CURSO DE FÍSICA MECÁNICAEl movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es...

Docente: Ángel Arrieta Jiménez

CURSO DE FÍSICA MECÁNICA

MOVIMIENTO CIRCULAR

El movimiento de un cuerpo o partícula, es circular uniforme, cuando su trayectoria es una circunferenciay su velocidad angular (velocidad de giro) permanece constante.

La velocidad angular permanece constante, debido a que el cuerpo barre ángulos iguales para igualesintervalos de tiempo.


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)

s

Longitud de arco

Posición angularr

La longitud de arco, la posición angular y

el radio se relacionan mediante la

siguiente expresión.

s r


El movimiento circular realizado por un cuerpo o partícula puede ser:

Describiendo un circulo vertical Describiendo un circulo horizontal Describiendo un circulo inclinado


PERÍODO Y FRECUENCIA EN EL M.C.UEl movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento periódico, es decir, se repite

cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes

magnitudes:

tiempo

número de vueltas

tT

n

PERÍODO (T)

Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vueltacompleta.

Sus unidades en el SI son segundos.

número de vueltas

tiempo

nf

t

FRECUENCIA ( f )

Es el número de vueltas que da el cuerpo en launidad de tiempo. La frecuencia es la inversa delperíodo.

Sus unidades en el SI son s-1 o hertz (Hz).

Luego entonces:1

Tf

1

fT

y


VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL

Las velocidades angular y lineal se relacionan mediante la siguiente expresión: v r

VELOCIDAD ANGULAR (ω)

d

dt

Para una vuelta completa

VELOCIDAD LIENAL O TANGENCIAL (v)

vv

v v

dsv

dt

s

Para una vuelta completa

Es una magnitud física que nos indica como cambia la

posición angular del cuerpo con respecto al tiempo.

Sus unidades en el SI son rad/s.

2

T

2 f

Es una magnitud física de tipo vectorial que nos indica como

va cambiando la posición del cuerpo a lo largo de la curva con

respecto al tiempo. Se caracteriza por ser siempre tangente a la

trayectoria (circunferencia) en todo punto.

Sus unidades en el SI son m/s.

v 2 r

T

2 rf

v

F

vmF

rf

v

1v

2v


ACELERACIÓN CENTRÍPETA, NORMAL O RADIAL Es una magnitud física de tipo vectorial que esta relacionada con el cambio en dirección de la velocidad lineal o

tangencial del cuerpo.

La aceleración centrípeta siempre está dirigida en todo momento hacia el centro de la circunferencia.

Sus unidades en el SI son m/s2.

Luego entonces:

22

c

va r

r

fv

iv iv

cav

vv

vca

caca

ca

iv

fv

v


ECUACIONES DE POSICIÓN Y VELOCIDAD PARA EL M.C.ULas ecuaciones de posición y velocidad de un m.c.u con respecto al tiempo, se pueden determinar mediante

comparación con las del m.r.u.

M.R.U M.C.U

Cuando un cuerpo da cierto números de vueltas, el ángulo que describe se puede

determinar en función de dichas vueltas por la siguiente expresión.

v cte cte

ix x vt i

i

s s vt

t

NOMBRE SÍMBOLO UNIDADES

Posición angular θ rad

Longitud de arco s m

Radio r m

Velocidad lineal o tangencial v m/s

Velocidad angula ω rad/s

Período T s

Frecuencia f Hz

Aceleración centrípeta ac m/s2

Número de vueltas n Vueltas

ELEMENTOS DEL M.C.U

2 n 2n


RESUMEN DE ECUACIONES DEL M.C.U

1. is s vt

2. i t

3. s r

4. v r

25. 2

rv rf

T

26. 2 f

T

17. ó

tT T

n f

18. ó

nf f

t T

229. c

va r

r

10.2

n

Factor de conversión: 1 1 2rev vuelta rad

El movimiento de un cuerpo o partícula, es circular uniforme acelerado, cuando su trayectoria es unacircunferencia y su aceleración angular (aceleración de giro) permanece constante.

La aceleración angular permanece constante, debido a que la velocidad angular del cuerpo cambiauniformemente con el tiempo, es decir, aumenta o disminuye proporcionalmente con el tiempo.

Las unidades de la aceleración angular en el SI son rad/s2.


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERADO (M.C.U.A)

d

dt

vv

v v

r


ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL Y ACELERACIÓN TOTAL

ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL ( at )

t

dva

dt

ACELERACIÓN TOTAL ( aT )

La magnitud de la aceleración total se calcula entonces

por la expresión:2 2

T t ca a a

Las aceleraciones angular y lineal se relacionan

mediante la siguiente expresión:

iv

fv

ta r

Es una magnitud física que nos indica como cambia la

magnitud de la velocidad lineal o tangencial con respecto

al tiempo.


ta

Es una magnitud física de tipo vectorial, que corresponde a la

suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración

lineal o tangencial.



ECUACIONES DE POSICIÓN Y VELOCIDAD PARA EL M.C.U.ALas ecuaciones de posición y velocidad de un cuerpo que describe un m.c.u.a con respecto al tiempo, se

pueden determinar mediante comparación con las del m.r.u.a

M.R.U.A M.C.U.A

a cte cte

1. iv v at 1 .

1 .

i t

i

a v v a t

b t

NOMBRE SÍMBOLO UNIDADES

Aceleración angular α rad/s2

Aceleración lineal o

tangencial

at m/s2

Aceleración total aT m/s2

ELEMENTOS DEL M.C.U.A

212.

2i ix x v t at

2

2

12 .

2

12 .

2

i i t

i i

a s s v t a t

b t t

2 23. 2 ( )i iv v a x x 2 2

2 2

3 . 2 ( )

3 . 2 ( )

i t i

i i

a v v a s s

b

( )4.

2

ii

v vx x t

( )4 .

2

( )4 .

2

ii

ii

v va s s t

b t


RESUMEN DE ECUACIONES DEL M.C.U.A

5. s r

6. v r

228. c

va r

r

10.2

n

7. ta r

212 .

2i i ta s s v t a t

212 .

2i ib t t

2 23 . 2 ( )i t ia v v a s s

2 23 . 2 ( )i ib

( )4 .

2

ii

v va s s t

( )4 .

2

iib t

2 29. T t ca a a

1 . i ta v v a t

1 . ib t


EJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR


EJEMPLO 1: El CD de un ordenador gira con una velocidad angular máxima de 539 r.p.m. Calcula elnúmero de vueltas que da durante la reproducción de una canción de 4 minutos.


Datos----------- Incógnitas

539

4min 240

rpm

t s

?n

ILUSTRACIÓN

r 0is 0i

SOLUCIÓN

Primero que todo debemos convertir la velocidad angular a rad/s2.

Esto es:539 539

min

revrpm

539min

rev 539

min

rev 2

1

rad

rev

1min

60s

256,44 /rad s

Ahora buscamos el ángulo barrido o descrito por un punto del CD en

t=4min, mediante la ec(2) del M.C.U.

i t 0 256,44 / (240 )rad s s 13545,6rad

Luego, sustituimos el valor del ángulo en la ec(10) del M.C.U.

2n

13545,6

2(3,14 )

radn

rad

13545,6

6,28

rad

rad 2157


EJEMPLO 2: Un auto se mueve por una pista circular de 80m de radio con una rapidez de 90km/h. Calcular:

a. Su aceleración centrípeta.

b. Su velocidad angular.

c. El período de su movimiento.

d. Su frecuencia.


Datos-------- Incógnitas

80

90 /

r m

v km h

?

?

?

?

ca

T

f

ILUSTRACIÓN

SOLUCIÓN

Ahora calculamos la aceleración centrípeta con la

ec(9) del M.C.U.

rca

v

Primero convertimos los 90km/h a m/s.

90km

vh

90km

h

1000

1

m

km

1

3600

h

s

25 /m s

2

c

va

r

2

25 /

80

m s

m

27,8 /m s

La velocidad angular del auto se encuentra con la ec

(4) del m.c.u.

v rv

r 0,31 /rad s

25 /

80

m s

m

El período lo encontramos por la ec (5) del m.c.u.

2T

20s

2(3,14 )

0,31 /

rad

rad s

2

T

Por último encontramos la frecuencia con la ec (8) del

m.c.u. 1f

T 0,05Hz

1

20s


EJEMPLO 3: Una polea de 12cm de radio se encuentra conectada por medio de una correa a otra polea de18cm radio. Si la polea de mayor radio da 7 vueltas en 5s, ¿cuál es la frecuencia de la polea de menor radio?


Datos-------- Incógnitas

1

2

2

2

12

18

7

5

r cm

r cm

n

t s

1 ?f

ILUSTRACIÓN

SOLUCIÓNPor la ec (8) del m.c.u podemos encontrar la frecuencia para la

polea más grande (polea 2).

1 2v v

Aplicando entonces la ec (5) del m.c.u, tanto a la polea 1 como a

la polea 2 se tiene lo siguiente:

2,1Hz

Por otro lado se tiene que los puntos extremos de las poleas tienen

la misma velocidad lineal o tangencial debido a que están

conectados por la correa. Esto es:

1r

v

2r

2

1

22

2

nf

t 1,4Hz

7

5s

1 1 12v r f y 2 2 22v r f

Se igualan las dos expresiones anteriores.

1 12 r f 1 1 2 2r f r f 2 21

1

r ff

r

1

18 1,4

12

cm Hzf

cm

1v2v

2 22 r f


EJEMPLO 4: Una ruleta de 40cm de radio que gira con una velocidad de 60rpm frena uniformemente hastadetenerse en 20s. Calcular:

a. La aceleración angular.

b. El número de vueltas que da la ruleta hasta que se detiene.

c. La velocidad lineal y la aceleración total de un punto de la periferia en t= 6s.


Datos------------- Incógnitas

40

60

20

0

0

i

f

f

r cm

rpm

t s

v

?

?

(6 ) ?

(6 ) ?T

n

v s

a s

ILUSTRACIÓN

ta

ca Ta

Docente: Ángel Arrieta JiménezEJEMPLOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR

ta

Taca

a. La aceleración angular.

SOLUCIÓN

Para este caso y de acuerdo con la información que se tiene,podemos usar la ec (1b) del m.c.u.a.

Primero realizamos la conversión de la unidadesde la velocidad angular inicial de la ruleta al SI.

60min

i

rev 60

min

rev 2

1

rad

rev

1min

60s

6,28 /rad si

i t 0 6,28 /rad s (20 )s

6,28 /rad s (20 )s 6,28 /

20

rad s

s

20,314 /rad s

b. El número de vueltas que da la ruleta hasta que se detiene.

i( )

2

i t

0(0 6,28 / )

2

rad s

(6,28 / )

2

rad s 62,8rad

Iniciamos encontrando el ángulo barrido por un punto de laruleta para t=20s con la ec (4b) del m.c.u.a.

2n

Luego empleamos la ec (10) del m.c.u.a para encontrar el número

de vueltas dadas por la ruleta.

62,8

2 3,14

rad

rad 10

20s

20s


Por último, para encontrar la aceleración total de un punto de laperiferia de la ruleta a los 6s, debemos encontrar primero lasaceleraciones tangencial y centrípeta de dicho punto.

Ahora usamos la ec (6) del m.c.u.a para determinar lavelocidad lineal o tangencial de un punto de laperiferia a los 6s.

ta r

Con la ec (7) del m.c.u.a encontramos la aceleración lineal o

tangencial de dicho punto.

ca 2v

r

Ahora, con la ec (8) del m.c.u.a encontramos la aceleracióncentrípeta del punto a los 6s.

Finalmente, con la ec (9) del m.c.u.a podemos determinar la

aceleración total del punto de la periferia de la ruleta a los 6s.

c. La velocidad lineal y la aceleración total de unpunto de la periferia en t= 6s.

i t 6,28rad

s 20,314

rad

s

(6 )s

6,28rad

s1,884

rad

s 4,4 /rad s

En este caso iniciamos primero encontrando lavelocidad angular que tiene la ruleta en esos 6s con laec (1b) del m.c.u.a.

0,4 (4,4 / )m rad sv r 1,76 /m s

ta 20,4 0,314 /m rad s20,126 /m s

ca

21,76 /

0,4

m s

m

27,744 /m s

2 23,098 /

0,4

m s

m

2 2

T t ca a a 2 2

2 20,126 / 7,744 /rad s rad s

27,745 /m sTa


EJEMPLO 5: La rapidez de una partícula que se mueve en un círculo de 1,5m de radio aumenta a una razónconstante de 4m/s2. En cierto instante, la magnitud de la aceleración total es de 6m/s2. En ese instante calcule:

a. La aceleración centrípeta de la partícula.

b. La rapidez de la partícula.


Datos---------- Incógnitas

2

2

1,5

4 /

6 /

t

T

r m

a m s

a m s

?

?

ca

v

ta

caTa

ILUSTRACIÓN

SOLUCIÓN

a. La aceleración centrípeta de la partícula.

Para determinar la aceleración centrípeta de la partícula

empleamos la ec (9) del m.c.u.a.

2 2

T t ca a a 2 2 2

T t ca a a 2 2 2

c T ta a a

2 2

c T ta a a 2 2 2 2(6 / ) (4 / )ca m s m s 24,47 /m s

Para determinar la rapidez de la partícula en ese instante,

empleamos la ec (8) del m.c.u.a.

b. La rapidez de la partícula.

2

c

va

r

2

cv ra

cv ra 21,5 4,47 /m m s 2,59 /m s


EJEMPLO 6: Un auto que entra a una curva en el punto A de la figura, gira en sentido antihorario en unatrayectoria de media circunferencia de 30m de radio, con aceleración angular constante, de tal manera que su

posición angular como función del tiempo viene dada por la ecuación θ = (3rad/s)t + (0,6rad/s2)t2 . Con estainformación responda los siguientes interrogantes:

a. Escriba la ecuación de la rapidez angular como función del tiempo.

b. Determine la rapidez angular y lineal, así como las aceleraciones tangencial, normal y total a la salida de lacurva en el punto B.


cBa

TBatBa

Bv

Av

0i

0is B


El valor del tiempo encontrado lo sustituimos en la ec (1b) delm.c.u.a.

Ahora, vamos a buscar el tiempo que demoró el autoen llegar al punto B, teniendo en cuenta que θB=π.

v r

Con la ec (6) del m.c.u.a encontramos el valor en magnitud de la

velocidad lineal o tangencial del auto cuando para por B.

ca 2v

r

Con la ec (8) del m.c.u.a podemos encontrar el valor de laaceleración centrípeta del auto cuando pasa por B.

Finalmente, con la ec (9) del m.c.u.a podemos determinar la

aceleración total del auto cuando pasa por B.

a. Escriba la ecuación de la rapidez angular comofunción del tiempo.

v 30 4,1 /m rad s 123 /m s

ca

2123 /

30

m s

m

2504,3 /m s

2 2

T t ca a a 2 221,2 / 504,3 /rad s m s

2504,301 /m s

Para darle respuesta a esta primera pregunta, lo que

tenemos que hacer es derivar la ecuación de posición

del auto. d

dt

23 0,6t t

23 / (1,2 / )rad s rad s t

20,6 3 0t t

2 4

2

B B ACt

A

23 3 4 0,6

2 0,6t

0,89

5,8

s

9

t

t s

B i t 3 /rad s 21,2 / (0,89 )rad s sB

De la ecuación anterior se tiene que: 3 /i rad s

Al derivar la expresión encontrada de la rapidez angular,

se obtiene α.21,2 /rad s

3 /rad sB 1,068 /rad s 4,1 /rad s

d

dt

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