Péndulo Invertido con Rueda de Reacción

7/25/2019 Pndulo Invertido con Rueda de Reaccin

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Universidad Autnoma deGuadalajara Campus Tabasco

INGENIERA EN MECATRNICA

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Control de ProcesosProyecto Final

PROFESOR: Dr. Reymundo Ramrez Betancour

INTEGRANTES DEL EQUIPO:Jess Enrique Colina ReyesOscar Daniel Cornelio CastroCarlos Alberto Morales MarnJos Antonio Nio Villegas

Evaluacin

Seccin Ponderacin A B C D

Objetivos 5

Introduccin 5

Contenido 65Conclusin Personal 10

Bibliografa y Anexos 5

Presentacin 10

Total 100

Comentarios de la Revisin

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INDICE

Introduccin....................................................3

Objetivos......................................................3

Modelado Matemtico del Pndulo Invertido............................4

Modelado en el Espacio de Estados......................................6

Anlisis de Estabilidad.............................................8

Controlador PID...............................................9

Sintonizacin de los Parmetros......................................12

Interfaz Grfica................................................15

Conclusin.....................................................16


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INTRODUCCIN

Control de procesos es una especialidad de la ingeniera que combina, a su vez, distintasramas, entre las que destacan: sistemas de control, automatizacin, electrnica einformtica. Su principal aplicacin y propsito es el anlisis, diseo y automatizacin deprocesos de manufactura de la mayor parte de las reas industriales.

La misin del sistema de control de proceso ser corregir las desviaciones surgidas en lasvariables de proceso respecto de unos valores determinados, que se consideran ptimospara conseguir las propiedades requeridas en el producto producido. El sistema de controlnos permitir una operacin del proceso ms fiable y sencilla, al encargarse de obtener

unas condiciones de operacin estables, y corregir toda desviacin que se pudiera produciren ellas respecto a los valores de ajuste.

El sistema de pndulo invertido es conocido por ser uno de los problemas ms importantesy clsicos de control. Para este proyecto se controlar la estabilidad de un pndulo pormedio del uso de una rueda de reaccin.

OBJETIVO

Modelar y disear un sistema fsico de control con una interfaz grfica.

Figura 1-1. Modelo Bidimensional del Pndulo Invertido con Rueda de Reaccin.


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MODELADO MATEMTICO DEL PNDULO INVERTIDO

Figura 3-1.Diagrama de Cuerpo Libre.

En la Figura 2-1 se puede observar el diagrama de cuerpo libre del pndulo invertido con una rueda dereaccin. Debemos de encontrar la relacin entre el momento angular o torque del rotor y eltorque de reaccin que se generar en la base del pndulo que permitir mantenerlo en posicinvertical.

Para esto hacemos un anlisis del movimiento rotacional del pndulo.

=

+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

Despreciando la friccin en el rotor

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Como la carga en el motor ser constante, no habr cambios en la corriente por lo que se puededeterminar el torque en funcin de esta.


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= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Donde es la constante de torque del motor.Tomando en cuenta tambin que para pequeos ngulos podemos reescribir lasecuaciones (1.1) y (1.2) como

+

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Pasando la ecuacin (1.4) al dominio de Laplace y reescribindola como funcin de transferencia

= + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6

Figura 3-2.Ecuacin (1.6) Como Diagrama de Bloques


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MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

La ecuacin que define nuestro sistema es de segundo orden, por lo que nuestro modelo consta dedos integradores.

=; = = ; =

Consideraremos como salidas de nuestro sistema el ngulo de inclinacin del pndulo y la velocidadangular de este.

= = Por lo tanto nuestro modelo en espacio de estados queda definido en trminos vectoriales como

= 0 1 0

+ 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 = 1 00 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La expresin que define la funcin de transferencia en trminos matriciales es = + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Donde

= 0 1 0 = 0 = 1 00 1 = 0Sustituyendo estas matrices en la ecuacin 2.3.


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= 1 00 1 ( 00 0 1 0 ) 0

= 1 00 1 1 0

= 1 + 1 00 1 1 0 = 1 + 1 00 1 [

]

= 1 +

[

]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 =

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 =

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6

La ecuacin 2.4 expresa la relacin entre e l ngulo del pndulo y la corriente en el motor. La

ecuacin 2.6 muestra la relacin entre la velocidad angular y la corriente en el motor.


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ANLISIS DE ESTABILIDAD

El problema del control de posicin es mantener al pndulo en posicin vertical. Mediante el criteriode estabilidad de Routh podemos determinar si el sistema es estable o no. El arreglo de Routh quedade la siguiente manera:

1

0

Debido a que no existen cambios de signo se determina que todas las races estn en el lado izquierdodel plano s, pero el cero en la primera columna indica que el sistema es asintticamente estable.

Si analizamos su estabilidad haciendo uso del mtodo de ubicacin de las races en el plano snecesitamos encontrar las races de la ecuacin caracterstica.

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1

En el plano s, estos polos se encuentran ubicados como se muestra en la grfica a continuacin.

Figura 5-1.Ubicacin de las Races en el Plano S.


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CONTROLADOR PID

Se propone un control de tipo proporcional integral derivativo el cul, en comparacin al controladorde tipo PD, corrige eficazmente y en el mnimo tiempo posible los efectos de las perturbaciones.

La funcin de transferencia para un controlador tipo PID es la mostrada en la Ecuacin (4.1)

= 1 + +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1

Debido a que en el sistema el controlador regular una corriente para corregir el ngulo , podemosreescribir la Ecuacin (4.1) en los trminos de nuestro sistema. = 1 + + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2En la Figura 4-1 se muestra el diagrama de bloques de este sistema de control.

Figura 6-1.Diagrama de Bloques del Sistema de Pndulo Invertido con Controlador

Donde es nuestra seal de referencia, la cual igualamos a 0 ya que esta indica que el pndulo seencuentra en posicin vertical, por lo que nuestra seal de error ser .Parmetros Kp, Tiy Td

Se pueden determinar las caractersticas dinmicas del sistema a partir de su respuesta en frecuencia;esto se hace analizando el sistema en bucle cerrado usando solo la accin de control proporcional. Lo

que se busca en este mtodo es encontrar un valor Kp, llamado ganancia crtica Kcr, tal que se consigaque el sistema oscile con una amplitud constante y medir el periodo de esas oscilaciones, llamadoperiodo crtico Pcr; despus, haciendo uso de las reglas de sintona de Ziegler-Nichols basada en laganancia crtica y periodo crtico, se determinan los valores aproximados de los parmetros delsistema, y luego se realiza un ajuste fino.


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Que un sistema tenga una oscilacin constante indica que la ecuacin caracterstica de su funcin detransferencia tiene races complejas y adems que la parte real es igual a 0; se puede forzar el valor Kppara lograr que el sistema tenga una respuesta de oscilaciones con amplitud constante y determinarel periodo de estas. En la Figura 4-2 se muestra el sistema de pndulo invertido en lazo cerrado concontrolador proporcional.

Figura 6-2.Sistema en Lazo Cerrado con un Controlador Proporcional.

La funcin de transferencia del sistema es = /2 + +/ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3La ecuacin caracterstica del sistema es

+ + =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Las races de esta ecuacin son

= + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5Se puede observar que para cualquier valor de = las races de la ecuacin sern nmeroscomplejos conjugados con parte real igual a 0

Como se mencion anteriormente, la frecuencia de las oscilaciones de un sistema estar dada por laparte imaginaria de la raz compleja, por lo que para nuestro sistema.

= + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6


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El periodo de las oscilaciones est dado por

= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7 Por lo que

=2

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.8Ziegler y Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parmetros , y de acuerdocon la frmula que se muestra en la Tabla 4-1.

Tabla 6-1Regla de sintona de Ziegler-Nichols

Por lo que podemos escribir y en funcin de . = 0.6 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9

= 4 0.6 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10


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SINTONIZACIN DE LOS PARMETROS

Para determinar el valor de los parmetros se hace uso del software de Matlab y Simulinkpara estimar por prueba y error valores estimados de , y .En la Figura 5-1 se muestra el diagrama de bloques del sistema retroalimentado concontrolador PID tipo PID diseado en Simulink para las pruebas de sintonizacin y ajuste.

Figura 7-1.Diagrama de Bloques Diseado en Simulink

Los valores, tomados de la planta, para la simulacin fueron los siguientes.Kr = 0.1491 J = 0.0083 Kg m = 0.1275 Kg = 0.2487 mPrimero proponemos un = 1, lo que nos produce un =0.3826y un =0.0957, con estosparmetros nuestro sistema debera de comportarse como se muestra en la siguiente figura.


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Figura 7-2. = 1, =0.3826y =0.0957Ahora proponemos un = 5, lo que nos genera un =0.2296y un =0.0574.

Figura 7-3.

= 5,

=0.2296y

=0.0574

Ahora probamos con un = 1 0, lo que nos genera un =0.1712y un = 0.0428


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Se puede notar que a pesar de que el tiempo de asentamiento disminuye a medida queaumenta el , el sobrepaso tambin se hace mas grande lo cul no es favorable para nuestrosistema. Por lo tanto se concluye que es mejor trabajar con un no mayor a 5.

Figura 7-4. = 1 0, =0.1712y =0.0428


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Figura 8-1.

INTERFAZ GRFICA

Para poder monitorear y modificar los parmetros del PID del sistema se dise una interfaz grfica lacual, a travs de comunicacin serial con un Arduino Uno, nos permite enviar los valores de losparmetros y recibir los datos actuales de la planta.

La interfaz consta con los siguientes elementos:

Una animacin la cual ayuda a ver el ngulo de inclinacin del pndulo.

Botones y cuadros de texto con los cuales podemos saber que valores de , y estamosenviando al nuestro controlador.

Una grfica donde se va trazando un histrico del ngulo de inclinacin del pndulo.

Una barra, llamada barra de status, la cual nos permite conocer los valores actuales de los

parmetros y resultados de las operaciones con las que est trabajando la planta.


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CONCLUSIN

Como conclusin podemos decir que el Control de Procesos tiene gran aplicacin en el monitoreo ycontrol de distintas plantas, equipos y lneas de produccin. Esta nos brinda la oportunidad desupervisar y optimizar el comportamiento y funcionamiento de cualquier tipo de sistema.

Para el caso del Pndulo Invertido con Ruedas de Reaccin, la materia nos sirvi para decidir quevariables monitorear y de qu manera controlar el balance y la estabilidad de la planta, definirparmetros y sintonizar el controlador para lograr un ptimo control de este.

Los objetivos de la materia fueron logrados con xito en su totalidad.

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