Dina Van Zadab Parcial

DINAMICA AVANZADA DE ESTRUCTURAS RUBN BOROSCHEK K 1

Dinmica Avanzada de Estructuras Apuntes de Clase

Modelo y Determinacin Experimental Torre Titanium la Portada

Alfonso Larrain y Asoc. Ltda - RBA

Rubn Boroschek

REVISION A.0

15 de Abril del 2010


En el desarrollo de grficas de estos apuntes contribuyeron:

Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile

NOTA:

El texto esta en condicin preliminar. Mis clases han sido transcritas inicialmente por los alumnos. He logrado revisar alguna de ellas. Si bien he tratado de eliminar los errores tipogrficos, siempre se descubren nuevos. Por tanto sese con cuidado.

El texto en amarillo no lo he revisado

Algunos temas con apoyo especial de alumnos:

Tomas Yaez: Linealizacin de parmetros en amortiguadores, Identificacin de Sistemas PSD.

Manuel Rivera Linealizacin de parmetros en amortiguadores

Rodrigo Carreo: Vectores Ritz


INDICE 1. Referencias ............................................................................................................................ 7 2. Formulario Base..................................................................................................................... 8 3. Resumen de Dinamica Estructural....................................................................................... 10

3.1. Sistemas de N Grados de Libertad.............................................................................. 10 3.2. Formulacion de Valores propios co ............................................................................. 10 3.3. Propiedades de ortogonalidad de modos.................................................................... 10

3.3.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad ......................................................... 10 3.4. Normalizacin Modal ................................................................................................... 11 3.5. Coordenadas modales ................................................................................................ 11 3.6. Como resolvemos? ................................................................................................... 12 3.7. Conceptos Bsicos Para Sistemas de 1 GDL ............................................................. 15

3.7.1. Decaimiento Libre................................................................................................ 15 3.7.2. Decaimiento Logartmico ..................................................................................... 16 3.7.3. Excitacin Armnica. Caso C arbitrario ............................................................... 18 3.7.4. Anlisis de la Amplificacin Dinmica ................................................................. 19 3.7.5. Factor de Amplificacin Dinmica para Velocidad y Aceleracin........................ 20 3.7.6. Ancho de Banda del Factor de Amplificacin ...................................................... 21 3.7.7. Excitacin Armnica Rgimen Permanente ........................................................ 21 3.7.8. Aislamiento de Vibraciones ................................................................................. 21 3.7.9. Respuesta en Resonancia................................................................................... 23

4. Energa................................................................................................................................. 25 4.1. Energa Disipada ......................................................................................................... 25 4.2. Evolucin de la Energa en el Tiempo En Regimen Permanente................................ 26

4.2.1. Energa de Entrada Rgimen Permanente.......................................................... 26 4.2.2. Energa de Disipada Rgimen Permanente ........................................................ 27 4.2.3. Balance de Energa ............................................................................................. 27 4.2.4. Extensin para Varios Grados de Libertad.......................................................... 28 4.2.5. Ejemplos Energa en Vibracin ........................................................................... 29 4.2.6. Caso Modelo con Masa en Resonancia .............................................................. 33

4.3. Definiciones importantes ............................................................................................. 34 4.4. Caso Modelo sin Masa ................................................................................................ 34


4.5. Caso de Friccin.......................................................................................................... 36 4.6. Amortiguamiento Independiente de la Frecuencia ...................................................... 36 4.7. Amortiguamiento Equivalente...................................................................................... 38 4.8. Generalizacin Modelo Lineal Equivalente de un Disipador ....................................... 39

4.8.1. Tipos de disipadores............................................................................................ 42 4.8.2. Friccional Puro..................................................................................................... 43 4.8.3. Constitutiva Triangular......................................................................................... 45 4.8.4. Elemento Viscoso no-lineal ................................................................................. 48

4.9. Calor Disipado ............................................................................................................. 52 4.10. matriz de Disipacin ProporCional .............................................................................. 53

4.10.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh ........................................................ 53 4.10.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy .......................................................... 54 4.10.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien Wilson........................................... 55 4.10.4. Matriz No Proporcional ........................................................................................ 57 4.10.5. Alternativa para Casos de Matrices No Proporcionales o Clasicas..................... 57

5. Excitacin Mltiple de Apoyos ............................................................................................. 58 6. Reduccion del Tamao de la Ecuacin Dinmica................................................................ 61 7. Rayleig-Ritz y Load Dependent Vectors .............................................................................. 63

7.1. Algoritmos Computacional de Vector Dependiente de la Carga de acuerdo a A. Chopra Dynamic of Structures................................................................................................. 64 7.2. Justificacin de Mtodo de LDV por E. Wilson............................................................ 65

7.2.1. Ortogonalizacin de Gram-Schmidt..................................................................... 66 7.2.2. Descomposicin LDL........................................................................................... 67 7.2.3. Algoritmo Computacional de E. Wilson ............................................................... 67 7.2.4. Referencias.......................................................................................................... 68

8. Anlisis en el Espacio de la Frecuenica............................................................................... 73 8.1. Serie de Fourier........................................................................................................... 73 8.2. Relacin de Coeficientes de Serie de Fourier armnicos y exponencial complejo. .... 75 8.3. Par de Transformada de Fourier ................................................................................. 75 8.4. Algunas propiedades de la Transformada de Fourier ................................................. 75

8.4.1. Derivada en el espacio de la frecuencia.............................................................. 75 8.4.2. Transformada de la funcin delta de Dirac. ......................................................... 76 8.4.3. Transformada de funciones sinusoidales. ........................................................... 76


8.5. Propiedades de la Transformada de Fourier. ............................................................. 77 8.5.1. Linealidad ............................................................................................................ 77 8.5.2. Simetra ............................................................................................................... 77 8.5.3. Escalamiento ....................................................................................................... 77 8.5.4. Time Shift............................................................................................................. 77 8.5.5. Frequency Shift.................................................................................................... 78 8.5.6. Seales Pares e Impares .................................................................................... 78

8.6. Integral de Convolucin. .............................................................................................. 78 8.7. Teorema de Parseval. ................................................................................................. 79 8.8. Relacin entre Transformada Continua y Discreta...................................................... 79

8.8.1. Teora de Muestreo ............................................................................................. 79 8.9. Detalles de FFT en Matlab .......................................................................................... 81 8.10. Transformada Rpida Algunos Ejemplos .................................................................... 81 8.11. Resolucion y Muestreo ................................................................................................ 85

9. Ventanas Desdoblamiento y Prdida de Energa ............................................................. 87 9.1. Ventanas ..................................................................................................................... 93

10. Otras Temas asociado a energia .................................................................................... 97 11. El espectro de Potencia................................................................................................... 99

11.1.1. Teorema de Parseval ........................................................................................ 100 11.2. Estimacion de Espectro de Densidad de Potencia.................................................... 106 11.3. Correlacion y covarianza ........................................................................................... 108 11.4. Conceptos Bsicos de PSD ...................................................................................... 110

11.4.1. En resumen Heylen et al. .................................................................................. 111 11.5. Promedio de Series de Tiempo y Espectro de Potencia ........................................... 111

12. Respuesta en Frecuencia de un oscilador de 1GDL..................................................... 111 12.1. Caso Serie de Fourier base....................................................................................... 111 12.2. Representacin Compleja de la Serie de Fouier ....................................................... 112 12.3. Respuesta utilizando la Transformada de Fourier..................................................... 112

12.3.1. Transformada de Fourier de la Ecuacin de Movimiento Caso Particular......... 114 13. Clculo de la Funcin de Respuesta en Frecuencia FRF ............................................. 115

13.1. Ejemplo (dinacoherencia.m)...................................................................................... 117 14. Mtodo de espectro de potencia ................................................................................... 120


14.1. Introduccin ............................................................................................................... 120 14.1.1. Mtodo de Welch............................................................................................... 121 14.1.2. Ejemplo.............................................................................................................. 121

15. Mtodo de Identificacin ERA ....................................................................................... 123 15.1. Introduccin ............................................................................................................... 123 15.2. algoritmo.................................................................................................................... 128 15.3. Ejemplo...................................................................................................................... 128


1. REFERENCIAS

Clough, R. y Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw Hill. Segunda Edicin, 1993.

Chopra, A. Dynamics of Structures. Prentice Hall. Tercera Edicin, 2006.

1. E.L. Wilson (2002). Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures. Computers and Structures, Inc.

2. www-math.mit.edu/~persson/18.335/lec5handout6pp.pdf.

3. Apuntes: Introduction to Numerical Methods. Department of Mathematics, MIT

4. Heylen, W., Lammens, S. and Sas, P. Modal Analysis Theory and Testing. Katholieke Universiteit Leuven, PMA, 1998.


2. FORMULARIO BASE 1 GDL

Equilibrio Dinmico ( ) ( ) ( ) ( )mv t cv t kv t p t+ + = Frecuencia Angular:

mk=

Amort Crtico 2 2crticoc km m= = Razn Amort Crtico:

2c

c cc m

= =

Frec. Angular amortiguada; 21D = Respuesta a Condicin Inicial:

( ) ( )0 0 0( ) sin cost D DD

v vv t e t v t += +

Respuesta permanente Forzada:

( ) ( ) ( )0

0( )

0

sin( )cos( )i t

P tmv t cv t kv t P t

P e

+ + =

( ) ( )( ) 0( )

sin( )( ) sin cos cos( )t D D

i tTransiente

Permanente

tPv t e A t B t D tk

e

= + +

Factor de Amplificacin Dinmica

12 22 2

1

1 2

D

= +

Decremento Logartmico: ( )ln2i i Nv vN

+

Integral de Duhamel:

0

1( ) ( ) exp( ( )) ( ( ))t

DD

v t P t sen t dm

= Coordenadas Generalizadas

( ) ( ) ( ) ( )m z t c z t k z t p t + + = Donde en general

Y *

2*

km

=

N GDL

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }( ) ( ) ( ) ( )M v t C v t K v t P t+ + = Rayleigh : [ ] [ ] [ ]KbMaC += { } { }

1( ) ( )

n

i ii

v t y t =

= [ ] [ ] { } { }2 0i iK M = { }2 ,[ ]

Obtenemos los parmetros modales

{ } [ ]{ }Ti i iM M = i =1n 2i i iK M= { } [ ]( ) ( )Ti iP t P t= i = 1n

Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.

{ } [ ]{ }(0)(0) Tiii

M vy

M= { } [ ]{ }(0)(0) Tii

i

M vy

M=

2( ) 2 ( ) ( ) ( ) /i i i i i i i iy t y t y t P t M + + = i = 1n Respuesta

{ } [ ]{ } [ ] { }2 2( ) ( ) ( )E i i i i i if t M y t M y t = = { } { } { } { } { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i iv t y t v t y t v t y t = = =

Respuesta Ssmica:

Factor de Participacin { } [ ]{ }Ti iL M r= ( ) ( , , )ii i i g

i i

Ly t V vM

=

Fuerza Elstica{ } [ ]{ } 2( ) ( )i iE i ii i

LF t M V tM

=


( ) ( ) ( ) [ ]2 22 010

( ) 'L N N

n n n inn i n

m m x x dx M x I x = =

= + +

( ) ( ) ( )2 210

L N

n nn

c c x x dx c x =

= +

( ) ( ) [ ] ( )2 2210 0

( )L L N

n nn

k k x x dx EI x dx k x =

= + +

( ) ( ) ( ) ( )10

( ) ,L N

n nn

p t p x t x dx p x x =

= +

Cortante Basal 2

( ) ( )i i ii

LQ t V tM

= Aceleracin de Piso: { } { } ( )2( )T i i iv t Y t

{ } ( , )ii i d i ii

Lv S TM

=


3. RESUMEN DE DINAMICA ESTRUCTURAL

3.1. SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD Siempre trabajamos con los GDL dinmicos. S tenemos exceso de estticos, debemos condensar hasta tener solo los dinmicos.

Para NGD, se tiene que en el equilibrio de fuerzas:

{ } { } { } { }1 1 1( ) ( ) ( ) ( )I nx D Enx nxf t f t f t P t+ + = Donde la s fuerzas elsticas, de inercia y disipacin, se definen como:

{ } [ ] { }1 1( ) ( )E nx nxnxnf t K v t= { } [ ] { } 1( ) ( )I nxnxnf t M v t= { } [ ] { }1( ) ( )D nxnnx nxnf t C v t=

3.2. FORMULACION DE VALORES PROPIOS CO

Utilizando matriz de rigidez: [ ] [ ] { } { }2 0i iK M = Alternativamente se puede utilizar la matriz de flexibilidad: [ ] [ ][ ] { }21 0I F M = Sin embargo no es un problema simtrico por tanto es mas difcil de resolver y converge a los valores mayores.

3.3. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS

{ } [ ]{ }Ti jK = Ji jiki =0 ik Rigidez modal { } [ ]{ }

0T i

i j

m i jM

i j == im Masa modal

3.3.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad Son otras reglas de ortogonalidad derivadas de las anteriores las siguientes:

{ } [ ][ ] [ ]{ }1 0Tm nK M K = { } [ ][ ] [ ][ ] { }1 1 0Tm nK M K M = Otra familia es utilizar la matriz de flexibilidad: [ ] [ ]1K F =


{ } [ ][ ][ ]{ } 0Tm nM F M = { } [ ][ ][ ][ ][ ]{ } 0Tm nM F M F M = Estas dos familias de propiedades ortogonales se pueden presentar mediante

{ } [ ] [ ] [ ] { }1 0bTm nM M K b = < < { } [ ]{ }0 0Tm nb M = = { } [ ]{ }1 0Tm nb K = = { } [ ][ ] [ ][ ] [ ]{ }{ } [ ][ ] [ ]{ }

1 1

1

2 0

0

Tm n

Tm n

b M M K M K

K M K

= =

=

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { }1 12 Tm nb M K M K M = { } [ ][ ][ ][ ][ ]{ } 0Tm nM F M F M =

Estas reglas de ortogonalidad permitirn generar luego matrices de [ ]C proporcionales. 3.4. NORMALIZACIN MODAL

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 21

nT T

i j i i j jij

M M m =

= = Si normalizamos los modos talque:

{ } { }2

1

' ii nj ji

jm

=

=

3.5. COORDENADAS MODALES

La respuesta de una estructura de puede ver como una combinacin de todas sus formas de vibrar.


{ } { }1

( ) ( )n

i ii

v t y t =

= { } { } { }1 1( ) ( ) .... ( ) ...i iv t y t y t = + + + { } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { }1 1( ) ( ) .... ( ) ...T T Ti i i i iM v t M y t M y t = + + + Donde por ortogonalidad todos los trminos son = 0, menos { } [ ] { }( )Ti i iM y t { } [ ]{ }( ) ( )Ti i iM v t M y t = //Mi masa modal Luego

{ } [ ]{ }( )( ) Tiii

M v ty t

M= Error! Objects cannot be created from editing field codes.

3.6. COMO RESOLVEMOS?

{ } { }1

( ) ( )n

i ii

v t y t =

=

{ } { } { }1

2 1 1 2 2 3 3

3

( )( ) ( ) ( )( )

v tv t y t y y tv t

= + +

Encontrar

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]( ) ( ) ( ) ( )M v t C v t K v t P t+ + = Platear problemas de valores propios sin amortiguamiento (la aproximacin es muy buena)

[ ] [ ] { } { }2 0i iK M = Encontrar todas las formas modales


{ }2 ,[ ] Obtenemos los parmetros modales

{ } [ ]{ }Ti i iM M = i =1n 2i i iK M= { } [ ]( ) ( )Ti iP t P t= i = 1n Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.

{ } [ ]{ }(0)(0) Tii

i

M vy

M= ; { } [ ]{ }(0)(0) Tii

i

M vy

M=

Por ahora asumimos que conocemos i i =1n y que { } [ ]{ }Ti i iC C = { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { }( ) ( ) ( ) ( )T T T Ti i i i i i i i i i iM y t C y t K y t P t + + =

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i iM y t C y t K y t P t+ + = 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) /i i i i i i i iy t y t y t P t M + + = i = 1n

Encontramos las solucin: ( )iy t , ( )iy t , ( )iy t y la respuesta final del sistema. { } { } { } { } { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i iv t y t v t y t v t y t = = = La fuerzas elsticas

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }( ) ( ) ( ) ( )E Ei i if t K v t f t K y t= = = Dado el problema de valores propios

[ ] [ ] { } { }2 0i iK M = [ ]{ } [ ]{ }2i i iK M = { } [ ]{ } [ ] { }2 2( ) ( ) ( )E i i i i i if t M y t M y t = = El cortante basal

{ } { } { } [ ]{ }2 21 ( ) 1 ( ) ( )T TE i i i i i if t M y t L y t = =


Figura 3.1 Contribucin Modal a Respuesta Total de un GDL

dinaRespSismoNGDLModal NGDL=5; m=100 k=12183

Figura 3.2 Efecto del Amortiguamiento en el Clculo del Corte Basal. Tres formas de Calcular. dinaRespSismoNGDLModal NGDL=5; m=100 k=12183


3.7. CONCEPTOS BSICOS PARA SISTEMAS DE 1 GDL

3.7.1. Decaimiento Libre

Para un sistema con 0)( =tP y con condiciones iniciales 0)0( vv = y 0)0( vv = se tiene que el desplazamiento est dado por:

( ) ( )0 0 0( ) sin cost D DD

v vv t e t v t += +

Lo que es equivalente a:

( ) cos( )t Dv t e t =

Donde:

220 0

0

0 0

0

D

D

v v v

v varctgv

+= + +=

( ) ( )( )( ) sin cost D Dv t e A t B t = +

Figura 3.3


: Amplitud mxima.

tEnvolvente e

2D

D

Periodo T =

Figura 3.4

3.7.2. Decaimiento Logartmico De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede determinar la razn de amortiguamiento, :

itiv e

= y i Nti mv e ++ = entonces DT Nii m

v ev

+

= sacando el logaritmo

2

2ln1

iD

i m

v T N Nv

+ = =

( )2

ln21i i Nv vN

+= aproximando ( )ln2i i Nv vN

+

Figura 3.5


iv

2iv

pendiente =

Figura 3.6 Calculo de Amortiguamiento: Deteccion de la envolvente,

II) Identificacion de cruces por cero y extremos.

III ) Grafico de amplitud maxima y nmero del maximo

Caso Particular reduccin de la mitad de la respuesta.

( )ln2i i Nv vN

+=

( )1 ln

2 2

ln 22

i

i

vN v

N

= =

Nmero de Ciclos para obtener un 50% de reduccin de amplitud inicial

( )ln 22

N =

0,01 11,03

0,05 2,2

0,10 1,1


Figura 3.7 Nmero de Ciclos completos para alcanzar un decaimiento respecto de un valor inicial de referencia. Las lneas corresponden a porcentajes de reduccin de amplitud inicial.

Sin embargo este criterio no es til para sistema de varios grados de libertad. En estos casos es posible encontrar decaimientos como los indicados en las figuras siguientes:

Figura 3.8 Respuesta decayente para dos y tres formas modales observadas en un grado de libertad de la estructura.

3.7.3. Excitacin Armnica. Caso C arbitrario

( ) ( ) ( )0

0

( )0

sin( )cos( )i t

P tmv t cv t kv t P t

P e

+ + =


El desplazamiento es:

( ) ( )( ) 0( )

sin( )( ) sin cos cos( )t D D

i tTransiente

Permanente

tPv t e A t B t D tk

e

= + +

Figura 3.9 Respuesta bajo excitacin armnica a partir de condiciones iniciales nulas. Notar el gran efecto inicial transiente y su decaimiento para pasar a un rgimen permanente controlado por la frecuencia de excitacin.

3.7.4. Anlisis de la Amplificacin Dinmica Factor de amplificacin dinmico de desplazamiento. Ojo que no es lo mismo para el caso de velocidad y aceleracin.

( ) ( )2 221

1 2D

=

+

2max

max 2

1 2 11 1

22 1

D

D

= =

Figura 3.10 Factor de amplificacin dinmica para distinto amortiguamiento y razn de frecuencia.


Figura 3.11 Angulo de desfase para distinto amortiguamiento y razn de frecuencia.

3.7.5. Factor de Amplificacin Dinmica para Velocidad y Aceleracin Los casos a considerar son derivados del caso bsico

( )0( ) sinP Pv t D tk = derivando una y dos veces Caso Velocidad

( ) ( ) ( )0 0 0( ) cos cos cosP P P Pv t D t D t D tk k k = = =

De donde vD D= que tiene como max 12vD = para 1v = Caso Aceleracin

( ) ( )2 20 0( ) sin sinP P Pv t D t D tk m = = ; De donde 2vD D= que tiene como max 2

12 1

vD = para 21 1 2v =


I

R

vv

v

t

Figura 3.12 Factor de amplificacin dinmica de velocidad y aceleracin para distinto amortiguamiento y razn de frecuencia.

3.7.6. Ancho de Banda del Factor de Amplificacin

2 1

2 1

f ff f

= + Podemos obtener la razn de amortiguamiento del ancho de banda.

3.7.7. Excitacin Armnica Rgimen Permanente

Analizando ( ) ( ) ( ) ( )mv t cv t kv t p t+ + = , con 0( ) sin( )p t P t= 0

0

20

( ) sin( )

( ) cos( )

( ) sin( )

p

p

p

Pv t D tkPv t D tkPv t D tk

=

=

=

3.7.8. Aislamiento de Vibraciones

Si se tiene la estructura mostrada en la figura, con ( )0( ) sinP t P t= , la solucin particular est dada por:


k

P(t)

c

)(tFR

( )0( ) sinP Pv t D tk = Entonces, las fuerzas son:

( )( ) ( )

0

00

( ) ( ) sin

( ) cos cos

E p

D

F t kv t P D tPF t c D t P D tk

= = = =

Como EF y DF estn a 90 grados la fuerza resultante, RF , es: 1

221

2 222

2 2

1 21 2

1 2R D E o oF F F P D P

+ = + = + = +

La Transmisibilidad de fuerzas es: 1

22

2 2

1 2

1 2

R

o

FTR

P

+ = +

Se puede demostrar que la TR es idntica para razones de aceleracin y desplazamiento absolutos.

Figura 3.13


3.7.9. Respuesta en Resonancia

Figura 3.14

Dado:

( ) ( )( ) ( )0( ) sin cos sint D D Pv t e A t B t D tk = + + En resonancia

2 ==

y ( ) ( )2 221 1

21 2D = =

+

Si las condiciones iniciales son nulas:

0 0(0) 0 (0) 0v v v v= = = =

Entonces: ( )( ) 1 1 cos( )2 testv t e tv

=

Figura 3.15

)(tv

( )0( ) sinP t P t=


Entonces la envolvente de la funcin est dada por te 1

Figura 3.16

Si se analiza la envolvente es posible estimar la taza de crecimiento para un tiempo dado

nTt = la amplitud es 2

2tt nTA e e e = = = .

Figura 3.17 Taza de crecimiento de la respuesta resonante. A menor amortiguamiento mas tiempo para alcanzar respuesta mxima.


Si una estructura no tiene amortiguamiento, 0= utilizando la regla de LHospitals: ( )( ) 1 sin( ) cos( )

2est

v t t t tv

=

Figura 3.18 Respuesta resonante para distintos valores de amortiguamiento. Notar que la amplitud y el tiempo para alcanzar la mxima amplitud es sensible al valor de la razn de amortiguamiento.

4. ENERGA

4.1. ENERGA DISIPADA Para calcular la energa disipada en un sistema se integra la ecuacin de movimiento del sistema en funcin del desplazamiento entre dos instantes de tiempo dados, de la siguiente manera:

( )( )

( )

( )

( )

2

1

22 2

1 11

2 2

( ) ( ) ( ) 0

1 1( ) ( ) ( ) 02 2

K V

v t

I D Ev t

v tt t

Dt tv t

E E

F t F t F t dv

mv t k v t F t dv

+ + =

+ + =

Desarrollando la ltima integral se tiene:

( )

( ) == dtvcdtdtdvvcdvtF

tv

tvD

22

1

)(

Finalmente se tiene que:


( )

disipadaEnerga

t

tVK dttvcEE

_

22

1

=+

4.2. EVOLUCIN DE LA ENERGA EN EL TIEMPO EN REGIMEN PERMANENTE

A partir de la ecuacin de equilibrio dinmico ( ) ( ) ( ) ( ) ( )omv t cv t kv t p t p sen t+ + = = En rgimen permanente ( ) ( )0 sinpv t D t

k = y ( ) ( )0 cospv t D t

k =

4.2.1. Energa de Entrada Rgimen Permanente La energa de entrada es

( )

(0) 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( )v T t t

E ov

W t p t dv p t v t dt p sin t t dt = = =

0

1( ) cos(2 ) sin( )4 2

t

E otW t p t

= +

1 1( ) cos(2 ) sin( ) cos( )4 2 4E o

linealOscilante

tW t p t = + +

Para un ciclo de oscilacin 2 /t T = = :

0

1 2 / 1 2 /cos(2 2 / ) sin( ) cos( ) sin( )4 2 4 2E o o

W p p = + + =

sin( )E oW p = Pero sin( ) 2 D = y op D

k = ; reemplazando

estos valores tenemos

2 22 2EkW D kD

= =


4.2.2. Energa de Disipada Rgimen Permanente

La fuerza disipadora: ( ) ( )0 0 2 2( ) cos cos 2Dp pF cv t c D t c D tk m

= = = =

( ) ( )0 02 cos 2 cos2DcF Dp t Dp tm

= =

La energa disipada es: ( ) 2

2 2 2 2 2 2 22

(0) 0 0 0

( ) ( ) ( ) cos ( ) cos ( )v T t t t

oD D D

v

pE F t dv F t v t dt c D t dt c t dtk

= = = = 2 2

0

sin(2( ))2 4

t

Dt tE c

= +

2 2 sin(2( )) sin(2 )2 4 4Dt tE c

= + +

N2 sin(2( )) sin(2 )

4 2 4DLinealOscilante

t tE c = + +

Para un ciclo de oscilacin 2 /t T = = :

2 2 2 2 2

2sin(2( ))2 sin(2 ) 22 4 4 2D

E c c c

= + + = =

Con 2ck

=

22DE k =

4.2.3. Balance de Energa

Por inspeccin en un ciclo E DW E= ; Es fcil de mostrar que la energa cintica y potencial en un ciclo de rgimen permanente se anulan:

2

0

1 ( )2

T

KE mv t=


2

0

1 ( )2

T

VE kv t=

4.2.4. Extensin para Varios Grados de Libertad Para sistemas de varios grados de libertad debemos modificar levemente nuestras ecuaciones:

Energa Cintica: { } [ ]{ }1( ) ( ) ( )2

TKE t v t M v t=

Energa Potencial: { } [ ]{ }1( ) ( ) ( )2

TVE t v t K v t=

Trabajo Externo: { } { } { } { }0

( ) ( ) ( ) ( )T Tt

EW t P t dv P t v t dt= = Energa Disipada: { } { } { } { } { } { }{ }

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T T Tt t

D D DE t F t dv F t v t dt v t C v t dt= = = La energa en cualquier instante de tiempo es: ( ) (0) (0) ( ) ( )TOTAL K V E DE t E E W t E t= + +


4.2.5. Ejemplos Energa en Vibracin


Figura 4.1. Energa en Decaimiento Libre. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.

Figura 4.2. Energa en Forzante Armnico. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.


Figura 4.3. Energa en Sismo. Caso 1 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05.


Figura 4.4. Energa en en Forzante Armonico. Caso 5 GDL. Kpiso= 39.478 Mpiso=1. =0.05 todos los modos.


4.2.6. Caso Modelo con Masa en Resonancia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )omv t cv t kv t p t p sen t+ + = = En resonancia se tiene que = , entonces ( ) ( )Dp t F t= . Si 0( ) sin( )p t p t= , entonces: En rgimen permanente ( ) ( )0 1 sin

2pv t tk

=

Pero como est en resonancia: 2 =

( ) ( )0 1 cos2

Pv t tk

= Luego la resultante de un grafico fuerza desplazamiento para un instante de tiempo t es:

( ) ( ) ( )22020 cos21)sin( trt

kPtP =

+

Entonces, la energa disipada corresponde al rea de la elipse que se forma al graficar )(tFD en funcin de )(tv , como se muestra en la Figura 4.5.

Figura 4.5

Finalmente:

DF

)(tv

)(tr)(tP

)(tv


EF

21 ( )2V

E kv t=0

2max

00

2

( )

12

elipse D

D elipse

D

D

A ab E

P t P

F cv c A cPE Pk

Ec

= = = = = == =

Con 21 ( )2V

E kv t= Notar que c depende de la frecuencia . Esto es caracterstico de sistemas viscoelsticos. Como

2c

c cc m

= = se tiene:

22D

c

Ecc m

= = para =

22 4D D

V

E Ek E

= = Notar que en la derivacin anterior se incluye la existencia de una masa.

4.3. DEFINICIONES IMPORTANTES

Capacidad de Amortiguamiento Especfica (Specific Damping Capacity): DV

EE

Factor de Amortiguamiento Especfico (Specific Damping Factor): 22

D

V

EE

= =

Factor de Calidad (Quality Factor): 1 1 2Q g = = 4.4. CASO MODELO SIN MASA

( ) ( ) ( )cv t kv t p t+ = Si se hace un ensayo de desplazamiento controlado la respuesta y fuerza resultantes son:

( ) ( )( ) cos( )v t sen tv t t

==


( ) cos( ) ( )p t c t k sen t = + Existe un equilibrio entre el trabajo desarrollado en un ciclo de rgimen permanente de la carga externa y la energa disipada en ese ciclo. Sino no seria un rgimen permanente. Adicionalmente es fcil demostrar que la componente elstica se cancela en un ciclo dado que es antisimtrica.

( )( ) 2 / 2 / 2 / 2 /2 2 2(0) 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) sin( )cos( ) ( )v T

e d Dv

W p t dv p t v t dt cv t k t t dt cv t dt f dv E

= = = + = = = Por tanto la energa disipada en un ciclo:

( ) 2 / 2 /2

(0) 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v T

D dv

E p t dv p t v t dt f t v t dt c

= = = = De donde se observa la dependencia de dE y c de

2DEc =

Y la energa potencia mxima almacenada en un ciclo sigue siendo:

212V

E k=

Figura 4.6 Ejemplo de ciclo histertico: c=5 k=1000 f =0.1- 20 Hz


Notar: Para frecuencias bajas se genera la curva lineal-elstica. Al aumentar la frecuencia de 0.1 a valores mayores los ciclos se ensanchan. A pesar que c es constante en este problema es variable dado que la energa potencia no varia y si el rea de la elipse. El desplazamiento mximo es fijo e impuesto y la fuerza mxima esttica es k . Sin embargo la fuerza mxima es mayor.

4.5. CASO DE FRICCIN En el caso de friccin es interesante notar que para el caso de resonancia no es posible encontrar un equilibrio si la fuerza mxima de friccin es DF N= y la fuerza de excitacin tiene una amplitud 4 /o Dp F debido a que la energa disipada en un ciclo de friccional es

4D DE F = y por tanto proporcional al desplazamiento. La energa de entrada es

XXX Ver Den Hartog

Y por tanto en el caso indicado se tiene que siempre

d IE E< 4.6. AMORTIGUAMIENTO INDEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA

Rate independent damping: se asocia a lo que se denomina histresis esttica o que no dependen de la frecuencia de excitacin. Esta se debe a deformaciones plsticas, flujo plstico, o plasticidad de cristales. Pero no es el caso de dao macroscpico del material o inelstico del material.

Ejemplo de un modelo:

dkf v= o df igkv= donde g es el coeficiente de amortiguamiento histertico.

En este caso 2DE k = o 2DE gk = Por tanto no depende de La ecuacin de equilibrio dinmico es en este caso:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( 1) ( )

kmv t v t kv t p t

mv t gi kv t p t

+ + =

+ + =

Estas ecuaciones no pueden resolverse en el espacio del tiempo. Para el caso de excitacin armnica se puede encontrar de la primera ecuacin de arriba:

Dado que podemos aproximar:

2 2 2c

c c kc m m

= = = = entonces


( )21

1D

i =

+ y ( ) ( )22 2

1

1

D

= +

Y el ngulo de fase:

( )2tan 1

=

En forma similar ( ) ( )22 21

1

D

g=

+

La energa disipada es: 2 /

2

0

( ) ( )d dE f t v t dt kg

= = De una grfica de comparacin del sistema viscoso e independiente de frecuencia:

Figura 4.7 Amplificacin dinmica para caso viscoso e independiente de frecuencia.

Scprit: Damplificacionyfase.m

Notar:

1. Las diferencias son muy pequeas en amplitud y las mximas diferencias ocurren en resonancia.

2. La mxima amplificacin para el caso de independiente de la frecuencia se da en resonancia.


3. La fase en / = 0 no es cero para independiente de la frecuencia sino que es 1tan ( )

4. Dado que se ajusto al caso de que 2 = se tiene una respuesta idntica para ambos

casos.

Todo lo anterior permite resolver con un error pequeo el problema complicado de resolver en el tiempo el caso independiente de la frecuencia.

Figura 4.8 Fase caso viscoso e independiente de frecuencia.

4.7. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE Varias opciones de definicin:

a. Aquel que tiene el mismo ancho de banda que un sistema viscoelstico.

b. A partir de ciclos histerticos

Si deseamos generar el valor de razn de amortiguamiento crtico es necesario establecer una masa o frecuencia natural del sistema.

2c

c cc m

= = De donde obtenemos la relacin

( ) ( )( )( )

2 2 2 22 2 / 4 / / 2

4 /

D D Deqv

c

Deqv

V

E E Ecc m m k

EE

= = = =

=


La norma de aislacin permite estimar la rigidez utilizando el eje mayor de la elipse y la propuesta de amortiguamiento equivalente siempre que se ensaye en resonancia = :

4D

V

EE

=

equiv

F Fk

+

+ += +

Lo cierto es que el efecto de ms sensible en resonancia y si bien esta aproximacin es correcta solo en resonancia las diferencia fuera de esta rea son generalmente menores.

4.8. GENERALIZACIN MODELO LINEAL EQUIVALENTE DE UN DISIPADOR (CI72C / CI62V: Dinmica Avanzada de Estructuras, Manuel Rivera B, Jos Tomas Yaez C. mod. Rev. RBK 9 junio 2008)

Dado un disipador con comportamiento no lineal

),,,( tzvvff = En la expresin anterior la fuerza f del disipador, depende de la posicin, la velocidad, el tiempo y el estado z del disipador, que puede representar temperatura, presin, direccin de movimiento etc.

Se propone un estado lineal de la forma:

)()()( tvctvktf ee += Donde ke y ce son la rigidez y el amortiguamiento equivalente.

El error que se comete en la aproximacin se define como:

)(),,,()( tftzvvfte =

Se elige ke y ce talque minimicen la suma de los errores al cuadrado en un periodo, para eso defino:

=

dteckJ ee

2

0

2),(

Para minimizar la expresin anterior se impone:

0=

ekJ ; 0=

ec

J

Al asumir que la respuesta es de forma sinusoidal se obtienen la rigidez y el amortiguamiento equivalente para el disipador.


2

00

)sin(2

oe v

dttvfk

=

2

00

)cos(2

oe v

dttvfc

=

Demostracin

Dado la fuerza no-lineal y el modelo lineal:

),,,( tzvvff = vcvkf ee +=~

Se define

)sin()( 0 tvtv = ffe ~=

dtekcJ

ee = 20

2),(

Con propiedades

0=

ecJ 0=

ek

J

J representa la funcin que minimiza la diferencia entre la fuerza lineal y la no-lineal.

Desarrollo

0=

ecJ

2

2

0

( ) 0e

J f f dtc

= = 2

2

0

( ( ))e ee

f c v k v dtc

= +


2

0

( ) ( )2( ) ( )e ee ee e e

c v k vff c v k v dtc c c

= Con

0=

ecf y 0)( =

e

e

cvk

Se tiene

02

)(2

2 22

2

0 0

2

0

0

2

=

=

=

dtvvkdtvcdtvf

dtvvkvcvf

ee

ee

Con

20

220

0

220

0

2220

0

2

04

)2sin(2

)(cos

2

22

v

vttv

dttvdtv

=

+=

+=

=

Y

[ ] 0002

)(sin

)sin()cos(

20

0

220

0

20

02

22

==

=

=

vtv

dtttvdtvv

Luego

00200

2

= ee kvcdtvf

=

2

020

1 dtvfv

ce notar que esto es el rea de la energa disipada.

Desarrollo

0=

ekJ


dtkvk

kvc

kfvkvcf

dtvkvcfkk

J

e

e

e

e

eee

eeee

))()(()(2

))((

2

2

0

0

2

=

+=

Con

0=

ekf y 0)( =

e

e

kvc

Se tiene 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

2 ( ) 2 0e e e ef v c v v k v dt f vdt c v vdt k v dt = = =

Con 2 2 2 2

2 2 2 2 2 00 0 0

00 0

sin(2 )sin ( ) 02 4

vt tv dt v t dt v v

= = = = Luego

2 20

0

( ) ( ) 0 0e evf t v t dt c k

=

2

20 0

( ) ( )ek f t v t dtv

=

4.8.1. Tipos de disipadores


Caso de 2 = tenemos 3 283d

E c = y 83ec c =

Figura 4.9 Modelo no lineal y lineal equivalente para = 2 (dinaviscosonolineal.m) 4.8.2. Friccional Puro

La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma

Para calcular ke, se ocupa la formula general,


2

00

)sin(2

oe v

dttvfk

= ,

la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos lmites y valores quedan definidos segn el signo que toma f para cada valor de v

Para [ ]0,0 vv en direccin 1 yFf = aqu [ ]t 2/,0 Para [ ]0,0vv en direccin 2 yFf = aqu [ ]t /,2/ Para [ ]0,0 vv en direccin 3 yFf = aqu [ ]t 2/3,/ Para [ ]0,0vv en direccin 4 yFf = aqu [ ]t /2,2/3

Reemplazando en la expresin ke, se obtiene:

+++= dttvFdttvFdttvFdttvF

wv

kw

w

y

w

w

y

w

w

y

w

yo

e )sin()sin()sin()sin(1

0

2

23

0

23

0

2

0

2

02

[ ]w

tiwtfwvFdtwtsenvF ytf

tiy

)cos()cos()( 00=

Reemplazando en la expresin anterior y factorizando por 0vFy , queda

+

+

+

= )4

3cos()2cos()cos()4

3cos()2

cos()cos()0cos()2

cos(0

vF

k ye

[ ] [ ] [ ] [ ]( )0

0 1 1 0 0 1 1 0 yeF

kv = + + +

0=ek

Desarrollo de la expresin del Ce para disipador friccional puro

Para calcular Ce, ocupo la formula general,

2

00

)cos(2

oe v

dttvfc

= ,

la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos lmites y valores quedan definidos segn el signo que toma f para cada valor de v


Para [ ]0,0 vv en direccin 1 yFf = aqu [ ]t 2/,0 Para [ ]0,0vv en direccin 2 yFf = aqu [ ]t /,2/

Para [ ]0,0 vv en direccin 3 yFf = aqu [ ]t 2/3,/ Para [ ]0,0vv en direccin 4 yFf = aqu [ ]t /2,2/3

Reemplazando en la expresin Ce, se obtiene:

+= dttvFdttvFdttvFdttvFvc

w

w

y

w

w

y

w

w

y

w

yo

e )cos()cos()cos()cos(1

0

2

23

0

23

0

2

0

2

02

Calcula

ndo la primitiva de esta expresin, tenemos:

[ ])sin()sin()cos( 00 titfvFdttvF ytf

tiy =

Reemplazando en la expresin anterior y factorizando por 0vFy , queda

+

= )4

3()2()()4

3()2

()()0()2

(0

sensensensensensensensenvF

c ye

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 10011001 0

+++= vF

c ye

04

vF

c ye =

4.8.3. Constitutiva Triangular La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma

Para calcular ke, ocupo la formula general,


2

00

)(2

oe v

dttsenvfk

= , aqu la integral se define como la suma de 4 integrales cuyos lmites

y valores quedan definidos segn el signo que toma f para cada valor de v

Para [ ]0,0 vv (a) vkf 1= aqu [ ]t 2/,0 Para [ ]0,0vv (b) vkf 2= aqu [ ]t /,2/ Para [ ]0,0 vv (c) vkf 2= aqu [ ]t 2/3,/ Para [ ]0,0vv (d) vkf 1= aqu [ ]t /2,2/3

Notar que para todas las trayectorias el signo esta dado por el signo de v.

Reemplazando en la expresin de f en ke teniendo en cuenta que )sin(wtvv o = , se obtiene:

+++= dtwtvkdtwtvkdtwtvkdtwtvk

wv

k

w

w

w

w

w

w

oe

20

0

23

12

0

23

22

0

2

20

2

012 ))sin(())sin(())sin((2))sin((

1

Calculando la primitiva de esta expresin, tenemos:

( ) ( )[ ]w

tiwtiwtitfwtfwtfkvdtwtvktf

ti 2)cos()sin()cos()sin())sin(( 20

20

= Viendo los lmites observamos que siempre cuando el seno es distinto de cero el coseno es nulo y viceversa, por lo que la primitiva con los lmites tratados en las integrales queda:

wtitfvkdtwtsenvk

tf

ti 2))(( 20

20

= Reemplazando en la expresin anterior y factorizando por

wv

2

20 , queda

+

+

+

=2

324

32

022

11221

kkkkke

( ) 2 21

kkF

k ye +=


2 21 kkke

+=

Desarrollo de la expresin del Ce para disipador con ley constitutiva triangular

La ley constitutiva de estos disipadores sigue la siguiente forma

Para calcular Ce, ocupo la formula general,

wv

dtwtwvfc

oe 2

00

)cos(2

=

La integral se define como la suma de 4 integrales cuyos lmites y valores quedan definidos segn el signo que toma f para cada valor de v

Para [ ]0,0 vv (a) vkf 1= aqu [ ]wt 2/,0 Para [ ]0,0vv (b) vkf 2= aqu [ ]wwt /,2/ Para [ ]0,0 vv (c) vkf 2= aqu [ ]wwt 2/3,/ Para [ ]0,0vv (d) vkf 1= aqu [ ]wwt /2,2/3

Notar que para todas las trayectorias el signo esta dado por el signo de v.

Reemplazando en la expresin de f en ke teniendo en cuenta que )(wtsenvv o = , se obtiene:

dwtwvwtvkdtwtwvwtvkdtwtwvwtvkdtwtwvwtvkwv

c

w

w

w

w

w

w

oe ))cos())(sin(())cos())(sin(())cos())(sin((2))cos())(sin((

100

0

23

100

23

200

2

00

2

012 +++=

Calculando la primitiva de esta expresin, tenemos:

[ ]2

)cos()cos())cos())(sin((22

2000

wtiwtfkvdtwtwvwtvktf

ti

= Reemplazando en la expresin anterior y factorizando por

2

20v , queda


+

+

+

= 22222222 )2

3cos()2cos()cos()2

3cos()2

cos()cos()0cos()2

cos(21 ec

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 01100110 21 +++= ec

0=ec

4.8.4. Elemento Viscoso no-lineal Una fuerza viscosa no-lineal se modela segn:

)sgn(vvcf =

Donde

C: constante

: numero real < 2.

Si > 2 la energa liberada disminuye y deja de ser un elemento atractivo para reducir vibraciones

Parmetros lineales elemento viscoso

[ ]0

)232(2)2(4 1

01

22

=++= +

e

e

k

v

cc

Para

)sgn(

)cos()sin(

vvf

tvtv

==

=

Curvas no lineales para =[0 0.5 1 1.5 2] Curva no lineal y aproximacin lineal para = 2

Ce = 0.849wVo


Figura 4.10

Demostracin Dado

)sgn(vvcf =

0( ) sin( )v t v t= Desarrollo de Ce

=

=

2

2

002

0

020

)cos()sgn(1

)(1

dttvvvcv

dtvtfv

ce

Separando los lmites de integracin

+=

2

23

23

2

)cos()cos()()cos(00

dttvdttvdttvvc


+= ++

2

23

23

2

)(cos)cos())(cos()(cos 1000

10

0

dttvdtttvdttvvc

Con

)cos()cos( tt += Se tiene

++=

++=

+++

++

2

23

23

2

2

23

23

2

)(cos)cos()(cos

)(cos)cos()cos(()(cos

11

0

11

0

100

0

10

0

dttdttdttvc

dttvdtttvdttvvc

Paralelamente. Integrando por partes se tiene:

===

==

vduuvudv

xduxu

xxndvxv

n

n

)cos()sin(

)sin()(cos)1()(cos

2

1

+= dxxnnn xxdxx nn

n )(cos1)(cos)sin()(cos 21

i.e. )2(1)( += nFn

nAnF n

se puede demostrar para el caso en estudio que

0=nA

Valido para = n

""

""

)4)(2()4)(2(

)4)(2()5)(3)(1()4(

231)2(1)(

=

==

FFF

( ) 222224222222 )1(2)1(4

))()((2)1(

))4)(2(()1(

++=

+=+= +

"

NOTA: No esta demostrado para < 2, que es el rango de inters del problema.

Continuando


++= +++

2

23

23

2

)(cos)cos()(cos 110

11

0 dttdttdttvc

+

+=

=

++

+

22

13

10

11

0

)1(2)2(42

)(cos22

2

vc

dttvc

Luego

1 1 1 10 02 2 23 3

2 2 2 2

4 ( 2) ( 2)2 ( ) 2 ( )e

c c v c v + + += = + +

Para el caso de 2 = 2dEc =

( )( )/ / / 32 3 20 0 0

8( ) 2 ( ) ( )3

83

d d d

e

E f t dv f t v t dt c v vdt c sen t dt c

c c

= = = = =

=

Desarrollo de ek

=

=

2

2

002

0

020

)sin()sgn(

)(

dttvvvcv

vdttfv

ke

Separando los lmites de integracin

+=

2

23

23

2

)sin()sin()()sin(00

dttvdttvdttvvc

+=

2

23

23

2

)sin()(cos)sin())(cos()sin()(cos 000

00

dtttvdtttvdtttvvc

Con


)sin()sin()cos()cos(

tttt

+=+=

Se tiene 3 2

2 2

32

1 10

0

cos ( )sin( ) cos ( )sin( ) cos ( )sin( )c v t t dt t t dt t t dt

+ = + + + +

+++

+++=

++++

2

23

23

2

2

)1()(cos

)1()(cos

)1()(cos 11

0

1110 tttvc

1 10 1 10 0

( 1) ( 1)c v

+ = + + = + +

Luego

0=ek Cdigos MATLAB %Grafico de una fuerza viscosa no lineal y su aproximacin lineal %en funcin del desplazamiento % Fuerzo nolineal = Cnl*abs(velocidad)âlfa*sign(velocidad) vo=1; wd=1; t=0:2*pi/(wd*100):2*pi/wd; v1=vo*sin(wd*t); v2=vo*wd*cos(wd*t); % Parametro alfa-- alfa=1.75; % -------------- Cnl=1; ce=Cnl*vo^(alfa-1)*wd^(alfa-1)*(gamma(alfa+2)/((2âlfa)*gamma(alfa/2+1.5)^2)); fnl=Cnl*abs(v2).âlfa.*sign(v2); fl=ce*v2; plot(v1,fnl,v1,fl); legend('No-lineal','Lineal'); title(['Fuerza viscosa no-lineal y aproximacion lineal \alpha =',num2str(alfa)]) xlabel('Desplazamiento'); ylabel('Fuerza');

4.9. CALOR DISIPADO La energa disipada se puede traducir directamente en calor el cual se calcula directamente del trabajo de la fuerza disipadora


2 /2

0

( ) ( )d dE f t v t dt kg

= = La unidades de la energa es Fuerza-Distancia por ciclo, tambin en Joules/seg =N x m/seg = Watts x seg / seg = Watt.

Esta energa se debe evaluar como se puede disipar a nivel de superficie ya que no es extrao tener valores de varias decenas de Watt.

4.10. MATRIZ DE DISIPACIN PROPORCIONAL Si se desea que la matriz de disipacin permita desacoplar el problema de equilibrio dinmico (usando la ortogonalidad de las formas modales)

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { }( ) ( ) ( ) ( )T T T Ti i i i i i i i i i iM y t C y t K y t P t + + = { } [ ]{ }Ti iC es una matriz no necesariamente diagonal ya que no participa en el problema de valores propios. Se puede construir una matriz proporcional de varias maneras.

4.10.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh

John William Strutt, tercer Barn de Rayleigh. (n. Essex, 12 de noviembre de 1842 - m. Witham, Essex, 30 de junio de 1919) fue un fsico y profesor universitario britnico galardonado con el Premio Nobel de Fsica en 1904. Strutt descubri la existencia de los gases inertes principalmente el Argn y el Radn. Las primeras investigaciones de Rayleigh son en matemticas especficamente ptica y sistemas vibratorios. Posteriormente cubri casi todo el mundo de la fsica: sonido, ondas, visin del color, electrodinmica, hidrodinmica, viscosidad, etc. Lord Rayleigh, Theory of Sound. (Dover Publications, New York, 1945), Vol. I.

Decimos que [C] es combinacin lineal de [M] y [K].

[ ] [ ] [ ]KbMaC += { } [ ]{ } { } [ ] [ ]{ }{ }T Tj i j iC a M b K = + 0

i ii

aM bK i jC

i j+ ==

1 12 2 2i i i ii i i

bC am

= = +

Si asumo dos i con los i obtengo las constantes a y b La matriz de Rayleigh tiene las mismas propiedades de ortogonalidad de [M] y [K], es decir:

{ } [ ]{ }0

T ij i

C i jC

i j ==


1 12i ii

a b = +

11

12

ii i

jj

j

ab

=

Figura 4.11 Contribucion al amortiguamiento de matriz de Masa y Rigidez.

4.10.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy

T.K. Caughey, 1927 2004 Profesor de Caltech. Classical normal modes in damped linear dynamic systems, J. Appl. Mech. 27 (1960) 269-271. Ver http://oralhistories.library.caltech.edu/142/01/OH_Caughey.pdf

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] == bbb KMaMCC 1 21

2b

i b ibi

a = Para ajustar con b entero:

2 1,0= b 3 1,0,1= b


4 1,0,1,2 = b o 2,1,0,1 Para el caso de dos valores de amortiguamiento obtenemos el caso de Rayleigh:

2 21 1 0 1 1

0,11 1

22 0 1 2

2

1 12 2

12

bb

ba a a

a a

= = = +

= +

4.10.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien Wilson

Joseph Penzien

http://www.eeri.org/site/images/projects/oralhistory/penzien.pdf

Edward Wilson

http://www.edwilson.org/

Si conozco todos los i puedo encontrar un [ ]C proporcional Luego:

[ ] [ ][ ] [ ]1 1 12 0 0

0 .... 00 0 2

T

n n n

MC

M

= =

Luego, se puede calcular [C] como:

[ ] [ ] [ ][ ]1 1TC = Pero:

[ ] [ ] [ ][ ]TiM M= [ ] [ ] [ ][ ] 11 TiM M = [ ] [ ] [ ]1i iM M I = [ ] [ ] [ ][ ] [ ]1 TiM M I = [ ] [ ] [ ] [ ]1 1TiM M = En forma similar


[ ][ ] [ ]1i iM M I = [ ] [ ][ ][ ] [ ]1T iM M I = [ ][ ][ ] [ ] 11 TiM M = Por tanto

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 Ti iC M M M M = Pero

[ ] [ ][ ]1 1 2 i ii ii

M MM

=

%

%

por tanto

[ ] [ ] { } { } [ ]1

2N Ti ii i

i i

C M MM

=

=

%

%

[ ] [ ] { }{ } [ ]1

2N Ti ii i

i i

C M MM

=

= Para aquellos vectores que no se coloque amortiguamiento tendrn valor cero en la solucin del problema.

Adicionalmente podemos utilizar una combinacin de Rayleigh y Wilson Penzien. Siguiendo la recomendacin de Clough y Penzien. Sumamos ambos efectos. Se define el ltimo modo al cual se le asigna un amortiguamiento c , c y se estable Rayleigh:

[ ] [ ]cC a K= de donde y 2 ccc

a = el amortiguamiento para cualquier otra frecuencia es

21 12 2

c ii c i i c

c c

a = = =

Para las frecuencias bajo c se debe modificar su valor i

i i cc

=


Finalmente

[ ] [ ] [ ] { }{ } [ ]1

2N Ti ic i i

i i

C a K M MM

=

= + 4.10.4. Matriz No Proporcional

No siempre tenemos matrices proporsionales por ejemplo (de Clough y Penzien)

Figura 4.12. Situacin de Construccin de una Matriz C no proporcional.

En este caso podemos construir la matriz de disipacin a partir de submatrices.

Un material [ ] [ ] [ ]c c c c cC a M b K= + y el otro [ ] [ ] [ ]s s s s sC a M b K= + la matriz [ ]C es la suma indicada arriba y es NO proporcional a los modos.

4.10.5. Alternativa para Casos de Matrices No Proporcionales o Clasicas Para reducir la dimensin en sistemas lineales no clsicos

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }M v t C v t K v t p t+ + =


Planteamos una solucin a partir de un vector modal{ }i y un nmero considerablemente menor al nmero de grados de liberta N:

( ){ } { } ( ) [ ] ( ){ }1

J

i ii

v t y t y t J N =

= =


Fuerza necesaria para desp.

Son 0 si es estticamente determinado

o si el movimiento es de cuerpo rgido

Por lo anterior

matriz de influencia esttica

y

Equilibrio dinmico

Fuerzas en los apoyos

mviles

usando la primera ecuacin

Pero

por equilibrio


Dado que

Observacin: S masas concentradas

S Rayleigh

Entonces ya que

En este caso

Ejemplo:

EI=1000

L=10

12

3

4


Si

;

6. REDUCCION DEL TAMAO DE LA ECUACIN DINMICA Para reducir la dimensin en sistemas lineales no clsicos

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ }M v t C v t K v t S p t+ + = Planteamos una solucin a partir de un vector modal{ }i y un nmero considerablemente menor al nmero de grados de liberta N:

( ){ } { } ( ) [ ] ( ){ }1

J

i ii

v t y t y t J N =

= =


( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ } [ ] [ ][ ] ( ){ } [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )T T TTN xNJ xN N x JM z t C z t K z t S p t + + = ( ){ } ( ){ } ( ){ } { } ( )[ ]

J x JJ x t

M z t C z t K z t L p t + + = , esta ecuacin esta acoplada

Donde [ ] [ ][ ]TM M = ; { } [ ] [ ]TL S= Para resolver este problema lo podemos hacer numricamente, dado que tiene una dimensin considerablemente menor a N. Alternativamente podemos plantear sobre el sistema reducido un problemas de valores y vectores propios ortogonales a M y K

Descomposicin modal: ( ){ } { } ( )i iiz t q t= { } { }0i iK M = Por tanto el vector de desplazamiento del problema original es:

( ){ } [ ] ( ){ } [ ] [ ][ ]

( ){ }v t z t q t

= =

La verdad es que[ ] [ ] [ ] son buenas aproximaciones para los primeros J/2 formas modales. Y las frecuencias 2i i . Ejemplo:

m = 1 k = 150 y ngld =5

[ ] [ ] [ ]1 11 2 1

;1 2 11 2 1

1 2

K k M I

= =

A partir del problema de valores propios [ ] [ ]{ }{ } { }2 0i iK M = obtenemos la solucin exacta.

{ }3.486

10.175516.040720.606433.5027

=

[ ]0.5969 0.54840.5484 0.16990.4557 0.32600.3260 0.59690.1699 0.4557

=


Si utilizamos vectores Rayleigh Ritz [ ] [ ]N { }N1

( ) ( )J xN x J

v t z t =

[ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

1 130 30

4 / 5 030 350

3/ 5 12.200 0.0667

2 / 5 2 / 30.0667 2.556

1/ 5 1/ 3

T

T

K K

M M

= = = = =

( ){ } ( ){ } ( )M z t K z t L p t + = [ ]{ } [ ]{ } ( ){ } [ ][ ]

[ ]( ){ }( )z t q t t q t

= =

{ } { }0i iK M = obtenemos la aproximacin a lo valores propios { } { } [ ]3.52 0.6728 0.0476;11.729 0.0617 0.6227 = = Aproximacin a vectores propios:

[ ][ ] [ ]0.6111 0.67030.5382 0.03810.4653 0.59421.3102 0.39610.1552 0.1981

= =

Si agregamos un vector adicional.

[ ] { } { } { }1 21

3.52011.50122.111

1

= =

0.61 0.660.54 0.050.46 0.550.32 0.490.15 013

=

no mejora

7. RAYLEIG-RITZ Y LOAD DEPENDENT VECTORS La idea es buscar vector que ayude a resolver con un menor nmero de vectores. Propuesta de Rayleigh + Ritz (1920) y mejor aun la propuesta de Leger, Wilson y Clough llamada Load Dependent Vectors


(Desarrollado en Curso: CI72C/CI62V - Dinmica Avanzada de estructuras Autor: Rodrigo Carreo V. Rev: Rubn Boroschek K.) Se busca:

[ ]NNxJ

Talque:

{ } [ ]{ }( ) ( )v t z t= Pero adems que cumpla con ley de ortogonalidad:

{ } [ ]{ } 0Ti ji

i jM

M i j = =

Sin embargo [ ] { } [ ] { } 0Ti JK K porque ortogonalidad no siempre se considera en el algoritmo.

Se describe a continuacin una manera de obtener vectores en forma automtica con la ventaja de tener informacin de la accin, la rigidez y la masa.

7.1. ALGORITMOS COMPUTACIONAL DE VECTOR DEPENDIENTE DE LA CARGA DE ACUERDO A A. CHOPRA DYNAMIC OF STRUCTURES

1. Se determinacin el vector inicial, 1 a. Determine [ ]{ } [ ]1K y S= b. Normaliza { } { } { } [ ]{ }( )121 1 1 1Ty y M y = 2. Vectores siguientes , 2,3,.....,i i n = a. Determine iy resolviendo [ ]{ } [ ]{ }1i iK y M y = b. Ortogonalice iy con respecto a todos los otros vectores { } { } { }1 2 1, ... i

5. { } [ ]{ }Tij i ja M y= 6. { }j i ij iy a = 7. j jy =


c. Normaliza { } { } { } [ ]{ }( ) 12Tj j j jy y M y = 7.2. JUSTIFICACIN DE MTODO DE LDV POR E. WILSON

Sea la ecuacin dinmica de movimiento:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ }M v t C v t K v t S p t+ + = Considerando solamente el problema sin amortiguamiento, se tiene:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ }M v t K v t S p t+ = Y al asumir que toda funcin ( ){ }P t puede aproximarse por una serie de Fourier: [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }sin( )k k kM v t K v t S t+ = Donde { }kS corresponde al estado de carga k-simo del sistema y ( ){ }kv t y por tanto { } ( ){ }

1( )

mk

kv t v t

==

Considerando en la ecuacin (3) que { } { }( ) sin( )k kv t v t= resulta: [ ]{ } { } [ ]{ }2k k kK v S M v= + Para obtener un conjunto de vectores cuya combinacin sea una buena aproximacin tomando en cuenta el estado de carga k-simo de la estructura se resuelve inicialmente la ecuacin considerando solamente las fuerzas externas, es decir, despreciando el aporte de las fuerzas de inercia.

[ ]{ } { } { }kkk vSvK 00 = El segundo vector del proceso puede ser calculado en base al error cometido en el primer paso, al haberse despreciado las fuerzas de inercia, este error se puede aproximar como: { } [ ]{ }1 0k kS M v= . (Notar que no importan los escalares dado que cada vector obtenido ser normalizado en el proceso).

[ ]{ } { } { }kkk vSvK 111 = En general, para la generacin de un vector { }kiv se calcula: [ ]{ } [ ]{ } { }kikiki vvMvK = 1

(1)

(2)

(3)

(5)

(6)

(7)


7.2.1. Ortogonalizacin de Gram-Schmidt En el proceso de generacin de los vectores Ritz, se requiere la ortogonalizacin de los vectores formados, este proceso se llevar a cabo utilizando el mtodo de Gram-Schmidt.

Sea V un vector que requiere ortogonalizarse al vector Vn previamente generado, en base a la matriz [M]. Definiendo V al vector resultante de la ortogonalizacin se tiene:

nVVV = Donde el valor , que indica la magnitud de la proyeccin del vector V sobre Vn , corresponde a la incgnita a determinar para lograr la ortogonalizacin. Multiplicando por la izquierda a cada lado de la ecuacin por [ ]MV Tn resulta:

[ ] [ ] [ ] nTnTnTn VMVVMVVMV = [ ][ ] nTn

Tn

VMVVMV=

Luego, la ortogonalizacin de Gram-Schmidt clsica de un conjunto de n vectores naaa 21 , a otro conjunto nvvv 21 de vectores ortogonales, corresponde al algoritmo siguiente:

for j = 1:n

for i=1:j-1

i= [ ] jTi aMv vj= iij vv

end

vj = [ ] jTjj

vMv

v

end

Este mtodo, aunque adecuado matemticamente, resulta inestable computacionalmente, debido a que, al generar en cada paso los valores de correspondientes a todos los vectores precedentes en base al vector original aj, no es considerada la acumulacin de errores al ir ortogonalizando el vector por los que lo anteceden uno por uno, perdindose la ortogonalidad entre los vectores generados. Es por ello que es mejor emplear uno de los mtodos de Gram-Schmidt modificado. Uno de los algoritmos ms sencillos y estables de este mtodo es el siguiente, expresado de 2 formas:

for i=1:n

for j = 1:n

for i=1:j-1

0 ( d fi i i )


vi = [ ] iTii

vMvv

for j=i+1:n

[ ] jTii vMv= iijj vvv =

end

end

[ ] jTii vMv=

iijj vvv = end

[ ] jTjj

jvMv

vv =

end

Aunque ambos algoritmos solucionan en igual medida el problema que presenta el mtodo de Gram-Schmidt clsico, el de la izquierda (ortogonalizacin hacia delante) permite trabajar matricialmente el problema, permitiendo realizar cada paso iterativo con solo 2 operaciones matriciales (evitando un proceso iterativo dentro de otro), aumentando la velocidad del proceso.

7.2.2. Descomposicin LDL Cuando es requerido resolver de manera reiterada problemas de la forma [A] {x}={b}, utilizando siempre la misma matriz [A], es recomendable, para acelerar los clculos computacionales, realizar la triangularizacin de la matriz como LDLT. Con ello, el problema se resuelve de la forma:

[ ]{ } { } [ ][ ][ ] { } { }bxLDLbxA T == [ ][ ]{ } { } [ ] { } { }yxLbyDL T ==

Si [A] es simtrica, se cumple:

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]ULDULLDLA TT === Luego el problema puede resolverse anlogamente de la forma:

[ ] { } { } [ ] { } { }yxLbyU TT == 7.2.3. Algoritmo Computacional de E. Wilson

A continuacin se describe el algoritmo para la obtencin de los vectores Ritz dependientes de la carga, donde en cada iteracin se avanza paralelamente en la generacin de los vectores para todos los estados de carga.

Clculos iniciales:

Descomponer la Matriz [K] como LDLT, para simplificar clculos futuros.

Obtencin del 1er bloque de vectores, en base a la matriz con distribuciones de carga [F].

[ ][ ] [ ]FuK s =


Ortogonalizar vectores de [us] respecto a [M] y [K]. La ortogonalizacin se realiza resolviendo el problema de valores propios con las matrices de rigidez y masa transformadas:

[ ] [ ]( )[ ] 00 = ZMK Donde:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]sTs

sT

s

uMuM

uKuK

==

[ ] [ ][ ]01 ZuV s= Normalizar vectores en [ ]1V respecto a [M]: [ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) 211111 = VMVVV T Clculos iterativos (i=2,3,.)

Obtener bloque de vectores [Xi] utilizando:

[ ][ ] [ ][ ]1= ii VMXK Ortogonalizar vectores en [Xi] respecto a [K] y [M]:

[ ] [ ]( )[ ] 0= iZMK Donde:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]iTi

iT

i

XMXM

XKXK

==

[ ] [ ][ ]iii ZXV = Utilizar mtodo de Gram-Schmidt modificado (2 veces) para hacer a [ ]iV ortogonal a todos los vectores previamente calculados y normalizarlos, de manera que [ ] [ ] [ ] [ ]IVMV iTi = Clculos finales:

Se calcula matriz [ ] [ ] [ ][ ]VKVK T= y se resuelve problema de valores propios: [ ] [ ]( )[ ] 02 = ZIK

Se obtienen vectores Ritz, ortogonales a [M] y [K] de la estructura:

[ ] [ ][ ]ZV= 7.2.4. Referencias

E.L. Wilson (2002). Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures. Cap 14; App C-10.


www-math.mit.edu/~persson/18.335/lec5handout6pp.pdf.

Apuntes: Introduction to Numerical Methods. Department of Mathematics, MIT


1. RUTINAS MATLAB: LDV_wilson.m: Funcin que genera los vectores Ritz dependientes de las condiciones de Carga.

function [phi,T]=LDV_wilson(K,M,F,nritz) % Autor : Rodrigo Carreo V. % [phi,T]=LDV(K,M,F,nritz); %Esta funcion genera los vectores de Ritz Dependientes de la carga % (Load-Dependent Ritz Vectors) % De esta funcion se obtendr como resultado el N de vectores de Ritz x el % N vectores de forma de carga en F. % K : Matriz de Rigidez de la Estructura. % M : Matriz de Masa de la Estructura. % F : Matriz cuyas columnas son vectores de forma de cargas externas % nritz : Nro de vectores de Ritz a obtener para cada Condicion de Carga. % Procedimiento de solucion E. Wilson Tabla 14.2 "Three Dimensional Satic % and Dynamic Analyisis of Structures. Edic 3. % rc 20080428 rev rbk 20080429 20080527 % nConCarga: Nro de condiciones de carga. [m,nConCarga]=size(F); % I INITIAL CALCULATIONS % A. Triangularize Stiffness Matrix K=L*D*L' (K=L*U con U=D*L') [L,U]=lu(K);U=U';L=L'; % B. Solve for block of "b" static displacement vectors u_s resulting from % spatial load patterns F; or K*u_s=F. % (El sistema de ecuaciones se resuelve en 2 etapas: L*D*y=b y L'*u=y, % donde L*D=U' (U de la descomposicion LU) E. Wilson C.10) y1=U\F; u_s=L\y1; % Base de Vectores V de iteracion de LDV. V=zeros(m,nConCarga*nritz); % C. Make block of vectors u_s, stiffness and mass orthogonal, V_1. M_b= u_s'*M*u_s; K_b=u_s'*K*u_s; [Z,aux]=eig(K_b,M_b); V(:,1:nConCarga)=u_s*Z; % vectore ortogonales [V(:,1:nConCarga)]=modonorm(V(:,1:nConCarga),M); % norm modal % El resto de los vectores se resuelve "compensando" las fuerzas de inercia % generadas por los vectores obtenidos en el paso anterior: K*V_i=M*V_i-1. % II. Generate blocks of Ritz vectors for i=1:nritz-1 %A. Solve for block of vectors X_i, K*X_i=M*V_i-1. Cada Ritz para todas %las condiciones de carga. y1=U\(M*V(:,(i-1)*nConCarga+1:i*nConCarga)); X_i=L\y1; %B. Make block of vectors , Xi, stiffness and mass orthogonal, Vi_b M_b=X_i'*M*X_i; K_b=X_i'*K*X_i; [Z,aux]=eig(K_b,M_b); % vectores del problema reducido V(:,i*nConCarga+1:(i+1)*nConCarga)=X_i*Z; % vector prob original %C. Use Modified Gram-Schmidt method (two times) to make Vi_b orthogonal % to all previously calculated vectors and normalized so that Vi'*M*Vi=I V(:,i*nConCarga+1:(i+1)*nConCarga)=GSM(V(:,i*nConCarga+1:(i+1)... *nConCarga),M,V(:,1:i*nConCarga)); V(:,i*nConCarga+1:(i+1)*nConCarga)=GSM(V(:,i*nConCarga+1:(i+1)... *nConCarga),M,V(:,1:i*nConCarga)); end % III. Make vectors stiffness orthogonal. % A. Solve Nb by Nb eigenvalue problem [K_b-w2*I]*Z=0 where K_b=V'*K*V. K_b=V'*K*V;[Z,w2]=eig(K_b); phi=V*Z;T=2*pi./diag(w2).^0.5;


GSM.m: Funcin que realiza ortogonalizacin de vectores con mtodo de Gram-Schmidt modificado.

function [V]=GSM(V,M,V_b) % Autor: Rodrigo Carreo V. % [V]=GSM(V,M,V_b); % Gram - Schmidt Modificado %Esta funcion deja normalizados y ortogonales entre si(en base a la matriz %M)los vectores de entrada, mediante el metodo de Gram-Schmidt modificado, %sistema mas estable que el Gram-Schmit clasico dado que itera por bloques. % V : matriz cuyas columnas corresponden a los vectores a ortonormalizar. % M : Matriz de base para ortonormalizacion (Vector phi esta normalizado % en M si phi'*M*phi=1. Vectores a y b son ortogonales si a'*M*b=0) % V_b (opcional): matriz cuyas columnas ya estan ortonormalizadas en M. %% DOCUMENTOS. % rc 20080428 rev rbk 20080429, 20080527 % En una primera etapa, si se tiene matriz V_b, se ortogonalizan todos los % vectores en V a los vectores en esta matriz. if nargin==3 [m1,n1]=size(V_b); for k=1:n1 alpha=V_b(:,k)'*M*V; V=V-V_b(:,k)*alpha; end end [m1,n1]=size(V); % El metodo de Gram-Schmidt modificado consiste en, asumiendo en cada % iteracion que el vector considerado ya es ortogonal a los procesados % anteriormente, se normaliza el vector y ortogonalizan a este todos % los vectores posteriores. for k=1:n1-1 V(:,k)=modonorm(V(:,k),M);% normalizando vector k alpha=V(:,k)'*M*V(:,(k+1):n1); %cte de ortogonalizacion(proyeccion) % considera todos los vectores de k+1 % hasta n V(:,(k+1):n1)=V(:,(k+1):n1)-V(:,k)*alpha; % Elimina contribucion de % modo k end V(:,n1)=modonorm(V(:,n1),M); % ultimo vector se normaliza.


modonorm.m: Rutina que realiza normalizacin de vectores con distintos criterios. Esta rutina es utilizada tanto en las funciones LDV_wilson.m como GSM.m.

function [phi]=modonorm(phi,M,opt) % [phi]=modonorm(phi,[m],[opt]); % Normaliza formas modales % opt= 0 NO realiza normalizacion... Generalizacion necesaria. % opt= 1 Normaliza maximo primera linea [def ]. No necesita ingresar M % opt= 2 Si M existe phi'*m*phi=I % opt= 3 Si no se entrega M normaliza por el maximo de cada columna % rbk 2004-01-08, 2006-mar-06 incluye opt 0 if nargin < 2 opt=1; end if nargin < 3 || ~isempty(M) opt=2; end %%% para caso general. if opt==0 phi=phi; end if opt==1; % normaliza con primera linea aux=(phi(1,:)); [pn,pm]=size(phi); if min(abs(aux))


8. ANLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA

8.1. SERIE DE FOURIER

Cualquier excitacin peridica, ( )P t , puede ser transformada en una sumatoria de funciones trigonomtricas bsicas de acuerdo a los conceptos de Serie de Fourier:

01 1

2 2( ) cosn nn np p

nt ntP t a a b senT T

= =

= + + Donde:

=Tp

p

dttPT

a0

0 )(1

;

=

Tp

ppn dtT

nttPT

a0

2cos)(2 ;

=

Tp

ppn dtT

ntsentPT

b0

2)(2

pT Es el perodo de la funcin ( )P t

Definimos las siguientes variables 12

pT = = y n n =

Ejemplo: Dada la funcin rampa de la Figura. Su composicin se presenta en las Figuras para 7 y 201 coeficientes (dinaFourieCoef.m).

Dina Van Zadab Parcial

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