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DINAMICA

UNIDAD 3

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

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En esta unidad analizaremos la cinemática de cuerpos, es decir, la

descripción y el análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las

fuerzas que lo generan.

En lo particular, veremos la manera de como los movimientos de puntos

individuales de un cuerpo se relacionan con su movimiento angular.

Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma.

Se podría definir de esta manera: un cuerpo rígido es aquel en el cual la

distancia entre un par de puntos de dicho cuerpo, permanece constante.

Sin embargo antes de entrar al análisis de la cinemática de los cuerpos

rígidos necesitamos estudiar o recordar, en su caso, algunos conceptos.

A

B El desplazamiento angular de un

cuerpo describe la cantidad de

rotación. Si el punto A en el

disco gira hasta el punto B, el

desplazamiento angular se

denota por el ángulo Θ. Hay

varias formas de medir éste

ángulo.

Estamos acostumbrados a

medir los ángulos en grados,

pero en el movimiento circular

es conveniente medirlos en

radianes.

También se utiliza la revolución

como unidad de medida de un

ángulo.

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Si observamos la primera figura nos damos cuenta que para que A se

desplace hasta B, en realidad esta girando el radio R.

La velocidad angular de R (la velocidad con que gira) está definida por:

rad/s

Y la aceleración angular de R:

rad/s2

MOVIMIENTO CIRCULAR:

Si un punto A se mueve con una trayectoria circular de radio R. La

distancia S (arco de circunferencia) está relacionada con el ángulo θ por:

Derivando s con respecto a t:

Derivando de nuevo:

También

ESTO SOLO ES APLICABLE A UNA TRAYECTORIA CIRCULAR.

S = Rθ (por geometría)

A

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Con estas relaciones podemos analizar problemas de cuerpos que giran

alrededor de ejes fijos.

Por ejemplo: Supongamos que conocemos la velocidad angular y la

aceleración angular del engrane izquierdo de la figura y queremos

determinar la velocidad y aceleración angular del engrane de la derecha.

Las velocidades de los puntos de los engranes en donde hacen contacto, son

iguales.

Para el engrane A:

Para el engrane B:

Como

También las aceleraciones tangenciales son iguales en el punto de contacto,

entonces:

Entonces:

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MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RIGIDO

Cuando cada una de las partículas de un cuerpo rígido se mueve a lo largo de

una trayectoria que es equidistante de un plano fijo, se dice que el cuerpo

experimenta un movimiento plano. Existen tres tipos de movimiento plano,

mencionándolos por orden de complejidad creciente son:

1.- TRASLACION: Este tipo de movimiento ocurre si cualquier segmento de

recta sobre el cuerpo se conserva paralelamente a su dirección original

durante el movimiento. Cuando la trayectoria del movimiento de todas las

partículas de un cuerpo son rectas paralelas, el movimiento se llama

traslación rectilínea. Sin embargo si las trayectoria quedan a lo largo de

líneas curvas que son entre si todas paralelas al movimiento se le llama

traslación curvilínea.

Traslación rectilínea

Trayectoria de traslación curvilínea

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2.- ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: Cuando un cuerpo rígido

gira alrededor de un eje fijo, todas sus partículas, excepto las que quedan

sobre el eje de rotación, se mueven a lo largo de trayectorias circulares

3.- MOVIMIENTO PLANO GENERAL: Cuando un cuerpo se sujeta a un

movimiento plano general, experimenta una combinación de una traslación y

una rotación. La traslación ocurre dentro de un plano de referencia, y la

rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.

En la figura la manivela AB gira alrededor de un eje fijo que pasa por A la,

corredera C experimenta un movimiento de traslación rectilínea, pero la

biela BC tiene un movimiento plano general (se traslada y gira)

TRASLACION DE UN CUERPO RIGIDO.

Si analizamos con mucho cuidado la traslación de un cuerpo rígido,

observaremos que todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad

y la misma aceleración. Como resultado de esto, la cinemática del

movimiento de una partícula que estudiamos en la primera unidad puede

aplicarse para especificar la cinemática de un cuerpo rígido en traslación,

por consiguiente no repetiremos dicho estudio.

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ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

En la figura se puede observar que la partícula P (es una partícula del

cuerpo en rotación) gira alrededor del eje Z y aquí consideramos el

movimiento en un plano perpendicular al eje Z, en el cual la velocidad lineal

de P sería , donde r es el radio del círculo descrito por P,

perpendicular al eje Z y la velocidad angular ω es un vector perpendicular al

plano de giro, de dirección igual a la del eje Z y su sentido se determina por

la regla de la mano derecha

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EJEMPLO:

El engrane A del malacate hace girar a B que eleva el bloque H. El radio de B

es de 200 mm y el de A es de 100 mm; el de C es de 50 mm.

Si A parte del reposo en t = 0 y su aceleración angular αA = 0.2 rad/s2 en

sentido horario. Calcular la distancia vertical que se eleva H y su velocidad

en t = 10s.

Entonces tenemos:

Como

∫ ∫

como

integrando de nuevo

∫ ∫

Para 10 segundos

En el punto de contacto de A y B la

velocidad es la misma para ambos

engranes, por lo tanto su aceleración

tangencial también es igual.

H

C

v

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La longitud del cable que se ha arrollado es S = rθ luego

Lo que se eleva H = (16.66 rad)(0.05m) = 0.833 m.

Para t = 10s

y como = rώ = 0.05(5) = 0.25 m/s.

EJEMPLO:

Una cuerda se enrolla alrededor de una rueda que está inicialmente en

reposo. Si se aplica una fuerza F a la cuerda y le da una aceleración de

a = 4t m/s2, determinar:

a) La velocidad angular de la rueda en t = 1 s.

b) Las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto A en t = 1 s.

c) El número de revoluciones que gira la rueda durante el primer

segundo de su movimiento.

a) El punto p de la rueda coincide con un punto de la cuerda.

Entonces

( )

4t = α (0.2)

α = 20t rad/s

Entonces

∫ ∫ ∫

Si t = 1 s ώ = 10 rad/s

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b) vA es tangente a la trayectoria del punto A

Si cuando t = 1 s ώ = 10(0.1)

Entonces vA = 10(0.1) m/s

La aceleración de A tiene componente tangencial y normal, así:

(aA)t = αr = 20t(r) = 20(1)(0.1) = 2 m/s2

(aA)n = ώ2r = (10)2(0.1) = 10 m/s2

√ = 10.2 m/s2

c) La velocidad angular omega se relaciona con el tiempo de acuerdo a :

Luego: ∫ ∫

rad

rad

En una revolución, ( una vuelta ) hay 2л radianes

Entonces

(

)

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EJEMPLO:

Una rueda con un radio de 2 ft gira alrededor de un eje fijo. Su velocidad

angular aumenta uniformemente de 10 rad/s cuando t = 0 hasta 25 rad/s

cuando t = 10s.

Determinar:

La magnitud de las componentes an y at del punto P situado a una distancia

radial de 1 ft del eje de la rueda, cuando t = 5s.

a) La distancia total que recorre el punto durante los primeros 10s.

Como la velocidad angular aumenta uniformemente, entonces la

aceleración angular es constante. Entonces se pueden aplicar las

fórmulas del movimiento cuando la aceleración es constante:

Aplicando la primera ecuación:

Cuando t = 5s

⁄

Entonces:

⁄

⁄

50

b) Determinando el desplazamiento angular durante los primeros

10seg.

Ya sabemos que por geometría

S = 175 ft.

PROBLEMAS:

1.- Una polea y dos cargas están unidas por cuerdas inextensibles como se

indica en la figura. La carga A tiene una aceleración constante de 10 ft/s2 y

una velocidad inicial vo = 15 ft/s ambas dirigidas hacia arriba. Determinar:

a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 segundos.

b) La velocidad y la posición de la carga B después de tres segundos.

c) La aceleración del punto C sobre el aro de la polea en t = 0

Respuestas: a) 2.68 revoluciones

b) vB = 27 ft/s

SB = 54 ft

c) aC = 46.1ft/s2

12.5º

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2.- El disco A parte del reposo y gira con aceleración angular

constante de

¿Cuánto tiempo se necesita para que gire 10 revoluciones. Si el disco A

está en contacto con el disco B y no hay deslizamiento relativo entre

ellos, determinar la velocidad angular del disco B y su aceleración angular

justamente después de que el disco A gira 10 revoluciones.

3.- Una pequeña rueda de afilar está unida al eje de un motor eléctrico

cuya velocidad nominal es de 3600 rpm.

Cuando se enciende alcanza su velocidad nominal en 5 segundos y al

cortarse la energía llega al reposo en 70 segundos. Suponiendo que la

aceleración angular es constante, determinar el número de revoluciones que

da el motor:

a) Para alcanzar su velocidad nominal.

b) Para detenerse.

Respuestas: a) θ = 150 revoluciones. b) θ = 2100 revoluciones.

4.- Un volante parte del reposo y está sujeto a una aceleración angular

constante de 0.5 rad/s2. Calcular su velocidad angular y el número de

revoluciones que realiza en 90 s.

Resp.: ω = 4.5 rad/s

θ = 322.3 rev.

5.- Un gancho parte del reposo con aceleración de 20 ft/s2. Está fijo a una

cuerda enrollada en un tambor.

Calcular la aceleración angular del tambor y su velocidad angular al

completar 10 revoluciones.

Respuestas: t=7.95 seg

ωB = 21.2 rad/s sentido

opuesto al reloj.

α = 2.67 rad/s2 sentido

opuesto al reloj.

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¿Cuántas revoluciones mas girará el tambor después de haber

completado las 10 revoluciones y que el gancho continúe moviéndose durante

4 s

Resp. α = 10 rad/s2

ω = 35.4 rad/s

θ = 35.24 rev.

6.- La figura muestra el tren de engranaje de una barrena de perforación

de pozos. Con aceleración angular constante, el motor M hace girar el eje S

para alcanzar 100 rpm en t = 2s, partiendo del reposo. Calcular la

aceleración angular del tubo de la barrena D y el número de revoluciones que

efectúa en 2s de arranque.

Resp.: α = 2.09 rad/s θ = 0.6653 rad

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MOVIMIENTO GENERAL EN UN PLANO

Se dice que un cuerpo rígido experimenta un movimiento general en un plano

cuando además de una traslación, gira alrededor de un punto fijo del cuerpo.

Se considera que este movimiento es equivalente a la traslación de un punto

del cuerpo más una rotación alrededor de un eje que pasa por ese punto.

Observemos la siguiente figura:

En esta figura se ilustra un cuerpo rígido que experimenta un movimiento

general en un plano. Si A y B son puntos del cuerpo, entonces la velocidad de

B respecto a A es:

⁄ despejando vB

⁄ la cual podemos escribir como

⁄

B2

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Aquí hay que hacer notar que:

1.- En la traslación de un cuerpo rígido, la velocidad de cada punto del

cuerpo es igual a la velocidad del punto de referencia A ( vB = vA ).

2.- La velocidad relativa del punto B del cuerpo rígido alrededor del punto A

es vB/A. ⁄

⁄

Entonces tenemos que: ⁄

Esta ecuación puede usarse para determinar la velocidad de cualquier punto

arbitrario B del cuerpo, dada la velocidad de un punto A y la velocidad

angular del cuerpo.

Si el número de incógnitas es mayor de dos, todavía puede resolverse el

problema si se consideran otros puntos cinemáticamente importantes.

Otro ejemplo de movimiento plano general sería:

RODADURA SIN PATINAR

En la figura aparece un disco circular de radio r que rueda sobre una

superficie horizontal con una velocidad angular ω y una aceleración angular

α, el giro es a favor del sentido horario (negativo)

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Observe que la trayectoria del centro O es una recta paralela a la

superficie. La rodadura sin patinar ocurre si el punto C de contacto sobre el

disco no tiene velocidad, es decir si el disco no se desliza sobre la

superficie. Este caso merece mucha atención porque ocurre en muchas

aplicaciones de la ingeniería.

Al relacionar las velocidades de los puntos O y C, tenemos:

⁄

Al sustituir vC = 0, y ⁄ obtenemos:

Como se esperaba, este resultado muestra que la velocidad del centro O

es paralela a la superficie en que rueda el disco, siendo su magnitud

como se muestra en la siguiente figura:

EJEMPLO: Un automóvil viaja hacia la derecha

con una velocidad constante de 90 km/h. Si el diámetro de una rueda es de

550 mm, determinar: Las velocidades de los puntos B, C, D y E del borde de

la rueda.

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SOLUCION:

⁄

⁄

⁄

⁄ (

)

⁄

30º

vD vD/A

vA

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

o

RESPUESTA: 15º

30º

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vA

vE vE/A

√ = 35.4 ft/s 45º

EJEMPLO:

Un eslabón CD está guiado por dos bloques A y B que se mueven

en ranuras como se muestra en la figura.

El bloque A se mueve a la derecha a 5 m/s. Determinar la

velocidad de la punta c del eslabón en el instante en que θ = 35º

La velocidad de C la podemos expresar:

⁄

⁄

Donde ⁄

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La velocidad angular del eslabón A tendrá que determinarse

utilizando la información del movimiento de B.

⁄

⁄

VECTORIALMENTE:

[ ]

[ ]

La velocidad de B, no tiene componente X, entonces:

Para la barra DC tenemos:

Sustituyendo el valor de ώ = 1.09k en la primera ecuación:

[ ]

59

√

La dirección de vC se obtiene calculando el ángulo que forman los

componentes i y j:

8.93j

1.25i C

PROBLEMA.

El collarín B se mueve hacia arriba con una velocidad constante

de 5 ft/s. En el instante en que θ = 50º, determinar: a) la

velocidad angular de la barra AB y b) la velocidad del extremo A

de la barra

Respuestas: ωAB = 1.173 rad/s

vA = 3.33 ft/s 25º