DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTRO
159
1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES TESIS PROFESIONAL QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA P R E S E N T A: CARLOS VERDUZCO RÍOS Chapingo, Texcoco, Estado de México, Noviembre de 2009
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1
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES
USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES
TESIS PROFESIONAL
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADO EN ESTADÍSTICA
P R E S E N T A:
CARLOS VERDUZCO RÍOS
Chapingo, Texcoco, Estado de México, Noviembre de 2009
2
Esta tesis fue realizada por Carlos Verduzco Ríos, bajo la dirección del Dr. José Artemio Cadena Meneses. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística.
PRESIDENTE
______________________________________
Nombre y firma
SECRETARIO
______________________________________
Nombre y firma
VOCAL
______________________________________
Nombre y firma
SUPLENTE
______________________________________
Nombre y firma
SUPLENTE
______________________________________
Nombre y firma
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Noviembre de 2009
3
DEDICATORIA
A MIS PADRES... Lorenzo y María Concepción Quienes con su apoyo, cariño, consejos y confianza me han otorgado las habilidades y capacidades que me permitirán, el día de mañana, enfrentar la vida con éxito. Eternamente agradecido, pues de ustedes recibí lo más valioso: El Don de la Vida y la mejor herencia: Mi Carrera Profesional. A MIS HERMANOS (AS) Y FAMILIARES... Gracias por el apoyo, consejos y confianza para seguir adelante en mi persona y mis estudios; y no teniendo otra forma de agradecerles, más que esforzándome por alcanzar el éxito, quiero que sientan que el objetivo logrado también es suyo.
AGRADECIMIENTOS A mi alma mater la Universidad Autónoma Chapingo por brindarme la oportunidad de lograr una profesión con valores y ética. Al Jurado calificador: Dr. José Artemio Cadena Meneses, M.C. Alejandro Corona Ambiz, M.C. Ángel Leyva Ovalle, Dr. Hugo Ramírez Maldonado y Lic. MArgarito Soriano Montero , por dedicar un poco de su valioso tiempo en excelentes observaciones y comentarios durante el desarrollo del trabajo. A todos mis amigos (as) de Chapingo, gracias por esos momentos que pasamos juntos.
Sinceramente…
Carlos Verduzco Ríos
4
CONTENIDO
ÍNDICE DE CUADROS………………………………………………………………….vii
RESUMEN………………………………………………………………………………...ix
SUMMARY………………………………………………………………………………....x
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 1
2. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................... 14
3. OBJETIVOS ...................................................................................................... 15
3.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................ 15 3.2. OBJETIVOS PARTICULARES .................................................................... 15
4. ANTECEDENTES ............................................................................................. 15
5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS
EXPERIMENTALES ........................................................................................ 17
5.1. PRUEBAS DE HIPÓTESIS ................................................................................. 18 5.1.1. Definiciones básicas ............................................................................. 18 5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II ............................................................................. 19 5.1.3. Estadística de prueba y valores tabulados ........................................... 21 5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas ............................................. 22
5.1.4.1. Distribución t de Student. ............................................................... 22 5.1.4.2. Distribución F de Snedecor ........................................................... 23
5.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ....................................... 24 5.2.1. Definiciones .......................................................................................... 24 5.2.2. Modelo lineal ........................................................................................ 25
5.2.2.1. Conceptos básicos. ....................................................................... 25 5.2.2.2. Error experimental ......................................................................... 26 5.2.2.3. Modelo lineal general ..................................................................... 27
5.2.3. Supuestos básicos de los diseños experimentales .............................. 27 5.2.4. Hipótesis a probar ................................................................................ 28 5.2.5. Análisis de varianza ............................................................................. 28
6. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) ................................................. 34
6.1. CARACTERÍSTICAS ......................................................................................... 34 6.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 35 6.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 36 6.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 36 6.5. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 36 6.6. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 37
5
6.7. REGLA DE DECISIÓN ....................................................................................... 37
7. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO ...................... 42
7.1. MODELO LINEAL PARA SUBMUESTREO ............................................................. 42 7.2. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 43 7.3. ANÁLISIS DE VARIANZA CON SUBMUESTREO. NÚMERO IGUAL DE SUBMUESTRAS. . 43 7.4. REGLA DE DECISIÓN ....................................................................................... 45
8. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) ................................ 50
8.1. CARACTERÍSTICAS ......................................................................................... 50 8.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 50 8.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 51 8.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 51 8.5. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 51 8.6. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 52 8.7. REGLA DE DECISIÓN ....................................................................................... 53
9. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS .............. 56
9.1. HIPÓTESIS A PROBAR ..................................................................................... 57 9.2. DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) ...................................................... 58
9.2.1. Ventajas ............................................................................................... 59 9.2.2. Desventajas ......................................................................................... 59 9.2.3. Regla de decisión ................................................................................. 60
9.3. PRUEBA DE TUKEY ........................................................................................ 66 9.3.1. Regla de decisión ................................................................................. 67
9.4. PRUEBA DE DUNCAN ...................................................................................... 73 9.4.1. Regla de decisión ................................................................................. 75
9.5. PRUEBA DE SCHEFFÉ ..................................................................................... 80 9.5.1 Regla de decisión .................................................................................. 81
9.6. PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) .............................................. 87 9.6.1. Regla de decisión ................................................................................. 88
10. DISEÑO EN CUADRO LATINO ...................................................................... 94
10.1. CARACTERÍSTICAS ....................................................................................... 94 10.2. MODELO LINEAL .......................................................................................... 95 10.3. CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRO LATINO BÁSICO ............................................. 95 10.4. HIPÓTESIS A PROBAR ................................................................................... 96 10.5. ANÁLISIS DE VARIANZA ................................................................................. 96 10.6. REGLA DE DECISIÓN ..................................................................................... 98
11. DISEÑO FACTORIAL.................................................................................... 102
11.1. CARACTERÍSTICAS ..................................................................................... 102 11.2. NOMENCLATURA ........................................................................................ 103 11.3. TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES ................................................................ 103 11.4. MODELO LINEAL ........................................................................................ 104
6
11.5. ANÁLISIS DE VARIANZA ............................................................................... 108 11.6. DISEÑO FACTORIAL 2K ................................................................................ 109 11.7. DISEÑO FACTORIAL 3K ................................................................................ 120 11.8. DISEÑO FACTORIAL 3K
X 2L .......................................................................... 132
12. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS ............................................................ 142
12.1. CARACTERÍSTICAS ..................................................................................... 142 12.2. MODELO LINEAL ........................................................................................ 143 12.3. HIPÓTESIS A PROBAR ................................................................................. 144 12.4. ANÁLISIS DE VARIANZA ............................................................................. 1454 12.5. REGLA DE DECISIÓN ................................................................................... 147
13. CONCLUSIONES .......................................................................................... 151
14. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 152
15. APÉNDICE .................................................................................................... 153
7
ÍNDICE DE CUADROS Cuadro 1. Cronología de las versiones de OpenOffice ......................................... 14
Cuadro 2. Análisis de varianza para el modelo ieYi . H0: µ = µ0
vs Ha: µ ≠ µ0………………………………………………………………….31
Cuadro 3. Análisis de varianza para el modelo ieYi . H0: µ = 0
vs Ha: µ ≠ 0…………………………………………………………………. 32 Cuadro 4. Estructura del análisis de varianza para el diseño completamente al
azar. ..................................................................................................... 36
Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión. ........................... 37
Cuadro 6. Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de
medias .................................................................................................. 38
Cuadro 7. Diseño completamente al azar. ............................................................ 39
Cuadro 8. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar. ................ 40
Cuadro 9. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al
azar con submuestreo. Número igual de submuestras. ....................... 43
Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas
en una solución nutritiva. ...................................................................... 45
Cuadro 11. Diseño completamente al azar con submuestreo. .............................. 47
Cuadro 12. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con
submuestreo. ..................................................................................................... 48
Cuadro 13. Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques
completos al azar. .............................................................................. 51
Cuadro 14. Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación
de insecticidas .................................................................................... 53
Cuadro 15. Diseño en bloques completos al azar. ................................................ 54
Cuadro 16. Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. .... 55
Cuadro 17. Pruebas de comparaciones múltiples de medias ............................... 61
Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa. .................................... 62
Cuadro 19. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de
tratamientos ordenados ...................................................................... 63
Cuadro 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de las DMS ......................................................................................... 64
8
Cuadro 21. Prueba de Tukey. ............................................................................... 69
Cuadro 22. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados ............ 70
Cuadro 23. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de Γk ................................................................................................... 70
Cuadro 24. Prueba de Duncan .............................................................................. 76
Cuadro 25. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados ......... 77
Cuadro 26. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de Ck ................................................................................................... 78
Cuadro 27. Prueba de Scheffé .............................................................................. 83
Cuadro 28. Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados .......... 84
Cuadro 29. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de ξK ................................................................................................... 84
Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) ....................................... 90
Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de
tratamientos ordenados ...................................................................... 91
Cuadro 32. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de (S-N-K)K ........................................................................................ 91
Cuadro 33. Cuadro latino básico ........................................................................... 94
Cuadro 34. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino .. 96
Cuadro 35. Cuadro Latino aleatorizado (en base a las hileras). ............................ 98
Cuadro 36. Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala
de Mc Farland 1 x 109)). ..................................................................... 98
Cuadro 37. Diseño en cuadro latino .................................................................... 100
Cuadro 38. Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino. ....................... 101
Cuadro 39. Notaciones para el diseño factorial 22. ............................................. 109
Cuadro 40. Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 22. .... 109
Cuadro 41. Experimento factorial 23. Rendimientos de Caña en Toneladas
por Hectárea. .................................................................................... 111
Cuadro 42. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 23
en bloques completos al azar. .......................................................... 114
Cuadro 43. Tipos de diseños factoriales más comunes ...................................... 116
9
Cuadro 44. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar. ............................ 117
Cuadro 45. Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques
completos al azar. ............................................................................ 118
Cuadro 46. Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros
cúbicos-70) ....................................................................................... 122
Cuadro 47. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 33
completamente al azar. ................................................................................... 125
Cuadro 48. Diseño factorial 3k completamente al azar. ....................................... 129
Cuadro 49. Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente
al azar. .............................................................................................. 130
Cuadro 50. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el
papel kromekotes. ............................................................................ 132
Cuadro 51. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial
3 x 22 en bloques completos al azar. ................................................ 135
Cuadro 52. Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar ....................... 139
Cuadro 53. Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques
completos al azar. ............................................................................ 141
Cuadro 54. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas
divididas. .......................................................................................... 144
Cuadro 55. Producción de caña en toneladas por hectárea. .............................. 147
Cuadro 56. Diseño en parcelas divididas. ........................................................... 148
Cuadro 57. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. ............... 150
10
USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES
RESUMEN
Actualmente existen en el mercado muchos paquetes de software que permiten
desarrollar un conjunto de aplicaciones para oficina, actividades dentro de la
informática, siendo Microsoft Office el más conocido y el que tiene la mayoría del
mercado general en el entorno. Sin embargo, otro paquete que está teniendo gran
importancia en el mercado, y competencia del anterior, es el paquete de software
OpenOffice, que es un software libre muy similar a Office.
Este trabajo se realizó con Calc de OpenOffice, que es una herramienta para trabajar
con hojas de cálculo, en la cual se resolvieron ejemplos de diseños experimentales y
comparaciones múltiples de medias de tratamientos más comunes tomados de algunos
libros clásicos de diseños experimentales. Primero se hizo una revisión de pruebas de
hipótesis y conceptos básicos de diseños experimentales que son muy útiles en el
desarrollo de este trabajo. Después se desarrollaron los siguientes tipos de diseños
experimentales y comparaciones múltiples de medias de uso más común: diseño
completamente al azar balanceado y desbalanceado, diseño completamente al azar con
submuestreo, diseño en bloques completos al azar, comparaciones múltiples de medias
de tratamientos, diseño en cuadro latino, algunos diseños factoriales y el diseño en
parcelas divididas.
Los ejemplos fueron resueltos en forma detallada en Calc de OpenOffice en el archivo
nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES” el cual es parte de este trabajo. Calc de
OpenOffice es muy fácil de usar y de gran similitud con Excel de Microsoft® y se puede
trabajar con esta herramienta sin gran dificultad.
Palabras clave: Software, tratamiento, prueba de hipótesis, comparación de medias.
11
SUMMARY
At the moment they exist in the market many software packages that allow developing a
group of applications for office, activities inside the computer science, being Microsoft
Office the good known one and the one that has most of the general market in our
environment. However, another package that is having great importance in the market,
and competition of the previous one, is the software package OpenOffice that is free and
very similar software to Microsoft Office.
This work was carried out with OpenOffice Calc, that is a tool to work with calculation
leaves, in which were solved examples of experimental designs and multiple
comparisons of stockings of treatments more common taken of some classic books of
experimental designs. First it was made a check of hypothesis tests and basic concepts
of experimental designs that will be very useful in the development of this work. Then
the following types of experimental designs and multiple comparisons of stockings were
developed to be of more common use: design totally at random balanced and
desbalanceado, design totally at random with subsampling, design in complete blocks at
random, multiple comparisons of stockings of treatments, design in latin square, factorial
designs and design in divided parcels.
The examples were solved in form detailed in OpenOffice Calc in the file
"EXPERIMENTAL DESIGNS" which is part of this work. Calc of OpenOffice is very
easy of using and of great similarity with Microsoft® Excel and one can work with this
tool without great difficulty.
Key words: Software, treatment, hypothesis test, comparison of stockings.
12
1. INTRODUCCIÓN
OpenOffice es un software de acceso libre y código abierto; es decir, que se puede
descargar directamente en Internet de forma gratuita en la siguiente dirección:
http://es.openoffice.org/. Otra característica muy importante de este software es el
hecho de ser multiplataforma, puede ser instalado y ejecutado en diversas plataformas
como Linux (en todas sus distribuciones), Mac OS-X (en versión inglés), Free-BSD,
Solaris y Microsoft Windows desde la versión 95.
El paquete contiene las siguientes herramientas:
OpenOffice.org Writer - Herramienta dedicada a la edición de texto también llamado
procesador de textos.
OpenOffice.org Calc - Herramienta para trabajar con hojas de cálculo.
OpenOffice.org Impress - Herramienta destinada a crear presentaciones y diapositivas.
OpenOffice.org Draw - Herramienta destinada a crear diagramas, dibujos y gráficos.
OpenOffice.org Math - Herramienta para la representación de fórmulas matemáticas.
En este trabajo se usaron las herramientas para trabajar con hojas de cálculo, Calc de
OpenOffice, las cuales fueron útiles en el análisis de los diseños experimentales más
comunes.
OpenOffice Calc es una aplicación de hojas de cálculo que se puede usar para calcular,
analizar y gestionar datos. Una hoja de cálculo es una tabla donde cada celda puede
contener alguno de los siguientes tipos de datos: texto, valores numéricos, fórmulas o
referencias a otros archivos.
13
También se pueden importar y modificar hojas de cálculo de Microsoft Excel.
OpenOffice Calc incorpora funciones estadísticas y financieras, que se pueden utilizar
para crear fórmulas que realicen cálculos complejos. En este caso, los cálculos son
enfocados a resolver problemas de diseños experimentales.
En la investigación científica, es común que se formulen hipótesis para luego verificarlas
o rechazarlas directamente, por sus consecuencias. Tal proceso requiere de la
colección de observaciones, a través de un patrón bien definido, el cual constituye el
diseño de un experimento.
Se pueden distinguir dos tipos de experimentos en la investigación científica: los
experimentos absolutos y los comparativos. El primer tipo de experimentos considera la
determinación de un valor específico. Los experimentos comparativos, permiten la
comparación de dos o más tratamientos, al medir su efecto sobre una determinada
característica de la población. En este trabajo, sólo se trataran diseños comparativos
sobre la igualdad de sus tratamientos.
De acuerdo con Cramer (1960), la estadística tiene tres funciones fundamentales en el
método científico: descripción, análisis y predicción. Por descripción se entiende, el
proceso de reducir una masa de observaciones procedentes de un fenómeno aleatorio,
a un conjunto tan pequeño de valores, como sea posible. El análisis de la información,
se refiere a ciertas funciones de las observaciones, denominadas estadísticos, que
permiten describir en forma compacta a una población, si se cuenta exclusivamente con
información a partir de una muestra. Se incluyen también en el análisis, el
establecimiento de criterios de prueba de las hipótesis planteadas por el investigador.
La tercera función de la estadística en el método científico, es la predicción, la cual es
propiamente, el objetivo principal de la aplicación del método científico al estudio de un
fenómeno.
14
El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento
de tal forma que se recaben los datos adecuados que puedan analizarse con métodos
estadísticos para obtener conclusiones válidas y objetivas.
Los tres principios básicos del diseño experimental son la aleatorización, la realización
de réplicas y la formación de bloques. Por aleatorización se entiende que tanto la
asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o
ensayos individuales del experimento se determinan al azar. La realización de réplicas o
repetición del experimento básico, permite al experimentador obtener una estimación
del error experimental y obtener una estimación precisa sobre el efecto de un factor en
el experimento. La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para
mejorar la precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés.
2. JUSTIFICACIÓN
El hecho de trabajar con Calc de OpenOffice, es para dar a conocer este software libre
y presentarlo como una opción para el análisis de diseños experimentales, ya que a
diferencia de otros paquetes gratuitos, éste es más fácil de usar, y cualquier usuario
podría hacer uso de él porque no se necesita tener conocimientos sobre lenguajes de
programación; además, Calc de OpenOffice es equivalente a Excel de Microsoft Office,
pero a diferencia de éste, OpenOffice es un paquete de cómputo libre, el cual está
disponible en Internet de forma gratuita en la dirección mencionada en la Introducción, y
se puede hacer uso de este paquete con la intención de hacer frente al dominio en el
mercado de Microsoft Office y como universidad pública no depender tanto de este
último, proporcionando una alternativa abierta, sin costo y de alta calidad para el
análisis de diseños experimentales.
Por lo tanto, es una buena opción hacer uso de esta herramienta para trabajar con
hojas de cálculo y mediante funciones o fórmulas realizar cálculos y analizar datos de
los diseños experimentales; y que a la vez, este trabajo sirva como apoyo en los cursos
de diseños experimentales que se imparten en las diferentes carreras de la Universidad
15
Autónoma Chapingo. Para un mejor uso de estas hojas de cálculo, los usuarios deben
tener conocimientos básicos de estadística y diseño de experimentos.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Mostrar el uso de Calc de OpenOffice en el análisis estadístico de los diseños
experimentales más comunes.
3.2. OBJETIVOS PARTICULARES
Mostrar que Calc de OpenOffice es una alternativa para resolver problemas
estadísticos y hacer uso de él en lugar de paquetes equivalentes que no sean
libres.
Dar a conocer la forma de usar esta herramienta para trabajar con hojas de
cálculo para hacer uso de ella y no depender tanto de un software que no sea
libre.
4. ANTECEDENTES
OpenOffice es una suite ofimática de software libre y código abierto, desarrollado en un
principio por la compañía alemana StarDivision. El código fue adquirido en 1999 por
Sun Microsystems. En agosto de 1999 la versión 5.2 de StarOffice se hizo disponible de
forma gratuita. El código fuente de la aplicación está disponible bajo la licencia LGPL-
“Lesser General Public License" (Licencia Pública General Menor)-, la cual puede
aplicar a sus programas también. El Cuadro 1 muestra una cronología de las versiones
de OpenOffice
Cuadro 1. Cronología de las versiones de OpenOffice
Versión Descripción Fecha de lanzamiento
Build 638c El primer lanzamiento importante Octubre de 2001
16
1.0 1 de mayo de 2002
1.0.3.1 Último lanzamiento de la línea 1.0.x 18 de abril de 2003
1.1 2 de septiembre de 2003
1.1.3 4 de octubre de 2004
1.1.5 Último lanzamiento de la línea 1.1.x 14 de septiembre de 2005
1.1.5secpatch Parches de seguridad (macros) 4 de julio de 2006
2.0 Lanzamiento importante 20 de octubre de 2005
2.0.1 21 de diciembre de 2005
2.0.2 8 de marzo de 2006
2.0.3 29 de junio de 2006
2.0.4 13 de octubre de 2006
2.1 12 de diciembre de 2006
2.2 28 de marzo de 2007
2.2.1 12 de junio de 2007
2.3 17 de septiembre de 2007
2.3.1 Actualización de estabilidad y seguridad 4 de diciembre de 2007
2.4 27 de marzo de 2008
2.4.1 Junio de 2008
3.0.0 Compatibilidad Office 2007 13 de octubre de 2008
3.0.1 Corrector gramatical 27 de enero de 2009
3.1 Varios 7 de mayo de 2009
3.1.1 Varios 31 de agosto de 2009
Con respecto a los diseños experimentales, el trabajo pionero de Fisher en los años
1920 y principios de la década de 1930, quien estuvo a cargo de la estadística y del
análisis de datos de la Estación Agrícola Experimental Rothamsted, en Inglaterra.
Mostró cómo los métodos estadísticos y en particular el diseño de experimentos podían
ayudar a resolver problemas sobre las complejas relaciones que pueden existir entre
varias variables. Él fue quien desarrolló y usó por primera vez el análisis de varianza
como herramienta fundamental para el análisis estadístico en un diseño experimental.
Las primeras aplicaciones de los métodos del diseño experimental tienen lugar
principalmente, en la agricultura, la ciencia forestal y la biología, y como resultado, gran
17
parte de la terminología que hoy se emplea proviene de estos antecedentes. Las
aplicaciones industriales del diseño experimental comienzan en la década de 1930, en
la industria textil Británica. Después de la Segunda Guerra Mundial, los métodos de
diseño experimental se introducen en las industrias químicas y de transformación de
Europa y E.U.
Hoy día su aplicación se ha generalizado al mundo industrial, agrícola, forestal,
biológico, de las ciencias de la salud, etc.
5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES
Este trabajo se realizó haciendo uso de Calc de OpenOffice para resolver ejemplos de
los diseños experimentales más comunes. Por tanto, primero se comenzó con una
descripción general sobre pruebas de hipótesis y de los diseños experimentales.
En los capítulos siguientes se continúo con el desarrollo detallado de cada tipo de
diseño experimental, y se resolvió un ejemplo en Calc de OpenOffice. Los ejemplos
fueron tomados de libros clásicos de diseños experimentales. Los tipos de diseños
experimentales que se abordaron fueron: diseño completamente al azar balaceado y
desbalanceado, diseño completamente al azar con submuestreo, diseño en bloques
completos al azar, comparaciones múltiples de medias de tratamientos, diseño en
cuadro latino, algunos diseños factoriales y el diseño en parcelas divididas.
Durante el análisis de los diferentes diseños experimentales, los ejemplos que se
presentan fueron resueltos con Calc de OpenOffice, lo cual es el objetivo de este
trabajo. Por tanto, también se proporciona una forma muy detallada de cómo manejar
estas hojas de cálculo, para que el lector sea capaz de poder hacer uso de las mismas
y que a la vez le sirva como un manual de Calc de OpenOffice para resolver problemas
de los diseños experimentales más comunes.
18
Debido a que la mayoría de los métodos estadísticos que se exponen en los capítulos
siguientes de diseños experimentales, se caracterizan por el contraste de juegos de
hipótesis en la solución de problemas específicos, se muestra una breve exposición de
las pruebas de hipótesis estadísticas, de las distribuciones de probabilidad asociadas
con estas pruebas de hipótesis y de algunos conceptos básicos de diseños
experimentales, que fueron necesarios para el desarrollo de este trabajo, tomados de
libros de diseños experimentales de los siguientes autores: Castillo (2003), Cochran y
Cox (1980), Fisher (1960), Infante y G. (1990), Martínez (1983), Montgomery (2007),
Scheffé (1959), y Steel y Torrie (1988).
5.1. Pruebas de hipótesis
Se hace uso de las pruebas de hipótesis estadísticas para probar la adecuación de un
modelo específico, la igualdad de los resultados de distintos tratamientos en un diseño
experimental, el cumplimiento de los supuestos básicos del modelo o diseño
experimental elegido, entre otras situaciones comunes. En los capítulos siguientes se
usaron las pruebas de hipótesis estadísticas para mostrar la igualdad de los resultados
de distintos tratamientos, en un diseño experimental.
5.1.1. Definiciones básicas
Hipótesis: Aseveración que se hace acerca de un fenómeno.
Prueba de hipótesis: Método estadístico que se emplea para determinar si una
hipótesis es verdadera o falsa.
A continuación se definen los elementos esenciales que deben conformar una prueba
de hipótesis.
Hipótesis a probar: Consiste en dos planteamientos que se contraponen: la hipótesis
nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es aquella que el investigador está
19
dispuesto a sostener como cierta; se representa como H0. La hipótesis alternativa es
aquella que se contrapone a la hipótesis nula; se representa por Ha.
Estadística de prueba: Es una fórmula estadística que, con base en los datos
experimentales, permite obtener un dato (valor calculado) que es comparado contra un
valor de tabla (valor tabulado) de la distribución de probabilidad con la que se relaciona
la estadística de prueba.
Regla de decisión: Determina la forma en que se deben relacionar el valor calculado y
el valor tabulado de la distribución de probabilidad de donde provienen los datos
experimentales para rechazar o no la hipótesis nula (H0).
Conclusión: Habiendo rechazado o no la hipótesis nula (H0) se deben establecer las
conclusiones pertinentes con base en el estudio o experimento que se realiza.
Note que en las definiciones anteriores se utiliza la idea de no rechazar en lugar de la
idea de aceptar. Lo anterior se debe al hecho de que las pruebas de hipótesis se
realizan suponiendo un componente aleatorio en los datos experimentales y por lo tanto
no se tiene la entera seguridad de la certeza o seguridad de la H0, por lo que es más
correcto emplear el no rechazo que la total aceptación.
Una prueba de hipótesis permitirá el rechazar o no rechazar la hipótesis nula (H0). Si se
rechaza a H0 implica que ésta es falsa y no se rechaza a Ha. Si no se rechaza a H0
implica que ésta es verdadera y se rechaza a Ha. El enunciado de la hipótesis que no es
rechazada servirá de base para dar las conclusiones finales de la prueba de hipótesis.
5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II
Cualquier estadística de prueba está asociada a una distribución de probabilidad
específica, por lo que una prueba de hipótesis está sujeta a errores atribuibles al azar.
20
Comúnmente se llegan a presentar dos tipos de errores en las pruebas de hipótesis:
Error tipo I y Error Tipo II.
Los errores anteriores se definen de la siguiente forma:
Error Tipo I = Rechazar H0 cuando es cierta.
Error Tipo II = No rechazar H0 cuando es falsa.
Cuando H0 es verdadera y no se rechaza se está tomando la decisión correcta. Cuando
H0 es verdadera y se rechaza se está cometiendo un Error Tipo I. Cuando H0 es falsa y
se rechaza se está tomando la decisión correcta. Cuando H0 es falsa y no se rechaza
se está cometiendo un Error Tipo II.
Se desean pruebas de hipótesis en las cuales las probabilidades asociadas a ambos
tipos de errores sean mínimas. Bajo un enfoque probabilístico los errores mencionados
se expresan como:
P[Error Tipo I] = P[Rechazar H0 cuando es cierta]
= α (nivel de significancia de la prueba de hipótesis)
P[Error Tipo II] = P[No rechazar H0 cuando es falsa] = β.
En términos prácticos, el nivel de de significancia (α) se define como el máximo valor de
la probabilidad de Error Tipo I que el experimentador esté dispuesto a aceptar al
ejecutar una prueba de hipótesis. Bajo esta definición es deseable que α tome valores
lo más pequeños posible. Los valores del α se expresan en decimales y los más
comunes en una prueba de hipótesis son 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01.
La confiabilidad es un término de uso común en las pruebas de hipótesis y puede ser
definida como la probabilidad de que no ocurra un Error Tipo I. Sus valores se expresan
en porcentaje.
21
Bajo la definición anterior se puede relacionar al α y a la confiabilidad mediante la
fórmula:
P[Error Tipo I] + P[No Error Tipo I] = 1
α + confiabilidad = 1.
Una confiabilidad del 90% implica un α = 0.1; una confiabilidad del 95% implica un α =
0.05; una confiabilidad del 97.5% implica un α = 0.025 y una confiabilidad del 99%
implica un α = 0.01.
5.1.3. Estadística de prueba y valores tabulados
Las pruebas de hipótesis se sustentan en supuestos acerca de la distribución de
probabilidad de donde provienen los datos experimentales. En algunas pruebas de
hipótesis se supone de inicio que los datos experimentales tienen una distribución
Normal [X~N (μ, σ2)], una distribución Poisson [X~P (λ)], etc.
En una prueba de hipótesis, al utilizar la estadística de prueba, es necesario realizar
operaciones de suma, resta, división, multiplicación o potenciación sobre los datos
experimentales. Al ejecutar tales operaciones se realiza un proceso análogo al de una
conversión, por ejemplo, de unidades físicas, es decir, el valor final que se obtiene no
presenta la distribución de probabilidad que tienen los datos experimentales sino una
distribución de probabilidad diferente. Los mecanismos mediante los cuales es posible
transformar una distribución de probabilidad en base a operaciones matemáticas y
lógicas son dados por el área de conocimiento denominada Álgebra de Variables
Aleatorias.
En gran cantidad de las pruebas de hipótesis de uso generalizado se tienen estadísticas
de prueba que generan valores pertenecientes a distribuciones de probabilidad
continuas (t de Student, F de Snedecor, etc). El problema principal consiste en que la
mayoría de las funciones de probabilidad continuas, al intentar integrarlas, no admiten
22
una solución analítica, por lo que se hace uso de tablas de probabilidades específicas
con el fin de poder ejecutar la prueba de hipótesis.
5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas
5.1.4.1. Distribución t de Student.
En algunas pruebas de hipótesis, que se expondrán en los capítulos siguientes, se
supone que los datos experimentales, o los errores que se generan, tienen una
distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ, σ2)]. Bajo este supuesto, las
estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de
probabilidad t de Student.
La distribución t de Student es parecida a la distribución Normal Estándar debido a que
también es simétrica y tiene una media igual a cero. La principal diferencia se da por el
hecho de que la distribución t de Student tiene mayor área de probabilidad en las colas
que la distribución Normal Estándar. La función de probabilidad correspondiente no
admite una solución analítica, por lo que existe una tabla específica para el cálculo de
probabilidades (Tabla I del Apéndice).
En las pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil t de Student como el valor tabulado
contra el que se compara el valor calculado, y se representa por tα(v), donde α es el
nivel de significancia de la prueba de hipótesis y v son los grados de libertad de la
distribución t de Student.
Cuantil t de Student: Valor de la distribución t de Student con v grados de libertad tal
que la probabilidad de un valor mayor es igual a α.
23
Grados de libertad: Variables independientes con las que se calcula la estadística de
prueba menos el número de parámetros que van a ser contrastados en una prueba de
hipótesis.
Si se quiere encontrar el cuantil t0.05(7) entonces se debe localizar, en la Tabla I del
Apéndice, el valor 7 en la columna marcada como v y desplazarse hacia la derecha
hasta la columna de α que presente el valor 0.05, el dato ubicado en dicha columna es
el cuantil buscado, en este caso t0.05(7) = 1.9.
5.1.4.2. Distribución F de Snedecor
En algunas pruebas de hipótesis, que se expondrán en los capítulos siguientes, se
supone que los datos experimentales o los errores que se generan tienen una
distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ, σ2)]. Bajo este supuesto, las
estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de
probabilidad F de Snedecor.
La distribución F de Snedecor presenta formas variadas, por lo general asimétricas, que
dependen de los grados de libertad asociados. Esta distribución de probabilidad tiene la
característica de estar asociada con dos tipos de grados de libertad conocidos como
grados de libertad del numerador y del denominador. La función de probabilidad
correspondiente no admite una solución analítica por lo que existe una tabla específica
para el cálculo de probabilidades (Tabla II del Apéndice).
En pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil F como el valor tabulado contra el que se
comparará el valor calculado, y se representa por Fα(v1, v2), donde α es el nivel de
significancia de la prueba de hipótesis, v1 son los grados de libertad del numerador y v2
son los grados de libertad del denominador de la distribución F de Snedecor.
Si se quiere encontrar el cuantil F0.05(8,10) entonces se debe localizar, en la Tabla II del
Apéndice, el valor 8 en la columna marcada como grados de libertad v1, y a partir de
24
ese valor avanzar hacia abajo hasta la fila de los grados de libertad v2 que tiene el valor
10; en este sitio se localizan cuatro valores correspondientes a los cuantiles de la
distribución F de Snedecor a un α de 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01, respectivamente, entonces
se elige el cuantil al α deseado; en este caso F0.05(8,10) = 3.07.
5.2. Conceptos básicos de diseños experimentales
5.2.1. Definiciones
Experimento: Procedimiento que permite obtener una observación de algún fenómeno
de interés.
Tratamiento: Sustancia, individuo, elemento u objeto cuya acción o efectividad se
desea evaluar y comparar.
Unidad Experimental: Área física mínima sobre la cual se aplica un solo tratamiento.
Variable respuesta: Dato o medida que se cuantifica en cada unidad experimental y
cuyos valores permiten evaluar la acción o efectividad de los tratamientos y hacer
comparaciones entre estos.
Diseño experimental: Conjunto ordenado de normas, procedimientos y cálculos que
orientan acerca de la forma en que deben disponerse las unidades experimentales en el
campo o laboratorio, la forma en que deben colocarse los tratamientos en las unidades
experimentales, la manera en que deban recopilarse y analizarse los datos
experimentales, para así obtener información relevante y con un alto grado de
confiabilidad basado en los datos arrojados por la variable respuesta.
Existe un gran número de diseños experimentales para solucionar problemas
específicos, en esta tesis sólo se abordaron por considerarse de uso más común los
25
siguientes diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de
tratamientos:
Diseño completamente al azar balanceado y desbalanceado.
Diseño completamente al azar con submuestreo.
Diseño en bloques completos al azar.
Comparaciones de múltiples de medias de tratamientos.
o Diferencia Mínima Significativa (DMS).
o Prueba de Tukey.
o Prueba de Duncan.
o Prueba de Scheffé.
o Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-W).
Diseño en cuadro latino.
Diseños factoriales.
Diseño en parcelas divididas.
Repeticiones: Número de unidades experimentales en las cuales se aplica un mismo
tratamiento. Si un tratamiento específico se aplica en siete unidades experimentales se
dice que está repetido siete veces o que hay siete repeticiones del tratamiento.
Testigo: Consiste, por lo general, en una unidad experimental en la cual ninguno de los
tratamientos utilizados en el experimento es probado, y cuyo valor obtenido para la
variable respuesta permitirá medir la acción o efectividad de los tratamientos.
5.2.2. Modelo lineal
5.2.2.1. Conceptos básicos.
Modelo lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los
términos que lo componen se da básicamente mediante sumas y restas.
26
Modelo no lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los
términos que lo componen se da básicamente mediante multiplicaciones, divisiones y
potencias.
Los modelos matemáticos empleados para representar algunos métodos estadísticos
(como en los diseños experimentales) son modelos estadísticos de tipo lineal, ya que la
relación principal entre los términos que lo componen se da mediante sumas y restas.
5.2.2.2. Error experimental
Para unidades experimentales que han recibido el mismo tratamiento, constituye las
diferencias que se presentan entre cada uno de los valores obtenidos en la variable
respuesta y la media del tratamiento. Estas diferencias son de naturaleza aleatoria y se
desconocen las causas que las originan. Es un error estadístico, lo que significa que es
un producto de una variación incontrolable y generalmente inevitable.
Normalmente, sólo una pequeña parte del error experimental puede ser atribuido a
errores en la medición. Efectos importantes pueden quedar ocultos total o parcialmente
por el error experimental y a la inversa, a causa del error experimental el investigador
puede equivocarse y creer en la influencia de efectos que no existen.
En el modelo lineal, el error experimental es representado mediante el término de error
aleatorio, ya que ambos términos, en el desarrollo de los siguientes temas, serán
equivalentes.
Es importante hacer notar que todos los valores que se obtengan para una variable
respuesta serán determinados en parte por el término de error aleatorio; no es posible
que los datos experimentales se sustraigan del efecto del término de error aleatorio
(error experimental). La importancia principal de este término se da cuando se supone
un valor tal que determina en mayor medida la magnitud de la variable respuesta, ya
que así no será posible detectar diferencias entre tratamientos. Se espera que el valor
27
del término de error deba ser muy semejante para cada uno de los datos de la variable
respuesta en el experimento, por lo que se supone que los errores experimentales
tienen una distribución Normal con media cero y varianza σ2, y son independientes
entre sí, es decir, eij~NI (0, σ2).
5.2.2.3. Modelo lineal general
El modelo lineal general para los diseños experimentales puede ser escrito como:
aleatorio.error del Término
al.experiment diseño elen considerar a Efectos
general medio Efecto
respueta. variablela deValor Y
donde
ij
ij
ij
e
eY
i
iij
Los subíndices para la variable respuesta (Y) y el término del error aleatorio ( e )
dependerán del número de efectos a considerar en el diseño experimental (ω) y del
número de repeticiones.
5.2.3. Supuestos básicos de los diseños experimentales
Tomando como base lo expuesto en la sección 5.2.2 es posible determinar los
supuestos básicos de los diseños experimentales en general:
Existe homogeneidad de varianza entre tratamientos (todos los tratamientos
tienen igual varianza).
Los errores tienen distribución Normal con media cero y varianza σ2, y son
independientes entre sí (no están correlacionados), es decir, eij~NI (0, σ2).
28
5.2.4. Hipótesis a probar
Bajo los supuestos mencionados es posible realizar pruebas de hipótesis acerca de los
efectos de los términos del modelo lineal en un diseño experimental específico. Con
excepción del efecto medio general (μ), los demás términos en un modelo lineal
específico reciben la denominación de fuentes de variación. En los diseños
experimentales se prueban diferentes pares de hipótesis, dependiendo del número de
fuentes de variación a analizar. La hipótesis nula (H0) siempre postula la igualdad entre
los diferentes niveles de una fuente de variación, mientras que la hipótesis alternativa
(Ha) siempre postula que al menos uno de los niveles de la fuente de variación produce
un efecto diferente. Es importante mencionar que, en cualquier diseño experimental,
para el término de error aleatorio no se realizan pruebas de hipótesis, sino que se
constituye en un elemento básico para probar las hipótesis de las fuentes de variación
restantes.
5.2.5. Análisis de varianza
En un diseño experimental la técnica estadística que se emplea para contrastar las
hipótesis derivadas del modelo lineal es el análisis de varianza. Para un experimento
específico el análisis de varianza determina, con un alto grado de confiabilidad, si la
diferencia entre los valores que toma la variable respuesta se debe realmente al efecto
de alguna de las fuentes de variación involucradas o a efectos aleatorios (determinados
por el azar). El análisis de varianza es el estadístico de prueba para el contraste de
hipótesis acerca de las fuentes de variación en un diseño experimental.
A manera de ejemplo se muestra el método y la lógica del análisis de varianza en el
siguiente modelo lineal generalizado:
29
aleatorio.error del Término
general medio Efecto
respueta. variablela deValor Y
donde
i
i
i
e
eYi
El análisis de la varianza descansa fundamentalmente en el estudio de la variabilidad
de las observaciones. En este modelo es claro que:
t1,2,...,i ; i iYe
Es decir, un error es la diferencia entre una observación y el valor verdadero del
parámetro. Ahora se parte de ese error en dos componentes mediante la igualdad
trivial:
)()( YYYY ii
La igualdad anterior, a pesar de su sencillez, es de extraordinaria importancia en
nuestro desarrollo. Una forma de interpretarla es diciendo que un error está compuesto
por la desviación de una observación con respecto a la media muestral, sumada con la
distancia entre la media muestral y la media poblacional. Además de la igualdad
anterior se sigue que:
22 )]()[()( YYYY ii
Puesto que la igualdad anterior es cierta para todas y cada una de las observaciones Y i
(i=1,2,…,t), podemos escribir:
t
i
i
t
i
i YYYY1
2
1
2 )]()[()(
y mediante la aplicación de reglas ya conocidas obtenemos la siguiente igualdad:
t
i
t
i
ii
t
i
t
i
i
t
i
i
t
i
i
YYYYtYY
YYYYYYY
1 1
22
1 11
22
1
2
)()(2)()(
)()(2)()()(
0)( que ya )()( 11
22t
i
i
t
i
i YYYtYY
Por tanto, se ha llegado al siguiente resultado:
30
t
i
i
t
i
i YtYYY1
22
1
2 )()()(
en donde se nota que la partición del error ie en dos componentes ha llevado a una
expresión similar que involucra sumas de cuadrados de las desviaciones originalmente
desarrolladas. Por esta razón las tres componentes de la ecuación a la que se llegó se
les llama Sumas de Cuadrados. Bajo la suposición de que: Y1,…,Yt es una muestra
aleatoria de ) ,( 2N , dichas sumas de cuadrados tienen distribuciones probabilísticas
muy sencillas de derivar, y pueden usarse para generar un procedimiento para probar
hipótesis sobre µ. Con objeto de derivar las distribuciones de las sumas de cuadrados
dividimos todos los términos de la ecuación anterior por σ2, obteniendo:
t
i
it
i
i YtYYY
12
2
2
2
12
2)()()(
De la ecuación anterior es fácil obtener las distribuciones correspondientes. En efecto,
puesto que cada Yi ~N(µ, σ2), es claro que:
2
iY~N(0, 1) de donde
2
2)( iY~
2
)1(
Además, puesto que las Yi son independientes, y usando la propiedad aditiva de la
distribución Ji- cuadrada, se obtiene:
2
)(
12
2
~)(
t
t
i
iY
El segundo resultado se obtiene de nuestras suposiciones, la distribución de la media
muestral es ) ,( 2 tN y, por lo tanto, la media estandarizada tiene distribución Normal
estándar. Esto es: )(Yt
~N(0, 1)
Y por lo tanto: 2
)1(2
2
~)(Yt
A la distribución de la suma de cuadrados restante con la notación usual identificamos a
la varianza muestral por S2, tenemos que:2
2
12
2)1()( StYYt
i
i y sabemos que su
distribución es 2
)1(t . Es decir, que:
31
2
)1(
12
2
~)(
t
t
i
i YY
C B A
)()(
)(
2
)1(
2
)1(
2
)(
2
2
12
2
12
2
tt
t
i
it
i
i YtYYY
Una vez obtenidas las distribuciones de A, B y C, se explica cómo pueden usarse para
probar hipótesis sobre µ. En primer lugar, la partición de la variabilidad que se ha hecho
sólo permite probar hipótesis de dos colas sobre µ. Es decir, que en lo sucesivo nos
referiremos al juego de hipótesis: H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0, donde µ0 es el
valor supuesto del parámetro desconocido. Que no sea posible probar hipótesis de una
cola con esta técnica es una consecuencia de haber tomado los cuadrados de las
desviaciones. Para derivar una estadística para probar hipótesis sobre µ es natural
recurrir a la componente C en la ecuación anterior, puesto que la variable aleatoria C
involucra no sólo a Y y a µ, sino además a la distancia Y . Sin embargo,
22)(Yt no es una estadística, dado que tanto µ como σ2 son parámetros
desconocidos. En cuanto a µ el problema está resuelto, ya que µ debe tomar el valor
de µ0 para fijar el nivel de significancia. Para que la estadística no dependa de σ2
usaremos la componente B. Dado que B y C son ambas variables aleatorias Ji-
cuadradas, tenemos que: 1
12
2
1
22
22
~)(
)1()(
)1()(tt
i
i
FS
Yt
tYY
Yt. De aquí se deduce que,
si la hipótesis nula µ = µ0 es cierta, la estadística: 1
12
2
0 ~)(
tFS
YtF y podemos usar
F0 para probar el juego de hipótesis propuesto. La regla de decisión que nos garantiza
una prueba con nivel de significancia α es: “Rechazar H0 si 1
10 tFF ”
32
Una vez que se ha dado un avance de lo que vendrá después, retrocedemos un poco
para reunir los resultados obtenidos en esta sección. Todo el procedimiento para probar
H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0 mediante la distribución de F se resume usualmente
en una tabla conocida como cuadro de análisis de varianza.
En el cuadro de análisis de varianza (Cuadro 2), los tres componentes de la ecuación
anterior de las distribuciones de A, B y C aparecen sin el divisor σ2. Esto es porque la
estadística F0, al ser la razón de dos de ellas, no depende de σ2. Además, puesto que la
hipótesis nula es H0: µ = µ0, el valor de µ es sustituido por µ0. Como se mencionó antes,
los numeradores de los términos de la ecuación anterior de las distribuciones de A, B y
C se llaman Sumas de Cuadrados. Así, a t
i
iY1
2
0 )( se le llama Suma de Cuadrados
Total, a 2
0 )(Yt se le llama Suma de Cuadrados del Error y a t
i
i YY1
2)( se le llama
Suma de Cuadrados debida a la Media. En lo sucesivo se identificarán por las
avrreviaturas S.C TOTAL, S.C. ERROR y S.C MEDIA
Cuadro 2. Análisis de varianza para el modelo ieYi . H0: µ = µ0 vs Ha: µ ≠ µ0
Fuente de Variación
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F0 = F calculada
)( calF
F de tablas )( tabF
Media (µ) 1 2
0 )(Yt 1
)( 2
0Yt
2
2
0 )(
S
Yt ),( 21 vvF
Error t-1 t
i
i YY1
2)( 21
2
1
)(
St
YYt
i
i
Total T t
i
iY1
2
0 )(
Donde:
error. del libertad de Grados
. de libertad de
Snedecor. de Fón distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
33
Ahora se explica con más detalle el Cuadro 2. En la primera hilera del encabezado
aparece “Fuentes de Variación” (F.V.) destaca que el análisis de varianza se basa en
una partición de la variabilidad de las observaciones en diferentes fuentes (o factores)
de variación. En la segunda columna aparece el nombre de “Grados de Libertad” (G.L.)
alude a los parámetros de las distribuciones Ji- cuadrada asociadas con las Sumas de
Cuadrados (S.C) en la tercer columna. La siguiente columna muestra los “Cuadrados
Medios” (C.M.) que se obtienen dividiendo cada suma de cuadrados por sus grados de
libertad, y sólo son un paso intermedio para obtener la estadística F0 = Fcal en la
columna siguiente y en la última columna aparece Ftab.
El Cuadro 2 se desarrolló para probar el juego de hipótesis H0: µ = µ0 en oposición a Ha:
µ ≠ µ0. Más frecuentemente el cuadro de análisis de varianza se formula como si el
propósito fuera probar H0: µ = 0 en oposición a Ha: µ ≠ 0. Esta presentación, que
aparentemente es más restringida que la anterior, en realidad no lo es puesto que si
tenemos observaciones Y1,…,Yt, que se supone son una muestra aleatoria de ) ,( 2N
y queremos probar la hipótesis nula H0: µ = µ0, siempre podemos definir variables
aleatorias Xi = Yi - µ0 las cuales cuando la hipótesis nula es cierta, tienen distribución
) ,0( 2N , por lo que las variables Xi = Yi - µ0 pueden usarse para probar H0: µ = 0,
obteniéndose una prueba equivalente a la anterior. Con las nuevas variables centradas
en cero, el cuadro de análisis de varianza es como el que se presenta en el Cuadro 3.
Cuadro 3. Análisis de varianza para el modelo ieYi . H0: µ = 0 vs Ha: µ ≠ 0
F.V. G.L. S.C. C.M. F0 = Fcal Ftab
Media (µ) 1 2Xt
2Xt 2
2
S
Xt ),( 21 vvF
Error t-1 t
i
i XX1
2)( 21
2
1
)(
St
XXt
i
i
Total t t
i
iY1
2
0 )(
Donde:
34
error. del libertad de Grados
. de libertad de
Snedecor. de Fón distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
El Cuadro 3 es una simplificación trivial del Cuadro 2, sólo que ahora µ0 = 0. Ahora se
mencionan algunos aspectos del Cuadro 3, ya que estos explican por qué esta segunda
presentación es la más favorecida. En primer lugar, en las S.C. la partición es más
sencilla, ya que S.C.( µ) + S.C. ERROR = S.C. TOTAL dado que, como ya nos es
familiar: t
i
i
t
i
i XtXXX1
22
1
2)(
En segundo lugar, los nombres de las fuentes de variación. En el Cuadro 2 no es muy
clara la razón para este nombre, pero en el Cuadro 3 es evidente, puesto que si H0 es
cierta, debemos esperar valores de X cercanos a cero, de modo que si S.C. (µ) es
grande, esto se debe a que µ difiere del valor supuesto por una distancia grande.
Razonando similarmente se justifican los nombres de S.C. ERROR y S.C. TOTAL.
6. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
6.1. Características
Los diseños completamente al azar son empleados cuando las unidades
experimentales son suficientemente homogéneas entre sí, es decir, cuando la variación
entre ellas es pequeña. Por lo que el empleo de bloques resulta inapropiado porque no
hay heterogeneidad que sea necesario absorber. Éste es el caso en muchos tipos de
experimentos de laboratorio, en los que una cantidad de material está completamente
mezclado y luego se divide en porciones pequeñas para formar las unidades
experimentales, o en experimentos con animales y plantas con condiciones ambientales
muy parecidas. Todas las unidades experimentales reúnen prácticamente las mismas
características, de modo que el efecto de un tratamiento sobre la variable bajo estudio,
35
es el mismo independientemente de la unidad experimental donde se mida, excepto por
variaciones aleatorias, debidas a fuentes de error en la investigación.
Los tratamientos se aplican completamente al azar sobre las unidades experimentales,
bajo la condición de que cada unidad experimental deberá tener la misma probabilidad
de recibir un tratamiento particular. Todos los tratamientos pueden tener un número
igual o diferente de repeticiones. Cuando el número de repeticiones es diferente dentro
de cada tratamiento se dice entonces que el diseño es no balanceado; en caso
contrario, se dice que el diseño es balanceado.
Hay dos ventajas al elegir un diseño balanceado. La primera es que el estimador de
prueba es relativamente insensible a las desviaciones pequeñas del supuesto de la
igualdad de las varianzas de los t tratamientos cuando los tamaños de las muestras son
iguales. Y la segunda ventaja es que la potencia de las pruebas se maximiza cuando
las muestras tienen el mismo tamaño.
Los análisis de varianza que se muestran para el diseño completamente al azar en Calc
de Open Office, es el mismo para el caso balanceado y para el caso desbalanceado ya
que las fórmulas para las sumas de cuadrados abarcan ambos casos.
6.2. Ventajas
El diseño completamente al azar es flexible en cuanto a que el número de tratamientos
y de repeticiones sólo está limitado por el número de unidades experimentales
disponibles. El número de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro, aunque
generalmente lo ideal sería tener un número igual por tratamiento. El análisis estadístico
es simple aun en el caso en que el número de repeticiones difiera con el tratamiento y si
los diversos tratamientos están sujetos a varianzas desiguales, lo cual se conoce como
la falta de homogeneidad del error experimental. La sencillez del análisis no se pierde si
algunas unidades experimentales o tratamientos enteros faltan o se descartan.
36
6.3. Desventajas
La principal objeción del diseño completamente al azar es su frecuente ineficiencia.
Como la aleatorización no tiene restricciones, el error experimental incluye toda la
variación entre las unidades experimentales, excepto la debida a los tratamientos. En
muchas situaciones es posible agrupar las unidades experimentales de modo que la
variación entre unidades dentro de los grupos sea menor que la variación entre las
unidades de diferentes grupos. Ciertos diseños sacan ventaja de tal agrupamiento,
excluyen la variación del error experimental entre grupos y aumentan la precisión del
experimento.
6.4. Modelo lineal
El modelo lineal para los diseños completamente al azar es el siguiente:
22iii )E( ; 0)E( ;r 2,..., 1,j t;2,..., 1,i
ee
donde
eY ijiij
t Número de tratamientos.
ir Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento.
ijY Respuesta obtenida en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento.
Efecto medio general.
i Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento.
ije Término de error aleatorio.
6.5. Hipótesis a probar
La hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales es la siguiente:
demás. los de diferente es entoun tratami de efecto el menos :H
vs
...:
a
210
Al
H t
37
6.6. Análisis de varianza
El análisis de varianza para el diseño completamente al azar está dado por el Cuadro 4.
Cuadro 4. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar.
Fuente de Variación
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..LG
SCT
Error ..
osTratamient ..
MC
MC ),( 21 vvF
Error t
i
i tr
1
S.C. Error Error ..LG
SCE
Total t
i
ir
1
1 S.C. Total
Donde:
error. del libertad de Grados
tos. tratamienlos de libertad de
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
ientosS.C.Tratam-Total S.C.Error S.C. ..
.osTratamient S.C.
..
1 1
2
1
2
1
2
t
i
r
j
ij
t
i i
i
t
i
i
i
FCYTotalCS
FCr
Y
r
YFC
Donde:
FC Factor de corrección.
..Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
.iY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo tratamiento.
6.7. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza es la siguiente:
tabFvFSe ) v,(F si H rechaza 21cal0
38
Se ilustra la técnica de un diseño completamente al azar con el ejemplo 6.1, haciendo
uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseños
experimentales más comunes.
Ejemplo 6.1
Un ingeniero de desarrollo de productos tiene interés en investigar la resistencia a la
tensión de una fibra nueva que se usará para hacer telas de camisas para caballeros
(Montgomery, 2007). El ingeniero sabe por experiencia propia que la resistencia a la
tensión se afecta por el peso porcentual del algodón utilizado en la mezcla de
materiales de la fibra. Además, sospecha que al aumentar el contenido de algodón, se
incrementará la resistencia, al menos en un principio. Sabe así mismo que el contenido
de algodón deberá variar entre 10 y 40 por ciento para que el producto final tenga otras
características de calidad que se desea (como la capacidad de ser sometido a
tratamiento de planchado permanente). El ingeniero decide probar ejemplares en cinco
niveles del peso porcentual del algodón: 15, 20, 25, 30 y 35 por ciento. También decide
probar cinco ejemplares en cada nivel del contenido de algodón.
Se trata de un ejemplo de un experimento con un solo factor con cinco tratamientos y
cinco réplicas. Las 25 corridas se deben realizar de manera aleatoria. Suponga que
después de hacerse la aleatorización obtenemos el Cuadro 5 de los datos del
experimento:
Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión.
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
Fuente: Montgomery (2007).
39
Determine si el peso porcentual del algodón (tratamientos) en una fibra sintética afecta
la resistencia a la tensión. Se desea una confiabilidad del 95%.
Respuesta
Para resolver los ejemplos de diseños experimentales y de pruebas múltiples de
comparación de medias siempre se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de
Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”, en la
primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6, en el que se hace clic en el tipo de
diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben
introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño
completamente al azar.
Cuadro 6. Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de medias
DISEÑOS EXPERIMENTALES MÁS COMUNES
SELECCIONE EL TIPO DE DISEÑO QUE DESEA USAR O COMPARACIÓN DE MEDIAS
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA)
COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS
DISEÑO EN CUADRO LATINO (DCL)
DISEÑOS FACTORIALES (DF)
DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS (DPD)
40
Después de hacer clic en diseño completamente al azar, aparece el Cuadro 7, en donde
se introducen los datos del experimento. El Cuadro 7, sólo da la opción de escribir
sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el
resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, se
tienen cinco tratamientos con cinco repeticiones cada uno. Para este tipo de diseño se
puede introducir hasta 10 tratamientos (columnas) con 15 repeticiones (filas) cada uno.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la penúltima fila del Cuadro 7 los totales de
tratamiento y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones de
tratamiento, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 7 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis
de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de
diseño.
Cuadro 7. Diseño completamente al azar.
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR
Tratamientos
Repeticiones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ir al
análisis
1 7 12 14 19 7
2 7 17 18 25 10
3 15 12 18 22 11 Regresar
4 11 18 19 19 15
5 9 18 19 23 11
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tot. de Trat. 49 77 88 108 54 0 0 0 0 0
Sumas del cuadrado 525 1225 1566 2360 616 0 0 0 0 0
de obs. por trat.
41
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 8 donde mediante
fórmulas aparecen los valores del número de tratamientos (t), el número de
repeticiones para cada tratamiento (ri), el factor de corrección (FC), así como el análisis
de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los tratamientos. El
valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se
puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 8,
a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible
modificar el contenido de las mismas.
A la derecha de Cuadro 8, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se
rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal = 14.76 > Ftab =
2.87, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los
demás.
Cuadro 8. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIÓN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
42
7. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
En algunas situaciones experimentales, se pueden tomar varias observaciones dentro
de la unidad experimental, la unidad a la cual se aplica el tratamiento. Tales
observaciones se hacen en submuestras o unidades de muestreo. Las diferencias entre
submuestras dentro de una unidad experimental son diferencias de observación más
que diferencias de unidad experimental.
Un diseño experimental es estándar si en cada unidad experimental se toma sólo una
observación al azar; diremos que es con submuestreo si se toma más de una
observación al azar por unidad experimental.
El submuestreo nos permite, además de estudiar la variabilidad entre unidades
experimentales bajo condiciones similares, estimar la variabilidad de observaciones en
las unidades experimentales.
7.1. Modelo lineal para submuestreo
El modelo lineal para un diseño completamente al azar con submuestreo es el
siguiente:
r1,2,...,k ;r 2,..., 1,j t;2,..., 1,i
iji
donde
eY ijkijiijk
t Número de tratamientos.
ir Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento.
ijr Número de observaciones en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento.
ijkY Respuesta obtenida en la k-ésima observación de la j-ésima repetición del i-ésimo
tratamiento.
Efecto medio general.
43
i Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento.
ije Término de error experimental. Se supone que )N(0, d. i. i.~ 2eije
ijk Término de error observacional. Se supone que )N(0, d. i. i.~ 2ijk
Los e y los δ se suponen no correlacionados entre sí, o sea que al tomar un valor
particular de δ no se afecta en la probabilidad de tomar un valor particular cualquiera de
e .
7.2. Hipótesis a probar
La hipótesis a probar en un diseño completamente al azar con submuestreo es la
siguiente:
demás. los de diferente es entoun tratami de efecto el menos :H
vs
...:
a
210
Al
H t
Para el análisis de varianza de un diseño completamente al azar con submuestreo se
tienen dos casos, para un número igual de submuestras y para un número desigual de
submuestras. Cuando las muestras tienen un número desigual de submuestras, en los
cálculos, el cuadrado de cualquier total se divide por el número de observaciones en el
total.
7.3. Análisis de varianza con submuestreo. Número igual de submuestras.
El análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo con
igual número de submuestras está dado por el Cuadro 9.
44
Cuadro 9. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo. Número igual de submuestras.
Fuente de Variación
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Entre U.E. U.E.-1 S.C. Entre
U.E. U.E. ..
U.E. ..
EntreLG
EntreCS
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..
..
LG
osTratamientCS
alexperimentError ..
osTratamient ..
MC
MC
),( 21 vvF
Error experimental
t
i
i tr
1
S.C. Error
experimental alexperimentError ..
alexperimentError ..
LG
CS
Error de muestreo
st
ki
ki rtr
,
1,
S.C. Error de
muestreo muestreo deError ..
mustreo deError ..
LG
CS
Total
st
ki
kir
,
1,
1 S.C. Total
Donde:
al.experimenterror del libertad de Grados
tos. tratamienlos de libertad de
Apéndice) del II Tabla(ver F.ón distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
tosTratammien S.C.-S.C.U.EalexperimentError S.C. osTratamient ..
S.C.U.E-Total S.C.muestreo deError S.C. ..
. U.ES.C.
...
1
2..
1 1 1
2
1
r
1
22 i
Csr
Y
CS
FCYTotalCS
FCs
Y
srt
YFC
t
i
t
i
r
j
r
k
ijk
t
i j
ij
i
i ij
Donde:
FC Factor de corrección.
s Número de submuestras por unidad experimental.
r Número de repeticiones.
...Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
45
.iiY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésima repetición del i-ésimo
tratamiento.
7.4. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza es la siguiente:
tabFvFSe ) v,(F si H rechaza 21cal0
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver
diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño completamente al
azar con submuestreo con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 7.1
Considérense los datos del Cuadro 10 sobre crecimiento en una semana de tallos de
plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva (Steel y Torrie, 1988).
Donde un grupo grande de plantas se asignaron aleatoriamente a unas macetas, cuatro
por maceta, la unidad experimental; los tratamientos se asignaron al azar a las
macetas, tres macetas por tratamiento. Todas las macetas se aleatorizaron
completamente con respecto a su localización durante el tiempo transcurrido bajo luz
del día, y cada grupo de macetas se aleatorizó completamente dentro de los niveles
(bajo y alto) de temperatura en invernadero durante el período de oscuridad. Las
observaciones se hicieron en plantas individuales.
Se desea saber si hay diferencias entre los tratamientos ensayados. Se desea una
confiabilidad del 95%.
46
Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva.
Número de plantas
Horas de luz diurna
Bajas temperaturas nocturnas Altas temperaturas nocturnas 8 12 16 8 12 16
Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0 2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0 3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0
Totales de maceta
15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 21.5 22.0 32.0 28.0 28.0 22.0 26.5 29.0 33.0 27.0 35.0
Totales de tratamiento
44.0 49.5 62.5 88.0 77.5 95.0
Medias de tratamiento
3.7 4.1 5.2 7.3 6.5 7.9
Fuente: Steel y Torrie (1988).
47
Respuesta
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se
quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir
los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño completamente al
azar con submuestreo.
Después de hacer clic en diseños completamente al azar con submuestreo en el
Cuadro 6, aparece el Cuadro 11, en donde se introducen los datos del
experimento. El Cuadro 11 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se
introducen los datos del experimento, ya que el resto de las mismas se encuentran
protegidas contra escritura. En este ejemplo, se tienen seis tratamientos con
cuatro submuestras y tres repeticiones cada una. Para este tipo de diseño se
puede introducir hasta 11 tratamientos con diez submuestras y cinco repeticiones
cada una.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la antepenúltima fila del Cuadro 11,
los totales por unidades experimentales de cada tratamiento, en la penúltima fila
aparecen los totales de tratamiento y en la última fila también aparecen las sumas
del cuadrado de observaciones por tratamiento, los cuales se necesitan para el
análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 11 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja del
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño.
48
Cuadro 11. Diseño completamente al azar con submuestreo.
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
Tratamientos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones
Submuestras 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ir al
análisis
1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0
2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0
3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 Regresar
4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0
5
6
7
8
9
10
Tot. de U.E 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 21.5 22.0 32.0 28.0 28.0 22.0 26.5 29.0 33.0 27.0 35.0
Tot. de trat. 44.0 49.5 62.5 88.0 77.5 95.0
Sumas del cuadrado
172.5 210.3 329.8 655.0 525.3 772.5
de obs. por trat.
49
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 12 donde aparece
el número de tratamientos (t), el número de submuestras (s), el número de
repeticiones para cada tratamiento (r), el factor de corrección (FC), así como el
análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los
tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95%
(Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.
Todas las celdas del Cuadro 12, a excepción del valor de alfa, están protegidas
contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 12, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal =
16.69 > Ftab = 3.11, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es
diferente al de los demás.
Cuadro 12. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con submuestreo.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 6 Entre U.E 17 205.48 Regresar
s = 4 Tratamientos 5 179.64 35.93 16.69 3.11
r = 3 Error experimental 12 25.83 2.15
Error de muestreo 54 50.44 0.93
FC = 2409.34 Total 71 255.91
Alfa 0.05
CONCLUSIÓN
Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
50
8. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA)
8.1. Características
En los diseños de bloques completos todos los tratamientos aparecen
representados en cada uno de los bloques, en caso contrario, se trata de la clase
de diseños de bloques incompletos.
Los diseños de bloques completos al azar y los diseños en cuadro latino, son los
principales tipos de arreglo en bloques completos.
Este diseño puede usarse cuando las unidades experimentales pueden agruparse.
Se caracteriza porque todos los tratamientos aparecen representados una vez en
cada uno de los bloques. Los tratamientos se asignan al azar sobre las unidades
experimentales, sorteando los tratamientos independientemente, en cada bloque.
Las unidades experimentales dentro de cada bloque deben ser homogéneas,
excepto por variaciones aleatorias. Dos unidades experimentales de bloques
diferentes pueden exhibir heterogeneidad, siendo de hecho el propósito de los
bloques, absorber el máximo de heterogeneidad del material experimental.
8.2. Ventajas
El diseño en bloques completos al azar tiene muchas ventajas sobre otros
diseños. En general, es posible agrupar las unidades experimentales de modo que
se logre mayor precisión que con el diseño completamente al azar. No hay
restricción en cuanto al número de tratamientos o de bloques. El análisis
estadístico de los datos es simple. Si como resultado de un contratiempo, los
datos de un bloque completo para ciertos tratamientos son inutilizables, estos
datos pueden omitirse sin complicación en el análisis.
51
8.3. Desventajas
La principal desventaja en los bloques completos al azar es que cuando la
variación entre unidades experimentales dentro de un bloque es grande, resulta un
término de error considerable. Esto ocurre frecuentemente cuando el número de
tratamientos es grande; así puede no ser posible asegurar grupos de unidades
suficientemente uniformes para los bloques. En tales situaciones, se dispone de
otros diseños para controlar una mayor proporción de la variación.
8.4. Modelo Lineal
El modelo lineal para los diseños en bloques completos al azar es el siguiente:
22ijij )E( ; 0)E( t;2,..., 1,j b; 2,..., 1,i
ee
donde
eY ijjiij
b Número de bloques.
t Número de tratamientos.
ijY Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento del i-ésimo bloque.
Efecto medio general.
i Efecto atribuido al i-ésimo bloque.
i Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento.
ije Término de error aleatorio.
8.5. Hipótesis a probar
Las hipótesis a probar en este tipo de diseño experimental son sobre los bloques y
sobre los tratamientos, que son las siguientes:
11.. tH ...: 210
52
demás. los de diferente es bloqueun de efecto el menos :H
vs
a Al
22.. tH ...: 210
demás. los de diferente es entoun tratami de efecto el menos :H
vs
a Al
8.6. Análisis de varianza
El análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar está dado por
el Cuadro 13:
Cuadro 13. Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar.
Fuente de Variación
(F.V.)
Grados de
Libertad (G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Bloques b-1 S.C. Bloques Bloques ..LG
SCB
Error ..
Bloques ..
MC
MC ),( 21 vvF
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..LG
SCT
Error ..
osTratamient ..
MC
MC ),( 23 vvF
Error t
i
i tr
1
S.C. Error Error ..LG
SCE
Total t
i
ir
1
1 S.C. Total
Donde:
tos. tratamienlos de libertad de
error. del libertad de Grados
bloques. los de libertad de
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
3
2
1
Trat 23
Blo 21
Gradosv
v
Gradosv
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
53
ientosS.C.Tratam-Bloques S.C.-Total S.C.Error S.C. ..
b
.
osTratamient S.C. t
.
Bloques S.C. ..
1 1
2
1
2
1
2
2
b
i
t
j
ij
t
i
j
b
i
i
FCYTotalCS
FC
Y
FC
Y
bt
YFC
Donde:
FC Factor de corrección.
..Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
.iY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo bloque.
jY. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo tratamiento.
8.7. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza para los tratamientos y los bloques es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en
bloques completos al azar con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 8.1
Se desea probar el efecto de cuatro insecticidas sobre el control de gusano
Helithis zea en el cultivo del tomate (Castillo, 2003). El terreno donde se
implementó el experimento presentaba un gradiente de fertilidad a tres niveles por
lo que se decidió utilizar un diseño en bloques completos al azar para minimizar el
efecto negativo de este factor de confusión. Se dividió el terreno en tres bloques
de acuerdo a los niveles de fertilidad detectados. La unidad experimental utilizada
fue un cuadro de terreno de 10 x 10 metros. La variable respuesta fue la
producción de tomate en toneladas por hectárea. Los insecticidas a evaluar
54
fueron: Testigo, Basudin, Class, Dimecrón y Agree. Los resultados obtenidos se
muestran en el Cuadro 14:
Cuadro 14. Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación de insecticidas
BLOQUE
I II III Testigo 3.0 4.2 6.3 Basudin 8.0 10.8 9.4
Class 6.0 7.9 10.6 Dimecrón 8.0 12.8 13.3
Agree 6.7 8.3 10.3
Fuente: Castillo (2003).
¿Existe alguna diferencia significativa entre los insecticidas sobre el control de
Heliothis zea?. Se desea obtener una respuesta con una confiabilidad del 95%.
Respuesta
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se
quiera usar y mediante un hiperenlace nos genera otra hoja donde se deben
introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en
bloques completos al azar.
Después de hacer clic en diseño en bloques completos al azar en el Cuadro 6,
aparece el Cuadro 15, en donde se introducen los datos del experimento. El
Cuadro 15 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los
datos del experimento, ya que el resto de las mismas se encuentran protegidas
contra escritura. En este ejemplo, se tienen cinco tratamientos con tres bloques
cada uno. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 15 tratamientos
(filas) con 10 bloques (columnas) cada uno.
55
Una vez introducidos los datos, aparecen en la penúltima fila del Cuadro 15, los
totales por bloque y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de
tratamientos por bloque; en la última columna aparecen los totales por tratamiento,
los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 15 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño.
Cuadro 15. Diseño en bloques completos al azar.
DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR
Tratamientos
Bloques Totales por
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tratamiento Ir al
análisis
1 3.0 4.2 6.3 13.5
2 8.0 10.8 9.4 28.2
3 6.0 7.9 10.6 24.5 Regresar
4 10.0 12.8 13.3 36.1
5 6.7 8.3 10.3 25.3
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 0
15 0
Totales por bloque 33.7 44.0 49.9 0 0 0 0 0 0 0
Sumas del cuadrado 253.9 429.4 523.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
de trat. por bloque
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 16 donde mediante
fórmulas aparecen los valores del número de tratamientos (t), el número de
bloques (b), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la
conclusión del juego de hipótesis con respecto a los bloques y a los tratamientos.
56
El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05),
pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas
del Cuadro 16, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por
lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 16, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) para los bloques y tratamientos, debido a
que Fcal Blo. = 17.54 > Ftab Blo. = 4.46 y Fcal Trat. = 28.78 > Ftab Trat. = 3.84,
respectivamente, lo que indica que al menos el efecto de uno de los bloques y uno
de los tratamientos es diferente al de los demás, respectivamente.
Cuadro 16. Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
b = 3 Bloques 2 26.89 13.44 17.54 4.46
t = 5 Tratamientos 4 88.23 22.06 28.78 3.84
Error 8 6.13 0.77
FC = 1085.45 Total 14 121.25
Alfa 0.05
CONCLUSIÓN
Fcal Blo > Ftab Blo. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal Trat > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
9. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS
Las comparaciones múltiples de medias son útiles para seleccionar él o los
tratamientos que sean mejores, según el interés experimental, y se aplican cuando
el análisis de varianza declara diferencias significativas. Se denominan pruebas de
comparaciones múltiples de medias, porque simultáneamente se comparan varios
promedios de los tratamientos. Las pruebas de comparaciones múltiples de
57
medias de uso más común son la Diferencia Mínima Significativa (DMS), Duncan,
Tukey, Scheffé y Student-Newman-Keuls (S-N-K).
9.1. Hipótesis a probar
En cualquiera de las pruebas de comparaciones múltiples de medias
mencionadas, las hipótesis generales a probar son las siguientes:
ii t 1,2,...,i t 1,2,...,i
i ) to tratamienal diferente efectoun tienei to tratamienEl( :
vs
i ) to tratamienal efectosu en igual es i to tratamienEl( :
´
´0
iia
ii
H
H
Las hipótesis de los tratamientos se realizan por pares. Por ejemplo, si se tienen 4
tratamientos entonces se pueden postular t(t-1)/2 pares de hipótesis a probar, es
decir se tendrían:
62
)3)(4(
2
)1(tt
pares de hipótesis a contrastar, las cuales se muestran a continuación:
:H vs:H VI.
:H vs:H V.
:H vs:H IV.
:H vs:H III.
:H vs:H II.
:H vs:H .
43a430
42a420
32a320
41a410
31a310
21a210I
Para ser utilizadas, todas las pruebas de comparaciones múltiples mencionadas
requieren de un término conocido como diferencia y cuyo cálculo general se
realiza mediante:
58
ii 2
1)-t(t2,..., 1,kt 2,..., 1,it 2,..., 1,i
to tratamieni -ésimo del
to tratamienésimo-i del
MediaY
MediaY
donde
YYD
j
i
jik
Siempre se tendrá un número igual de diferencias ( kD ) y de pares de hipótesis a
contrastar, ya que estos dos términos están relacionados de manera amplia. Las
kD se calculan utilizando las medias de los tratamientos que aparecen en la
hipótesis nula correspondiente. Por ejemplo, para los pares de hipótesis del
ejemplo anterior, se tendrán 6 diferencias; la 1D se relaciona con la hipótesis nula
en I, la 2D se relaciona con la hipótesis nula en II, la 3D se relaciona con la
hipótesis nula en III, etc.
Como la hipótesis nula en I involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 2, la 1D
involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 2, es decir:
211 YYD
Como la hipótesis nula en II involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 3, la 2D
involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 3, es decir:
312 YYD
Las restantes kD se calculan mediante el mismo proceso.
9.2. Diferencia Mínima Significativa (DMS)
Es la prueba más sencilla y una de las más empleadas. Es muy común su uso en
comparaciones simples de medias; es válida solamente en el caso de una
comparación planeada entre dos medias, en un experimento en particular.
59
Esta prueba determina el valor mínimo necesario para considerar diferentes dos
tratamientos y lo utiliza para comparar los diferentes pares de medias que se
deseen evaluar. Los pares de medias que se comparan son los que han sido
planeados antes de ejecutar el experimento.
9.2.1. Ventajas
1. Fácil de realizar
2. Válida cuando se han planeado las comparaciones que se van a hacer
previamente a la obtención de los resultados.
9.2.2. Desventajas
1. Puede dar resultados falsamente significativos en un nivel del 0.05 si el
experimentador se dedica a hacer comparaciones exclusivamente entre
tratamientos de resultados extremos.
2. En el caso de que hubiera que hacer preferentemente comparaciones
de resultados extremos, es necesario optar por un nivel de 0.01 en
lugar de 0.05, pero si el número de tratamientos es elevado debe
reemplazarse la DMS por otra prueba.
3. Debido a este uso incorrecto de la DMS se vacila en su
recomendación.
4. El uso incorrecto más común es hacer comparaciones sugeridas por los
datos.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los
tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de
repeticiones.
60
to. tratamieni -ésimo el para esrepeticion de Númeror
to. tratamienésimo-i el para esrepeticion de Númeror
es.repeticion de Número r
varianza.de análisis elen error del medio CuadradoCME
Apéndice) del I Tabla(Ver error. del libertad
de grados loscon y /2 ciasignifican de nivelun con student de t )(
2
)1(,...,2,1k ii ,...,2,1i ,...,2,1
)((2)( (DMS) esrepeticion de número
)(2)( DMS esrepeticion de número
i´
i
2/
´
)
2/k
2/
CuantilGLErrt
donde
tttti
rr
rrCMEGLErrtDiferente
r
CMEGLErrtIgual
ii
ii
9.2.3. Regla de decisión
kk0
k0
DMS)(D si H rechaza se esrepeticion de número
DMSD si H rechaza se esrepeticion de número
Diferente
Igual
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de
comparaciones múltiples de medias para la prueba de la Diferencia Mínima
Significativa (DMS) con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 9.1
Para el Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco pesos porcentuales del
algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los tratamientos es el más
efectivo utilizando la prueba de DMS. Se quiere una confiabilidad del 95%.
Respuesta
Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la
información del análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
61
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIÓN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
α = 0.05 r = 5 t = 5 GLError = 20 CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias:
102
)4)(5(
2
)1(tt
211 YYD , 312 YYD , 413 YYD , 514 YYD , 325 YYD , 426 YYD ,
527 YYD , 438 YYD , 539 YYD y 5410 YYD .
62
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples
de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en
el Cuadro 6, genera el Cuadro 17, en donde se hace clic en la prueba que
deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en la cual se
introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en la prueba de la
Diferencia Mínima Significativa (DMS).
A la derecha del Cuadro 17 aparece un hiperenlace para regresar hasta el inicio
de las hojas de cálculo donde se hizo clic en comparaciones múltiples de medias
de tratamientos.
Cuadro 17. Pruebas de comparaciones múltiples de medias
PRUEBAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS
Regresar
DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS)
PRUEBA DE TUKEY
PRUEBA DE DUNCAN
PRUEBA DE SCHEFFÉ
PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K)
63
Después de hacer clic en la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS)
en el Cuadro 17, genera el Cuadro 18, en donde se introducen el número de
tratamientos (t), el número de cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de
libertad del error (GLErr), el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil de la
distribución t de student con el nivel de significancia α/2 y los grados de libertad
del error (tα/2(GLErr)) aparecen de forma inmediata. Después se introducen los
totales de tratamientos. Las medias de tratamientos y el número de tratamiento
ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada
tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se pueden
introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha de Cuadro 18, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa.
DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS)
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r2 = 5 T2 77.00 15.40 2
r3 = 5 T3 88.00 17.60 3
r4 = 5 T4 108.00 21.60 4
r4 = 5 T5 54.00 10.80 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = 20.00
CME = 8.06
tα/2(GLErr) = 2.09
64
Después de introducir los datos del experimento, hay que ordenar las medias de
tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas las
columnas excepto, la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento se
hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda
interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 18, queda como en el
Cuadro 19: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro
tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento
ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento
original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos,
el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El
tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se genera el Cuadro 19, con las medias de tratamientos ordenados en
forma ascendente, se puede ver abajo del Cuadro 19, en la misma hoja, el Cuadro
20 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los
valores de la DMS (negrillas). Las celdas del Cuadro 20, encuentran protegidas
contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 19, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 19. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de tratamientos ordenados
DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS)
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de
Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r5 = 5 T5 54.00 10.80 2
r2 = 5 T2 77.00 15.40 3
r3 = 5 T3 88.00 17.60 4
r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
65
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = 20.00
CME = 8.06
tα/2(GLErr) = 2.09
Cuadro 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS
Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0
0 0 0 0 0 3.75 3.75 3.75 3.75
2 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0
0 0 0 0 0 3.75 3.75 3.75
3 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0
0 0 0 0 0 3.75 3.75
4 0 0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 3.75
5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
0 0 0 0
7 0 0 0 0
0 0 0
8 0 0 0
0 0
9 0 0
0
10 0
En el Cuadro 20, se muestran las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos
ordenados y abajo sus respectivos valores de la DMS, como los tratamientos
tienen el mismo número de repeticiones, la DMS es la misma para todas las
diferencias de medias, para este ejemplo el valor de la DMS = 3.75. En caso de
66
que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento, se tendrán
diferentes valores de la DMS. El Cuadro 20 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus
diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS.
En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS; pero el tratamiento
ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente,
porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de la DMS
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS;
En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento
ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk)
es menor a su respectivo valor de la DMS.
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que
corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es
diferente a los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta.
9.3. Prueba de Tukey
Este método es muy similar en la aplicación al de DMS, salvo por el hecho de que
en lugar de utilizar las distribuciones de t como base para realizar las
comparaciones, se emplea la distribución del rango estandarizado.
67
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los
tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de
repeticiones.
to. tratamieni -ésimo el para esrepeticion de Númeror
to. tratamienésimo-i el para esrepeticion de Númeror
es.repeticion de Número r
varianzade análisis elen error del medio CuadradoCME
varianza.de análisis elen error del libertad de v
tos. tratamiende v
libertad. de grados los
y v con vy ciasignifican de nivelun con Tukey de prueba la para ),(
2
)1( ,...,2 ,1k ii ,...,2 ,1i ,...,2 ,1
11
2),( esrepeticion de número
),( esrepeticion de número
i´
i
2
1
2121
´21
21
Grados
Número
Cuantilvvq
donde
tttti
rr
CMEvvqDiferente
r
CMEvvqIgual
iik
9.3.1. Regla de decisión
kk0
k0
D si H rechaza se esrepeticion de número
D si H rechaza se esrepeticion de número
Diferente
Igual
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de
comparaciones múltiples de medias para la prueba de Tukey con el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 9.2
Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco
pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los
68
tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Tukey. Se quiere una
confiabilidad del 95%.
Respuesta
Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la
información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIÓN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
α = 0.05 r = 5 v1 = t = 5 v2 = GLError = 20 CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias:
69
102
)4)(5(
2
)1(tt
211 YYD , 312 YYD , 413 YYD , 514 YYD , 325 YYD , 426 YYD ,
527 YYD , 438 YYD , 539 YYD y 5410 YYD .
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples
de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en
el Cuadro 6, genera el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se
hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra
hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic
en la prueba de Tukey.
Después de hacer clic en la prueba de Tukey en el Cuadro 17, genera el Cuadro
21, en donde se introducen el número de tratamientos (t = v1), el número de cada
repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el
cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la prueba de Tukey con un nivel
de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1, v2). Después se introducen
los totales de tratamientos, las medias de tratamientos y el número de tratamiento
ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada
tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede
introducir hasta 10 tratamientos.
70
A la derecha del Cuadro 21 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 21. Prueba de Tukey.
PRUEBA DE TUKEY
t = v1 = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r2 = 5 T2 77.00 15.40 2
r3 = 5 T3 88.00 17.60 3
r4 = 5 T4 108.00 21.60 4
r4 = 5 T5 54.00 10.80 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
qα(v1, v2) = 4.23
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias
de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas
las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento
se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda
interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 21, queda como en el
Cuadro 22: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro
tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento
ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento
original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos,
el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El
tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
71
Ya que se genera el Cuadro 22, con las medias de tratamientos ordenadas en
forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 22, en la misma hoja, el Cuadro
23 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los
valores de la prueba de Tukey (Γk) (negrillas). Las celdas del Cuadro 23, se
encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 22 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 22. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados
PRUEBA DE TUKEY
t = v1 = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r5 = 5 T5 54.00 10.80 2
r2 = 5 T2 77.00 15.40 3
r3 = 5 T3 88.00 17.60 4
r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
qα(v1, v2) = 4.23
Cuadro 23. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk
Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 0 0 0 0 0 11.80 7.80 5.60 1.00 0
0 0 0 0 0 5.37 5.37 5.37 5.37
2 0 0 0 0 0 10.80 6.80 4.60 0
0 0 0 0 0 5.37 5.37 5.37
3 0 0 0 0 0 6.20 2.20 0
72
0 0 0 0 0 5.37 5.37
4 0 0 0 0 0 4.00 0
0 0 0 0 0 5.37
5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
0 0 0 0
7 0 0 0 0
0 0 0
8 0 0 0
0 0
9 0 0
0
10 0
En el Cuadro 23, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos
ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Tukey (Γk), como los
tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, los valores de la prueba de
Tukey (Γk) son los mismos para todas las diferencias de medias, para este ejemplo
Γk = 5.37. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por
tratamiento, se tendrían diferentes valores de la prueba de Tukey (Γk). El Cuadro
23 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos y tres, ya que sus
diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk; pero el
tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren
significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor
respectivo de Γk.
En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk; pero el tratamiento
73
ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente,
porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk.
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente
significativamente al tratamiento ordenados uno, ya que su diferencia de medias
(Dk) es mayor a su respectivo valor de Γk; pero el tratamiento ordenado tres y el
tratamiento ordenado dos no difieren significativamente, porque su diferencia de
medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk.
En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento
ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk)
es menor a su respectivo valor de Γk.
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que
corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es
diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno, dos y
tres) y tiene su media de tratamiento más alta.
9.4. Prueba de Duncan
Esta prueba no requiere de una prueba previa de F, o sea que aun sin ser
significativa la prueba F puede llevarse a cabo.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los
tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de
repeticiones.
74
to. tratamieni -ésimo el para esrepeticion de Númeror
to. tratamienésimo-i el para esrepeticion de Númeror
es.repeticion de Número r
varianzade análisis elen error del medio CuadradoCME
varianza.de análisis elen error del libertad de v
iente.correspond
D laen asinvolucrad to tratamiende medias las entre acumulada Distanciav
libertad. de gradosy v v
cony ciasignifican de nivelun con Duncan de prueba la para ),(
2
)1( ,...,2 ,1k ii ,...,2 ,1i ,...,2 ,1
11
2),( esrepeticion de número
),( esrepeticion de número
i´
i
2
k1
21
21
´21
21
Grados
CuantilvvU
donde
tttti
rr
CMEvvUCDiferente
r
CMEvvUCIgual
iikk
kk
Para aplicar la prueba de Duncan primero se ordenan en forma creciente las
medias de tratamientos (t) (2)(1) Y,...,Y ,Y , después se prueban las diferencias
entre las medias (Dk), empezando con la mayor contra la menor. Si esta diferencia
(Dk) es no significativa entonces todas las otras diferencias (Dk) con la media
mayor son no significativas. Si la diferencia (Dk) es significativa se calcula de la
misma forma anterior, la diferencia (Dk) de la mayor y la segunda menor. Este
procedimiento continúa hasta que un par de medias es no significativo o hasta que
todas las medias se han comparado con la media mayor. De la misma forma
anterior se calculan las diferencias (Dk) para la segunda media mayor. Este
proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias (Dk) entre todos
los t(t-1)/2 pares de medias posibles más. Para evitar contradicciones, ninguna de
las diferencias (Dk) entre un par de medias se considera significativa si las dos
medias en cuestión se localizan entre otras dos medias que no difieren
significativamente.
75
9.4.1. Regla de decisión
kk0
kk0
D si H rechaza se esrepeticion de número Diferente
D si H rechaza se esrepeticion de número Igual
C
C
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de
comparaciones múltiples de medias para la prueba de Duncan con el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 9.3
Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco
pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los
tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Duncan. Se quiere una
confiabilidad del 95%.
Respuesta
Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la
información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
76
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIÓN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
α = 0.05 r = 5 t = 5 v2 = GLError = 20 CME = 8.06
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples
de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
debe hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en
el Cuadro 5, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se
hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra
hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic
en la prueba de Duncan.
Después de hacer clic en la prueba de Duncan en el Cuadro 17, aparece el
Cuadro 24, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de
cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el
cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de Duncan con un
nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Uα(v1, v2); donde v1 es la
distancia acumulada entre las medias de tratamiento involucradas en la Dk
77
correspondiente. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de
tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada
tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede
introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 24, aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 24. Prueba de Duncan
PRUEBA DE DUNCAN
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r2 = 5 T2 77.00 15.40 2
r3 = 5 T3 88.00 17.60 3
r4 = 5 T4 108.00 21.60 4
r5 = 5 T5 54.00 10.80 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
Uα(v1, v2) = 2.95 3.10 3.18 3.25
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias
de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas
las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento
se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda
interpretar más fácil.
78
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 24 queda como en el
Cuadro 25: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro
tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento
ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento
original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos,
el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El
tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 25, con las medias de tratamientos ordenadas en forma
ascendente, se puede ver abajo del Cuadro 25, en la misma hoja, el Cuadro 26
con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores
de la prueba de Duncan (Ck) (negrillas). Las celdas del Cuadro 26, se encuentran
protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 25 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 25. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados
PRUEBA DE DUNCAN
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r5 = 5 T5 54.00 10.80 2
r2 = 5 T2 77.00 15.40 3
r3 = 5 T3 88.00 17.60 4
r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
Uα(v1, v2) = 2.95 3.10 3.18 3.25
79
Cuadro 26. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck
Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0
0 0 0 0 0 4.13 4.04 3.94 3.75
2 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0
0 0 0 0 0 4.04 3.94 3.75
3 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0
0 0 0 0 0 3.94 3.75
4 0 0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 3.75
5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
0 0 0 0
7 0 0 0 0
0 0 0
8 0 0 0
0 0
9 0 0
0
10 0
En el Cuadro 26, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos
ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Duncan (Ck). El
Cuadro 26 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus
diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck.
En la columna con el número cuatro, podemos ver que el tratamiento ordenado
cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya
que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck; pero
el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren
80
significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor
respectivo de Ck.
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck.
En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento
ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk)
es menor a su respectivo valor de Ck.
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que
corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es
diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de
tratamiento más alta.
9.5. Prueba de Scheffé
En algunas situaciones no es fácil conocer las comparaciones que se deben
realizar o es posible realizar más de t-1 comparaciones. En los experimentos
exploratorios las comparaciones de interés se descubren sólo después de
examinar los resultados. El método de Scheffé para probar cualquier contraste es
muy general en el sentido de que todas las posibles comparaciones pueden
probarse en cuanto a significancia.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los
tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de
repeticiones.
81
to. tratamieni -ésimo el para esrepeticion de Númeror
to. tratamienésimo-i el para esrepeticion de Númeror
es.repeticion de Número r
varianzade análisis elen error del medio CuadradoCME
varianza.de análisis elen error del libertad de v
1-tv
Apéndice) del II Tabla(Ver libertad. de gradosy v v
cony ciasignifican de nivelun con Fón distribuci la para ),(
2
)1( ,...,2 ,1k ii ,...,2 ,1i ,...,2 ,1i
))((
))((),()1( esrepeticion de número
)(),()1(2 esrepeticion de número
i´
i
2
1
21
21
´
´21
21
Grados
CuantilvvF
donde
tttt
rr
rrCMEvvFtDiferente
r
CMEvvFtIgual
ii
iik
9.5.1 Regla de decisión
kk0
k0
D si H rechaza se esrepeticion de número
D si H rechaza se esrepeticion de número
Diferente
Igual
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de
comparaciones múltiples de medias para la prueba de Scheffé con el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 9.4
Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.1 (Montgomery, 2007) de los cinco
pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los
tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Scheffé. Se quiere una
confiabilidad del 95%.
82
Respuesta
Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la
información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
R1 = 5 Error 20 161.20 8.06
R2 = 5 Total 24 636.96
R3 = 5
R4 = 5
R5 = 5 CONCLUSIÓN
R6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
R7 =
R8 =
R9 =
R10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
α = 0.05 r = 5 v1 = t-1 = 4 v2 = GLError = 20 CME = 8.06
Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias:
102
)4)(5(
2
)1(tt
83
211 YYD , 312 YYD , 413 YYD , 514 YYD , 325 YYD , 426 YYD ,
527 YYD , 438 YYD , 539 YYD y 5410 YYD .
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples
de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en
el Cuadro 6, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se
tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace
genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. En este caso
se hace clic en la prueba de Scheffé.
Después de hacer clic en la prueba de Scheffé en el Cuadro 17, aparece el
Cuadro 27, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de
cada repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el
cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la distribución F con un nivel de
significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Fα(v1, v2); donde v1 = t-1 aparece de
forma inmediata. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de
tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparece de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada
tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede
introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 27 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
84
Cuadro 27. Prueba de Scheffé
PRUEBA DE SCHEFFÉ
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r2 = 5 T2 77.00 15.40 2
r3 = 5 T3 88.00 17.60 3
r4 = 5 T4 108.00 21.60 4
r4 = 5 T5 54.00 10.80 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
Fα(v1, v2) = 2.71
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que de ordenar las
medias de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo
todas las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este
ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias
se pueda interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 27 queda de la siguiente
manera en el Cuadro 28: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos
cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de
tratamiento ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al
tratamiento original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento
original dos, el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original
tres. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 28, con las medias de tratamientos ordenadas en forma
ascendente se puede ver abajo del Cuadro 28, en la misma hoja, el Cuadro 29 con
85
las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de
la prueba de Scheffe (ξk) (negrillas). Las celdas del Cuadro 29, se encuentran
protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 28 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 28. Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados
PRUEBA DE SCHEFFÉ
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r5 = 5 T5 54.00 10.80 2
r2 = 5 T2 77.00 15.40 3
r3 = 5 T3 88.00 17.60 4
r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
r6 = T6 0.00 0
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
Fα(v1, v2) = 2.71
Cuadro 29. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK
Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0
0 0 0 0 0 6.08 6.08 6.08 6.08
2 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0
0 0 0 0 0 6.08 6.08 6.08
3 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0
0 0 0 0 0 6.08 6.08
4 0 0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 6.08
86
5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
0 0 0 0
7 0 0 0 0
0 0 0
8 0 0 0
0 0
9 0 0
0
10 0
En el Cuadro 29, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos
ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Scheffe (ξk), como los
tratamientos tienen el mismo número de repeticiones, los valores de la prueba de
Scheffe (ξk) son los mismos para todas las diferencias de medias, que para este
ejemplo ξk = 6.08. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes
repeticiones por tratamiento, se tendrían diferentes valores de la prueba de
Scheffe (ξk). El Cuadro 29 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos y tres, ya que sus
diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk; pero el
tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren
significativamente, porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor
respectivo de ξk.
En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk; pero el tratamiento
ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente,
porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de ξk.
87
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres no es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) no son mayores a su respectivo valor de ξk.
En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento
ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk)
es menor a su respectivo valor de ξk.
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que
corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es
diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno, dos y
tres) y tiene su media de tratamiento más alta.
9.6. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K)
Cada una de las tres personas mencionadas contribuyó al desarrollo de esta
prueba. También llamada prueba de Newman-Keuls, o simplemente método de
Keuls. Esta prueba es una modificación de la prueba Tukey.
Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los
tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de
repeticiones.
to. tratamieni -ésimo el para esrepeticion de Número
t..., 3, ,2v 2
)1( ,...,2 ,1k ii ,...,2 ,1i ,...,2 ,1
11
2),( K)-N-(S esrepeticion de número
),( )( esrepeticion de número
1
´
21
21
tttti
rr
CMEvvqDiferente
r
CMEvvqKNSIgual
ii
kk
kk
88
i´
i
2
21
21
r
to. tratamienésimo-i el para esrepeticion de Númeror
es.repeticion de Número r
varianzade análisis elen error del medio CuadradoCME
varianza.de análisis elen error del libertad de v
libertad. de gradosy v v
cony ciasignifican de nivelun con K -N-S de prueba la para ),(
Grados
Cuantilvvq
donde
Para aplicar la prueba de S-N-K, al igual que en la prueba de Duncan, primero se
ordenan en forma creciente las medias de tratamientos (t) (2)(1) Y,...,Y ,Y ,
después se prueban las diferencias entre las medias (Dk), empezando con la
mayor contra la menor. Si esta diferencia (Dk) es no significativa entonces todas
las otras diferencias (Dk) con la media mayor son no significativas. Si la diferencia
(Dk) es significativa se calcula de la misma forma anterior, la diferencia (Dk) de la
mayor y la segunda menor. Este procedimiento continúa hasta que un par de
medias es no significativo o hasta que todas las medias se han comparado con la
media mayor. De la misma forma anterior se calculan las diferencias (Dk) para la
segunda media mayor. Este proceso se continúa hasta que se han considerado
las diferencias (Dk) entre todos los t(t-1)/2 pares de medias posibles más.
9.6.1. Regla de decisión
kk0
kk0
)(D si H rechaza se esrepeticion de número Diferente
)(D si H rechaza se esrepeticion de número Igual
KNS
KNS
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de
comparaciones múltiples de medias para la prueba de S-N-K con el siguiente
ejemplo:
89
Ejemplo 9.5
Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.3 (Montgomery, 2007) de los cinco
pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar), diga cuál de los
tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de S-N-K. Se quiere una
confiabilidad del 95%.
Respuesta
Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la
información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8):
Observaciones Peso porcentual del algodón (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIÓN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
90
α = 0.05 r = 5 t = 5 v1 = 2, 3,…, t v2 = GLError = 20 CME = 8.06
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en comparaciones múltiples
de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar.
Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en
el Cuadro 6, aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9.2), en donde se
tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace
genera otra hoja en donde debemos de introducir los datos del experimento. En
este caso se hace clic en la prueba de S-N-K.
Después de hacer clic en la prueba de S-N-K en el Cuadro 17, aparece el Cuadro
30, en donde se introducen el número de tratamientos (t), el número de cada
repetición (ri), el valor de alfa, los grados de libertad del error (GLErr = v2), el
cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de S-N-K con un
nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1, v2); donde v1 = 2, 3,
…, t. Después se introducen los totales de tratamientos, las medias de
tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata.
Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada
tratamiento. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede
introducir hasta 10 tratamientos.
A la derecha del Cuadro 30 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
91
Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K)
PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K)
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r2 = 5 T2 77.00 15.40 2
r3 = 5 T3 88.00 17.60 3
r4 = 5 T4 108.00 21.60 4
r5 = 5 T5 54.00 10.80 5
r6 = 5 T6 0.00 6
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
qα(v1, v2) = 2.95 3.58 3.96 4.23
Después de introducir los datos del experimento, se tiene que ordenar las medias
de tratamientos de forma ascendente; el ordenamiento se hace incluyendo todas
las columnas, excepto la del número de tratamiento ordenado. Este ordenamiento
se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda
interpretar más fácil.
El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 30 queda como en el
Cuadro 31: para este ejemplo, se modifica el orden de los últimos cuatro
tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento
ordenado; por lo tanto, el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento
original cinco, el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos,
el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. El
tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.
Ya que se tiene el Cuadro 31, con las medias de tratamientos ordenadas en forma
ascendente se puede ver abajo del Cuadro 31, en la misma hoja, el Cuadro 32 con
92
las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de
la prueba de Student-Newman-Keuls ((S-N-K)K) (negrillas). Las celdas del Cuadro
32 se encuentran protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificarse.
A la derecha del Cuadro 31 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se
seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.
Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de tratamientos ordenados
PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K)
t = 5 Trat. Tot. de Trat. Medias de Trat. Núm. de
Trat. ordenado
r1 = 5 T1 49.00 9.80 1 Regresar
r5 = 5 T5 54.00 10.80 2
r2 = 5 T2 77.00 15.40 3
r3 = 5 T3 88.00 17.60 4
r4 = 5 T4 108.00 21.60 5
r6 = 5 T6 0.00 6
r7 = T7 0.00 0
r8 = T8 0.00 0
r9 = T9 0.00 0
r10 = T10 0.00 0
Alfa = 0.05
GLErr = v2 = 20.00
CME = 8.06
qα(v1, v2) = 2.95 3.58 3.96 4.23
Cuadro 32. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K
Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 0 0 0 0 0 11.8 7.8 5.6 1 0
0 0 0 0 0 5.37 5.03 4.55 3.75
2 0 0 0 0 0 10.8 6.8 4.6 0
0 0 0 0 0 5.03 4.55 3.75
3 0 0 0 0 0 6.2 2.2 0
0 0 0 0 0 4.55 3.75
4 0 0 0 0 0 4 0
93
0 0 0 0 0 3.75
5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
0 0 0 0
7 0 0 0 0
0 0 0
8 0 0 0
0 0
9 0 0
0
10 0
En el Cuadro 32, se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos
ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Student-Newman-
Keuls ((S-N-K)K). El Cuadro 32 se interpreta de la siguiente manera:
En la columna con el número cinco, el tratamiento ordenado cinco es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno, dos, tres y cuatro, ya que sus
diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K.
En la columna con el número cuatro, el tratamiento ordenado cuatro es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K; pero el tratamiento
ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente,
porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de (S-N-K)K.
En la columna con el número tres, el tratamiento ordenado tres es diferente
significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos, ya que sus diferencias
de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K.
En la columna con el número dos, el tratamiento ordenado dos y el tratamiento
ordenado uno no difieren significativamente, porque su diferencia de medias (Dk)
es menor a su respectivo valor de (S-N-K)K.
94
Por lo tanto, el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que
corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es
diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de
tratamiento más alta.
10. DISEÑO EN CUADRO LATINO
10.1. Características
Este tipo de diseño se utiliza cuando la variabilidad del material experimental
ocurre en dos sentidos, es decir, se presentan simultáneamente dos posibles
fuentes de variabilidad. Se construye al distribuir los tratamientos en un arreglo de
hileras y columnas. Las hileras presentan el efecto de una de las fuentes de
variabilidad y las columnas el efecto de la otra fuente de variabilidad. Se tiene
igual número de columnas y de hileras. Cada hilera o columna constituye una
repetición completa de los tratamientos, es decir un bloque completo. El número
de hileras o columnas es igual al número de tratamientos. Un tratamiento
cualquiera aparece representado sólo una vez en la misma hilera y en la misma
columna. El número total de unidades experimentales a utilizar es t2. La
disposición de las hileras o columnas se realiza mediante un mecanismo aleatorio.
Cuando el número de tratamientos a probar es grande se vuelve poco práctico la
utilización de este diseño.
La principal desventaja del cuadrado latino es que el número de filas, columnas y
tratamientos debe ser el mismo. Así, si hay muchos tratamientos, el número de
parcelas pronto se hace impracticable. En los cuadrados latinos, como en los
bloques al azar, a medida que aumenta el tamaño del bloque, el error
experimental por unidad probablemente aumente. Los cuadros latinos pequeños
proporcionan pocos grados de libertad para estimar el error experimental, y así
debe lograrse una disminución sustancial en el error para compensar el corto
número de grados de libertad.
95
10.2. Modelo Lineal
El modelo lineal para los diseños en cuadro latino es el siguiente:
22ijkijk
)(
)E( ; 0)E( t;2,..., 1,k t;2,..., 1,j t;2,..., 1,i
ee
donde
eCHY ijkkijjiijk
t Número de tratamientos.
ijkY Respuesta obtenida en la j-ésima tratamiento del i-ésimo bloque.
Efecto medio general.
iH Efecto de la i-ésima hilera.
jC Efecto de la j-ésima columna.
kij)( Efecto de la k-ésimo tratamiento (siendo una función de i y de j)
ijke Término de error aleatorio.
10.3. Construcción de un cuadro latino básico
Para formar un cuadro latino básico se deben tomar en cuenta el número de
tratamientos en el experimento. Así, el número de columnas y de hileras será igual
al número de tratamientos.
Construiremos el siguiente cuadro latino básico de 4 x 4 (4 tratamientos, 4 hileras
y 4 columnas) (ver Cuadro 33).
Cuadro 33. Cuadro latino básico
1 2 3 4
1 T1 T2 T3 T4
2 T2 T3 T4 T1
3 T3 T4 T1 T2
4 T4 T1 T2 T3
96
Observe que en el Cuadro 33 la hilera 1 del cuadro latino se forma al disponer los
tratamientos en orden de aparición, la hilera 2 se forma al recorrer los tratamientos
de la hilera 1 una posición hacia la izquierda, la hilera 3 se forma al recorrer los
tratamientos de la hilera 2 una posición hacia la izquierda y la hilera 4 se forma al
recorrer los tratamientos de la hilera 3 una posición hacia la izquierda.
El mecanismo anterior es aplicable a un cuadro latino básico de cualquier
dimensión y asegura que los tratamientos en el experimento aparecerán una sola
vez en cada hilera y una sola vez en cada columna del cuadro latino básico.
10.4. Hipótesis a probar
Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre las
hileras, sobre las columnas y sobre los tratamientos, y son las siguientes:
11.. tHHHH ...: 210
demás. las de diferente efectoun produce (hilera) H una menos :H
vs
ia Al
22.. tCCCH ...: 210
demás. las de diferente efectoun produce (columna) C una menos :H
vs
ja Al
33.. tTTTH ...: 210
demás. las de diferente efectoun produce to)(tratamien Tun menos :H
vs
ka Al
10.5. Análisis de varianza
El análisis de varianza para el diseño en cuadro latino está dado por el Cuadro 34:
97
Cuadro 34. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino
Fuente de Variación
(F.V.)
Grados de
Libertad (G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Hileras t-1 S.C. Hileras Hileas ..
Hileras S.C.
LG
Error ..
Hileras ..
MC
MC ),( 21 vvF
Columnas t-1 S.C. Columnas Columnas ..
Columnas S.C.
LG
Error ..
Columnas ..
MC
MC ),( 23 vvF
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..
osTratamient S.C.
LG
Error ..
osTratamient ..
MC
MC ),( 24 vvF
Error )2)(1( tt S.C. Error Error ..
Error S.C.
LG
Total 1( 2t S.C. Total
Donde:
tos. tratamienlos de libertad de
columnas. las de libertad de
error. del libertad de Grados
hileras. las de libertad de
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
4
3
2
1
Trat 24
Col 23
Hil 21
Gradosv
Gradosv
v
Gradosv
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
tab
ientosS.C.Tratam-columnas S.C.- Hileras S.C.-Total S.C.Error S.C.
.. t
osTratamient S.C.
tColumnas S.C.
tHileras S.C.
...
1 1 1
2)(
1
2..
1
2..
1
2..
2
2
t
i
t
j
t
k
kij
t
k
k
t
j
j
t
i
i
FCYTotalCSFC
Y
FC
Y
FC
Y
t
YFC
Donde:
FC Factor de corrección.
...Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
..iY Suma de todas las observaciones que pertenecen a la i-ésima hilera.
.. jY Suma de todas las observaciones que pertenecen a la j-ésima columna.
98
kY.. Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo tratamiento.
10.6. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza para las hileras, columnas y tratamientos es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en
cuadro latino con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 10.1
Se tiene un experimento en donde un bacteriólogo estudia el efecto del oxígeno
sobre el desarrollo de la bacteria Bacillus popilliiae que ejerce un control sobre el
escarabajo japonés Popillia japonica produciéndole la enfermedad lechosa de las
larvas (Castillo, 2003).
El bacteriólogo desea saber en cuál de las condiciones de oxigenación se da el
mejor desarrollo de la bacteria con el fin de reproducirla en forma masiva y
liberarla en el campo. El medio donde se reproducirá la bacteria es BK, el cual
proviene de cuatro lotes diferentes y es preparado por cuatro diferentes ayudantes
de laboratorio. Al parecer hay dos factores de confusión cuyos efectos se deben
cancelar: los lotes de BK y los ayudantes de laboratorio, los cuales pueden influir
de manera negativa sobre los resultados del experimento. Por esta razón se
decidió emplear un diseño en cuadro latino para este experimento.
Las condiciones de oxigenación que se probaron fueron: Supraeróbica (T1),
Anaeróbica (T2), Aeróbica (T3) y Semianaeróbica (T4). La unidad experimental
consistió en un conjunto de 5 cajas de petri con BK. La variable respuesta fue la
99
concentración bacteriana promedio por unidad experimental. La concentración
bacteriana se midió como:
n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109).
A partir de un cuadro latino básico de cuatro tratamientos se aleatorizaron las
hileras para asignar los tratamientos a las unidades experimentales. Las hileras
representan los efectos de los lotes de BK y las columnas los efectos de los
ayudantes de laboratorio. La disposición final de los tratamientos para los lotes de
BK y los ayudantes de laboratorio se muestra en el Cuadro 35:
Cuadro 35. Cuadro latino aleatorizado (en base a las hileras).
Se obtuvieron los siguientes valores de concentración bacteriana que se muestran
en el Cuadro 36:
Cuadro 36. Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109)).
Fuente: Castillo (2003).
Lotes de BK
Ayudantes de laboratorio
1 2 3 4
I T4 T1 T2 T3
II T2 T3 T4 T1
III T3 T4 T1 T2
IV T1 T2 T3 T4
Lotes
de BK
Ayudantes de laboratorio
1 2 3 4
I T4 2.0 T1 1.2 T2 1.5 T3 2.2
II T2 1.4 T3 1.9 T4 1.6 T1 0.9
III T3 2.0 T4 1.5 T1 1.1 T2 1.7
IV T1 1.3 T2 1.7 T3 2.4 T4 1.7
100
¿Existe diferencias entre las cuatro condiciones de oxigenación en el desarrollo de
Bacillus popilliae?. Se desea una respuesta con una confiabilidad del 95%
Respuesta
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se
quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir
los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en cuadro latino.
Después de hacer clic en diseño en cuadro latino en el Cuadro 6, aparece el
Cuadro 37, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 37 sólo
da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos
del experimento, ya que el resto de la tabla se encuentra protegida contra
escritura. En este ejemplo, se tiene cuatro tratamientos, por lo que el cuadro latino
tendrá 4 hileras y 4 columnas. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta
10 tratamientos.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la última columna del Cuadro 37, los
totales por hilera; en la antepenúltima fila se debe de introducir los totales por
tratamiento de forma manual, ya que para éstos no se puede introducir una
formula porque están en forma aleatoria; en la penúltima fila aparecen los totales
por columna y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones
por columna, los cuales se necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 37 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño.
101
Cuadro 37. Diseño en cuadro latino
DISEÑO EN CUADRO LATINO
Hileras
Columnas Totales por
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hilera Ir al
análisis
1 2.0 1.2 1.5 2.2 6.9
2 1.4 1.9 1.6 0.9 5.8
3 2.0 1.5 1.1 1.7 6.3 Regresar
4 1.3 1.7 2.4 1.7 7.1
5
6
7
8
9
10
Tot. por trat. 4.5 6.3 8.5 6.8
Tot. por col. 6.7 6.3 6.6 6.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Sumas del cuadrado 11.7 10.2 11.8 11.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
de obs. por col.
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 38 donde mediante
fórmulas aparecen el número de tratamientos (t), el número de columnas (c), el
número de hileras (h), el factor de corrección (FC), así como el análisis de
varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a las hileras,
columnas y tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad
del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se
desee. Todas las celdas del Cuadro 38, a excepción del valor de alfa, están
protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las
mismas.
A la derecha del Cuadro 38, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% no se rechazan las hipótesis nulas (H0) de las hileras y de las columnas,
debido a que Fcal Hil = 3.3 ≤ Ftab Hil = 4.76 y Fcal Col = 0.28 ≤ Ftab Col = 4.76,
102
respectivamente, lo que indica que el efecto de las hileras es igual y el efecto de
las columnas es igual, respectivamente; mientras que la hipótesis nula (H0) para
los tratamientos se rechaza, debido que Fcal Trat = 25.6 > Ftab Trat = 4.76, lo que
indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los demás
Cuadro 38. Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
t = 4 Hileras 3 0.262 0.09 3.30 4.76
c = 4 Columnas 3 0.022 0.01 0.28 4.76
h = 4 Tratamientos 3 2.032 0.68 25.6 4.76
Error 6 0.159 0.03
FC = 42.58 Total 15 2.47
Alfa 0.05
CONCLUSIÓN
Fcal Hil ≤ Ftab Hil. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal Col ≤ Ftab Col. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal Trat > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
11. DISEÑO FACTORIAL
El diseño factorial se emplea en la planeación, ejecución y análisis de
experimentos que pretendan evaluar el efecto producido por dos o más factores
que actúan simultáneamente en un experimento. Un factor es una clase de
tratamiento, y en diseños factoriales, todo factor proporciona varios tratamientos.
El término nivel se refiere a los diferentes tratamientos dentro de un factor.
11.1. Características
Los diseños factoriales se usan prácticamente en todos los campos de
investigación. Son de gran valor en trabajo exploratorio cuando se sabe poco
sobre niveles óptimos de los factores, o ni siquiera cuales son importantes.
Este tipo de diseño se utiliza cuando se desea conocer los efectos producidos por
dos o más factores controlados que actúan simultáneamente en un experimento.
103
Cada uno de los factores que intervienen en el experimento se estudia a diferentes
niveles. Los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los
diferentes factores que intervienen en el experimento. El número total de
tratamientos a evaluar se origina por la multiplicación del número de niveles de los
diferentes factores que intervienen en el experimento. El modelo lineal y en
análisis de varianza se modifica dependiendo del número de factores que
intervienen en el experimento. Es común nombrar a los factores presentes en el
experimento con las primeras letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.). Es
común nombrar a los niveles de los factores presentes en el experimento con las
primeras letras minúsculas y con subíndices que dependen del número de niveles
de cada factor (a0, a1, a2, a3, b0, b1, c0, c1, c2, etc.). En estos experimentos se
toman en cuenta los efectos de todas las posibles interacciones entre los
diferentes factores que intervienen.
11.2. Nomenclatura
Para denominar los diferentes tipos de diseños factoriales se utiliza la siguiente
nomenclatura base:
nk: Factorial con k factores a n niveles (la base representa a los niveles y la
potencia representa a los factores).
11.3. Tipos de diseños factoriales
En un diseño factorial los tratamientos se forman por la combinación de todos los
niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. Es posible
realizar la disposición de los tratamientos bajo los esquemas de los diseños
experimentales completamente al azar, en bloques completos al azar o en un
cuadro latino. Por lo tanto, se puede tener un diseño factorial completamente al
azar, un diseño factorial en bloques completos al azar o un diseño factorial en
cuadro latino. En este capítulo no se trabaja con diseños factoriales en cuadro
latino, ya que no son muy prácticos.
104
11.4. Modelo lineal
Anteriormente se mencionó que en los experimentos factoriales no existe un
modelo lineal único, el modelo lineal está en función del número de factores que
intervienen en el experimento.
Si en un experimento se prueban dos factores bajo un arreglo completamente al
azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma:
22ijkijk )E( ; 0)E( r; 1,..., 0,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)(
ee
donde
eABBAY ijkijjiijk
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
r Número de repeticiones.
ijkY Respuesta obtenida en la k-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A y el
j-ésimo nivel del factor B.
Efecto medio general.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ijke Término de error aleatorio.
Si en un experimento se prueban tres factores bajo un arreglo completamente al
azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma:
105
22
ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,l c; 1,..., 0,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)()()()(
ee
donde
eABCBCACABCBAY ijklijkjkikijkjiijkl
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
c Número de niveles del factor C.
r Número de repeticiones.
ijklY Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A, el
j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
Efecto medio general.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
kC Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ikAC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el k-
ésimo nivel del factor C.
jkBC)( Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
ésimo nivel del factor C.
ijkABC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
ijke Término de error aleatorio.
Note que en ambos modelos lineales se toman en cuenta los efectos de las
interacciones entre los diferentes factores. Para el caso de dos factores sólo se
toma en cuenta la interacción doble (AB) entre factores. Para el caso de tres
factores se toman en cuenta todas las interacciones dobles (AB, AC, BC) y la
interacción triple (ABC) entre factores. Si se tuvieran cuatro factores (A, B, C, D),
106
bajo un arreglo completamente al azar, se tomarán en cuenta las interacciones
dobles (AB, AC, AD, BC, BD, CD), las interacciones triples (ABC, ABD, ACD,
BCD) y la interacción cuádruple (ABCD) entre factores. Para distribuir los
diferentes subíndices en el modelo lineal sólo sería necesario recorrer el subíndice
l al factor D, asignar el subíndice m (el subíndice m representará a las
repeticiones) al término del error aleatorio y colocar los subíndices para las
diferentes interacciones, dependiendo de los factores involucrados en la
interacción correspondiente. Para experimentos factoriales con más factores, en
un arreglo completamente al azar, se procede a obtener el modelo lineal bajo el
esquema anterior.
Para el caso de dos factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo
lineal es muy semejante al de un arreglo completamente al azar, solamente se
introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo), el cual tiene el
subíndice k (asignado a las repeticiones), ya que un bloque es equivalente a una
repetición del experimento. El modelo lineal correspondiente es:
22ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)(
ee
donde
eABBABloY ijkijjikijk
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
r Número de bloques (repeticiones).
ijkY Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor
B, ubicados en el k-ésimo bloque.
Efecto medio general.
kBlo Efecto atribuido al k-ésimo bloque.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
107
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ijke Término de error aleatorio.
Para el caso de tres factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo
lineal es muy semejante al del arreglo completamente al azar, solamente se
introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo), el cual tiene el
subíndice l (asignado a las repeticiones), ya que un bloque es equivalente a una
repetición del experimento. El modelo lineal correspondiente es el siguiente:
22ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,l c; 1,..., 0,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)()()()(
ee
donde
eABCBCACABCBABloY ijklijkjkikijkjilijkl
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
c Número de niveles del factor C.
r Número de bloques (repeticiones).
ijklY Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque.
Efecto medio general.
lBlo Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
kC Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ikAC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el k-
ésimo nivel del factor C.
108
jkBC)( Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
ésimo nivel del factor C.
ijkABC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
ijke Término de error aleatorio.
11.5. Análisis de varianza
La tabla de análisis de varianza tiene una estructura diferente, dependiendo del
número de factores en el experimento. Para poder determinar la estructura de la
tabla de análisis de varianza es necesario tomar en cuenta el modelo lineal del
experimento que se lleva a cabo.
Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal:
ijkijjiijk eABBAY )(
Las fuentes de variación del análisis de varianza son:
F.V
A
B
AB
Error
Total
Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal:
ijklijkjkikijkjilijkl eABCBCACABCBABloY )()()()(
Las fuentes de variación del análisis de varianza son:
F.V
Bloques
109
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
Error
Total
En los dos casos anteriores, las fuentes de variación corresponden a los términos
del lado derecho del modelo lineal (a excepción de ) agregando el término que
representa al Total. Conociendo el modelo lineal del experimento a desarrollar se
deducen, mediante el mecanismo anterior, las fuentes de variación de la tabla del
análisis de varianza correspondiente. El cálculo de los grados de libertad y de las
sumas de cuadrados también varía dependiendo del experimento factorial
desarrollado.
11.6. Diseño factorial 2k
El tipo de diseño más importante de los diseños factoriales es el de k factores,
cada uno con sólo dos niveles. Una réplica completa de este diseño requiere 2 x 2
x … x 2 = 2k observaciones y se le llama diseño factorial 2k.
El diseño factorial 2k es de particular utilidad en las etapas iniciales del trabajo
experimental, cuando probablemente se estén investigando muchos factores.
El primer diseño de la serie 2k es el que sólo tiene dos factores, por ejemplo, A y
B; cada uno se corre a dos niveles. A este diseño se le llama diseño factorial 22.
Los niveles de los factores pueden denominarse arbitrariamente “bajo” y “alto”. Por
110
convención, el efecto de un factor se denota con la letra mayúscula latina. Por lo
tanto, “A” se refiere al efecto del factor A, “B” al efecto del factor B, y “AB” a la
interacción AB. Los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-” y “+”
respectivamente o por “0” y “1”.
Las cuatro combinaciones de tratamientos para un diseño factorial 22 suelen
representarse con letras minúsculas, o sea, que el nivel alto de cualquiera de los
factores en una combinación de tratamientos se denota por la letra minúscula
correspondiente y el nivel bajo de un factor en una combinación de tratamientos se
denota por la ausencia de la letra respectiva. Por lo tanto, a representa la
combinación de tratamientos con A en el nivel alto y B en el nivel bajo, b
representa A en el nivel bajo y B en el nivel alto, ab representan ambos factores
en el nivel alto. Por convención, se usa (1) para denotar que ambos factores están
en el nivel bajo. En el Cuadro 39 se muestran las diferentes notaciones
mencionadas anteriormente para el diseño 22. Esta notación se utiliza en todas las
series 2k.
Cuadro 39. Notaciones para el diseño factorial 22.
Corrida A B Tratamiento A B
1 - - (1) 0 0 2 + - A 1 0 3 - + B 0 1 4 + + ab 1 1
Para el análisis de experimentos factoriales 2k utilizaremos el algoritmo de Yates.
Yates describe este método para los diseños factoriales 2k, que consiste en un
proceso de sumas y restas como se muestra en el siguiente cuadro para el caso
de un diseño factorial 22.
Cuadro 40. Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 22.
Total de Tratamientos 1 2 Efecto
(1) +(1)+a +(1)+a+b+ab Total A +b+ab -(1)+a-b+ab A B -(1)+a -(1)-a+b+ab B
Ab -b+ab +(1)-a-b+ab AB
Fuente: Martínez (1983).
111
Para la característica en estudio se escriben verticalmente los totales de
tratamientos, con las letras minúsculas mencionadas anteriormente. Con estos
totales se forman dos grupos, componiéndose cada grupo, de dos totales
consecutivos. El primer grupo contiene los totales correspondientes a los
tratamientos (1) y a; el segundo grupo comprende los totales correspondientes a
los tratamientos b y ab. Para generar la columna 1, procediendo por grupos se
suman los totales de los dos tratamientos que los componen. Las dos sumas
obtenidas constituyen los dos primeros elementos de la propia columna, los cuales
se colocan ordenadamente; así por ejemplo, el primer elemento de la columna 1
es la suma de los totales de los tratamientos (1) y a. Los dos elementos restantes
de la columna 1 se obtienen por diferencia, restando en cada grupo el total del
tratamiento de arriba del de abajo; así por ejemplo, el tercer elemento de la
columna 1 será a –(1), diferencia que se ha escrito –(1) +a para conservar el orden
estándar de presentar las combinaciones de tratamiento. La columna 2 del cuadro
se obtiene de la 1 por un proceso similar al descrito.
Los elementos de la columna 2 son, sucesivamente, el gran total y los efectos
totales de A, B Y AB. El algoritmo de yates se puede generalizar para todas las
series 2k.
Para pasar de aquí a las estimaciones de las sumas de cuadrados se usa la
siguiente fórmula:
gran total el esG
22
......
2
.........)(
2
1
21
20
201
donde
r
G
r
ABCABC
r
ABCABCABCSC
nnn
En el caso general, el método se termina de aplicar después de n pasos.
Los métodos de análisis que se han presentado hasta este punto pueden
generalizarse para el caso de un diseño factorial 2k, es decir, un diseño con k
factores que tienen dos niveles cada uno. El modelo estadístico par un modelo 2k
112
incluiría k efectos principales, k2 interacciones de dos factores,
k3 interacciones
de tres factores,…, y una interacción de k factores. Es decir, para un diseño 2k el
modelo completo contendría 2k-1 efectos. También se usa aquí la notación
introducida anteriormente para las combinaciones de los tratamientos. Por
ejemplo, en un diseño 25, abd denota la combinación de tratamientos con los
factores A, B y D en el nivel alto y los factores C y E en el nivel bajo. Las
combinaciones de tratamientos pueden escribirse en orden estándar introduciendo
los factores uno a la vez y combinando sucesivamente cada nuevo factor con los
que proceden. Por ejemplo, el orden estándar en un diseño 24 es (1), a, b, ab, c,
ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd y abcd.
Ejemplo 11.1
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño
factorial 2k con el siguiente ejemplo:
Consideremos parte de los resultados de un experimento cañero de dosis de
fertilizantes, (Martínez, 1983) el cual comprendió los 8 tratamientos de un factorial
23, en un diseño en bloques completos al azar. Se obtienen los rendimientos de
caña de la plantilla, en toneladas por hectárea en el Cuadro 41: cada uno de los
nutrientes mayores: nitrógeno, fósforo y potasio, se ensayó en dos niveles, 0 y 200
kilogramos por hectárea.
Cuadro 41. Experimento factorial 23. Rendimientos de Caña en Toneladas por Hectárea.
Tratamiento Fertilizantes Bloque
Suma N P K I II III IV
1 0 0 0 125.6 98.2 110.6 130.1 464.5= T000
2 200 0 0 112.1 101.5 147.4 135.9 496.9= T100 3 0 200 0 150.8 154.8 175.0 185.0 665.6= T010 4 200 200 0 167.1 185.0 174.4 151.5 678.0= T110 5 0 0 200 121.0 100.6 134.8 134.4 490.8= T001 6 200 0 200 149.2 131.1 118.3 161.3 559.9= T101 7 0 200 200 181.1 174.3 137.0 161.5 653.9= T011 8 200 200 200 145.1 201.0 188.8 201.5 736.4= T111
113
Suma 1152.0
= B1 1146.5
= B2 1186.3
= B3 1261.2
= B4 4764.0 = G
Fuente: Martínez (1983).
¿Existe diferencia entre las combinaciones de nitrógeno, fósforo y potasio?
Responda al cuestionamiento anterior con una confiabilidad del 95%.
Respuesta
Se tienen tres factores nitrógeno (N), fósforo (P) y potasio (K); para seguir con la
notación usual nombraremos a los tres factores anteriores como A, B y C
respectivamente; cada uno de los factores anteriores tiene dos niveles (0 y 1). Los
tratamientos a probar son:
0 Kg. 0 Kg. 0 Kg. (a0b0c0) (1)
200 Kg. 0 Kg. 0 Kg. (a1b0c0) (a)
0 Kg. 200 Kg. 0 Kg. (a0b1c0) (b)
200 Kg. 200 Kg. 0 Kg. (a1b1c0) (ab)
0 Kg. 0 Kg. 200 Kg. (a0b0c1) (c)
200 Kg. 0 Kg. 200 Kg. (a1b0c1) (ac)
0 Kg. 200 Kg. 200 Kg. (a0b1c1) (bc)
200 Kg. 200 Kg. 200 Kg. (a1b1c1) (abc)
El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es:
22ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,l c; 1,..., 0,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)()()()(
ee
donde
eABCBCACABCBABloY ijklijkjkikijkjilijkl
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
c Número de niveles del factor C.
r Número de bloques (repeticiones).
114
ijklY Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque.
Efecto medio general.
lBlo Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
kC Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ikAC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el k-
ésimo nivel del factor C.
jkBC)( Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
ésimo nivel del factor C.
ijkABC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
ijke Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son:
1. : vs: 10100 aaHaaH a
2. ia bbbHbbH : vs: 1 0100
3. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 jbH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
jia aH
4. : vs: 10100 ccHccH a
115
5. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 kcH
demás los de diferente efectoun produce n interacció una menos Al:
vs
kia caH
6. efecto mismo el tienen b nesinteraccio las Todas: j0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j ka cH
7. efecto mismo el tienen ba nesinteraccio las Todas: ji0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j kia caH
El análisis de varianza correspondiente es el Cuadro 42:
Cuadro 42. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar.
Fuente de
Variación (F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Bloques r-1 S.C. Bloques Bloques ..
Bloques S.C.
LG
Error ..
Bloques ..
MC
MC ),( 21 vvF
A a-1 S.C. A A ..
A S.C.
LG
Error ..
A ..
MC
MC ),( 23 vvF
B b-1 S.C. B B ..
B S.C.
LG
Error ..
B ..
MC
MC ),( 24 vvF
AB (a-1)(b-1) S.C. AB AB ..
AB S.C.
LG
Error ..
BC ..
MC
MC ),( 25 vvF
C c-1 S.C. C C ..
C S.C.
LG
Error ..
C ..
MC
MC ),( 26 vvF
AC (a-1)(c-1) S.C. AC AC ..
AC S.C.
LG
Error ..
AC ..
MC
MC ),( 27 vvF
BC (b-1)(c-1) S.C. BC BC ..
BC S.C.
LG
Error ..
AB ..
MC
MC ),( 28 vvF
ABC (a-1)(b-1)(c-1) S.C. ABC ABC ..
ABC S.C.
LG
Error ..
ABC ..
MC
MC ),( 29 vvF
116
Error (abc-1)(r-1) S.C. Error Error ..
Error S.C.
LG
Total abcr-1 S.C. Total
Donde:
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
ABC 29
BC 28
AC 27
C 26
AB 25
B 24
A 23
Bloques 21
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
tab
tab
tab
tab
tab
tab
ABC.n interacció la de libertad de
BC.n interacció la de libertad de
AC.n interacció la de libertad de
C.n interacció la de libertad de
AB.n interacció del libertad de
B.factor del libertad de
A.factor del libertad de
error. del libertad de Grados
bloques. los de libertad de
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
v
Gradosv
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Para resolver el ejemplo anterior haremos uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se hace hacer clic en el tipo de diseño
que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe
117
escoger el tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic
en diseños factoriales.
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro
43, con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes en
donde se debe seleccionar el tipo de diseño factorial que se va a emplear, ya sea
completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para
ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. Para este ejemplo, se
selecciona en diseños factoriales en bloques completos al azar, el diseño factorial
2k.
A la derecha del Cuadro 43 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño experimental.
Cuadro 43. Tipos de diseños factoriales más comunes
TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES MÁS COMUNES
DISEÑOS FACTORIALES EN COMPLETAMENTE AL AZAR
Diseño factorial 2^k Regresar
Diseño factorial 3^k
Diseño factorial 3^k x 2^l
DISEÑOS FACTORIALES EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR
Diseño factorial 2^k
Diseño factorial 3^k
Diseño factorial 3^k x 2^l
118
Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 2k, en diseños factoriales en
bloques completos al azar en el Cuadro 43, aparece el Cuadro 44, en donde se
introducen los datos del ejercicio. El Cuadro 44 sólo da la opción de escribir sobre
las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto
de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño
se puede introducir un máximo de cinco factores y cinco bloques. Para este
ejemplo se tienen tres factores con dos niveles cada uno y cuatro boques.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 44,
los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por
tratamiento, el efecto y los totales de efectos. En la última fila aparecen el total por
bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.
A la derecha del Cuadro 44 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño factorial.
Cuadro 44. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar.
DISEÑO FACTORIAL 2k EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR
Tratamientos Bloques Totales de
Sumas del cuadrado
Efecto
Totales de
I II III IV V Tratamiento de obs. por
Trat. efectos
(1) 125.6 98.2 110.6 130.1 464.5 54577.0 Gran total
4746
A 112.1 101.5 147.4 135.9 496.9 63064.2 A 196.4
B 150.8 154.8 175.0 185.0 665.6 111553.7 B 721.8 Ir al
análisis
Ab 167.1 185.0 174.4 151.5 678.0 115515.0 AB -6.6
C 121.0 100.6 134.8 134.4 490.8 60995.8 C 136.0
Ac 149.2 131.1 118.3 161.3 559.9 79460.4 AC 106.8 Regresar
Bc 181.1 174.3 137.0 161.5 653.9 108029.0 BC -42.6
Abc 145.1 201.0 188.8 201.5 736.4 137702.7 ABC 33.4
Total 1152.0 1146.5 1186.3 1261.2 0.0 730897.7
119
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, en el Cuadro 44, genera al Cuadro 45
donde aparecen el factor A (a), el factor B (b), el factor C (c), el factor D (d) y el
factor E (e) con sus respectivos números de niveles; el número de bloques (r), y el
factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del
juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones. El valor de alfa
está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede
cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 45,
a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es
posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 45 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% sólo se rechaza las hipótesis nula (H0) del factor B, lo que indica que existen
diferencias entre los niveles de ese factor; mientras que las hipótesis nulas (H0)
para el factor A, el factor C, las interacciones AB, AC, BC y ABC no se rechazan,
lo que indica que no existen diferencias entre los niveles de esos factores y de
esas interacciones.
Cuadro 45. Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
Bloques 3 1046.30 348.77 0.98 3.07
a = 2 A 1 1205.41 1205.41 3.40 4.32
b = 2 B 1 16281.10 16281.10 45.92 4.32
c = 2 AB 1 1.36 1.36 0.004 4.32 Regresar
d = 0 C 1 578.00 578.00 1.63 4.32
e = 0 AC 1 356.44 356.44 1.01 4.32
r = 4 BC 1 56.71 56.71 0.16 4.32
ABC 1 34.86 34.86 0.10 4.32
FC = 703891.13
Alfa 0.05
Error 21 7446.43 354.59
120
Total 31 27006.62
CONCLUSIÓN
Fcal A ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal AB ≤ Ftab AB. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal C ≤ Ftab C. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal AC ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal BC ≤ Ftab BC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal ABC ≤ Ftab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
11.7. Diseño factorial 3k
El diseño factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tienen tres niveles
cada uno. Se usan letras mayúsculas para denotar los factores y las interacciones.
Se hace referencia a los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto.
Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de
los factores; una posibilidad es representar los niveles de los factores con los
dígitos 0 (bajo), 1 (intermedio) y 2 (alto). Cada combinación de tratamientos del
diseño 3k se denota por k dígitos, donde el primer dígito denota el nivel del factor
A, el segundo digito indica el nivel del factor B,…, y el dígito k-ésimo indica el nivel
del factor k. Por ejemplo, en un diseño 32, 00 denota la combinación de
tratamientos correspondientes a A y B ambos en el nivel bajo, y 01 denota la
combinación de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel
intermedio.
El diseño más simple del sistema 3k es el diseño 32, el cual tiene dos factores,
cada uno con tres niveles. Las combinaciones de tratamientos de este diseño son
32 = 9, hay 32-1 = 8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos
y se pueden definir 32-1/3-1 = 4 grupos ortogonales con dos grados de libertad
cada uno, que en términos de los efectos factoriales, tales grupos son:
A: efecto principal de A
B: efecto principal de B
121
AB: primera componente de la interacción AB
AB2: segunda componente de la interacción AB
Por lo tanto, 2ABABAB
Las componentes AB y AB2 de la interacción AB no tienen significado real y por lo
general no se incluyen en el análisis de varianza. Por lo tanto, los efectos
principales de A y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacción AB
tiene cuatro grados de libertad.
Suponga ahora que hay tres factores (A, B y C) bajo estudio y que cada factor
tiene tres niveles dispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseño
factorial 33, y la notación de las combinaciones de tratamientos se mencionaron
anteriormente en el diseño factorial 32. Las 27 combinaciones de tratamientos
tienen 26 grados de libertad y se pueden definir 33-1/3-1 = 13 grupos ortogonales
con dos grados de libertad cada uno, que en términos de los efectos factoriales,
tales grupos son:
A: efecto principal de A.
B: efecto principal de B.
AB: primera componente de la interacción AB.
AB2: segunda componente de la interacción AB.
C: efecto principal de C.
AC: primera componente de la interacción AC.
AC2: segunda componente de la interacción AC.
BC: primera componente de la interacción BC.
BC2: segunda componente de la interacción BC.
ABC: primera componente de la interacción ABC.
ABC2: segunda componente de la interacción ABC.
AB2C: tercera componente de la interacción ABC.
AB2C2: cuarta componente de la interacción ABC.
Por lo tanto,
122
2ABABAB
2ACACAC
2BCBCBC
2222 CABCABABCABCABC
Como en el diseño 32, estos componentes no tienen significación física. Por lo
tanto, los efectos principales de A, B y C tienen dos grados de libertad cada uno;
las interacciones AB, AC, BC tienen cuatro grados de libertad y la interacción ABC
tiene 8 grados de libertad.
Los conceptos utilizados en los diseños 32 y 33 pueden extenderse de inmediato
al caso de k factores, cada uno con tres niveles, es decir, a un diseño factorial 3k.
Se emplea la notación digital usual para las combinaciones de tratamientos, por lo
que 0120 representa una combinación de tratamientos en un diseño 34 con A y D
en los niveles bajos, B en el nivel intermedio y C en el nivel alto. Hay 3k
combinaciones de tratamientos, con 3k-1 grados de libertad entre ellos y se
pueden definir 3k-1/3-1 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno.
Estas combinaciones de tratamientos permiten determinar las sumas de
cuadrados de k efectos principales, cada uno con dos grados de libertad; k2
interacciones de dos factores, cada una con cuatro grados de libertad;…; y una
interacción de k factores, con 2k grados de libertad. En general, una interacción de
h factores tiene 2h grados de libertad.
Ejemplo 11.2
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño
factorial 3k con el siguiente ejemplo:
Se usa una máquina para llenar contenedores metálicos de cinco galones con
jarabe para una bebida gaseosa (Montgomery, 2007). La variable de interés es la
cantidad de jarabe perdida debido al espumeo. Se piensa que tres factores
123
influyen en el espumeo: el diseño de la boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y
la presión de operación (C). Se seleccionaron tres boquillas, tres velocidades de
llenado y tres presiones, y se corren dos réplicas de un experimento factorial 33.
En el Cuadro 46 se muestran los datos codificados.
Cuadro 46. Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros cúbicos-70)
Tipo de boquilla (A)
1 2 3 Velocidad (en rpm) (B)
Presión (en psi)
(C) 100 120 140 100 120 140 100 120 140
10 -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15 -25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30
15 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110 75 30 54 120 -44 44 113 -26 135
20 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 54 5 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4
Fuente: Montgomery (2007).
¿Existen diferencias entre las combinaciones del tipo de boquilla (A), la velocidad
del llenado (B) y la presión de operación (C)?. Responda a la pregunta anterior
con una confiabilidad del 95%.
Respuesta:
Se tienen tres factores: el diseño de la boquilla (A), la velocidad del llenado (B) y la
presión de operación (C), bajo un experimento factorial 33 completamente al azar.
Cada uno de los factores A, B y C con tres niveles: 1 (0), 2 (1) y 3 (2); 100 rpm (0),
120 rpm (1) y 140 rpm (2) y 10 psi (0), 15 psi (1) y 20 psi (2), respectivamente. Los
tratamientos a probar son:
A B C Tratamiento
1 100 rpm 10 psi (000)
2 100 rpm 10psi (100)
3 100 rpm 10 psi (200)
124
1 120 rpm 10 psi (010)
2 120 rpm 10psi (110)
3 120 rpm 10 psi (210)
1 140 rpm 10 psi (020)
2 140 rpm 10psi (120)
3 140 rpm 10 psi (220)
1 100 rpm 15 psi (001)
2 100 rpm 15psi (101)
3 100 rpm 15 psi (201)
1 120 rpm 15 psi (011)
2 120 rpm 15psi (111)
3 120 rpm 15 psi (211)
1 140 rpm 15 psi (021)
2 140 rpm 15psi (121)
3 140 rpm 15 psi (221)
1 100 rpm 20 psi (002)
2 100 rpm 20psi (102)
3 100 rpm 20 psi (202)
1 120 rpm 20 psi (012)
2 120 rpm 20psi (112)
3 120 rpm 20 psi (212)
1 140 rpm 20 psi (022)
2 140 rpm 20psi (122)
3 140 rpm 20 psi (222)
El modelo lineal correspondiente al factorial completamente al azar es:
22
ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,l c; 1,..., 0,k b; 1,..., 0,j a; 1,..., 0,i
)()()()(
ee
donde
eABCBCACABCBAY ijklijkjkikijkjiijkl
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
125
c Número de niveles del factor C.
r Número de repeticiones.
ijklY Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A, el
j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
Efecto medio general.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
kC Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ikAC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el k-
ésimo nivel del factor C.
jkBC)( Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
ésimo nivel del factor C.
ijkABC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
ijke Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son:
1. : vs: 2102100 aaaHaaaH a
2. : vs: 2102100 bbbHbbbH a
3. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 jbH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
jia aH
4. : vs: 2102100 cccHcccH a
126
5. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 kcH
demás los de diferente efectoun produce n interacció una menos Al:
vs
kia caH
6. efecto mismo el tienen b nesinteraccio las Todas: j0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j ka cH
7. efecto mismo el tienen ba nesinteraccio las Todas: ji0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j kia caH
El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 47:
Cuadro 47. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 33
completamente al azar.
Fuente de
Variación (F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada
)( calF
F de tablas
)( tabF
A a-1 S.C. A A ..
A S.C.
LG
Error ..
A ..
MC
MC ),( 21 vvF
B b-1 S.C. B B ..
B S.C.
LG
Error ..
B ..
MC
MC ),( 23 vvF
AB (a-1)(b-1) S.C. AB AB ..
AB S.C.
LG
Error ..
BC ..
MC
MC ),( 24 vvF
C c-1 S.C. C C ..
C S.C.
LG
Error ..
C ..
MC
MC ),( 25 vvF
AC (a-1)(c-1) S.C. AC AC ..
AC S.C.
LG
Error ..
AC ..
MC
MC ),( 26 vvF
BC (b-1)(c-1) S.C. BC BC ..
BC S.C.
LG
Error ..
AB ..
MC
MC ),( 27 vvF
ABC (a-1)(b-1)(c-1) S.C. ABC ABC ..
ABC S.C.
LG
Error ..
ABC ..
MC
MC ),( 28 vvF
Error (abc-1)(r-1) S.C. Error Error ..
Error S.C.
LG ),( 29 vvF
127
Total abcr-1 S.C. Total
Donde:
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
ABC 28
BC 27
AC 26
C 25
AB 24
B 23
A 21
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
tab
tab
tab
tab
tab
ABC.n interacció la de libertad de
BC.n interacció la de libertad de
AC.n interacció la de libertad de
C.factor del libertad de
AB.n interacció la de libertad de
B.factor del libertad de
A.factor del libertad de
error. del libertad de Grados
8
7
6
5
4
3
1
2
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
v
FCCCSBCS
Y
FCCCSACS
Y
FCBCSACS
Y
FC
Y
FC
Y
FC
Y
abcr
YFC
c
k
jk
b
j
c
k
ki
a
i
b
j
ij
a
i
c
k
k
b
j
j
a
i
i
....ar
BC S.C. ....br
AC S.C.
....cr
AB S.C. abr
C S.C.
acr
B S.C. bcr
A S.C. ....
0
2..
00
2..
0
0
2..
00
2...
0
2...
0
2...2
128
ABCCSBCCSACCSABCSCCSBCSACSCS
CFYTotalCS
FCBCCSACCSABCSCCSBCSACS
Y
c
k
ijkl
r
l
b
j
a
i
c
k
ijk
b
j
a
i
..............-Total S.C.Error ..
. ..
............r
ABC S.C.
0
2
100
0
2.
00
Donde:
FC Factor de corrección.
....Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
...iY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A.
... jY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B.
...kY Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor
C.
..ijY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A
y al j-ésimo nivel del factor B.
..kiY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A y al k-ésimo nivel del factor C.
.. jkY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B y al k-ésimo nivel del factor C.
.ijkY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
lY ... Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque.
ijklY Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
129
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño
que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el
tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic en
diseños factoriales.
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro
43, con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes
(mencionado en la sección 11.7) en donde se selecciona el tipo de diseño factorial
que se va a emplear, ya sea completamente al azar o en bloques completos al
azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del
experimento. Para este ejemplo, se va a seleccionar en diseños factoriales
completamente al azar, el diseño factorial 3k.
Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3k, en diseños factoriales
completamente al azar en el cuadro 43, genera el Cuadro 48, en donde se deben
introducir los datos del ejercicio. El Cuadro 48 sólo da la opción de escribir sobre
las celdas donde se introducen los datos del experimento, ya que el resto de las
celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño se
puede introducir un máximo de tres factores y cinco repeticiones. Para este
ejemplo se tienen tres factores con tres niveles cada uno y dos repeticiones.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 48,
los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por
tratamiento, y los totales de los niveles de los factores y de las interacciones. En la
130
última fila aparecen el total de las sumas del cuadrado de observaciones por
tratamiento y la suma de los totales de los niveles de los factores y de las
interacciones
.
A la derecha del Cuadro 48 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño factorial.
Cuadro 48. Diseño factorial 3k completamente al azar.
DISEÑO FACTORIAL 3k COMPLETAMENTE AL AZAR
Tratamientos Repeticiones
Tot. de
Sumas del cuadrado
Totales de los niveles de los factores y de las interacciones
1 2 3 4 5 Trat. de obs. por
Trat. A B AB C AC BC ABC
000 -35 -25 -60 1850 155 366 134 -459 -190 -93 -60
100 17 24 41 865 -33 -792 188 963 -58 -350 41 Ir al análisis
200 -39 -35 -74 2746 43 591 44 -339 -211 -16 -74
010 -45 -60 -105 5625 -155 339 563 -105
110 -65 -58 -123 7589 -348 230 -133 -123 Regresar
210 -55 -67 -122 7514 -289 394 533 -122
020 -40 15 -25 1825 176 6 -104 -25
120 20 4 24 416 127 -205 -309 24
220 15 -30 -15 1125 288 -140 74 -15
001 110 75 185 17725 185
101 55 120 175 17425 175
201 90 113 203 20869 203
011 -10 30 20 1000 20
111 -55 -44 -99 4961 -99
211 -28 -26 -54 1460 -54
021 80 54 134 9316 134
121 110 44 154 14036 154
221 110 135 245 30325 245
002 4 5 9 41 9
102 -23 -5 -28 554 -28
202 -30 -55 -85 3925 -85
012 -40 -30 -70 2500 -70
112 -64 -62 -126 7940 -126
212 -61 -52 -113 6425 -113
022 31 36 67 2257 67
131
122 -20 -31 -51 1361 -51
222 54 4 58 2932 58
Totales 165 174607 26963 1110501 413935 1252971 468703 861925 326183
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 49, donde aparecen
el factor A (a), el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de
niveles; el número de repeticiones (r), y el factor de corrección (FC), así como el
análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus
factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una
confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la
confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 49, a excepción del valor
de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el
contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 49 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la
hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores B y C y de las
interacciones AB, AC y BC lo que indica que existen diferencias entre los niveles
de esos factores y entre los niveles de esas interacciones; mientras que las
hipótesis nulas (H0) para el factor A, y la interacción ABC no se rechazan lo que
indica que existen diferencias entre los niveles de ese factor y entre los niveles de
esa interacción.
Cuadro 49. Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente al azar.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
a = 3 A 2 993.78 496.89 1.17 3.35
b = 3 BB 2 61190.33 30595.17 71.74 3.35
c = 3 AB 4 6300.89 1575.22 3.69 2.73
r = 2 C 2 69105.33 34552.67 81.01 3.35
AC 4 7513.89 1878.47 4.40 2.73
FC = 504.17 BC 4 12854.33 3213.58 7.53 2.73
132
Alfa 0.05 ABC 8 4628.78 578.60 1.36 2.31
Error 27 11515.50 426.50
Total 53 174102.83
CONCLUSIÓN
Fcal A ≤ Ftab A. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal AB > Ftab AB. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal C > Ftab C. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal AC > Ftab AC. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal BC > Ftab BC. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal ABC ≤ Ftab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
11.8. Diseño factorial 3k x 2l
Se han resaltado los diseños factoriales en los que todos los factores tienen el
mismo número de niveles. El sistema con dos niveles mencionado anteriormente
es de particular utilidad. El sistema de tres niveles también mencionado antes es
de utilidad mucho menor debido a que los diseños son relativamente grandes
incluso para un número modesto de factores.
En ocasiones, en los diseños factoriales con dos niveles existen situaciones en las
que es necesario incluir un factor (o algunos factores) que tienen más de dos
niveles. La notación para las combinaciones de tratamientos es la notación digital
usual.
Ejemplo 11.3
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño
factorial 3k x 2l con el siguiente ejemplo:
La cobertura de un equipo de aplicación manual de herbicidas se define como la
superficie máxima en la cual se logra distribuir el herbicida de forma uniforme
sobre la maleza al operar el equipo a una velocidad constante (Castillo, 2003).
133
Los factores que determinan en gran medida la cobertura de un equipo aspersor
de mochila son la aspersión de presión, el tamaño de boquilla y la velocidad de
recorrido al momento de aplicar el herbicida. Un experto en malezas desea probar
bajo qué condición de presión, tipo de boquilla y velocidad de recorrido se obtiene
una mejor cobertura de herbicida. El herbicida seleccionado para la aplicación fue
el Gesaprim. El experto en maleza decidió utilizar boquillas de abanico plano de
diferentes tamaños para la aplicación de Gesaprim. Los tamaños de boquillas
seleccionados fueron 6150, 6515 y 6520. Las presiones de aspersión utilizadas
fueron 25 y 30 libras / pulgada2 y las velocidades de recorrido fueron 2 y 3 metros /
segundo.
La unidad experimental consistió en dos hileras con estacas colectoras de
kromekotes cada una con 25 metros de largo. El kromekotes es un tipo de papel
especial que cambia de coloración al contacto con las gotas de un líquido. La
variable respuesta fue el número de gotas por centímetro cuadrado presentes en
el papel kromekotes.
El terreno donde se ejecutó el experimento se encuentra en las faldas de un cerro
y la forma en que se dispersa el viento no es uniforme sobre todo el terreno. Como
el viento es un factor que puede alterar la cobertura de un equipo de aplicación
manual, es decir, se constituye de confusión, se decidió la utilización de un
factorial en bloques completos al azar con dos bloques. Los resultados del
experimento se encuentran en el Cuadro 50:
Cuadro 50. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes.
TAMAÑO DE
BOQUILLA BLOQUE
PRESIÓN (psi) 25 30
VELOCIDAD (m / seg) VELOCIDAD (m / seg) 2 3 2 3
6510 I 15 25 25 35 II 25 30 30 35
6515 I 30 40 40 60
134
II 35 35 45 55
6520 I 55 65 65 80 II 50 60 75 85
Fuente: Castillo (2003).
¿Existe diferencias entre las combinaciones de tamaño de boquilla, presión y
velocidad de recorrido? Responda al cuestionamiento anterior con una
confiabilidad del 95%
Respuesta
Se tienen tres factores: tamaño de boquilla (A), presión (B) y velocidad de
recorrido (C), bajo un experimento factorial 3 x 22 en bloques completos al azar. El
factor A con tres niveles: 6510 (0), 6515 (1) y 6520 (2); el factor B y el factor C
cada uno con dos niveles: 25 psi (0) y 30 psi (1) y 2 m / seg (0) y 3 m / seg (1),
respectivamente. Los tratamientos a probar son:
A B C Tratamiento
6510 25 psi 2 m / seg (000)
6515 25 psi 2 m / seg (100)
6520 25 psi 2 m / seg (200)
6510 30 psi 2 m / seg (010)
6515 30 psi 2 m / seg (110)
6520 30 psi 2 m / seg (210)
6510 25 psi 3 m / seg (001)
6515 25 psi 3 m / seg (101)
6520 25 psi 3 m / seg (201)
6510 30 psi 3 m / seg (011)
6515 30 psi 3 m / seg (111)
6520 30 psi 3 m / seg (211)
Se tienen un total de 12 tratamientos.
135
El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es:
22ijkijk )E( ; 0)E( r; 2,..., 1,l c; 1,..., 0,k b; ..., 0,1,j a; 1,..., 0,i
)()()()(
ee
donde
eABCBCACABCBABloY ijklijkjkikijkjilijkl
a Número de niveles del factor A.
b Número de niveles del factor B.
c Número de niveles del factor C.
r Número de bloques (repeticiones).
ijklY Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A, el j-ésimo nivel del factor
B y el k-ésimo nivel del factor C, ubicados en el l-ésimo bloque.
Efecto medio general.
lBlo Efecto atribuido al l-ésimo bloque.
iA Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A.
jB Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.
kC Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.
ijAB)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el j-
ésimo nivel del factor B.
ikAC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el k-
ésimo nivel del factor C.
jkBC)( Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el k-
ésimo nivel del factor C.
ijkABC)( Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A, el j-
ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.
ijke Término de error aleatorio.
Las hipótesis a probar son:
1. : 2100 aaaH
136
demás los de diferente efectoun produce nivlun menos Al:
vs
ia aH
2. : vs: 10100 bbHbbH a
5. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 jbH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
jia aH
4. : vs: 10100 ccHccH a
5. efecto mismo el tienen a nesinteraccio las Todas: i0 kcH
demás los de diferente efectoun produce n interacció una menos Al:
vs
kia caH
6. efecto mismo el tienen b nesinteraccio las Todas: j0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j ka cH
7. efecto mismo el tienen ba nesinteraccio las Todas: ji0 kcH
demás los de diferente efectoun produce bn interacció una menos Al:
vs
j kia caH
El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 51:
Cuadro 51. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar.
Fuente de
Variación
Grados de Libertad (G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
137
(F.V.)
Bloques r-1 S.C. Bloques Bloques ..
Bloques S.C.
LG
Error ..
Bloques ..
MC
MC ),( 21 vvF
A a-1 S.C. A A ..
A S.C.
LG
Error ..
A ..
MC
MC ),( 23 vvF
B b-1 S.C. B B ..
B S.C.
LG
Error ..
B ..
MC
MC ),( 24 vvF
AB (a-1)(b-1) S.C. AB AB ..
AB S.C.
LG
Error ..
BC ..
MC
MC ),( 25 vvF
C c-1 S.C. C C ..
C S.C.
LG
Error ..
C ..
MC
MC ),( 26 vvF
AC (a-1)(c-1) S.C. AC AC ..
AC S.C.
LG
Error ..
AC ..
MC
MC ),( 27 vvF
BC (b-1)(c-1) S.C. BC BC ..
BC S.C.
LG
Error ..
AB ..
MC
MC ),( 28 vvF
ABC (a-1)(b-1)(c-1) S.C. ABC ABC ..
ABC S.C.
LG
Error ..
ABC ..
MC
MC ),( 29 vvF
Error (abc-1)(r-1) S.C. Error Error ..
Error S.C.
LG
Total Abcr-1 S.C. Total
Donde:
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
ABC 29
BC 28
AC 27
C 26
AB 25
B 24
A 23
Bloques 21
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
tab
tab
tab
tab
tab
tab
138
ABC.n interacció la de libertad de
BC.n interacció la de libertad de
AC.n interacció la de libertad de
C.factor del libertad de
AB.n interacció la de libertad de
B.factor del libertad de
A.factor del libertad de
error. del libertad de Grados
bloques. los de libertad de
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
Gradosv
v
Gradosv
FCCCSBCS
Y
FCCCSACS
Y
FCBCSACS
Y
FC
Y
FC
Y
FC
Y
FC
Y
abcr
YFC
c
k
jk
b
j
c
k
ki
a
i
b
j
ij
a
i
c
k
k
b
j
j
a
i
i
r
l
l
....ar
BC S.C. ....br
AC S.C.
....cr
AB S.C. abr
C S.C. acr
B S.C.
bcr
A S.C. abc
Bloques S.C. ....
0
2..
00
2..
0
0
2..
00
2...
0
2...
0
2...
1
2...2
ABCCSBCCSACCSABCSCCSBCSACSCS
CFYTotalCS
FCBCCSACCSABCSCCSBCSACS
Y
c
k
ijkl
r
l
b
j
a
i
c
k
ijk
b
j
a
i
..............-Total S.C.Error ..
. ..
............r
ABC S.C.
0
2
100
0
2.
00
Donde:
FC Factor de corrección.
....Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
139
...iY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A.
... jY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B.
...kY Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor
C.
..ijY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A
y al j-ésimo nivel del factor B.
..kiY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A y al k-ésimo nivel del factor C.
.. jkY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor
B y al k-ésimo nivel del factor C.
.ijkY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
lY ... Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque.
ijklY Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor
A, al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C.
La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño
que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el
tipo de diseño experimental que se va a usar. En este caso se hace clic en
diseños factoriales.
140
Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 43
con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes
(mencionado en la sección 11.7) en donde se debe seleccionar el tipo de diseño
factorial que vamos a emplear, ya sea completamente al azar o en bloques
completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los
datos del experimento. Para este ejemplo, se selecciona en diseños factoriales en
bloques completos al azar, el diseño factorial 3k x 2l.
Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3k x 2l, en diseños factoriales en
bloques completos al azar en el cuadro 43, aparece el Cuadro 52, en donde se
introducen los datos del ejercicio. El Cuadro 52 sólo da la opción de escribir sobre
las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto
de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. Para este tipo de diseño
se puede introducir un máximo de tres factores y un máximo de 18 tratamientos y
cinco bloques. Para este ejemplo se tienen tres factores, uno con tres niveles y
dos con dos niveles cada uno para formar en total 12 tratamientos en dos bloques.
Una vez introducidos los datos, aparecen en las últimas columnas del Cuadro 52,
los totales de tratamiento, las sumas del cuadrado de observaciones por
tratamiento, el efecto y los totales de efectos. En la última fila aparecen el total por
bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.
A la derecha del Cuadro 52 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño factorial.
Cuadro 52. Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar
DISEÑO FACTORIAL 3k x 2
l EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR
Tratamientos Bloques Tot. de
Sumas del cuadrado
Totales de los niveles de los factores y de las interacciones
I II III IV V Trat. de obs. por Trat. A B AB C AC BC ABC
000 15 25 40 850 220 465 95 490 95 210 40
141
100 30 35 65 2125 340 630 140 605 150 280 65 Ir al análisis
200 55 50 105 5525 535 0 230 245 0 105
010 25 30 55 1525 125 125 255 55
110 40 45 85 3625 200 190 350 85 Regresar
210 65 75 140 9850 305 290 0 140
020 0 0 0 0
120 0 0 0 0
220 0 0 0 0
001 25 30 55 1525 55
101 40 35 75 2825 75
201 65 60 125 7825 125
011 35 35 70 2450 70
111 60 55 115 6625 115
211 80 85 165 13625 165
021 0 0 0
121 0 0 0
221 0 0 0
Totales 535 560 0 0 0 1095 58375 450225 613125 230175 606125 227375 310025 116325
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 53, donde aparecen
el factor A (a), el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de
niveles; el número de bloques (r), y el factor de corrección (FC), así como el
análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus
factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una
confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la
confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 53, a excepción del valor
de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el
contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 53 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la
hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores A, B y C, lo que indica
que existen diferencias entre los niveles de esos factores; mientras que las
142
hipótesis nulas (H0) para las interacciones AB, AC, BC y ABC no se rechazan, lo
que indica que existen diferencias entre los niveles de esas interacciones.
Cuadro 53. Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar.
ANÁLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab
Bloques 1 26.04 26.04 1.54 4.84 Regresar
a = 3 A 2 6318.75 3159.38 186.39 3.98
b = 2 B 1 1134.38 1134.38 66.92 4.84
c = 2 AB 2 131.25 65.63 3.87 3.98
Blo = 2 C 1 551.04 551.04 32.51 4.84
AC 2 14.58 7.29 0.43 3.98
FC = 49959.38 BC 1 26.04 26.04 1.54 4.84
Alfa 0.05 ABC 2 27.08 13.54 0.80 3.98
Error 11 186.46 16.95
Total 23 8415.63
CONCLUSIÓN
Fcal A > Ftab A. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal B > Ftab B. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal AB ≤ Ftab AB. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal C > Ftab C. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal AC ≤ Ftab AC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal BC ≤ F tab BC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
Fcal ABC ≤ F tab ABC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
12. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS
En algunos experimentos que involucran dos factores dispuestos en bloques
completos al azar, es impráctico, por cuestiones económicas u operacionales,
aleatorizar de forma clásica las diferentes combinaciones de los niveles de los
factores bajo estudio. Cuando esto sucede, es recomendable utilizar el diseño en
parcelas divididas.
12.1. Características
143
Se emplea cuando se prueban dos factores a diferentes niveles en bloques
completos al azar y es impráctico aplicar las diferentes combinaciones de los
niveles de los factores a las unidades experimentales, ya sea por el tamaño de
éstas, por restricciones económicas o por restricciones operativas.
Es necesario utilizar extensiones grandes de terrenos para el ensayo de las
combinaciones de los niveles de los factores.
Las extensiones grandes de terreno son conocidas como las parcelas grandes.
Cada parcela grande se divide en unidades menores llamadas parcelas chicas.
Los niveles de un factor se prueban sobre las parcelas grandes y los niveles del
otro factor sobre las parcelas chicas.
Los niveles del factor que se ubica sobre las parcelas grandes son considerados
como los tratamientos, mientras que los niveles que se ubica sobre las parcelas
chicas son considerados como subtratamientos.
Los efectos de los tratamientos en la parcela grande están completamente
confundidos con los efectos de los subtratamientos en la parcela chica, por lo que
el modelo lineal y el análisis de varianza sufren algunas modificaciones con
respecto a los otros diseños estudiados.
12.2. Modelo lineal
El modelo lineal para el diseño en parcelas divididas es el siguiente:
s; 1,2,...,k t;2,..., 1,j b; 2,..., 1,i
)(
donde
eSSY ijjkkijjiijk
b Número de bloques.
t Número de tratamientos.
s Número de subtratamientos.
144
ijkY Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo subtratamiento
ubicado en el i-ésimo bloque.
Efecto medio general.
i Efecto atribuido al i-ésimo bloque.
i Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento.
ij Error aleatorio en la parcela grande.
kS Efecto del k-ésimo subtratamiento.
jkTS)( Efecto de la interacción entre el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo
subtratamiento.
ije Error aleatorio en la parcela chica.
12.3. Hipótesis a probar
Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre los
bloques, sobre los tratamientos, sobre los subtratamientos y sobre las
interacciones entre los tratamientos y los subtratamientos, que son las siguientes:
11.. bH ...: 210
demás. los de diferente efectoun tienese bloques los de unoen menos :H
vs
a Al
22.. tTTTH ...: 210
demás. los de diferente efectoun tienese tos tratamienlos de unoen menos :H
vs
a Al
33.. sSSSH ...: 210
demás. los de diferente efectoun tienese entossubtratami los de unoen menos :H
vs
a Al
44.. tsTSTSTSH )(...)()(: 12110
145
demás. los de diferente efectoun tiene
entosubtratamiy to tratamienentren interacció unaen menos :H
vs
a Al
12.4. Análisis de varianza
El análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas está dado por el
Cuadro 54:
Cuadro 54. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas
divididas.
Fuente de Variación (F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Bloques b-1 S.C. Bloques Bloques ..
..
LG
BloquesCS
PGError ..
Bloques ..
MC
MC
),( 21 vvF
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..
..
LG
osTratamientCS
PGError ..
osTratamient ..
MC
MC
),( 23 vvF
Error en Parcela
grande (b-1)(t-1) S.C. Error PG
PGError ..
PG ..
LG
ErrorCS
Subtotal
bt-1 S.C. Subtotal
Subtratamientos s-1 S.C.
Subtratamientos entosSubtratami ..
..
LG
entosSubtratamiCS
PChError ..
entosSubtratami ..
MC
MC
),( 23 vvF
),( 54 vvF
TS (t-1)(s-1) S.C. TS TS ..
..
LG
TSCS
PChError ..
TS ..
MC
MC
),( 23 vvF
),( 56 vvF
Error en parcela chica
(b-1)(s-1)t S.C. Error PCh PChError ..
PCh ..
LG
ErrorCS
Total bts-1 S.C. Total
Donde:
146
entos.subtratamiy tos tratamienlos entren interacció la de libertad de
chica. parcelaen error del libertad de Grados
entos.subtratami los de libertad de
tos. tratamienlos de libertad de
grande. parcelaen error del libertad de Grados
bloques. los de libertad de
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
Apéndice) del II Tabla(Ver F.ón distribuci la de ),(
6
5
4
3
2
1
TS 56
Subtr 54
Trat 23
Blo 21
Gradosv
v
Gradosv
Gradosv
v
Gradosv
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
CuantilFvvF
tab
tab
tab
tab
TS S.C.-tamientosS.C.Subtra-Subtotal S.C.-Total S.C.PChError S.C. Total ..
FC-entosSubtratami S.C.-osTrataminet S.C.- .. bt
entosSubtratami S.C.
ientosS.C.Tratam-Bloques S.C.-Subtotal S.C.PGError S.C. FC- ..
bsosTratamient S.C.
tsBloques S.C.
...
1 1 1
2
1 1
2.
1
2..
1 1
2.
1
2..
1
2..2
b
i
t
j
s
k
ijk
t
j
s
k
jk
s
k
k
b
i
t
j
ij
t
i
j
b
i
i
FCYCS
b
Y
TSCSFC
Y
s
Y
TotalCS
FC
Y
FC
Y
bts
YFC
147
bloque. ésimo-i elen
entosubtratami ésimo-k ely to tratamienésimo-j el para registra se que Y
ento.subtratami ésimo-k ely to tratamien
ésimo-j el entren interacció la a pertenecen que nesobservacio las de .
to. tratamienésimo-k al pertenecen que nesobservacio las de ..
to. tratamienésimo-j ely bloque ésimo-i el entre
n interacció lapor formado subtotal al pertenecen que nesobservacio las de .
to. tratamienésimo-j al pertenecen que nesobservacio las de ..
bloque. ésimo-i al pertenecen que nesobservacio las de ..
o.experiment elen nesobservacio las todasde ...
ijk Valor
SumaY
SumaY
SumaY
SumaY
SumaY
SumaY
Donde
kj
k
ji
j
i
12.5. Regla de decisión
La regla de decisión que se utiliza para el caso de los bloques, tratamientos,
subtratamientos y la interacción entre los tratamientos y subtratamientos es la
siguiente:
cal0 F si H rechaza tabFSe
Ejemplo 12.1:
Haciendo uso de las hojas de cálculo, elaboradas en Calc de Open Office, para
resolver diseños experimentales más comunes, se ilustra la técnica de diseño en
parcelas divididas con el siguiente ejemplo:
En un experimento se probó el efecto combinado de dos factores (láminas de
riego e insecticidas) en el control del barrenador del tallo (Diatraea spp.) que ataca
al cultivo de caña de azúcar (Castillo, 2003). Se esperaba que las láminas de riego
lograran eliminar a las pupas del barrenador del tallo que se depositaban en el
suelo, lo que combinado con el control químico redituaría quizás en un mayor
rendimiento en la caña de azúcar. Se probaron 3 láminas de riego (10,15, 20 cm),
con tres insecticidas sistemáticos (Nuvacron, Monocron y Furadan) y un testigo sin
aplicar.
148
La unidad experimental consistió en un cuadro de terreno de 10 x 10 metros y la
variable respuesta fue la producción de caña en toneladas por hectárea.
Se detectó un gradiente de fertilidad a 3 niveles, por lo que se decidió utilizar 3
bloques en el experimento.
El factor que es limitante en la implementación del experimento es la lámina de
riego, cuyos tres tipos fueron considerados como los tratamientos y se aplicaron
sobre las parcelas grandes. Los insecticidas fueron considerados como los
subtratamientos y se aplicaron sobre las parcelas chicas. Cada parcela grande
estuvo formada por cuatro parcelas chicas y cada bloque estuvo conformado por
tres parcelas grandes. Los resultados del experimento se muestran en el Cuadro
55:
Cuadro 55. Producción de caña en toneladas por hectárea.
Insecticidas
Bloques I II III
Láminas de riego Láminas de riego Láminas de riego 10 15 20 10 15 20 10 15 20
Nuvacron 60 66 70 50 56 60 40 47 52 Monocron 100 105 110 80 87 90 67 67 70 Furadan 70 80 83 50 54 58 37 38 40
Sin aplicar 21 30 39 18 16 16 15 15 14
Fuente: Castillo (2003)
¿Existen diferencias entre las combinaciones de láminas de riego e insecticidas en
la producción de caña de azúcar? Responda a la pregunta anterior con una
confiabilidad del 95%.
Respuesta
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS
EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el capítulo 6), en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño
149
que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se
introducen los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en
parcelas divididas.
Después de hacer clic en diseño en parcelas divididas el Cuadro 6, aparece el
Cuadro 56, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 56 sólo
da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos
del experimento, ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra
escritura. En este ejemplo, hay cuatro tratamientos, por lo que el cuadro latino
tendrá 4 hileras y 4 columnas. Para este tipo de diseño se pueden introducir hasta
10 tratamientos.
Una vez introducidos los datos, aparece en la última columna del Cuadro 56, los
totales de subtratamiento, en las últimas filas aparecen el subtotal, los totales de
bloque, las sumas del cuadrado de observaciones de bloque, los totales de
tratamiento y las interacciones entre tratamientos y subtratamientos, los cuales se
necesitan para el análisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 56 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de
análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se
seleccionó el tipo de diseño.
Cuadro 56. Diseño en parcelas divididas.
DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS
Bloques
I II III IV V
Subtrat. Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos tot. de
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 subtrat. Ir al
análisis
1 60 66 70 50 56 60 40 47 52 501
2 100 105 110 80 87 90 67 67 70 776
3 70 80 83 50 54 58 37 38 40 510 Regresar
4 21 30 39 18 16 16 15 15 14 184
5
Subtot. 251 281 302 198 213 224 159 167 176
150
Tot.de blo. 834 635 502 Sumas del cuadrado
67032 40921 25450
de obs. de Bloque.
Tot. de Trat. 608 661 702
Interacc. 150 169 182 247 259 270 157 172 181 54 61 69
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, en el Cuadro 56, genera el Cuadro 57,
donde mediante fórmulas aparecen el numero de bloques (b), el número de
tratamientos (t), el número de subtratamientos (s), y el factor de corrección (FC),
así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con
respecto a los bloques, tratamientos, subtratamientos e interacción tratamiento
subtratamiento. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95%
(Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.
Todas las celdas del Cuadro 57, a excepción del valor de alfa, están protegidas
contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 57 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la
hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los bloques, los tratamientos y los
subtratamientos, debido a que Fcal Blo. = 116.82 > Ftab Blo. = 6.94, Fcal Trat. = 9.29 >
Ftab Trat. = 6.94 y Fcal Subtrat. = 143.99 > Ftab Subtrat. = 3.16, respectivamente, lo que
indica que al menos el efecto de un bloque, un tratamiento y un subtratamiento es
diferente al de los demás, respectivamente; mientras que la hipótesis nula (H0)
para la interacción tratamiento subtratamiento no se rechaza, debido a que Fcal TS
= 0.10 ≤ Ftab TS = 2.66, lo que indica que el efecto las interacciones tratamiento
subtratamiento son iguales.
151
Cuadro 57. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas.
B = 3 ANÁLISIS DE VARIANZA
T = 3 F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
S = 4 Bloques 2 4653.167 2326.58 116.82 6.94
Tratamientos 2 370.167 185.08 9.29 6.94
FC = 107912.25 Error en parcela grande
4 79.667 19.92
Alfa 0.05 Subtotal 8 5103.000
Subtratamientos 3 19546.97 6515.66 143.99 3.16
TS 6 26.278 4.38 0.10 2.66
Error en parcela chica
18 814.50 45.25
Total 35 25490.75
CONCLUSIÓN
Fcal Blo. > Ftab Blo. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal Trat. > Ftab Trat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal Subtrat. > Ftab Subtrat. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
Fcal TS ≤ Ftab TS. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05
13. CONCLUSIONES
Las hojas de cálculo, de Calc de Open Office, son muy fácil de usar debido a su
enorme similitud con Excel de Microsoft®, que hace que el usuario tenga una
rápida familiarización con esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo.
En los diseños experimentales más comunes, el uso de Calc de Open Office como
herramienta para trabajar con hojas de cálculo es de gran utilidad, ya que se
puede llegar a resolver problemas de tratamientos o comparación de medias de
tratamientos en algún tipo de diseño experimental sin tener que recurrir a otros
tipos de software que son más complicados de usar o no son libres.
El uso de la herramienta para trabajar con hojas de cálculo, Calc de Open Office,
es una alternativa más para utilizar un software que sea gratuito y fácil de usar y
no depender tanto de algún software que no sea libre.
152
Con el uso de Calc de Open Office para resolver diseños experimentales más
comunes, se llegó a obtener una alternativa más para resolver algunos diseños
experimentales mediante las hojas de cálculo generadas en este trabajo.
14. BIBLIOGRAFÍA
Castillo, L. (2003). UACH. Introducción a la estadística experimental. Segunda Edición, Chapingo, Méx.: UACH. Departamento de Parasitología Agrícola. 277 p. Cochran, W. y Cox, G. (1980). Diseños experimentales. Sexta reimpresión, Editorial Trillas. 661 p. Cramer, H. (1960). Métodos matemáticos de estadística. Segunda Edición, Editorial Aguilar, Madrid, España. 660 p. Fernández T., J. A. Tutorial de openoffice.org. Mayo de 2004. http://mnm.uib.es/gallir/curspl2005/material/tutorial-ooo/calc.html (29 de septiembre de 2009) Fisher, R. (1960). The Design of experiments. Seventh Edition. Oliver and Boyd, Edinburgh. 248 p. Infante, S. Y Zarate,G. (1990). Métodos estadísticos. Segunda Edición, Editorial trillas, México. 643 p. Martínez, A. (1983). Diseños experimentales. Colegio de Postgraduados, Chapingo, Méx. 483 p. Montgomery, D. (2007). Diseño y análisis de experimentos. Segunda Edición, Limusa-Wiley, México. 686 p. Palma, A. y Sánchez, S. (2004). Proceso de titulación “por tesis” en la División de Ciencias Forestales. U.A.Ch. 91 p. Scheffé, H. (1959). Analysis of variante. John Willey & Sons, Inc. 477 p Steel, R. y Torrie, J. (1988). Bioestadística. Principios y procedimientos. Segunda Edición (primera en español). Editorial McGraw-Hill, Méx. 622 p. http://es.openoffice.org/ (29 de septiembre de 2009) Wikimedia Foundation, Inc. http://es.wikipedia.org/wiki/openoffice.org (29 de septiembre de 2009)
153
15. APÉNDICE Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student. Tabla II. Cuantiles de la distribución F. Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student.
gl = v Valores de α
0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
1 63.66 31.82 12.71 6.31 3.08
2 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89
3 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64
4 4.60 3.75 2.78 2.13 1.53
5 4.03 3.36 2.57 2.02 1.48
6 3.71 3.14 2.45 1.94 1.44
7 3.50 3.00 2.36 1.89 1.41
8 3.36 2.90 2.31 1.86 1.40
9 3.25 2.82 2.26 1.83 1.38
10 3.17 2.76 2.23 1.81 1.37
11 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36
12 3.05 2.68 2.18 1.78 1.36
13 3.01 2.65 2.16 1.77 1.35
14 2.98 2.62 2.14 1.76 1.35
15 2.95 2.60 2.13 1.75 1.34
16 2.92 2.58 2.12 1.75 1.34
17 2.90 2.57 2.11 1.74 1.33
18 2.88 2.55 2.10 1.73 1.33
19 2.86 2.54 2.09 1.73 1.33
20 2.85 2.53 2.09 1.72 1.33
21 2.83 2.52 2.08 1.72 1.32
22 2.82 2.51 2.07 1.72 1.32
23 2.81 2.50 2.07 1.71 1.32
24 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32
25 2.79 2.49 2.06 1.71 1.32
26 2.78 2.48 2.06 1.71 1.31
27 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31
28 2.76 2.47 2.05 1.70 1.31
29 2.76 2.46 2.05 1.70 1.31
30 2.75 2.46 2.04 1.70 1.31
40 2.70 2.42 2.02 1.68 1.30
50 2.68 2.40 2.01 1.68 1.30
60 2.66 2.39 2.00 1.67 1.30
70 2.65 2.38 1.99 1.67 1.29
80 2.64 2.37 1.99 1.66 1.29
90 2.63 2.37 1.99 1.66 1.29
100 2.63 2.36 1.98 1.66 1.29
154
Tabla II. Cuantiles de la distribución F.
v2 Α v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0.1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19
0.05 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88
0.025 647.79 799.50 864.16 899.58 921.85 937.11 948.22 956.66 963.28 968.63
0.01 4052.18 4999.50 5403.35 5624.58 5763.65 5858.99 5928.36 5981.07 6022.47 6055.85
2
0.1 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39
0.05 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40
0.025 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40
0.01 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40
3
0.1 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23
0.05 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79
0.025 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42
0.01 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23
4
0.1 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92
0.05 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96
0.025 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84
0.01 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55
5
0.1 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30
0.05 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74
0.025 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62
0.01 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05
6
0.1 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94
0.05 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06
0.025 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46
0.01 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87
7
0.1 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70
0.05 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64
0.025 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76
0.01 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62
8
0.1 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54
0.05 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35
0.025 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30
0.01 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81
9
0.1 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42
0.05 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14
0.025 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96
0.01 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26
10
0.1 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32
0.05 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98
0.025 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72
0.01 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85
11
0.1 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25
0.05 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85
0.025 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53
0.01 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54
155
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación)
v2 α v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
0.1 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19
0.05 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75
0.025 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37
0.01 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30
13
0.1 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14
0.05 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67
0.025 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25
0.01 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10
14
0.1 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10
0.05 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60
0.025 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15
0.01 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94
15
0.1 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06
0.05 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54
0.025 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06
0.01 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80
16
0.1 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03
0.05 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49
0.025 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99
0.01 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69
17
0.1 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00
0.05 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45
0.025 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92
0.01 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59
18
0.1 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98
0.05 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41
0.025 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87
0.01 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51
19
0.1 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96
0.05 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38
0.025 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82
0.01 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43
20
0.1 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94
0.05 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35
0.025 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77
0.01 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37
21
0.1 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92
0.05 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32
0.025 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73
0.01 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31
22
0.1 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90
0.05 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30
0.025 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70
0.01 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26
156
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación)
v2 α v1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
23
0.1 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89
0.05 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27
0.025 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67
0.01 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21
24
0.1 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88
0.05 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25
0.025 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64
0.01 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17
25
0.1 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87
0.05 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24
0.025 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61
0.01 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13
26
0.1 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86
0.05 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22
0.025 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59
0.01 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09
27
0.1 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85
0.05 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20
0.025 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57
0.01 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06
28
0.1 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84
0.05 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19
0.025 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55
0.01 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03
29
0.1 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83
0.05 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18
0.025 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53
0.01 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00
30
0.1 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82
0.05 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
0.025 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51
0.01 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98
40
0.1 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76
0.05 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08
0.025 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39
0.01 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80
60
0.1 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71
0.05 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99
0.025 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27
0.01 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63
120
0.1 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65
0.05 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91
0.025 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16
0.01 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47
157
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación)
v2 α v1
11 12 15 20 24 30 40 60 120
1
0.1 60.47 60.71 61.22 61.74 62.00 62.26 62.53 62.79 63.06
0.05 242.98 243.91 245.95 248.01 249.05 250.10 251.14 252.20 253.25
0.025 973.03 976.71 984.87 993.10 997.25 1001.41 1005.60 1009.80 1014.02
0.01 6083.32 6106.32 6157.28 6208.73 6234.63 6260.65 6286.78 6313.03 6339.39
2
0.1 9.40 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48
0.05 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49
0.025 39.41 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49
0.01 99.41 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49
3
0.1 5.22 5.22 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14
0.05 8.76 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55
0.025 14.37 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95
0.01 27.13 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.22
4
0.1 3.91 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78
0.05 5.94 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66
0.025 8.79 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31
0.01 14.45 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56
5
0.1 3.28 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12
0.05 4.70 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40
0.025 6.57 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07
0.01 9.96 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11
6
0.1 2.92 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74
0.05 4.03 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70
0.025 5.41 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90
0.01 7.79 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97
7
0.1 2.68 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49
0.05 3.60 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27
0.025 4.71 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.20
0.01 6.54 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74
8
0.1 2.52 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32
0.05 3.31 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97
0.025 4.24 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73
0.01 5.73 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95
9
0.1 2.40 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18
0.05 3.10 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75
0.025 3.91 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39
0.01 5.18 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40
10
0.1 2.30 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08
0.05 2.94 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58
0.025 3.66 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.14
0.01 4.77 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00
11
0.1 2.23 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00
0.05 2.82 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45
0.025 3.47 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94
0.01 4.46 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69
158
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación)
v2 α v1
11 12 15 20 24 30 40 60 120
12
0.1 2.17 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93
0.05 2.72 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34
0.025 3.32 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79
0.01 4.22 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45
13
0.1 2.12 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88
0.05 2.63 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25
0.025 3.20 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66
0.01 4.02 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25
14
0.1 2.07 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83
0.05 2.57 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18
0.025 3.09 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55
0.01 3.86 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09
15
0.1 2.04 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79
0.05 2.51 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11
0.025 3.01 2.96 2.86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.46
0.01 3.73 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96
16
0.1 2.01 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75
0.05 2.46 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06
0.025 2.93 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38
0.01 3.62 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84
17
0.1 1.98 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72
0.05 2.41 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01
0.025 2.87 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32
0.01 3.52 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75
18
0.1 1.95 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69
0.05 2.37 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97
0.025 2.81 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.26
0.01 3.43 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66
19
0.1 1.93 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67
0.05 2.34 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93
0.025 2.76 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.20
0.01 3.36 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58
20
0.1 1.91 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64
0.05 2.31 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90
0.025 2.72 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16
0.01 3.29 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52
21
0.1 1.90 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62
0.05 2.28 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87
0.025 2.68 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11
0.01 3.24 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46
22
0.1 1.88 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60
0.05 2.26 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84
0.025 2.65 2.60 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08
0.01 3.18 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40
159
Tabla II. Cuantiles de la distribución F (continuación)
v2 α v1
11 12 15 20 24 30 40 60 120
23
0.1 1.87 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59
0.05 2.24 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81
0.025 2.62 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.04
0.01 3.14 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35
24
0.1 1.85 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57
0.05 2.22 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79
0.025 2.59 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01
0.01 3.09 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31
25
0.1 1.84 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56
0.05 2.20 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77
0.025 2.56 2.51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98
0.01 3.06 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27
26
0.1 1.83 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54
0.05 2.18 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75
0.025 2.54 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95
0.01 3.02 2.96 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23
27
0.1 1.82 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53
0.05 2.17 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73
0.025 2.51 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2.00 1.93
0.01 2.99 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20
28
0.1 1.81 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
0.05 2.15 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71
0.025 2.49 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91
0.01 2.96 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17
29
0.1 1.80 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51
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30
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40
0.1 1.74 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42
0.05 2.04 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58
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60
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120
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