nada sus saberes. Obviamente que ellos no alcan- zan a conceptualizarlo y no nos lo van a expresar directamente, simplemente no vuelven.

Un razonamiento parecido al de la multiplicación podríamos hacer respecto a la división. Es decir, se podría presentar el algoritmo desarrollado por el adulto y posteriormente, como una estrategia básicamente mnemotécnica, el algoritmo tradicional:

Veamos un ejemplo: 135 G-12

Primer paso Segundo paso

100 30 51 12 1 ===-= 12 . . . . . . / -100 20 10 1

0 10 5 2 __- 24 . . . . . . / -10-2

Tercer paso

135 12 L- -12 ll

15 - 12

3

Ciertamente, la correspondencia entre el algoritmo del adulto y el algoritmo tradicional no siempre se ve tan claramente, pero podrían crear- se escrituras para lograrlo.

Finalmente, con mis sugerencias y los aportes de Cristina, el módulo 3 plantea 1. Las lavanderas están metidas en el agua 9 horas y trabajan 5 días por semana.

¿Cuántas horas semanales están metidas en el agua?

5x9 Y-----l b 9-----Y

5 18 45 * columna de la

izquierda 5x9=45 columna de la

derecha

En promedio, las lavanderas están metidas en el agua 45 horas por semana.

2. Si, en promedio, las mujeres lavan 18 docenas de ropas por día y lo hacen durante 5 días a la semana, pántas docenas lavan en una semana?

5x 18 Y------l b l8 +----Y

5 36 b 90 72 - b

La adopción de la Primera Propuesta (en el intercambio de faxes) podría también haber quedado:

34 X . . . . . . . . . . . . 12

1 34 2 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10 340 . . . . . . . . . . . . . J4cJ 408

De la manera anterior se pueden ir enseñando los dos sistemas de escritura simultáneamente.

La división, ya en la cartilla (módulo 3) quedó de la siguiente manera:

Zoila tiene tres hijos y repartirá entre ellos los 24 pancitos que preparó. ¿Cuántos pancitos dará a cada hijo?

Como son tres hijos: Si a cada uno da 1 pancito, necesita 3

pancitos; Si a cada uno da 2 pancitos, necesita 6 pancitos; Si a cada uno da 4 pancitos, necesita 12 pancitos; Si a cada uno da 8 pancitos, necesita 24 pancitos; A cada hijo dará 8 pancitos.

93

Dividamos 24 pancitos entre 3 niños y el resultado será 8.

i Cómo haríamos la siguiente repartición?

l Nos encargan de la distribución de 240 sacos de sal yodada entre 5 establecimientos comerciales.

iCuántos sacos de sal yodada recibirá cada establecimiento?

Aquí tenemos la cantidad 240+5,

\ que repartiremos.

1-5 2 .-+ 10 4 t------h 20

Aquí tenemos 20 .b 100 240 lacantidad que 40. ,200 . 1 repartiremos.

240x5 = l------l

En cada establecimiento podemos entregar ( sacos de sal yodada.

Ejercitemos la división resolviendo otros problemas que nos entregue el educador.

La experiencia del Ecuador muestra cuan difíciles son las innovaciones, sobre todo cuando se intentan a nivel masivo.

Obviamente, toda innovación requiere un componente muy grande de capacita- ción y seguimiento que, por lo menos inicialmente, no se dio como se hubiera requerido. De ahí que cuando en 1991 asistí a un encuentro informal con supervisores del ministerio, las respuestas eran muy disímiles. Algunos -afortunadamente una mino- ría- no se habían terminado de convencer de las “bondades” de la propuesta. Y si ellos mismos eran los encargados de capacitar en las provincias a los educadores de adultos, las cosas no auguraban mucho éxito.

La apropiación de la propuesta no fue del todo fácil, pues a pesar de que algunos funcionarios del ministerio participaron activamente en la primera etapa del diseño

curricular, posteriormente, la elaboración de la parte “menuda” quedó a cargo de los especialistas de las ONG, creándose tensión dado que varios funcionarios no sentían la propuesta (en general y no sólo en relación con las matemáticas) como algo propio.

Por consiguiente, había que empezar por limar los problemas creados por una débil capacitación y por el sentimiento de no apropiación, lo que gradualmente se ha venido logrando.

El proyecto movilizador de alfabetización y educación básica para todos en El Sal- vador, Ministerio de Educación de El Salvador

En 1990, en el marco del proyecto PNUD-UNESCO, la Dirección General de Educa- ción de Adultos tiene a su cargo el diseño de los materiales de matemáticas y yo fui contratado en calidad de consultor.37

En El Salvador se presentaban unas condiciones óptimas, pues existía la posibilidad de partir de una investigación que recuperaba los saberes previos de los educandos. En el marco de dicha investigación se entrevistó, en el lapso de dos meses, a 192 adultos analfabetos, distribuidos en varias regiones del país y que representaban a cinco áreas de actividad: agropecuaria, comercio, servicios, pesca y artesanía.38

De las 192 personas entrevistadas, 93 habían asistido alguna vez a la escuela y 99 no lo habían hecho nunca; 79 eran hombres y 113 mujeres. De los entrevistados, 122 realizaban sus cuentas mentalmente y el resto utilizando otras formas (solicitando ayuda, utilizando una calculadora, escribiéndolas en un papel).

Los resultados vinieron a confirmar lo hallado en las investigaciones anteriores sobre los sistemas de notación y los algoritmos aritméticos (El Salvador, Ministerio de Educación, diciembre de 1990), agregando valiosa información sobre los sistemas de medida, tanto de longitud como de superficie y peso.

Tomando como base la investigación, se procedió entonces a producir los cuadernos de trabajo-cartillas. Se logró imprimir:

Guía para el Facilitador. N” 1 - Numeración de 0 a 99 N” 2 - Numeración de 999 a 9.999 No 3 - Suma sin llevar N” 4 - Suma llevando una vez

37 Ana Gladys Aparicio se desempeñaba como Coordinadora Adjunta de Educación de Adultos y el ATP (UNESCO) del Proyecto Movilizador de Alfabetización y Educación Básica era César Picón.

3x Los investigadores principales fueron Fredy Alfaro, Valentín Cártamo y Edmundo Salas. Contaron con el apoyo de José Vásquez y Ana Espinal en la Región Oriental, Nelson Martínez en la Región Metropolitana, Do& Pineda en la Subregión Central Metropolitana y Raquel Arias, de las Muchachas Guías de El Salva- dor.

Los SA*EaPs MATmÁTIcos Pa!xIOS DE JóvaNEs Y ADIRTOS: ALCANCES Y DESArioS 95

No 5 - Suma llevando dos veces y casos especiales N” 6 - La resta sin prestar En el juego de cartillas-cuadernos de trabajo previo se presentaban simultánea-

mente (para la suma y la resta) los sistemas de escritura que expresaban el algoritmo de los adultos y el algoritmo estatuido.

A continuación presentamos dos páginas con ejemplos: la suma se escribe en notación “expandida” y se realiza de izquierda a derecha y la resta se hace buscando el complemento, lo que le hace falta para...

cdu + du = cdu

Estefanía le dio a su mamá 147 mangos y a su cuñado 85 mangos. ¿Cuánto nangos les dio?

100 40 7 147 + 80 5 85 =

100 100 20

10 2 200 30 2 232

96

Alicia compró un kilo de carne por 14 colones... y pagó con un billete de 25 colones. ¿Cuánto le dieron de vuelto?

25 5-----l

20 6-----l

25 - 14 =

14 - -,---- 11 ll ll

Cree otros problemas a partir de situaciones de la vida diaria.

38 - g------4

30 10 --1

20 15 -----l

5= 33 l .- . ..---• 33 44 +----.- ., 44

47 - EI 3=

LOS SABER23 MAT~TICOS PREVIOS DE J6”ENEs Y ADLZTOS: ALCANCE.5 Y DESAFíOS 97

El proyecto llegó a “andar un buen trecho”, desde 1990 hasta 1993. Sin embargo, en el ano 1994, la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) y el Ministerio de Educación firman un convenio denominado PAEBA (Plan Nacional de Alfabetización y Educación Básica) GOEZ-ESPA- ÑA-0~1.

El objetivo de este convenio era diseñar el currículo y los materiales ya no sólo pensando en la alfabetización, sino en toda la educación básica. Por otra parte, se modifica el enfoque, pasando de un tratamiento por áreas a un tratamiento integrado. Gran parte del personal del equipo que había participado en la investigación sobre saberes matemáticos previos es asignado a otras funciones.

En dicho marco, la propuesta consistente en trabajar los saberes de los adultos es olvidada y en los nuevos materiales se introducen las formas tradicionales estatuidas.

Sin embargo, hacia 1994 el equipo es reconstituido y este toma la decisión de incorporar los resultados de la investigación en los módulos que faltaban para el primer nivel, los cuales trabajan la iniciación a la multiplicación y la división, acor- dándose que se van a revisar, para la impresión final, los módulos donde se presentan la suma y la resta, y en ellos se integraran los saberes previos.

El equipo reconstituido no sólo logra lo anterior, sino que plantea, tanto para la multiplicación como para la división, sugerencias interesantes, sobre todo en fun- ción de la construcción de puentes con los saberes estatuidos.

Para efectuar la multiplicación y la división se presentan paralelamente la estrategia del adulto y las tablas de multiplicar. En la multiplicación, finalmente construye dos tablas: una abreviada (en el caso del algoritmo del adulto) y la tabla “completa” (algoritmo estatuido). Como se puede observar en el ejemplo de la página siguiente:

Algoritmo del adulto Algoritmo estatuido

1 ................. 2 2 x 1 ........... 1 2 ................. 4 2 x 2 ........... 2 4 ................. 8 2 x 3 ........... 6 8.. ............. 16 2 x 4 ........... 8 9.. ............. 18 2 x 5 ......... 10

2 x 6 ......... 12 2 x 7 ......... 14 2 x 8.. ....... 16 2 x 9.. ....... 18

La tabla abreviada procede de duplicaciones, pero a diferencia de la escritura propuesta en el Ecuador, el resultado final no lo obtiene retornando los resultados parciales (2 + 16), sino que escribe 9.....18, lográndose más claridad en la escritura del resultado final.

Ciertamente, la introducción de las tablas resulta un recurso interesante para establecer puentes con los algoritmos estatuidos. Lógicamente, a medida que trabaja- mos con números más grandes es necesario introducir otros componentes (por ejemplo, multiplicar por decenas), sin que eso implique tener que eliminar la tabla de la multiplicación de las unidades (u x u). Más aún, si se quisiera trabajar con tablas abreviadas efectuando operaciones mas complejas, resultará relativamente fácil, puesto que ya se ha consolidado su utilización en los módulos iniciales.

Resolvamos problemas de la multiplicación

Un kilo de azúcar cuesta $2.00. ¿Cuán- p 1 kilo de azúcar cuesta $2.00 to cuestan 9 kilos? 2 kilos de azúcar cuestan $4.00

4 kilos de azúcar cuestan $8.00 R/ Los 9 kilos de azúcar cuestan $18.00. 8 kilos de azúcar cuestan $16.00

1 kilo de azúcar cuesta $2.00 9 kilos de azúcar cuestan $18.00

Otra manera de resolver este problema es por medio de la multiplicacion I

i

La multiplicación es la forma de hacer sumas en forma abreviada.

plicación podemos resolver el problema

¿Cómo resolver el problema anterior por medio de la multiplicación?

pizzc\ p?z-J,Iz

2 X 9 18

Costo total de

R/ Los 9 kilos costarán $18.00.

Los SABERES MA~ncos PREVIOS DE JÓVENES Y ADuLTos: ALCANCES Y oF.sAFíos 99

Leamos y comentemos

Para resolver una multiplicación se usan las Tablas de Multiplicar y para saber qué Tabla usar, se busca la que corresponde al mismo número del multiplicando.

Multiplicando x (multiplicado por) Multiplicador Producto , 1 ,

2 I X 0 = 0 2 X 1 =2 2 X 2 = 4 2 X 3 = 6 2 X 4

1 8

2 X 5 10 2 X 6 = 12 2 X 7 = 14 2 X 8 = 16 2 X 9 = 18 2 X 10 = 20

Ubicamos el multiplicando 2 siguiendo en la misma línea encontramos el multiplicador 9 y más adelante encontramos el 18 que corresponde al producto.

Se lee: dos por nueve es igual a dieciocho.

En los casos de división se procede de la siguiente manera: Para evitar la erosión del suelo debe hacerse una terraza de 21 metros de largo.

Si tres personas hacen la terraza... ¿Cuántos metros hará cada persona?

3 X 1 = 3 3 X 2 = 6 3 X 3 = 9 21 L 3 3 X 4 = 12 21 7 3 X 5 = 1.5 00 3 X 6 = 18 3 X 7 = 21

A MODO DE CONCLUSIÓN

Nuestra pregunta inicial era qué hacer con los saberes propios. Hemos visto el recorrido de tres posibles alternativas (Colombia, Ecuador y El Salvador) y hemos plan- teado las dificultades que se presentaron.

Ciertamente, la introducción de cualquier innovación es un proceso largo y complicado, que en no pocas ocasiones fracasa más por problemas de implementación -tales como deficiente capacitación o cambio de los equipos humanos- que por los “defectos” inherentes a la propuesta misma.

Pero la vida nos ha enseñado a ser realistas y desde hace mucho tiempo aprendi-

mos que es tan sólo una ilusión, sobre todo cuando se trabaja en los marcos de los ministerios de educación, esperar tener las condiciones ideales para lanzarse a expe- rimentar una innovación. De ahí que “a partir de lo que se tiene” nos hallamos aventurado a lanzarnos al agua.

Somos conscientes de que todavía tenemos un largo camino por recorrer y muchas cosas por mejorar (y seguramente también por modificar) en la propuesta. Sin embargo, somos optimistas, pues pensamos que a pesar de todo, con la colaboración y la creatividad de los funcionarios de los ministerios y los aportes de otras personas (especialistas en educación matemática, administradores, diseñadores de currículo, etc.) que se han comprometido en la tarea, algunas pequeñas utopías podrán salir adelante.

AVILA, A., “El saber matemático de los analfabetos. Origen y desarrollo de sus estrategias de cálculo”, Revista Latinoamericana de Estudios Educativos, (Méxi- co), Vol. XX, No 3, pp. 55-95.

BRUNER, J., Realidad mental y mundos posibles. Los actos de la imaginación que dan sentido a la experiencia, Barcelona, Gedisa, 1988 (Traducción del libro Actual Minds, Possible Worlds, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1986).

COLOMBIA, Ministerio de Educación Nacional, Campaña CAMINA. Guía del Alfabetizador, Bogotá (Colombia), El Tiempo, (s.f.).

DICKSON, L. et al., El aprendizaje de las matemáticas, Madrid, Labor, 1991 (traduc- ción del libro publicado en 1984).

DIMENSIÓN EDUCATIVA, CLEBA Y CEAAL, La enseñanza de las matemáticas con los adultos de los sectores populares, Bogotá (Colombia), CLEBA-CEAAL-Dimen- sión Educativa, 1990.

EL SALVADOR, Ministerio de Educación, Producción de materiales educativos de ma- temática básica para adultos en proceso de alfabetización. (Apuntes de una investigación), Nueva San Salvador, Ministerio de Educación de El Salvador, diciembre de 1990.

MARIÑO, G., “Analfabetismo funcional, los conocimientos informados y los medios masivos”, Boletín del Proyecto Principal de Educación en América Latina y el Caribe, N” 32, diciembre de 1993.

-, i Cómo opera matemáticamente el adulto del sector popular? (Constatacio- nes y propuestas), Bogotá (Colombia), Dimensión Educativa, 1986.

-, iCómo opera matemáticamente el adulto del sector popular?, Bogotá (CO- lombia), Dimensión Educativa-COLCIENCIAS, 1983.

PIAGET, J. Y R. GARCíA, Psicogénesis e historia de la ciencia, México, Siglo XX1 Editores, 1982.

SOTO, I., Mathématiques dans la vie quotidienne des paysans chiliens. Tesis doctoral. Universidad Católica de Lovaina (Bélgica), 1992.

Repensando el currículo de matemáticas para la educación de los adultos

Alicia Avila’

Un día, en el transcurso de una investigación, entrevisté a Miguel, un albañil analfa- beto de aproximadamente 50 anos. Era muy afable y bastante habilidoso con las matemáticas. Por ejemplo, hacía cuentas mentalmente con suficiente agilidad. Sabía también identificar los precios de frutas y legumbres (expresados en pesos y centavos) en anuncios de tiendas y supermercados. Recientemente se había quitado tres ceros al peso y tal modificación había llevado al uso de moneda fraccionaría. Sin embargo, Miguel leía bien los precios porque había construido (al igual que otros adultos a quienes entrevistarnos) un sistema que funcionaba mediante la interacción de varios elementos: un conocimiento de los dígitos; la asignación de una función al punto decimal; la construcción de hipótesis acerca del valor de los números repre- sentados; el uso de indicadores de contexto para probar tales hipótesis.

Así, sus respuestas eran, por ejemplo: “La toronja cuesta Tres-sesenta...,& no podría ser 360 porque sería muy cara...; es tres-sesenta”. 0 “(sé que) aquí dice cuatro-ochenta porque éste (el punto decimal) es el signo de los centavos”.

Además. Miguel sabía leer fracciones como 112, 314, ó 718 ya que, nos decía, las

* Docente e investigadora de la Universidad Pedagógica Nacional de México. Muchas de las ideas que expongo en esta ponencia se encuentran desarrolladas en el documentoHacia una red&nición de las matemáticas en la educación básica de adultos, que elaboré en colaboración con Guillermina Waldegg por encargo del Instituto Nacional de Educación de Adultos (INEA-México) en 1994.

veía en algunas herramientas y, en general, en su trabajo, Miguel se veía satisfecho cada vez que sus respuestas mostraban el saber que poseía.

Pues bien, durante la entrevista, Miguel, nos mostró los trabajos que había realizado en la sesión de alfabetización que recién terminaba: una plana donde se repetía la frase “La pelota es de Elisa” y otra en la que se reiteraban también, hasta llenarla, los números del 1 al 5. Ese día pensé no sólo que la educación de adultos era deficiente, sino que en ocasiones ejercía una violencia silenciosa contra quienes se acercan a ella. Al poco tiempo, Miguel abandonó el círculo de estudios; estaba muy por encima de la educación que le estaban ofreciendo. Creo que, desafortunadamente, casos como este se repiten con frecuencia en todos nuestros países.

En efecto, me parece que el caso de Miguel muestra un estado de cosas que podemos resumir en los siguientes términos:

- Hasta hoy la reflexión sobre la educación matemática de los adultos ha sido patrimonio de pequeños grupos. Los currículos vigentes en muchos de nuestros países son aún aquéllos que han sido concebidos por analogía con el currículo infantil y no constituyen sino limitadas adaptaciones de éste. Pero incluso los cambios introducidos han sido triviales, pues las canicas se han convertido en cosechas o herramientas, mientras que se mantienen las secuencias, contenidos y dosificaciones de la educación infantil. En los hechos, sigue sin reconocerse que los adultos cuentan con conocimientos y procedimientos de cálculo que han construido en su experiencia con el mundo y que construyen expectativas sobre la matemática, relacionadas con planes y necesidades vitales.

- El interés por el dominio del cálculo elemental es, con frecuencia, el elemento motor de la asistencia a cursos de alfabetización o de educación básica. La moti- vación principal es evitar el engaño y aumentar la eficiencia en las transacciones comerciales. Pero la oferta educativa actual no responde a tales expectativas. Ademas de las insuficiencias propias de los materiales, la práctica de la promo- ción del aprendizaje se basa en un modelo centrado en la reproducción de símbo- los y el manejo de algoritmos escolares, totalmente desvinculado de la experiencia, los mecanismos de aprendizaje y el interés de las personas.

Los resultados no se hacen esperar. A medida que se interactúa con el sistema educativo, las matemáticas resultan difíciles, ajenas o sin sentido. También hay indicios de que los usuarios del servicio educativo consolidan la idea de que no saben nada. Lo que se puede saber está en el círculo de estudio, en la docente o en los textos y en ninguna otra parte.

Esta situación -que muestra una matemática pobre y poco útil- sin duda ha sido alimentada por la creencia generalizada de lo que se enseña a los adultos en este ámbito es correcto. Afortunadamente, algunos investigadores han orientado sus esfuerzos a examinar el problema del aprendizaje y la enseñanza de la matemática

103

formal a los adultos y han logrado avances conceptuales importantes. Las reflexiones que aquí presento se fundan en esos avances.

LO QUE LA INVESTIGACIÓN NOS MUESTRA

LA riqueza del saber construido en la cotidianeidad

LOS adultos analfabetos o escasamente escolarizados han desarrollado conocimientos, estrategias y procedimientos para resolver problemas cotidianos de cálculo, principalmente vinculados al manejo del dinero y el intercambio comercial (cf. Avila, 1990; Avila et al., 1994; Mariño, 1983; Soto y Rouche, 1995).

Pero los adultos tienen su propio estilo de resolución. Las estrategias construidas en la experiencia vital son diferentes a las que implican los algoritmos escolares. Al contrario de lo que sucede con el cálculo con lápiz y papel, se suma comenzando “por lo más grande”, (de izquierda a derecha, si el cálculo estuviera escrito). Al respecto se argumenta en los términos siguientes: “Se cuentan primero los billetes, hasta des- pués los quintos”. Se resta (en algunos casos) conservando el mismo principio que en la suma, esto es, se restan primero las centenas, luego las decenas, después las umda- des; en otros casos, se resta “buscando el faltante”, sin la intermediación de descom- posiciones “por columnas”; se multiplica por duplicaciones sucesivas y se divide hipotetizando y probando cocientes. Los sujetos cuya experiencia matemática se los permite, abandonan algunas de las estrategias antes mencionadas para construir y utilizar otras más eficientes y económicas.

Los conocimientos y estrategias de cálculo tienen diversos grados de eficiencia, así como distintas posibilidades de ser transferidos a nuevas situaciones. La eficiencia y la eficacia están vinculadas principalmente con la intensidad y la diversidad de interacciones con el sistema monetario (Avila, 1990).

Pero los saberes matemáticos construidos cotidianamente desbordan el límite de los cálculos con números naturales. Se han reportado, por ejemplo, las formas en que se resuelven cálculos con decimales o problemas de proporcionalidad (Soto y Rouche, 1995; Avila et al., 1994). En el primer caso, la lógica de la operación es la construida para los números naturales; en el segundo, las personas recurren a distintas estrategias, según las formas y características de los problemas presentados. Destacan, por ejemplo, la duplicación del dato conocido como fórmula para encontrar el desconocido; la búsqueda del valor unitario como camino de resolución o la obtención de resultados aproximados cuando no se tiene el instrumental técnico, necesario para resolver con exactitud. Lo anterior pone de manifiesto dos características del pensamiento matemático no escolar: la flexibilidad y la capacidad de autoverificación; características que se consolidan a medida que se amplía la destreza con que se utilizan los números.

Sabemos, además (Avila et al., 1994), que los adultos analfabetos o escasamente escohuizados han construido concepciones en tomo a las fracciones como respuesta a las actividades de pesar y medir que desarrollan cotidianamente. El universo de esta conceptualización, sin embargo, se restringe a los medios, los cuartos y los medios cuartos. En general, los adultos no cuentan con un vocabulario ni con ideas precisas acerca de fracciones diferentes a las que acabamos de mencionar. Los tercios, los quintos o los décimos, por ejemplo, les son prácticamente desconocidos; lo mismo sucede con el término “octavo”, al que no asocian ni consideran equivalente de medio cuarto.

El nivel de los conocimientos y las habilidades matemáticas, sin embargo, dista de ser uniforme entre las personas. A veces son incipientes; otras, por el contrario, logran un grado de eficiencia y generalidad notables. La diferencia está relacionada con la diversidad y exactitud de los cálculos y la actividad laboral exigen a las personas.

LA pobreza de la educación básica

Si bien no conocemos el mundo del aprendizaje matemático formal de los adultos con la amplitud con que conocemos la “escuela de la vida”, podemos formular ciertas afirmaciones al respecto.

A pesar de la riqueza de saberes construidos en la vida, la educación de adultos los desconoce. Los educadores se acercan a la práctica de la promoción del aprendizaje desde una perspectiva sumamente limitada, generalmente orientada y acotada por las propias experiencias escolares. En muchos círculos de estudio la mecánica de interacción es la siguiente: - el asesor docente (educador de adultos) expone los temas en el pizarrón y los

adultos asumen la actitud de oyentes pasivos; después se resuelven ejercicios en el texto; 0,

- el asesor docente explica o esclarece individualmente las “dudas” a cada uno de los asistentes, mientras que los demás intentan resolver los ejercicios y problemas que plantea la lección correspondiente.

En efecto, hay evidencias de que los asesores no promueven la interacción entre los asistentes al círculo de estudio, ni la confrontación de los adultos con su propia experiencia. El proceso se centra en la repetición de símbolos, así como en la adqui- sición y uso sin sentido de procedimientos escritos, totalmente desvinculados de la resolución de problemas matemáticos vividos y de las necesidades sentidas. No es extraño encontrar el pizarrón del lugar donde se estudia o los cuadernos de los asistentes colmados de cálculos y series numéricas.

Además, deben señalarse dos deficiencias más que abonan en favor de esta situa-

ción: el limitado conocimiento y manejo que los asesores docentes tienen de los contenidos matemáticos y la escasa habilidad lectora de los asistentes.

Dadas las condiciones enunciadas anteriormente, el proceso natural de aprendizaje de los adultos no sólo se ha invertido, sino que se ha coartado. En efecto, el conocimiento es el producto de la interacción y en la educación formal se pretende generarlo sin que aquella interacción lo preceda. Y como si esto no fuera suficiente, se lo hace descansar en exposiciones deficientes y en la lectura de textos que no se comprenden del todo.

Ocurre entonces que, si bien las matemáticas son muchas veces sentidas como una necesidad más apremiante que el dominio de la lengua escrita (cf. De Lella, 1986; Avila et al., 1994), los adultos tienen muchas más dificultades para aprender- las; paulatinamente ven esta materia como algo ajeno o demasiado simple y sin sentido (Mesa y Pareja, 1990). Asimismo, muchas veces acaban por no saber en qué podrán utilizarlas (Schmelkes y Street, 1991).

También hemos recogido evidencias de que los asistentes a un programa formal de aprendizaje consolidan la idea de que no saben nada; consideran que el círculo de estudio, los asesores docentes o los textos son las únicas fuentes de saber válido. NO resulta sorprendente, entonces, que tiendan a sobrevalorar las estrategias escolares de cálculo y a dejar de utilizar las propias. Dado que frecuentemente no logran dominar los algoritmos escritos, una escolaridad incompleta conlleva el riesgo de una disminución en la eficacia con que las personas resuelven problemas cotidianos de cálculo (Avila et al., 1994).

L.u lección de Cuentas claras

Son pocas las experiencias que se han concebido para modificar tal estado de cosas, incluyendo las del CLEBA y Dimensión Educativa (cf. Mesa y Pareja, 1990; Mariño, s.f.). Estas experiencias parten de un principio común: recuperar la experiencia y el saber popular. Las que conozco más de cerca son las experiencias de Germán Mari- ño; por consiguiente, concentraré mi reflexión en ellas.

La cartilla “Cuentas claras” constituye, de hecho, la creación de una escritura paraexpresar el saber matemático popular. En ella se proponen una serie de algoritmos para las operaciones básicas que responden a la “lógica” no escolarizada. La suma de izquierda a derecha se incorpora mediante un algotitmo antiguo llamado el método del rodamiento; la resta se efectúa por complementación y se utiliza el recurso de las duplicaciones en la multiplicación.

La cartilla resulta muy interesante. Sin embargo, esta experiencia -que tuvo lu-

gar en Colombia y Ecuador- fue cuestionada posteriormente por su propio autor, quien considera hoy que un método como el que se propone en “Cuentas claras” margina a las personas que se pretende integrar.

Reportes de otros investigadores complementan la reflexión: las personas quieren aprender y dominar aquello que los demás saben y en la forma en que esos otros

106 cONOCMEN,D MAT’TICO EN I.4 EDUcACldN DE JdvwES Y AD"LKX

lo saben. Es decir, demandan que el servicio educativo contribuya para que puedan salir de su condición de marginados.

Basándose en esas reflexiones, Mariño ha propuesto otro enfoque menos radical que se ha difundido en Ecuador (Torres et al., 1990). No conozco detalladamente los resultados de esta nueva experiencia. De cualquier manera, la experiencia con “Cuentas claras” indica la necesidad de valorar en su justa dimensión la “lógica” del saber popular, pero también la del saber matemático convencional.

LO QUE LA INVESTIGACIÓN IMPLICA

Promover la interacción como forma de construcción del saber

En la práctica actual de la promoción del aprendizaje, la experiencia y el saber de los adultos no se capitalizan ni se ponen en común como elementos del proceso educativo. En la medida en que las interacciones didácticas no consideran el saber de los adultos ni sus intereses específicos, las matemáticas se vuelven ajenas, difíciles y sin sentido.

Es particularmente importante que el reconocimiento del carácter constructivo e interactivo del saber matemático de los adultos se exprese en las interacciones didác- ticas y en los materiales educativos. Es imprescindible buscar el diálogo con la cultura, los saberes y las formas de construir conocimiento de las personas.

Diversificar la experiencia

La construcción de conocimientos y estrategias matemáticas de los adultos se traduce en un saber hacer que no siempre es explícito y que no necesariamente es el más eficiente. Tales conocimientos y estrategias responden a las situaciones específicas donde se generan y, más tarde o más temprano, encuentran sus límites. La diversidad, la complejidad y la intensidad de la experiencia es la que permite alcanzar un nivel más o menos avanzado en las destrezas matemáticas. Es importante que en la educación de adultos se promueva -mediante situaciones didácticas y materiales pertinentes- la diversificación e intensificación de la experiencia para lograr el paso a niveles superiores de conocimiento, generalización y destreza.

Wwdar-desvincular el conocimiento y los contextos específicos de la experiencia

La experiencia matemática se genera en contextos definidos y en situaciones espe- cíficas. Los mecanismos, estrategias y conocimientos se construyen a partir de 10s

requerimientos prácticos que plantea el contexto de vida. Es así que gran parte del

conocimiento sobre el cálculo los adultos lo construyen mediante el manejo del dinero. Las acciones destinadas a medir -el peso, la capacidad y la longitud- son el origen concreto de las concepciones sobre las fracciones.

Pero el conocimiento matemático no se agota ahí. De las diversas actividades que se realizan cotidianamente surgen también conocimientos diferentes. El carpintero, por ejemplo, agrega a sus saberes construidos en la interacción con el dinero, nuevos aprendizajes matemáticos vinculados con su actividad, mientras que el campesino desarrolla o se interesa por otros. Es decir, los contextos de vida -y de aprendizaje- no son inmutables ni cerrados; por el contrario, se expanden y se modifican confor- me la persona actúa.

Se aprende en contextos definidos, pero a la vez dinámicos; y son dichos contextos los que permiten generar y desarrollar distintas experiencias. De ahí que, desde nuestra perspectiva, la noción de “contexto de aprendizaje” apunta a la necesidad de incorporar en el currículo de la educación de adultos una amplia gama de situaciones y secuencias que responda a las experiencias e intereses cambiantes de la población demandante.

No se trata entonces de precisar los límites del currículo haciéndolos correspon- der unívocamente con necesidades y contextos de aprendizaje presupuestos, como si estos fueran inmutables. En otras palabras, mi intención no es sugerir un currículo “para campesinos , ” “para mujeres” o “para jóvenes urbanos”. El contexto de aprendizaje formal no puede ni debe mantener una identidad permanente con un contexto vital. De hacerse así, se estaría instruyendo para dar respuestas a las necesidades presupuestas del “medio”; se empobrecería la formación de los adultos y se abando- naría la tarea -igualmente importante- de ofrecer experiencias que amplíen 10s CO-

nocimientos, la capacidad de abstracción y los horizontes de las personas.

Articular el aprendizaje con intereses y expectativas vitales

Los intereses y las expectativas constituyen el “punto de vista” de los sujetos sobre lo que necesitan aprender. En términos generales, los conocimientos que los deman- dantes de educación de adultos consideran relevantes son aquéllos que permiten interactuar más eficazmente en el mundo laboral, comercial y familiar. Es fundamental, entonces, articular el saber escolar con las necesidades e intereses de los adultos concretos. Hacerlo implica, a la vez, abandonar la idea de un currículo idéntico para todas las personas. Hay que ofrecer una gama de situaciones y secuencias de aprendizaje donde los adultos encuentren respuestas a sus necesidades e intereses vitales.

Existe también un interés legítimo de las personas: aprender aquello que los otros saben y de la manera en que esos otros lo saben, porque desean interactuar en condiciones de igualdad. Por consiguiente, la educación matemática da respuesta al inte- rés por las formas y los conocimientos matemáticos convencionales, los cuales, a SU vez, contribuirán a una interacción social más amplia.

Llevar de las formas espec@icas con que opera el adulto a las formas y procedimientos convencionales de cálculo

Los adultos han construido saberes y procedimientos que tienen una trayectoria y una “lógica” particulares. Los procedimientos de cálculo que utilizan se caracterizan por ser ágrafos y distintos de los escolares. Se suma de izquierda a derecha (en un sentido inverso al procedimiento escrito usual); se resta también de izquierda a derecha o con la idea de complemento; se multiplica duplicando o mediante redondeos y ajustes, y se divide hipotetizando y probando cocientes. Las personas más diestras sustituyen algunos de esos procedimientos a medida que la experiencia les permite construir otros más económicos y eficientes.

Con todo, es necesario no sobrevalorar el saber extraescolar. Es cierto que los adultos cuentan con saberes y destrezas matemáticas; sin embargo, a menudo ese conocimiento es limitado y escasamente transferible a situaciones distintas de aqué- llas en las que se generó. Por tanto, no se trata únicamente de proporcionar un sistema de escritura para lo que ya se sabe hacer. La educación de adultos debe ofrecer un sistema de registro gráfico, pero también debe desarrollar el conocimiento muchas veces incipiente que se ha construido en la vida.

Las experiencias pedagógicas desarrolladas con la idea de crear una escritura para los procedimientos de calculo no escrito mostraron sus alcances, pero también sus límites y riesgos. La conclusión, empero, no ha de ser desconocer la “lógica” del saber fundado en la experiencia vital. El currículo deberá considerar los mecanismos del saber informal, tanto como los procedimientos de la matemática formal. La edu- cación de adultos debe promover la apropiación de los conocimientos, los procedimientos y los lenguajes de uso más universal, los cuales permitirán interactuar en igualdad de condiciones con quienes se alterna en la vida laboral y comercial.

El desafío que tenemos que encarar, sin embargo, consiste en responder a la siguiente cuestión: ¿se debe construir un entramado pedagógico que incorpore explí- citamente al ámbito del aprendizaje formal la “lógica” con la cual se calcula, se mide y se construye saber cotidianamente y, de manera progresiva, enlazarla con la “lógi- ca” del cálculo escrito convencional? Este entramado seguramente se deberá construir por temas, aspectos y problemas específicos, y reclama una urgente indagación y experimentación.

HACIA LTN NUEVO cumícmo

Unas matemáticas articuladas con el mundo de la experiencia vital y laboral

La idea principal que vertebra la propuesta curricular que a continuación esbozo se funda en el reconocimiento de que las personas han construido conocimientos y des-

109

trezas matemáticas elementales en su experiencia de vida. Así, la matemática se concibe no sólo como un conocimiento formal, sino también, y fundamentalmente, como una práctica cotidiana y laboral de las personas. En nuestra propuesta, el conocimiento matemático tiene sus raíces en la experiencia vital, pero la trasciende. Tal experiencia constituye la plataforma para construir y derivar nuevos conocimientos.

En efecto, dicha matemática es el punto de partida para la construcción de situaciones que permitan sistematizar, emiquecer y complementar el saber construido en la práctica y hacerlo avanzar hacia los procedimientos y las formas de expresión convencionales. Finalmente, este conocimiento deberá regresar al mundo de la vida de los adultos.

Desde esta perspectiva, las matemáticas, como parte sustancial de la educación básica, podrán contribuir a: - lograr una interacción más eficiente y más segura con el medio laboral y social,

particularmente en los ámbitos de intercambio comercial; - elevar la autoestima de las personas al reconocer la validez de los conocimientos

no escolares con que cuentan; - acceder a otros niveles de escolaridad.

Este último punto merece una reflexión. Si bien pocos adultos cursan la educa- ción básica con el propósito de continuar estudiando, no es justo impedir el acceso a niveles superiores de escolarización. Esta posición, sin embrago, no implica que haya que desarrollar un currículo similar al que se destina a los niños en el sistema escolar. Los conocimientos y las destrezas que las personas demandan constituyen el criterio básico para la construcción del plan curricular; dichos conocimientos y destrezas coinciden en buena medida con los que se consideran fundamentales en la escolarización infantil, pero el camino para abordarlos está dictado por la experiencia de vida y las formas propias del razonamiento del cálculo ágrafo.

Por consiguiente, los objetivos del currículo de matemáticas serán los siguientes: - sistematizar y potenciar los conocimientos y destrezas matemáticas construidos

en la vida cotidiana; - organizar y ofrecer situaciones de aprendizaje formal que permitan enriquecer,

abstraer y generalizar los conocimientos con que se llega a la educación de adultos;

- ofrecer situaciones que vinculen las formas peculiares de cálculo y conocimiento adquiridos en la vida cotidiana con las formas convencionales escritas de la ma- temática;

- complementar información y conocimientos que permitan responder eficientemente a situaciones cotidianas de tipo laboral y familiar. En síntesis, la idea que debe orientar el currículo de matemáticas es articular lo

que cada uno de los estudiantes adultos sabe y reconoce en el marco de su experiencia e interés con un saber más eficiente y generalizado que le permita responder eficazmente a sus necesidades inmediatas, y que se constituya en un conocimiento formalizado aplicable a distintas situaciones.

110

LOs destinatarios

Hemos reiterado que los aprendizajes matemáticos fundados en la experiencia vital están relacionados con el manejo del dinero, el intercambio comercial y. aunque en menor medida, con la experiencia de pesar y medir. Existen además otros conocimientos derivados de actividades laborales específicas. Lo anterior hace que las expectativas de las personas sean parcialmente heterogéneas en relación con las mate- máticas.

Obviamente, sería prácticamente imposible que el currículo responda a los intereses específicos de cada uno de los participantes de la educación básica. Sin embargo, se puede actuar en esa dirección si se toman en consideración los intereses y necesidades de diversos grupos de población. En el caso de México, por ejemplo, tiene sentido considerar a las mujeres, los grupos urbano-marginales y los campesinos.

Las mujeres -empleadas domésticas, amas de casa, madres de familia- constitu- yen el grueso de la demanda efectiva de la educación de adultos en México. En su doble condición de madres y trabajadoras, las mujeres tienen a su cargo el cuidado de los hijos, su salud, su nutrición, así como la vigilancia y el apoyo en el ámbito escolar; además, participan en las labores domésticas y en la organización del escaso dinero con que cuentan. Paraleiamente, muchas participan en actividades comerciales o elaboran productos que luego comercializan.

Los campesinos, que viven en condiciones precarias, participan en actividades propias de la producción agropecuaria y muchas veces en la organización de peque- ñas empresas familiares que producen manufacturas que se comercializan: asimismo, con frecuencia complementan sus ingresos participando en actividades laborales en el medio marginal-urbano.

Un núcleo importante de la población urbano-marginal se dedica al comercio ambulante o desempeña oficios -muchas veces de carácter eventual- como la albañilería, la carpintería o la plometia. Esta es una población que acude escasamente al servicio de educación básica en México. Esta situación muestra la necesidad de generar una oferta de educación de adultos que sea atractiva para estos grupos.

En las actividades que desarrollan los miembros de uno u otro grupo, la matemá- tica es un instrumento necesario para resolver problemas en situaciones específicas. La existencia de grupos poblacionales no implica, sin embargo, que las fronteras entre la experiencia y las expectativas de unos y otros sean rígidas y definitivas en términos curriculares. Lo que parece conveniente en términos curriculares es buscar una estrategia que permita a los adultos construir “su propio currículo” en función de sus intereses, independientemente de su pertenencia a alguno de los grupos definidos.

Cabe señalar, además, que durante los últimos anos se ha observado una expan- sión notable de la matrícula de la población joven en el sistema de educación de

REPE..SA,W EL CLmícLzo DE MATEMATICAS Pm LA Eoucacróx DE LOS ADULTOS 111

adultos, hasta el punto de que se la debería considerar como un segmento prioritario de dicho sistema. Sin embargo, las investigaciones que se han realizado en el campo de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas no han tenido como objetivo a dicha población. Sabemos poco o casi nada acerca de esos jóvenes. Lo que se constata empíricamente es que el interés que manifiesta dicho segmento de la población se relaciona con la expectativa de acceder a niveles superiores de escolaridad. Esto se debe tomar en cuenta en el currículo. Pero aquí se plantea otra cuestión: ¿se ha de considerar a los jóvenes como a niños desfasados que conservan los intereses y mecanismos propios de la infancia o, por el contrario, deben considerarse como jóvenes adultos con una experiencia laboral y una “lógica” de cálculo construida en la vida cotidiana? No lo sabemos; es cuestión de iniciar la indagación.

ORGANIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA FORMAL DE APRENDIZAJE

De los problemas vividos y la puesta en común de la experiencia a los conocimientos matemáticos formales

4 lo largo del tránsito curricular será fundamental la interacción con la experiencia y el contexto vitales, con los “problemas vividos” (según la expresión de Mesa y Pareja, 1990).

El asesor de aprendizaje y los materiales escritos que se proporcionen al educando deberán tener entre sus principales propósitos la promoción de tal interacción. Basándose en esta idea, el aprendizaje se articulará -en un primer momento- con 10s

problemas vividos, las experiencias y necesidades de los adultos concretos que acu- den al servicio. Pero las modificaciones no han de ser sólo de forma. La tarea consiste en traer la experiencia y las necesidades al ámbito del aprendizaje formal. Un ejemplo ayudará a aclarar esa intención.

El siguiente problema aparece en un texto utilizado en México en los años setenta:

“Antonio gana 95 pesos diarios; al pagarle le descontaron 13 pesos que había pedido prestados el día anterior. ¿Cuánto dinero debe recibir?

13+-=95

La operación que resuelve este problema es una resta o sustracción. 95- 13=-

Para resolver esta operación, restamos unidades de unidades y decenas de decenas...” (CEMPAE, p. 140).

Problemas como este, típico de los textos de la época, sin duda tenían alguna relación con la experiencia de las personas: trataban de dinero y de hacer cuentas. LO

que nosotros proponemos, sin embargo, es diferente. Así, por ejemplo, lo que deriva del planteamiento de Juliana en un diálogo real que sostuvimos con ella:

“Es que cuando voy a la tienda me hacen tonta (...); es que me pongo nerviosa y me atoro al hacer la cuenta, y luego cuando llego a la casa la hago (la cuenta), y a veces sí veo que me falta el cambio, y mi esposo me dice: ‘Eres retonta, otra vez que vayas a reclamarles ya no te van a querer completar el cambio’. Por eso quiero aprender”.

Más adelante observamos el límite de la capacidad de cálculo de Juliana. Por ejemplo, podía restar 3.70 ó 4.80 de N$ 10.00, pero no podía restar 3.20 de N$ 7.80. Tampoco podía sumar si la cantidad de artículos superaba el límite de su memoria de trabajo o si se veía obligada a hacer multiplicaciones o divisiones con decimales.

Este es un “problema vivido” por Juliana, que se traduce en un problema mate- mático que viene al círculo de estudio con toda su experiencia y su saber (aun cuando estos sean limitados), y que se comparte con los otros mediante la palabra. Trabajar las cuentas que tiene que hacer Juliana detallando lo que cotidianamente compra, discutir y construir a partir de ahí con el resto de los compañeros, es traer y poner en común la experiencia y el contexto de vida. Es también aprender matemáticas. Algo diferente de crear problemas “ligados a la vida real” que con frecuencia resultan ficticios y acartonados.

Las experiencias y los problemas vividos serán múltiples y diversos, si se toman en cuenta los que aportaran los asistentes al círculo de estudio. Aquí se inicia, entonces, la intensificación y la diversificación de la experiencia de cada uno de los participantes.

En otras palabras, un primer momento de la interacción didáctica en el círculo de estudios -que vincula el saber y la experiencia vital- consistirá en identificar qué se sabe y hasta dónde se sabe, en qué contexto se ha construido ese saber y para qué se quiere aprender más. También consistirá en resolver y contribuir a resolver los problemas vividos por los otros.

Con los conocimientos trabajados mediante los problemas vividos no se agota el proceso de aprendizaje de la matemática formal. Con este paso se inicia el reconocimiento, la explicitación, la sistematización y la formalización del saber construido cotidianamente.

Otro momento del proceso consistirá en trascender el límite de los problemas vividos, lo cual se podrá lograr mediante el trabajo con otras situaciones y problemas “de extensión”. Dichas situaciones permitirán ampliar y transferir los conocimientos a ámbitos no previstos por los adultos. El tránsito de los “problemas vividos” a 10s de “extensión” es una secuencia que debe pensarse para el tratamiento de cada uno de los contenidos. El ordenamiento y el límite de los problemas vividos estarían marcados por las dificultades matemáticas implicadas.

REPENSANDO EL cLlRRfcuLo DE MATEMÁTICAS P. !.A EDUCAcIbN DE LOS ADIJLTOS 113

Los niveles curriculares

Según el enfoque descrito, parece conveniente organizar los contenidos de aprendizaje formal en tres niveles. Los dos primeros están dedicados a contenidos matemá- ticos respecto de los cuales todas las personas tienen experiencia e interés. El último respondería a necesidades e intereses específicos y diversos.

En el primer nivel se desarrollarán contenidos relacionados con el cálculo con dinero, así como a la medición de la longitud, el peso y la capacidad. El manejo de estos contenidos se limitará a lo que podemos llamar una “aritmética de los naturales”; por consiguiente, las unidades de medida que se manejen serán enteras. Se incorporará, además, la “lectura contextualizada” (y funcional) de decimales, ya que los precios predominantes actualmente se expresan en pesos y centavos.39

En el segundo nivel los contenidos estaráu asociados a las mismas temáticas y situaciones que en el primero: el dinero y las medidas de peso, capacidad y longitud. Pero aquí se plantea una diferencia sustancial: el manejo de medidas y monedas fraccionarias. En este sentido, el nivel se puede definir como el de una aritmética de los decimales.

El tercer nivel se dedicará a profundizar los contenidos trabajados en los niveles precedentes y se agregarán otros relacionados con los intereses específicos de los educandos. Es posible que los campesinos, por ejemplo, se interesen en manejar con fluidez algunas unidades de medida agraria y de volumen, o nociones de contabilidad. Las personas dedicadas a la electricidad, la carpintería u oficios similares, probablemente tendrían interés en profundizar el manejo de medidas lineales e inglesas, o en la lectura y el trazado de planos, croquis y diagramas... o en aprender nociones de contabilidad.

Así es como en este nivel curricular el contenido o las situaciones tomarán rutas diferentes según los intereses y las necesidades de las personas.

¿Cómo diversificar el currículo sin ponerlo rígido?

Una relectura de la propuesta inicial -la cual planteaba un currículo para mujeres, otro para campesinos, etc.- me llevó a la siguiente reflexión: ¿por qué proporcionar matemáticas para las mujeres, para los oficios, etc.?; ¿no sería ésta una nueva forma de poner rígido el currículo y limitar a las personas? Se trata, más bien, de diversifi-

39 Esto me lleva a referirme a los dos niveles en clue considero que se deben trabajar los contenidos matemá- ticos: uno de carácter funcional, donde los contenidos son instrumentos para resolver una situación-problema; otro de carácter formal, donde los contenidos son explicitados y analizados como objetos de conocimiento (es una etapa de reflexión y de vinculación con la matemática formal, mediante lo que subyace “de matemático” en el conocimiento que se ha ut.ílizado funcionalmente).

-_

car y flexibilizar el currículo mediante otra estrategia que parece más pertinente: - elaborar textos (folletos o fichas de trabajo) únicos para los dos primeros niveles

educativos; - elaborar materiales ágiles (folletos breves, fichas de trabajo, etc.) para el tercer

nivel educativo, en los cuales se aborden los diversos contenidos matemáticos a partir de situaciones y contextos delimitados en función de los intereses de los grupos de población definidos;

- no obligar a las personas a seguir una línea curricular preestablecida, sino poner a su disposición distintos materiales para que cada uno construya “su currículo”. Lo anterior es necesario porque sin duda nos encontraremos con mujeres que

prefieran aprender nociones de contabilidad o con campesinos que deseen trabajar problemas relativos a la construcción (que suponen el manejo de ciertas medidas, la lectura de planos y esquemas, y la proporcionalidad).

Cabe destacar una vez más que la vinculación con el contexto vital no significa que el contenido de la educación se agote en la respuesta a necesidades inmediatas. La inclusión de situaciones de “extensión”, no directamente vinculadas a la experiencia, dará oportunidad de ampliar y generalizar los conocimientos, y permitirá aplicarlos a situaciones y ámbitos no previstos por las personas. Parte de los textos y las interacciones didácticas tendrán precisamente como objetivo ofrecer esas situaciones.

Algunas cuestiones didácticas

El asesor y la utilización del modelo

La utilización de un currículo como el que aquí se sugiere trastoca el papel del asesor: de expositor -en los hechos- de temas escolares, pasará a ser un coordinador y promotor de interacciones tanto entre los adultos como entre los adultos y los materiales escritos.

El sistema de círculos de estudio -en el que participan personas que tienen experiencias e intereses heterogéneos- exigirá especialmente que los asesores estén bien capacitados. Habrá que considerar -entre otras cosas- la siguiente cuestión: ¿qué material se tomará como base para trabajar en el círculo: el que parte de la produc- ción agropecuaria o el que parte de algún otro oficio? La respuesta es la siguiente: si en el círculo hay personas que se interesan por todos los materiales, entonces habrá que utilizarlos todos. Aquí se plantea una de mis principales dudas: ¿será posible manejar una situación tan diversa., 7. icómo encarar en los hechos la diversidad, sin que su aceptación se convierta en una babel?

115

El papel de los materiales impresos y de otros materiales de apoyo

Textos Y folletos. Una matemática contextualizada requiere materiales que, además de contener información matemática, reúnan otras características. Los impresos (folletos, cartillas o textos) deberán contribuir a traer al círculo de estudio el contexto y la experiencia con los cuales se quiere articular el saber formal. Además, dichos materiales deberán contribuir a interrogar al lector de manera tal que impulsen, desde sus páginas, la interacción con su experiencia, así como con los participante en el círculo de estudio.

Además, considero que sin el apoyo de un texto “dialogante” se estaría transfi- riendo el compromiso y el peso de la innovación a los educadores, lo que sería inadecuado e injusto. Los textos que incluyen consignas simples, pero con significado pedagógico para el lector, pueden cumplir una función importante en la ejecución de una propuesta de este tipo. El comentario de una mujer asistente a un círculo del INEA refuerza nuestra argumentación: “En las noches estoy dormitando y traigo aquí los números en la cabeza, porque me los quiero aprender, aunque me cuesta trabajo; ahí estoy duro y duro. Y como unos de los libros que me dieron dice: Si se le olvida piense en el calendario o en el dinero..., así es como yo le hago (...).” Esta evidencia contradice la idea, hoy bastante extendida, de que cuanto más desestructurado es un texto, mejor texto es.

Carteles, anuncios y periódicos. El uso de carteles, anuncios, noticias periodísti- cas u otro material impreso que contenga información numérica relacionada con los intereses de los adultos tendrá sentido como material de apoyo en el transito curricular. En las etapas iniciales del aprendizaje formal, estos materiales permitirán, entre otras cosas, que los adultos enriquezcan el contacto con los números y que planteen o afinen hipótesis acerca de su representación escrita y planteen y resuelvan problemas mediante el cálculo mental.

En momentos más avanzados del proceso educativo, estos materiales permitirán construir situaciones y problemas más interesantes que los que el asesor pueda obtener de su ingenio, complementando así los problemas que los adultos llevan al círcu- 10.

Además, estos materiales se podrán reutilizar de formas diversas, para abordar temáticas también diversas.

Unas palabras sobre el ábaco. Se cuenta con experiencias de educación de adultos en las que el ábaco ha constituido un apoyo fundamental. Estas experiencias muestran bondades, pero también existen evidencias de que dicho instrumento no resulta del todo provechoso, pues, entre otras cosas, implica un rodeo innecesario en la construcción del conocimiento matemático: ocasionalmente los adultos utilizan el sistema monetario como referente para comprender el funcionamiento del ábaco (cf. Castro, 1988). Además, el ábaco no está incorporado en la cultura mexicana (quizá tampoco en la de otros países latinoamericanos). Parece más adecuado reconocer que

la mayoría de los adultos han construido ideas acerca de los números a partir del manejo del dinero y que hay que trabajar utilizando este recurso.

Sobre la evaluación del aprendizaje

Impulsar una nueva orientación en materia de currículo exige modificar signiticati- vamente los contenidos y las formas de la evaluación. La evaluación de un aprendizaje articulado con el mundo deberá contemplar esta articulación. Las preguntas rígidas y de carácter escolarizado deberán ser sustituidas por situaciones problemáti- cas amplias y contextualizadas. Es a partir de ellas que los adultos deberán poner a prueba sus conocimientos y destrezas para enfrentar situaciones problemáticas de manera funcional.

Asimismo, la evaluación colectiva de la matemática escrita -teniendo como uno de los mecanismos de validación el cálculo mental- se podrá constituir en un sistema permanente de trabajo.

Acerca de los objetivos de esta propuesta

Es necesario subrayar que esta propuesta no pretende capacitar para empleos o actividades específicos. Si bien se sugiere trabajar el contenido matemático a partir de situaciones cercanas a la experiencia de las personas -y, por consiguiente, hacer hincapié en algunos contenidos-, se trata más bien de que todos los adultos, a partir de lo que saben y manejan en la vida cotidiana, lleguen a dominar conocimientos, información y habilidades bastante similares y generales que no estén asociados a trabajos específicos. De ahí que cada material impreso, después de incluir situaciones relacionadas con los contextos vitales, deba incluir una serie de problemas de extensión, descontextualización y generalización en los que, además, se consoliden los conocimientos matemáticos.

El manejo que las personas puedan hacer de tales conocimientos y habilidades les permitirá interactuar más eficientemente en su entorno, reforzar su capacidad de abstracción y contribuir al desarrollo de su autoestima. Asimismo, les permitirá des- empeñarse mejor en las actividades laborales que implican la utilización de conocimientos y destrezas de carácter matemático.

UNA mmExIóN FIN&

Esta ponencia involucra muchas hipótesis sobre el aprendizaje de los adultos, sus necesidades, las interacciones que pueden ocurrir en el sistema de aprendizaje for-

117

mal; en fin, hipótesis acerca de para qué enseñar, qué enseñar y cómo enseñar mate- máticas en la educación básica de jóvenes y adultos. El siguiente paso exige reunir evidencia empírica que permita poner a prueba tales hipótesis.


AVILA, A., “El saber matemático de los analfabetos. Origen y desarrollo de sus estrategias de cálculo”, Revista Latinoamericana de Estudios Educativos, (Méxi- co), Vol. XX, N”3, 1990.

AVILA, A., et al., Usos y conceptualizaciones de las ,fracciones, los decimales y la proporcionalidad. Estudio en adultos analfabetos o de escasa escolaridad, México, Instituto Nacional de Educación de Adultos (INEA), 1994.

AVILA, A. Y G. WALDEGG, Hacia una redefinición de las matemáticas en la educa- ción básica de adultos, México, Instituto Nacional de Educación de Adultos (INEA), 1994.

CASTRO, J. M., Alternativas para enseñar matemáticas a los adultos del sectorpopular: una experiencia con el ábaco, México, IEEPACKREFAL, 1988.

DE LELLA, C., Principales intereses de los adultos de primaria intensiva, México, Cuadernos del CESU, N” 10, 1988.

MARIÑO, G., 2 Cómo opera matemáticamente el adulto del sector popular? (Consta- taciones y propuestas), Bogotá, Dimensión Educativa, 1983.

MESA, 0. Y G. PAREJA, “Experiencia CLEBA”, en Mariño, Germán y Gabriel Pareja (comps.), Lu enseñanza de las matemáticas con los adultos de los sectores populares, Bogotá, CEAAL/CLEBA/Dimensión Educativa, 1990.

TORRES, R. M. et al., Programa Nacional “Ecuador estudia”, Quito (Ecuador), 1990. SCHMELKES, S. Y S. STREET, Tres visiones de la educación de adultos en México,

México, Centro de Estudios Educativos, 1991. SOTO, 1. Y N. ROUCHE, “Problemas de proporcionalidad resueltos por campesinos

chilenos “, Educación Matemática, (México), Vol. VII, N” 1, 1995.

Algunas proposiciones sobre la didáctica para la enseñanza de las matemáticas

de jóvenes y adultos Isabel Soto Cornejo’

LLU experiencias de jóvenes y adultos en la vida cotidiana, enfrentados a la resolu- ción de problemas matemáticos, les permiten desarrollar estrategias de resolución de problemas específicos que pueden constituir una base importante para el desarrollo de procesos de aprendizaje intencionados en los programas de matemáticas de educación de adultos. Numerosas investigaciones dan cuenta de estas constataciones. No obstante, es necesario avanzar en el desarrollo de enfoques didácticos apropiados que, tomando en cuenta esta realidad, permitan aprendizajes efectivos de las matemáticas, más allá de las soluciones parciales, y a veces limitadas, que los adultos crean cotidianamente. En este texto, se proponen algunos principios y reflexiones sobre este último punto.

Numerosas investigaciones han arrojado resultados que muestran la necesidad de profundizar los cambios que ya se han comenzado a introducir en los enfoques de la enseñanza de las matemáticas de jóvenes y adultos.

No es un hecho menor que jóvenes y adultos poco escolarizados o analfabetos resuelvan problemas matemáticos de su vida cotidiana -de trabajo, ciudadana, comercial- utilizando estrategias de resolución de problemas que, por una parte, son diferentes de los procedimientos típicamente escolares y, por otra parte, revelan, en muchos casos, el manejo por parte de los sujetos de estructuras matemáticas complejas.40

* Investigadora laborando actualmente en el Programa MECE del Ministerio de Educación de Chile.

4o Ver, Carraher, Nunes. Schliemann. (1988); D’Ambrosio, Ubiratan, (1993); Knijnik Gelsa, (1993); Soto. Isabel, (1992). entre otros.

Sin embargo, al mismo tiempo hay aspectos de nuestra vida de todos los días, políticos, sociales, económicos, a los que tenemos un acceso restringido, a los que no podemos acceder enteramente en forma comprensiva y crítica (muchas veces debemos contentarnos con nuestras opciones exclusivamente ideológicas), ya sea por ignorancia o porque nuestros conocimientos no son funcionales, no son reconocidos ni valorados por los sistemas formales. Es decir, no son oficiales y se expresan de manera distinta.

En este contexto LCómo concebir, entonces, programas de formación matemáti- ca, textos, materiales de apoyo, dirigidos a poblaciones que no sólo tienen experiencia laboral, social, familiar, sino que, además, muchas veces en su vida cotidiana desarrollan estrategias eficientes, pero específicas, de resolución de problemas mate- máticos?

Conclusiones de estudios en el campo de la etnomatemática permiten cuestionar los medios tradicionales de “selección de los contenidos matemáticos” y de “la es- tructuración de secuencias” de aprendizaje en las cuales se sigue, habitualmete, una progresión de contenidos que va desde “el más simple al más complejo”. No obstante, - las definiciones de “más simple” y de “más complejo” responden a análisis inter-

nos de la disciplina matemática, que no toman en cuenta las experiencias y los conocimientos de los sujetos que van a seguir los programas;

- lo “más complejo” desde el punto de vista de un análisis estrictamente matemáti- co de los contenidos, hecho normalmente por especialistas, no es necesariamente lo más complejo o lo más desconocido para los sujetos que han tenido o tienen una práctica matemática cotidiana;

- tradicionalmente, en cualquier programa de “matemáticas básicas o elementales” se comienza por los números, enseguida se introducen las operaciones y mucho más tarde se llega a la resolución de problemas en los que dichas operaciones o estructuras están involucradas. Se ha observado que, aún teniendo dificultades operatorias, muchos adultos manejan sin mayores dificultades estructuras complejas, como la de linearidad, por ejemplo. La pregunta que nos planteamos es cómo enfrentar, en la elaboración de progra-

mas de matemáticas, de textos y en la práctica docente con jóvenes y adultos, los desafíos que implican las observaciones anteriores.

Conocemos los esfuerzos desarrollados en los últimos años por enfrentar, de manera específica en el marco de la educación de adultos, la enseñanza de las matemá- ticas.4’

Esfuerzos que se traducen en textos en los que se contextualizan los contenidos matemáticos en situaciones cercanas a las de los adultos; en el desarrollo de la estra-

4’ UNESCO, 1993

121

tegia de resolución de problemas. No obstante, creemos que se requiere aún, -tal como es necesario, por lo demás, en el nivel de niños y niñas en este mismo tema- de un mayor desarrollo de la didáctica de las matemáticas; de una didáctica que no sólo incorpore los modos de aprender de los jóvenes y adultos, sus experiencias previas, sus conocimientos prácticos, su cultura, sino que al mismo tiempo les permita acceder a conocimientos matemáticos cada vez más complejos.

MATEMÁTICAS EN LAS ESCUELAS

Para ello me parece indispensable revisar las formas en que habitualmente se enseña matemáticas en las escuelas, comprendida la educación de jóvenes y adultos.

Consideremos que todo concepto matemático, toda noción, todo teorema tiene un doble sentido. Uno de ellos se encuentra en la vida cotidiana, en el contexto natural, es decir, en situaciones familiares donde el concepto o teorema se ha originado y en las preguntas a las que responde o problemas a los que da solución. El otro sentido viene del lugar que tiene y del rol que el concepto juega en la “teoría deductiva”, es decir, en las matemáticas constituidas (Rouche, 1993).

Treffers4’ propone llamar “eje horizontal” al contexto natural -en el que nosotros incluimos las prácticas matemática culturales (0 informales 0 populares)- y “eje vertical” a las matemáticas constituidas. A partir del juego entre los ejes se pueden identificar cuatro formas de enseñanza: enseñanza mecanicista; enseñanza empirista; enseñanza estructuralista y enseñanza realista.

En la Figura (página siguiente) se intenta representar este modelo. El eje horizontal X representa el contexto natural; el eje vertical Y las matemáticas constituidas.

La enseñanza es mecanicista cuando tiende a descuidar tanto la componente horizontal como la vertical (cuadrante III en la Fig.). Esto ocurre, por ejemplo, cuando la actividad de la clase de matemáticas se centra en inculcar a los estudiantes cálcu- los rutinarios, sin situarlos en ningún contexto donde éstos puedan tener sentido ni tampoco en la teoría que les da origen. Dicho de otra manera, los estudiantes aprenden fórmulas misteriosas, aparecidas de la nada y que no sirven a nada.

La enseñanza puede ser calificada de empirista cuando se privilegia el sentido horizontal de los conceptos descuidando el vertical (cuadrante IV en la Fig.), es decir, dando mucho espacio a la manipulación y la observación, a la resolución de problemas cotidianos, sin que ellos conduzcan a la construcción teórica de 10s conceptos, no dejando espacios a la demostración y al razonamiento.

Otra forma que puede tomar la enseñanza es la llamada estructuralista (cuadrante II en la Fig.). En ella el énfasis está puesto en el eje vertical, descuidando el

42 Citado por Freudenthal, 1991

horizontal. Es decir, se insiste en la teoría axiomática no relacionando los conceptos con sus aplicaciones significativas.

Finalmente, en el cuadrante 1 se sitúa la enseñanza realista, es decir, aquella en que los dos aspectos que dan sentido a los conceptos matemáticos están presentes, el contexto natural y la teoría deductiva. La construcción teórica de los conceptos se articula en las situaciones familiares y en las prácticas matemáticas de los aprendi- ces, que constituyen las raíces intuitivas y en las aplicaciones que permiten ver el funcionamiento del concepto y su poder de interpretación (aplicaciones que pueden ser propiamente matemáticas o sobre problemas que requieren de ellas para su solu- ción). Un lugar importante es concedido, entonces, al sentido común en matemáti-

(actividad puramente deductiva; ciencia acabada; no hay cabida a la creación, ala intuición)

ESTRUCTURALISTA

(Teoría deductiva) Y

(creatividad, inducción, M- minos múltiples, interpreta- ción crítica, contextualiza- ción, descubrimiento...)

REALISTA

-+ ++

II I x (Contexto

III IV Natural)

MECANICISTA

(calcular, manipular cifras, simbo- los cabalísticos; métodos únicos, respuestas únicas)

EMPIRISTA

(resolución de problemas sin cabida a la teorización)

123

Esta categorización tiene evidentes conexiones con tendencias generales en la educación matemática, que han sido dominantes en determinados momentos de la historia.

Las matemáticas modernas, por ejemplo, en boga desde los años 70’ en Chile y aún presentes en los textos y manuales, particularmente de la EGBh3 para niños y adultos, corresponden a una forma de enseñanza más bien estructuralista. Efectiva- mente se privilegia la teoría axiomática, en consecuencia la deducción pura y la abstracción, en desmedro -por momentos casi absoluto- de la relación y origen de los conceptos con el contexto natural.

ENFOQUE FENOMENOLÓGICO DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

ES en la perspectiva realista que quisiera desarrollar un poco más en profundidad un enfoque didáctico, llamado por su creador, enfoque fenomenológico de la didáctica de las matemáticas.

Freudenthal (1985) propone en primer lugar, la idea de que el aprendizaje es “la invención desde la perspectiva del alumno”. Esto implica que lo que se debe analizar antes de construir un sistema de enseñanza no es la materia que se va a enseñar (secuencias, pre-requisitos, definiciones que se entregarán, etc.) sino el proceso inventivo de los alumnos.

(Evidentemente, una fuente riquísima de “procesos inventivos” lo constituyen las prácticas matemáticas no escolares).

Según Freudenthal, la didáctica tradicional ha estado bien adaptada a las mate- máticas para las cuales ella fue creada. No obstante, en el curso de los años se han introducido nuevos temas en la enseñanza de esta disciplina (esperamos que sea incorporada también la etnomatemática) y los principios didácticos no han sido adap- tados a ellos. Esta situación ha “engendrado la espantosa degradación de la enseñan- za de las matemáticas que vemos hoy” (Freudhental, 1985, p. 160).

El análisis de las matemáticas como una actividad presenta un sistema de “ca- pas”; contrariamente el análisis que ve las matemáticas como un producto terminado presenta más bien una estructura deductiva.

Según el autor, “se puede decir que en los métodos tradicionales, hay una tendencia a ‘invertir’ los niveles: se desciende de los niveles superiores a los niveles inferiores, en vez de subir desde los niveles inferiores hacia los superiores” (Ibid. p. 163).

La actividad creativa en matemáticas sería, entonces una de las bases de esta concepción didáctica. De ese punto de vista, la preocupación principal no es saber a qué edad se puede concebir una idea o un concepto matemático determinado. El acento está puesto sobre el proceso requerido para su aprendizaje.

43 Aunque hayan desaparecido de los programas oficiales 44 Ver Bkouche, Charlot et Rouche, 1991.

Tres conceptos fundamentales en este enfoque son: los fenómenos, la didáctica como organización de fenómenos y la constitución de objetos mentales.

Un,fenómeno es toda relación, a menudo familiar. entre conjuntos, formas, magnitudes o números y que se presenta al espíritu como materia prima y punto de apoyo del pensamiento matemático.

Ya no se busca la construcción de estructuras matemáticas deductivas (como era el caso, por ejemplo, en las “matemáticas modernas”) que puedan servir de base, inspirar una enseñanza. Freudenthal busca primero identificar los fenómenos, es decir, los hechos, las reiaciones matemáticas o matematizables. Algunos fenómenos que ilustran esta idea son: - el paso de una figura a otra parecida con la conservación de las razones internas

a cada figura; - tomar dos tercios de una torta no es lo mismo que dividir dos tortas en tres partes

iguales; - cuando se divide 1 por 3 se obtiene un número decimal infinito, imposible de

escribir; - la suma de los n primeros números impares es un cuadrado cualquiera sea n; - etc.

Es la fenomenología, donde se tratará una estructura matemática como un producto cognitivo en el sentido de que ella describe sus objetos, eventualmente no matemáticos.

La didáctica fenomenológica tratará las estructuras matemáticas como una materia de estudio y de enseñanza, es decir, como un proceso cognitivo.

Los fenómenos, que Freudenthal identifica en gran variedad y cantidad no tienen coherencia global y es necesario organizarlos localmente. Esta organización se hace con la ayuda de los objetos mentales.

Los “objetos mentales” son tomados del pensamiento común, o construidos como objetos matemáticos informales. Por ejemplo, toda persona que maneje razonablemente su idioma comprende, en su uso familiar, términos tales como: más grande, dos, tres, la mitad, tres cuartos, poner uno a continuación del otro, equilibrar una balanza, etc. No son conceptos construidos técnicamente como en matemáticas, con cuantificadores y otros símbolos e inscritos en una teoría deductiva. Son algo más familiar, que podría llamarse también noción, pero suficientemente elaborado como para hacer de ellos precisamente instrumentos de organización de campos de fenó- menos.

Los números de todo el mundo escritos en el sistema decimal, los polígonos más simples, los gráficos de funciones son ejemplos de objetos mentales, entre muchos otros.

El aprendizaje de las matemáticas elementales da un sentido razonablemente claro a nociones como paralelas, fracción, semejanza, etc., constituyéndolas así en objetos mentales, mucho antes que esas nociones sean formalizadas; y cualesquiera

125

sean las problemáticas amplias en las cuales ellas han surgido, todas se encontrarán en las matemáticas más desarrolladas (Ibid., p. 6).45

Por otra parte, en este enfoque se habla más de la constitución de objetos mentales que de adquisición de conceptos. Se trata de la organización de los fenómenos y de la constitución de objetos mentales. Según Freudenthal, en el enfoque de adquisición de conceptos, la concreción de los conceptos es transitoria y olvidada por los estudiantes. El autor rechaza absolutamente el principio que dice “primero los conceptos y las aplicaciones después” y agrega que “esta es una estrategia que en el enfoque de cons- titución de objetos mentales es virtualmente invertida”. Los objetos mentales permiten organizar los fenómenos. Por ejemplo, a través de figuras geométricas como el cuadrado, el triángulo, etc., se logra organizar el mundo de los fenómenos del medio ambiente (pegando dos triángulos se puede formar un paralelógramo); las cifras organizan el fenómeno de la cantidad.

El aprendizaje de las matemáticas, según Freudenthal, debe comenzar a nivel de los objetos mentales y no inmediatamente a nivel de los conceptos matemáticos formales, aunque sin embargo tiende a encontrarse con éstos. El objetivo final de la enseñanza sigue siendo enseñar las matemáticas tal como son. Pero es necesario reconocer que muchos estudiantes quedan a medio camino y los enfoques que pretenden enseñas “conceptos definitivos”, matemáticas formalizadas, los dejan con un vacío de conceptos formales mal asimilados y desprovistos de contextos significativos. Es decir, inútiles, tanto para resolver problemas comunes como para constituir un bagaje sólido y base de aprendizajes más complejos.

En el caso de los jóvenes y adultos, la experiencia y las investigaciones muestran que poseen, usando la terminología de Freudenthal, un manejo más que razonable de “objetos mentales” múltiples y variados que podrían servir de base, con la ayuda de otros que se vayan construyendo, para el aprendizaje de las matemáticas más allá de la resolución de problemas cotidianos, con un gran alcance en cuanto a niveles de abstracción.

Por ejemplo, campesinos de un estudio realizado en Chile resolvían adecuadamente problemas de proporciones relacionados con la producción. No obstante, su práctica adecuada de las matemáticas a ese nivel no les permitía resolver problemas más complejos de optimización de recursos o de dietas para los animales. Para ellos se hace necesario el conocimiento de otras estructuras. Nuestro planteamiento es que dichos campesinos poseen no sólo una práctica que es necesario tener en cuenta sino que también una serie inmensa de “objetos mentales” que permitirían, en un trabajo pedagógico intencionado, es decir, en un proceso adecuado de enseñanza y aprendi-

45 “En mi terminología, la fenomenología de un concepto matemático (o de una estructura matemática o de una idea matemática) significa: describir ese noumenos (objeto mental) en relación con los phainomens (fenómenos) que él permite organizar y a otros a los cuales puede ser extendido; describir la manera en que el objeto mental actúa sobre esos fenómenos como instrumento organizador; y describir el poder que nos da para manejar, manipular esos fenómenos” (Freudenthal, 19X3, p. 28).

zaje, organizar conjuntos de fenómenos localmente que los llevarían a construir esas estructuras más complejas, con sentido. De la organización local de un conjunto de fenómenos relativos a las relaciones lineales (que les permiten resolver problemas simples de proporciones) ir organizando otros conjuntos de fenómenos, más amplia- mente, para resolver comprensivamente problemas más complejos. Hasta las genera- lizaciones de la estructura.

ANÁJJSIS FENOMENOL~GICODELA ADICIÓN

Con el fin de agregar un poco de claridad a esta exposición, propongo ahora revisar, breve y suscintamente a riesgo de dejar muchos aspectos fuera, el análisis fenomenológico que hace Freudenthal de la adición.

La estructura matemática del sistema de numeración está dada por la relación “sucesor de”, con las propiedades conocidas que permiten la inducción y, en consecuencia, la definición de N (números naturales).

A partir de esta relación, todas las matemáticas podrían ser construidas utilizando una base de numeración cualquiera, es decir, el carácter decimal de nuestra nume- ración es una suerte de accidente desde el punto de vista matemático.

En las matemáticas avanzadas la estructura decimal no cuenta más. Pero esta estructura adquiere sentido y deja de aparecer como algo arbitrario,

desde el momento en que se considera su conexión con los diez dedos habitual y corrientemente utilizados para contar.

Lo que es esencial en la construcción de las matemáticas, es la constitución de agrupamientos para contar y el valor dado a las cifras.

Sin embargo, agrega Freudenthal, la adquisición de la idea de “número” es pre- cedida por la adquisición de los números que como sistema están bien estructurados en decenas, centenas, miles, etc... No hay ninguna duda de que la adquisición de la estructura matemática de N es solamente posible construyendo la estructura más fuerte de la cual N está dotado: el sistema decimal.

Existe, en relación a la estructura decimal de los números naturales, un hecho cultural mayor con el cual los niños están en contacto desde muy pequeños. Enton- ces, dice Freudenthal, no hay buenas razones para no interesarse en la estructura decimal.

El desinterés por este hecho cultural corresponde a una tendencia a leer las fases del desarrollo y a veces algunas fases didácticas, a partir de la estructura de las ciencias matemáticas. En un enfoque didáctico o genético como ese, por el hecho de estar muy impregnado, incluso dominado, por la idea de la estructura de las ciencias, no hay motivación para dar importancia o al menos prestar atención a la estructura decimal de N.

Sin embargo, los que estamos influenciados por la didáctica fenomenológica, sentimos la estructura decimal de N como una condición sine qua non y al mismo tiempo un argumento contra la idea de que tanto el desarrollo espontáneo como el desarrollo orientado están determinados por la estructura de las ciencias.

ALGUNAS PROFOSICIO~ SOBRE u DWÁCTIW PARA bah ENSEKXNZA DE LAS MATLMA~~AS 127

Para los no iniciados en matemáticas, la estructura de numeración decimal es un elemento indispensable. Es sólo cuando se trabaja en matemáticas avanzadas que aparecerá la necesidad de eliminar esta estructura.

En síntesis, parece importante decir que para captar, aprehender, la estructura matemática de los naturales -es decir, la noción de sucesor y el principio de induc- ción- es necesario aprender primero a contar en el sistema decimal. La abstracción pasa por la eliminación de esta estructura.

Según Freudenthal, tanto para los ordinales como para los cardinales, las estructuras más pobres y las más generales se obtienen, no de repente, sino por la elimina- ción de estructuras ricas.

Miremos rápidamente lo que ocurre con la adición, desde el punto de vista fenomenológico.

En el enfoque conjuntista, la adición es definida como la unión de dos conjuntos, A y B, tales que A n B = 0, y traducida en la siguiente ecuación:

#A+#B=#(A+B)

donde # se lee “el cardinal de...“. En la vida cotidiana, es posible encontrar diferentes tipos de situaciones o de

fenómenos que plantean problemas en los que interviene la adición. Por ejemplo: si tenemos dos conjuntos, uno con 17 bolitas y el otro con 20 bolitas,

el cardinal del nuevo conjunto -que reune los dos primeros- es la suma de 17 y 20. Una manera de encontrar el cardinal del nuevo conjunto es contando las bolitas.

Nos encontramos así frente a una situación donde los elementos de dos conjuntos son bien concretos, reales y manipulables.

Sin embargo, existen conjuntos en los cuales la reunión física de los elementos es difícil sino imposible. En esos casos, uno puede representar los objetos de los conjuntos a través de substitutos. Haciendo jugar la transitividad de la equipotencia, podría- mos dibujar cada conjunto, luego reunirlos y contar.

Ocurre también que uno quiera sumar los cardinales de conjuntos que han dejado de existir. Las preguntas a las cuales se quiere responder a través de una adición ponen en juego conjuntos que tienen a veces una existencia real, pero que, a menudo tienen que ser imaginados o construidos mentalmente.

Por ejemplo: - Juan tiene 5 vacas y Pedro tiene 3 más que Juan. ¿ Cuántas vacas tiene Pedro ?

En este caso, será necesario primero imaginar el conjunto de vacas de Pedro, y luego, antes de saber cuántos elementos contiene, cortarlo en dos subconjuntos; uno de ellos equipotente al conjunto de vacas de Juan y el otro conteniendo 3 vacas. En fin, la suma como la reunión directa de dos conjuntos no parece ser siempre del todo evidente.

- Juan tiene 5 vacas; ayel; antes de ir a la feria, 61 tenía 3 más que hoy. i Cuántas vacas tenía ayer? Aquí, el conjunto de vacas “perdidas” debe ser construido mentalmente para PO-

der agregarlo al conjunto actual.

- Juan ha comprado 3 vacas hoy día. iCuántas más que ayer tiene? En este caso, a pesar de los indicadores lingüísticos que señalan una adición, no

hay ninguna adición que hacer: “comprar” y “más que”, Lo que queremos señalar es que el concepto de adición, reducido a su esencia

conceptual conjuntista, ignora mucho, deja de lado, situaciones cotidianas y fenóme- nos como aquellos de los ejemplos, en los cuales la adición está naturalmente involu- crada.

Por otra parte, estas situaciones son expresadas a través de medios lingüísticos variados e interpretables con grados de dificultad diferentes. Los estudiantes, dice Freudenthal, que no hayan asimilado estas situaciones ni aprendido a decodificar el lenguaje que las expresa, no lograrán constituir la adición como objeto mental.

En el cuadro ordinal existe otra categoría de situaciones o de fenómenos donde los conjuntos como tales no son reconocibles. Este tipo de situaciones tiene dos ca- racterísticas: su alineamiento y su carácter potencialmente infinito.

Consideremos por ejemplo, l subir 5 peldaños de una escalera y enseguida 3; l caminar 5 Km. y enseguida 3; l pasan 5 días y después otros 3.

En todos estos casos, difícilmente se puede hablar de conjuntos con 5 y 3 elementos respectivamente. Incluso, si en los primeros ejemplos podríamos intentarlo, en el último caso eso es muy difícil sino imposible.

Una representación más natural que la de los diagramas de Venn, por ejemplo, es la de las bolitas ordenadas en un alambre, como en un ábaco (muy adecuado para las series discretas tales como los peldaños de una escalera) o la semirecta de números (series continuas como los kilómetros, por ejemplo).

Así, a partir de una gran riqueza de fenómenos que expresan la adición -tanto en sus aspectos cardinales como ordinales- en la vida cotidiana se puede evitar encerrar y reducir la adición a una explicación conceptual sobre los diagramas de Venn y a una práctica mecánica e irreflexiva.

Discutir la sustracción después de la adición no responde al proceso genético ni didáctico. En todo contexto donde la adición es trabajada didácticamente, se encuentra la sustracción, presentada implícitamente y ella puede ser hecha explícita.

Desde el punto de vista formal, la sustracción aparece como la operación inversa de la adición.

8 - 3 = 5 porque 5 + 3 = 8, es el razonamiento a través del cual cada sustracción puede ser reducida a una suma.

Sin embargo, aunque este aspecto no puede ser descuidado, previamente la SUS-

tracción puede ser abordada de manera diferente. Y esto, según Freudenthal, por dos razones: en primer lugar, el modelo que consiste en invertir una operación es, probablemente, poco familiar para los niños de entre 6 y 7 años; en segundo término -y puede que esta sea la razón más importante para nosotros- al trabajar con jóvenes y adultos la sustracción es tan concreta como la adición. Es decir, se encuentran fenó- menos tan ricos como para la adición, entonces se la puede tratar también en un cuadro fenomenológico (cuestión que, por razones de tiempo, no haremos ahora).

129

PARA CONCLUIR.. .

Tenemos, por una parte, un mundo poco conocido -incluso desconocido- de prácti- cas matemáticas fuera de la escuela, lleno de estrategias, procedimientos, contextualizaciones riquísimas. Por otra parte, los fenómenos matemáticos, en rela- ción con la vida cotidiana, pueden ser comprendidos, situados de manera totalmente diferente, permitiendo que cada noción, cada concepto sea construido en su relación con otros, con sentido, aplicado e ilustrado de manera inmediata.

Una de las tareas de los especialistas en didáctica de las matemáticas, cualquiera sea el nivel de la enseñanza, consiste, en general, en la elaboración de programas. Idealmente esto debería ser una tarea asumida no sólo por el especialista en didáctica sino por equipos múltiples donde participen también matemáticos puros y aplicados y profesores.

No obstante -y es aquí donde creemos que hay menos trabajo avanzado- su tarea principal consiste en crear “soluciones didácticas” para el aprendizaje efectivo de las matemáticas, adecuadas a las diferentes poblaciones. Para ellos, es necesario abocar- se a la identificación de los múltiples fenómenos matemáticos y no matemáticos de la realidad cotidiana y a la identificación de los objetos mentales organizadores de esos fenómenos.

Un último ejemplo. En un programa puede estar determinado que se trabajará la multiplicación. Se la estimó necesaria, adecuada, importante, etc. Cómo se va a trabajar la multiplicación con aquellos estudiantes, jóvenes y adultos que seguirán ese programa, es tarea por hacer. Una manera muy común sería, la de definir la multipli- cación como suma iterada o utilizando el modelo del rectángulo (idea de superficie), dar algunos ejemplos y hacer funcionar la estructura en ellos, haciendo luego muchos ejercicios para “asimilarla” (habitualmente la práctica se realiza para aprender la mecánica, es decir, el algoritmo). Otra manera sería identificar primero los múlti- ples fenómenos que dan cuenta parcialmente de esta operación y permitir su organi- zación a partir de ciertos objetos mentales. El “modelo del rectángulo” da cuenta parcialmente de este fenómeno. Lo mismo que otros modelos, como el de rutas, el cartesiano, o el de la recta numérica, etc.. Ninguno de ellos, por si solo, pone en evidencia completamente todos los aspectos, todas las facetas de esta operación que, por supuesto, matemáticamente tiene una forma general. Cada uno de ellos pone en evidencia unos aspectos y “esconde” otros. Es la organización de la multiplicidad de fenómenos que están asociados a la multiplicación los que permitirán, en definitiva, alcanzar una comprensión cabal y generalizable de esta estructura.

Incorporar esta multiplicidad y riqueza en estrategias de enseñanza de las mate- máticas a jóvenes y adultos, como la estrategia del supermercado, por ejemplo, PO-

dda permitir dar proyección al aprendizaje, llevándolo más allá de la resolución de problemas concretos hasta niveles de pensamiento de orden superior. de razonamiento matemático complejo.

La enseñanza de las matemáticas para jóvenes y adultos, en el mundo en que estamos insertos hoy, debe proyectarse más allá de la resolución de problemas habi-

tuales de la vida cotidiana (que, por lo demás, a menudo los adultos resuelven por sí mismos).

El desarrollo creciente y acelerado de la tecnología, la modernización de la industria, de las comunicaciones, plantean grandes desafíos a la enseñanza de las ma- temáticas.

Los computadores ejecutan -a menudo mejor que las personas- las tareas rutina- rias; muchos puestos de trabajo requieren hoy de conductas reflexivas a las que un conocimiento y una práctica adecuada de las matemáticas puede contribuir; una parte importante de los trabajos exigirá una formación matemática avanzada.

Es para insertarse, creativa y críticamente en ese mundo, en aspectos de esa realidad, donde ellas son necesarias, que la enseñanza de las matemáticas debe apuntar. Creemos que el enfoque didáctico que hemos descrito, de manera quizás demasiado escueta, puede ser una herramienta de mucho valor.

BIBLIOGRAHA

CARRAHER, NUNES, SCHLIEMANN, (1988), iVa vida dez, na escola zero. Brasil: Cortez Editora.

D’ AMBROSIO, UBIRATAN, (1995), Etnomatemática: um programa. La Educa@0 Mate- mática.

FRE~~WTHAL, H. (1986), Enseñanza de las matemáticas modernas o enseñanza moderna de las matemáticas. En: Piaget et al, La enseñanza de las matemáticas modernas. Prólogo y selección de Hernández. Madrid: Alianza Editorial.

-, (1983), Mathematics as an educational task. Dordrechet: Riedel. -, (1985), Didactical phenomenology of mathematicals structures. Holland:

Riedel Publishing Company. KNIJNIK, G., (1993), 0 saber popular e o saber acadêmico. La Educacao Matemática,

Año 1, N” 1 (pp. 28-42) ROUCHE, N., (1984), Bilan de le Réforme et idées pour l’avenir. Bulletin de la Societé

Mathématique de Belgique, XXXVI, pp. 133-145. ROUCHE, N. et al. (1993), Elaboration d’instruments de formation des enseignants de

mathématiques de la maternelle à la fTn du secondaire. Louvain-la-Neuve: CREM.

SOTO, I., (1992), Mathématiques dans la vie quotidienne de paysans chiliens. Tesis Doctoral. Universidad Católica de Lovaina, Bélgica.

-, ( 1995), Etnomatemática, Didáctica fenomenológica, Escuela, Educa@0 e Sociedade, N” 50, Año XVI, Abril.

UNESCO, (1993), La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática Básica a los Jóvenes y Adultos de los Sectores Populares, Informe Final, Marly-le-Roi, France.

Uso de materiales escritos en la enseñanza a distancia de la matemática con jóvenes y

adultos: la experiencia argentina Marta Ester Fierro*

PROYECTO DE TERMINALIDAD DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA A DISTANCIA PARA ADULTOS

DEL PLAN SOCIAL EDUCATIVO ARGENTINO

Objetivo

Posibilitar que las personas mayores de 18 años que saben leer y escribir, así como las cuatro operaciones fundamentales de aritmética, completen su escolaridad primaria, teniendo en cuenta sus propias posibilidades de tiempo, sus conocimientos previos y sus ritmos de aprendizaje.

Descripción sintdtica

Este es un Proyecto del Gobierno Nacional de la República Argentina, ejecutado por intermedio del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación, concertado con las jurisdicciones y organizado descentralizadamente.

Uno de los elementos que el proyecto tiene en común es el material gráfico. Este material es el resultado de acuerdos previos con las jurisdicciones que participan en

* Ex-Directora del DINEA y actual asesora en el Ministerio de Educación de Argentina.

el proyecto, tanto en lo que se refiere al diseño curricular, a la distribución de los contenidos, como a los textos definitivos que finalmente se imprimen.

Los alumnos inscritos en este proyecto asisten una vez por semana a una instancia grupa1 y, según los casos, a reuniones con su profesor, cuya frecuencia es variable. Cada alumno recibe trece libros, de los cuales dos corresponden a matemática. Estos dos libros tienen seis módulos en total.

En la jurisdicción se determina la eventual población meta. Una vez convocados los posibles destinatarios, se realiza una preinscripción de las personas que manifiestan interés en incorporarse y se realizan entrevistas individuales a fin de determinar si el nivel de lecto-escritura les permite acceder directamente al proyecto. En caso contrario, muchas provincias han creado instancias presenciales para poder completar la etapa de alfabetización.

Se considera que el alumno está inscrito en el proyecto en el momento en que se le entrega el primer libro -Módulo Inicial- que sirve tanto para que el profesor ela- bore el diagnóstico como para que el propio alumno tenga en cuenta sus posibilidades iniciales. Al finalizar este libro, el profesor deberá rellenar un instrumento diag- nóstico que incluye una parte específica para el área de matemática. De esta forma se intenta registrar el nivel con el que ingresan los alumnos al proyecto.

En la etapa actual -considerada como prueba piloto- se está trabajando en 14 jurisdicciones (lo que presupone una gran dispersión geográfica) con 2.000 alumnos y 50 centros. Resulta difícil establecer cuales son los principales resultados, ya que aún no se cuenta con alumnos que hayan completado su escolaridad en este sistema. No obstante, se han podido obtener algunos datos provisionales y parciales relativos al nivel de ingreso de los alumnos y a las pruebas de aplicación.

La propuesta presupone un seguimiento y evaluación continuos, así como un análisis específico de los materiales, a fin de producir las reformulaciones necesarias. Con este propósito, el Ministerio de Cultura y Educación de la Nación ha contratado una evaluación externa y el diseño del sistema de información tanto del proyecto en general -en lo que se refiere a la organización y los materiales- como de los alumnos en particular.

A continuación se explicitan las decisiones tomadas en el marco del proyecto con respecto a los destinatarios, la organización y el diseño curricular.

Decisiones acerca de los destinatarios

- Organizar un servicio para las personas mayores de 18 años de edad. No obstante, cada jurisdicción, en función de su realidad, puede elevar la edad mínima de ingreso en el proyecto.

- Atender, en una primera etapa, a la población urbana y suburbana que, por su escolaridad anterior o por su propia experiencia de vida, tenga manejo de la lectoescritura.

- Priorizar en 1994-95 la convocatoria a: trabajadores del Estado, amas de casa, población carcelaria, madres y padres de niños de los niveles inicial y primario.

Decisiones acerca de la organización

Optar por la modalidad a distancia, pues permite que las personas adultas estu- dien según su propio ritmo. Incluir instancias presenciales grupales e individuales, pues se considera que favorecen la retención, ayudan a lograr los aprendizajes y la regionalización de los contenidos. Promover el retorno del alumno al sistema, en caso de abandono, tantas veces como sea necesario, y su continuidad desde donde lo dejó. Para ello se cuenta con registros específicos de sus logros y dificultades anteriores. Posibilitar que cada alumno pueda seguir su propio ritmo y completar el nivel en el lapso que sus aprendizajes previos, su ritmo de aprendizaje y su disponibilidad de tiempo se lo permitan. Trabajar con.diagnósticos preliminares de sectores específicos de la población a fin de poder caracterizar la población destinataria. Elegir como estrategia fundamental la participación de otros sectores (otras áreas de gobierno, sindicatos, empresas, clubes de madres, cooperadoras, etc.). Valorar la capacitación inicial y continua de los educadores como un aspecto esencial de la organización. Realizar el seguimiento y la evaluación del proyecto a fin de poder analizar y mejorar todos los aspectos de la propuesta inicial, ajustándola así a los objetivos que se pretende lograr. Adoptar como definición estratégica del proyecto una organización descentrali- zada. Con este fin se establecen las siguientes responsabilidades en los tres niveles de operación:

Coordinación Nacional

La Argentina es un país federal y ningún servicio educativo depende del Ministe- rio de Cultura y Educación de la Nación desde 1992. Este nivel es responsable de elaborar el proyecto general y establecer los acuerdos relativos a su organización, así como al diseño, reproducción y envío de los materiales.

Coordinación Jurisdiccional

Es el nivel responsable de organizar, dirigir y supervisar el proyecto en las loca- lidades comprendidas dentro del área geográfica de cada provincia o de la ciudad de Buenos Aires.

134 cONOCIMh2WO MATEMATICO EN l.4 EDUC,CKiV DE Jd’&NES Y ADULTOS

Centros de apoyo pedagógico

Es el nivel más próximo a los destinatarios. En ellos se desarrollan las reuniones grupales y los encuentros personales. Al profesor de este nivel de operación le corresponde realizar el diagnóstico, la enseñanza, el seguimiento y la evaluación del grupo a su cargo, así como la orga- nización y la coordinación de las actividades de los encuentros.

Decisiones acerca del diseño curricular

- Se opta por un diseño curricular inscrito en el marco de la Ley Federal de Educa- ción y entendido como una primera etapa de un programa más amplio de Termi- nalidad de la Educación General Básica para las personas mayores de 18 anos.

- El diseño se orienta según los siguientes principios básicos: mejorar las condiciones de vida de los adultos; satisfacer prioritariamente los intereses y necesidades de los adultos; valorar los conocimientos y experiencias de los adultos que participen en el proyecto.

- El alumno debe lograr los siguientes objetivos: desarrollar la capacidad crítica a partir del manejo de información y la elabora- ción de estrategias para su tratamiento; desarrollar una conciencia democrática, informada de los derechos y responsabilidades ciudadanas; afianzar la confianza en sí mismo y la autoestima personal como base fundamental para la participación activa en la sociedad: generar actitudes positivas de comprensión y solidaridad entre los distintos grupos de la población; adquirir una formación básica orientada hacia la realización personal; comprender, valorar e interpretar los mensajes que recibe en los distintos ámbitos donde se desempeña y los que le llegan gracias a los medios de comunicación de masas; adquirir conocimientos científicos y tecnológicos básicos que le permitan comprender los hechos de la vida diaria mediante su incorporación en modelos más comprensivos; conocer y aplicar las normas básicas de la lengua en su produc- ción oral y escrita; valorar la importancia de la matemática como herramienta para la resolución de situaciones problemáticas en la vida cotidiana; revalorizar el trabajo como actividad inherente al ser humano. Organizar los contenidos en las siguientes áreas curriculares: Lengua, Matemática, Ciencias Sociales, Ciencias y Tecnología, Formación para el Trabajo.

LA ENSENANZA DE LA MATEMÁTICA EN EL PROYECTO46

2 Para qué enseñar matemática a los adultos?

ES probable que la matemática sea la asignatura que se ha enseñado durante el lapso más prolongado en la historia de la humanidad y por eso puede parecer trivial preguntarse ¿para qué enseñar matemática? y, más aún, ¿para qué enseñar matemática a los adultos? Sin embargo, aunque parezca trivial, no lo es.

Definir con precisión los objetivos propuestos en un diseño curricular es una condición necesaria para poder realizar una adecuada selección y organización de los contenidos, así como para elegir las estrategias didácticas. Esto, que es básico para todos los niveles y modalidades, cobra especial relevancia en la enseñanza de la matemática a los adultos que se proponen finalizar su escolaridad primaria porque: - El adulto ya está inserto en un contexto que permanentemente le demanda res-

puestas. Si bien finalizar su escolaridad primaria no le “cambiará la vida”, es deseable que lo ayude a reafirmar o adquirír saberes instrumentales y conceptualizaciones que le permitan responder más adecuadamente, a partir de sus propias decisiones, a los requerimientos de una sociedad en cambio permanente.

- Por respeto a su tiempo, estos aprendizajes los deberá lograr rápidamente. Esto obliga a definir, limitada pero claramente, el para qué, el qué y el cómo enseñar los contenidos que tienen relevancia hoy en día.

- El adulto, en general, decide continuar su escolaridad primaria con un profundo respeto por el conocimiento, por el profesor y por la educación. En el caso especí- fico de la matemática, esto adquiere una importancia particular por la sobrevaloración social de esta rama del conocimiento, pues para muchos “saber matemática” es sinónimo de “ser inteligente”. Por lo tanto, la selección de los objetivos facilitará u obstaculizará el acceso a los conocimientos y promoverá o menoscabará la autoestima de los alumnos adultos. Teniendo en cuenta estas consideraciones, se han seleccionado los siguientes ob-

jetivos para el área de Matemática de este proyecto: - Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situacio-

nes de la vida cotidiana que requieren su utilización. - Adquirir nuevos conceptos y estrategias para plantear y resolver situaciones

matematizables relacionadas con aspectos de la vida personal, laboral y .comuni- taria.

- Valorar la precisión y la utilidad del lenguaje matemático para representar, comunicar 0 resolver situaciones.

ti Equipo de trabajo constituido px los profesores Pilar Manuela Giménez, Mirta León, Aldo Bruno Pizza, Bruno Serpa y Marta Ester Fierro.

- Utilizar las operaciones fundamentales en la resolución de problemas. - Adquirir el conocimiento de los sistemas de medidas de longitud, peso, superfi-

cie, volumen y tiempo, aplicándolos a problemas del entorno. - Conocer y aplicar conceptos elementales de estadística para la interpretación de

tablas y gráficos sencillos.

Fundamentación

La matemática, como toda ciencia, está sujeta al desarrollo y el cambio histórico- social. Intenta dar respuesta a problemas que el hombre se plantea. La matemática más elemental nació cuando las necesidades de la vida humana así lo exigieron.

Con el tiempo, los conceptos matemáticos fueron superando las exigencias de carácter concreto. Entre los griegos, el conocimiento matemático, por el grado de especialización que alcanza, comienza a adquirir autonomía en relación con la prác- tica. Se sistematiza su estructura conceptual dando origen a un modelo axiomático que responderá a numerosas situaciones.

Si bien la matemática propone modelos para una infinidad de situaciones posibles, la ciencia y la tecnología continúan desafiándola, planteándole nuevos problemas. La matemática es una ciencia formal que se basa en la lógica, con principios y procedimientos que le son propios.

En este sentido, la matemática es tanto formal o pura, con una estructura de relaciones lógicas, como un instrumento necesario para “leer” la realidad, interpre- tarla y actuar sobre ella. Estos dos aspectos del conocimiento matemático -10 formal y lo instrumental- se complementan, ya que éste último facilita la comprensión de conceptos y teorfas fundamentales al esclarecer su aplicabilidad. Este doble valor de la matemática cobra importancia cuando se trata de organizar contenidos en una propuesta curricular.

La creciente complejidad que ha ido adquiriendo el conocimiento matemático debido en parte a que sus construcciones no se apoyan en “observables” sino en “demostrables” a partir de sus procedimientos- le da un carácter abstracto que dificulta su aprendizaje, porque en la enseñanza se olvida que sus raíces históricas están en lo concreto.

Los conocimientos se construyen a partir de una necesidad vital y con sentido para el alumno, como lo fue históricamente para la humanidad. Para dar respuesta a esa necesidad es imprescindible que el conocimiento se construya sobre la base de una acción pedagógica que permita alcanzar un saber hacer.

Tratándose de una propuesta pedagógica, es necesario conocer las representaciones y concepciones previas que poseen y construyen los alumnos acerca de los objetos de conocimiento, pues éstas se constituyen en facilitadoras u obstaculizadoras de la adquisición de nuevos conceptos. Asimismo, actúan como filtro y selector de la

información recibida, que puede ser completada, limitada o transformada, dando como resultado nuevas concepciones. Estas nuevas concepciones son un modelo explicativo, organizado y lógico, que se actualiza por la situación y en el contexto en que emergen, movilizando los esquemas y nociones que poseen los sujetos, organiza- dos en un sistema cognitivo global y coherente que les permite comprender y actuar frente a una situación-problema.

Lo que acabamos de decir es válido para la enseñanza de cualquier disciplina, pero hay dos aspectos que se quieren destacar en el caso particular de la matemática.

Por un lado, se le asigna socialmente un papel destacado dentro del conjunto de asignaturas que conforman un diseño curricular, pues se la considera la “materia por excelencia” para el desarrollo del pensamiento lógico por los crecientes procesos de abstracción que implica la comprensión de algunos de sus principios. Este “mito” en tomo a la matemática y a los sujetos que tienen éxito en su aprendizaje hace que la mayoría de los niños y adultos sientan temor e inseguridad al encarar su aprendizaje.

Por el otro, su alto grado de abstracción y su aparente autonomía respecto de la realidad empírica determinaron de alguna manera las características de su enseñan- za. Tradicionalmente, la presentación axiomática del conocimiento matemático ha sido el recurso más frecuente en su enseñanza.

En esta propuesta para el Area de Matemática del Proyecto de Terminalidad de Nivel Primario para Adultos a Distancia se ha optado, desde el enfoque metodológi- co, por abordar los temas del área mediante situaciones problemáticas, es decir, pro- poniendo situaciones en las cuales exista más de un camino a seguir para dar con la solución, en niveles distintos de conocimiento y formalización.

Consideramos que la resolución de problemas es un medio adecuado para trabajar con alumnos adultos. En primer lugar, porque el adulto se enfrenta regularmente con problemas de diversa índole y, en segundo, porque la resolución de problemas exige que quien los resuelve comprometa intensamente su actividad cognitiva: debe seleccionar esquemas previos, aplicarlos a la nueva situación, revisarlos, modificar- los, establecer relaciones, etc. Este complejo proceso de trabajo mental se materializa en el análisis de la situación, la elaboración de hipótesis, la selección de una vía de solución y su verificación.

Las estrategias elegidas

Consideraciones Generales

El alumno adulto seguramente posee un “saber instrumento”, producto de su actividad cotidiana. La satisfacción de sus propias necesidades lo obliga a desarrollar una amplia gama de estrategias personales con el fin de resolver situaciones de la vida

-

_-.___II_ , . I - - - . .

diaria. Este aprendizaje es independiente del grado de escoltidad que haya alcanzado, pues su pensamiento formal -y consecuentemente sus estrategias lógicas- lo ha ido logrando igualmente por medio de su inserción comunittia y laboral.

Sin embargo, la experiencia muestra que los alumnos puestos en una “situación de sala de clase” difícilmente utilizan el “sentido común” para abordar los problemas planteados. Esta fragmentación de la realidad parte del presupuesto socialmente ins- talado de que el profesor debe “explicar” toda la teoría para que el alumno pueda luego “aplicarla”. Aquí subyace una concepción particular del aprendizaje y, por lo tanto, del papel del profesor en la enseñanza. Si esto se toma en consideración en un proyecto de educación a distancia, se presupondría que las actividades sólo se pueden plantear tras una explicación detallada de los contenidos que se prevé desarrollar.

En la propuesta que aquí se presenta se trata de que los alumnos sean participantes activos en la construcción de los conceptos. Los contenidos se abordan partiendo de actividades contextualizadas en situaciones de la vida cotidiana, para lo cual se brinda información a los alumnos y se toma en cuenta sus saberes previos. De esta manera se trata de evitar la pregunta típica en el aprendizaje de esta materia: “Lpara qué sirve esto?‘.

La matemática se concibe como un conjunto de conceptos que se interrelacionan y de procedimientos que se obtienen y se comprenden razonando y descubriendo.

La diferencia que se establece entre los conceptos y los procedimientos cobra una relevancia fundamental en el proyecto, pues se considera que son los conceptos los que permitirán seleccionar diferentes procedimientos para operar con la realidad. Por ejemplo, si no se tiene claro el concepto de “proporcionalidad” y la necesidad de una constante para que exista relación entre dos magnitudes, difícilmente se podrá resolver un problema sin darle un carácter simplemente mecánico. Más aún, en caso de que exista una relación de proporcionalidad es necesario precisar si es directa o inversa y para ello es imprescindible “comprender” que significa cada una de ellas y poder determinar en cada situación qué es lo que se mantiene constante. Luego po- drán elegirse distintos procedimientos de resolución: “pasaje a la unidad”, proporciones, gráficos, tablas, etc.

Es necesario tener presente que un alumno puede aplicar correctamente un procedimiento, pero no siempre puede dar cuenta de él o explicarlo: por ejemplo, el algoritmo de la división. La justificación de los procedimientos no es significativa en sí misma; lo es en la medida en que desarrolla habilidades para reconstruir un procedimiento que ha sido olvidado. Por consiguiente, si un alumno adulto ya puede resolver por escrito y correctamente las operaciones, no es necesario detenerlo con explicaciones que puedan parecerle engorrosas y quizá llevarlo a confundir los mecanismos que ya ha incorporado. A esta aclaración podría hacérsele una salvedad, pues el procedimiento tradicionalmente utilizado para sumar y restar puede haber sido intemalizado, pero no el de la multiplicación y la división. La reflexión y la explica- ción de los algoritmos de la adición y la sustracción posibilitarán el desarrollo de

algunas estrategias operatorias intermedias antes de hallar el resultado. Así, posteriormente le será más fácil aplicar estrategias similares (todas ellas basadas en la comprensión del sistema de numeración decimal) en el caso de la multiplicación y la división.

La matemática es una ciencia formal exacta que, abstrayéndose de los objetos empíricos, construye “modelos” que luego pueden ser aplicados por otras disciplinas para comprender mejor determinados aspectos de la realidad. Sin embargo, el estado actual del área ha demandado a la humanidad muchos siglos de procesos de genera- lización creciente. Sin duda, lograr el desarrollo de estos niveles de generalización conceptual sería interesante, pero no hay investigaciones rigurosas que indiquen que estos logros en matemática impliquen necesariamente su aplicación en otros campos. Por otra parte, este abordaje matemático -que incluye un lenguaje simbólico específico- no es el que necesita cualquier persona adulta para interactuar con su realidad.

Desde una perspectiva didáctica se considera necesario “recorrer” el camino his- tórico que ha tenido el conocimiento matemático, cuya construcción se ha basado - especialmente durante la Antigüedad- en la resolución de problemas que planteaba la realidad.

Es necesario tener en cuenta que la construcción de los conocimientos matemáti- cos requiere, en primer lugar, la operación concreta con los objetos (nivel concreto). Esto no significa la simple manipulación de los objetos sino la “acción mental” que se puede ejercer con ello para poder operar. Dada la edad de los destinatarios del proyecto, es posible que este nivel ya se haya alcanzado. Sin embargo, cuando no se puedan alcanzar las etapas posteriores será necesario volver a dicho nivel, aunque sólo sea para algunos temas específicos.

Una vez que se puede operar en el nivel concreto, un paso importante para la conceptualización es poder explicitar lo que se ha realizado. Esto se puede hacer mediante el relato de lo que se hizo (en forma oral) o utilizando distintas formas para representarlo mediante dibujos, gráficos, palabras, etc. (nivel representativo). Aquí es importante tener presente que la “representación” debe ser significativa para el sujeto que la utiliza; en caso contrario, lo que debería representar un mayor nivel de abstracción para facilitar la conceptualización se convertiría simplemente en una nueva mecanización. Un ejemplo de lo que decimos está constituido por el material representativo que se propone utilizar en el Módulo 1 para trabajar con el sistema de numeración decimal. Esto sólo tiene sentido cuando el alumno tiene dificultades para reconocer las reglas de formación de sistemas posicionales y, al trabajar con cuadrados, rectángulos, etc., los puede relacionar con unidades, decenas, centenas.

Poder escribir simbólicamente (nivel simbólico) procesos matemáticos, aunque sólo sean numéricos, demanda al sujeto que logre un nivel de abstracción mayor y la aceptación de un código (el simbólico) ya establecido, cuyas “reglas de juego” él no puede modificar.

Si los alumnos tienen dificultades al desarrollar un tema en el nivel simbólico -por ejemplo, en la aplicación del algoritmo de alguna operación- se sugiere volver a tratar el contenido con material concreto o representativo.

Una última consideración que es importante tener en cuenta es que frecuentemente los adultos que retornan sus estudios para terminar la escolaridad primaria fracasan en el aprendizaje de la matemática cuando tienen que “hacer las cuentas”. Aquí se parte de la hipótesis de que esto sucede porque “escribir la cuenta” presupone por lo menos dos elementos: un proceso de simbolización y la aplicación de un procedimiento específico. Es casi seguro que el adulto ha desarrollado ya estrategias de cálculo mental que no siempre coinciden con el algoritmo tradicionalmente utilizado y enseñado en las escuelas; de ahí que la dificultad no radique solamente en que deba simbolizar, sino en que, además, deba hacerlo con un procedimiento extraño a él.

La resolución de problemas

Permanentemente, la vida nos obliga a tomar decisiones. Continuamente necesitamos analizar situaciones, prever alternativas, conjeturar resultados, argumentar, efectuar deducciones, comunicar conclusiones. Los problemas vitales suelen ser compli- cados: están implicadas una gran cantidad de variables, no siempre bien definidas, generalmente relacionadas de tal modo que no resulta clara su dependencia; a veces ni siquiera podemos determinar cuáles son relevantes y cuáles son accesorias.

Obviamente, no todos los problemas son matematizables. Pero lo que a veces no se tiene presente es que “aplicar conocimientos matemáticos” no siempre es resolver problemas numéricos. Si, como se plantea en esta propuesta, hacer matemática es resolver problemas, el cálculo no es lo sustantivo de los procedimientos de resolu- ción. Por consiguiente, la información que se debe tomar en consideración no sólo es el dato numérico: es también ese dato situado en su contexto, es decir, ese dato con el significado que adquiere en cada situación. Por lo tanto, las palabras son más importantes que los números, pues son las que permitirán saber a qué se refiere esa cantidad, en qué contexto y para qué se la puede utilizar o no en la obtención de la respuesta.

En general, los “problemas matemáticos” se simplifican mucho y admiten una graduación casi continua. Esta ha llevado a desarrollar situaciones “escolarizadas” que se han convertido en “problemas tipo”, que aquí se tratará de evitar.

Ahora bien, enseñar a resolver problemas no es tarea fácil. En el caso de una relación cara a cara, el profesor que hace frente a un problema presentado en un módulo mediante la copia del planteo en el pizarrón (su planteo) y la indiscutible solución y respuesta, habrá perdido una batalla. ¿Por qué? Porque si el alumno no es quien conjetura, quien propone alternativas de solución, el problema deja de ser tal.

Esto supone un cambio considerable en la concepción de la enseñanza tradicional de la matemática. La principal virtud será la prudencia y evitar la tentación de

“ayudar” rápidamente diciendo cómo resolverlo. Esto no implica que el profesor deba dejar “perder el tiempo” a los alumnos, sino que su intervención se centrará en ayudarlos a identificar la información disponible, qué se quiere lograr, cuáles pueden ser las relaciones que permiten construir procedimientos de resolución, etc.

Justamente, es la intuición puesta en juego en algunas conjeturas la que permitirá al alumno adulto proponer diferentes formas de resolución que tienen que ver con su interpretación de la situación problema.

Analizar los distintos caminos propuestos por cada uno de los alumnos adultos permitirá señalar los errores y valorizar los logros. Se encontrará muchas veces con diferentes caminos de resolución y también se hallará diferentes resultados por el margen que da la estimación o el cálculo aproximado.

Es conveniente realizar ejercicios, toda vez que sea posible, en la estimación a priori del resultado de distintos problemas. ¿Cuánto mide aproximadamente la sala donde se está realizando la reunión ?: ~20 rn? o 20 hectómetros cuadrados? Los alumnos adultos están en condiciones de estimar con sentido crítico, apoyándose en su experiencia personal.

La modalidad de trabajo para esta propuesta requiere partir de situaciones que se generan en la vida diaria e ir identificando las estrategias con las que los adultos las resuelven. Estas estrategias facilitan el conocimiento de los distintos niveles de com- prensión, el manejo de las nociones, los niveles de apropiación que tienen de 10s conceptos o procedimientos. Además, la naturaleza de la construcción del conocimiento matemático requiere volver sobre los mismos contenidos con distintas formas de representación y actividades que apunten a niveles de complejidad y formali- zación crecientes.

En síntesis, los contenidos se irán completando en los diferentes módulos por medio de aproximaciones sucesivas, cada vez más profundas y desde diferentes perspectivas.

Selección y organización de los contenidos

En este Proyecto, el área de matemática tiene un valor instrumental que posibilitará al alumno adulto no sólo el conocimiento de determinados contenidos matemáticos, sino fundamentalmente el análisis y la resolución de situaciones matematizables relacionadas con su interacción en la sociedad. De ahí que para la selección y organi- zación de los contenidos se consideraran tres aspectos: - las estrategias espontáneas que los adultos han desarrollado para resolver situa-

ciones-problema; - la adquisición de conceptos y procedimientos que se puedan aplicar a una variada

gama de situaciones y en diferentes áreas del conocimiento; - las exigencias sociales actuales requeridas para la inserción del adulto en su me-

dio socioeconómico. Cuando se habla de contenidos se hace referencia a la selección de conceptos y

_-__ __--------

procedimientos matemáticos, así como al desarrollo de habilidades y estrategias de aprendizaje que, una vez concluida la educación primaria, les serán útiles a cada adulto en su vida cotidiana.

Los contenidos se estructuraron en tomo a cinco ejes temáticos que se desarrollan en los seis módulos impresos que componen el área. Estos ejes son: Número- Operaciones-Medida-Geometría-Estadística. Desde el punto de vista de la estructura de la disciplina, estos ejes no pertenecen a un mismo nivel de complejidad, pues los ejes de numeración y geometría son las bases sobre las cuales se tratarán las operaciones, las medidas y la estadística. Dicha selección ha permitido que se puedan tratar de manera interrelacionada, siempre vinculados entre sí, ya que el aprendizaje de unos incide, perfecciona y complementa el de los demás.

La elección de estos ejes organizadores se funda en que el alumno adulto necesita: - Conocer distintos conjuntos numéricos (naturales, enteros y racionales) para cuan-

tificar situaciones (eje Números). - Operar correctamente con los distintos tipos de números, ya que muchos proble-

mas que se presentan diariamente se resuelven con operaciones numéricas. Tam- bién es significativo encontrar relaciones entre números por su aplicabilidad posterior a la proporcionalidad entre magnitudes (eje Operaciones).

- Comparar dos magnitudes (o estimar sus medidas) para determinar cuál es mayor o menor (en longitud, peso, volumen, etc.) o establecer relaciones entre ellas pues, si son de proporcionalidad, le permitirán resolver innumerables problemas, incluso por aproximación (eje Medida).

- Adquirir las nociones fundamentales de las formas geométricas más usuales y operar sobre ellas en la búsqueda de información o en el uso de sus propiedades (eje Geometría).

- Interpretar cuadros, gráficos o valores estadísticos que, cada vez con mayor frecuencia, aparecen en los diarios, programas de televisión o libros (eje Estadísti- ca) (Ver Anexo).

LOS MATERIALES GRÁFICOS DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

El proceso de elaboración

El material único, las autonomías provinciales y la regionalización

La República Argentina tiene una organización federal. En materia de educación, los servicios dependen de las jurisdicciones. El diseño curricular, así como la acredi-

tación de los niveles del sistema formal es responsabilidad de las provincias y de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires.

Esta distribución de responsabilidades hacía difícil proponer un proyecto en el que los materiales ocuparan un lugar central. Sin embargo, también se debía considerar que los esfuerzos técnicos y económicos que demanda la elaboración de los materiales lo convertirían en inviable, si se proponían elaboraciones a nivel provin- cial. Por consiguiente, se tomó la decisión de elaborar materiales comunes para todo el país, con excepción de un módulo de Ciencias Sociales, pero posibilitando la par- ticipación activa de los equipos técnicos provinciales en el proceso de elaboración.

Tomada esta decisión, quedaba por saldar aún los aspectos relativos a la regiona- lización de los materiales. En este caso, se optó por incluir en los libros temáticas, ejemplos y vocabulario considerados comunes a las distintas regiones, procurando incorporar actividades abiertas que permitan a los alumnos considerar su propia realidad local. Además, también se promueve que los profesores propongan problemas vinculados con la realidad cotidiana de los adultos de su grupo y las jurisdicciones tienen libertad para adicionar todo el material que consideren necesario.

La secuencia de realización

En agosto de 1993 se comenzó a elaborar la versión preliminar del diseño general organizativo y curricular del Proyecto, el Módulo Inicial (diagnóstico) y el Módulo 1 para los alumnos de cada área, así como algunos módulos para profesores.

Estos materiales se presentaron a los representantes jurisdiccionales en octubre de 1993, explicitando cuáles eran las responsabilidades del nivel nacional, cuáles las que se pedirían a las jurisdicciones que quisieran participar y la dinámica prevista para el trabajo compartido.

En diciembre de 1993 se realizó un seminario con las provincias interesadas para acordar el diseño curricular general y el de cada área. Uno de los bloques de cinco (5) horas correspondió a la matemática. En la misma reunión se fijaron criterios para 10s contenidos y el procesamiento didáctico de los módulos a partir del análisis de los materiales que ya se conocían.

Cada módulo tuvo como responsable a un especialista en contenido que trabajó junto con un especialista en procesamiento didáctico. Cada uno tenía sus respectivas coordinaciones de matemática y de procesamiento, a fin de lograr la coherencia dentro del área y con el conjunto de los materiales. Todo este proceso fue coordinado por una responsable general de materiales para alumnos.

La versión preliminar debía imprimirse y remitirse a las jurisdicciones para SU consideración. Esta etapa de análisis de las versiones preliminares por los equipos provinciales se consideró esencial no sólo para graduar el alcance de los contenidos

144 cONOCIMlEWO MATEMhCO FN L4 EDU‘ACIÚN DE J6”ENES Y ADULTOS

y las actividades, sino fundamentalmente para posibilitar la adecuación a las distintas realidades locales. Así, por ejemplo, en una versión preliminar aparecía un porte- ro eléctrico para trabajar las tablas de doble entrada, que luego fue reemplazado. Por otra parte, esta estrategia permitió también detectar errores, reformular secuencias didácticas y reconsiderar la inclusión de determinados contenidos (radicación, operaciones algebraicas, etc.).

En abril de 1994, al completar la versión preliminar de los cinco primeros módu- los (los únicos que desarrollan contenidos, pues el sexto propone una integración de los cinco precedentes) se comparó el conjunto de los materiales con el diseño curricular. En el área de matemática -aunque no exclusivamente- se detectó que, analizados globalmente, no daban cuenta de la intencionalidad planteada en el diseño curricular, especialmente en lo relativo a la resolución de problemas, la vinculación con la vida cotidiana de los adultos y la toma en cuenta de los posibles saberes previos de los alumnos. Con estas consideraciones y los aportes de las jurisdicciones se reformuló el material. El primer libro de matemática se imprimió en octubre de 1994 y el segundo en abril de 1995.

Dificultades por resolver

El desarrollo riguroso de los contenidos matemáticos y su adecuación a los destinatarios: con este propósito se planteó elegir autores que conocieran los contenidos y la didáctica del área, que tuvieran una amplia experiencia en el aula -especialmente con adultos-, que hubieran participado en experiencias de aprendizaje a distancia y que conocieran el interior del país. La imposibilidad de encontrar profesionales que satisficieran todos los requisitos llevó a integrar equipos en que se complementaran los perfiles y se promoviera el trabajo cooperativo entre los especialistas en contenido, más allá de las responsabilidades contractuales.

En el caso de la contratación de los especialistas en contenidos, se optó por considerar prioritaria la solvencia técnica en matemática.

La distancia entre los autores y los alumnos: proponer un material que será utilizado por un alumnado heterogéneo, en distintos lugares y circunstancias, con aprendizajes previos diferentes llevó a repensar la consigna siempre utilizada que reza: “partir de los saberes previos”. Esto supuso un análisis del término ‘saberes’, teniendo en cuenta su relación con los conceptos y procedimientos, información y contexto, competencias cognitivas y desarrollo del pensamiento lógico formal. Aquí se intentó resolver el problema de la pertinencia considerando los elementos que surgen de la misma matemática y seleccionando las informaciones y contextos que pueden ser comunes.

Asimismo, también se consideró que la diferencia en los niveles de ingreso de los alumnos -en términos de aprendizajes previos y conceptualizaciones- se atenuaba,

si se tenía en cuenta que todos ellos debían recorrer el conjunto de los materiales. De esta manera, los alumnos participantes autorregularían el tiempo que emplearían para concluir satisfactoriamente los distintos módulos: quienes habían logrado mayores niveles de abstracción o conceptualización e intemalizado los procedimientos, potim avanzar más rápidamente con los primeros materiales. Esto se debe a que se decidió partir del supuesto de que quienes ingresaban al proyecto podían tener mayores dificultades con este material inicial.

En los materiales destinados a los profesores se insiste especialmente en que los alumnos que ya hubieran incorporado los conceptos y procedimientos sobre ciertas cuestiones que no se detengan en ellas; por ejemplo, la justificación del sistema decimal y los algoritmos que se utilizan tradicionalmente.

En esta misma perspectiva se debe mencionar también la cantidad de ejercicios relacionados con cada tema que constituye la propuesta. Se optó por una alternativa que se podría calificar de mínima, consignando en los módulos destinados a los profesores sugerencias de otros tipos de actividades para los alumnos que tuvieran dificultades específicas.

L.a matemática es una ciencia formal: como se explicitó en la fundamentación de este proyecto, se dio prioridad al valor instrumental de la matemática. Sin embargo, tampoco se puede desnaturalizar tanto el objeto de estudio, por lo que se resolvió incorporar algunas señales vinculadas con los procesos de modelización y abstrac- ción, aunque de manera muy limitada y que tal vez no se pudieran identificar rápida- mente.

El trabajo con material concreto y representativo: la dificultad de trabajar con material concreto o representativo generó mucho debate dentro del grupo. Esto es particularmente cierto en lo que se refiere al material sobre el sistema de numeración y los algoritmos de las operaciones. El uso de distintos materiales, tales como los palillos y el ábaco, fue muy discutido y, finalmente descartado. Si bien es cierto que la manipulación de material concreto facilita y favorece los procesos de aprendizaje de ciertos alumnos, la experiencia de los profesores muestra también que algunos de ellos invierten mucha energía en trabajar con el material concreto -el ábaco, por ejemplo- sin que se produzca una correspondencia directa con el sistema de numera- ción. En el caso de los palillos, “la torpeza” para manipular este material hace que los mismos alumnos adultos se sientan poco inclinados a utilizarlo.

Además, también se cuestiona el valor didáctico de este tipo de material por no reflejar el carácter posicional del sistema. No obstante, se preparó material representativo que presupone el “canje” por agrupamientos de a diez y la posibilidad de recortar el material para trabajar con él. Se insistió mucho a los profesores para que no se detengan, si el alumno no lo necesita. Se espera que la evaluación de los materiales pueda indicar otros aspectos que permitan resolver estas cuestiones.

En otros temas -como los de superficie o volumen-, esta dificultad no se presen- tó, pues los adultos ya tienen la conservación correspondiente.

Lus limitaciones del material gráfico: en primer lugar, debe mencionarse la com- prensión lectora necesaria para encarar la propuesta y la posibilidad de ejecutar las consignas escritas. Aquí se planteó la necesidad de un proceso de complejidad creciente y la importancia de abordar también a partir de esta área los aspectos comuni- cativos del sujeto que aprende.

En segundo término tenemos los aspectos relacionados con los algoritmos o procedimientos para resolver problemas. Desarrollar permanentemente algoritmos o procesos alternativos para resolver un mismo problema puede resultar tedioso y qui- zá el alumno tampoco se identifique con ninguna de las opciones presentadas. Esto depende en gran medida de las actitudes del profesor y el alumno, lo que presupone estrategias presenciales. Sin embargo, se consideran algunas estrategias que, si se presentaran por medio de videos o de material interactivo, podrían ser mucho más atractivas y facilitadoras de aprendizaje.

Para enseñar los algoritmos lo ideal habría sido poder seguir la secuencia de cada uno de los sujetos, pero esto dificulta la elaboración de material común. Se partió de la hipótesis de que las personas adultas participantes en el proyecto consideran que aprenden matemática cuando se les enseña a hacer las cuentas. Se presentan los algoritmos tradicionales pero, dado que los procedimientos tienen una secuencia directamente vinculada con las reglas del sistema decimal, se encontró la dificultad consistente en plantear en un papel una secuencia de pasos sin que esto parezca absolutamente prescriptivo. En este sentido, la dificultad consistió en poder explicar en una secuencia lineal procedimientos que sean suficientemente claros para los alumnos. Esto era difícil de resolver a partir del material gráfico disponible. Por consiguiente, para facilitar la distinción de los diversos pasos se planteó como posibilidad la utilización de diferentes tonalidades de color.

En geometría es donde más se manifiestan las limitaciones del material gráfico y la conveniencia de utilizar el video y material interactivo.

El diseño comunicativo

Los aspectos relativos al diseño gráfico, los dibujos y el uso del color fue ponderado por considerarse que este aspecto no sólo tiene un carácter motivacional, sino tam- bién facilitador del aprendizaje.

La gestión de los materiales destinados al alumno

Los materiales para los profesores

Tan importante como la elaboración de los materiales es su gestión durante el proceso de aprendizaje. Cada alumno de este proyecto está vinculado con un profesor y

USO DE .&fATERLUI-i FScRìIuS EN LA ENS~ANZ.4 A DISTANCIA DE IA MATEMÁTICA: LA !?.Xl’~I\%IA ARGmA 147

éste último debe estar totalmente compenetrado con los criterios que presidieron la elaboración del material. Con este propósito se decidió elaborar un módulo para los profesores por cada módulo destinado a los alumno -y esto en todas las áreas. Si bien el módulo del profesor no está concebido para la capacitación a distancia, cuenta con información más amplia acerca de los contenidos específicos que se abordan en el módulo, criterios para organizar la secuencia dentro del mismo, las principales dificultades con que se puede encontrar el profesor cuando tenga que trabajar con este material y los posibles errores que los alumnos pueden cometer al ir realizando las diferentes actividades. Este material también propone ejemplos de posibles ejercicios complementarios según los niveles de dificultad de los alumnos, pautas para la eva- luación y una bibliografía específica para que los profesores profimdicen tanto en los contenidos como en los aspectos didácticos.

Aunque no se explicita aquí, merecería especial consideración y análisis todo lo relativo a los “saberes previos” de los profesores, pues es a partir de su real compren- sión de la matemática que podrán o no recuperar los saberes previos de 10s alumnos y desarrollar una real formación matemática.

La capacitación del personal docente

A pesar de la disponibilidad de material para los profesores, las jurisdicciones plantearon la necesidad -no sólo en el caso de la matemática- de que los mismos profesores pudieran discutir tanto la propuesta general como los aspectos específicos de las diferentes actividades con las personas encargadas de elaborar los materiales. Con este propósito se sugirió la realización de talleres iniciales, antes de que los profesores comenzaran a trabajar con los alumnos. En los meses de agosto y septiembre de 1994 se realizaron talleres de 16 horas reloj de duración con los equipos técnicos de cada jurisdicción, los profesores y los supervisores. Allí se trabajó la fundamentación general del área y se profundizaron los aspectos vinculados con los contenidos mismos. A pesar de que la mayoría de los profesores son titulados y tienen experiencia en el trabajo con adultos, también tienen dificultades en la comprensión de los contenidos.

Si bien los materiales destinados a los alumnos facilitan que el profesor pueda seguir una secuencia adecuada, no son materiales autosuficientes. Se considera que es muy difícil que el profesor pueda promover el aprovechamiento pleno de este material por parte de los alumnos y respetar la diversidad de estrategias, así como también los posibles conflictos que generan errores, sin un proceso adecuado de profundización de los contenidos que se desarrollan. De ahí que la capacitación sea obligatoria y esté integrada en la carga horaria del personal docente. Esta tarea es coordinada por cada jurisdicción. Para poderla cumplir, las jurisdicciones solicitaron asistencia técnica -especialmente en el área de matemática-, por lo que desde el mes de junio de este ano se están realizando talleres sobre el contenido del Libro 2. Esta

148 cONOCIMIwm MATEnMTlCO EN IA EDUCACI6N DE 36VENES Y ADULTOS

experiencia ha permitido detectar que los profesores tienen mucha inseguridad con los contenidos vinculados con la proporcionalidad y la geometría, ya sea por desconocimiento o por disponer de información inadecuada.

El módulo inicial y el instrumento diagnóstico

Al incorporarse al proyecto, el alumno recibe un primer módulo y la consigna de no preocuparse si no puede resolver todos los problemas. Se espera que a partir del análisis del trabajo que cada uno ha podido realizar se formule un diagnóstico de las dificultades reales que deberá encarar. En la reimpresión de este módulo se publica- ran las claves de corrección en una separata para facilitar este proceso.

El profesor registra la información sobre el trabajo del alumno con el módulo inicial en un instrumento diagnóstico muy sencillo, elaborado así para facilitar su uso. De este modo queda constancia del nivel con que ingresan los alumnos, aspecto descuidado en la mayoría de las propuestas educacionales destinadas a los adultos. Obviamente, sólo se refiere a algunos aspectos. En el caso que nos ocupa, la matemá- tica, se trata de los aspectos relacionados con la lectura y la escritura de números naturales y racionales positivos, así como con la realización de operaciones mentales y escritas de sumas y restas con números naturales y expresiones decimales. Se evitó incluir la multiplicación y la división porque se consideró que su tratamiento en el módulo inicial podría provocar deserciones.

A partir de este material, el profesor y el alumno pueden encarar el trabajo con el Libro 1, sabiendo en qué cuestiones deberán detenerse especialmente.

LA evaluación de los materiales

Aún no se puede determinar la eficiencia y la eficacia del proyecto, porque el trabajo con los alumnos sólo se inició en octubre de 1994 y a la fecha de presentación de esta ponencia aún no hay egresados y se está en proceso de registro y sistematización de los datos. Sin embargo, a continuación se presentan algunos datos parciales y provisionales.

La prueba de los materiales

Se aplicó al Módulo 1 de cada área en noviembre de 1993. Se trabajó con alumnos de centros presenciales de las provincias de Formosa (Noreste) y La Rioja (Noroeste- Cuyo). De esta prueba se derivaron conclusiones generales vinculadas con la factibilidad del uso de los materiales propuestos, el diseño gráfico y su importancia en la presentación de las actividades, las consignas, etc. Sirvió como insumo para la ela- boración de las versiones preliminares y el diseño de las versiones corregidas.

La aplicación de la prueba testigo

El informe de la Universidad Católica de Córdoba, responsable de la evaluación externa, señala que: - es difícil determinar con exactitud el tiempo que demanda completar cada módu-

lo. Teniendo en cuenta esta limitación, se puede indicar que el Módulo Inicial demandó 12 horas reloj y el Libro 1 de matemática (Módulos 1,2 y 3), 32 horas;

- en el Módulo 1 se detectan dificultades en tres actividades, cuyo origen tiene distintas causas;

- los Módulos 2 y 3 no presentaron problemas. Parecería que al realizar las actividades del Módulo 1 se dinamiza la persona y puede realizar los trabajos siguientes en forma más independiente;

- el Libro 1 de matemática requeriría siete encuentros presenciales.

El instrumento diagnóstico

La sistematización parcial de los resultados obtenidos sobre 876 personas proporcio- nada por la Universidad Católica de Córdoba -frecuencias y porcentajes de respuestas globales de cada aspecto evaluado- es la siguiente:

LEE NUMEROS NATURALES

Grado de d$cultad Frecuencia Porcentaje

Alguna 213 24.3% No se observa 70 8.0% Muchas 30 3.4% Ninguna 563 64.3%

TOTAL 876 100%

LEE EXPRESIONES DECIMALES

Grado de dificultad Frecuencia

Alguna 422 No se observa 78 Muchas 114 Nineuna 262

Porcentqje

48.2% 8.9%

13.0% 29.9%

TOTAL 876 100%

150 CONOCIMIENTO MATEM.hCO EN IA EDUCACf6N DE JOVENES Y ADULTOS

LEE FRACCIONES

Grado de dificultad Frecuencia Porcentaje

Alguna No se observa Muchas Ninguna

369 42.1% 90 10.3%

158 18.0% 259 29.6%

TOTAL 876 100%

ESCRIBE NUMEROS NATURALES


Alguna 179 20.4% No se observa 67 7.6% Muchas 32 3.7% Ninguna 598 68.3% TOTAL 876 100%

ESCRIBE EXPRESIONES NATURALES



426 48.6% 71 8.1%

121 13.8% 258 29.5%

1 TOTAL 876

ESCRIBE FRACCIONES



379 43.3% 84 9.6%

133 15.2% 280 32.0%

1 TOTAL 876 100%

-

OPERA CON NUMEROS NATURALES (SUMA)

Grado de dificultad Frecuencia

Alguna 214 No se observa 91 Muchas 36 Ninguna 535

TOTAL 876

Porcentaje

24.4% 10.4%

4.1% 61.1%

100%

OPERA CON NUMEROS NATURALES (RESTA)

Grado de dijicultad Frecuencia Porcentaje I Alguna 248 28.3% No se observa 85 9.7% Muchas 51 5.8% Ninguna 492 56.2%

TOTAL 876 100%

OPERA CON EXPRESIONES DECIMALES (SUMA)



TOTAL 876 100%

OPERA CON EXPRESIONES DECIMALES (RESTA)



TOTAL 876 100%

--_- .-

152 cONOCMmTO .WWEtiT,CO EN IA EDUcACl6N DE J6VEN.G Y ADULTOS

REALIZA CUENTAS CON NUMEROS NATURALES (SUMA)

Grado de dificultad Frecuencia Porcentaje l Alguna No se observa Muchas Ninguna

TOTAL

183 20.9% 61 7.0% 27 3.1%

605 69.1%

876 100%

REALIZA CUENTAS CON NUMEROS NATURALES (RESTA)

Grado de d#icultad Frecuencia Porcentaje


TOTAL 876 100%

REALIZA CUENTAS CON EXPRESIONES DECIMALES (SUMA)

Grado de dificultad Frecuencia Porcentaje I Alguna Noseobserva Muchas Ninguna

TOTAL

419 47.8% 65 7.4%

110 12.6% 282 32.2%

876 100%

REALIZA CUENTAS CON EXPRESIONES DECIMALES (RESTA)

1 Grado de d$cultad Frecuencia Porcentaje 1


454 51.8% 69 7.9%

132 15.1% 221 25.2% ,

TOTAL 876 100%

ANEXO

hS CONTENIDOS DE LOS EIFS

Números

Para abordar los diferentes conjuntos numéricos se parte de su aspecto instrumental, El adulto, destinatario de este proyecto, reconoce números, dispone de estrategias que le permiten contar y operar con ellos. Recuperar y reflexionar sobre estas estrategias es el punto de partida para el conocimiento sistemático y formal.

En los primeros módulos se trabaja con material representativo para facilitar la conceptualización del sistema decimal, una de cuyas reglas básicas es “agrupar de a diez”, lo que permitirá construir y comprender los algoritmos de las cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división.

Se trabajan también distintos tipos de sistemas de numeración, con el propósito de efectuar comparaciones entre uno posicional, como el decimal y otro no posicional como el romano.

Además de los números naturales, se abordan los números racionales y los enteros para introducir en el eje siguiente el conjunto de las operaciones y expresar nu- méricamente otras situaciones de la realidad cotidiana.

En el primer libro se trabaja especialmente este eje, partiendo de los conocimientos previos de los alumnos y de situaciones en las que utilizan los números como, por ejemplo, el precio de los artículos de consumo diario o el transporte, recibos de suel- dos, cálculo de la distancia que separa un pueblo de otro o la dosis (cantidad) de medicamento que se le debe administrar a un enfermo.

También se presentan situaciones para las cuales los números naturales son insuficientes. Se requieren otros números para expresar el resultado de dividir una cantidad entera por otra para aquellos casos en los que los objetos a fraccionar no pierdan su condición inicial por ser divididos. En estos casos, la idea fundamental es cortar y repartir, separar en partes iguales (dividir). Esto muestra la relación de este campo numérico (los números racionales) con la operación de división.

Las situaciones que se presentan en los módulos implican el uso de fracciones de uso habitual, tales como 112, ll4 y 314.

En otras situaciones es necesario el conocimiento de los números racionales expresados en forma decimal, pues se utilizan frecuentemente; este es el caso, por ejemplo, del sistema monetario vigente en la Argentina desde 1991.

Otro conjunto numérico que aparece en el segundo libro es el de los números enteros, que permite cuantificar realidades diferentes de las de los naturales. Los números enteros permiten determinar temperaturas menores que cero, pérdidas y ganancias, avances y retrocesos (en juegos), etc.

--.--.-.--. .“.-- _... - _-.--. -. _..-.

1.54 cONOCIMIbVIO MATEMAnCO EN IA EDUC.,CldN DE J6VENE.7 Y ADULTOS

En muchas ocasiones, cuando los alumnos tienen dificultades para utilizar correctamente los algoritmos de las operaciones, el problema no está en los algoritmos, sino en la comprensión y uso del sistema de numeración decimal. De ahí que a este tema se le haya asignado un espacio importante en el desarrollo de los contenidos del Módulo 1.

Contenidos del eje Números:

Módulo 1: -

Módulo 2: - Módulo 5: -

Operaciones

Sistema de numeración decimal. Números naturales hasta 1000. Fracciones ordinarias de uso común. Fracciones decimales. Expresiones decimales. Sistema de numeración romano. Números naturales mayores que 1000. Números enteros.

Las operaciones son sistemas de transformación de acuerdo con ciertas propiedades o leyes. Los adultos efectúan operaciones aritméticas básicas en la resolución de problemas cotidianos, pero su aplicación se reduce a un campo limitado de números y siempre está referida a situaciones concretas. En esta propuesta se revalorizan los modos de operar con que cuentan los alumnos y se trata de promover un mayor grado de articulación y profundización.

Teniendo en cuenta lo antedicho, se propone un trabajo gradual y sistemático que rescate la capacidad de operar utilizada por el adulto, proponiéndole situaciones en las que no se trabaje con números de muchas cifras.

Esta acción incluirá las cuatro operaciones con números naturales y sus respectivas propiedades, apuntando a su utilidad para facilitar el cálculo. A menudo los adultos utilizan “intuitivamente” estas propiedades cuando realizan cálculos mentales.

Respecto al uso cotidiano del sistema monetario vigente, resultan apropiadas las operaciones de adición y sustracción con expresiones decimales, así como la multi- plicación de un número natural por una expresión decimal y viceversa. Bastará, por ejemplo, con tratar de entender un tique (boleto o billete).

En el segundo libro se continuará profundizando en la realización de operaciones. Se avanzará con la multiplicación de dos expresiones decimales, la división

155

exacta de números naturales, la división de dos expresiones decimales y la potencia- ción.

En cuanto a la realización de operaciones con fracciones, sólo se propondrán situaciones sencillas.

Se considera importante el desarrollo de las estrategias del cálculo mental y la estimación. Estas estrategias son útiles, en primer lugar, por su economía y, en segundo término, porque son un recurso de control para juzgar resultados.

Generalmente, el adulto sabe cuando una situación necesita una resolución exacta y cuando una aproximada. Si es exacta, verá la necesidad de recurrir a la escritura o a una calculadora para efectuar la operación. Si la situación puede resolverse con una respuesta aproximada, podrá “redondear” los números implicados en dicha si- tuación. Además de proporcionar un complemento a otros tipos de formas para calcular, la estimación es un recurso de control para juzgar la factibilidad de los resultados.

Si bien se habla de ‘cálculos’, inmediatamente se los asocia con las calculadoras de bolsillo. LES conveniente que las utilicen? LCómo? ¿Cuándo? Dado que el uso de la calculadora está cada vez más difundido, se la debería incluir como parte del aprendizaje de los alumnos. La conveniencia de la utilización de la calculadora será analizada por el profesor, en función del objetivo que se persiga. Adecuadamente utilizadas, las calculadoras se pueden convertir en un excelente instrumento didácti- co, por lo que constituyen un elemento auxiliar adicional.

En relación con el eje operaciones es fundamental que el alumno comprenda claramente los conceptos de las cuatro operaciones. Esto le permitirá aplicarlos y decidir en cada caso qué operación efectuar. De ahí que si bien se enseñan los procedimientos (o algoritmos) de uso corriente, se utilizan números de dos o tres cifras. Para resolverlas están las calculadoras, con las que, con seguridad, el adulto ya opera. Teniendo en cuenta esta realidad es que adquiere mayor relevancia la habilidad para estimar resultados.

Contenidos del eje Operaciones

Módulo 1: - Las cuatro operaciones básicas. - Adición y Sustracción, algoritmos. - Multiplicación y División.

Módulo 2: - Multiplicación y División entre: números naturales una expresión decimal y un número natural.

- Algoritmo de la multiplicación y la división. Estimación de resultados.

Módulo 3: - Multiplicación de un número natural por una expresión decimal.

también desembocaran en un conocimiento acabado de las unidades convencionales para comprender, por ejemplo, qué quiere decir alguien cuando va al corralón y pide “un metro de arena”.

La estimación es una cuestión fundamental en este eje. Los adultos resuelven muchos problemas de medición estimando los resultados, porque la situación no exige una respuesta exacta. En otros casos, cuando se exige una respuesta exacta, resulta una forma de control para dar confiabilidad a los resultados.

El resultado de las mediciones tiene una relación directa con otros contenidos, pues se pueden establecer relaciones de proporcionalidad o no entre ellos. Por ejemplo, cuando se trabaja medidas de longitud resulta conveniente, para considerar magnitudes directa e inversamente proporcionales, analizar qué sucede si con una misma unidad se miden distintas longitudes (proporcionalidad directa) o si a una misma longitud se la mide con distintas unidades (proporcionalidad inversa).

Contenidos del eje Medidas

Módulo 1: - -

Módulo 2: - Módulo 3: -

- Módulo 4: -

-

Tiempo histórico: siglo, década. Tiempo cotidiano: hora, minuto, segundo, semana, quincena. Unidades de longitud de uso frecuente: noción intuitiva. Unidades de longitud. El SIMELA. Escalas. Unidades de superficie. Unidades de capacidad y peso. Sistema sexagesimal. Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Estimación.

Geometría

El estudio de la geometría se ha basado tradicionalmente en la memorización de fórmulas de áreas, volúmenes y en algunas definiciones geométricas que se presentaban fuera de un contexto.

En esta propuesta, el eje es visto desde distintas perspectivas: - La topológica, en la construcción del espacio a partir de sistemas de referencia

utilizados cotidianamente: el propio cuerpo, el espacio de la vivienda, el lugar de trabajo, el barrio.

- La perspectiva, en la representación del espacio mediante el uso de diversos recursos tales como croquis, planos, mapas. Ellos permitirán la representación de

formas, posiciones y las transformaciones elementales que permiten modificar- las.

- La métrica, en la aplicación de la estimación y el cálculo de perímetros, superficies y volúmenes en situaciones problemáticas contextualizadas, que facilitará la integración con los otros ejes: números, operaciones y medida. El espacio geométrico hace referencia al estudio de las propiedades de figuras

abstractas del mundo concreto de los objetos físicos. Por ejemplo, al observar un dado, la atención debe concentrarse en su forma, en la distribución de sus caras, aristas, vértices, prescindiendo de su color, textura, densidad, para poder arribar al concepto cubo.

Lo dicho permite reflexionar sobre la importancia de la relación entre geometría y espacio en el desarrollo del pensamiento y preguntarse: ¿cómo se construye el pensamiento geométrico?

Para ello, -el adulto que ha explorado el espacio desde niño- comenzará por las relaciones métricas; seguirá con la diferenciación entre perímetro, superficie y volumen; con el conocimiento de las clasificaciones, las propiedades y las relaciones básicas que se dan entre las figuras y sus elementos.

Finalmente, es de esperar que el alumno adulto considere la matemática no como una partición entre aritmética y geometría, sino como un todo integrado, ya que no se puede pensar la enseñanza de la medida sin conocer los números y las operaciones, y no se pueden concebir los conceptos de “perímetro”, “superficie” y “volumen” desvinculados o aislados de las operaciones y la medida.

En algunas propuestas tradicionales, el estudio de la geometría se ha centrado en la memorización de fórmulas para cálculos de superficies, volúmenes y definiciones geométricas, a lo que se podría agregar algunas construcciones de tipo mecanicista y completamente descontextualizadas.

El espacio tridimensional ya ha sido intemalizado por el adulto. De ahí se ex- traen las “modelizaciones” que hace de cuerpos geométricos (prismas, cilindros, pi- rámides, conos, esferas o combinación de ellos), así como de sus caras se abstraerán las figuras planas (polígonos, circunferencias y círculos).

También se tendrán en cuenta las ideas de rectas, segmentos y ángulos, por ejemplo, en recorridos, relacionando con el eje Medida se trabajará la distancia entre dos puntos o ciudades, y la determinación y medición de ángulos.

Generalmente, el adulto tiene un conocimiento intuitivo y espontáneo del espacio, conocimiento que ha adquirido mediante sus propias experiencias. Por ejemplo, para hacer canteras, los jardineros marcan circunferencias con una estaca, un piolín y un palito, que ofician de compás; así utilizan intuitivamente la definición de cir- cunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno llamado centro (la estaca).

En esta propuesta no se trata de llevar a cabo una sistematización completa de la geometría euclidiana, sino de capitalizar los conocimientos prácticos que el adulto

máticos” que transmiten los medios para entender, por ejemplo, al Ministro de Eco- nomía cuando menciona el sueldo medio, diferenciándolo del sueldo que gana la mayoría de las personas; o para interpretar el gráfico que muestra la variación del índice del costo de la vida en los últimos meses; también para interpretar encuestas de tendencias electorales, de opinión sobre jugadores de fútbol, etc.

Un adulto que carece de un mínimo de información sobre estos temas está condi- cionado a recibir sólo parte de la información y puede ser engañado fácilmente por avisos publicitarios, mensajes que no comprende o información numérica que, aunque válida, sólo segmenta la realidad según determinados intereses.

Para trabajar nociones estadísticas, los medios de comunicación se convierten en un recurso muy valioso, Además, como dice el doctor Luis Santaló, “las aplicaciones de la estadística se comprenden mejor si se va desarrollando, simultáneamente, el “pensar probabilista”, es decir, si se educa a los alumnos lo más temprano posible en las ideas básicas de la probabilidad”.

Contenidos del eje Estadística

Módulo 2: - Tablas de doble entrada - Promedio

Módulo 4: - Lectura y comprensión de gráficos estadísticos. - Porcentaje

Módulo 5: - Las probabilidades desde lo cotidiano. - Lectura, comprensión y construcción de gráficos:

diagrama de barras, gráficos circulares.

Principales resultados del Seminario Internacional sobre El Aprendizaje y la enseñanza de la matemática a jóvenes y

adultos realizado en Marly-le-Roi (Francia) en 1993 y sus proyecciones para América Latina

Alfonso E. Lizarzabum’

En el marco de referencia histórico de la introducción de un trabajo que publicára- mos hace casi tres lustros -a invitación también entonces de la UNESCO/OREALC- afirmábamos que la alfabetización de adultos, sobre todo después de la segunda gue- rra mundial, había constituido una problemática que recurrentemente había concita- do la atención y preocupación de diversos sectores sociales e institucionales, tanto en América Latina como en el mundo. Y hacíamos referencia a un trabajo publicado por Lynn Smith en 1958, en el que afirmaba que el analfabetismo había dejado de considerarse como algo natural, inevitable o incluso tolerable.

A continuación nos interrogábamos en los siguientes términos: “LQué es lo que suscita o provoca esta nueva actitud ? ¿Qué es lo que anteriormente hacía aceptar como natural o inevitable el estado de analfabetismo? ¿Qué sectores sociales y qué instituciones expresan y representan la nueva actitud frente al fenómeno del analfabetismo? ¿Qué condiciones explican su posición?47

Creo que las cuestiones planteadas entonces respecto al analfabetismo tienen plena validez para referimos de manera más específica aún a los procesos de enseñanza/ aprendizaje de la matemática en la educación básica de los jóvenes y adultos.

* Consultor de la UNESCO en Educación. Secretario General de EUROALFA y coordinador del Proyecto Mufemática para Adultos (Francia).

47 Lizarzaburu, Alfonso, La,formación de promotores de base en programas de alfabetización, Pátzcuaro (Michoacán, México), UNESCOICREFAL, 1985, p. ll (Serie Retablo de Papel, N” 16).

162 ~ONOCIMIENIU MATEMÁTICO EN LA EDUCKI6N DE 36VENES Y ADULTOS

NOS ocupamos de la educación de adultos desde hace ya treinta años y creo que no es exagerado decir que recién comenzamos a percibir que se presta una atención mayor y más regular a los procesos de enseñanza/ aprendizaje de la matemática en la educación básica de los adultos, aunque todavía sigue siendo mucho menor que la que sin duda concita los procesos de enseñanza/aprendizaje de la lectoescritura (independientemente de la cantidad y la calidad de las contribuciones que se hayan producido en este campo, tanto en lo que respecta a la práctica educacional propiamente dicha como a la investigación).

Sólo en los últimos 10 años se han realizado investigaciones a nivel nacional (diagnósticos sobre los niveles de conocimiento de la población adulta, como en el caso del Canadá, que se presentó en el seminario internacional del que damos cuenta en este documento), publicado ensayos, estudios o experiencias o realizado reuniones que tenían por objeto el campo de interés de este seminario.

No estamos en condiciones de decir que este fenómeno tenga igual importancia y desarrollo en todas las regiones del mundo y en todos los países; pero somos testigos de que en diversos países de América del Norte, América Latina y Europa Occidental hay claros indicios de lo que indicamos. El éxito del libro escrito por John Allen Paulos, Professor of Mathematics y Presidential Scholar en la Temple University de Filadelfia, intitulado justamente Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences,‘8 parece ser un signo de los tiempos. Sabemos que una golondrina no hace el verano..., pero bien puede anunciarlo.

Cuando preparábamos la redacción de esta introducción -que, como bien se sabe, es lo último que se escribe-, el azar -que como dice un colega francés, es un amigo que viaja de incógnito- hizo que en un libro intitulado Il linguaggio del giornalismo4’ descubriéramos un artículo del insigne lingüista italiano Tullio de Mauro.

El autor sostiene que “incluso afines de los años setenta, el conjunto de la cultura italiana se presenta caracterizada por el rasgo que Gramsci llamó “desnutrición cien- tífica”, que ha hecho que “el ala científica de nuestra cultura intelectual no haya logrado imponerse, circular, tener carta de ciudadanía”.s0 El análisis de la lexicografía italiana que De Mauro realiza le permite sostener que la situación de la ciencia en SU país sólo se puede comprender si se la sitúa en un “contexto cultural más vasto de rechazo plurisecular de la ciencia, del que aún en tiempos recientes pagamos un altísimo precio”.51 Y agrega que consecuencia y parte de dicho contexto es el persis-

4s Paulos, Paul Allen, Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences, Farmr, Stmus y Giroux, 1989.

” De Mauro. Tullio, “1 linguaggi scientifici nel giomalismo italiano”, en Medici, Mario y Domenico Proietti (A cura di), Il linguaggio del giomalismo, Milano, Mursia Editore. 1992. pp. 73-82.

50 “Ancora alla fine degli anm Settanta la complessiva cultura italiana si presenta contrassegnata da que1 trato che Gramsci chiamó “denutrizione scientifica” que ha hecho que el “ala scientitica della nostra cultura intelletualle non è riuscita a imporsi, a circolare, ad avere diritto di cittadinanza”. Op. cit., p. 73.

51 “piú vasto contesto culturale di plurisecolare ritiuto della scienza di tui ancora in tempi mcenti paghiamo il prezzo carissimo”. Ibid., p. 74.

RESIJLTADOS oa SEMINARIO INTERNACIONAL SOBRE EL APWNIIUAJE Y LA ENSE%,NU DE LA .MATEMÁTKA 163

tente bajo nivel de la instrucción media y superior, nivel que a su vez ha creado durante mucho tiempo poco interés por la ciencia. Toda semejanza con la realidad de otros países... no es pura casualidad.

Al terminar de leer el texto de De Mauro, no pudimos evitar la tentación de releer el clásico texto de C.P. Snow The Two Cultures and A Second Look.s2 Y es justamente la lectura de este otro texto, que recoge la evocadora palabra alemana zeitgeist (espí- ritu del tiempo), que nos llevó a plantearnos la pregunta sobre por qué asistimos a un creciente interés por el tema que nos reúne en este seminario, aunque este interés esté todavía circunscrito a personas, grupos e instituciones con limitado poder para influir en el cambio del curso y el ritmo de la educación, en general, de la educación de adultos, en particular y de la enseñanza/aprendizaje de la matemática en la educa- ción básica de adultos, de manera aún más específica. Cambios, todos ehos, que sólo pueden realizarse como parte de transformaciones más globales y profundas de las respectivas matrices sociales.

Sin embargo, los signos positivos que percibimos no nos ocultan la indigencia del paisaje que contemplamos, sobre todo si tenemos en cuenta el tiempo transcurrido desde que, en el caso de América Latina, los gobiernos de los países de la región asumieron solemnes compromisos en materia de educación. Nos referimos, para no ir más lejos en esta segunda mitad del siglo XX, al Proyecto Principal de Educación para América Latina y el Caribe, que fue expresión de la Conferencia Regional de Ministros de Educación y de Ministros Encargados de la Planificación Económica de 10s Estados Miembros de América Latina y el Caribe. Esta conferencia fue convocada por el Director General de la UNESCO y organizada con la cooperación de la Comisión Económica de las Naciones Unidas para América Latina (CEPAL) y la Organización de los Estados Americanos (OEA) y se realizó en la ciudad de México del 4 al 13 de diciembre de 1979 y concluyó con la aprobación de la Declaración de México.

Los tres grandes objetivos específicos del Proyecto Principal se enunciaron en los términos siguientes: - Asegurar la escolarización antes de 1999 a todos los niños en edad escolar y

ofrecerles una educación general mínima de 8 a 10 años; - Eliminar el analfabetismo antes del fin del siglo y desarrollar y ampliar los servi-

cios educativos para los adultos; - Mejorar la calidad y la eficiencia de los sistemas educativos a través de la realiza-

ción de las reformas necesarias.

” Snow, C.P., The Two Cultures andA Second Laok, Cambridge, Cambridge Univenity Press, 1988. La primera parte de este libro fue publicada por primera vez en 1959 y la segunda fue publicada por primera vez en 1964. La expresión “two cultures” (dos culturas), que se convirtió en parte de la lengua inglesa desde la famosa Rede Lecture dada por Lord Snow en 1959, designa la brecha que separa a los “literary intellectuals” de los “scientists” en el mundo occidental.

¿Cuál es la situación en la que nos encontramos hoy en relación con dichos objetivos? Como nuestro propósito en este documento no es hacer un análisis de la situa- ción, sino ubicar los desafíos que tiene la región a partir de los resultados del Semi- nario Internacional de Marly-le-Roi (Francia), será suficiente brindar una referencia de un estudio reciente que nos permitirá medir la enorme brecha que aún existe entre los objetivos formulados y la situación efectivamente existente: “el perfil educativo regional sigue mostrando graves deficiencias. El nivel educacional promedio es apenas de 6 años de estudio y casi la mitad de la fuerza laboral latinoamericana no ha completado la educación primaria. La masificación se realizó con poca inver- sión y tuvo un impacto inequitativo, pues bene@ió en mayor medida a los hijos de los grupos de ingresos medianos y altos. En efecto, la educación impartida a la mayoría es de deficiente calidad, y a menudo sin vinculación alguna con los requerimientos de la sociedad.53

En efecto, de mantenerse la tendencia histórica de la última década, la región contaría todavía con Il % de analfabetos en el año 2000 y un 40% de los jóvenes no habría logrado terminar la enseñanza primaria; por ende, el trabajador promedio, sin ni siquiera haber completado la escolarización primaria, apenas podría esperar recibir un mes de capacitación durante su vida labora1”.54

En abril de 1991 se realizó en Quito (Ecuador) la IV Reunión del Comité Regio- nal Intergubemamental del Proyecto Principal de Educación para América Latina y el Caribe, integrado por los ministros de educación de todos los países de la región. En esta reunión, convocada por la UNESCO, se aprobó la Declaración de Quito en la que se dice textualmente: “... estamos en un momento de enorme trascendencia histórica, definido por la necesidad de iniciar una nueva etapa de desarrollo educativo, que responda a los desafíos de la transformación productiva, de la equidad social y de la democratización política”.

¿Cuál es la viabilidad de lograr objetivos tan ambiciosos si. por una parte, las tendencias previsibles son las ya señaladas anteriormente y, por otra, los resultados de algunas investigaciones muestran que. por ejemplo: “La experimentación, adap- tación y aplicación de las nuevas tecnologías requieren de un buen dominio de las cuatro operaciones básicas, más el cálculo de porcentajes y saber usar la regla de tres. Por ejemplo, la adecuada utilización de fertilizantes, plaguicidas y semillas supone poder fraccionar las recomendaciones técnicas que están usualmente dise- ñadas para la escala de una hectárea, y poder pasar de una medida a otra (gramos por litro, libras por hectárea, etc.), todo lo cual exige un manejo fluido en el cálculo de razones, proporciones y porcentajes. Estos conocimientos sólo empiezan a mane- jarse a partir del cuarto año de primaria, y deberían ser internalizados después del sexto año de primaria. Con esa hipótesis, los tres o cuatro años de educación básica

” CEPAL-UNESCO. Educacih y conocimiento: eje de la transformación productiva con equidad, San-

tiago de Chile. CEPAL-UNESCO, 1992, p. 76. % Ibid., p. 77

RE.WLTAD~~ DEL .%MLN.A.RIO hTERNA‘XONAL SOBRE EL APREM)LzAJE Y LA ~SAW.ÑANZA DE IA MATTMATICA 165

que generalmente se consideraban suficientes para la alfabetización, se vuelven claramente insuficientes; el umbral adecuado se situaría más bien cerca del sexto año de primaria, con variaciones que dependen de la complejidad de las nuevas tecnologías por asimilar y el curn’culo, así como la calidad de la enseñanza primaria. Es deciK mientras la alfabetización generalizada en las zonas tradicionales puede actuar como catalizador; acelerando la entrada a las primeras etapas del cambio tecnológico, para acrecentar el desarrollo en esta esfera se requerirán niveles más altos de educación”.55

Dada las restricciones de espacio, no entraremos a analizar las otras dimensiones en las que se manifiestan las brechas: la equidad social y la democratización política, ni tampoco, como lo hubiéramos deseado, lo que ha sucedido desde la Conferencia Mundial sobre Educación para Todos (Jomtien, Tailandia, 5-9 de marzo de 1990), patrocinada por la UNESCO, el PNUD, el UNICEF y el Banco Mundial, en la que se aprobó la “Declaración Mundial sobre Educación para Todos y el Marco de acción para satisfacer las necesidades básicas de aprendizaje”.

Las relaciones entre educación básica para niños y educación básica para jóvenes y adultos es un eje de análisis fundamental. La problemática de la equidad no sólo se da en relación con variables tales como región, sexo, zonas, nivel de ingreso, cultura, lengua, etc., sino también en términos de edad, es decir, de la equidad intergenera- cional. Todo parece indicar que los jóvenes y los adultos y la sociedad en su conjunto, están pagando el precio de una atención que se concentra casi exclusivamente en la escuela primaria destinada a los niños. En palabras de Gabriel Carron, especialista en el área de educación básica del Instituto Internacional de Planeamiento de la Educación de la UNESCO: “Los programas destinados a los jóvenes que estánfuera de la escuela y especialmente a los adultos sólo han recibido una atención marginal y tal vez mucho menor de la que recibieron en las décadas de los años setenta y ochenta. La principal preocupación de los gobiernos se ha concentrado en las escuelas primarias. Cómo expandir rápidamente el acceso a las escuelas y mejorar su calia’ud (o simplemente mantener las piezas juntas) han seguido siendo las principales cuestiones de política. El desafío de Jomtien, consistente en adoptar una perspectiva global para el desarrollo de la educación básica, aún no se ha logrado”.s6

Esperamos que durante el desarrollo mismo de las jornadas de reflexión será posible abordar y profundizar algunos de los aspectos mencionados y otros que ni siquiera hemos podido explicitar, como uno que sintetizaré en una frase proferida por un colega danés con quien tuve oportunidad de encontrarme recientemente en París y que ahora vive y trabaja en Ghana: “La mejor contribución que se puede hacer a la educación de los niños es darles padres bien educados”.

55 Ibid., p. 58. 56 Carron, Gabriel, “Cinco años después de Jomtien - ¿Dónde nos encontramos?“, en Carta Informativa del

UPE, Vol. XIII, N“ 3 (julio-septiembre), 1995, p. 16.

166 cONOClMENlO .t+WEMhCO EN U EDUCACl6N DE JdVENES Y ADULTOS

ANTECEDENTES DEL SEMINARIO

El Centre Universitaire de Formation Continue (CUFCO) de la Universidad de Angers y la Red Europea de Investigación, Formación y Promoción de la Alfabetización y la Educación de adultos (EUROALFA) organizaron el Primer Seminario Internacional sobre “El aprendizaje y la enseñanza de la matemática básica a jóvenes y adultos de los sectores populares”, que se realizó en Marly-le-Roi (cerca de París, Francia) del 15 al 19 de marzo de 1993 en estrecha cooperación con el Groupe Petmanent de Lutte Centre L’IZlettrisme (GPLI), organismo interministerial del Gobierno de Fran- cia, la UNESCO (Sección de Alfabetización) y el Instituto de la UNESCO para la Educación en Hamburgo (IUE), que brindaron su apoyo intelectual y financiero.

Desde su creación en 1987, EUROALFA ha promovido una serie de actividades en los campos de la formación, la investigación y la práctica de la alfabetización y la educación de adultos en Europa. 57 Estas actividades siempre han estado abiertas a todas las personas y organizaciones (no gubernamentales, gubernamentales e intergubernamentales) que trabajan en las áreas de competencia de EUROALFA, principalmente en Europa (en el sentido de la UNESCO), pero también fuera de esta re- gión.

Gracias a las actividades realizadas durante los últimos años por la UNESCO,” sus institutos especializados (como el Instituto de la UNESCO para la Educación en Hamburgo) y sus Oficinas Regionales, así como diversas organizaciones nacionales (como el GPLI) y redes institucionales regionales e internacionales (como EUROALFA), numerosas personas y especialistas que trabajan en los campos de la alfabetización y la educación de adultos en las diferentes regiones del mundo, han tenido la posibilidad de ponerse en contacto.

El intercambio de experiencias y conocimientos entre los participantes en dichas actividades ha permitido constatar que, tanto en los países industrializados como en los en desarrollo, poco es lo que se ha sistematizado o investigado sobre los procesos de aprendizaje y enseñanza de la matemática básica a los jóvenes y adultos de los sectores populares con bajo nivel de escolaridad o que no han tenido ninguna experiencia escolar. Se cuenta con una gran cantidad de experiencias sistematizadas o de investigaciones realizadas con niños en edad preescolar y escolar de diferentes oríge- nes sociales, pero no con jóvenes y adultos de los sectores sociales mencionados. En este sentido, la matemática constituye el pariente pobre de la alfabetización y la educación de adultos.

57 La creación de EUROALFA tuvo como antecedente la iniciativa de un grupo de personas que participaron en el “Taller de especialistas en Europa sobre la prevención del analfabetismo funcional y la integra- ción de la juventud en el mundo del trabajo” que organizó la UNESCO en la sede del IUE en Hamburgo del 1 al 5 de diciembre de 1986.

58 De manera especial, aunque no exclusivamente, gracias a la “Consulta Colectiva de la ONG sobre Alfabetización y Educación de Adultos” que se creó en 1984.

RESULTADOS DEL S~MLNARIO I~VIEIWACIONAL SOBRE EL APRENDIZAIE Y LA ENSERANZA DIZ LA MATEMATIcA 167

Las más de las veces, los programas de alfabetización y educación de adultos adaptan, cuando no aplican simplemente de manera mecánica, los libros o manuales escolares, así como el material didáctico correspondiente, creados para enseñar a los niños. No se tiene en cuenta las características, los estilos de aprendizaje, las necesidades y las motivaciones de los jóvenes y adultos de los sectores populares que desean encontraren los programas educacionales una respuesta efectiva a sus apremiantes necesidadescotidianas. La creciente importancia del desarrollo y utilización de la ciencia y la tecnología en las sociedades contemporáneas, su impacto cada vez más amplio y significativo en las diversas esferas de nuestra vida cotidiana (trabajo, vida familiar, vida asociativa, etc.) y lo complejo de la vida social requieren instrumentos intelectuales más potentes para posibilitar una participación social más plena y efectiva de todos en la toma de decisiones, es decir; en la democratización de la sociedad. En este sentido, el aprendizaje y la utilización de la matemática constituye uno de los instrumentos claves para el acceso al conocimiento y la democratización de la educación y de la sociedad.

OBJETIVOS

Tomando en consideración que el seminario era el primero en su género a nivel internacional, los objetivos se definieron en los términos siguientes:

Generales

Formular un estado de la cuestión sobre lo que existe en cada país en relación con el tema del seminario en materia de: Aprendizaje/enseñanza e Investigación

Mejorar los procesos de aprendizaje/enseñanza de la matemática básica de los jóvenes y adultos de los sectores populares con bajos niveles de escolaridad o sin experiencia escolar.

Específicos

Intercambiar experiencias previamente sistematizadas sobre la concepción, planifi- cación, implementación y evaluación de los programas de aprendizajelenseñanza de la matemática básica a jóvenes y adultos de los sectores populares con bajos niveles de escolaridad o sin experiencia escolar, así como de la investigación existente en este campo;

Identificar los logros obtenidos y los principales problemas que se presentan en los dominios indicados en el párrafo anterior (recursos humanos, económico-financieros, equipamiento, material didáctico, evaluación, etc.).

168 CONOCIUIENT~ MATEMÁTICO EN IA EDUCKMN DE JÓVENES Y ADULTOS

Identificar los principales vacíos o lagunas existentes en términos de conocimiento e investigación;

Buscar las articulaciones posibles entre animadores, formadores de animadores e investigadores: - Demandas que los animadores formulan a los investigadores - Demandas que los investigadores formulan a los animadores - Demandas que los animadores formulan a los formadores de animadores - Demandas que los formadores de animadores formulan a los animadores - Demandas que los formadores de animadores formulan a los investigadores - Demandas que los investigadores formulan a los formadores de animadores

Identificar las necesidades fundamentales prioritarias y los medios que permitan proseguir y desarrollar el intercambio iniciado en este seminario.

PARTICIPANTES

Tomando en cuenta los objetivos del seminario, el impacto y el efecto multiplicador que se esperaba del mismo y los recursos disponibles (financieros, de infraestructura y equipamiento), la participación se planteó en los términos siguientes:

Tipos de participantes y distribución prevista

Animadores de programas: 75% del total de participantes. Investigadores: 15% del total del participantes. Formadores de animadores: 10% del total de participantes.

Pmveniencia prevista de los participantes

Europa (en el sentido de la UNESCO): 25 participantes. América Latina y el Caribe, Africa y Asia: 15 participantes. Total de participantes: 40.

Condiciones de participación

Fuera de una condición general de carácter lingüístico válida para todos los ponenciales participantes (comprender bien y expresarse correctamente en por lo menos una de las tres lenguas de trabajo del seminario: español, francés e inglés), se definieron condiciones específicas para cada tipo de participante (animador, formador de animadores e investigadores), que se pueden resumir de la siguiente manera: para las

169

dos primeras categorías -animador/formador de animadores-, tener una experiencia de trabajo en el área definida por el seminario no menor de cuatro anos; en el caso del investigador, haber realizado o estar efectuando una investigación relevante en el área definida por el seminario. Otra condición específica común para todos los can- didatos fue presentar su experiencia sistematizada por escrito (20 páginas estándar, equivalente a un documento de 6.400 palabras), tomando como base un cuestionario específicamente preparado por los organizadores del seminario para cada tipo de participante.59

ASPECTOS ORGANIZATIVOS Y PROGRAMÁTICOS IMPORTANTES

El seminario se realizó bajo la modalidad de internado, con el propósito de que los participantes se concentraran y compartieran físicamente el mismo lugar de habita- ción y trabajo durante los cinco días de duración del seminario, creando así una de las condiciones de posibilidad de un mayor intercambio entre todos, sobre todo en los momentos de encuentro informal, fuera del programa “oficial” de trabajo.

Los miembros del equipo organizador del seminario se integraron en los diferentes grupos de trabajo.

Los grupos de trabajo eligieron a sus respectivos coordinadores y relatores para facilitar la dinámica grupa1 y poner en común -durante las sesiones plenarias- los principales puntos discutidos y las propuestas de cada grupo.

Los ejes de intercambio y de análisis fueron los procesos de aprendizaje/ ense- ñanza de la matemática básica a los adultos y los procesos, los resultados y los usos de los resultados de las investigaciones realizadas. La participación de los formadores de animadores sirvió para establecer un puente entre los animadores y los investigadores.

El abordaje de los temas fundamentales se realizó mediante un proceso inductivo, es decir, se partió de la presentación de las experiencias sistematizadas por 10s propios participantes, según el cuestionario definido por los organizadores del semina- IiO.

Entre las cuestiones clave que se discutieron en los grupos tenemos: las características socio-económicas y culturales de los adultos que participan en

los programas; los marcos político-institucionales a nivel nacional o regional (estatal); a nivel de

la institución o grupo que realiza la acción pedagógica o de investigación; los objetivos fundamentales y cómo se determinan; la planificación y la gestión;

59 Se encontrará en Anexo, al final de este documento, el cuestionario enviado a cada tipo de participante. Su lectura permitirá tener una idea más precisa de lo que los organizadores consideraban que debía ser la “materia prima” del seminario y, a la vez, podrían ser un instrumento útil para quienes se proponen organizar una actividad semejante.

los recursos humanos, económico-financieros, de equipamiento, de infraestructura;

las estrategias pedagógicas de los programas: enfoques, desarrollo cun-icular, métodos, técnicas y material didáctico; las estrategias de las investigaciones: enfoques, métodos y técnicas;

el seguimiento y la evaluación de los programas; los principales resultados de las investigaciones y la utilización de dichos resulta-

dos por parte de los responsables de la formulación de política y la toma de decisiones.

En relación a cuestiones clave señaladas se trató de determinar lo que se conside- raba los principales logros, problemas, vacíos en términos de conocimiento y acciones prioritarias que se podrían emprender para mejorar el acceso, la calidad, la relevancia, la eficiencia y la eficacia de los procesos de enseñanzafaprendizaje y de in- vestigación en este campo, mediante una mejor articulación del trabajo de animadores, formadores de animadores e investigadores,

El programa definitivo fue presentado y analizado con los participantes al comienzo del seminario para efectuar las modificaciones que consideraran pertinentes.

El 80% de las actividades formales previstas se realizó bajo la modalidad de grupos de trabajo, facilitando así la participación de todos en el intercambio y dispo- niendo de tiempo suficiente para el tratamiento adecuado de los temas.

La experiencia adquirida en seminarios anteriores justificó la importancia atribuida por los organizadores a las actividades de carácter informal (incluyendo las de recreación) para facilitar el conocimiento mutuo, así como el intercambio interperso- nal e intercultural. Durante la semana que duró el seminario, los participantes pudieron exponer una gran variedad de materiales escritos y audiovisuales que utilizan en las areas consideradas por el seminario. La exposición constituyó una fuente valiosa de información y un catalizador para lograr un diálogo más centrado y fructífero entre los participantes, diálogo que eventualmente se podrá prolongar más allá del seminario.

PRINCIPALES RESULTADOS DEL SEMINARIO

Constataciones generales

A partir de la información presentada por los participantes, la constatación más general a la que dió lugar la realización misma del seminario fue que, efectivamente, el aprendizaje/enseñanza de la matemática básica a los jóvenes y adultos de los sectores populares ha sido y sigue siendo el pariente pobre de la alfabetización y la educación de adultos, tanto en los países desarrollados como en los países en desa-

P.F.SULTADOS mm ~~?MINARIO INTERNACIONAL SOBRE EL ~+ENDJZ.AJE Y LA ENSEA’A~ZA DE LA ?vtU’EdTICA 171

1~0110. El hecho mismo de que este fuera el primer seminario internacional en este CCUTIPO constituye un indicador suficientemente elocuente de la situación.

Las carencias y dificultades que tienen los jóvenes y adultos de los sectores populares para apropiarse y utilizar adecuadamente la matemática básica forman parte de un cuadro más amplio y complejo de carencias y dificultades de carácter económico, social, político y cultural.

Si bien no se dispone de un número suficiente de estudios relevantes a nivel nacional e internacional en el área de la matemática básica, la información parcial disponible muestra que, tanto en los países desarrollados como en los países en desa- 1~0110,los sectores sociales populares pobres de las zonas urbanas y rurales presentan mayores carencias y dificultades tanto en ésta como en otras áreas. Profundas y crecientes desigualdades y desequilibrios en la producción y el consumo, el empleo, la distribución del ingreso, la salud, la vivienda, la educación y la cultura fracturan y polarizan la vida en los planos internacional y nacional.

Los jóvenes y adultos que demandan aprender la matemática básica lo hacen por muy diversas razones, comprensibles solamente mediante el análisis de los contextos específicos en los que viven y trabajan. Sin embargo, los participantes en el seminario consideraron que se puede identificar un núcleo común de aspiraciones en esta diversidad de motivaciones e intereses: la necesidad de apropiarse de un instrumento que les permita afirmarse como personas, es decir, tener un mayor nivel de autono- mía y poder para enfrentar un mundo cuya experiencia diaria hace que lo perciban con desconfianza y miedo. Este núcleo común se puede resumir en las propias palabras de las personas que participan en los programas: “Queremos saber hacer cuentas para que no nos engañen “. “queremos aprender para dejar de ser las sombras de , los otros”. La dominación y la explotación se ven facilitadas y reforzadas por las carencias y dificultades que manifiestan las personas en este campo específico.

Para quienes han decidido enfrentar esta situación en el terreno, resulta chocan- te y frustrante constatar que la declaración de buenas intenciones sobre el carácter crucial de la satisfacción de las necesidades de educación básica de niños y adultos -solemnemente enunciada, por ejemplo, en la Conferencia Mundial sobre Educa- ción para Todos, realizada en Jomtien en marzo de 1990- tenga más bien, como reverso de la medalla la indiferencia, el poco interés o la falta de apoyo efectivo de una gran mayoría de organizaciones gubernamentales, intergubernamentales y no gubernamentales a las personas, grupos o instituciones que promueven la enseñan- za/aprendizaje de la matemática básica en los sectores populares -cuya cultura no corresponde necesariamente a la de la escuela- como parte de procesos más amplios destinados a mejorar y transformar sus condiciones de vida y de trabajo.

Lo más preocupante es que la valoración y la conducta que se manifiesta en relación con la enseñanztiaprendizaje de la matemática básica en los sectores populares revelan también el valor real que muchos responsables de la toma de decisiones en los planos gubernamental, intergubemamental y no gubernamental asignan a es-

tos sectores sociales si lo medimos en términos de la definición e implementación de políticas, planes, estrategias, programas, marcos legales e institucionales, investiga- ción, formación de personal y asignación de recursos económico-financieros. Gene- ralmente, estos sectores sociales son abandonados a su propia suerte.

Para los participantes del seminario ésta es una cuestión clave que se debe analizar en profundidad. La definición de políticas y estrategias, así como la asignación efectiva de los recursos necesarios para el logro de los objetivos políticos, constituyen elementos fundamentales para determinar si existe o no y en qué medida, una real voluntad política para satisfacer las necesidades básicas de todos los miembros de una sociedad y, entre ellas, las de orden educacional. Sin voluntad política no es posible lograr transformaciones significativas y duraderas.

Los participantes consideraron que la importancia del seminario, de los objetivos que se propuso lograr y de la contribución que pretendía aportar ha sido modesta, pero significativa. Ha permitido que los participantes tengan mayor claridad sobre la naturaleza y el alcance de los problemas que confrontan y tienen que enfrentar las personas, grupos e instituciones comprometidos en este campo, las alianzas que hay que concretar y las acciones conjuntas que hay que emprender.

Constataciones sobre la sistematización e intercambio de experiencias

La realización de un ejercicio de sistematización de las experiencias de animadores, formadores de animadores e investigadores constituye una condición necesaria para tomar conciencia de los logros, problemas y carencias, así como de las acciones que hay que emprender para mejorar sustancialmente las concepciones y las prácticas de la alfabetización y la educación de adultos, a fin de responder eficazmente a las necesidades de sus destinatarios.

El debate permitió tomar conciencia de la importancia de la primera pregunta del cuestionario destinado a los animadores respecto a por qué se creó el programa de matemática básica en el que participa y quién tomó la iniciativa de crearlo. Al analizar lo que se podría denominar la “cultura de la institución” sobre la enseñanza de la matemática, se puede ver cómo el programa está marcado por las condiciones y la forma en que se decidió asumir la tarea, la concepción que se tema de la misma, así como la evolución que se ha producido desde su creación y por qué se ha dado esta evolución.

Algunos programas que nacieron con una concepción de la alfabetización centra- da en los problemas de lectura y escritura han tenido dificultades más o menos importantes para integrar la matemática como una dimensión fundamental de SU ac- ción educacional cuando las autoridades gubernamentales (de los ministerios de edu- cación, trabajo, asuntos sociales, etc.), las agencias financieras (nacionales o extran- jeras) o los propios adultos lo han solicitado.

Asimismo, la naturaleza de los grupos u organizaciones que ofrecen programas de alfabetización y educación de adultos condiciona, en mayor o menor medida, su concepción y su práctica de la enseñanza/aprendizaje, en general y de la matemática, en particular.

En general, las instituciones que forman parte del aparato del Estado tienen un margen de acción más limitado respecto a la determinación de los públicos a atender, la definición de los objetivos a lograr, las estrategias a seguir, el programa que se habrá de implementar, las modalidades de la oferta educacional, el personal a reclu- tar (sus niveles salariales y condiciones de trabajo, carrera, etc.), los recursos econó- mico-financieros y materiales de los que puede disponer, el rendimiento de cuentas, etc.

En el polo opuesto, las organizaciones no gubernamentales gozarían, en principio, de un margen de libertad mayor en algunos de los aspectos claves mencionados en el parrafo anterior, lo que les permitirfa tener un mayor grado de coherencia entre sus concepciones y sus prácticas efectivas, así como disponer de mejores condiciones para ser más creativas e innovativas. Sin embargo, el análisis de las experiencias mostró que la autonomía legal no es una condición suficiente para la independencia institucional. La dependencia financiera juega un papel muy importante en la vida de las instituciones no gubernamentales, limitando en mayor o menor medida sus márgenes reales de autonomía en aspectos sustanciales de su acción.

La autonomía también se puede ver limitada por los marcos legales definidos por los gobiernos. El caso de los Países Bajos constituye un ejemplo. A partir de 1987, el gobierno promulgó una ley que institucionaliza la oferta de educación básica para los adultos. Según dicha legislación, sólo pueden ser animadores de dichos programas las personas que reúnan ciertos requisitos (nivel de estudios) y que pasan por un proceso de formación obligatorio que les da la calidad de profesionales de la educa- ción de adultos ¿Cuál es la justificación de tal medida? ¿Cuáles pueden ser sus consecuencias?

En síntesis, se consideró que sería importante presentar y discutir este aspecto con mayor detalle para tener un marco de referencia sobre la influencia del contexto institucional en la acción educacional, en general, y en la enseñanza/aprendizaje de la matemática básica, en particular.

Constataciones sobre la problemática de los promotores

En lo que respecta a las características de los jóvenes o adultos que participan en los programas, los participantes coincidieron en señalar su gran heterogeneidad, independientemente de las variables que se tome en consideración: edad, sexo, lengua materna, situación y experiencia escolar, situación y experiencia laboral, situa- ción y experiencia familiar en términos educacionales y laborales, etc.

Otra característica común se refiere a los orííenes sociales de los jóvenes o adultos: en su gran mayoría forman parte de los sectores marginalizados de la sociedad.

174 CONOCIMIGYIU MATEUATICO EN LI EDUCACl6N DE J6VENES Y ADULTOS

Esta marginalización se ve agravada en el caso de quienes habitan las zonas rurales, son mujeres y, más aún, son inmigrantes (en este último caso, una gran mayoría desconoce la cultura y la lengua del país).

Desde el punto de vista cultural, el análisis reveló el “poco o bajo capital cultural” del que disponen los públicos que frecuentan los programas de educación de adultos. En la mayoría de los casos, las experiencias escolares han sido breves (3 a 5 años de estudios primarios), discontinuas, con un alto nivel de “fracaso”. Los jóve- nes y adultos tienen una imagen negativa de la escuela, de lo que lograron o aprendieron, y rechazan todo aquello que se parezca a su experiencia escolar. Tienen poca confianza en sí mismos en relación con sus capacidades y potencial de aprendizaje. Muchos participantes tienen al padre o a la madre que son analfabetos o que nunca asistieron a la escuela.

La gran mayoría de los jóvenes y adultos tienen dificultades de inserción laboral; muchos son hijos o hermanos de personas que también se encuentran en situación de desempleo y, en algunos casos, de personas que nunca han trabajado. Hay desem- pleados de larga duración que reciben una asignación por desempleo; otros, por diversas razones, no tienen derecho a recibir esta asignación. Las experiencias laborales de las mujeres son muy variadas, pero generalmente están relacionadas con el trabajo doméstico y los servicios. Estas experiencias condicionan el tipo y nivel de conocimientos matemáticos que han logrado desarrollar para enfrentar la resolución de problemas que se les presentan en la vida cotidiana.

Las motivaciones para asistir a los programas también son muy diferentes: buscar un empleo, obtener una licencia o permiso para conducir un vehículo a fin de conseguir un empleo, ayudar a los hijos en las tareas escolares, administrar mejor el presupuesto familiar, administrar un pequeño negocio familiar, lograr una promo- ción en el trabajo, etc.

Muchos animadores señalan las grandes dificultades que tienen para construir el programa de enseñan&aprendizaje debido, entre otros factores, a la gran heterogeneidad de los participantes.

A la heterogeneidad de los públicos se agregan otros factores que dificultan a los animadores la elaboración de los programas de matemática: - El desconocimiento de cómo aprenden los adultos: - La carencia de instrumentos que permitan determinar los conocimientos que tie-

nen los adultos cuando llegan al programa (niveles de entrada); - La dificultad para articular los “niveles de entrada” de los participantes con un

programa y un proceso de enseñanza/aprendizaje que les permita consolidar y desarrollar sus conocimientos;

- La insuficiente formación en matemática de los propios animadores y, mas toda- vía, en lo que respecta a la enseñanza de la matemática a los jóvenes y adultos que participan en este tipo de programas. Si bien algunas respuestas a los cuestionarios presentan en líneas generales el

programa de enseñanza de matemática básica utilizado, no se describen las estrategias y tácticas pedagógicas para implementar el proceso de enseñanza. Dadas las

._---- -“-- .--_ “_-..

RESULTADOS DEL S~INARIO INTERNACIONAL SOBRE EL APREWW Y LA ENSENANZA DE LA MATEMATICA 175

limitaciones de tiempo en la presentación y análisis de las experiencias, este aspecto no se pudo profundizar como hubiera sido necesario.

Desde un punto de vista conceptual, el análisis de las respuestas al cuestionario puso en evidencia que no se define explícita y claramente lo que se entiende por matemática básica, ni las relaciones entre la lectoescritura y la matemática.

La mayoría de los participantes subrayó la carencia de material pedagógico especialmente creado o adaptado para los jóvenes o adultos; cuando se cuenta con este material, no se dispone de instrumentos que permitan evaluar su pertinencia y eficacia.

Entre las principales dificultades que tienen los adultos en el proceso de enseñan- za/aprendizaje se señalaron: - la fijación a los datos de experiencias previas (dificultades para generalizar estra-

tegias o descontextualizar); - las limitaciones de las experiencias previas en la vida laboral o económica de los

participantes -especialmente de las mujeres-, que no han estimulado el desarrollo de estrategias y mecanismos más eficientes y eficaces para plantear y resolver problemas relativamente simples;

- una actitud ambigua -sobre todo entre quienes asistieron a la escuela- respecto a los enfoques de enseñanza “realistas”, es decir, que se basan en situaciones de la vida real. Hay participantes que demandan una enseñanza “como la de la escuela”, a pesar de que simultáneamente piensan que fue la escuela la que los llevó al fracaso. En lo que respecta a la evaluación, se subrayó que es uno de los aspectos menos

desarrollados. En las respuestas al cuestionario sobre este punto se mencionan algunos instrumentos que se utilizan para evaluar el proceso de enseñanza/aprendizaje de los participantes, pero no se explicita si dichos instrumentos han sido objeto de evaluaciones para determinar su pertinencia y eficacia. Tampoco se encontró respuestas que mencionen procesos de seguimiento y evaluación de los programas como un todo. Tampoco se describen evaluaciones de impacto de los programas una vez que los participantes han egresado, a fin de determinar sus efectos a más largo p1a~0 en términos de aprendizaje y utilización efectiva de lo aprendido, así como de la relevancia de lo que se aprendió en el programa. La discusión en los grupos confirmó estas carencias y la necesidad de superar esta situación mediante trabajos de investi- gación y experimentación.

Constataciones sobre la problemática de los formadores de animadores

Se recibió muy pocas respuestas de formadores de animadores. Esto impidió tener una idea más precisa de los perfiles de las instituciones en las que trabajan, sus principales características (en función de las variables indicadas en los cuestiona-

176 cONOCIMluvn> MATEMhTICO EN IA EBUCACl6N DE JÓVENES Y ADULTOS

rios, tales como edad, sexo, nivel de formación general y en matemática, situación laboral, etc.), los problemas que confrontan y las propuestas que formulan para mejorar su rendimiento y el de los programas en los que trabajan.

Sin embargo, algunas respuestas al cuestionario, así como la discusión en los grupos de trabajo y en las sesiones plenarias indican que los problemas son semejan- tes a los que confrontan los animadores, tales como dificultades para: conceptualizar lo que se entiende por matemática básica; determinar las relaciones entre la lectura/ escritura y los procesos de enseÍianza/aprendizaje de la matemática básica destinada a los jóvenes y adultos de los sectores populares; conocimiento insuficiente de cómo aprenden los adultos, cómo se puede determinar sus niveles de entrada, cómo construir un programa que se base en los conocimientos que ya han adquirido para conso- lidarlos y desarrollarlos; carencia de instrumentos para determinar los niveles de entrada de los animadores que forman; la conceptualización, desarrollo, aplicación y evaluación de los programas de formación de los animadores, etc.

Se subrayó la necesidad de sistematizar las experiencias de los participantes en esta área específica, así como de identificar otras experiencias ya sistematizadas o investigaciones efectuadas en este campo que contribuyan a superar las carencias y dificultades constatadas.

Constataciones sobre la problemática de los investigadores

Es importante señalar que antes de la realización del seminario sólo se recibió dos respuestas al cuestionario debido a los investigadores. En general, se confirmó que la investigación en nuestra área de interés es muy limitada y no constituye una prioridad. Durante el seminario se presentaron otras dos investigaciones, pero sólo una de ellas tenía por objeto el aprendizaje propiamente dicho de la matemática básica por parte de los adultos; la otra era más bien una investigación sobre la situación de la enseñanza de la matemática a los adultos en los Estados Unidos de América.

La primera investigación realizada y presentada por Alicia Avila Storer (Méxi- co), tuvo como objeto de estudio el conocimiento matemático de los analfabetos: el origen y el desarrollo de sus estrategias de cálculo.

Con ocasión de la decisión de una institución gubernamental de elaborar nuevos textos para un proyecto entonces experimental de educación básica de adultos (1985) la investigadora descubre la carencia de conocimientos sobre los adultos que utilizaran los materiales: sus intereses, saberes y formas particulares de acercarse a la ma- temática. La institución responsable del proyecto considera que no hay tiempo para realizar una investigación (debido a lo que,la investigadora denomina los “tiempos políticos”), a pesar de valorar su necesidad. A medida que avanza el proceso de elaboración de los textos se hace más evidente la necesidad de conocer las estrategias de cálculo y las formas peculiares de pensar de quienes los van a utilizar. NO se

contaba con estudios previos sobre esta temática; se carecía de una metodología de investigación probada, así como de una bibliografía relevante sobre el tema (tanto a nivel nacional como internacional).

Posteriormente (1988-89), la autora decidió realizar una investigación que per- mitiera conocer las estrategias y mecanismos de cálculo con las cuatro operaciones aritméticas básicas construidos y utilizados por los analfabetos en su vida cotidiana, la capacidad de generalización de dichas estrategias, así como la relación entre cál- culo y simbolización.

En la presentación de su investigación, la autora describió el origen y el desarrollo de dichas estrategias y mecanismos; analizó la capacidad de abstracción y genera- lización que despliegan los analfabetos con su uso; expuso los principios rectores que guían a cada una de las estrategias, los casos aritméticos en que son utilizadas y los procesos específicos que caracterizan su desarrollo progresivo. También analizó la relación existente entre el manejo de registros gráficos y el desarrollo de la capacidad de cálculo.

Las preguntas que orientaron la investigación fueron las siguientes: ¿Los adultos no alfabetizados resuelven con las cuatro operaciones aritméticas los problemas que se les plantean, sin recurrir a la ayuda de otras personas?

Si la respuesta es afirmativa: ¿Cuáles son las estrategias de cálculo que utilizan? ¿Todas las personas utilizan las mismas estrategias de cálculo y tienen el mismo nivel de eficiencia? LTodas las personas tienen las mismas limitaciones y dificultades en el proceso de calculo? ¿Cuál es la lógica que sustenta las estrategias de cálculo y de dónde proviene dicha lógica? LCuáles son las posibilidades de generalizar y transferir las estrategias de cálculo para resolver problemas en contextos y con datos diferentes de los que utilizan cotidianamente? ¿Qué recursos materiales, gráficos y de registro utilizan para apoyar el calculo ? ¿Existe alguna relación entre el desarrollo del cálculo mental y la capacidad de simbolización del mismo?

Para responder a las preguntas se realizó un estudio de casos, apoyado en la metodología de la entrevista clínica. La población estuvo conformada por 13 personas, 7 mujeres y 6 hombres, todos de origen rural y con distintas ocupaciones (cf. Avila, Alicia, “Documento de respuesta al cuestionario para los investigadores”, México, 1992, para una presentación detallada de la investigación y de sus resultados).

Los 13 sujetos entrevistados mostraron ser capaces de desarrollar estrategias para resolver problemas con las cuatro operaciones aritméticas. Tales estrategias son diferentes a las que implican los algoritmos utilizados en la escuela y se basan en la adición, operación que aparece como un recurso universal de calculo de los adultos no escolarizados. Así, la resta se traduce en una adición que permite calcular un faltante; la multiplicación, en su estrategia más general, es una adición que duplica reiteradamente un valor; la división es la suma iterada de un cociente hipotético y la adición es también y simplemente una adición, Las estrategias de cálculo ponen en

178 CONOClMlENTO MWEMh-KO EN LA EDUCACldN DE 36VENE.T Y AD”LTOS

evidencia la existencia de diferentes grados de desarrollo en los distintos sujetos. Al finalizar la investigación se plantearon nuevas preguntas, unas de carácter

explicativo, otras de naturaleza pedagógica: - Una réplica de esta investigación, o de otras que se hayan realizado, Lapoyarfan

los resultados obtenidos? - ¿Cuáles son las estrategias y mecanismos de cálculo que construyen los analfabe-

tos CUYO sistema de intercambio comercial no se basa en el dinero o no tiene base lo?

- ¿Cómo transformar en acciones de intervención pedagógica los conocimientos sobre las estrategias y mecanismos de cálculo que se construyen en la experiencia de la vida?

- LLOS programas de alfabetización y educación básica de adultos deben promover la consolidación de las estrategias y mecanismos propios de los analfabetos o, por el contrario, deben basarse en las estrategias y mecanismos propuestos por la escuela?

- ¿Qué ocurre con las estrategias construidas por los analfabetos cuando se ven confrontados con la lógica de los algoritmos formales vigentes en los programas de educación de adultos?

- ¿La participación en estos programas de educación de adultos mejora la capacidad de calculo?

- ¿Las condiciones reales de los programas de alfabetización y educación de adultos en los países en desarrollo permiten la generalización de modelos de aprendizaje de la matemática basados en el diálogo con el saber construido en la vida cotidiana’? La autora planteó que los resultados de su investigación pueden constituir una

base conceptual para reinterpretar y replantear la enseñanza de la matemática en los programas de alfabetización y educación de adultos. Desde el punto de vista pedagó- gico, sus aportes se podrían utilizar en tres niveles:

Curricular: conocimiento que ofrece directrices, permite determinar límites, secuencias e indicadores para el tratamiento de los contenidos aritméticos;

Formación de animadores: para mejorar los procesos de promoción del aprendizaje, gracias al conocimiento del sujeto que aprende y la posibilidad de crear un diálogo (otorgar sentido a sus errores, preguntas y dificultades).

Marco orientador de la interacción educacional: para ayudar al animador a fin de que esté en condiciones de conducir y acompañar a los adultos en la reflexión sobre sus propios conocimientos, estrategias y mecanismos de cálculo, así como del diálogo con los conocimientos matemáticos incorporados en el currículo.

La autora indicó que en su país los pocos estudios que se han realizado han tenido como origen iniciativas de universidades o institutos de investigación educacional, pero que los resultados de tales investigaciones no han influido en los programas y la práctica de la educación de adultos, ni siquiera en las instituciones que los sokita-

~WJLTADOS DEL %MNARIO ~uERNAUONAL SOBRE EL ~CENDIZME Y LA ENStiANzA DE LA ~M4TmíTICA 179

ron. Asimismo, todo parece indicar que ni las universidades ni los institutos están interesados en continuar trabajos de investigación en este campo. Se carece de investigadores capaces de ofrecer a la educación de adultos los marcos teóricos, metodoló- gicos y técnicos sólidos y relevantes que ésta necesita.

Asimismo, la investigadora sostuvo que el estudio que realiza actualmente sobre los libros de matemática que se utilizan en la educación de adultos en América Lati- na muestra que no se aprende de las experiencias de otros países: “parece que cada país y cada programa comenzara otra vez desde el principio”.

Finalmente, la autora planteó que la creación de una red internacional que permita discutir y divulgar trabajos sobre el tema del seminario puede contribuir a ace- lerar el cambio de la situación descrita. La red debería crear una publicación que difunda ideas, trabajos y experiencias sobre el área. Sus características y periodici- dad se determinarían en funciones de las condiciones reales de producción y tinan- ciamiento.

La segunda contribución escrita fue del colega Stan Jones (Universidad de Carleton, Ottawa, Ontario, Canadá) quien no pudo estar presente en el seminario y discutir su presentación con los participantes. Mientras trabajaba en un proyecto destinado a elaborar instrumentos de evaluación de los programas de alfabetización de adultos en la provincia de Ontario, el gobierno canadiense se interesó en la realización de un estudio sobre las competencias en alfabetización en la vida diaria que incluía la matemática- de la población adulta. Su interés en investigar en el campo de la mate- mática para adultos ha sido guiado por la necesidad de ofrecer información básica para desarrollar el currículo y procedimientos de evaluación.

El autor participó en el diseño de un Survey of Literacy Skills Used in Daily Activities (Encuesta sobre competencias en alfabetización utilizadas en la vida diaria), promovido por el Secretariado de Alfabetización y realizado por Statistics Ca- nadá. Se trata de una encuesta de hogares que cubrió a 9.500 adultos de todo el país. Cada encuestado respondía a una serie de preguntas que requieren el uso de la mate- mática en situaciones de la vida diaria. Los resultados permitieron tener un cuadro del rango de competencias en matemática de los adultos canadienses (cf. Jones, Stan, “Response to Questionnaire for Researchers”, Ontario (Canadá), enero 1993, para una presentación más detallada del estudio y sus resultados).

Según el investigador, una de las consecuencias del trabajo es que se ha creado una definición semi-oficial de la matemática básica (numeracy), por lo menos una definición que está haciendo su camino en la formulación de política del gobierno, así como en los artículos y editoriales periodísticos.

El autor considera que, en términos generales, las preguntas que se plantearon son aquéllas características de una encuesta: las características generales de la pobla- ción junto con las relaciones entre diferentes factores contextuales (sexo, edad, nivel de escolarización) y resultados (competencias en matemática, lectura y escritura).

La encuesta pretendía obtener información sobre los diferentes tipos de utiliza-

180 CONOCIMIENIU .mmuAnco EN IA EDUCACIÓN DE J~VEN~ Y ADULTOS

ción de la matemática por parte de los adultos en la vida diaria (utilización y cálculo de medidas de tiempo, sumar y restar en situaciones financieras, interpretar informa- ción numérica en forma gráfica). No se pretendía únicamente obtener información sobre las competencias individuales para realizar operaciones con números, sino haciéndolo en el contexto de tareas de la vida diaria que requieren el uso de formula- rios y otros documentos.

El contenido del cuestionario sobre el contexto fue determinado mediante consul- tas con otros investigadores y gente experimentada en alfabetización de adultos.

La principal conclusión es que el 62% de los adultos canadienses tienen suficiente competencia en matemática para hacer frente a la mayor parte de los problemas de la vida diaria que requieren la utilización de la matemática. En realidad, este no es un nivel muy alto, ya que la prueba no incluyó una operación de división simple.

Otro resultado significativo es que las demandas de lectura de los documentos que naturalmente forman parte de las tareas que requieren competencias en matemá- tica (y que se utilizó en la encuesta) constituyen un obstáculo importante al cumplimiento exitoso de las tareas. Personas que eran capaces de realizar correctamente una tarea que requería una lectura simple eran incapaces de efectuar otras tareas que requerían operaciones similares, pero un mayor nivel de dificultad en lectura.

Una tarea ha quedado pendiente: cómo organizar y pensar mejor acerca de la matemática para los adultos. La encuesta brinda algunas sugerencias respecto a lo que contribuye a la dificultad de las tareas en matemática (una vez que las dificultades en lectura son controladas), pero se requiere trabajo adicional para verificar y ampliar los resultados.

Una nueva cuestión, que no apareció directamente de la investigación, es la creciente necesidad de identificar y enseñar las competencias en matemática requeridas por la industria canadiense. El desafío consiste en medir mejor las competencias en matemática, en especial de aquéllas requeridas para el empleo.

El autor considera que el estudio ha permitido atraer la atención sobre la necesidad de trabajar sobre las competencias necesarias para la vida diaria. Una de las principales funciones de las encuestas a nivel nacional es brindar información para la formulación de política. En este sentido, los resultados del estudio han demostrado ser importantes para el desarrollo de una política oficial sobre alfabetización y, en términos más amplios, sobre la educación de adultos y la formación en general.

Asimismo, el estudio ha contribuido a definir lo que debería ser la enseñanza y el aprendizaje de los adultos en relación con la matemática.

En esta perspectiva, el autor considera que el estudio ha contribuido a realizar una clarificación conceptual, pues se trató de identificar en qué consiste la matemá- tica que se requiere en la vida diaria, los factores que dificultan el acceso a ella y algunas de las maneras en que se integra en la sociedad canadiense.

La tercera investigación fue presentada por Isabel Soto (Chile). La investigadora sólo presentó una parte de la investigación que realizó sobre “Las matemáticas en la

vida cotidiana de los campesinos chilenos”, que fue objeto de una tesis doctoral sustentada en la Universidad Católica de Lovaina.

Cuatro ideas básicas están en el origen de la investigación: - La necesidad de reflexionar sobre la relación entre ciencia y sociedad; sobre el

papel de las matemáticas en la discriminación-clasificación-estructuración social; las concepciones habituales sobre las matemáticas y su enseñanza; el fracaso escolar.

- La constatación de un cierto vacío histórico en la teoría y la práctica de la educa- ción popular en lo referente al conocimiento del contenido del saber popular en relación con las matemáticas.

- La constatación de que los campesinos adultos, poco o no escolarizados, tienen una práctica matemática cotidiana y que esta práctica es bastante desconocida.

- La práctica cotidiana de los campesinos puede dar pistas para cuestionar la con- cepción generalizada de la enseñanza de la matemática como una ciencia acabada, con características propias e incuestionables. En este sentido, la investigación se inscribió en el marco general de la enseñanza

de las matemáticas y, en particular, de su enseñanza a los adolescentes y adultos de los sectores populares que permanecen fuera del sistema escolar.

El objetivo general de la investigación se definió en términos de describir, a partir de la observación de actividades de trabajo cotidiano y de entrevistas, la práctica de las matemáticas cotidianas y concretas de campesinos chilenos. Se trata de describir y analizar tanto los problemas matemáticos que ellos encuentran, como los procedimientos de resolución de esos problemas y de las operaciones involucradas.

Para lograr los objetivos de la investigación, se realizó una serie de estudios de casos con un grupo de campesinos. La información se recolectó de dos maneras diferentes: por medio de la observación directa de los individuos en su trabajo y mediante entrevistas individuales, en las que se invitaba al sujeto a contar su trabajo, describir los problemas matemáticos que encontraba y la manera de resolverlos. Nor- malmente, los entrevistados “simulaban” las situaciones ya vividas o por realizar (presupuestos, balances posteriores, etc.).

El proceso de recolección de información en el terreno se desarrolló en dos etapas: la primera se centró en la constitución de la muestra. Después de haber tomado contacto con unos 40 campesinos, la muestra quedó conformada por 12 hombres y 6 mujeres cuyas edades fluctuaban entre 28 y 59 años, 15 tenían menos de 4 años de escolaridad y cinco eran analfabetos. Una vez constituida la muestra, se realizó la observación directa en el trabajo. La segunda etapa se centró en las entrevistas a cada uno de los 18 sujetos seleccionados (entre dos y cinco entrevistas), realizando un total de 64 horas de grabación (alrededor de 1.000 páginas transcritas). (Cf. Soto, Isabel, Las matemáticas en la vida cotidiana de los campesinos chilenos, marzo de 1993, para una presentación más detallada de la investigación y de sus resultados).

La investigación analizó tres áreas temáticas: proporcionalidad, estimación de áreas y todas las operaciones aritméticas.

Por razones de tiempo, la investigadora sólo presentó el análisis y fas conclusiones relativas a los problemas de proporcionalidad.

Entre los resultados generales, la autora destacó las cuatro constataciones siguientes: una práctica de las matemáticas esencialmente oral, donde los problemas y 10s números involucrados conservan siempre su sentido; la utilización pertinente del sistema decimal y de estructuras matemáticas complejas por parte de los campesinos en SU práctica espontánea de las matemáticas; la resolución de operaciones elementales de izquierda a derecha; la aplicación pertinente de las propiedades de las operaciones.

Según la investigadora, estas constataciones, establecidas a partir del análisis detallado de los procedimientos utilizados por los sujetos del estudio en la resolución de problemas y de operaciones aritméticas, presentan un interés evidente para la educación de adultos y la didáctica de las matemáticas, en términos más generales, es decir, no sólo aquella que concierne a los adultos.

En este sentido, los resultados de la investigación la llevan a formular los siguientes planteamientos, reflexiones y preguntas: - Los medios tradicionales de selección de los contenidos matemáticos y la estruc-

turación de secuencias siguiendo una progresión que va de los contenidos más simples hasta los más complejos es cuestionable: las definiciones de “más simple” y “más complejo” responden habitualmente a análisis internos de la disciplina matemática, que no toman en cuenta las experiencias y los conceptos que manejan y aplican los sujetos que van a seguir (sufrir) esos programas; tradicionalmente se comienza por los números, enseguida se introducen las operaciones y rápidamente los algoritmos, si no se hace simultáneamente, para mucho mas tarde llegar a la resolución de problemas de linealidad. Por lo tanto, es posible pensar que se puede trabajar, por ejemplo, el aprendizaje y la formación de las operaciones elementales a partir de problemas de proporcionalidad.

- La enseñanza esdar tradicional de los algoritmos de las operaciones se puede cuestionar. Estos permiten la resolución rápida y económica de las operaciones, pero ocultan el sentido de los números y van en sentido contrario de los procedimientos utilizados por los campesinos en la resolución oral de los problemas (y, en algunos casos, escrita). Los procedimientos de los campesinos son eficaces, siempre guardan el sentido de lo que los números representan, sin embargo a veces son demasiado largos y complejos. No obstante, la práctica oral de las ma- temáticas es poco reconocida por la escuela. El desafío para la escuela consiste, justamente, en aprovechar las prácticas orales mas que imponer procedimientos únicos que carecen de sentido, que ocultan la riqueza de fenómenos que están en el origen de los problemas que se pretende resolver.

- Desde la perspectiva de la educación de adultos, de la educación popul~, tanto como desde la didáctica de las matemáticas, lo importante es desencadenar procesos de aprendizaje de las matemáticas a partir de los problemas reales, donde la

introducción de algunos contenidos matemáticos sería no solamente necesario sino pertinente y donde el aprendizaje se podría apoyar efectivamente sobre prác- ticas, intuiciones y conocimientos sólidos.

- La investigadora concluyó con algunas preguntas: en relación con el aprendizaje: ¿cómo aprendieron estos sujetos las matemáticas orales que practican?, en rela- ción con la transferencia: Lpueden estos campesinos resolver cualquier problema -de proporciones, por ejemplo- que se presenta en cualquier contexto (por ej., cálculo de regímenes de alimentación equilibrados para las vacas). En otro contexto, Lutilizarían el mismo tipo de procedimiento? La investigadora concluyó afirmando que es necesario continuar las investigacio-

nes, porque hay muchas preguntas sin respuesta y que su trabajo sólo es un paso en el largo camino que hay por recorrer.

SEGUIMIENTO

Dada la importancia de la temática del seminario y la necesidad de garantizar que el esfuerzo realizado y los recursos invertidos en su realización se utilizaran de la manera más efectiva, se propuso a los participantes la creación de una sub-red especia- lizada en la promoción e investigación de los procesos de enseñanza/aprendizaje de la matemática básica a los jóvenes y adultos de los sectores populares con bajos niveles de escolaridad o sin experiencia escolar. A fin de aprovechar los mecanismos institucionales ya existentes, evitando así la duplicación inútil de esfuerzos y recursos, se propuso a los participantes interesados que participen en la Red de Intercambio en Alfabetización creada por el IUE, con la que el CUFCO, EUROALFA y el GPLI mantienen relaciones de estrecha coopera- ción.

A propuesta de los participantes holandeses, se aceptó organizar un segundo seminario internacional sobre “La enseñanza/aprendizaje de la matemática a los jóve- nes y adultos de los sectores populares”. La preparación de este seminario estará a cargo de un comité organizador constituido por representantes del CUFCO y de EUROALFA (como participantes natos), del GPLI, del IUE y de los Países Bajos. También se acordó solicitar la cooperación intelectual y financiera de la UNE<

Se estableció que el próximo seminario concentre su esfuerzo de sistematización y análisis de dos temas íntimamente vinculados: ¿Cuáles son las estrategias que utilizan los jóvenes y adultos de los sectores populares en el proceso de aprendizaje de la matemática básica? ¿Cómo se construyen los programas de enseñanza/aprendizaje de matemática básica de los jóvenes y adultos de los sectores populares y. por qué?

PROYECCIONES PARA AMÉRICA LATINA

La problemática relacionada con el aprendizaje y la enseñanza de la matemática en la educación básica de los adultos tal como fuera abordada en el Seminario de Marly-

184 CONOCMIEATO MATEMAnCO EN LA EDUCAC~6N DE J6VENES Y AD”LTOS

le-Roi presenta muchos aspectos comunes con la situación de la región latinoamericana. Abordarla para comprenderla y contribuir a su transformación supone situarla dentro de la problemática más vasta de la educación permanente y la educación de adultos; a su vez, ésta forma parte de la problemática más global de la educación en su conjunto, la misma que está inscrita en la problemática socioeconómica, política y cultural de la sociedad. En este sentido, una primera necesidad fundamental que se plantea es tomar conciencia y hacer tomar conciencia de la situación actual y de las implicaciones que ella tiene sobre la vida socioeconómica, política y cultural de los diferentes países y de la región en su conjunto. Los principales actores sociales - gubernamentales y no gubernamentales; organizaciones sociales territoriales y funcionales: organizaciones profesionales y organizaciones sociales de base; instituciones del sistema formal y no formal de educación, etc.- deben asumir sus responsabilidades. Enfrentar los desafíos en este campo supone redefinir papeles y crear nuevos consensos y alianzas.

La projkndización de la toma de conciencia pasa necesariamente por un conocimiento lo más preciso posible de las carencias y necesidades que experimentan los diferentes sectores de la población joven y adulta de la sociedad, de las que las necesidades educacionales constituyen un aspecto importante, pero sólo un aspecto.

Dado que los problemas y las necesidades cambian hoy rápidamente, es indispensable concebir y crear mecanismos y dispositivos institucionales eficientes que permitan disponer de manera permanente de información actualizada, relevante, con- fiable y oportuna en este campo, tanto desde el punto de vista de la demanda como de la oferta de educación básica para jóvenes y adultos.

En términos generales, la educación de adultos se encuentra en una situación de precariedad tanto en lo que respecta a su estatuto, así como a la disponibilidad de recursos humanos, pedagógicos, financieros, materiales, etc. Esta situación tiende a agravarse dadas las tendencias que presionan para que el Estado desista de su responsabilidad de garante de la equidad social en una sociedad supuestamente demo- crática.

La posibilidad de responder a las necesidades de los jóvenes y los adultos supone que el Estado asuma plenamente su papel de garante de la equidad social, brindando las condiciones de posibilidad normativas, institucionales, financieras y de informa- ción/investigación. En estas condiciones, los actores de la sociedad civil podrán y deberán asumir su parte de responsabilidad para satisfacer las diferentes necesidades. Las empresas, los sindicatos, las organizaciones sociales de base, las universidades, los centros de formación profesional, etc. todos tienen un espacio en el cual

desempeñar un papel. Existe una relación de interdependencia entre el desarrollo de un sistema educa-

cional formal de calidad -en todos sus niveles- y el mejoramiento de la calidad de la educación básica de adultos y, más específicamente, en el campo de la enseñanza/ aprendizaje de la matemática.

RWJLTAFJS ea SEMINARIO LWERNACIONAL SOBRE EL APRENDIZAJE Y LA ENSERANZA DE u\ mmdnm 185

Un análisis de las personas, grupos e instituciones que actualmente brindan este servicio mostraría seguramente importantes desajustes entre las exigencias requeridas para desempeñar su función y las características institucionales y del personal que trabaja en ellas.

Especial mención merecen las instituciones de educación superior y, más especí- ficamente aún, las universidades. Se puede afirmar, con un margen relativamente pequeño de error, que la preocupación por la educación de adultos, en general y de la enseñanza/aprendizaje de la matemática, en particular, han estado casi completamente ausentes de las preocupaciones de estas instituciones, tanto en lo que se refiere a la formación de personal, como a la realización de investigaciones que permitan responder a sus necesidades (pedagogía, didáctica, material didáctico, utilización de la nueva tecnología, etc.).

Por otra parte, probablemente la mayoría de las personas, grupos o instituciones que operan en el campo de la enseñanza/aprendizaje de la matemática tienen una situación precaria, están relativamente aislados de otros esfuerzos institucionales y no buscan, no tienen o no pueden tener acceso a una información y formación que les permitiría cumplir mejor sus responsabilidades.

Una buena parte de la investigación de mayor calidad en la materia que nos ocupa se realiza fuera de la región y está escrita fundamentalmente en inglés. ¿Cómo hacer posible que esta literatura pueda llegar a quienes tienen necesidad de ella?

Muchas reuniones internacionales de intercambio de experiencias y conocimientos, como la de Marly-le-Roi, se realizan en lenguas de trabajo que excluyen a quienes no las comprenden o no se pueden expresar en ellas. La situación se agrava todavía más cuando se percibe una tendencia a utilizar una sola lengua -el inglés-, para reducir los costos financieros de la interpretación.

Las organizaciones internacionales intergubernamentales no han dado ni muestran signos de dar a la educación permanente y a la educación de adultos el papel que les corresponde para hacer frente al conjunto de problemas de la sociedad contempo- ránea. En este sentido, se impone que las ONG realicen un trabajo de esclarecimien- to y presión sobre sus respectivos gobiernos y sobre las organizaciones intergubema- mentales para que reconozcan y apoyen efectivamente a la educación de adultos, no pidiéndole más, pero tampoco menos, de lo que ella puede dar. Este último aspecto está en relación con las desmesuradas condiciones que algunos organismos plantean para continuar asignando recursos a proyectos de educación de adultos; por ejemplo, que al término de la formación -generalmente de no muy larga duración-, las personas obtengan un empleo. La educación puede mejorar lo que se denomina “empleabilidad”, pero ella no puede crear, por sí misma, empleos.

La V Conferencia Internacional de Educación de Adultos se realizará en Hamburgo (Alemania), del 14 al 18 de julio de 1997. Ella constituye, a nuestro juicio, una ocasión preciosa para formular planteamientos que contribuyan, en primer lugar, a conocer lo que sucede efectivamente a nivel mundial en materia de educación de

186 CONOCIMIEKIU WTEMATKO EN IA EDUCKI6N DE J6VENE.S Y ADULTOS

adultos, las necesidades, los logros, los problemas, así como a elaborar orientaciones y propuestas de acción.

Una propuesta concreta, por ejemplo, podría ser que se dé cuniplimie@o a la resolución adoptada por la Conferencia de Nairobi sobre educación de adultos, en la que se establece que los Estados Miembros de la UNESCO deben brindar perikiica- mente información sobre la situación de la educación de adultos en su respectiva jurisdicción. En el marco del Proyecto Principal de Educación para América Latina y el Caribe existe un Comité Regional Intergubemamental. ¿De qué manera este comité podría desempeñar un papel más activo en la perspectiva de que los Estados Miembros asuman compromisos precisos -en términos de objetivos, metas y asigna- ción de recursos- y den cuenta del cumplimiento de los mismos?

&a concertación y el intercambio entre las personas, grupos e instituciones que trabajan en este campo es una condición necesaria para no sólo mejorar la calidad y pertinencia del servicio ofrecido a los jóvenes y adultos que atienden, sino para mo- vilizar y ejercer presión sobre los gobiernos y las organizaciones multilaterales y bilaterales de cooperación para tener un mayor peso político a fin de que la educa- ción de adultos deje de ser el pariente pobre de la educación.

187

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8.

9.

10.

ANEXO No1

CUESTIONARIOPARA LOS ANIMADORES

¿Por qué se creó el programa de matemática básica para adultos en el que usted participa como promotor? ¿Quién tomó la iniciativa para crearlo? iCuáles son las principales características de los jóvenes o adultos que participan en el programa en términos de: 2.1 Edad 2.2 Sexo 2.3 Situación laboral (desempleado, trabajador por cuenta propia, asala-

riado, etc.) Lengua materna y/u otra lengua Antecedentes escolares: 2.5.1 LAsistieron a la escuela o no? ¿Por qué? 2.5.2 ¿Cómo fueron las experiencias escolares, en general, y en la

enseñanza/aprendizaje de la matemática, en particular? 2.5.3 ¿Qué imagen tienen de la escuela en relación con lo que apren-

dieron o no aprendieron en ella para enfrentar las necesidades de la vida cotidiana?

Antecedentes familiares: 2.6.1 Nivel educativo de los padres y hermanos 2.6.2 Experiencia laboral (trabajo u ocupación del padre, de la ma-

dre, de los hermanos, etc.) 2.6.3 Otros

2.4 2.5

2.6

LCuáles son las principales motivaciones explícitadas por los jóvenes o adultos para participar en el programa de enseñanza/aprendizaje de matemática básica? iCómo se construyó el programa de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos, es decir, qué se enseña y por qué? LCuál es la estrategia de enseñanza/aprendizaje de la matemática básica para adultos; de dónde se parte y hasta dónde se llega? ¿Cómo? iPor qué? iCuáles son los instrumentos y el material pedagógico que se utiliza para facilitar el proceso de enseñanza/aprendizaje ¿Cuáles son los principales logros del programa? ¿Cúales son las principales dificultades que tienen los adultos en términos de enseñanza/ aprendizaje de la matemática básica? ¿Se concibió y desarrolló procedimientos e instrumentos de seguimiento y evaluación del programa y de los participantes? ¿Cuáles? ¿Por qué? ¿Qué resultados se obtuvo? LCuáles son las principales dificultades del programa en términos de orga- nización, gestión y recursos?

188 cONOCMzWTO WTEMÁTICO EN IA EDKXCl6N DE J6”ENES Y ADLILTOS

11. ¿Cuáles son los principales vacíos en términos de conocimiento para orientar mejor los procesos de enseñanza/aprendizaje de los jóvenes y adultos, es decir, cuáles son las preguntas a las que desearía que respondan los investigadores en este campo? ¿Qué relación exite actualmente entre la investigación y la promoción de programas y procesos de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos?

12. ¿Quién y cómo se forma a los promotores de programas de matemática básica para adultos? ¿Por qué?

13. ¿Qué sugerencias propondría para mejorar la calidad y relevancia de los programas y procesos de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos, en general, y para mejorar la formación de los animadores, en particular? ¿Por qué?

14. iCuáles son las principales sugerencias que formularía en lo que se refiere al seguimiento a dar al seminario? (Por ejemplo, la creación de una red intema- cional de animadores, formadores de animadores e investigadores en este campo?

189

ANEXO N” 2

CUESTIONARIO PARALOS FORMADORES DE ANIMADORES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

¿Por qué se creó el programa de formación de animadores o promotores de programas de matemática básica para adultos en el que usted participa como formador? ¿Quién tomó la iniciativa para crearlo? iCuáles son las principales características de los animadores que participan en el programa en términos de: 2.1 Edad 2.2 Sexo 2.3 Situación laboral (desempleado, trabajador por cuenta propia,

asalariado, voluntario, etc.) 2.4 Lengua materna y/u otra lengua 2.5 Antecedentes escolares:

2.5.1 Nivel de educación alcanzado 2.5.2 ¿Cómo fueron sus experiencias escolares, en general, y en la

enseñanza/aprendizaje de la matemática, en particular? 2.5.3 ¿Qué imagen tienen de la escuela en relación con lo que

aprendieron o no aprendieron de ella para enfrentar las necesidades de la vida cotidiana?

2.6 Antecedentes familiares: 2.6.1 Nivel educativo de los padres y hermanos 2.6.2 Experiencia laboral (trabajo u ocupación de los padres, de la

madre, de los hermanos, etc.) 2.6.3 Otros

¿Cuáles son las principales motivaciones explicitadas por los animadores para participar en el programa de formación? LCuáles son las principales características de los formadores de animadores de programas de matemática básica para adultos desde el punto de vista de sus antecedentes? 4.1 Educacionales 4.2 Profesionales 4.3 Laborales 4.4 Lingüísticos ¿Cómo se construyó el programa de formación de animadores, es decir, qué se enseña y por qué? ¿Cuál es la estrategia para la enseñanza/aprendizaje de la matemática básica destinada a los adultos: de dónde se parte y hasta dónde se llega? LCómo? i ,POrqUé?

7.

8. 9.

10.

ll.

12.

13.

14.

iCuáles son los instrumentos y el material pedagógico que se utiliza para facilitar el proceso de formación de los animadores? ¿Cuáles son los principales logros del programa? ¿Cuáles son las principales dificultades que tienen los animadores en términos de la enseñanza/aprendizaje de la matemática básica para adultos? ¿Se concibió y desarrolló procedimientos e instrumentos de seguimiento y evaluación del programa y de los participantes? LCuáles? ¿Por qué? ¿Qué resultados se obtuvo? LCuáles son las principales dificultades del programa de formación de animadores en términos de organización, gestión y recursos? ¿Cuáles son los principales vacios en términos de conocimiento para orientar mejor los procesos de enseñanza/aprendizaje de los animadores, es decir, cuáles son las preguntas a las que desearía que respondan los investigadores que trabajan en este campo? iQué relación existe actualmente entre la investigación, la formación de animadores, y la promoción de programas de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos? ¿Qué sugerencias propondría para mejorar la calidad y relevancia de los programas y procesos de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos, en general, y para mejorar la formación de los animadores, en particular? iPor qué? ¿Cuáles son las principales sugerencias que formularía en lo que se refiere al seguimiento a dar el seminario? (Por ejemplo, la creación de una red internacional de animadores, formadores de animadores e investigadores en este campo).

191

ANEXO N” 3

CUESTIONARIO PARA LOS INVESTIGADORES

1.

2.

3.

4. 5. 6.

7.

8.

9.

10.

ll.

¿Por qué decidió realizar una investigación en el campo de los procesos de enseñanzaIaprendizaje de la matemática básica para adultos? ¿Cuál es el tema de la investigación que desea presentar y por qué seleccionó este tema específico? ¿Cuáles fueron las principales preguntas a las que su investigación pretendió responder? ¿Cómo planteó el desarrollo de su investigación? ¿Por qué? ¿Cuáles son los principales resultados que obtuvo de su investigación? ¿Qué nuevas preguntas o cuestiones surgieron una vez concluida su investi- gación? ¿En qué medida su investigación puede contribuir a mejorar los procesos de enseñanza/aprendizaje de la matemática básica para adultos? ;Cómo concibe la relación entre el trabajo de los promotores de programas de enseñanza/aprendizaje de matemática básica para adultos, los formadores de animadores y los investigadores en este campo? ¿Cómo sitúa su investigación en relación con esta pregunta? LCuáles son las principales dificultades que encontró en relación con la orga- nización, gestión y recursos para efectuar su investigación? ¿Qué sugerencias propondría para mejorar la calidad y relevancia de los procesos de enseñanza/aprendizaje de la matemática básica para adultos, en general, y para mejorar la formación de los animadores, en particular? ¿Por qué? ¿Cuáles son las principales sugerencias que formularía en lo que se refiere al seguimiento a dar al seminario? (Por ejemplo, la creación de una red internacional de animadores, formadores de animadores e investigadores en este campo).

----

Conocimiento matemtico en la educaci³n de j³ve

Documents

Transcript of Conocimiento matemtico en la educaci³n de j³ve