SISTEMAS DINÁMICOS – 27 DE MAYO DE 2010

Resumen – Con el estudio realizado anteriormente de un motor DC, se desarrolla el análisis de un control PID de un péndulo invertido para realizar el control de movimiento de dicho péndulo.

Abstract— In the previous study of a DC motor, develops an analysis of PID control for inverted pendulum motion of the pendulum.

Índice de Términos— motor DC, inercia, constante del motor, constante de armadura, constante de la fuerza electromotriz, constante viscosa, resistencia, inductancia, péndulo invertido, control PID.

I. INTRODUCCIÓN

STE documento mostrará el funcionamiento de un péndulo invertido

manejado y controlado por medio de un PID, el circuito inicia con dos seguidores de voltaje que van a un restador, el cual realiza la comparación de la entrada de un usuario que es fijo y un potenciómetro que es el sensor del péndulo, luego se realiza el control PID el cual está compuesto de un derivador, integrador y un proporcional, de tal manera que las salidas de cada amplificador entran a un sumador, la salida de éste va a un amplificador de corriente, la salida de éste amplificador ayuda a manejar el motor con la corriente que el motor necesita para su funcionamiento.

E

II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se tienen un modelo de péndulo invertido, al cual se debe aplicar un sistema PID para controlar el movimiento del péndulo. Se debe tener en cuenta la corriente que el motor necesita para su funcionamiento.

Figura 1. Sistema mecánico del control de posición de un motor DC. [1]

Es el bosquejo básico del esquema mecánico, el cual fue la idea general para la construcción del sistema completo.

Con este modelo se procura llegar al modelo completo: mecánico y electrónico, el cual se describe por etapas más adelante.

III. DELIMITACIÓN DEL PROYECTO

En la implementación de una planta física, se pueden comprender diferentes elementos de control como: mecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc.

El control de posición de un motor no es un sistema complejo, que puede ser aplicado en muchas funciones específicas.

Una posible aplicación seria realizar la implementación de un péndulo invertido con el cual se desarrollará el control por medio de un sistema PID.

Teniendo en cuenta dicha aplicación se pueden identificar algunas variables características del sistema:

CONTROL PID DE PÉNDULO INVERTIDO

Facultad de Ingeniería Electrónica, Universidad Santo Tomás Bogotá, Colombia, Calvo Camilo Andrés, Cruz José Manuel, Rodríguez Ramos Gina Marcela

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Velocidad del motor Corriente en el motor Voltaje en el motor Torque Angulo del péndulo Longitud del péndulo Velocidad de respuesta del motor

IV. JUSTIFICACIÓN

Éste proyecto fue realizado para observar y determinar la inductancia, capacitancia, inercia de un motor, con el cual se realizan varias medidas para así encontrar el valor de dicha inercia, ya que para hallarla se necesita de un procedimiento característico para ello. De acuerdo con esto es necesario tomar diferentes medidas y tener en cuenta en qué momento el motor rompe su inercia, pero sabiendo las diferencias de voltaje que en él existen de acuerdo al voltaje inducido.

V. LIMITACIONES

En la vida diaria el ser humano por limitaciones físicas a veces no tiene la manera de tener autonomía para hacer las cosas por tener pérdidas de un brazo o una pierna, es así como un péndulo invertido puede ser una solución para dichas personas, pues de acuerdo a eso es posible que se logre hacer un brazo mecánico o una prótesis que pueda ser utilizada para facilitar la calidad de vida de las personas, utilizando de ésta manera la automatización de un proceso en pro de la evolución y desarrollo de la tecnología para el servicio de las personas.

Como solución se propone el diseño y fabricación de un prototipo de péndulo invertido el cual por medio de un sensor hará que el motor utilizado en el carro se mueva en una u otra dirección y así controlar la estabilidad de dicho péndulo.

VI. OBJETIVOS

Generales:

Diseñar e implementar un sistema de control PID que permita modelar cada uno de sus componentes, y determinar el comportamiento del sistema.

Específicos:

Determinar el comportamiento del sistema.

Aplicar la teoría vista en sistemas dinámicos.

VII. MATERIALES Y MÉTODOS

Materiales y componentes necesarios para la implementación del sistema de control PID del motor DC son:

Motor DC (12 Volt) Potenciómetro (50K) LM 741 (integrador, sumador, restador,

derivador, 2 seguidores) Tip 31 y Tip 32 ( acoplados para

amplificar la corriente) Potenciómetro lineal deslizable (5K) Lámina de acrílico (base del carro), kit

de llantas y engranajes

Etapas del sistema:

El sistema se encuentra distribuido en diferentes etapas, tales como: etapa de realimentación, etapa de referencia, etapa de control y finalmente etapa de potencia.

Etapa de realimentación: Está constituida por un divisor de voltaje formado por un potenciómetro que se encarga de sensar la posición en que se encuentra el péndulo para así poder tener una medición de la posición (Variable a controlar) y posteriormente realizar la corrección necesaria de acuerdo a las necesidades de control.

Figura 2. Etapa de realimentación del sistema. Orcad.

Etapa de referencia: Es conformada por un voltaje fijo el cual se compara con el sensor (potenciómetro lineal), para determinar el sentido de giro del motor.

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Figura 3. Etapa de referencia del sistema. Orcad.

Etapa de realimentación y control: se encarga de monitorear continuamente la señal de salida para compararla con la señal de referencia y calcular la señal de error, la cual a su vez es aplicada a la etapa de potencia para generar la señal de control y tratar de llevar la señal de salida al valor deseado. Esta etapa es también conocida como sistema de control en lazo cerrado.

Figura 4. Etapa de control del sistema. Orcad.

Para poder realizar la tarea de la etapa de realimentación y control el amplificador operacional está configurado como restador para así cumplir con la generación de la señal de control o corrección.

Etapa de potencia: Se encarga de proporcional al motor la suficiente corriente para generar el movimiento y la dirección adecuada dependiendo de la señal de referencia, para esto se utiliza un amplificador de corriente realizado por medio de dos transistores tipo tip 31 y tip 32, para los sentidos del motor.

Dicho circuito es capaz de proporcionar la energía necesaria para mover un motor y mediante la polarización de todo el sistema de alimentación logra realizar la inversión del giro del motor, todo esto, gracias a la configuración de dos pares de transistores trabajando en corte

y saturación que hacen posible esta tarea (Amplificador tipo B).

Figura 5. Etapa de control del sistema (Amplificador tipo B). [2].

Finalmente se encuentra el motor el cual es el objetivo del trabajo del sistema de control, para este caso se utiliza un motor DC.

Figura 6. Motor DC. Orcad

Circuito diseñado para controlar el movimiento de un motor

R 1

1k

R 2

1k

R 3

1k

U 1

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 2

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 3

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 4

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 5

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 6

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

U 7

LM741

+3

-2

V+7

V-4

O U T6

O S11

OS25

R 4

1k

R 5

1k

R 6

1k

R 7

1k

R 8

100k

R 9

2 .2k

R 10

2 .2k

R 11

1k

C 1

1u

C 2

1u

R 12

40k

R 13

40k

R 141k

0

0

0

0

0

V1

6Vdc

V2

3Vdc

0

0

VC C

-VC C

V315Vdc

V415Vdc

0

-VC C

-VC C

-VC C

-VC C

-VC C

-VC C

-VC C

VC C

VC C

VC C

VC C

VC C

VC C

VC C

Q 1

TIP 31C

Q 2

TIP 32C

-VC C

VC C

R 1510

0

Figura 7. Modelamiento general del sistema electrónico con voltaje fijo. Orcad

Polarización del circuito diseñado

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Modelamiento matemático por funciones de transferencia:

Para obtener la función de transferencia que representa el comportamiento del sistema de control de posición, se tienen en cuenta tres etapas principales relacionadas a continuación:

Motor DC:

Figura 7. Modelamiento motor DC. [3]

Frecuencia angular del motor:

=2**f

=2**2.6s

(vueltas/Segundo)

Ecuación de la fricción viscosa

Kf=Vruptura−RcorrienterupturaW

Inercia motor:

12∗m∗R2=J

Donde R es el radio del rotor y m la masa del motor.Para hallar la constante de armadura:

P=Kt*V(w)

T= PV (w)

Km=TI

W (s)V (s)

= KmJL S2+ ( LB+JR ) S+BR+Kv∗Km

Engranajes:

Figura 8. Modelamiento piñones. [3]

W 1N 1=W 2N 2

W 2W 1

=N 1N 2

Constantes del motor:

J1=0.19 J2=1B1=0.1 B2=1

M= 0.05Kg K=7.2r1=r2=0.05 R=38.1

L=0.26mH Vi=5.82

VIII. TÉCNICAS APLICADAS EN LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN.

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN.

Teniendo un motor DC, por medio de un multímetro se halla la resistencia interna del motor, dicho valor se encuentra realizando diferentes mediciones para así tener un valor promedio del mismo. De igual forma se encuentra el valor de la inductancia por medio de un inductómetro.

Para hallar la velocidad del motor se toma un tiempo de 10 segundos y en dicho tiempo se cuenta el número de vueltas que gira el motor, esto se realiza por lo menos tres (3) veces, para obtener una gráfica de la constante de armadura contra la frecuencia. La frecuencia se halla con los datos anteriores en radianes/segundo, para así encontrar la constante de armadura del motor por medio de la pendiente de la recta que determina la constante de armadura y la frecuencia.

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Para hallar el torque del motor lo obtenemos por medio de la siguiente ecuación:

Km= τI

I= Km*τ

Para el diseño del control de PID se realizo el esquema de las diferentes etapas por medio del programa orcad, para así determinar si el sistema real funcionaba de la misma manera que el sistema ideal y verificar su óptimo funcionamiento.

IX. RESULTADOS

Voltaje motor D.C.: 0V-12V

Tabla 1Potenciómetro(Porcentaje)

Vout(Voltios)

0,472 -10,790,474 -10,790,476 -10,330,478 -9,4090,48 -8,4860,482 -7,5640,484 -6,6420,486 -5,720,488 -4,80,49 -3,8810,492 -2,9640,494 -2,0490,496 -1,1410,498 -0,2560,5 00,502 0,3060,504 1,1970,506 2,1080,508 3,0250,51 3,9440,512 4,8640,514 5,7860,516 6,7080,518 7,630,52 8,5530,522 9,4770,524 10,40,526 11,05

0,528 11,05

X. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Cambiar las ganancias del PID hace que el error sea mayor o menor, dependiendo la etapa a la que se le está agregando la ganancia.

XI. GRÁFICAS

La gráfica realizada de la tabla 2, se mostrará como anexo 1 al final de éste documento.

La gráfica que se encuentra en el anexo 2, es el circuito de control PID completo implementado en orcad y utilizado para el funcionamiento del péndulo invertido.

Las gráficas mostradas a continuación, fueron pruebas realizadas en Simulink, para observar el comportamiento del sistema ante diferentes ganancias en el PID.

Figura9. Diagrama de bloques con ganancia de 1. Simulink.

Figura10. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con ganancia de 1.

Simulink.

Figura11. Diagrama de bloques con ganancia máxima. Simulink.

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Figura12. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con ganancia máxima.

Simulink.

Figura13. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con ganancia de 5 en el

integrador. Simulink.

Figura14. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con gananciade 5 en el

integrador. Simulink.

Figura15. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con ganancia de 5 en el

proporcional. Simulink.

Figura16. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con gananciade 5 en el

proporcional. Simulink.

Figura17. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con ganancia de 5 en el

derivador. Simulink.

Figura17. Figura de salida del diagrama de bloques anterior con gananciade 5 en el

derivador. Simulink.

XII. MATEMÁTICA

Resistencia teórica:

Ra=550 mV46 mA

=11.95

Frecuencia angular del motor:

=2**f

=2**2.6s

(vueltas/Segundo)

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Ecuación de la fricción viscosa

Kf=Vruptura−RcorrienterupturaW

Kf=532,76*10^-6

Inercia motor:

12∗m∗R2=J

Donde R es el radio del rotor y m la masa del motor.

J=6.25*10^-9

Para hallar la constante de armadura:

P=Kt*V(w)

T= PV (w)

=500.89∗10−3

Km=TI=0.23

W (s)V (s)

= KmJL S2+ ( LB+JR ) S+BR+Kv∗Km

¿ 0.23

95.35∗10−12 S2+(8.21∗10−6 ) S+0.023

XIII. UNIDADES

Las unidades utilizadas en éste procedimiento es el sistema internacional de unidades (MKS), para la frecuencia se tienen en cuenta las unidades de radianes/segundo. P está dado en watts.

XIV. ALGUNOS ERRORES COMUNES

Un error cometido inicialmente en la implementación del sistema fue que al montar el diseño inicial, el diseño no era óptimo, pues para encontrar el error fue bastante complejo, además de ello el motor pedía mucha corriente, la cual el sistema no estaba suministrando, por tal motivo se llegó al sistema de amplificación implementado mostrado en éste trabajo.

XV. CONCLUSIONES

Se diseñó e implementó un sistema de control PID que permitió modelar cada uno de sus componentes, y determinar el comportamiento del sistema.

Se determinó el comportamiento del sistema.

La teoría vista en sistemas dinámicos fue una base importante para el modelamiento del PID.

Es más eficiente realizar las pruebas de voltajes y corriente de cada etapa en Orcad, pues así se puede comprobar que los datos prácticos sean correctos.

La velocidad de respuesta del motor depende directamente de las ganancias utilizadas en el PID.

Entre más corto sea el diseño del circuito se tienen menores errores, menores pérdidas y de tal manera se hace más eficiente y óptimo el mimo.

Fue necesario haber utilizado un amplificador de corriente a la salida para poder generar la corriente necesaria para el movimiento del motor.

La respuesta del circuito ante el movimiento del potenciómetro lineal debe acercarse a una línea recta que cruce a cero cuando el potenciómetro se encuentre en el 50%.

XVI. RECOMENDACIONES

Al momento de implementar el circuito se debe tener precaución con los voltajes de polarización y la ubicación de los mismos, ya que esto puede causar daños al sistema.

Hacer las pruebas por separado de cada etapa, para tener certeza que no hay ningún error en cada una de ellas y así poder realizar el acoplamiento entre etapas y la realimentación del sistema.

Realiza diferentes pruebas en las ganancias del PID en Simulink, para así seleccionar las ganancias más apropiadas al momento de la implementación del circuito.

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Comprobar los datos reales con los ideales en Orcad, para así tener certeza que el funcionamiento es óptimo.

REFERENCIAS

[1] Imagen disponible en http://iimyo.forja.rediris.es/_images/Cart-pendulum.png

[2] Imagen disponible en http://fotos.subefotos.com/0bcef9813a650e30443e0b65cac375d3o.jpg

[3] S. C. Bera, J. K. Roy, S. Chattopadhyay “Design of analogue position control system”. Proceeding of International Conference on Electrical Machines and Systems 2007, Oct. 8-11, Seoul, Korea.

[4] Ogata, Katsuhiko , Dinamica de sistemas, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1987.

[5] Software de implementación: Matlab 2007 y Simulink.

[6] Software de simulación Orcad PSpice.

[7] Software Excel.