INSTITUTO POLITCNICO NACIONALESIMEUnidad Profesional Ticomn

(Ingeniera en Aeronutica)Sistemas de Control en Aeronaves

Prof. Ing. Raymundo Hernndez BrcenasPrctica #5: Lugar geomtrico de las races

Integrantes:Machorro Macas Sergio Alberto

Grupo 8AM318 de Mayo de 20151. IntroduccinComo se mencion anteriormente Matlab es un programa de ingeniera muy til ya que puede hacer mltiples tareas, desde resolver ecuaciones complejas y hasta crear grficos en tres dimensiones.En sta prctica utilizaremos un comando nuevo: Rlocus. Calcula el lugar de las races de un modelo de circuito abierto SISO. El lugar de las races da las trayectorias de polos en lazo cerrado como una funcin de la ganancia de realimentacin k (suponiendo una retroalimentacin negativa). Los lugares de las races se utilizan para estudiar los efectos de variar las ganancias de la retroalimentacin sobre la ubicacin de los polos en lazo cerrado. A su vez, estos lugares ofrecen informacin indirecta sobre las respuestas de tiempo y frecuencia.Rlocus (sys) calcula y grafica el lugar de las races de los modelos sys de lazo abierto SISO. Esta funcin se puede aplicar a cualquiera de los siguientes lazos de retroalimentacin negativa mediante una buena colocacin de sys.

Si sys tiene funcin de transferencia:

los polos en lazo cerrado son las races de:

rlocus selecciona adaptivamente un conjunto de ganancias positivas k para producir una grfica suave. Alternativamente,

utiliza el vector k especificado por el usuario de ganancias para trazar el lugar de races.rlocus (sys1, SYS2, ...) seala los lugares de las races de los mltiples modelos LTI sys1, SYS2, ... en una sola grfica.Puede especificar un color, estilo de lnea y el marcador para cada modelo, como en rlocus (sys1, 'r', SYS2, 'y:', SYS3, 'gx').[r, k] = rlocus (sys) y r = rlocus (sys, k) devuelven el vector k de las ganancias seleccionadas y los lugares de races complejas r de estas ganancias. La matriz r tiene longitud (k) columnas y su columna j enumera las races de circuito cerrado para la ganancia k (j).

2. ObjetivoQue el alumno conozca el procedimiento de la representacin geomtrica de las races, as como la funcin en Matlab.

3. Marco terico

Lugar Geomtrico de las RacesAnlisis del Lugar Geomtrico de las Races (LGR) o Mtodo de EvansLa caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacin de los polos en lazo cerrado.Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicacin de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las races de la ecuacin caracterstica.W. R. Evans dise un mtodo sencillo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica, que se usa ampliamente en la ingeniera de control. Este mtodo se denomina mtodo del lugar geomtrico de las races, y en l se grafican las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema. Observe que el parmetro es, por lo general, la ganancia la cual se vara de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la funcin de transferencia en lazo abiertoSea el siguiente sistema de control:

La funcin de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son:

La ecuacin caracterstica de lazo cerrado:

Las races de la ecuacin caracterstica o polos de lazo cerrado son:

De la grfica: El sistema es estable si K>0, dado que en esta condicin ambos polos estn en el lado izquierdo del plano s.

Respuesta transitoria1. Sobre-amortiguada (Polos reales y diferentes)

2. Crticamente amortiguada (Polos reales e iguales)

3. Sub-amortiguada (Polos complejos conjugados)

4. Sin amortiguamiento (Polos imaginarios)No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.

Grfica del lugar geomtrico de las racesConsidere el siguiente sistema de control, la funcin de transferencia de lazo cerrado es:

La ecuacin caracterstica de este sistema es:

O bien

El trmino G(s)H(s) es un cociente de polinomios en s. Como G(s)H(s) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ngulo.Condicin de ngulo:

Condicin de magnitud

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races es una grfica de los puntos del plano complejo que slo satisfacen la condicin de ngulo. Las races de la ecuacin caracterstica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud.

Magnitud y ngulo en el plano sPor ejemplo Si G(s)H(s) es:

En donde p2 y p3 son polos complejos conjugados, el ngulo de G(s)H(s) es:

La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es:

4. Desarrollo1. Abrimos el programa Matlab y le damos en el botn de la pantalla de inicio, en la parte superior, que dice new script.

2. Enseguida ponemos algunos datos antecedidos por un signo de porcentaje (%) para indicar que son slo comentarios, nombre del alumno y de la prctica, objetivo, nmero de prctica y asignatura.

3. Declaramos las variables num1=[1] y den1=[1 2] para la funcin de transferencia, g1=tf(num1,den1).

4. Despus solicitamos que graficara la respuesta al escaln con el comando step en una nueva ventana con ayuda del comando figure y activamos la rejilla de fondo con el comando grid on.

5. Despus solicitamos que graficara la respuesta al impulso con el comando impulse en una nueva ventana con ayuda del comando figure y activamos la rejilla de fondo con el comando grid on.

6. Despus solicitamos que graficara el lugar geomtrico de las races con el comando rlocus en una nueva ventana con ayuda del comando figure y activamos la rejilla de fondo con el comando grid on.

7. Observamos el comportamiento de cada grfica y el profesor dio una breve explicacin de cada una de ellas.8. Posteriormente repetimos los pasos 2 al 6 haciendo algunos cambios como se muestra en la siguiente tabla:Funcin de transferenciaNumerador y denominadorGrficaRespuesta al escaln, al impulso y rlocus

g1=tf(num1,den1)num1=[1]den1=[1 2]figure(1)figure(2)figure(3)step(g1)impulse(g1)rlocus(g1)

g2=tf(num2,den2)num2=[1]den2=[1 -2]figure(4)figure(5)figure(6)step(g2)impulse(g2)rlocus(g2)

g3=tf(num3,den3)num3=[1]den3=[1 4 5]figure(7)figure(8)figure(9)step(g3)impulse(g3)rlocus(g3)

g4=tf(num4,den4)num4=[2 2]den4=[1 2 3 4 1]figure(10)figure(11)figure(12)step(g4)impulse(g4)rlocus(g4)

g5=tf(num5,den5)num5=[2 1]den5=[1 1 1 4 1]figure(13)figure(14)figure(15)step(g5)impulse(g5)rlocus(g5)

Mismas grficas que se pueden apreciar en el punto nmero, 5. Resultados, donde se muestran todas las grficas.

5. Resultados Funcin de transferencia 1

En las siguientes grficas de step response e impulse response observamos que se parecen a grficas antes vistas en otras prcticas, donde no hay amortiguamiento y se dan en intervalos de tiempo muy reducidos, es decir, el tiempo de levantamiento, establecimiento, etc. son muy cortos. En cuanto al lugar de las races se aprecia que el nico polo est en -2 que es el valor que se obtiene del denominador de la ecuacin caracterstica, adems de que se dice que es estable ya que el polo se encuentra del lado izquierdo del eje imaginario como se puede ver en la siguiente imagen de la figure 3 misma que muestra que no tenemos ningn zero ya que el numerador es 1.

Funcin de transferencia 2

En las siguientes grficas de step response e impulse response observamos que son parecidas a las anteriores, no hay amortiguamiento y son inversas a las grficas de la funcin de transferencia 1, adems de que los tiempos de subida y establecimiento son muy grandes as como la amplitud de la grfica se aprecia que llega a valores infinitos (tericamente).Esto se obtuvo nicamente cambiando el signo del valor independiente (nmero real que no es multiplicado por s) del denominador; es decir si el polo en las grficas anteriores es -2 en este caso ser 2 y se encuentra en el lado derecho del eje imaginario, lo que indica que es inestable y se puede apreciar en la grfica figure 6 donde de igual forma no tenemos ningn zero ya que el denominador es el mismo.De hecho podemos decir desde el impulse response que el sistema es inestable ya que la respuesta al impulso debera tender a cero, y en este caso se aprecia que tiende al infinito.

Funcin de transferencia 3

En las siguientes grficas de step response e impulse response observamos que no existe amortiguamiento y que los tiempos de subida y establecimiento no son tan pequeos como los valores de las primeras grficas pero aun as son bastante cortos. Adems a simple vista se aprecia que hay un sobrepaso de 0%.Por el lado del lugar de los polos podemos ver en la figure 9 que el sistema es estable ya que adems de que la respuesta al impulso tiende a cero, los polos estn del lado izquierdo del eje imaginario.Tambin se puede observar que los polos ya tiene un valor real y uno imaginario debido a que la ecuacin del denominador es cuadrtica.

Funcin de transferencia 4

En las siguientes grficas de step response e impulse response observamos que ya hay un amortiguamiento a diferencia de las grficas anteriores e incluso tenemos un pequeo sobrepaso, el tiempo de subida es bastante corto y la diferencia con el tiempo de establecimiento es relativamente grande.De igual forma se aprecia que la respuesta al impulso tiende a cero lo que nos indica que el sistema es estable, reafirmando esto viendo la grfica de la figure 12 donde se aprecian los polos del lado izquierdo del eje imaginario que igual que las grficas de la funcin de transferencia 3 los polos tienen valor real e imaginario; pero en este caso debido a que es una ecuacin de 4to grado tenemos cuatro polos distintos, dos tienen valores reales y los otros dos tienen valores reales e imaginarios.En esta ocasin tenemos un zero que sale del numerador de la ecuacin caracterstica, donde, igualando a cero tenemos que el zero es igual a -1 y se encuentra en el lado izquierdo del eje imaginario donde se dirige uno de los polos como se muestra en la grfica de la figure 12. De ah que podemos reafirmar que el sistema es estable ya que los polos y zeros estn del lado izquierdo del eje imaginario.

Funcin de transferencia 5

En las siguientes grficas de step response e impulse response observamos que tambin hay un amortiguamiento, el tiempo de subida es bastante grande y el tiempo de establecimiento es prcticamente nulo ya que en lo que se aprecia en la grfica el impulse response tiende al infinito lo que nos indica que sta funcin de transferencia es inestable.Reafirmando lo mencionado anteriormente observamos en la grfica figure 15 que dos polos, de los cuatro generadas a partir de la ecuacin de 4to grado del denominador, estn del lado derecho del eje imaginario indicando que es inestable.Tambin podemos apreciar que el zero de la ecuacin de transferencia 4 est ms cerca de uno de los polos debido a que la ecuacin del numerador cambio de 2s+2 a 2s+1, por tanto igualando a cero tenemos que el zero es igual a -1/2 y como es evidente est ms cerca del eje imaginario, y en este caso ms cerca del polo tambin.

6. ConclusionesPor medio de sta prctica observamos como vara el lugar de las races cambiando los coeficientes del denominador de la ecuacin caracterstica, ya que factorizando la ecuacin a varios binomios podemos obtener los valores de los polos y as saber, tericamente, si la funcin de transferencia es estable, ya que si los polos se encuentran del lado derecho del eje imaginario se dice que la ecuacin es inestable; esto mismo se puede observar en el grfico del lugar de las races (rlocus), pero tambin se deduce que es inestable si en la respuesta al impulso la grfica no tiende a cero.Tambin podemos saber cuntas races tiene nuestro sistema desde la ecuacin caracterstica ya que la potencia de s ms elevada nos indica el nmero de races que podemos tener.Esto se observa comparando la potencia ms elevada de s contra la grfica del lugar de las races (rlocus) donde los asteriscos graficados nos indican donde estn los polos de la ecuacin caracterstica de modo que al sumar la cantidad de asteriscos en la grfica sabemos la potencia ms grande que tenemos de s y viceversa ().Por otra parte el numerador nos indica el nmero de zeros que tiene la ecuacin as como en el denominador son los polos, en el numerador son los zeros, por tanto aplican las mismas reglas donde: El exponente ms elevado nos indica el nmero de zeros. Factorizando en binomios podemos obtener la ubicacin de los zeros en la grfica del lugar de las races (rlocus).La diferencia es que en la grfica los zeros se representan con un crculo y no con un asterisco.Todo esto se obtuvo a travs del graficado de distintas funciones de transferencia y la comparacin entre ellas, observamos en qu circunstancias se presentan los polos, zeros o ambos, ya que a veces segn la ecuacin caracterstica no se tienen zeros pero siempre deber haber polos.Tambin reafirmamos los conocimientos adquiridos durante la teora en cuanto la estabilidad del sistema ya que observamos prcticamente dos formas distintas de saber si el sistema es estable o inestable, una es a travs de la grfica de la respuesta al impulso y la otra es a travs de la grfica del lugar de las races.

7. ReferenciasManual de introduccin a Matlab por Manuel Lpez Martnez y Jos ngel Acosta Rodrguez de la Universidad de Sevilla, 2004.http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/08%20-%20Analisis%20del%20Lugar%20Geometrico%20de%20la%20Raices.pdf