UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION

Enrique Guzmán y Valle

“Alma Mater del Magisterio Nacional”

VICERECTORADO ACADEMICO DIRECCIÓN DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

FACULTAD DE CIENCIAS

“LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO ESTRATEGIA METODOLÓGICA EN EL APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

EN LOS ESTUDIANTES DEL QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA N° 0086 MANUEL

GONZALES PRADA – SAN JUAN DE LURIGANCHO”

“Tesis para optar el grado de Licenciatura en Educación”

ALUMNAS:

Ana Cecilia Flores Reategui Jacqueline Osorio Fhon

Karina Pichardo Mendoza

ASESORA: Lic. Hilda Villafañe

La Cantuta, 05 octubre del 2015

A Dios, por la vida que nos regala y por permitirnos lograr esta ansiada meta.

A nuestros padres, por todo el amor y apoyo brindados.

INDICE

Caratula

Dedicatoria

Resumen

Abstract

Tabla de contenido

Introducción

CAPITULO I:

EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del problema

1.2 Formulación del problema

1.3 Objetivos generales y específicos

1.4 Importancia y alcance de la investigación

1.5 Limitaciones de la investigación

II Marco Teórico

2.1 Antecedentes del problema (Nac e Inter)

2.2 Bases teóricas

Definición de términos básicos:

2.2.1 Resolución De Problemas

2.2.1.1 Definición de resolución de problemas

2.2.1.2 Problema matemático.

2.2.1.2.1 Definición

2.2.1.2.2 Requisitos

2.2.1.2.3 Elementos

2.2.1.2.4 Clasificación

2.2.1.2.5 Características

2.2.1.3La resolución de problemas en el enfoque matemático

2.2.1.4 Modelo de Resolución de problemas

2.2.1.4.1 Modelo de George Polya

2.2.1.4.1 Paso1: Comprender

2.2.1.4.2 Paso 2: Planificar

2.2.1.4.3 Paso 3: Ejecutar

2.2.1.4.4 Paso 4:Comprobar

2.2.2 Ecuaciones y funciones cuadráticas

2.2.2.1. El concepto de igualdad y las ecuaciones

2.2.2.2 Sobre el concepto de ecuación

2.2.2.3 Sobre el concepto de ecuación cuadrática

2.2.2.4 Solución de una ecuación cuadrática

2.2.2.5 Métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas

2.2.2.6 Comprobación de la solución de una ecuación cuadrática

2.2.3 Funciones cuadráticas

2.2.3.1 Términos básicos de una función

2.2.3.2 Definición de una función cuadrática

2.2.3.3 Representación grafica de una función cuadrática

2.2.3.4 Grafica por intercesión de ejes

2.2.3.5Vértice de la parábola

2.2.4. Competencias Y Capacidades En Las Rutas De Aprendizaje 2015

2.2.4.1 Las competencias propuestas en la educación básica regular

2.2.4.2 Capacidades matemáticas

2.2.4.2.1 Matematiza situaciones

2.243.2.2 Comunica y representa ideas matemáticas

2.2.4.2.3 Elabora y utiliza estrategias

2.2.4.2.4 Razona y argumenta generando ideas matemáticas

2.2.4.3 Indicadores de la Matriz de actúa y piensa matemáticamente en situaciones de

regularidad, equivalencia y cambio.

III. HIPOTESIS Y VARIABLES:

3.1 Hipótesis

3.2 Variables

3.3 Operacionalización de las variables

IV METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION

4.1 Tipo y método

4.2 Diseño de la investigación

4.3 Población y muestra

4.4 Instrumentos

4.5 Técnicas de recolección de datos.

4.5 Tratamiento estadístico

V ASPECTOS ADMINISTRATIVOS

5.1 Recursos humanos

5.2 Recursos Institucionales

5.3 Presupuesto

5.4 Cronograma

BIBLIOGRAFIA

ANEXOS

CAPITULO I

EL PROBLEMA

I.1. Planteamiento del problema

La sociedad del conocimiento, va transformado las demandas en cuanto al

conocimiento y la de nuestros estudiantes, nos plantea la necesidad de reconvertir la

práctica docente, estos cambios acelerados vienen acompañados de incertidumbres y

aceleraciones, todos y todas de alguna manera, vamos asumiendo el rol de aprendices y

también de maestros. Es importante reconocer nuestro rol como agente mediador y

orientador de formas de actuar y pensar que vamos desarrollando durante nuestras

actividades de enseñanza aprendizaje.

Las instituciones educativas y los docentes de los distintos niveles enfrentan el reto de

adecuar permanentemente los métodos, estrategias y recursos que utilizan para la

enseñanza de la matemática, con el objetivo de que los educandos logren aprendizajes

relevantes e integrales y puedan desenvolverse satisfactoriamente en su vida personal,

social, académica y laboral. “Ser competente en matemática supone tener habilidad para

usar los conocimientos con flexibilidad y aplicar con propiedad lo aprendido en diferentes

contextos” (Diseño curricular 2010, p.316).

“La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud

para aprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización”

(Perrenoud, 1999).

“Promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos y aplicarlos

mecánicamente, se logra centrando las actividades de la clase mediante la resolución de

problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiere

resolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas.” (Rutas de

aprendizaje, 2011, p. 11).

En este sentido, la resolución de problema resulta ser una de las principales problemáticas

que en los últimos años viene siendo considerada en nuestro sistema curricular y en la

investigación educativa. La enseñanza desde esta perspectiva, pretende poner énfasis en

actividades que plantean situaciones problemáticas cuya resolución requiera analizar,

descubrir, elaborar hipótesis, confrontar, argumentar, comunicar ideas. Son pocos los

docentes que se sienten comprometidos en mejorar la calidad de la educación por lo que

es necesario poner en práctica estrategias como la resolución de problemas que potencien

las habilidades y destrezas.

En cuanto al aprendizaje de funciones y ecuaciones es importante insistir en la necesidad

de que los conceptos relacionados a estas sean correctamente aprendidos por los

estudiantes, porque son de vital importancia para desarrollar su capacidad de enfrentar

problemas facilitándoles el trabajo matemático durante el resto de su escolaridad.

Consideramos que aprender la fórmula general para su solución es imprescindible.

En las rutas de aprendizaje 2015, las capacidades e indicadores de ecuaciones y funciones

cuadráticas se va desarrollar dentro de la competencia actúa y piensa matemáticamente en

situaciones de de regularidad, equivalencia y cambio,

Esta investigación desea corroborar la relación existente entre la estrategia de resolución de

problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas mediante la

observación de la práctica docente y la evaluación a los estudiantes del quinto grado de

secundaria de la Institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada - de San Juan de

Lurigancho.

I.2. Formulación del Problema

I.2.1. Problema General.

¿Qué relación existe entre la resolución de problemas como estrategia metodológica y el

aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado

de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San

Juan de Lurigancho?

I.2.2. Problemas específicos

- ¿Qué relación existe entre la resolución de problemas como estrategia metodológica y

la capacidad de matematizar situaciones para el aprendizaje de las ecuaciones y

funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria

de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de

Lurigancho?

- ¿Qué relación existe entre la resolución de problemas como estrategia metodología y

la capacidad de comunicar y representar ideas matemáticas en el aprendizaje de las

ecuaciones y funciones cuadráticas de los en los estudiantes del quinto grado de

educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada –

San Juan de Lurigancho?

- ¿Qué relación existe entre la resolución de problemas como estrategia metodología y

la capacidad de elaborar y usar estrategias en el aprendizaje de las ecuaciones y

funciones cuadráticas de los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de

la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho?

- ¿Qué relación existe entre la resolución de problemas como estrategia metodología y

la capacidad de razonar y argumentar generando ideas matemáticas en el aprendizaje

de las ecuaciones y funciones cuadráticas de los estudiantes del quinto grado de

educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada –

San Juan de Lurigancho?

1.3 Objetivos de la investigación

1.3.1. Objetivo General

Determinar el nivel de relación que existe entre la resolución de problemas como estrategia

metodológica en el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los

estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086

Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

1.3.2. Objetivos específicos

- Precisar la relación que existe entre la resolución de problemas como estrategia

metodológica y la capacidad de matematizar situaciones para el aprendizaje de las

ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación

secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de

Lurigancho.

- Precisar la relación que existe entre la resolución de problemas como estrategia

metodológica y la capacidad de comunicar y representar ideas matemáticas para el

aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto

grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales

Prada – San Juan de Lurigancho.

- Precisar la relación que existe entre la resolución de problemas como estrategia

metodológica y la capacidad de Elaborar y usar estrategias para el aprendizaje de las

ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación

secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de

Lurigancho.

- Precisar la relación que existe entre la resolución de problemas como estrategia

metodológica y la capacidad de razonar y argumentar generando ideas matemáticas

para el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del

quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel

Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

1.4 Justificación

La presente investigación es relevante desde el punto de vista pedagógico porque brindará

información sobre la Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en el

Aprendizaje de las Ecuaciones y Funciones Cuadráticas en los estudiantes y servirá de

base para reflexionar sobre la labor realizada y mejorarla, de modo que los aprendizajes en

los estudiantes sean significativos.

Desde el punto de vista metodológico, el presente estudio ayudará a conocer las

deficiencias que existen en la resolución de problemas de ecuaciones y funciones

cuadráticas para corregirlas, debido a que la solución de problemas cultiva procedimientos,

métodos y heurísticas que son valiosos para la escuela y la vida, porque ayuda a los

estudiantes a adquirir distintas habilidades cognoscitivas y promueve en ellos actitudes

positivas hacia la ciencia.

Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras

de su misma edad y formación parecida, que suelen ser las que aplican (generalmente de

una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar

especialmente indicados para abordar los problemas, son los procesos heurísticos

(operaciones mentales) que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El

conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de

problemas y hace que sea una facultad entrenable y que se puede mejorar con la práctica,

pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con

método.

Según las investigaciones de George Polya al abordar un enfoque de formulación y

resolución de problemas como eje orientador de la actividad pedagógica, incluyendo en

ella la evaluación, contribuyendo al desarrollo del pensamiento matemático, pues los

problemas se conciben como situaciones en las que los estudiantes identifican, seleccionan

y usan estrategias pertinentes y adecuadas para obtener soluciones válidas en el contexto

matemático; así estás distintas acciones que posibilitan los problemas se consideran como

una aproximación al quehacer del matemático.

Pero, esto por supuesto, exige por parte del profesor una cuidadosa planificación de los

problemas a desarrollar según los contenidos programados y de la programación de la clase

en cuanto se refiere al tiempo destinado en el aula para que los alumnos piensen,

argumenten y refuten; esto conlleva a diseñar espacios académicos en el área de

matemáticas, que permitan tomar como eje principal el Modelo de Pólya centrado en la

resolución de problemas de la vida real para el desarrollo de sus contenidos.

Particularmente, el concepto de ecuación cuadrática amplia el campo de solución de las

ecuaciones lineales y el tipo de fenómenos que se pueden modelar a través de la función

cuadrática y la ecuación asociada a esta; fenómenos de diferente naturaleza. Especialmente

las ecuaciones cuadráticas permiten entender los conceptos de la Cinemática, o los

fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos, como movimientos con

aceleración constante, tiros parabólicos y caída libre, los cuales se modelan a partir de

ecuaciones cuadráticas. En este sentido, se puede establecer la importancia de desarrollar

pensamiento algebraico en los estudiantes, no solo para resolver problemas o situaciones

propias de las matemáticas, sino también solucionar problemas de otras áreas de

conocimiento y para la comprensión de los conceptos que subyacen de ellos. Por lo tanto

este trabajo es importante en tanto asume un concepto del currículo escolar potente para

modelar fenómenos cuadráticos.

Este trabajo pretende ser una buena estrategia que permita al estudiante tener un mejor

acercamiento a los conceptos matemáticos, y cambiar su actitud frente a ellos. Y también

radica en favorecer un acercamiento significativo a la construcción del concepto de

ecuación y función cuadrática y algunos métodos de solución, a través de la resolución de

problemas como estrategia metodológica y de esta forma favorecer la intervención

didáctica de los profesores en función de las necesidades y prioridades de los estudiantes

para superar los errores y las dificultades que se presentan en la construcción de este

concepto.

Pero, esto por supuesto, exige por parte del profesor una cuidadosa planificación de los

problemas a desarrollar según los contenidos programados y de la programación de la clase

en cuanto se refiere al tiempo destinado en el aula para que los alumnos piensen,

argumenten y refuten; esto conlleva a diseñar espacios académicos en el área de

matemáticas, que permitan tomar como eje principal el Modelo de Pólya centrado en la

resolución de problemas de la vida real para el desarrollo de sus contenidos.

1.5 Limitaciones

a) Limitaciones bibliográficas

Por otro lado, se encontró poca bibliografía y trabajos de investigación que aborden la

problemática de la resolución de problemas como Estrategia Metodológica en el

Aprendizaje de las Ecuaciones y Funciones a nivel internacional, y con mayor razón en

los estudiantes de educación secundaria en el Perú. En consecuencia, fue preciso realizar

una búsqueda profunda y acuciosa, tanto en internet como en las distintas bibliotecas de las

universidades, para localizar los antecedentes pertinentes que demandaba el trabajo, todo

lo cual significó, mayor tiempo y presupuesto.

b) Limitaciones en cuanto a tiempo y espacio

El tiempo disponible fue otro factor que atentó contra la realización de una investigación

profunda y rigurosa. Por razones profesionales y laborales, no se dispuso del tiempo

suficiente como para cumplir con todos los requisitos que impone una investigación de

calidad en los tiempos prefijados para ello. Más aún cuando en la búsqueda de

información, las bibliotecas de las distintas universidades, presentan un rol de atención por

días, que no siempre coincide con la disposición personal. De alguna manera, esta

situación fue manejada con la planificación del tiempo disponible, que permitió culminar

la tesis en un tiempo razonable.

c) Limitaciones del contexto socioeconómicas

La investigación se sujetará a un presupuesto de gastos previamente estructurado

realizando los reajustes necesarios durante su ejecución. En cuanto a su aplicación está

dirigida a una clase social de adolescentes perteneciente a la clase media baja.

d) Limitaciones de tamaño y ámbito geográfico

La investigación abarca una determinada área geográfica “Zona Campoy” perteneciente al

distrito de San Juan de Lurigancho UGEL Nº 05; por lo tanto, es factible su aplicación en

dicho ámbito geográfico.

CAPITULO II

MARCO TEORICO

2.1. ANTECEDENTES DEL ESTUDIO

2.1.1. Antecedentes Nacionales

Jara Ahumada y colaboradores (2010), en su investigación Cuasi experimental,

comprueban que existe diferencia significativa en la resolución de problemas tales como

aprendizaje, verificando una diferencia de 3,96% del grupo experimental al grupo

control; el 14,14% de diferencia del grupo experimental al grupo control en el módulo del

modelo normativo, aproximativo e iniciativo hay una diferencia del 5,65% del grupo

experimental al grupo control; y en el modelo Polya, la diferencia es de 2,40% del grupo

experimental al grupo control.

Concluye que los modelos de resolución de problemas: Normativo, aproximativo,

iniciativo, Polya y Guzmán influyen significativamente en el buen aprendizaje de la

resolución de problemas, área Matemática, de los alumnos del sexto grado de Educación

Primaria, en la Institución Educativa No 7098, Villa Alejandro, Lurín.

Guerra, (2009) en su investigación cuasi experimental corroboró la diferencia en los

promedios calificativos logrados por cada uno de los grupos; el grupo experimental

presenta un promedio 3 veces mayor al grupo de control. Existiendo una diferencia

significativa en los niveles de aprendizaje alcanzados. Logra comprobar así que el método

heurístico para la enseñanza de la matemática que emplea la resolución de problemas, ha

elevado en forma significativa los niveles de aprendizaje del grupo experimental en

relación al grupo de control.

Gutiérrez (2012) En Lima, en el distrito de Ventanilla , se investigó acerca de

estrategias de enseñanza y resolución de problemas matemáticos según la percepción de

estudiantes del cuarto grado de primaria . Este estudio descriptivo tuvo una población de

120 estudiantes, los resultados obtenidos permiten afirmar que existe una relación positiva

moderada y siendo la dimensión más arraigada en esta relación la percepción sobre las

estrategias de enseñanza para activar o generar conocimientos previos .

2.1.2 Antecedentes internacionales

Agudelo, Bedoya y Restrepo (2008) realizó una investigación denominada “Método

Heurístico en la Resolución de Problemas Matemáticos”, este trabajo está basado en el

método heurístico de George Polya que permite mejorar la capacidad resolutiva de

problemas matemáticos en los estudiantes, a través de una investigación tipo cuantitativo

con un diseño cuasi experimental de pre test y post test con un solo grupo.

En esta investigación se elaboró un pre test base a esto se hicieron los ajustes pertinentes al

aplicarlo a todo el grupo del grado quinto de la Institución Educativa Camilo Torres y así

se pudiera conocer el estado inicial en cuanto a la capacidad de resolución de problemas

que tenían los estudiantes. La propuesta se desarrolló en once sesiones y al terminarla se

aplicó un post test muy similar al pre test ya que ambos fueron elaborados con el apoyo de

los planteamientos de los problemas de las pruebas SABER.

Con la realización de este trabajo investigativo se observó que uno de los factores

determinantes en la capacidad resolutiva de los problemas es la comprensión lectora ya que

entre estos dos aspectos hay una relación directamente proporcional es decir, a mayor

comprensión lectora, mayor capacidad resolutiva.

Marina Castro (2007), En su investigación “Efectos de la resolución de problemas

como estrategia metodológica en la modelación y la solución de problemas matemáticos

que involucran ecuaciones de primer y segundo grado” inicia aplican una prueba

diagnostico que le permitió determinar las carencias que presentaba los estudiantes en

cuanto a los conceptos de modelación de problemas matemáticos y la solución de

ecuaciones de primero y de segundo grado, que les imposibilitaba resolver problemas que

involucraban ecuaciones.

Esta información inicial le permitió diseñar y aplicar una estrategia basada en la resolución

de problemas matemáticos contextualizados a la realidad de los estudiantes; asimismo,

desarrollo un guía que le permitió hacer un seguimiento para orientar y retroalimentar sus

aprendizajes, a través de ello se corrigieron errores de conceptos previos y reforzaron los

que permitía a los estudiantes resolver problemas.

Al interpretar y verificar los resultados, se evidenció que algunos estudiantes lograron

superar las dificultades de modelación de problemas, identificación de variables,

establecimiento de relación entre variables, solución de ecuaciones, interpretación de

resultados y verificación de los mismos después de utilizar la estrategia; en otros,

persistieron esas dificultades o continuaron con una leve mejoría; en sus conclusiones

describe la necesidad de implementar la estrategia desde un comienzo, dado su efecto

positivo en la mayoría de estudiantes, con el fin de disminuir los malos resultados en

Cálculo Diferencial y bajar como consecuencia, los niveles de deserción.

En este estudio importante en Guatemala, TAX TAX ( 2014) realizo una investigación

sobre el "MÉTODO HOLÍSTICO Y APRENDIZAJE DE ECUACIONES

CUADRÁTICAS”, con diseño cuasi experimental en la que se aplico un pre y post- tes en

una muestra con 39 estudiantes de tercero básico, sección “A”; de la Escuela Nacional

Normal Rural de Occidente “Guillermo Ovando Arriola” jornada matutina, de la cabecera

departamental de Totonicapán; comprendidos entre las edades de 15 a 17 años, de ambos

sexos, las cuales 21 son mujeres y 18 hombres, que representa el 54% y el 46%

respectivamente Esta investigación tiene como propósito determinar cómo el método

holístico incide en el aprendizaje de ecuaciones cuadráticas y cómo contribuye en la

orientación pedagógica de la Escuela Nacional Normal Rural de Occidente “Guillermo

Ovando Arriola”, de la cabecera del departamento de Totonicapán, en consecuencia la

proyección de la correlación entre las dos variables que son objeto de estudio, se llevó a

cabo también por medio de guías de observación, y que para tal efecto se realizaron 3

observaciones en momentos diferentes en la primera observación, en donde se utilizó el

método por factorización, el 75% de los discentes tuvieron muy buena participación en las

actividades realizadas, así mismo la mayoría demostró interés y motivación, En la segunda

observación, cuando se utilizó la fórmula cuadrática como método de solución de

ecuaciones cuadráticas, la mayoría de estudiantes tuvieron una muy buena participación,

interés y motivación, por lo que todos interactuaron en las diferentes actividades .

En la tercer momento de observación, cuando se utiliza el método de solución por

completación de cuadrados siempre de ecuaciones cuadráticas, mejoraron bastante los

indicadores establecidas en las guías de observación, puesto que todos los estudiantes

participaron de una manera muy buena en las actividades que les fue encomendada.

concluyeron que el método holístico mejora el aprendizaje de ecuaciones cuadráticas.

Además que El docente que utiliza el método holístico debe tener una adaptación a la

forma de enseñar y estar al nivel del estudiante, para tomar en cuenta sus conocimientos y

experiencias, puesto que a partir de ellos, se puede enlazar lo conocido y lo que se quiere

enseñar. La pedagogía holística aspira a integrar nuevas técnicas y otorga especial atención

al desarrollo de los sentidos en el educando, puesto que con ellos desarrollará otros

elementos naturales para la comprensión y síntesis de lo que vive y aprende

2.2. BASES TEORICAS

2.2.1 Resolución De Problemas

En todo momento de nuestras vidas, tenemos que dar respuesta a alguna situación que no

podemos resolver, para ello nos planteamos metas, objetivos que nos permitan

solucionarla; lo que se hace para lograr lo que se quiere alcanzar, es la solución de

problemas. Ahora bien, lo que pueda ser un problema para algunos puede no serlo para

otras personas.

El uso de la Resolución de Problemas como estrategia metodológica para la enseñanza y

aprendizaje de las Matemáticas, ha tenido una importante evolución: desde el análisis de

estrategias heurísticas de solución con Polya, hasta el estudio de elementos cognitivos más

complejos con Schoenfeld, Brousseau, Lesh y otros.

Para Gaulin (2000) en su conferencia “Tendencias actuales de resolución de problemas”,

hablar de problemas implica considerar aquellas situaciones que demandan reflexión,

búsqueda, investigación y donde para responder hay que pensar en las soluciones y definir

una estrategia de resolución que no conduce, precisamente, a una respuesta rápida e

inmediata.

Las diferentes utilizaciones de estos términos las agrupa Claude Gaulin de la siguiente

manera:

“Es decir, cuando decía que hay una falta de consenso y una cierta confusión sobre lo que

significa enfatizar la resolución de problemas, quiero decir que existen personas que

piensan e interpretan de diferentes maneras. No es muy grave...., lo importante es mejorar

las cosas pero, si un gobierno o una asociación quieren proponer un mensaje, difundirlo e

implementar esas ideas, se necesita un mínimo de coherencia y, en este caso, falta la

coherencia. Este es el problema. Resumiendo, podemos apreciar que estoy distinguiendo

entre:

1º Enseñar "PARA" la resolución de problemas

2º Enseñar "SOBRE" la resolución de problemas

3º Enseñar "A TRAVÉS" de la resolución de problemas

Son tres perspectivas y, en realidad, las tres son importantes. En los dos primeros casos la

resolución de problemas está considerada como un objetivo y, en el tercer caso, como

vehículo para enseñar o desarrollar otras cosas. Mi opinión es que esta falta de coherencia

es el primer motivo por el que hay dificultades de implementación de estas buenas ideas

sobre la resolución de problemas.

Yo presento un segundo factor que, en mi opinión, explica porque es tan difícil tratar de

mejorar las cosas. Este segundo factor es que hay una falta de visión sistémica de la

resolución de problemas, o un énfasis exagerado de un aspecto particular. Por ejemplo, si

se observan los tres apartados anteriores, en realidad, todos son importantes. Hay personas

que dicen que para mejorar, para implementar las recomendaciones hay que hacer solo una

de las cosas, el resto no importa. Es lo que llamo una insistencia exagerada en un aspecto.

En realidad habría que hacer un poco de todo esto, enseñar un poco sobre estrategias o

modelos, también hacer que los alumnos sean capaces de hacer más problemas reales o

enseñar a través de resolver problemas.

Schoenfeld publicó su libro “MathematicalProblemSolving” en 1985, basado en trabajos

realizados en los años 80 del siglo XX. Realizó experiencias con estudiantes y profesores

en las que les proponía problemas a resolver; los estudiantes ya tenían los conocimientos

previos necesarios para poder afrontar su solución; los profesores tenían la formación

previa para hacerlo. Los problemas eran suficientemente difíciles (siguiendo las ideas de

Pólya). Schoenfeld veía cómo actuaba cada uno de ambos grupos durante la resolución de

problemas; por ejemplo, ponía a trabajar a los estudiantes en parejas, grababa, filmaba y

pedía apuntes, y además iba anotando todo lo que hacían durante el proceso de trabajo.

Al final de todos estos experimentos, Schoenfeld llegó a la conclusión de que cuando se

tiene o se quiere trabajar con resolución de problemas como una estrategia didáctica hay

que tener en cuenta situaciones más allá de las puras heurísticas; de lo contrario no

funciona, no tanto porque las heurísticas no sirvan, sino porque hay que tomar en cuenta

otros factores. También considera insuficientes las estrategias planteadas por Polya para la

resolución de problemas, sostiene que este proceso es más complejo e involucra más

elementos, inclusive de carácter emocional afectivo, psicológico, sociocultural, entre otros.

Establece, por tanto, la existencia de cuatro aspectos que intervienen en el proceso de

resolución de problemas: los recursos (entendidos como conocimientos previos, o bien, el

dominio del conocimiento), las heurísticas (estrategias cognitivas), el control (estrategias

metacognitivas) y el sistema de creencias.

Los recursos, refieren al conocimiento matemático que el individuo es capaz de brindar en

la resolución de un problema. Las estrategias heurísticas son reglas o planteamientos

generales que ayudan en el abordaje de un problema; este aspecto fue ampliamente

considerado por Polya en su libro “Matemáticas y razonamientos plausibles”. La manera

en que los individuos utilizan la información y las estrategias heurísticas que poseen para

resolver un problema, es lo que Schoenfeld denomina control, éste involucra conductas de

interés tales como: planificar, seleccionar metas y submetas y monitoreo constante durante

el proceso de resolución. Finalmente, Schoenfeld establece un aspecto transversal en la

resolución de problemas y lo denomina sistema de creencias. Éste consiste en el conjunto

de ideas o percepciones que los estudiantes poseen a cerca de la matemática y su

enseñanza.

Schoenfeld documenta las siguientes creencias:

Las matemáticas son de carácter abstracto, no se relacionan con la vida cotidiana o

que los conceptos no se aplican en la resolución de problemas.

Los problemas matemáticos deben ser resueltos en menos de diez minutos, de lo

contrario no tienen solución.

Sólo genios o superdotados son capaces de descubrir o crear matemática.

Estas creencias forman parte del contexto norteamericano y, según Schoenfeld, han

condicionado, la forma en la cual los estudiantes abordan la resolución de un problema.

Consideramos que este último aspecto merece especial consideración, ya que condiciona

cualquier propuesta curricular, metodológica y de evaluación, en los procesos de

enseñanza-aprendizaje.

2.2.1.1 Definición de resolución de problemas

Para resolver problemas, no hay un conjunto de procedimientos o métodos que

aplicándolos llevan necesariamente a su resolución.

También, es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas

que otras de su misma edad y formación parecida. Las primeras suelen ser las que aplican

todo una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para

abordar los problemas.

Gil y De Guzmán (2005), dicen que la “preparación para la enseñanza de la matemática a

través de la resolución de problemas, requiere de involucrarse responsablemente en la

solución del problema. Se trata de adquirir nuevas actitudes que se interioricen

profundamente”. (p.45). Esta se realiza de manera más práctica a través de la formación de

grupos de trabajo. Este trabajo según Gil y De Guzmán (2005), tiene una serie de ventajas:

La posibilidad de enriquecerse, al tener distintas formas de afrontar un mismo problema.

Se puede aplicar métodos desde diferentes perspectivas, unas veces como moderador y otras

como observador. El grupo apoya y estimula en un trabajo que de otra manera puede

resultar compleja. Da la posibilidad de contratar los progresos que se está produciendo en

uno mismo y en los otros. (p.46). Además, Gil y De Guzmán (2005), brindan algunos

aspectos que son necesarios atender en la resolución de problemas:

Reconocer los bloqueos que actúan en cada uno de nosotros a fin de conseguir una actitud

positiva frente a la tarea de resolución de problemas. Ejercicio de diferentes métodos y

alternativas de solución al problema. Práctica sostenida de resolución de problemas con la

elaboración de pautas y sus respectivos análisis de profundidad. (p.46).

Autores como Vilanova (2001), proponen algunos factores para la resolución de problemas

matemáticos, aunque “no hay ningún marco explicativo completo sobre cómo se

interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático” (p. 5). Estos factores,

según Vilanova (2001), son: El conocimiento de base (los recursos matemáticos).

Para entender el comportamiento de un sujeto ante una situación matemática, ya sea de

interpretación o de resolución de problemas, se necesita saber cuáles son las herramientas

matemáticas que tiene a su disposición. “En el análisis del rendimiento en situaciones de

resolución de problemas, se investiga lo que el individuo sabe, cómo usa ese conocimiento,

las opciones que tiene a su disposición y por qué utiliza o descarta algunas de ellas. Se trata

de delinear el conocimiento de base de los sujetos que se enfrentan a la situación de

resolución de problemas”.(p.5). Es importante señalar que en estos contextos, el

conocimiento de base puede contener información incorrecta. Las personas hacen uso de

sus concepciones previas o limitaciones conceptuales a la resolución de problemas y esas

son las herramientas con las que cuentan.

Los estudios señalan la importancia y la influencia del conocimiento de base en resolución

de problemas matemáticos. Estos esquemas de conocimiento son el vocabulario y las bases

para el rendimiento en situaciones rutinarias y no rutinarias de resolución.

La resolución de problemas es fundamental para el desempeño del ser humano en la

sociedad. Esta le permite enfrentar múltiples situaciones, aprender y aplicar sus

conocimientos para buscar, implementar y evaluar posibles soluciones, lo cual requiere de

flexibilidad y apertura a nuevas alternativas no necesariamente conocidas.

La relevancia de la resolución de problemas reside en el hecho de que las personas se

enfrentan en su vida diaria a problemas de diferente naturaleza, a todos los niveles y en

contextos diversos, que requieren ser abordados de una manera pertinente. Cada vez que se

presenta una necesidad o una situación que no se ajusta a lo deseado, se hace necesaria la

búsqueda de soluciones. El desarrollo de esta no solo implica resolver problemas

planteados, sino también la habilidad para problematizar la realidad, es decir, identificar

nuevos problemas.

El sistema educativo debe enriquecer la habilidad de sus alumnos y alumnas para la

resolución de distintos tipos de problemas. Así también es necesario desarrollar la

capacidad de admitir que existen diferentes formas o estrategias para la resolución de un

mismo problema, identificando cuál de ellas es la más conveniente, pertinente, e idónea

según la situación o el contexto. En este proceso es importante la selección y adaptación de

procedimientos y estrategias para lograr el resultado deseado.

Existen muchos y diversos tipos de problemas que pueden estar relacionados a distintas

ciencias o áreas como las ciencias sociales, la filosofía, las matemáticas, ciencias

naturales, entre otras. En las relaciones humanas también se presentan problemas para lo

cual es necesario que se desarrollen habilidades, valores y actitudes que faciliten la

resolución creativa y pacífica de conflictos.

Todos los problemas, sin importar el tipo o el contexto, tienen algo en común. Al

enfrentarlos siempre es necesario explorar múltiples posibilidades, estar abierto a nuevas

alternativas, hacer uso de los diversos recursos, evaluar y reflexionar sobre el

procedimiento utilizado. Estas son las habilidades que todo estudiante debe desarrollar.

Resolución de problemas se enfoca fundamentalmente en el aprendizaje permanente.

Implica una metodología y un procedimiento para la acción. Al mismo tiempo, requiere

del desarrollo de unas habilidades y actitudes que permiten encarar la realidad de forma

flexible, crítica y organizada, perseverando y aprendiendo de los errores en este proceso.

2.2.1.2 Problema matemático.

2.2.1.2.1 Definición

La palabra problema proviene del griego y significa “lanzar adelante". Un problema es un

obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado; una dificultad que exige ser

resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada.

Está claro que un problema matemático es algo cuyo resultado o solución

desconocemos, que conlleva una dificultad que no puede resolverse automáticamente;

supone una necesidad de resolverlo y la posibilidad de resolverlo de modo matemático.

Pólya no definió lo que entendía por problema cuando escribió su primer libro

Howtosolveit(1945), con el cual inauguró la heurística moderna, sino que esperó a una

publicación posterior, que tenía por título MathematicalDiscovery(1962-65), y nada menos

que al capítulo quinto, después de haber realizado un análisis de los procesos que

intervienen en la resolución de problemas, para afirmar que resolver un problema significa

buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente

concebido pero no alcanzable de forma inmediata.

Según Stanic y Kilpatrick (1988), “ los problemas han ocupado un lugar central en el

curriculum matemático escolar desde la antigüedad, pero la resolución de problemas, no.

Sólo recientemente los que enseñan matemática han aceptado la idea de que el desarrollo

de la habilidad para resolver problemas merece una atención especial. Junto con este

énfasis en la resolución de problemas, sobrevino la confusión. El termino “resolución de

problemas” se ha convertido en un slogan que acompañó diferentes concepciones sobre

qué es la educación, qué es la escuela, qué es la matemática y por qué debemos enseñar

matemática en general y resolución de problemas en particular.”

Según este autor, la utilización de los términos “problema” y “resolución de problemas” ha

tenido múltiples y a veces contradictorios significados a través de los años, como se

describe brevemente a continuación:

Primer significado: resolver problemas como contexto.

Desde esta concepción, los problemas son utilizados como vehículos al servicio de otros

objetivos curriculares, jugando cinco roles principales:

Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos problemas

relacionados con experiencias de la vida cotidiana son incluídos en la enseñanza

para mostrar el valor de la matemática.

Para proveer especial motivación a ciertos temas: los problemas son

frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento implícito o

explícito de que favorecerán el aprendizaje de un determinado contenido.

Como actividad recreativa: muestran que la matemática puede ser “divertida” y

que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.

. Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que, cuidadosamente

secuenciados, los problemas pueden proporcionar a los estudiantes nuevas

habilidades y proveer el contexto para discusiones relacionadas con algún tema.

Como práctica: la mayoría de las tareas matemáticas en la escuela caen en esta

categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se presentan problemas

de práctica hasta que se ha dominado la técnica.

Sin embargo, en cualquiera de estas cinco formas, los problemas son usados como medios

para algunas de las metas señaladas arriba. Esto es, la resolución de problemas no es vista

como una meta en sí misma, sino como facilitador del logro de otros objetivos y tiene una

interpretación mínima: resolver las tareas que han sido propuestas.

Segundo significado: resolver problemas como habilidad.

La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término resolución de

problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo.

La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas habilidades a ser

enseñadas en el curriculum. Esto es, resolver problemas no rutinarios es caracterizado

como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida luego de haber resuelto problemas

rutinarios (habilidad que a su vez, es adquirida a partir del aprendizaje de conceptos y

habilidades matemáticas básicas).

Es importante señalar que, aun cuando en esta segunda interpretación del término los

problemas son vistos como una habilidad en sí misma, las concepciones pedagógicas y

epistemológicas que subyacen son precisamente las mismas que las señaladas en la

interpretación anterior: las técnicas de resolución de problemas son enseñadas como un

contenido, con problemas de práctica relacionados, para que las técnicas puedan ser

dominadas.

Tercer significado: resolver problemas es "hacer matemática".

Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol que los problemas juegan

en la vida de aquellos que hacen matemática. Consiste en creer que el trabajo de los

matemáticos es resolver problemas y que la matemática realmente consiste en problemas y

soluciones.

El matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad matemática es Polya.

Nos hemos familiarizado con su trabajo a través del libro “Howtosolveit” (1954), en el

cual introduce el término “heurística” para describir el arte de la resolución de problemas,

concepto que desarrolla luego en “Matemática y razonamiento plausible” (1957) y

“MathematicalDiscovery” (1981).

La conceptualización de Polya sobre la matemática como una actividad se evidencia en la

siguiente cita: “Para un matemático, que es activo en la investigación, la matemática puede

aparecer algunas veces como un juego de imaginación: hay que imaginar un teorema

matemático antes de probarlo; hay que imaginar la idea de la prueba antes de ponerla en

práctica. Los aspectos matemáticos son primero imaginados y luego probados, y casi todos

los pasajes de este libro están destinados a mostrar que éste es el procedimiento normal. Si

el aprendizaje de la matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en matemática, a

los estudiantes se les debe brindar alguna oportunidad de resolver problemas en los que

primero imaginen y luego prueben alguna cuestión matemática adecuada a su nivel.”

(Polya, 1954)

Para Polya, la pedagogía y la epistemología de la matemática están estrechamente

relacionadas y considera que los estudiantes tienen que adquirir el sentido de la matemática

como una actividad; es decir, sus experiencias con la matemática deben ser consistentes

con la forma en que la matemática es hecha.

En síntesis, un problema es una situación o dificultad prevista o espontánea, con algunos

elementos desconocidos para el sujeto, pero capaz de provocar la realización de acciones

sucesivas para darle solución.

2.2.1.2.2 Requisitos

Una situación cuantitativa para que se convierta en problema matemático debe satisfacer

los tres requisitos siguientes:

Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un

compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como

internas.

Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el

problema no funcionan.

Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerza la exploración de nuevos

métodos para atacar el problema.

2.2.1.2.3. Elementos

Krulik y Rudnik, “Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se

enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un

medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma”.

De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos

siguientes:

1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema.

2) Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales no funcionan.

3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos

métodos para atacar el problema.

Borasi, en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema utiliza los

siguientes elementos estructurales:

• El contexto del problema.

• La formulación del problema. Definición.

• El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema.

• El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.

2.2.1.2.4 Clasificación

No existe un único criterio ni una sola clasificación de problemas de matemáticas. Existen

diferentes clasificaciones que pueden servir de ayuda para recordar la variedad de

problemas que debieran ser tratados en las aulas de Matemáticas de los distintos niveles

educativos. Los criterios y tipos más importantes son los siguientes.

CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN. Los problemas se pueden distinguir, entre otros, por:

Su ámbito o entorno en el que aparecen: escolares, no escolares (cotidianos,

laborales, etc.)

Su estructuración (si está o no organizada la información, si es explícita,

accesible, etc.): desde nada o poco estructurados (en un extremo se encuentran los

problemas de modelización matemática (situaciones de la vida real) o los juegos)

hasta muy estructurados (problemas de enunciado verbal escolares con solución

única (libros de texto)).

Su presentación: con enunciado verbal o sin enunciado verbal (problemas

manipulativos con un material didáctico o una situación cotidiana o una reflexión

personal).

Los problemas de enunciado verbal, a su vez, se pueden distinguir por:

o Su estructura semántica: significados asociados al contexto a que se refiere el

enunciado: cambio, combinación, comparación, etc.

o Su estructura sintáctica: en el sentido gramatical (verbo, sujeto, etc.) y lógico

del enunciado.

Su solución: única, múltiple o sin solución

Su proceso de resolución: o cerrados (proceso determinado y finito) y abiertos

(proceso indeterminado o indefinido o infinito (algunos problemas de

investigación, los juegos de grupo)); o de una etapa o de varias etapas o de una o

varias operaciones combinadas.

Otros: de investigación, aplicados, etc.

Pero, de entre las varias perspectivas posibles, los problemas conviene clasificarlos por la

naturaleza de la solución en “cerrados” y “abiertos” (R.M. Garret, 1995).

Problemas cerrados

Se consideran problemas cerrados aquellos que tienen una solución única; son objetivos; a

veces hay un algoritmo de trabajo que garantiza la respuesta o requieren de un

conocimiento específico o técnica para su solución. Los problemas cerrados se caracterizan

por expresar lo dado y lo buscado con suficiente exactitud. En general, la mayoría de los

problemas propuestos en los textos escolares presentan esta estructura.

Problemas abiertos

Los problemas abiertos son los que tienen varias posibles soluciones; son subjetivos; sólo

podemos hallar su mejor respuesta; la heurística puede guiar la reflexión y requieren de

una amplia gama de información. En estos problemas la situación inicial y/o meta a

alcanzar no se precisan con suficiente claridad. Por este motivo, tales problemas son

susceptibles de diferentes interpretaciones o diferentes respuestas aceptables (Pehkonen

1995, citado en Cruz 2002).

Los problemas abiertos se aproximan mucho a lo que sucede en la vida real; hay que hacer

consideraciones para la respuesta, pues no se da toda la información necesaria. Por este

motivo, suelen denominarse “problemas sin los datos necesarios”.

2.2.1.2.5 Características:

Los problemas pueden tener una o varias soluciones y en muchos casos existen diferentes

maneras de llegar a ella(s). Cuando un alumno o un grupo se implica en esta actividad, se

vuelca en ella, muestra entusiasmo y desarrolla su creatividad personal. Es frecuente

manifestar cierto nivel de satisfacción al descubrir el camino que le conduce al resultado

final como fruto de la investigación llevada a cabo. El tiempo que se dedica a la resolución

de un problema es bastante mayor que el que lleva la realización de un ejercicio. Un

problema presenta las siguientes características:

Suponen un reto.

La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que se poseen, para

rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada.

Para resolver requieren más tiempo para su resolución.

La persona que se implica en la resolución lo hace emocionalmente. El bloqueo

inicial, debido a que la situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y

perseverancia por encontrar la solución y, por último, al grado de satisfacción una

vez que esta se ha conseguido

Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas.

Suelen ser escasos en los libros de texto.

Por último es muy importante que, cuando vayamos a trabajar problemas con los alumnos,

les propongamos unas actividades con las que puedan sentirse retados según sus

capacidades matemáticas. De este modo podrán experimentar el gusto por la investigación

y el descubrimiento de la solución a la situación planteada.

Este tipo de pensamiento tiene (según Resnick, citado por Gómez y Carulla)

características tales como las siguientes:

• Es no-algorítmico en el sentido de que el camino para la acción no está completamente

especificado con anterioridad.

• Es complejo en tanto que el camino total no es “visible” desde un único

punto de vista.

• Con frecuencia da lugar a soluciones múltiples, cada una con costos y

beneficios.

• Hay incertidumbre puesto que en principio no se conoce todo lo que se

requiere para desarrollar la tarea.

• Se requiere de mecanismos propios de regulación.

• Se requiere gran cantidad de trabajo mental con el propósito de desarrollar

las estrategias y los criterios involucrados.

2.2.1.3La resolución de problemas en el enfoque matemático

Las rutas de aprendizaje menciona que la resolución de problemas como expresión

adquiere diversas connotaciones, ya que puede ser entendida como una competencia que

implica un proceso complejo; una capacidad, que involucra movilizar conocimientos y

procesos de resolución para un fin de aprendizaje más superior; una estrategia en la

característica que muestra fases y procesos que le dan identidad respecto a otras

estrategias. Al respecto, a continuación expresaremos la resolución de problemas como un

enfoque, que orienta y da sentido a la educación matemática, en el propósito que se

persigue de resolver problemas en el "Actuar y pensar matemáticamente" para orientar el

proceso de la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

En nuestro sistema educativo, este enfoque de resolución de problemas orienta la

actividad matemática en la escuela, de tal manera que le permite al estudiante situarse en

diversos contextos para crear, recrear, investigar y resolver problemas; involucrando

la prueba de diversos caminos de resolución, el análisis de estrategias y formas de

representación, la sistematización y comunicación de los nuevos conocimientos, entre

otros.

Los rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes:

La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos,

pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los estudiantes

desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemático, si le

encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad

matemática con situaciones de diversos contextos.

La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y

capacidades matemáticas. Es a través de la resolución de problemas, que los

estudiantes desarrollan competencias matemáticas y capacidades matemáticas.

La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución de

problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos

matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren

procedimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre experiencias,

conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas.

Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes; es

decir, deben ser interesantes y constituir desafíos genuinos para los estudiantes, que

los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.

Finalmente, desde la mirada de Lesh&Zawojewski (2007), la resolución de problemas

implica la adquisición de niveles crecientes de capacidad en la solución de problemas por

parte de los estudiantes, lo que les proporciona una base para el aprendizaje futuro, para la

participación eficaz en sociedad y para conducir actividades personales. Los estudiantes

necesitan aplicar lo que han aprendido en nuevas situaciones. El estudio centrado en la

resolución de problemas por parte de los estudiantes proporciona una ventana en sus

capacidades para emplear el pensamiento y otros acercamientos cognoscitivos generales,

para enfrentar desafíos en la vida.

Este enfoque consiste en promover formas de enseñanza- aprendizaje que den respuesta a

problemas emergentes de contextos reales. En este sentido, promueve que el estudiante

desarrolle tareas y actividades matemáticas, basadas en planteamientos problemáticos los

cuales llevan una progresiva dificultad, movilizan demandas cognitivas crecientes en los

estudiantes, con pertinencia a los espacios que tienen una implicancia social, cultural,

económica, etc.

Busca que los estudiantes valoren y aprecien el conocimiento matemático. Por eso

propicia que descubran cuan significativo y funcional puede ser ante una situación

problemática precisa de la realidad. Así pueden descubrir que la matemática es un

instrumento necesario para la vida, que aporta herramientas para resolver problemas con

mayor eficacia, y que permite, por lo tanto, encontrar respuestas a sus preguntas, acceder

al conocimiento científico, interpretar y transformar el entorno.

2.2.1.4 Modelo de Resolución de problemas

Existen muchos enfoques en la resolución de problemas dado el gran número de autores

que han realizado estudios e investigaciones en este tema. La preocupación por conseguir

buenos resolutores ha llevado a determinar diferentes fases en el proceso de resolución.

George Polya (1949) estableció cuatro etapas que después sirvieron de referencia

para muchos planteamientos y modelos posteriores, en los que se fueron añadiendo nuevos

matices, si bien el esquema básico de todos ellos se mantiene.

2.2.1.4.1 Modelo de George Polya

Aprender la respuesta de un problema no proporciona una idea cabal del proceso de

resolución ya que siempre queda pendiente un paso, a partir del cual se generan varios

interrogantes. El estudiante identifica este importante paso al reflexionar sobre la forma

que se llega a la solución del problema.

La obra de Polya explota la inquietud que todos poseemos por descubrir y pone en juego

las facultades inventivas para resolver problemas. Está basado en un estudio profundo en

los métodos de solución llamado método heurístico. Que permite o presenta un nuevo

aspecto de las matemáticas, como un proceso de invención como ciencia experimental e

inductiva, proporcionando no la solución esteriotipada de los problemas, sino de los

procedimientos originales de cómo se llegó a los procesos de solución, es decir, da los

caminos para resolver los problemas y dispone los elementos del pensamiento de tal

manera que intuitivamente actúen cuando se presenten un problemas sin resolver.

Creado por George Pólya, este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas

que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede tener

un problema. Es decir, el plan muestra cómo atacar un problema de manera eficaz y cómo

ir aprendiendo con la experiencia.

La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus propios métodos de

pensamiento, de forma sistemática, eliminando obstáculos y llegando a establecer hábitos

mentales eficaces; lo que Pólya denominó pensamiento productivo.

Pero seguir estos pasos no garantizará que se llegue a la respuesta correcta del problema,

puesto que la resolución de problemas es un proceso complejo y rico que no se limita a

seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución como si fuera un algoritmo.

Sin embargo, el usarlos orientará el proceso de solución del problema. Por eso conviene

acostumbrarse a proceder de un modo ordenado, siguiendo los cuatro pasos.

Fases y preguntas del Plan de Pólya.

2.2.1.4.1 Fase 1: Comprender

Implica entender tanto el texto como la situación que nos presenta el problema, diferenciar

los distintos tipos de información que nos ofrece el enunciado y comprender qué debe

hacerse con la información que nos es aportada, etc.

Podríamos considerar el texto de los enunciados matemáticos como una tipología

particular en la que se expresa la situación a resolver pero no el modo de llevarla a cabo.

Su descubrimiento forma parte del trabajo del resolutor, el cual debe decodificar el

mensaje contenido en el enunciado y trasladarlo a un lenguaje matemático que le permita

avanzar en el proceso de resolución. De aquí se deduce que las dificultades que pueden

aparecer en la comprensión del enunciado de un problema son diferentes de las que surgen

en la comprensión de un texto de otra índole.

Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mucho

cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada.

Para eso, se puede responder a preguntas como:

- ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?

- ¿Cuál es la incognita?

- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?

- ¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama?

- ¿Es posible estimar la respuesta?

2.2.1.4.2 Fase 2: Planificar

En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido,

relacionando los datos del problema. Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver el

problema. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final. Hay

que elegir las operaciones e indicar la secuencia en que se debe realizarlas. Estimar la

respuesta

Es la parte fundamental del proceso de resolución de problemas. Una vez comprendida la

situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento

de planificar las acciones que llevarán a ella. Es necesario abordar cuestiones como para

qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos,

qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder.

Es muy importante enunciar la planificación por escrito, de forma clara, simplificada y

secuenciada. Servirá, además de para controlar el proceso de resolución por parte del

alumno, para que el profesor conozca el pensamiento matemático desarrollado durante la

ejecución de la tarea. En esta fase puede ser útil el uso de esquemas que ayuden a clarificar

la situación a resolver, así como el proceso a seguir. Del mismo modo puede ser práctico

recordar si se han abordado con anterioridad problemas similares y qué metodología se

siguió.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

- ¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo?

- ¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una notación

apropiada.

- ¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los

conceptos esenciales incluidos en el problema?

- ¿Se puede resolver este problema por partes?

- Intente organizar los datos en tablas o gráficos.

- ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?

- ¿Cuál es su plan para resolver el problema?

2.2.1.4.3 Fase 3: Ejecutar

Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden establecido,

verificando paso a paso si los resultados están correctos. Se aplican también todas las

estrategias pensadas, completando –si se requiere– los diagramas, tablas o gráficos para

obtener varias formas de resolver el problema. Si no se tiene éxito se vuelve a empezar.

Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Según Dante2, “El énfasis que debe ser dado aquí es a la habilidad del estudiante en

ejecutar el plan trazado y no a los cálculos en sí. Hay una tendencia muy fuerte (que

debemos evitar) de reducir todo el proceso de resolución de problemas a los simples

cálculos que llevan a las respuestas correctas”.

Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. Es

necesaria una comunicación y una justificación de las acciones seguidas: primero

calculo…, después…, por último… hasta llegar a la solución. Esta fase concluye con una

expresión clara y contextualizada de la respuesta obtenida

2.2.1.4.4 Fase 4: Comprobar

En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo en

cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras

estrategias diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el

contexto del problema original.

Un problema no termina cuando se ha hallado la solución. La finalidad de la resolución de

problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este termina cuando el resolutor

siente que ya no puede aprender más de esa situación.

Desde este punto de vista, es conveniente realizar una revisión del proceso seguido, para

analizar si es o no correcto el modo como se ha llevado a cabo la resolución. Es preciso:

Contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida

a la situación planteada.

Reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías, utilizando

otros razonamientos.

Decir si durante el proceso se han producido bloqueos y cómo se ha logrado

avanzar a partir de ellos.

Pensar si el camino que se ha seguido en la resolución podría hacerse extensible a

otras situaciones.

En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de

otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

- ¿Su respuesta tiene sentido?

- ¿Está de acuerdo con la información del problema?

- ¿Hay otro modo de resolver el problema?

- ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver

problemas semejantes?

- ¿Se puede generalizar?

Es preciso destacar que estas etapas no se dan separadas, aisladas entre sí, sino muy

estrechamente unidas con un carácter de espiral, que se expresa en el hecho de quien

resuelve el problema repite en determinados niveles un mismo tipo de actividad que

caracteriza una etapa concreta.

Análisis

En cada fase Pólya propone una serie de reglas y procedimientos heurísticos bastante

sugerentes, pero lo más notorio consiste en que la mayoría van dirigidas a la segunda fase

(concepción del plan) de lo que él denominó su “lista”.

Estas fases caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña

de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía

para la acción. Los trabajos de Pólya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento

de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Esta propuesta indica una coincidencia estructural esencialmente formal entre los distintos

modelos de resolución de problemas y apunta a consideraciones básicas comunes a todos

los problemas. Sin embargo, estas reglas eran “más descriptivas que prescriptibles”, por

cuanto no se detalla lo suficiente cuándo hacer uso de ellas (Schoenfeld, 1992, citado en

Cruz, 2002).

Los siguientes trabajos de resolución de problemas se han proyectado a la búsqueda de

otros modelos y propuestas más actuales para reforzar la resolución de problemas. No

obstante, se estima que el modelo de G. Pólya y sus etapas, están presentes de una forma u

otra en modelos posteriores y es susceptible a ser enriquecido con nuevos elementos, sin

perder la vigencia de su propuesta.

2.2.2. Ecuaciones cuadráticas

2.2.2.1. Sobre el concepto de igualdad y las ecuaciones

El signo “=” (igual) indica que lo se encuentra a la izquierda de este signo, es el primer

miembro de la igualdad, y lo que se encuentra a la derecha de este signo, es el segundo

miembro de la igualdad, son dos maneras de designar al mismo objeto, o dos escrituras

diferentes del mismo.

Si la igualdad es verdadera sólo para ciertos valores de las variables se trata de una

ecuación.

Plantear una ecuación es traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, relacionando

aspectos susceptibles de medición que pueden tomar diferentes valores que se denominan

variables, normalmente se identifican con las últimas letras del alfabeto x,y,z; éstas a su

vez pueden ser afectadas por operaciones aritméticas como: adición, sustracción,

multiplicación, división, radicación o potenciación.

2.2.2.2 Sobre el concepto de ecuación

Una ecuación es una proposición que dice que una expresión o cantidad es igual a otra.

Por ejemplo: 4 + x = 9

Esta proposición es una la combinación de números, variables, operaciones vinculadas

con una relación de igualdad, en donde al menos una variable es desconocida y se

denomina incógnita.

2.2.2.3 Sobre el concepto de ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella ecuación en la que la incógnita está

elevada a la segunda potencia, su forma general es:

ax2 + bx + c = 0 donde a≠ 0

Al igual que las ecuaciones lineales tiene ciertas características propias como su gráfica,

es una parábola y tiene dos soluciones.

2.2.2.4. Solución de una ecuación cuadrática

Para resolver ecuaciones cuadráticas aplicamos la siguiente fórmula:

X =

Donde:

a: es el coeficiente de x2 en la ecuación.

b: es el coeficiente de x en la ecuación.

c: es el término independiente

Por lo tanto, para resolver una ecuación cuadrática, bastará reemplazar los coeficientes

(con su signo) en la fórmula general. Si en algún caso la cantidad dentro de la raíz resulta

un número negativo, esa ecuación no tendrá solución en el conjunto de números reales y el

conjunto solución será el conjunto vacío.

2.2.2.5 Métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas

Para resolver ecuaciones cuadráticas identificamos tres principales métodos:

a) Por factorización: consiste en transformar la ecuación a factores (operación principal

multiplicación) de forma que al igualarlos a cero se pueda obtener los valores para x.

Ejemplo:

x2 + 7x + 12 = 0

Desarrollo Procedimientox2 + 7x + 12 = 0 Ecuación en su forma general

(x+4) (x+3) Equivalencia en factores, 2 números que

multiplicados sean c y sumados b(x+4) = 0 → x1= -4(x+3) = 0 → x2= -3

Igualar cada factor a 0 y obtengo los valores de x.

b) Completar el trinomio al cuadrado: toda ecuación cuadrática puede pasar a la forma

ax2 + bx = -c al sumar el termino (b/2) 2 a los dos lados de la igualdad uno de ellos se

transforma en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es fácil de resolver por

factorización.

c) Formula general: Toda ecuación cuadrática es susceptible de resolver a través de

la formula general; para ello se debe pasar la

ecuación a la forma general, identificando primero los coeficientes a, b y c, luego

reemplazamos en la fórmula general y finalmente obtener los valores de x.

Aplicando este método el número de soluciones de la ecuación se podrá obtener al

encontrar al encontrar el discriminante b2 – 4ac con los siguientes valores:

∆=b2 – 4ac >0 La ecuación tendrá dos soluciones diferentes.

∆= b2 – 4ac = 0 La ecuación tendrá una única solución.

∆= b2 – 4ac <0 La ecuación no tiene soluciones.

Ejemplo:

X2 + 7x + 12=0

Resolviendo:

x=−7+√(7 )2−4 (1 ) (12 )

2, x=−7+√1

2 , x= -3

x=−7−√¿¿¿, x=−7−√12

, x= -4

La ecuación tiene dos soluciones diferentes x1 = -3 y x2= -4

2.2.2.6 Comprobación de la solución de una ecuación cuadrática

Una ecuación estará resuelta cuando se encuentra los valores de la incógnita que satisface

la igualdad, por ello es importante su comprobación; para ello reemplazar los valores

obtenidos y comprobar que son los valores que satisfacen la igualdad.

Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones en el conjunto de los números reales,

por ejemplo la ecuación x2 = -16, en estos casos las soluciones están dadas en el conjunto

de números complejos, que permite hallar la solución a este tipo de ecuaciones.

2.2.3 Función

Una función es, en matemática, el término usado para indicar la relación de

correspondencia o dependencia entre dos o más cantidades. La dependencia se encuentra

ligada a la variación y variable. Se considera, pues, que los principales elementos de las

funciones son la variación, dependencia y correspondencia.

Se llama función entre los elementos de A y B a la relación de A en B f: A → B tal que:

Todos los elementos de A están relacionados con elementos de B, es decir,

∀a ϵ A, ∃ b ϵ B / (a;b) ϵ f

Cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B es decir,

Si (a;b1) ϵ f ˄ (a;b2) ϵ f b1 = b2

2.2.3.1 términos básicos de una función

Relación: Es la correspondencia entre dos conjuntos, de modo que a cada miembro del

conjunto de partida le correspondan uno o más miembros del conjunto de llegada.

Dominio: elementos del conjunto de partida que se corresponden por lo menos con un

elemento del conjunto de llegada.

Rango: elementos del conjunto de llegada que se corresponde con un elemento del

conjunto de partida.

variable independiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del

dominio.

Variable dependiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del

rango.

2.2.3.2 Definición de función cuadrática

Las funciones cuadráticas son funciones en las que aparece la variable independiente (x)

elevada al cuadrado, es aquella que tiene la forma o puede ser llevada a la forma:

f: A → B, f(x) =ax2 +bx + c, donde A y B son subconjuntos de IR

a,b,c∈IR, a ≠ 0

2.2.3.3 Representación gráfica de una función cuadrática

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Dependiendo de los valores que puedan tomar a, la función cuadrática puede variar su

forma:

I) Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.

II) Si: a< 0 la parábola se abre hacia abajo.

Caso I: cuando a > 0

Caso II: cuando a< 0

Caso II: cuando a ¿ 0

Los la trayectoria de los chorros de agua en esta fuente es un buen ejemplo de la gráfica de una función cuadrática.

2.2.3.4 Gráfica por intersección de ejes

a) interceptación de una parábola con el eje “x”

Si en la función: Y= ax2 + bx + c con a ≠ 0 hacemos que y = 0

De esta forma llegamos a obtener una ecuación de segundo grado en “x”. Para hallar la

solución o soluciones de esta ecuación aplicamos la formula general.

Donde:

∆= discriminante = b2 – 4ac

De esta fórmula se desprende tres situaciones:

Caso 1: Si b2 – 4ac > 0 es positiva, entonces la ecuación tendrá dos soluciones

Intercepta los dos puntos al eje “x”

Caso 2: Si b2 – 4ac =0 entonces la ecuación tendrá una solución.

Intercepta en un punto al eje “x”

Caso 3: cuando b2 – 4ac < 0es negativa, entonces la ecuación no tendrá solución.

No intercepta al eje “x”

2.2.3.5 Vértice de la parábola:

En la función: y = ax2 + bx + C con a ≠ 0;

Si la parábola que se describe es abierta hacia abajo, entonces la función tendrá un vértice

máximo y por otro lado, si la parábola es abierta hacia arriba, entonces la función tendrá

un vértice mínimo.

I: si: a > 0 tendrá mínimo

El vértice de la parábola se determinará: V = (h,k)

Donde:

h= (−b2 a ) ˄ k= f (h)

II: si: a < 0 tendrá máximo

El vértice de la parábola: v= (h;k)

h= (−b2 a ) ˄ k= f (h)

Además: Ran(f) = y ϵ ] –∞ ; k]

El valor máximo de la función = k, cuando x=h

2.2.4 COMPETENCIAS Y CAPACIDADES EN LA RUTAS DE APRENDIZAJE

2015

El Proyecto Educativo Nacional plantea transformar nuestras instituciones educativas en

lugares efectivos, agradables e integradores, que ofrezcan una educación básica de calidad,

donde todos los jóvenes logren los aprendizajes fundamentales a que tienen derecho. En

esa perspectiva, la política educativa que viene implementando el Ministerio de Educación

ha considerado como una de sus prioridades la mejora de los aprendizajes matemáticos.

Necesitamos ampliar y consolidar el desarrollo de competencias y capacidades

matemáticas que son reconocidas en todos los sistemas educativos del mundo, como una

de los pilares del desarrollo de las sociedades en el siglo XXI.

La educación matemática, declara a la dinámica actual del desarrollo de nuestra sociedad,

representa una actividad humana que afronta cada día nuevos retos y oportunidades. Han

surgido en nuestra época nuevos enfoques y paradigmas en todas las formas de aprender y

desarrollar las matemáticas, que están induciendo a la Educación matemática a enfrentar

con otros ojos situaciones inevitables, derivadas de los avances científicos y tecnológicos,

con sus consiguientes cambios de concepción y mentalidad. Las sociedades tienden a ser

más dinámicas y competitivas, aunque a la vez más desiguales, demandando de nuestras

nuevas generaciones una mejor preparación para afrontar retos personales, sociales y de

grupo como país. En ese sentido, necesitamos transitar como país a una situación de mayor

acceso, manejo y aplicación de conocimientos, donde la educación matemática se

convierte en un valioso factor de su desarrollo económico, científico, tecnológico y social.

Insertarnos en la sociedad del conocimiento implica propiciar en todos los ciudadanos un

rol activo, crítico, creativo y emprendedor, así como oportunidades para aprender a hacer

uso de sus capacidades de forma pertinente a los distintos contextos que deben afrontar

(UNESCO, 2005). Por las consideraciones señaladas, la educación matemática peruana, en

el presente y en el futuro inmediato, requiere centrar sus esfuerzos en promover el

desarrollo de competencias y capacidades para aprender a aprender matemática y así

puedan ir avanzando e integrándose al ritmo con el que caminan las otras dimensiones de

la vida social.

Nuestros adolescentes necesitan enfrentarse a retos que demanda la sociedad, con la

finalidad de que se encuentren preparados para superarlos, tanto en la actualidad como en

el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a

que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual

involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y

conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de una matemática

para la vida y el trabajo.

Los estudiantes a lo largo de la Educación Básica Regular desarrollan competencias y

capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar

conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo,

haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la

información o las herramientas que tenga disponibles y considere pertinentes a la situación

(Minedu 2014). Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de

aprendizajes en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se

describen como el desarrollo deformas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas

situaciones.

Según Freudenthal (citado por Bressan

2004), el actuar matemáticamente

consistiría en mostrar predilección por:

Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus

conclusiones; es decir, para describir elementos concretos, referidos a

Contextos específicos de la matemática, hasta el uso de variables

convencionales y lenguaje funcional.

Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en

este aspecto es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.

Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema

dado.

Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y

abstenerse de usar la matemática cuando esta no es aplicable.

Tratar la propia actividad como materia prima para la reflexión, con miras a

alcanzar un nivel más alto de pensamiento.

De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades mentales

u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de significado a lo

que le rodea, resolver un problema usando conceptos matemáticos, tomar una decisión o

llegar a una conclusión, en los que están involucrados procesos como la abstracción,

justificación, visualización, estimación, entre otros .

Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la base de

cuatro situaciones. La definición de estas cuatro situaciones se sostiene en la idea de que la

matemática se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los

fenómenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados

procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD 2012).

Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la base de

cuatro situaciones. La definición de estas cuatro situaciones se sostiene en la idea de que la

matemática se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los

fenómenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados

procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD 2012). En este

sentido, la mayoría de países han adoptado una organización curricular basada en estos

fenómenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y

conceptos matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo, fenómenos como la

incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser

abordados con estrategias y herramientas matemáticas relacionadas con la probabilidad.

Asimismo, fenómenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados

desde el álgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmética o

los números; las de formas, desde la geometría.

Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar

matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio;

forma, movimiento y localización; gestión de datos e incertidumbre.

Por tanto, las cuatro competencias matemáticas atienden a estas situaciones y se describen

como actuar y pensar matemáticamente, lo que debe entenderse como usar la matemática

para describir, comprender y actuar en diversos contextos; siendo una de las características

en ellas el plantear y resolver problemas

2.2.3.2.Capacidadesmatemáticas

a)Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

En nuestra sociedad actual, la utilidad que tienen los números y datos es prácticamente

infinita. Estamos bombardeados por titulares que utilizan medidas cuantitativas para

reportar aumentos de precios, los riesgos de ser propensos a una enfermedad, y el número

de personas afectadas por desastres naturales. Los anuncios publicitarios utilizan números

para competir en ofertas de telefonía celular, para promocionar bajo interés en préstamos

personales, de pequeña empresa, hipotecarios etc. En el ámbito técnico profesional, los

agricultores estudian mercados donde ofertar sus productos, analizan el suelo y controlan

cantidades de semillas y nutrientes; las enfermeras utilizan conversiones de unidades para

verificar la exactitud de la dosis del medicamento; los sociólogos sacan conclusiones a

partir de datos para entender el comportamiento humano; los biólogos desarrollan

algoritmos informáticos para mapear el genoma humano; los empresarios estudian los

mercados y costos del proyecto utilizando las TIC.

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad implica

desarrollar modelos de solución numérica, comprendiendo el sentido numérico y de

magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación de

diversas estrategias de cálculo y estimación al resolver un problema humano; los biólogos

desarrollan algoritmos informáticos para mapear el genomahumano; los empresarios

estudian los mercados y costos del proyecto utilizando las TIC.

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad implica

desarrollar modelos de solución numérica, comprendiendo el sentido numérico y de

magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación de

diversas estrategias de cálculo y estimación al resolver un problema.

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas las que se

interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante.

Esto involucra la comprensión del significado de los números y sus diferentes

representaciones, propiedades y relaciones, así como el significado de las operaciones y

cómo estas se relacionan al utilizarlas en contextos diversos.

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos permite

reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos. Treffers (citado

por Jan de Lange 1999) hace hincapié en la importancia de la capacidad de manejar

números y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican procesos mentales

y de estimación en contextos del mundo real.

Por su parte, The International LifeSkillsSurvey (PolicyResearchInitiativeStatisticsCanada

2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de habilidades, conocimientos,

creencias, disposiciones, hábitos de la mente, comunicaciones, capacidades y habilidades

para resolver problemas que las personas necesitan para participar eficazmente en

situaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo”.

Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes

Asociados a la idea de cantidad, siendo algunas características las siguiente :

Conocer los múltiples usos que les damos.

Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de cantidades.

Comprender y usar los números en sus variadas representaciones.

Emplear relaciones y operaciones basadas en números.

Comprender el Sistema de Numeración Decimal.

Utilizar números para expresar atributos de medida reconocidas en el mundo real.

Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes

b) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,

equivalencia y cambio.

En nuestro alrededor se manifiestan diversos fenómenos que tienen características de

cambio, pudiéndose reconocer, por ejemplo, cómo ciertos organismos van variando a

medida que crecen, el movimiento de flujo y reflujo de las mareas, los ciclos de

empleabilidad en un sistema económico, los cambios climáticos regidos por las estaciones,

fluctuaciones bursátiles, el cambio de temperatura a lo largo del día, crecimiento de la

población respecto al tiempo (años), tiempo de distribución de un producto, costo para

inmunizar al “x” por ciento de una población contra una epidemia, velocidad de un móvil

en movimientos uniformemente acelerados o retardados, recibos de la luz, agua o teléfono

en función del gasto, el movimiento de un cuerpo en el espacio, o cómo ha evolucionado

en los últimos años la preferencia del público

frente a un producto con determinada

campaña publicitaria.

En este sentido, aprender progresiones, ecuaciones y funciones relacionadas a estas

situaciones desarrolla en el estudiante una forma de comprender y proceder en diversos

contextos haciendo uso de la matemática.

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,

equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretación y

generalización de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y la

comprensión y el uso de relaciones y funciones. Toda esta comprensión se logra usando el

lenguaje algebraico como una herramienta de modelación de distintas situaciones de la

vida real.

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas, que se

interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra

desarrollar modelos expresando un lenguaje algebraico, emplear esquemas de

representación para reconocer las relaciones entre datos, de tal forma que se reconozca un

regla de formación, condiciones de equivalencia o relaciones de dependencia, emplear

procedimientos algebraicos y estrategias heurísticas para resolver problemas, así como

expresar formas de razonamientos que generalizan propiedades y expresiones algebraicas.

Lo expuesto muestra la necesidad de reconocer la manifestación de cambio enfenómenos

reales, en los que es posible identificar dos o más magnitudes y estudiar la forma como

varían para tener una comprensión y control de ellos a partir de establecer relaciones

permanentes o temporales entre dichos fenómenos.

De acuerdo con el Dr. Cantoral, este aprendizaje es parte del pensamiento matemático

avanzado y comprende las relaciones entre la matemática de la variación y el cambio, por

un lado, y los procesos del pensamiento, por el otro. Implica la integración de los dominios

numéricos, desde los naturales hasta los complejos, conceptos de variable, función,

derivada e integral; asimismo sus representaciones simbólicas, sus propiedades y el

dominio de la modelación elemental de los fenómenos del cambio.

(Dolores, Guerrero, Martínez y Medina 2002: 73).

Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes

asociados a la idea de patrones, equivalencia y cambio. Son algunas características:

1. Comprender las regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los

propiamente matemáticos.

2. Expresar patrones y relaciones usando símbolos, lo que conduce a procesos de

generalización.

3. Comprender la igualdad o desigualdad en condiciones de una situación.

4. Hallar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones

algebraicas.

5. Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.

6. Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo

real, con la finalidad de resolver un problema o argumentar predicciones

c) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y

localización

A diario, en nuestro entorno cotidiano se nos presentan diversas oportunidades para

enfrentarnos a problemas espaciales. A través de estas, vamos construyendo un conjunto de

referencias que nos permiten ubicarnos y ubicar cuerpos. Así, por ejemplo, montar una

bicicleta, ajustar una pieza de mobiliario, ordenar un equipo de música o poner un

ventilador de techo involucra retos como reconocer instrucciones, palabras que expresan

referentes de dirección de arriba y abajo, adelante y atrás, etc., objetos físicos entre otros.

Asimismo, muchos descubrimientos clásicos y procedimientos cotidianos de la ciencia se

basan en gran parte en el reconocimiento de formas y cuerpos geométricos, por ejemplo,

uno de los grandes descubrimientos de la ciencia moderna, el modelo de la doble hélice de

Watson de la estructura del ADN. Otro aspecto a considerar es que, en las últimas décadas,

se está experimentando una abundancia de información con el apoyo de tecnologías:

sensores (como sismógrafos e hidrófonos de alta resolución), dispositivos (como el mar

profundo y las tecnologías de perforación de núcleos de hielo), satélites de muestreo

(incluyendo imágenes multiespectrales y sistemas deposicionamiento global GPS), y

plataformas (tales como el telescopio Hubble y el sumergible Alvin). Esto ha involucrado

el desarrollo y la práctica de pensamiento espacial; por ejemplo, mapas, técnicas de

análisis (análisis de superficie de tendencia), y sistemas de representación (diagramas

espectrales).

En este sentido, aprender geometría relacionada a estas situaciones desarrolla en el

estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso de la

matemática. La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma,

movimiento y localización implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación

en el espacio, la interacción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y

cómo estas se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver

diversas problemas.

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas, que se

interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra

desarrollar modelos expresando un lenguaje geométrico, emplear variadas representaciones

que describan atributos de forma, medida y localización de figuras y cuerpos geométricos,

emplear procedimientos de construcción y medida para resolver problemas, así como

expresar formas y propiedades geométricas a partir de razonamientos.

Investigaciones en el campo de la didáctica de la geometría, Villiers (1999), Moreno

(2002), Duval (1998), Herscowitz y Vinner (1987), han llevado a reconocer que el

aprendizaje de la geometría es un proceso complejo que pone en tensión ciertos polos del

desarrollo cognitivo:

Los procesos cognitivos de visualización, así Gutiérrez (1996) en relación a la

enseñanza de la geometría define la visualización como la actividad de

razonamientobasada en el uso de elementos visuales o espaciales.

Los procesos de justificación de carácter informal o formal. “El estudio

delrazonamiento está constitutivamente ligado al estudio de la argumentación”

(Godino y Recio, citados por Bressan 1998).

Los procesos de dar significado a los objetos y propiedades geométricas.

Los dominios empíricos y teóricos de la geometría, a través del desarrollo de

habilidades de dibujo y construcción.

Lo expuesto anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes

asociada a la idea de formas, posición y movimiento. Algunas características son:

Usar relaciones espaciales al interpretar y describir en forma oral y gráfica

trayectos y posiciones para distintas relaciones y referencias.

Construir y copiar modelos hechos con formas bidimensionales y tridimensionales.

Expresar propiedades de figuras y cuerpos según sus características para que los

reconozcan o los dibujen.

Explorar afirmaciones acerca de características de las figuras y argumentar sobre su

validez.

Estimar, medir efectivamente y calcular longitudes, capacidades y pesos usando

unidades convencionales.

d) Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e

incertidumbre

Nos encontramos en la actualidad en un contexto de una sociedad cambiante e

impredecible, en la que estamos avanzando a pasos agigantados tanto en el desarrollo de la

ciencia como la tecnología, por ello contamos con las TIC, cada vez más potentes,

reconocemos sistemas de transporte y procesos de comunicación altamente eficientes, lo

que ha traído como consecuencia que estamos enfrentados a un mundo saturado de

información y datos. Es en este contexto en que nos ha tocado vivir, que nos sentimos

inseguros sobre cuál es la mejor forma para tomar decisiones; por ejemplo, nos

enfrentamos a resultados electorales inciertos, ciertas edificaciones colapsan, se

manifiestan caídas en los

mercados de valores, tenemos condiciones meteorológicas cuyas previsiones no son

fiables, predicciones de aumento o disminución del crecimiento de la población, los

modelos económicos que no muestran una constante y, por tanto no expresan una

linealidad, y muchas otras manifestaciones de la incertidumbre de nuestro mundo.

En este sentido, aprender estadística relacionada a estas situaciones desarrolla en el

estudiante una forma de comprender y proceder en diversos contextos haciendo uso de la

matemática.

La competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e

incertidumbre implica desarrollar progresivamente las formas cada vez más especializadas

de recopilar, el procesar datos, así como la interpretación y valoración de los datos, y el

análisis de situaciones de incertidumbre.

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas que se

interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, esto involucra

desarrollar modelos expresando un lenguaje estadístico, emplear variadas representaciones

que expresen la organización de datos, usar procedimientos con medidas de tendencia

central, dispersión y posición, así como probabilidad en variadas condiciones; por otro

lado, se promueven formas de razonamiento basados en la estadística y la probabilidad

para la toma de decisiones

Investigaciones en el campo de la estadística, como Holmes (1980), destacan que la

estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos, pues

precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos

que aparecen con frecuencia en medios informativos. Para Watson (2002), el pensamiento

estadístico es el proceso que debería tener lugar cuando la metodología estadística se

encuentra con un problema real.

El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en “estadísticos aficionados”,

puesto que la aplicación razonable y eficiente de la estadística para la resolución de

problemas requiere un amplio conocimiento de esta materia y es competencia de los

estadísticos profesionales. Tampoco se trata de capacitarlos en el cálculo y la

representación gráfica, ya que los ordenadores hoy día resuelven este problema. Lo que se

pretende es proporcionar una cultura estadística, “que se refiere a dos componentes

interrelacionados:

a) capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los

argumentos apoyados en datos o los fenómenos estocásticos que las personas pueden

encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no

limitándose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a

tales” (Gal citado por Batanero y otros 2013)

Desarrollar una comprensión de los conceptos básicos de probabilidad y estadística,

sus alcances y limitaciones, la confianza y la experiencia, escribir y hablar de ellos.

Interpretar información estadística presentada en una variedad de formas y para

comunicar su interpretación por informe escrito u oral.

Apreciar que los datos son adecuados para el análisis estadístico, se aplican

técnicas pertinentes y ser capaz de hacer deducciones e inferencias sobre la base de

ellos.

Desarrollar la confianza y la capacidad para llevar a cabo una investigación

práctica.

Ser conscientes de la importancia de la información estadística en la sociedad.

Adquirir una base de conocimientos, habilidades y comprensión adecuada a las

aplicaciones de la probabilidad y la estadística todos los días.

2.2.4.2 CAPACIDADES MATEMÁTICAS

Las capacidades matemáticas se despliegan a partir de las experiencias y expectativas de

nuestros estudiantes, en situaciones problemáticas reales. Si ellos encuentran útil en su vida

diaria los aprendizajes logrados, sentirán que la Matemática tienen sentido y pertinencia.

La propuesta pedagógica para el aprendizaje de la matemática considera el desarrollo de 4

capacidades matemáticas, consideradas esenciales para el uso instrumental de la

Matemática. Éstas sustentan la competencia matemática resolución de problemas y deben

abordarse en todos los niveles y modalidades de la Educación Básica Regular. Estas cuatro

capacidades son las siguientes:

2.2.4.2 .1MATEMATIZA SITUACIONES

Es la capacidad de expresar un problema, reconocido en una situación, en un modelo

matemático. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo

a la situación que le dio origen

Por ello, esta capacidad implica :Reconocer características, datos, condiciones y

variables de la situación que permitan construir un sistema de características

matemáticas conocido como un modelo matemático, de tal forma que reproduzca o

imite el comportamiento de la realidad.

Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las

que puede ser aplicable; ello permite reconocer el significado y la funcionalidad del

modelo en situaciones similares a las estudiadas.

Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado o seleccionado, en

relación a una nueva situación o al problema original, reconociendo sus alcances

limitaciones.

2.2.4.2 .2 Comunica y representa ideas matemáticas

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas en

forma oral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación

con material concreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una

representación a otra

La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido

matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss 2002). Las ideas matemáticas

adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar

de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la

función que cumple en diferentes situaciones.

Por ejemplo, un estudiante puede representar en un diagrama sagital, en una tabla de doble

entrada o en el plano cartesiano, la relación de la cantidad de objetos vendidos con el

dinero recaudado, reconociendo que todas estas representaciones muestran la misma

relación.

El manejo y uso de las expresiones y símbolos matemáticos que constituyen el lenguaje

matemático se van adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción de

conocimientos.

Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y relaciones, los va

expresando de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simbólico y,

finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que permitan expresar con

precisión las ideas matemáticas, las que responden a una convención.

2.2.4.2 .3 ELABORAR Y UTILIZA ESTRATEGIAS

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de

estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y

comunicación, empleándolas de manera flexible y eficaz en el planteamiento y

resolución de problemas, incluidos los matemáticos. Esto implica ser capaz de elaborar

un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el

mismo proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar todo el proceso

de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera

apropiada y óptima.

Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales, que guían el

proceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución de

procedimientos matemáticos, estrategias heurísticas, de manera pertinente y adecuada al

problema planteado.

Por ello, esta capacidad implica:

Elaborar y diseñar un plan de solución.

Seleccionar y aplicar procedimientos y estrategias de diverso tipo (heurísticas, de

cálculo mental o escrito).

Valorar las estrategias, procedimientos y los recursos que fueron empleados; es

decir, reflexionar sobre su pertinencia y si le es útil.

2.2.4.2 .4 RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática

mediante diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), así como el

verificarlos y validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploración de

situaciones vinculadas a la matemática para establecer relaciones entre ideas, establecer

conclusiones a partir de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones

e ideas matemáticas.

Por ello, esta capacidad implica que el estudiante:

Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis.

Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas.

Elabore conclusiones a partir de sus experiencias.

Defienda sus argumentos y refute otros en base a sus conclusiones

2.2.4.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio

Desarrollar esta competencia en el VII ciclo implica que los estudiantes exploren su

entorno y reconozcan en ellas situaciones de variación, en la resolución de problemas de

diversos contextos. Esto involucra tomar como referencia variadas fuentes de información,

como por ejemplo, de informativos periodísticos, revistas científicas, registro de datos y

reconocer en ellas relaciones de regularidad y de cambio.

En este ciclo, cuando manipulen los símbolos en las expresiones de ecuaciones e

inecuaciones, alcanzarán una fluidez en hallar formas equivalentes de las mismas

expresiones o funciones. Asimismo, se les facilita experiencias para elaborar y utilizar

representaciones tabulares, simbólicas, gráficas y verbales lo que ayudará a los estudiantes

a aprender las características de determinadas funciones, por los que se podrá diferenciar y

comparar.

Los estudiantes de este ciclo, al enfrentarse a situaciones significativas vinculadas a

variantes de funciones, propiciarán el reconocimiento de las propiedades de diferentes

tipos de funciones. Por ejemplo, deberían aprender que la función f(x) = x2 - 2x - 3 es

cuadrática, que su gráfica es una parábola y que esta es "abierta hacia arriba" porque el

coeficiente de x2 es positivo. Deberían también llegar a saber que algunas ecuaciones

cuadráticas carecen de raíces reales, y que esta característica corresponde al hecho de que

sus gráficas no corta el eje de abscisas.

Cada vez más, se reconocen noticiosos acerca del cambio. Los estudiantes deberán evaluar

dichas informaciones, por ejemplo, "Bancos incrementan la TEA". Este tipo de estudio en

este ciclo pretende dotar a los estudiantes de una comprensión profunda de las formas en

las que pueden representarse matemáticamente los cambios en las cantidades basadas en

una razón.

Por otro lado, los estudiantes serán conscientes de que al momento de resolver un

problema, desarrollarán un plan coherente de trabajo, de varias etapas, que involucra

organizar el tiempo, recursos y momentos para realizar tareas de investigación sobre

razones de cambio, regularidades en diversos contextos o explorar condiciones de igualdad

y desigualdad, y en ella movilizar estrategias heurísticas y procedimientos algebraicos.

A continuación les presentamos una matriz que muestra de manera integrada el estándar de

aprendizaje (mapa de progreso), así como los indicadores de desempeño de las capacidades

para el desarrollo de la competencia en el ciclo

Estadares de mapas de progresoVI ciclo VII ciclo Destacado

Discrimina información e identifica variables y relacionesno explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos1, progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuacionescon una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este e permitió resolverla. Usa terminologías, reglas y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos;

Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones deregularidades, equivalencias y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones2 con números racionales e irracionales, ecuaciones cuadráticas, sistemasde ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas o trigonométricas3.Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudarona resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas,inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando símbolos, tablas y gráficos. Diseñaun plan de múltiples etapas orientadas

Analiza datos de variadas fuentes de información, definelas variables, relaciones o restricciones de situacionesreferidas a regularidad, equivalencia o cambio; y lasexpresa con modelos referidos a sumatorias notables,sucesiones convergentes o divergentes, idea de límite,funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas, yecuaciones exponenciales. Formula modelos similares alos trabajados y evalúa la pertinencia de la modificaciónrealizada a un modelo, reconociendo sus alcances ylimitaciones. Expresa usando terminologías, reglas yconvenciones matemáticas, relaciones entre propiedadesy conceptos referidos a: los sistemas de inecuacioneslineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas

relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigacióny resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para determinar la reglaGeneral de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias,procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identificadiferencias y errores en las argumentaciones de otros

a la investigacióno resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas y geométricas, hallarla suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos.Juzga la efectividad de la ejecución o modificación del plan.Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades de lossistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.

en tramos. Relaciona representaciones de ideasmatemáticas e identifica la representación más óptima.Diseña un plan orientado a la investigación o la solución deproblemas, empleando un amplio repertorio de recursos,estrategias heurísticas o procedimientos de: interpolar,extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias notables, plantear sistemas deinecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientosde diferentes dominios de la matemática; las justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.1

MATRIZ: ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO5to sec

MATEMATIZA SITUACIONES

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

ELABORA Y USA ESTRATEGIAS

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS

MATEMÁTICAS

Determina relaciones no explícitas en fuentes de información y expresa su regla de formación de una sucesión convergente y divergente.

Examina propuestas relacionadas a la regla de formación de una sucesión convergente y divergente para hacer predicciones de comportamientos o extrapolar datos

• Extrapola términos formados por una progresión geométrica, sucesión convergente y divergente

• Emplea expresiones algebraicas en una progresión geométrica y relaciona representaciones tabulares y gráficas

• Emplea expresiones y conceptos respectoa un sistema de ecuaciones lineales en susdiferentes representaciones..

• Calcula la suma de los infinitos términos

de una progresión geométrica en la que|r|<1.

• Halla el valor de un término de una sucesión convergente, divergente yProgresión geométrica.

• Adapta y combina estrategias heurísticaspara solucionar problemas referidosa progresión geométrica con recursosgráficos y otros.

• Justifica la razón de cambio encontrada en

sucesiones y la utiliza para clasificarlas

• Generaliza características de una sucesiónconvergente y divergente

• Determina relaciones no explícitas en situaciones de equivalencias, al expresar referidos a sistemas de ecuacioneslineales.

• Examina propuestas de modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales pararesolver un problema.

• Compara y contrasta modelos referidos a ecuaciones cuadráticas en problemasafines.

• Reconoce la pertinencia de un modeloreferido a funciones cuadráticas al resolverun problema

• Emplea la representación simbólica de un sistema de ecuaciones lineales para expresar otras representaciones equivalentes

• Expresa que algunas soluciones de ecuacionescuadráticas se muestran a través denúmeros irracionales.

• Reconoce las funciones cuadráticas apartir de sus descripciones verbales, sustablas, sus gráficas o sus representacionessimbólicas.

• Describe la dilatación y contracción gráfica de una función cuadrática.

• Emplea procedimientos matemáticos Y propiedades para resolver problemas de sistema de ecuaciones lineales.

• Halla la solución de una problema de sistemas de ecuaciones lineales identificando sus parámetros.

• Desarrolla y aplica la fórmula generalde la ecuación cuadrática al resolverproblemas.

• Aplica los diferentes métodos de resolución de las ecuacionescuadráticas15.

• Analiza y explica el razonamiento aplicadopara resolver un sistema de ecuacioneslineales.

• Justifica la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadráticareconociendo elDiscriminante.

• Generaliza utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las

coordenadas de los vértices de las funciones cuadráticas de la forma f(x)=a(x-p)2+q, ∀a≠0.

• Vincula datos y expresiones a partir de condicionesde cambios periódicos al expresar un modelo referido funciones trigonométricas.

• Compara y contrasta modelos relacionados a funciones trigonométricas de acuerdo a situaciones afines

• Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problem.

• Expresa las características de un fenómenoperiódico usando la información provistapor la gráfica.

• Traza la gráfica de una función de la formaf(x)=±A sen (Bx+C)+D, e interpreta A, B, Cy D en términos de amplitud, frecuencia,periodo, deslizamiento vertical y cambiode fase.

• Emplea procedimientos y estrategias,

recursos gráficos y otros al resolver problemas relacionados a funcionescuadráticas.

• Resuelve problemas considerando unagráfica de función seno y coseno y otros

recursos

• Justifica el valor de cada una de las razonestrigonométricas de un ángulo agudo (y laamplitud respectiva) es independiente de launidad de longitud fija.

III. HIPOTESIS Y VARIABLES

1.2 HIPOTESIS

Hipótesis general

Existe una relación positiva y significativa entre la estrategia de resolución de problemas y el aprendizaje y de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

Hipótesis especifica

• Existe una relación positiva y significativa entre la estrategia de comprensión en la resolución de problema y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre la estrategia de elaborar un plan en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre la estrategia de ejecutar un plan en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho

• Existe una relación positiva y significativa entre la estrategia de comprobar resultados en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre matematizar situaciones en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre comunicar y representar ideas en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre elaborar y usar estrategias en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho.

• Existe una relación positiva y significativa entre razonar y argumentar generando ideas matemáticas en la resolución de problemas y el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas en los estudiantes del quinto grado de educación secundaria de la institución educativa N° 0086 Manuel Gonzales Prada – San Juan de Lurigancho

1.3 VARIABLES

a) Variable x : Método de resolución de problema

b) Variable y :Aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas.

3.3. OPERACIONALIZACION DE LAS VARIABLES

VARIABLES DESCRIPCION CONCEPTUAL

DEFINICION OPERACIONAL

DIMENSIONES INDICADORES

Variable I

Método de resolución de

problema

En su libro Mathematical

Discovery, Polya (1961, citado

por García, 2008), sostiene

que: Tener un problema

significa buscar de forma

consciente una acción

apropiada para lograr un

objetivo claramente concebido

pero no alcanzable de forma

inmediata (García, 2008: 38).

Se operativizan a través de

la comprensión, Elaboración

de un plan, ejecución

comprobación del

resultado.

COMPRENSION -Identificar la incógnita.-Determina los datos.-Discriminar secuencias relaciones o repeticiones en los datos.- Determinar la relación entre los datos y la incógnita

ELABORA UN PLAN

- Implementar la idea de solución.- -Considerar las experiencias previas y

los conocimientos adquiridos.- -Organizar modelos matemáticos o

estrategias adecuadas para la resolución.

- -Determinar los algoritmos.- -Organizar el uso de los algoritmos.

-Organizar las secuencias.

EJECUCION Examinar los detalles.-Ejecutar y comprobar cada uno de los pasos.-Redactar la solución

-Analizar estrategias diseñada al llegar

Comprueba Resultados

la solución.-Verificar la exactitud del razonamiento.-Implementa otras alternativas de solución.-Utilizar el resultado o el método para resolver otro problema.

Variable II

Aprendizaje de las ecuaciones

y funciones cuadráticas

Una ecuación de la

forma

ax2+bx+c

a,b,c∈Ry a ≠0, recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

Una función cuadrática es

aquella que puede escribirse de

la forma:

f ( x )=ax2+bx+c

Donde a, b y c son números

La competencia matemática

resolución de problemas y

deben abordarse en todos

los niveles y modalidades de

la Educación Básica

Regular. Estas cuatro

capacidades son las

siguientes:

Matematiza,situaciones,

Comunica y representa

ideas matemáticas, Elabora

y usa estrategias, Razona y

argumenta generando ideas

matemáticas

Matematiza

situaciones

- Compara y contrasta modelos referidos a ecuaciones cuadráticas en problemas afines.

- Reconoce la pertinencia de un modelo referido a funciones cuadráticas al resolver un problema.

Comunica y

representa ideas

matemáticas.

-Expresa que algunas soluciones de ecuaciones cuadráticas se muestran a través de números irracionales.

-Reconoce las funciones cuadráticas a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, sus gráficas o sus representaciones simbólicas.

-Describe la dilatación y contracción gráfica de una función cuadrática.

-Desarrolla y aplica la fórmula general

reales cualesquiera y a distinto

de cero. Elabora y usa

estrategias

de la ecuación cuadrática al resolver Problemas.

-Aplica los diferentes métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas.

-Emplea procedimientos y estrategias, recursos gráficos y otros al resolver problemas relacionados a funciones cuadráticas

Razona y argumenta

generando ideas

matemáticas

-Justifica la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática reconociendo el discriminante.

- Generaliza utilizando el razonamiento inductivo, una regla para determinar las

-coordenadas de los vértices de las funciones cuadráticas de la forma

f(x)=a(x-p)2+q, ∀a≠0.

IV METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION

4.1 Tipo y método

Este trabajo investigativo se considera de carácter cuantitativo porque se pudo establecer

una variable dependiente (Método de Resolución de problemas) y una variable

independiente (Aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas). A partir de la

variable independiente se generó una categoría de análisis con sus respectivos indicadores

lo que permitió saber donde se inicia el problema, en cual dirección va, que tipo de

incidencia existe entre sus elementos, tabular y medir la información obtenida.

La presente investigación es de tipo descriptivo correlacionar. Es descriptivo porque se

mide las características más importantes en cada uno de los indicadores de las variables de

estudio; ya que en la investigación descriptiva, se “miden, evalúan o recolectan datos

sobre diversos conceptos (variables), aspectos, dimensiones o componentes del fenómeno

a investigar”. En este caso, se caracterizan a la variable Método de Resolución de

problemas y a la variable Aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas. Es

correlacionar porque se halla la relación que supuestamente existe entre las dos variables

del; ya que las investigaciones correlaciónales “miden el grado de asociación entre esas

dos o más variables (cuantifican relaciones)” (Hernández et al. 2006:105).

En consecuencia, se caracteriza y relaciona los datos de los estudiantes del quinto grado de

educación secundaria de la “Institución Educativa N° 0086 MANUEL GONZALES

PRADA” del Distrito de San Juan de Lurigancho respecto a la Resolución de problemas

como estrategia metodológica en el aprendizaje de las ecuaciones y funciones cuadráticas.

En la presente investigación se hizo uso del Método Deductivo – Sintético:

Se utilizó este método para revisar e identificar las teorías pedagógicas que incluyan la

problemática y sustenten las hipótesis de investigación, para luego desglosarlas en

conceptos más pequeños y concretos que permitan observar las características de ambas

variables y establecer científicamente conclusiones razonables respecto a la validez de

tales hipótesis.

4.2 Diseño de la investigación

El diseño de la presente investigación es de corte transversal-no experimental. Es

transversal porque se aplican los instrumentos de investigación a la muestra de estudio para

observar las dos variables, en un determinado momento, y sólo en uno. “Los diseños de

investigación transeccional o transversal recolectan datos en un solo momento, en un

tiempo único” (Hernández Sampieri, 2006: 208)

Es no experimental porque se hace referencia a un tipo de investigación en la cual el

investigador no introducirá ninguna variable experimental en la situación que se va a

estudiar. Es decir, no se manipula deliberadamente ninguna variable independiente para

conocer sus efectos en la variable dependiente, sino que la situación ya está dada y

solamente se va a recoger y medir tales efectos en la realidad. “Lo que hacemos en la

investigación no experimental es observar fenómenos tal como se dan en su contexto

natural, para después analizarlos” (Hernández et al. 2006: 205).

El diagrama del diseño de investigación es el siguiente:

Ox (V.I)

M r

OY (V.D)

En donde:

M = Muestra de Investigación

OX = Observación de la Variable Independiente (Método de resolución de problemas)

OY = Observación de la Variable Dependiente (Aprendizaje de las ecuaciones y funciones

cuadráticas)

r = Relación entre variables.

4.3. POBLACIÓN Y MUESTRA

Población:

El universo fue conformado por todos los estudiantes del quinto grado de educación

secundaria de la “Institución Educativa “N° 0086 MANUEL GONZALES PRADA” del

Distrito de San Juan de Lurigancho, constituido por 117 estudiantes y un docente,

durante el presente año del 2015. Los estudiantes se caracterizan por ser en su mayoría

habitantes del municipio de San Juan de Lurigancho, con escasos recursos económicos y

edades comprendidas entre 15 y 17 años.

DISTRIBUCION DE LA POBLACION DE OBJETO DE ESTUDIO

GRADO SECCION N° ALUMNOS

5TO

A 29

B 29

C 29

D 30

4.4 Instrumentos

Los instrumentos que aplicaremos serán los siguientes:

Observación (docente – estudiante)

Entrevista

Encuesta ( docente – estudiante)

Cuaderno de campo

Videocámara.

4.5. Técnicas de recolección de datos

4.6. Tratamiento Estadístico

ASPECTOS

5.1 Recursos humanos:

Las personas que han intervenido en la presente investigación:

A) Investigadores:

Ana Cecilia Flores Reátegui

Jacqueline Osorio Fhon

Karina Pichardo Mendoza

B) Asesora:

Lic. Hilda Villafane

5.2 Recursos Institucionales:

A) Universidad Nacional de Educación Enrique Guzmán y Valle.

Biblioteca de la Facultad de Educación

B) Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Biblioteca Central.

C) Universidad Antonio Ruiz de Montoya

Biblioteca Central.

D) Biblioteca Nacional del Perú

San Borja- Lima

5.3 Presupuesto:

a) Remuneraciones:

Técnico S/. 120.00

Otros S/. 50.00

b) Bienes:

Materiales de escritorio S/. 50.00

c) Servicios:

Movilidad y viáticos S/. 200.00

Servicios de impresión S/. 150.00

5.4 Cronograma

N° ACTIVIDADES

MESES

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre

1. Diseño del

proyecto.

x x

2. Organización e

Implementación.

x x

3. Recolección de la

información.

x x x x

4. Aplicación de las

pruebas

x x

5. Codificación y

Tabulación

6. Tratamiento

estadístico.

7. Análisis e

Interpretación.

8. Redacción

preliminar

9. Revisión

preliminar.

10 Informe final.

BIBLIOGRAFÍA

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problemas matemáticos en estudiantes de sexto grado de primaria de las instituciones

educativas públicas del Concejo Educativo Municipal de La Molina. Tesis de Maestría.

UNMS, Lima, Perú.

2. Agudelo Valencia Beatriz, Bedoya Quintero Vanessa y Restrepo Morales Alejandra

(2008). Método Heurístico en la Resolución de Problemas matemáticos. Tesis de Titulo en

Pedagogía Infantil. Universidad Tecnológica de Pereira, Risaralda, Colombia.

3. Gaulin,c.(2001): “Tendencias actuales en la Resolución de Problemas”. Revista

Sigma,19, 51-63.

4. Cortés Méndez Maribel y Galindo Patiño Nubia (2006). El modelo de pólya centrado en

resolución de problemas en la interpretación y manejo de la integral definida. Tesis de

Maestria en Docencia. Universidad de la Salle, Bogota, Colombia.

5. Barrantes campos, Hugo (2008) “cuadernos de investigación y formación en educación

matemática2008, año 3, número 4, pp. 83-98.

6.- DÍAZ, Leonora. (1998): Reflexiones didácticas en torno a fracciones, razones y proporciones. Santiago de Chile: Ministerio de Educación

7.- Edgar Zavaleta Portillo- Competencias y Capacidades Matematicas En Nec-2013

8.- Edgar Benjamín TaxTax (2014) "Método Holístico Y Aprendizaje De Ecuaciones Cuadráticas”Estudio realizado en el grado de tercero básico, sección "A", de la Escuela Nacional Normal Rural de Occidente "Guillermo Ovando Arriola", cabecera departamental de Totonicapán

9.- Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Las estructuras numéricas.

10.- Juan D. Godino y Vicenç Font (2003) razonamiento algebraico y su didáctica para

maestros.

11.- Ministerio de Educación, Matemática, Serie 2 para docentes de Secundaria, Didáctica

de la Matemática: Fascículo 3: ASPECTO METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE

DE FUNCIONES EN SECUNDARIA.

12.- MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2007). Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas numéricos en secundaria.

13.- DÍAZ, Leonora. (1998): Reflexiones didácticas en torno a fracciones, razones y proporciones. Santiagode Chile: Ministerio de Educación.

14.- Ministerio de Educación, Matemática, Serie 2 para docentes de Secundaria, Didáctica

de la Matemática:Fascículo 4: RESOLUCION DE ECUACIONES.

Enlaces web.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/

mod_fun_expolog_macr/CUATRO.htm

ANEXOS