J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

III. PRODUCTOS NOTABLES1. DEFINICIÓN:Son los resultados de la multiplicación que se obtienen de polinomios, que tienen características especiales y necesidad de realizar la multiplicación.

2. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:

2.1. Binomio al Cuadrado:

a) (a b)2 = a2 2ab+b2

Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2

Corolario : "Identidades de Legendre"

b) (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

c) (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab

2.2. Diferencia de Cuadrados:

a) (a+b)(a-b) = a2-b2

2.3. Trinomio al Cuadrado:

a) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

2.4. Binomio al Cubo:

a) (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+b3+ 3ab(a + b)

b) (a -b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3- b3-3ab(a-b)

2. 5. Suma y Diferencia de Cubos:

a) (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

c) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

2.6. Trinomio al Cubo:

a) (a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+ 3c2(a+b)+6abcTambién:

b) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

c) (a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) - 2(a3+b3+c3) + 6abc

d) (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) - 3abc

2.7. Producto de Binomios con un Término Común:

a) (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (Identidad de Stevin)

b) (x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x + abc

2.8. Identidad Trinómica (Argand):

a) (x2n+xnym+y2m) . (x2n-xnym+y2m) = x4n+x2ny2m+y4m

Casos Particulares:

b) (x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4

c) (x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1

2.9. Identidad de Lagrange:

a) (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 2

b) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 +(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az) 2

2.10. Identidades Adicionales:

a) ½ (a+b+c)[(a–b)2+(a-c)2+(b-c)2] = a3+b3+c3–3abc (Ident. Gauss)

b) a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-ac-bc) (Ident. Gauss)

c) a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b) 2 +(b-c) 2 + (c-a) 2}

d) (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc +ca)2.11. Igualdades Condicionales:

Si:a + b + c = 0,entonces se cumplen:

a) a3 + b3 + c3 = 3abc

b) a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

c) (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=(ab+bc+ca) 2

d) (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2

e) a 2 +b 2 +c 2 . a 3 +b 3 +c 3 = a 5 +b 5 +c 5 2 3 5

f) a 2 +b 2 +c 2 . a 5 +b 5 +c 5 = a 7 +b 7 +c 7 2 5 7

16

J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si: a+b = 2 y ab = 1

Halla: a5+b5

Solución :

a + b = 2 ab= 1

(a+b)2=22 (a+b)3=a3+b3+3(a+b)(ab)

a2 + b2 + 2ab = 4

a2+b2+2(1)=4 8=a3+b3+3(2)(1)

a2 + b2 = 2 a3 + b3= 2

Luego : (a2 + b2) (a3 + b3) = 2 x 2

a5 + (ab)2 (a+b) + b5 = 4

a5 + 12 (2) + b5 = 4

a5 + b5 = 2

2) Si : a + 2b + 3c = 7x

Halla:

Solución:

E =

E =

E =

E = 1

3) Reduce :

Solución :a + b + c + d = x

a – b – c – d = y

x2 + y2 + 2xy – 3a2

(x + y)2 – 3a2

(a+b+c+d+a - b – c – d)2 - 3a2

4a2 – 3a2 = a2

4) Efectúa :

E=(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)-x16

Solución :

Utilizamos diferencias de cuadrados.

(x + 1) (x – 1) = x2 – 1

E=(x2–1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) - x16

E = (x4 – 1) (x4 + 1) (x8 + 1) - x16

E = (x8 – 1) (x8 + 1) - x16

E = x16 – 1 – x16

E= -1

5) Calcula :

R = ( -1)5

Solución :Ordenando :

R =

R =

R = (3 - 2 )2 ( - 1)

R = (9 - 2 +8) ( -1)

R = (17 - 12 ) ( - 1)

R=17 -17-12 2+12

R=17 -17-24+12

R = 29 - 41

6).- Si : a + b + c = 6

a3 + b3 + c3 = 24

Calcula : E=(a+b) (b+c) (a+c)

Solución:

(a + b + c)3 = 63

a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c) = 216

8 72 24 + (a+b)(b+c)(a+c) = 216

(a+b) (b+c) (a+c) = 64

E = 64

7) Reduce : H=(3z+4)2+(4–3z)2

Solución :

E = (3z + 4)2 + (4 –3z)2

E = (3z + 4)2 – (3z - 4)2

E = 4(3z) (4) (propiedad)

E = 48z

8) Si se cumple :

Halla :

Solución :

x + y + x = 0

pero x3 + y3 + z3 = 3xyz

= 3

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03

NIVEL I :1).- Reduce :

E=(x+2)3 - (x+3) (x+2) (x+1) – x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2).- Reduce:

E = (a+b+c) (a-b+c)+(b+a-c)(b-a+c)

a) 2ab b) 4abc c) 4bcd) 6ab e) 4ac

3).- Calcula “M”.

Si: a2+b2+x2 = 16

17

17

J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 48

4) Simplifica :

S =

a) 3 b) 2 c) 0d) 1 e) 4

5).- Reduce :

E=(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a+b-d)(a+b+d)-3(a- b)2+d2-2c2

a) 6ab b) ab c) d2+c2

d) 12ab e) 8abc

6)Reduce:E=(x2+x+3)(x2+x+7)-(x2+x+2)(x2+x+8)

a) 9 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6

7).- Reduce:

a) 2a b) 4ab c) 0d) a2+c2 e) -ab

8).- Simplifica:

a) a2 + b2 b) c2 c) 4a2

d) d2 e) c2+d2

9).- Reduce :

a) 1 b) 1/2 c) 0d) –1 e) –1/2

10).- Si:

Calcula:

a) 666 b) 216 c) 512d) 200 e) 375

11).- Efectúa :

a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x+2 e) 6

12) Si : a + b = 2

ab = 3

Determina : a3 + b3

a) 20 b) 40 c) 10 d) -20 e) –10

13).- Efectúa :

(x-3)4–x(x-6)(x-4)(x-2)–10x(x-6)+9

a) 90 b) 72 c) 15d) –72 e) -90

14) Si : x + x -1 =

Calcula : x 5 +x –5

a) 14 b)5 c) 16d) 7 e) 5

15).- Reduce :

a) -y2 b) y2 c) z2

d) x2 e) -x2

16).- Reduce :

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

17).- Si : m = 1998 y n =

Calcula :

a) 9 b) 2 c) 4 d) 2x e) 6

18).- Si : a + b =

a b = 3Halla : a6 + b6

a)25 b)24 c)23 d)26 e)22

19).- Si: x+x-1=5

Calcula :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20).- Si : a + b + c = 20

a2 + b2 + c2 = 300

Calcula: E = (a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 500 b) 600 c) 700 d) 800 e) 900

NIVEL II

1).- Si: a = - b = -

c = -

Calcula :

a) 6 b) 2 c) 2/3d) –6 e)

2) Reduce:

a) 1x b)-48x c)-38xd) 4x e) –58x

3).- Si :

Calcula:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4).- Simplifica

a) 2x b) x c) 3x d) 4x e) 5x

5).- Si: x + y + z = 6

x y z2 2 2

2 4

Calcula :

18

18

J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

a) 60 b) 10 c) 40d) 48 e) 51

6).- Simplifica :

G =

a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 167).- Efectúa :

(x2+x+1)(x+1)(x–1)(x2–x+1)-x6

a) x + 1 b) -1 c) x-1d) 1 e) x5

8).- Si : x2 + 3x - = 0

Calcula : x(x+1)(x+2)(x+3)-2

a) 2 b) 7 c) 0 d) 6 e) 73

9).- Si : x2+ ; x > 1.

calcula : V = x -

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10).- Si : (a + b)2 = 4ab, calcula:

a) ab b) a + b c) a2 – b2

d) 1 e) 2

11).- Halla : E =

Si :a + b + c = 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12).-Efectúa:

a) 3 b) 2 c) –5d) –3 e) 1

13).- Simplifica :

E =2b2 + 2ab+

y calcula :

a) a + b b) (a + b)2

c) a – b d) ab e) a2 + b2

14).- Si: a= -1; b=1- ; c= -

Calcula :

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/9d) 7/3 e) 1

15).- Si : y =

Calcula : E = (y+3)(y–3)(y2+9)–y4

a) 81 b) –81 c) -27d) 9 e) -9

16).- Efectúa :

(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)-2x(x+5)

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 111

17).- Luego de operar :

La expresión equivalente es :

a) 6 b) 5 c) 3d) –1 e) –4

18).- Reduce:

R=(a-b-c+d)(a-b+c-d)-(a-b-c-d)(a-b+c+d)

a) 4cd b) ab c) 4abd) cd e) a2+b2

19).- Reduce :

A=[(a+2b)2-(a-2b)2+a2+16b2 ]-(4b-a)2

a) 0 b) 8ab c) 4abd) 16ab e) ab

20).- Si : a + =3.

Halla :

a) 81 b) 240 c) 29d) 243 e) 123

CLAVE DE RESPUESTAS

NIVEL I

1) b 2) e 3) d

4) d 5) d 6) b

7) e 8) b 9) d

10)a 11)b 12)e

13)a 14)b 15)a

16)e 17)b 18)d

19)d 20)c

NIVEL II

1) d 2) b 3) d

4) b 5) a 6) d

19

19

J.E.C.”VICTOR HAYA DE LA TORRE”-ROCCHACC-ONGOY

ÁLGEBRA

4º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

7) b 8) a 9) a

10)e 11)c 12)b

13)a 14)c 15)b

16)b 17)b 18)a

19)d 20)e

20