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Matemáticas I - UD 8: LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS SOLUCIONARIO

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CUESTIONES INICIALES de la página 176

1. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto P (3, - 4) y Q (1, 6).

El lugar geométrico es la mediatriz de ecuación x – 5y + 3 = 0.

2. Halla el circuncentro del triángulo de vértices A (-1, 1), B (5, 1) y C (3, 5).

El circuncentro es el punto de corte de las mediatrices.

Hallamos dos mediatrices:

Mediatriz del lado BC: x – 2y + 2 = 0

Mediatriz del lado AB: x - 2 = 0

El circuncentro es el punto (2, 2).

3. Si cortas un cilindro con un plano paralelo a la base ¿qué figura obtienes? ¿Y si el plano es oblicuo?

Si se corta por un plano paralelo a la base se obtiene una circunferencia. Si el corte es por un plano oblicuo se obtiene una elipse.

4. Halla el vértice de la parábola de ecuación 2y + x2 +6x + 7 = 0.

El vértice de la parábola es el punto (- 3, 1).


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ACTIVIDADES de la página 179

1. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A (2, - 1) y B (- 2, 3).

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscad. Expresando la condición d (P, A) = d (P, B) y operando, obtenemos:

010888...)3()2()1()2( 2222 =+−⇔=−+−⇔⇔−++=++− yxyxyxyx

El lugar geométrico es la recta de ecuación x – y + 1 = 0. Esta recta es la mediatriz del segmento de extremos A y B.

La recta obtenida pasa por el punto medio del segmento M (0, 1) y es perpendicular a la recta de ecuación x + y – 1 = 0, que contiene al segmento.

2. Encuentra las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas r: 4x + 3y – 5 = 0 y s: 5x – 12y = 0.

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Al estar el punto P en la bisectriz, sus distancias a las rectas r y s deberán coincidir, por tanto, d (P, r) = d (P, s).

Expresando dicha condición en coordenadas y operando:

13125

5534

)12(5

125

34

5342222

yxyxyxyx −=

−+⇔

−+

−=

+

−+

Considerando el signo positivo del valor absoluto:

0659927602565395213

1255

534=−+⇒−=−+⇒

−=

−+ yxyxyxyxyx

Considerando el signo negativo del valor absoluto:

0652177602565395213

1255

534=−−⇒+−=−+⇒

−−=

−+yxyxyx

yxyx


3

3. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A (3, 0) y B (7, 8) es 0.

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Expresamos la condición ( )[ ] ( )[ ] 0,, 22 =− BPdAPd .

Operando y simplificando:

[ ] [ ] 0132...0)8()7()0()3(2

222

22 =−+⇒⇒=−+−−−+− yxyxyx

El lugar geométrico es la recta x + 2y – 13 = 0, que coincide con la mediatriz del segmento de extremos A y B.

4. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta r: 3x – 4y + 20 = 0 es 3.

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Expresamos la condición d (P, r) = 3, operamos y simplificamos:

35

20433

)4(3

204322

=+−

⇔=−+

+− yxyx

Tomando el signo positivo del valor absoluto, obtenemos: 0543152043 =+−⇒=+− yxyx .

Tomando el signo negativo del valor absoluto, obtenemos: 03543152043 =+−⇒−=+− yxyx .

El lugar geométrico está formado por dos rectas paralelas a la dada, a distancia 3 unidades de ésta.


5. Determina la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C (2, 3) y pasa por A (- 1,- 1).

La longitud del radio de la circunferencia es la distancia entre C y A; y vale:


4

525169)31()21(),( 22 ==+=−−+−−== ACdr

La ecuación de la circunferencia es (x - 2)2 + (y – 3)2 = 52 o x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0.

6. Para la circunferencia de ecuación x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0:

a) Halla su centro y su radio.

b) Encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto A (3, 3).

a) La circunferencia tiene por centro el punto C (3, 1) y su radio es r = 2.

b) La recta tangente en el punto A (3, 3) pasa por ese punto y tiene como vector director el vector ( )0,2=v , perpendicular al vector ( )2,0 −=AC . Su ecuación es:

030

32

3=−⇒

−=

− yyx

7. Determina la ecuación de la circunferencia en la cual uno de sus diámetros es el segmento de extremos A (- 2, - 2) y B (6, 4).

El centro de la circunferencia es el punto C (2, 1), punto medio del segmento de extremos A y B.

El radio es la distancia entre el centro C y uno de los puntos, por ejemplo A. Su valor es:

525916)12()22(),( 22 ==+=−−+−−== ACdr

La ecuación de la circunferencia es (x - 2)2 + (y – 1)2 = 52 o x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.


5

8. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (1, 0), B (- 3, 1) y C (0, - 2).

Sea x2 + y2 + mx + ny + p = 0 la ecuación de la circunferencia. Imponemos las condiciones del enunciado y obtenemos las ecuaciones:

- Pasa por A (1, 0): m + p = - 1. - Pasa B (- 3, 1): - 3m + n + p = -10. - Pasa por C (0, - 2): - 2n + p = - 4.

Resolvemos el sistema:

−=

=

=

⇒

−=+−−=++−−=+

310

3137

421031

p

n

m

pnpnmpm

La ecuación de la circunferencia es .01073303

1031

37 2222 =−+++⇒=−+++ yxyxyxyx


9. Encuentra los focos, los vértices, los semiejes y la excentricidad de las siguientes elipses.

a) 13681

22

=+yx b) 1

1664

22

=+yx c) 3694 22 =+ yx

En la tabla aparecen las soluciones:

Apartado Semiejes

a b

Semidistancia focal c

Focos Vértices Excentricidad

e

a) 9 6 71,645 ≈ F ´ (6,71; 0)

F (6,71; 0)

A (9, 0) A´ (- 9, 0)

B (0, 6) B ´(0, - 6)

0,75

b) 8 4 93,648 ≈ F ´ (- 6,93; 0)

F (6,93; 0)

A (8, 0) A´ (- 8, 0)

B (0, 4) B ´(0, - 4)

0,87

c) 3 2 24,25 ≈ F ´ (- 2,24; 0)

F (2,24; 0)

A (3, 0) A´ (- 3, 0)

B (0, 2) B ´(0, - 2)

0,75


6

10. Escribe la ecuación reducida de la elipse que tiene excentricidad 2/3 y eje mayor de longitud 18.

La longitud del eje mayor es 2a = 18, por tanto, a = 9.

Hallamos el semieje b:

- De la expresión de la excentricidad: .693

2=⇒=⇒= cc

ace

- De la relación entre sus elementos: .45368122222 =−=⇒−=⇒+= bcabcba

La ecuación reducida es: 14581

22

=+yx .

11. Halla la ecuación de la elipse, centrada en el origen de coordenadas y con un foco en el eje de abscisas, cuyo eje mayor tiene longitud doble del menor y pasa por el punto P (2, 1).

La longitud del eje mayor es 2a y la del menor 2b. Por tanto, 2a = 2 · 2b, es decir, a = 2b.

La ecuación reducida de la elipse es: .14

1)2( 2

2

2

2

2

2

2

2

=+⇒=+by

bx

by

bx

Si pasa por el punto P (2, 1), se cumple: .84212114

4 222222 ===⇒=⇒=+ bayb

bbb

La ecuación reducida de la elipse es .128

22

=+yx


7


12. Encuentra los focos, los vértices, los semiejes, la excentricidad y las asíntotas de las siguientes hipérbolas:

a) 18125

22

=−yx b) 1

49100

22

=−yx c) 1622 =− yx

En la tabla aparecen las soluciones:

Apartado Semiejes

a b

Semidistancia focal c

Focos Vértices Excentricidad

e

a) 5 9 30,10106 ≈ F ´ (- 10,30; 0)

F (10,30; 0)

A (5, 0) A´ (- 5, 0)

2,06

b) 10 7 21,12149 ≈ F ´ (- 12,21; 0)

F (12,21; 0)

A (10, 0)

A´ (- 10, 0)

1,22

c) 4 4 66,532 ≈ F ´ (- 5,66; 0)

F (5,66; 0)

A (4, 0) A´ (- 4, 0) 41,12 ≈

13. Determina la ecuación de la hipérbola de eje real en OX en cada uno de los siguientes casos:

a) Eje menor 16 unidades y distancia focal 20 unidades.

b) Pasa por el punto (10, 0) y una de sus asíntotas tiene por ecuación xy54

= .

c) Su eje mayor mide 24 unidades y su excentricidad es 45 .

a) Los semiejes son a = 6 y b = 8 y su ecuación 16436

22

=−yx

b) Los semiejes son a = 10 y b = 8, y su ecuación 164100

22

=−yx


8

c) Los semiejes son a = 12 y b = 9 y su ecuación 181144

22

=−yx

14. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos (-13, 0) y (13, 0) es 10 unidades.

El lugar geométrico es la hipérbola de ecuación 114425

22

=−yx


15. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto (5, 4) y de la recta y–1=0 .

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Se cumplirá:

320

35

61...

10

1)4()5( 2

22

22 +−=⇒⇒+

−=−+− xxy

yyx

El lugar geométrico es una parábola cuyos elementos son:

- Vértice:

25,5V - Foco: F (5, 4) - Eje x = 5 - Directriz: y = 1 - Parámetro: p = 3

16. Determina la ecuación de la parábola con el vértice en el origen de coordenadas y el foco en el punto F (0, 4).

La ecuación de la parábola es x2 = 16y.

Los elementos son:

- Vértice: V (0, 0) - Foco: F (0, 4) - Eje x = 0 - Directriz: y = - 4 - Parámetro: p = 8


9

17. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es V (- 2, 1) y cuya directriz es la recta x = - 4.

La ecuación de la parábola es (y - 1)2 = 8 · (x + 2).

Los elementos son:

- Vértice: V (- 2, 1) - Foco: F (0, 1) - Eje x = - 2 - Directriz: x = - 4 - Parámetro: p = 4

18. Halla los elementos de las siguientes parábolas:

a) x2 – 2x – 4y + 17 = 0 b) x2 + 6x + 8y + 1 = 0 c) y2 – 6y – 8x + 1 = 0

En la tabla aparecen los elementos:

Apartado Vértice Foco Directriz Eje Parámetro

a) V (1, 4) F (1, 5) y = 3 x = 1 p = 2

b) V (- 3, 1) F (- 3, - 1) y = 3 x = - 3 p = 4

c) V (- 1, 3) F (1, 3) x = - 3 y = 3 p = 4


1. Sorteo. En un torneo de tenis, 20 jugadores participan en un sorteo para emparejarse entre si en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?

Comenzamos simplificando la situación y vemos que ocurre en el caso que el torneo tenga pocos jugadores.

Comenzando con 2 jugadores, A y B, solo hay una forma de emparejamiento: A-B.


10

Con 3 jugadores, A, B y C, hay 3 emparejamientos: A-B, A-C y B-C.

Con 4 jugadores, A, B, C y D, hay 6 emparejamientos: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D y C-D.

Podemos seguir haciendo emparejamientos con 5, 6… jugadores y recoger los valores obtenidos en una tabla.

Número de jugadores 2 3 4 5 6 7 …

Número de emparejamientos 1 3 6 10 15 21 …

Observamos que el número de emparejamientos forma una progresión aritmética de segundo orden:

Número de emparejamientos: 1 3 6 10 15 21...

Primeras diferencias: 2 3 4 5 6…

Segundas diferencias 1 1 1 1…

El término general de la sucesión del número de emparejamientos, En, es de la forma En = an2 + bn + c.

Su expresión podemos calcularla en la forma que aparece a continuación:

=

−=

=

⇒⇒

++==++==++==

021

21

...4166:,4

393:,3241:,2

c

b

a

cbacumplesenParacbacumplesenParacbacumplesenPara

La expresión obtenida para n jugadores será: 2

·21·

21 2

2 nnnnEn−

=−= .

Por tanto, para n = 20 jugadores, el número de emparejamientos será 1902

3802

20202

20 ==−

=E .


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2. Tablero de ajedrez. Has leído en una revista que un tablero de ajedrez tiene 204 cuadrados. Razona si e cierto o no.

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA

Ingenuamente podemos pensar que un tablero de ajedrez tiene 8 × 8 = 64 cuadrados, pero los 204 que nos dice el problema nos hace pensar que, probablemente, haya más. Jugando un poco con el problema, dibujamos un tablero 3 × 3 y en él observamos que, efectivamente, hay cuadrados de diferente medida de

lado.

Vemos que en este tablero hay cuadrados de tres tipos: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, luego, en un tablero de ajedrez habrá cuadrados de ocho tipos: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3…, 8 × 8. Nuestra tarea consiste en contar todos estos cuadrados.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

Al familiarizarnos con el problema, hemos intuido la estrategia a utilizar: tenemos que contar cuadrados. Para ello, empezamos a contar en tableros más pequeños, es decir, simplificamos el problema.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

En tableros 1 × 1 hay 1 cuadrado. En tableros 2 × 2 hay 1 + 4 = 5 cuadrados. En tableros 3 × 3 hay 1 + 4 + 9 = 14 cuadrados. En tableros 4 × 4 hay 1 + 4 + 9 + 16 = 30 cuadrados.


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Esto nos proporciona un método para contar el número de cuadrados de un tablero 8 × 8. Haciendo la figura correspondiente, obtenemos que en un tablero 8 × 8 hay: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204 cuadrados. Hemos resuelto el problema y podemos concluir diciendo que tu amigo decía la verdad.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

En este problema hemos sistematizado la forma de contar cuadrados, utilizando una notación adecuada: contar los centros de ellos, siendo a el centro de los cuadrados 1 × 1, b el centro de los cuadrados 2 × 2, etc. Revisando el proceso seguido, nos preguntamos: ¿cuántos cuadrados hay en un tablero n × n? ¿Y cuántos rectángulos de lados paralelos a los lados de un tablero de ajedrez pueden contarse en el mismo?


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3. Sumando números. ¿Cuánto suman todos los números naturales comprendidos entre 1 y 600 que no son múltiplos de 3 ni de 5?

Si se particulariza el mismo problema hasta 15 se obtiene:

1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 11 + 13 + 14 = 60

La suma anterior puede escribirse como:

1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 – (3 + 6 + 9 + 12 + 15) – (5 + 10 + 15) + (15)

Si se particulariza el mismo problema hasta 30 se obtiene:

1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 11 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 22 + 23 + 26 + 28 + 29 = 240

La suma anterior puede escribirse como:

1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 +

+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 – (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 17 + 30) –

- (5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30) + (15 + 30)

Observamos que para realizar la suma del enunciado hay que sumar todos los números naturales desde el primero (1) hasta el último (600), restar los múltiplos de tres, restar los múltiplos de 5 y sumar después los múltiplos de 15 que se han restado dos veces.

Los sumandos de cada una de las sumas anteriores forman progresiones aritméticas y la expresión que da la suma correspondiente es:

naa n ·

21 +


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siendo a1 el primer término, an el último término y n el número de sumandos.

Sea S = 1 + 2 + 3 +…+ 598 + 599 + 600 la suma buscada. Esta suma es:

S = (1 + 2 + 3 +…+ 598 + 599 + 600) – (3 + 6 + 9 +…+ 597 + 600) –

- (5 + 10 + 15 +…+ 595 + 600) + (15 + 30 + 45 +…+ 585 + 600) =

( )=

++

+−

+−

+= 40·

260015120·

2)6005(200·

2)6003(600·

2)6001(

= 180 300 – 60 300 – 36 300 + 12 300 = 96 000


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4. Un paso casi imposible. En la subida a un pico de montaña hay que pasar por un sendero muy estrecho en el que resulta imposible que se crucen dos personas, a excepción de un lugar al lado del camino en el que hay una pequeña cueva donde tan solo cabe una persona. Un fin de semana en el que suben varios montañeros coinciden dos grupos. Uno de ellos, compuesto por dos montañeros, está subiendo al pico, mientras el otro, compuesto por tres, está bajando. ¿Cómo pueden organizarse los montañeros en este paso para que cada grupo pueda seguir su camino sin que ninguno tenga que retroceder?

Los pasos a seguir son los que aparecen en los diagramas que siguen, llamando A y B a los montañeros que suben y a, b y c a los que bajan.


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1. Determina el radio y la ecuación de la circunferencia:

a) Circunscrita al triángulo de vértices A (5, 1), B (1, - 3) y C (– 1, 1).

b) Cuyo centro es el punto (2, 3) y es tangente a la recta 2x – y = 5.

a) Sigue los pasos:

- En el Campo de Entrada introduce los puntos A (5, 1); B (1, - 3) y C (- 1, 1).

- Con Circunferencia por tres puntos, dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C.

- Con la herramienta Mediatriz determina el centro como intersección de la mediatriz de los segmentos de extremos AB y AC.

- Dibuja el radio DB con Segmento y llámalo r.


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- En la Configuración de los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

- Observa que la ecuación de la circunferencia es (x – 2)2 + y2 = 10 y su radio, r, mide .16,310 unidadesr ==

- Arrastra el punto A, B o C y observa cómo va cambiando la circunferencia y sus elementos. Todo ello queda reflejado en la Ventana Algebraica.

b) Sigue los pasos:

- En el Campo de entrada introduce el punto C (3, 2) y la recta a: 2x – y = 5.

- Traza la perpendicular a la recta que pasa por C y determinamos el punto A como intersección de la recta dada y la perpendicular anterior.

- Con Circunferencia (centro, punto), dibuja la circunferencia de centro el punto C y que pasa por el punto A.

- Dibuja el radio CA con Segmento y llámalo r.

- En el Menú Contextual de los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

- Observa que la ecuación de la circunferencia es (x – 2)2 + (y – 3)2 = 3,2 y su radio, r, mide r = 1,79 unidades.

- Arrastra el punto C y observa cómo va cambiando la circunferencia y sus elementos. Todo ello queda reflejado en la Ventana Algebraica


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2. Halla el radio y la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2 + y2 – 6x + 8y = 0, que pasa por el punto P (5, - 3).

Sigue los pasos:

- En el Campo de entrada introduce la ecuación de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 8y = 0 y el punto P (5, -3).

- Observamos que el centro de la circunferencia dada es el punto C (3, - 4). Introduce dicho punto.

- Con Circunferencia (centro, punto), dibuja la circunferencia de centro el punto C y que pasa por el punto P.

- Dibuja el radio CP con Segmento y llámalo r.

- En el Menú Contextual de los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

- Observa que la ecuación de la circunferencia es (x – 3)2 + (y + 4)2 = 5 y su radio, r, mide .24,25 unidadesr == .

- Arrastra el punto P y observa cómo va cambiando la circunferencia y sus elementos. Todo ello queda reflejado en la Ventana Algebraica


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3. Encuentra los elementos de las cónicas de ecuaciones: a) 12516

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=+yx b) x · y = 6

a) Sigue los pasos:

- En el Campo de Entrada introduce la ecuación de la elipse, tecleando x^2/25+y^2/169=1.

- Con los comandos Excentricidad (c), Foco (c), Vértices (c), calcula y dibuja los elementos correspondientes. Obtendrás:

- Excentricidad 0,6.

- Focos: A (0, 3) y B (0, -3).

- Vértices: C (0, -5); D (0, 5); E (4, 0) y F (- 4, 0).

c) En la Configuración de todos los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

b) Sigue los pasos:

-En el Campo de Entrada introduce la ecuación de la hipérbola, tecleando x * y = 6.

b) Con los comandos Excentricidad (c), Foco (c), Vértices (c), Asíntota (c) y EjeMayor(c), calcula y dibuja los elementos correspondientes. Obtendrás:

- Excentricidad: 1,41.

- Focos: A (3,46; 3,46 y B (- 3,46; - 3,46).

- Vértices: C (2,45; 2,45) y D (- 2,45; - 2,45).

- Asíntotas: x = 0, y = 0.

- Eje: y = x


20

c) En la Configuración de todos los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.


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4. Dibuja la parábola en cada uno de los apartados:

a) Directriz d: y = 2 y foco F (2, - 3). b) Vértice V (3, 1) y foco F (3, 3).

a) Sigue los pasos:

- Introduce el punto F (2, - 3) y la recta d: y = 2.

- Con Parábola, dibuja la parábola de foco F (2, 3) y directriz y = 2.

Con los comandos Excentricidad (c), Vértices (c) y EjeMayor(c), calcula y dibuja los elementos correspondientes. Obtendrás:

- Excentricidad: 1.

- Vértices: V (2; - 0,5).

- Eje: x = 2.

- En la Configuración de los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

- Arrastra el punto F y observa cómo va cambiando la gráfica y la ecuación de la parábola. También puedes mover la recta directriz. Todo ello queda reflejado en la Ventana Algebraica.

b) Sigue los pasos: - Introduce los puntos F = (3,3) y A = (3, - 1), siendo V (3, 3) el punto medio de FA. Dibuja el punto V con la herramienta Medio o Centro.

- Dibuja una recta que pase por A y F. Traza la recta perpendicular a la recta anterior pasando por A. Ésta es la directriz de la parábola. Con Parábola, dibuja la parábola de foco F (3, 3) y directriz la recta perpendicular.


22

c) Con los comandos Excentricidad (c) y EjeMayor(c), calcula y dibuja los elementos correspondientes. Obtendrás:

- Excentricidad: 1.

- Eje: y = 3.

c) En el Menú Contextual de los objetos, elige Propiedades; en la ficha Básico escoge Muestra Rótulo: Nombre y valor.

d) Arrastra el punto F y observa cómo va cambiando la gráfica y la ecuación de la parábola. También puedes mover el punto V. Todo ello queda reflejado en la Ventana Algebraica.

ACTIVIDADES FINALES de la página 195

1. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A (4, 0) y B (0, - 3) sea 12 unidades.

Sea P (x, y) un punto genérico del lugar geométrico buscado. Dicho punto debe cumplir que la suma de los cuadrados de sus distancias a A y a B deben ser 12 unidades: d2 (P, A) + d2 (P, B) = 12.

Expresando las distancias: (x – 4)2 + y2 + x2 + (y + 3)2 = 12.

Operando, obtenemos la expresión 2x2 + 2y2 – 8x + 6y + 13 = 0.

2. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los ejes coordenados es 6.

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado.

Las distancias desde P a los ejes coordenados son las abscisas de dicho punto.


23

Por tanto, la ecuación del lugar geométrico buscado es:

x – y = 6 o – x + y = 6.

En el dibujo pueden verse las rectas que forman el lugar geométrico.

3. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos P (6, -3) y Q (2, 5).

Sea P (x, y) un punto genérico del lugar geométrico buscado. Dicho punto debe cumplir que sus distancias a A y a B deben coincidir: d (P, A) = d (P, B).

Expresando las distancias: ( ) ( ) 2222 )5(2)3(6 −+−=++− yxyx .

Elevando ambos miembros al cuadrado y operando obtenemos: x – 2y – 2 = 0, que es la ecuación del lugar geométrico buscado.

Podíamos haber hecho el problema viendo que esta definición de lugar geométrico se ajusta a la mediatriz del segmento AB


24

4. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve en el plano de tal manera que su distancia al eje OX, disminuida en tres unidades, es siempre igual al doble de su distancia al eje OY.

Sea P (x, y) un punto genérico del lugar geométrico buscado.

Se cumplirá d (P, OX) – 3 = 2 · d (P, OY).

Expresando las distancias: 3223 +=⇔=− xyxy .

El lugar geométrico es la recta de ecuación 2x – y + 3= 0.

5. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas x – y = 0; y + 2 = 0.

En este caso el lugar geométrico son las bisectrices de las rectas dadas:

( ) 02221 =−+− yx y ( ) 02221 =+−− yx .

6. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que disten 8 unidades del punto P(- 2, 2).

La ecuación del lugar geométrico es (x + 2)2 + (y – 2)2 = 82 o x2 + y2 + 4x – 4y – 56 = 0.

7. Escribe el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano tales que el triángulo ABP sea isósceles, de forma que los puntos A(2, 2) y B(−2, 5) formen su lado desigual.

Al ser el triángulo ABP isósceles, el lugar geométrico estará formado por los puntos P (x, y) tales d (P, A) = d (P, B).

Expresando la condición anterior en coordenadas y operando, obtenemos:

( ) ⇒−++=−+−⇒= 2222 )5()2(2)2(),(),( yxyxBPdAPd


25

02168...2510444444 2222 =+−⇒⇒+−+++=+−++−⇒ yxyyxxyyxx

El lugar geométrico es la recta 8x – 6y + 21 = 0, que es la mediatriz del segmento de extremos A (2, 2) y B (- 2, 5).

8. Determina el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano tales que el área del triángulo ABP sea 10 unidades cuadradas, siendo A (2, 2) y B (− 2, 5).

El área del triángulo ABP es:

AlturaBaseÁrea ··21

=

La longitud de la base es la distancia entre A y B y vale:

( ) ( ) 5255222),( 22 ==−++== BAdBase

La longitud de la altura es la distancia del punto P (x, y) a la recta, rAB, determinada por A (2, 2) y B (- 2, 5), cuya ecuación es 3x + 4y – 14 = 0. El valor de la altura es:

51443

43

1443),(

22

−+=

+

−+==

yxyxrPdAltura AB

Las expresiones anteriores las llevamos a la fórmula del área y operamos:

201443105

1443·5·

21··

21

=−+⇒=−+

⇒= yxyx

AlturaBaseÁrea

Tomando el signo positivo del valor absoluto: 3x + 4y – 14 = 20, es decir, 3x + 4y – 34 = 0.

Tomando el signo negativo del valor absoluto: 3x + 4y – 14 = - 20, es decir, 3x + 4y + 6 = 0.

El lugar geométrico está formado por dos rectas paralelas a la recta determinada por los puntos A (2, 2) y B (- 2, 5).


26

9. Determina las ecuaciones de las circunferencias que cumplan las condiciones siguientes:

a) Tiene por centro el punto (4, 5) y radio 6.

b) Uno de sus diámetros es el segmento de extremos A(4, 5) y B(10, - 3).

c) Tiene por centro el punto (1, -4) y pasa por el punto (6, 8).

d) Tiene por centro el punto (1, 4) y es tangente a la recta 4x + 3y = 6.

e) Pasa por los puntos A(6, 4) , B(-2 ,-4) y C(-10, 4).

f) Pasa por los puntos P(7, -6) , Q(-3, 0) y tiene su centro en la recta 3x + 4y = 23.

En la tabla aparecen los resultados pedidos.

Apartado Centro Radio Ecuación

a) (4, 5) 6 (x – 4)2 + (y – 5)2 = 62

b) (7, 1) 5 (x – 7)2 + (y – 1)2 = 52

c) (1, - 4) 13 (x – 1)2 + (y + 4)2 = 132

d) (1, 4) 2 (x – 1)2 + (y – 4)2 = 22

e) (- 2, 4) 8 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 64 f) (5, 2) 68 (x – 5)2 + (y – 2)2 = 68


27

10. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 6x - 8y + 9 = 0:

a) Halla su centro y su radio.

b) Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica con la anterior y que pasa por el punto (-4, 4).

Las respuestas son:

a) El centro es el punto C (- 3, 4) y el radio vale 4.

b) La ecuación es (x + 3)2 + (y – 4)2 = 1

11. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 6y - 16 = 0 en el punto A (4, 0) y en el diametralmente opuesto.

La tangente en el punto P (4, 0) es la recta 4x + 3y = 16.

La tangente en el punto Q (- 4, - 6), diametralmente opuesto al punto A, es la recta 4x + 3y = - 34.

12. Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, 5) y tangente a la recta 5x - 12y -7 = 0. Escribe la ecuación de la recta tangente a la circunferencia anterior que sea paralela a la recta dada.

La ecuación de la circunferencia es (x – 3)2 + (y – 5)2 = 42.

La ecuación de la recta tangente es 5x – 12y + 97 = 0.

13. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-6, 4) y es tangente a los ejes coordenados.

La circunferencia tangente a los ejes coordenados tendrá por centro C (a, - a) y su radio valdrá a unidades. Como ha de pasar por el punto P dado, podemos escribir:

( ) ( ) aaaradioPCd =−−++== 22 46),(


28

Operando obtenemos dos circunferencias:

C1 ≡ centro (-3,07; 3,07) y radio 3,07 cuya ecuación es: (x + 3,07)2 + (y – 3,07)2 = 3,072.

C2 ≡ centro (- 16,93; 16,93) y radio 16,93, cuya ecuación es: (x+ 16,93)2 + (y – 16,93)2 = 16,932.

14. Dadas las circunferencias

=−−+

=−++

036803618

22

22

xyxxyx

, halla:

a) La ecuación del eje radical. b) La potencia del centro de la segunda respecto de la primera.

Las soluciones son:

a) El eje radical es la recta x = 0. b) La potencia pedida es 52.

15. Sea la circunferencia de ecuación (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4, halla, sin resolver sistemas, si las rectas siguientes son secantes, exteriores o tangentes a la circunferencia dada, razonando la respuesta:

a) r : 8x + 6y + 19 = 0 b) s : 4x – 3y + 15 = 0

Los resultados son:

a) La distancia del centro C (- 3, 1) a la recta 8x + 6y + 19 = 0 es:

radiod =<=+

++−= 2

101

68

191·6)3(·822

Por tanto, la recta r es secante.

b) La distancia del centro C (- 3, 1) a la recta 4x - 3y + 15 = 0 es:

radiod =<==−+

+−−= 20

50

)3(4

151·3)3(·422

Por tanto, la recta s es secante.


29

16. Determina la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones x2 + y2 = 5 y x2 + y2 = 5y.

Encontramos los puntos de intersección de ambas circunferencias resolviendo el sistema:

)1,2()1,2(1

2055

555 22

22

22

−⇒

=±=

⇒

=−=+

⇒

=+

=+ByA

yx

yyx

yyxyx

La longitud de la cuerda común es la distancia entre A y B:

( ) ( ) 4161122),( 22 ==−++=BAd unidades lineales.


17. Halla los focos, los semiejes y la excentricidad de las siguientes elipses:

a) 164100

22

=+yx b) 1

1443

8002 22

=+yx

c) 49x2 + 625y2 = 30625 d) 19

22

=+ yx

Los resultados aparecen en la tabla:

Apartado Focos Semiejes Excentricidad

a) F ´ (- 6, 0) F (6, 0) a= 10, b = 8 e = 0,6

b) F ´ (- 18,76; 0) F (18,76; 0) a= 20, b = 6,93 e = 0,94

c) F ´ (- 24, 0) F (24, 0) a= 25, b = 7 e = 0,96

d) F ´ (- 2,83; 0) F (2,83; 0) a= 3, b = 1 e = 0,94

18. Escribe las ecuaciones de las tangentes y las normales a la elipse 12516

22

=+yx en los puntos de

abscisa x = 2.

Los puntos de corte de la elipse de abscisa x = 2 son P (2; 4,33) y Q (2; - 4,33).


30

La tangente en P es la recta 0,72x + y = 5,77 y la normal tiene por ecuación 1,39x – y = - 1,55.

La tangente en Q es la recta 0,72x - y = 5,77 y la normal tiene por ecuación 1,39x + y = - 1,55.

19. Averigua las ecuaciones reducidas de las elipses de eje mayor OX en cada uno de los siguientes casos:

a) La distancia focal es 16 cm y el semieje mayor 10 cm.

b) Pasa por el punto (3, 2) y el semieje menor es 4 unidades.

c) Su excentricidad vale 53 y su eje menor vale 16 unidades.

d) Pasa por el punto (0, - 24) y su excentricidad es 135 .

Las ecuaciones pedidas son:

a) 136100

22

=+yx b) 1

1612

22

=+yx c) 1

64100

22

=+yx d) 1

576676

22

=+yx

20. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (12, 0) y (- 12, 0) es 26 unidades. ¿Qué cónica obtienes? Halla sus elementos.

Se obtiene la elipse de ecuación reducida 125169

22

=+yx .

Tiene los focos en los puntos F ´ (- 12, 0) y F (12, 0). Sus semiejes son a = 13 y b = 5; y su excentricidad vale e = 0,92.


31

21. Ecuación reducida de la elipse que pasa por los puntos P(10, 8 3 ) y Q( 28,210 ). Encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a ella en esos puntos.

La ecuación reducida de la elipse es: 1256400

22

=+yx .

La recta tangente a la elipse en el punto P (10, 8 3 ) es 31601534 =+ yx .

La recta tangente en el punto Q ( 28,210 ) es 28054 =+ yx

22. Determina las ecuaciones de las elipses que tienen las siguientes gráficas. Halla los elementos de cada una de ellas.

Las soluciones se recogen en la tabla.

Apartado Ecuación Focos Vértices Eje mayor Eje menor Distancia focal

a) 1

49

22

=+yx ( )

( )0,5

0,5− (- 3, 0) (3, 0)

(0, - 2) (0, 2)

6

4

52

b) 1

41

22

=+yx ( )

( )3,0

3,0 − (- 1, 0) (1, 0)

(0, - 2) (0, 2)

4

2

32

c) 1

416

22

=+yx ( )

( )0,12

0,12− (- 4, 0) (4, 0)

(0, - 2) (0, 2)

8

4

122

23. Halla los focos, los semiejes y la excentricidad y las asíntotas de las hipérbolas siguientes:


32

a) 13664

22

=−yx b) 1

14425

22

=−yx c) 81x2 -144y2 = 11664 d) 1

1282

1083 22

=−yx

Los resultados aparecen en la tabla:

Apartado Focos Semiejes Excentricidad Asíntotas

a) F ´ (- 10, 0) F (10, 0) a = 8, b = 6 e = 1,25 xy 75,0±=

b) F ´ (- 13, 0) F (13, 0) a = 5, b = 12 e = 2,6 xy 4,2±=

c) F ´ (- 15, 0) F (15, 0) a = 12, b = 9 e = 1,25 xy 75,0±=

d) F ´ (- 10, 0) F (10, 0) a = 6, b = 8 e = 1,67 xy 33,1±=

24. Si la ecuación de una hipérbola es x · y = 25, ¿cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas? ¿Y las de los ejes de la cónica? ¿Cuáles son las coordenadas de los focos?

La ecuación de esta hipérbola corresponde a una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas.

Su asíntotas son: y = 0 y x = 0. Sus ejes son: y = x e y = - x.

Para determinar sus focos: 102550252

22

=⇒=⇒=⇒= caaa.

Sus focos son: (5 2 , 5 2 ) y (- 5 2 , - 5 2 ).


33

25. Dibuja la hipérbola 16x2 – 9y2 = 144 previo cálculo de vértices, focos y asíntotas. Halla las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto de la hipérbola de ordenada 2 y abscisa negativa.

La ecuación reducida es 1169

22

=−yx .

Sus vértices son los puntos A´ (- 3, 0) y A (3, 0).

Los focos son los puntos F ´ (- 5, 0) y F (5, 0).

Las asíntotas son las rectas: xyexy34

34

−== .

La ecuación de la recta tangente en el punto

− 2,

253P es .24354 −=+ yx

La gráfica puede verse en el dibujo.

26. Halla las ecuaciones de las hipérbolas de focos en OX en cada uno de los siguientes apartados:

a) Tiene un vértice en el punto (24, 0) y una de sus asíntotas es la recta 7x – 24y =0.

b) Pasa por los puntos A (3, 0) y B (5 , -3).

c) Pasa por el punto

332,10 y su distancia focal es 10 unidades.

d) Pasa por el punto P (10, 8) y su excentricidad vale 2 .

Las ecuaciones reducidas son:


34

a) 149576

22

=−yx b) 1

16819

22

=−yx c) 1

03,1497,10

22

=−yx d) 1

3636

22

=−yx

27. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos (17, 0) y (-17, 0) es 30 unidades.

Es la hipérbola de ecuación 164225

22

=−yx .


28. Encuentra las ecuaciones de las hipérbolas que tienen las siguientes gráficas. Halla los elementos de cada una de ellas.

a) La ecuación de la hipérbola es: 114

22

=−yx .

Sus elementos son:

- Focos: (- 2,24; 0) y (2,24; 0) - Vértices: (- 2, 0) y (2, 0) - Asíntotas: xyexy21

21

=−=

- Eje mayor: 4 - Eje menor: 1 - Distancia focal: 4,48

b) La ecuación de la hipérbola es: 141

22

=−xy .

Sus elementos son:

- Focos: (0, - 2,24) y (0, 2,24) - Vértices: (0, - 1) y (0, 1) - Asíntotas: xyexy21

21

=−=



35

29. Determina las ecuaciones de las parábolas sujetas a las siguientes condiciones:

a) Tiene por foco el punto (3, 5) y por vértice el punto (1, 5).

b) Tiene por foco el punto (-2, 5) y por directriz la recta y = -3.

c) Tiene por vértice el punto (2, - 3) y por directriz la recta x = 7.

d) Tiene por vértice el punto (-3, -2), por eje la recta x = -3 y pasa por el punto A (1, - 6).

Las ecuaciones de las parábolas son:

a) (y – 5)2 = 8 (x – 1) c) (y + 3)2 = - 20 (x - 2)

b) (x + 2)2 = 16 (y – 1) d) (x + 3)2 = - 4 (y + 2)

30. Halla la ecuación de la parábola de eje paralelo a OX que pasa por los puntos (6, 0), (12, -1) y (6, 2).

La ecuación de las parábolas de eje paralelo a OX es: x = ay2 + by + c.

Imponiendo que pasa por los puntos (6, 0), (12, -1) y (6, 2), obtenemos el sistema:

=−=

=⇒

=++=+−

=

64

2

62412

6

cba

cbacba

c

La ecuación es x = 2y2 – 4y + 6.


36

31. Halla el eje, la directriz, el foco y el vértice de la parábola y = 1 – 4x - x2.

Los elementos de la parábola son:

Eje: x = - 2. Foco: F (-2; 4,75) Directriz: y = 5,25 Vértice: V (- 2, 5).

32. Encuentra las ecuaciones de las parábolas que tienen las siguientes gráficas. Halla los elementos de cada una de ellas.

a) La ecuación de la parábola es (x – 1)2 = - 8 · (y + 1)

Sus elementos son:

- Foco: (1, - 3) - Vértice (1, - 1) - Directriz: y = 1 - Eje: x = 1 - Parámetro: p = 4

b) La ecuación de la parábola es y2 = 4 · (x - 1)

Sus elementos son:

- Foco: (2, 0) - Vértice (1, 0) - Directriz: x = 0 - Eje: y = 0 - Parámetro: p = 2

33. Determina las ecuaciones de las tangentes a la parábola y = x2 – 6x + 4 en los puntos en los que la ordenada y la abscisa son opuestas.

Los puntos de corte son las soluciones del sistema:

−−

⇒

−=+−=

)1,1()4,4(462

QP

xyxxy

La tangente en el punto P (4, - 4) es la recta 2x – y = 12.

La tangente en el punto Q (1, - 1) es la recta 4x + y = 3.


37

34. Halla los elementos de cada una de las parábolas y represéntalas:

a) x2- 10y -4x + 34=0 b) y2 + 10 y + 10x - 5 = 0 c) x2 + 8y - 8 = 0

a) Los elementos son:

Eje: x = 2

Directriz: y = 0,5

Vértice: V (2, 3)

Foco: F (2; 5,5)


38

b) Los elementos son:

Eje: y = - 5

Directriz: x = 5,5

Vértice: V (3, - 5)

Foco: F (0,5; - 5)

c) Los elementos son:

Eje: x = 0

Directriz: y = 3

Vértice: V (0, 1)

Foco: F (0, - 1)


39

35. Las rectas x – y = 0 y x + y = 0, bisectrices de los cuatro cuadrantes, cortan a la parábola y = 4x- x2 en tres puntos. Halla el área del triángulo que forman.

Hallamos los puntos de corte de la parábola con la recta x – y = 0:

)3,3()0,0(30

042

AyOxy

xóxyx

xxy⇒

===

⇒

=−+−=

Hallamos los puntos de corte de la parábola con la recta x + y = 0:

)5,5()0,0(50

042

−⇒

−===

⇒

=++−=

ByOxy

xóxyx

xxy

El triángulo AOB es rectángulo en el vértice O, al ser las rectas perpendiculares. Su área será:

),(·),(·21 BOdAOdÁrea =

Las distancias d (O, A) y d (O, B) valen:

( ) ( ) 23180303),( 22 ==−+−=AOd y ( ) ( ) 25500505),( 22 ==−−+−=BOd

El área del triángulo AOB es: 1525·23·21

==Área unidades cuadradas.


40

36. Identifica qué tipo de cónicas representan cada una de las siguientes ecuaciones. Describe sus elementos característicos.

a) 2x – y2 – 6y = 0 c) x2 – y2 = 4 e) x2 + y2 = 6y

b) 116

92

2 =+yx d) 1

55

22

=+yx f)

251

36

22 yx+=

Las cónicas son:

a) Parábola. Sus elementos:

- Foco: (- 4, - 3) - Vértice (- 4,5; - 3) - Directriz: x = - 5 - Eje: y = - 3 - Parámetro: p = 1

b) Elipse. Sus elementos:

- Focos: (0; - 3,99) y (0; 3,99) - Vértices: (- 0,33; 0); (0,33; 0); (0, - 4) y (0, 4) Eje mayor: 8

- Eje menor: 0,66 - Distancia focal: 7.98

c) Hipérbola. Sus elementos:

- Focos: (-2,83; 0) y (2,83; 0) - Vértices: (- 2, 0) y (2, 0) - Asíntotas: y = x e y = - x


d) Circunferencia. Sus elementos:

- Centro: C (0, 0) - Radio: 5

e) Circunferencia, Sus elementos:

- Centro: C (0, 3) - Radio: 3

f) Hipérbola. Sus elementos:

- Focos: (-7,81; 0) y (7,81; 0) - Vértices: (- 6, 0) y (6, 0) - Asíntotas: 5x – 6y = 0; 5x + 6y = 0



41

37. Encuentra las intersecciones de cada una de las siguientes cónicas con una recta:

a)

=+=+

15232522

yxyx b)

=+=+

1232 22

yxyx c)

=+=−62

622

yxyx d)

−=−=+−

45310522

yxyxx

En cada caso resolvemos el sistema correspondiente.

a) ⇒

+−=

=+⇒

=+=+

215

23

25

152325

2222

xy

yx

yxyx

==

==

⇒

+−=

=+−⇒

62,492,1

05

215

23

01259013 2

yx

yyx

xy

xx

b) ⇒

−==+

⇒

=+=+

yxyx

yxyx

2132

1232 2222

−=−=

==

=−=

⇒

−==−−

⇒33,0

31

67,135

11

210123 2

y

xy

yx

yxyy

c) ⇒

−==−

⇒

=+=−

xyyx

yxyx

266

626 2222

==

−==

⇒

−==+−

⇒82,059,2

82,441,5

2601482

yx

yyx

xyxx


42

d) ⇒

+==+−

⇒

−=−=+−

4351052

4531052 22

xyyxx

yxyxx

−=−=

==

⇒

+==−+

⇒13

22

435062

yx

yyx

xyxx


38. Las bisectrices de los cuatro cuadrantes cortan a las cónicas que siguen en tres puntos.

a) Circunferencia x2 + y2 – 2x – 6y = 0.

b) Elipse x2 + 3y2 – 20y = 0.

c) Parábola y = x2 – 4x.

En cada caso halla los puntos de corte y el área del triángulo que forman.

a) Los puntos de corte de la circunferencia con la bisectriz del primer y tercer cuadrante son:

⇒

====

⇒

==−−+

)4,4()0,0(

4,40,006222

yxyx

xyyxyx

Los puntos de corte de la circunferencia con la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante son:

−

⇒

=−===

⇒

−==−−+

)2,2()0,0(

2,20,006222

yxyx

xyyxyx


43

El área del triángulo de vértices (0, 0); (4, 4) y (- 2, 2) es 8 unidades cuadradas.

b) Los puntos de corte de la elipse con la bisectriz del primer y tercer cuadrante son:

⇒

==

==⇒

==−+

310,

310

)0,0(

310,

310

0,00205 22

yx

yx

xyyyx

Los puntos de corte de la circunferencia con la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante son:

−

⇒

=−=

==⇒

−==−+

310,

310

)0,0(

310,

310

0,00205 22

yx

yx

xyyyx

El área del triángulo de vértices

−

310,

310

310,

310);0,0( y es 11,11

9100

= unidades cuadradas.

c) Los puntos de corte de la parábola con la bisectriz del primer y tercer cuadrante son:

⇒

====

⇒

=−=

)5,5()0,0(

5,50,042

yxyx

xyxxy

Los puntos de corte de la parábola con la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante son:

−⇒

−====

⇒

−=−=

)3,3()0,0(

3,30,042

yxyx

xyxxy

El área del triángulo de vértices (0, 0); (5, 5) y (3, - 3) es 15 unidades cuadradas.


44

39. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que están a doble distancia del punto A (5, 3) que del B (- 2, 1). ¿Qué cónicas obtienes?

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Se cumplirá 2 · d (P, B) = d (P, A).

Expresando las distancias y operando obtenemos la ecuación:

042142)3()5()1()2(·2 222222 =+−−+⇒−+−=−++ yxyxyxyx

La cónica obtenida es la circunferencia de centro el punto C (1, 7) y radio .8=r

40. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia a la recta de ecuación 3x − 4y − 15 = 0 tenga el mismo valor que el cuadrado de la abscisa, x2.

Sea P (x, y) un punto del lugar geométrico buscado. Se cumplirá 2 · d (P, r) = x2

Expresando las distancias y operando obtenemos la ecuación:

−+=

−+−=⇒

−=−−

=−−⇒=

−+

−−

515

43

45

415

43

45

5154351543

)4(3

1543

2

2

2

22

22xxy

xxy

xyxxyx

xyx

Las cónicas obtenidas son:

● La parabóla de ecuación 4

1543

45 2 −+−= xxy , con foco F (0,3; - 3,84); vértice V (0,3; - 3,64), directriz

y = - 3,44 y eje x = 0,3.

● La parabóla de ecuación 4

1543

45 2 −+= xxy , con foco F (- 0,3; - 3,66); vértice V (- 0,3; - 3,86), directriz

y = - 4,06 y eje x = - 0,3.


45

41. Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta x = 2 en el punto B (2, 6) y que pase por el punto A (4, 4). Halla la ecuación de la recta tangente paralela a la dada.

La circunferencia buscada tiene su centro en el punto C (4, 6) y su radio es r = 2. Su ecuación es:

(x – 4)2 + (y – 6)2 = 22

La recta tangente a la circunferencia y paralela a x = 2 es x = 6.

42. Dadas las circunferencias C1: x2 + y2 - 4x - 16y + 4 = 0 y C2: x2 + y2 - 20x - 4y +100 = 0, halla la recta tangente en el punto de intersección de las mismas.

Las circunferencias dadas son tangentes. El punto de intersección de ambas circunferencias es

516,

542 .

La ecuación de la recta tangente será la recta que pasa por el punto de intersección y es perpendicular a la recta que contiene a los centros de ambas circunferencias. La ecuación es 4x – 3y = 24.

43. Halla los elementos de la cónica de ecuación x · y = 72. ¿De qué cónica se trata? Represéntala gráficamente.

Se trata de la hipérbola equilátera que vemos en el dibujo.

Sus elementos son:

Vértices: A (8,49; 8,49) y B (- 8,49; - 8,49)


46

Focos: F (12, 12) y F ´ (- 12, - 12)

Ejes: y = x e y = - x

Asíntotas: y = 0 y x = 0

44. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto P (- 5, 3) y de la recta x + 2 = 0. Indica qué tipo de cónica es y represéntala gráficamente

El lugar geométrico tiene por ecuación 6x + y2 – 6y + 30 = 0. Se trata de una parábola de eje paralelo a OX.

Sus elementos son:

Vértice V (-3,5; 3)

Foco: F (- 5, 3)

Directriz: x = - 2

Eje: y = 3


47

45. Dadas la parábola de ecuación 4y = x2 y la recta 3x − 4y + 4 = 0, halla el ángulo que forman las rectas tangentes a la parábola en los puntos de corte con la recta.

Los puntos de corte de la parábola y la recta son: P (4, 4) y

−

41,1Q .

La ecuación de la recta tangente en el punto P es y = 2x – 4.

La ecuación de la recta tangente en el punto Q es 41

21

−−= xy

.

Ambas rectas son perpendiculares.

46. Una antena parabólica tiene un diámetro de 106 cm. Halla su profundidad b si su foco, F, o receptor se encuentra a 20 cm del vértice.

El foco de la parábola es el punto F (0, 20) y la directriz es la recta de ecuación y + 20 = 0

La ecuación de la parábola es x2 = 80y. Determinamos los puntos de la parábola que están a una distancia b del eje OX, resolviendo el sistema:

( )( )

−

⇒

==

=−=⇒

=±=

⇒

==

bbP

bbP

bybx

bybxby

bxby

yx,80

,80

;80

;808080

2

12

Como el diámetro de la antena mide 106 cm se tendrá:

.11,3580

28092809805380106802 cmbbbb ==⇒=⇒=⇒=


48

47. La Tierra se mueve en torno al Sol en una órbita elíptica de excentricidad e = 0,017 y cuyo semieje mayor, a, mide 149,60 millones de kilómetros, en la que el Sol ocupa la posición de uno de los focos. Determina:

a) La longitud del semieje menor.

b) La máxima y la mínima distancia que separan la Tierra del Sol (estos puntos de máxima y mínima distancia de la Tierra al Sol a lo largo de la órbita, se llaman, respectivamente, «afelio» y «perihelio»).

a) Aplicando la definición de excentricidad de una elipse y operando:

66 10·54,210·60,149·017,0· ===⇒= aecace

A partir de la relación a2 = b2 + c2 obtenemos:

.10·58,149)10·54,2()10·60,149( 6262622 =−=⇒−= bcab

La longitud del semieje menor de la órbita es 149,58 · 106 km.

b) Como el Sol está situado en uno de los focos de la elipse, la distancia máxima (afelio) y la mínima (perhielio) que separan a la Tierra del Sol son, respectivamente, a + c y a – c.

Tenemos los valores de las distancias:

dmáx = 149,60 · 106 + 2,54 · 106 = 154,14 · 106 km.

dmín = 149,60 · 106 - 2,54 · 106 = 147,06 · 106 km.

48. Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta x = −25 y que pasa por los focos de la elipse de ecuación 169x2 + 144y2 = 24 336.

Los focos de la elipse son los puntos F1 (0, - 5) y F2 (0, 5).

Por la simetría del problema y al ser la circunferencia tangente a la recta x = - 25, pasará por el punto P (- 25, 0).


49

Imponemos a la ecuación x2 + y2 + mx + ny + p = 0 que pase por los puntos F1, F2 y P y obtenemos:

−===

⇒

−=+−−=+−=+−

⇒

=+−++−−

=++++

=+−++−+−

25024

62525255

255

00·*)25(·0)25(:)0,25(05·0·50:)5,0(

0)5(·0·)5(0:)5,0(

22

222

221

pnm

pmpn

pn

pnmPpnmF

pnmF

Encontramos la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 24x – 25 = 0 o (x + 12)2 + y2 = 169, es decir, la circunferencia de centro el punto C (- 12, 0) y radio r = 13.

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 199

Métodos de construcción de las cónicas

Las cónicas admiten diferentes métodos de construcción. Nombramos o describimos alguno de ellos.

● Mediante rectas envolventes. Por ejemplo, para una parábola dibujamos una recta cualquiera y un punto F no situado en ella. Desde cualquier punto P de la recta se traza la perpendicular a PF. El foco de la parábola es F y la directriz es la recta.

● Mediante dobleces de papel (existen diferentes procedimientos).

Por ejemplo, si en una hoja se dibuja una recta y un punto fuera de ella, se dobla el papel de modo que la recta se sitúe sobre el punto y se marca el doblez. Al hacerlo varias veces se obtiene la envolvente de la parábola.

● Mediante aparatos de dibujo: compases cónicos, elipsógrafo, parabológrafo e hiperbológrafo.

● Mediante las intersecciones de una familia de rectas paralelas y una familia de circunferencias concéntricas.


50

● Métodos de dibujo geométrico conociendo algunos de sus elementos.

● Otros: método del jardinero o método del carpintero.

Realiza una investigación sobre los métodos anteriores.

CUESTIONES INICIALES de la página 176...El lugar geométrico es la recta x + 2y –13 = 0, que...

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