Dinmica 2015-0

Sesin 06

Tema:

Impulso y Cantidad de Movimiento en 2D

Emprendedores sin fronteras

1

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN 2D

IMPULSO Y MOMENTUM DE UN CUERPO RIGIDO (2D)

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal L

Modelo General (Traslacin + Rotacin):

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

Y

X

Con respecto a O:

i

ii

Gm

rmr

iiG rmrm

Derivando:

iiG vmvm

Para una partcula de masa mi

iivmL

iivmL

Para todo el cuerpo rgido:

Tambin:

Derivando:

iiGi rmrm

iiGi vmvm

GvmL

.

2. Momentum Angular (Vlida para un estado dinmico) H

Con respecto al centro de masa G, el Momento es el momento de la cantidad de movimiento lineal respecto del centro de masa.

GH

El depende del punto respecto al cual se toma. GH

iiGiiG vmrH

/

L: Siempre acta en el centro de masa del cuerpo:

L y H : Siempre acta en un instante de tiempo t

Como: GiGi rvv /

GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///

Para todo el cuerpo rgido:

GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///

Considerando el origen en G:

GiiG rmrm /0

0Givm

G

iivmim

Gir /Gv

Gr

ir

//GH

Y

Z

X

H

O

Escalarmente

2

/ GiiG rmHPara un medio discreto

Cuando n (El medio es continuo) dmrH GiG .2

/

GG IH

En el plano se puede

tomar Escalarmente,

de acuerdo a la

regla de la mano

derecha.

GG

GG

IH

IH

Casos particulares:

a) Traslacin pura: (Rectilnea y curvilnea). 0

GvmL

0GH

b) Rotacin pura respecto a un punto fijo en el cuerpo:

O

Gvm

G

O

Gr

G

Gvm

m

GI

Gr

GGGO

GGG

vmrI

vmI

0.

mrII GGO2

GvmL

GG IH

Podemos deducir que:

GGGO mvrIH

2

GGO mrIH

2GGO mrIH

OO IH

GG rv .

mrII GGO2

rigidocuerpoT .

GG IH

c) Traslacin y Rotacin: (Movimiento general del cuerpo en el plano)

GmvL GG rv ..GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum (se evala entre 2 estados dinmicos):

.Se aplica para un cambio de estado. 1t

2t

12 ttt

1) Momentum Lineal:

Sabemos que para todo cuerpo en movimiento:

GamF

dt

vdmF G

.

2

1

2

1

.G

G

v

v

G

t

t

vdmdtF

12 GG vmvmJ

2211 GG vmJvm

:J Impulso lineal

GvmL

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

Ecuacin general del Principio del Impulso y la Cantidad

De Movimiento Lineal

a) Para un cuerpo rgido: 2211 LJL

De donde:

zzz

yyy

xxx

LJL

LJL

LJLD

D

2211

2211

22112

3

:F

Suma de las

fuerzas externas,

sobre el sistema

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados: 2211 LJL

2) Momentum angular:

GG IM

dt

dIM GG

2

1

2

121

.

dIdtM G

t

t

G

dt

dIM GG

GG Idt

dM

GG Hdt

dM

GGG HdII

1221

:21

Impulso

angular

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

2211 GG HH

Para un cuerpo rgido

Para un sistema

.GG IH

:GH Momento angular

respecto a G

Nota:

Suma de momentos de las fuerzas externas al sistema :GM

21

2

1

G

t

t

GG HdtMH

AA Hdt

dM

Ecuacin general del Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal

4. Conservacin del Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento: En un eje cualquiera:

Si Entonces 0.2

1

t

t

dtF

.cteL

a) Para un Cuerpo Rgido:

21 LL

21 .. GG vmvm

21 GG vv

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas til):

21 LL

5. Conservacin del Momentum Angular:

En el plano:

Si

Entonces

2

1

0

t

t

GdtM 21 GG HH

.cteHG

21

GG II

21

21 GG HH

a) Para un Cuerpo Rgido:

b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas til):

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

Haciendo el D.C.L.

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL

.

2. Momentum Angular

GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 LJL

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 GG HH

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

5. Conservacin de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

6. Conservacin del Momentum Angular:

21 LL

21 GG HH

RESUMEN

Validas solo para un estado dinmico

6. Anlisis Para Choques Excntricos: El impacto excntrico entre 2 cuerpos ocurre cuando la lnea que uno los centros de masa de los

cuerpos no coincide con la lnea del impacto. En estos choque, se cumplen las ecuaciones dadas,

pero se agrega la que corresponde al coeficiente de restitucin (e)

Antes del impacto Despus del impacto

impacto del antes vrel.

impacto del despues vrel.e

(Solo se aplica en el punto de contacto,

en la lnea de Impacto (eje normal) En el ejemplo:

2 2

1 1

n n

P Q

n n

P Q

v ve

v v

Tambin: Si no hubieran fuerzas

externas sobre el sistema 3, "El sistema

es conservativo".

Q Q P P

t

t

n n

1

n

Pv

1

t

Pv

1Pv

1

n

Qv

1

t

Qv

1Qv

2Qv

2Pv 2n

Qv

2

n

Pv

2

t

Qv

1

t

Pv

7. Conclusiones Importantes:

Para todo movimiento plano: en un estado dinmico.

GGGGG Hdt

dI

dt

d

dt

dIIM

.

GG HddtM

2

1

2

1

G

G

H

H

G

t

t

G HddtM

1221 GG HH

G G G

O O O

F2

F1

d2

RO mg

IG1

1

rG

2

2

1

1 2

t

G G G

t

I M dt I

2

1

2

1

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( )

( )

t

G O O G

t

t

G O O G

t

I k F d F d R d dtk I k

I F d F d R d dt I

a) Con respecto al centro de masa G:

IG2

G G G

O O O

F2

F1

r2

RO mg

rO

IG1

1

rG rG

2

2

1

1 1 1 2 2 2

t

G G O G G

t

I r mv M dt I r mv

2

1

2

1

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( )

( )

t

G G G O G G G

t

t

G O O G

t

I k r mv k F r F r r mg dtk I k r mv k

I F d F d R d dt I

IG2

Dos casos a tomar en consideracin:

a) Cuando t grande, apreciable. Se considera el impulso del peso y otras fuerzas pequeas.

b) Cuando t muy pequeo (choques). El impulso del peso y otras fuerzas pequeas, no impulsivas son despreciables.

La barra delgada ABC tiene una masa de 2,4 kg y se une a un soporte de

pasador en B. La esfera D de 0,8 kg golpea el extremo de la barra con una

rapidez v1 = 3 m/s. Si L = 0,75 m y e = 0,5, inmediatamente despus del impacto,

determine:

a.- La rapidez angular de la barra ABC.(rad/s)

b.- La rapidez de la esfera D.(m/s)

c.- La magnitud de la aceleracin angular de la barra ABC.(rad/s2)

d.- La magnitud de la fuerza de reaccin en el apoyo B.(N)

e.- El mximo ngulo alcanzado por la barra despus del impacto.()

1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL

.

2. Momentum Angular

GG IH

3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 LJL

4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evala entre 2 estados dinmicos):

2211 GG HH

21

2

1

G

t

t

G vmdtFvm

21

2

1

G

t

t

GG IdtMI

5. Conservacin de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:

6. Conservacin del Momentum Angular:

21 LL

21 GG HH

RESUMEN

Validas solo para un estado dinmico

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Lineal para la bola entre los

estados 1 y 2:

2 2 )0,8( 3 ) . 0,8 ...... 0,8 2, . 14 ...( )Fa i F dt v dti v

II) Utilizando el coeficiente de restitucin entre la bola y la barra entre los estados 1 y 2:

2

2 2

2 22

0,1875

1(0,75)

40,53 3

..........1, ..(2)5

A

vv v

v

e

2

I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Angular para la barra entre los

estados 1 y 2, con respecto al punto B:

+ =

1 2

2 2

2 2

2. 1,0

0,1875 .

0 0,1875 . 0,1875( )

0,1875 . 0,1125 0,1875(2,4)(0,1875 )

............. )5 (3

B B

G G

H F dtk H

F dt I mv

F dt

F dt

1 22B B BH M dt H

2 21 (2,4)(0,75) 0,1125 .12

GI kg m

2

2

2

21,05 0,8 2,

1,05 0,8 2,4

..........4 ...(4)

v

v

2 2 ...0,187 .....5 1,5 ....(2)v

2

2

3 /

0,9375 /

rad s

v m s

L=0,75m B

III) Utilizando el concepto de Fuerzas y aceleraciones sobre la barra en el estado 2:

23,52N

BY

2 2

2

2

) :

01875(23,52) 0,1125 (2,4)(0,1875) (0,1875

4

)

22, /

B Bcausas efectos

M

rad s

a M

=

) :nn Gb F ma2 2

2( . ) 2,4(3) (0,1875)

4,05X

X

B

B m r

N

n

Gma

t

Gma

BX

) :tt Gc F ma 223,52 ( . ) 2,4(22,4)(0,1875) 10,13,4

8

4

0Y

YB

B m r

N

2 2 2 2( ) ( ) (4,05) (13,44) 14,0369B X YR B B N 14,0369BR N

+ = B B B

BX

BY mg

IV) Observamos que sobre el cuerpo despus del impacto, solo actan sobre el, fuerzas conservativas

como el peso y fuerzas en el apoyo B que no trabajan, por lo cual se cumple la Conservacin de la

Energa Mecnica: Aplicamos el Principio de Conservacin de la Energa Mecnica entre los estados 2

y 3:

0,1875

Estado 2 Estado 3

2 3 /rad s 3 0 3 0Gv

0,1875Sen

N.R.

3 0,5625 /Gv m s

2 3

2 2 2 2

2 2 2 3 3 3

2 2

1 1 1 1. .

2 2 2 2

1 1(2,4)(0,5625) (0,1125)(3) 0 (0) 2,4(9,8)(0,1875. )

2

11,

2

0,20 8

5

0

837

M M

G G G G G G

E E

mv I mg y mv I mg y

Sen

Sen

Bibliografia a utilizar: Hibbeler y Beer

PROBLEMA 4 (4 puntos)

Al mecanismo de palanca articulada que est en el plano vertical, se le aplica en C un Par

de Momento M = 11 m.N, liberndolo a partir del reposo en la posicin = 45. En esta

posicin el resorte de constante K = 140 N/m esta estirado 15 cm. La barra AB pesa 1,8

kg y la BC 3,6 kg. Cuando = 0, determine:

a.- La magnitud de la velocidad angular de BC.(rads)

b.- La fuerza de reaccin horizontal en el apoyo O.(N)

c.- La fuerza de reaccin vertical en el apoyo O.(N)

d.- La fuerza de reaccin en el apoyo A.(N)

VGAB

1.- Para determinar la primera pregunta del problema, primero

utilizamos el Principio del Trabajo y la Energa Cintica

para todo el sistema (Las dos barras unidas):

AB

OB

1 21 2T U T

33 cm

23,3343 cm

9,6657 cm

44 cm

31,1124m

12,8876 cm

2 21 (1,8)(0,22) 0,00726 .12

GAI kg m 2 21 (3,6)(0,44) 0,05808 .

12GBI kg m

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2R A BA GA GA A B GB GB B Par F P P A GA GA A B GB GB Bm v I m v I U U U U m v I m v I

1 0GAv

VB

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 11 (140) 0,27887 0,15 1,8(9,8) 0,33 0,23334 (1,8)(0,11 ) (0,00726) (0,05808)4 2 2 2 2

A A Bk k

1 21 2T U T

Como el sistema parte del reposo en = 45:

1 0GBv 1 0A 1 0B

2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2 2A GA GA B GB GB A GA GA A GB BM K m g y y m g y y m v I I

Tambin para = 90:

2 0GBv

1 2 0GB GBy y

Como se observa en la figura el nivel de referencia del cuerpo B esta en O que es fijo por

Lo cual:

2 2

2 20,01452 0,002904 3,06552A B

2.- Utilizando el concepto de Centro Instantneo de Rotacin del punto A

en el estado 2, y observando que la velocidad de B es la misma tanto

para la barra A como para la barra B, obtenemos:

2 2 2 20,22 0,22 .............(2)B A B A BV

3.- Determinamos las velocidades angulares de cada barra en el estado 2:

8,3889 /AB OB rad s

C.I.R.

=

CAUSAS EFECTOS

FR = 39,0418 N

mABg=17,64 N

mBCg=35,28 N

Oy OX

A

M = 11m.N

GAB

BCG BCI

ABG ABI

0Oa

4.- Cinematicamente sabemos que O no tiene aceleracin por estar en reposo, B tiene

movimiento circular:

2

/ /.t n

B B B BC B O B Oa a a R R

2 (0,22 ) (8,3989) (0,22 )B BCa k j j

0,22 15,5191B BCa i j

6.- Relacionando la aceleracin de B

respecto de A:

2

/ /.B A AB B A B Aa a R R

A AA Y Ya a a j

5.- Sabemos que A solo tiene movimiento

Vertical por lo cual no tiene aceleracin

horizontal:

2 ( ) ( 0,22 ) (8,3918) ( 0,22 )AB Y ABa a j k j j

0,22 15,5191AB Y ABa a j i j

(1)

(2)

7.- Igualando las ecuaciones (1) y (2):

0,22 15,5191 0,22 15,5191ABC Y ABi j a j i j

BC AB

2

15,5191 15,5191

31,0382 /

A

Y

A

Y

a

a m s

En el eje X:

En el eje Y:

8.- Relacionando la aceleracin de GAB

respecto de A:

2

/ /.G A AB G A G Aa a R R

2 31,0382 ( ) ( 0,11 ) (8,3889) .( 0,11 )G ABa j k j j

0,11 23,2971G ABa i j

9.- Utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:

) :G GX AB ABX BC BCXa F m a m a

39,0418 17,64 35,28 (1,8)( 23,2971)YO

0,11 23,2971G ABa i j

(1,8)( 0,11 )X A ABO

0,198 0X A ABO

) :G GY AB ABY BC BCYb F m a m a

50,027YO N

)AB BC ABG G BC G AB

c M I I (0,11) (0,33) 11

BC ABA X G BC G ABO I I

0,11 0,33 11 0,05808 0,00726A X AB ABO

0,11 0,33 0,05082 11A X ABO

10.- Analizando solo la barra BC, utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:

B

C

O

22 cm

22 cm

B

C

O

22 cm

22 cm

=

M = 11m.N

CAUSAS EFECTOS

Oy

OX

mBCg=35,28 N

BX

BY

0BCG

BC Xm a

0BCG

BC Ym a ACG BC

I

) 0 :Xa F

0X XO B

) 0 :Yb F

35,28 0Y YO B

)BC BCG G BC

c M I

0,22 11 0,05808X BCB

0,05808 0,22 11BC XB

50,027 35,28 0

14,747

Y

Y

B

B N

0,05808 0,22 11AB XB

11.- Resolviendo las ecuaciones simultaneas:

1 0 1 0,198 0X X A ABO B

0,33 0 0,11 0,05082 11X X A ABO B

1 1 0 0 0X X A ABO B

0 0,22 0 0,05808 11X X A ABO B

16,6666XO N

16,6666XB N

8,3333A N

2126,2626 /AB BC rad s

Obtenemos los siguientes resultados:

Letra Variable Valor numrico Unidades

a BC 8,3889 rad/s

b OX 16,6666 N

c OY 50,027 N

d A 8,3333 N

BLOQUE C

PROBLEMA 1 (4 puntos)

Cada una de las barras delgadas uniformes A tienen una masa de 20 kg. Se sabe

que OC es 300 mm. La barra B de 8 kg se suelta del reposo en la posicin

mostrada, si e = 0,5. Determine:

a.- La velocidad angular de la doble barra despus del choque.(rad/s)

b.- La velocidad angular de la barra B despus del choque.(rad/s)

c.- La aceleracin angular de B un instante despus del choque.(rad/s2)

d.- El mximo ngulo que se eleva la doble barra.()

a.- w = 1,2219 rad/s

b.- vn = 42,8342 m/s

1.- A2 = 25,1328 rad/s

2.- t = 0.8691 s

3.- Fm = 46,2651 N

4.- Ot = 22,7451 N

5.- On = 17,64 N

6.- 2 = 71,5359 rad/s2

KB = 1,6 m

1.- AB2 = 3,834 rad/s

2.- AB3 = 1,246 rad/s

3.- CD3 = 4,3132 rad/s

4.- OY = 170,4221 N

5.- 3 = 0

6.- max = 105.4