Diseño de vigas

ESTRUCTURAS DE MADERA CAPÍTULO III

CAPITULO 3

DISEÑO DE VIGAS

Una viga es un elemento estructural que resiste cargas transversales. Generalmente, las

cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal de la viga. Las cargas

aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a

flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de

ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones.

3.1 PROPIEDADES DE LAS SECCIONES

Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles,

el comportamiento de un miembro estructural también depende de las dimensiones y la

forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades

de la sección.

3.1.1 Centroides.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual

se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la

resultante de su peso. El punto en un área plana que corresponde al centro de

gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce

como el centroide del área.

Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de

un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este

plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de

la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro.

3.1.2 Momento de inerciaEn la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el eje

horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir de la cara

superior. En la sección, a representa un área infinitamente pequeña a una distancia

z del eje X-X. Si se multiplica esta área infinitesimal por el cuadrado de su distancia

al eje, se obtiene la cantidad ( a x z2). El área completa de la sección estará

constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes

distancias por arriba y por debajo del eje X-X.

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA25


Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se

obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus

distancias a un eje.

Los dos ejes principales de la figura son X-X y Y-Y, pasan por el centroide de la

sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la

base es IX-X = bh3/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y = hb3/12.

3.1.3 Radio de Giro.-

Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada

con el diseño de miembros sujetos a compresión. Depende de las dimensiones y de

la forma geométrica de la sección y es un índice de la rigidez de la sección cuando

se usa como columna. El radio de giro se define matemáticamente como r= ,

Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en

centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y

el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no

se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de

acero estructural. Para las secciones rectangulares que se emplean comúnmente en

las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la

dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.


FIGURA 3.1

Ref.: Elaboración Propia


3.2 DEFLEXIONES ADMISIBLES

Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga,

vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero

debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establecidos. Es importante entender

que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo

flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que

aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las

depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o

ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos.

Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos:

a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio.

b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.

Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados

en la siguiente Tabla:

Carga Actuante (a) con cielo (b) sin cielo

raso de yeso raso de yeso

Cargas permanentes + sobrecargas L/300 L/250

Sobrecarga L/350 L/350

L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso

de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados cuando se tengan

cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en

otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b).

Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación

precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:

La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación.

El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un

valor aproximado.

Existen diferentes restricciones en la deformación estructural debido a la


Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-3 del “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”

TABLA 3.1: DEFLEXIONES MAXIMAS ADMISIBLES


distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no

estructurales de la construcción, etc.

Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin del grupo

de la madera estructural especificado.

Para entablados debe utilizarse el Epromedio, las deflexiones en viguetas y elementos similares

pueden también determinarse con el Epromedio, siempre y cuando se tengan por lo menos

cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga.

Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se

indican en la tabla 3.2.:

GRUPO A GRUPO B GRUPO C

Emínimo 95,000 75,000 55,000

Epromedio 130,000 100,000 90,000

3.3 REQUISITOS DE RESISTENCIA

3.3.1 Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas

externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción

dentro de la viga que resiste flexión y que se llama momento resistente.

Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo

generado por la carga. Si se desea diseñar una viga para resistir esta carga, se debe

seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales,

que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante

máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de la flexión.

Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:

Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la

inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la

distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el

esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibra

extrema (c).


TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2)



Para vigas rectangulares:

Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la

fibra extrema tendremos:

Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan

sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, fm,

para el grupo de madera especificado.

GRUPO A 210

GRUPO B 150

GRUPO C 100

]

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si

hay una acción de conjunto garantizada.

3.3.2 Corte.- Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un esfuerzo

cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer


TABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm2)


FIGURA 3.2 SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION



resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. En la figura 3.3a

se representa una viga con una carga uniformemente distribuida. Existe una

tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura

3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en forma

exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento

horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las

vigas de madera se deben al esfuerzo cortante horizontal, no al vertical. Esto es

verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor

en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas.

(a) (b) (c)

Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos

sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección

transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse

mediante:

En esta expresión se tiene:

τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección.

V= fuerza cortante vertical total en la sección elegida

S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección transversal.

I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje

neutro.

b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ.

Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al sustituir:


FIGURA 3.3 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE


FIGURA 3.4 GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UNA VIGA


Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible para

corte paralelo a las fibras, fv, del grupo de madera estructura especificado.

GRUPO A 15

GRUPO B 12

GRUPO C 8

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si

hay una acción de conjunto garantizada.

3.4 ESCUADRÍA ÓPTIMA

Se desea establecer una relación entre la base y la altura de una viga de sección rectangular,



TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm2)


FIGURA 3.5



de tal manera que la capacidad resistente de esta viga sea la mayor posible, de esta forma se

puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio.

Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que

generen el mayor momento de inercia posible.

Derivando la inercia en función de x:

Simplificando la

expresión:

Ahora se iguala a cero la expresión derivada, esto con el fin de encontrar el punto crítico, o

sea para maximizar la inercia:

Simplificando la expresión:



Reemplazando x en ecuación (1):

Ahora como entonces:

Y también como b = R:

3.5 VIGAS COMPUESTAS

3.5.1 Vigas reforzadas lateralmente con perfiles de acero


Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se

debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.

FIGURA 3.6


Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente

cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es

necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en

ambas caras tal como se observa en la figura. Algunas veces las condiciones arquitectónicas

de una estructura, obligan también a utilizar este procedimiento de refuerzo.

Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la

estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por cargas de larga

duración, que son posiblemente las más significativas.

Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos

que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad.

Espesores de las planchas:

e

No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio.

Principio: “La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”.

Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos


1/4’’

1/8’’

1/16”

1/32”



lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de

elasticidad, del acero Ea y de la madera Em. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de

acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre

siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado.

Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga q

uniformemente distribuida se tiene:

Flecha para la madera:

Flecha para el acero:

Entonces por el principio:

Entonces:

, donde

3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera

La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-perno. Estos

acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento

se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm:

60<h<80 cm.


FIGURA 3.7



10

[cm] b ;1"

20-15

[cm]h e t;5d ;

20-12

[cm]h t

El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos

valores referenciales han sido determinados experimentalmente (Norma Alemana DIN)

La separación “e” se deja para permitir aireación entre las vigas evitando de esta forma la

putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando

sea necesario.

La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y

el acero del perno no debe ser corrugado.

Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a

deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T1” de aplastamiento

sobre la penetración de la cuña en la madera.

Donde: σa = Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm2 - 50 k/cm2).

Cuando se apretan los pernos se generan las fuerzas “T2” sobre la cabeza de las cuñas,

experimentalmente se ha determinado que “T2” depende del diámetro () del perno:

Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera

para introducir los pernos, está presión esta representada por “T3”.

Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será:

T=T1+T2+T3

En esta suma T1 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando T2 y T3

como factores de seguridad.

Ahora determinaremos el número de cuñas:


FIGURA 3.8


Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre

vigas:

Entonces el número de cuñas será:

Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por T1.

Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno.

Ejemplo 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra

simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por

metro.




El esquema es el siguiente:

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera

del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

Grupo A (Almendrillo)

Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de

la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaciones:

Donde la primera ecuación es la relación de escuadría óptima, y la segunda ecuación es la

ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección,

entonces:

Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima:

Entonces:


210 k/cm2

15 k/cm2

E 95000 k/cm2

800 k/m3


Ahora se halla el momento producido por la carga viva:

Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor

de 2).Entonces la base será:

Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por

conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido

a que no se tomó en cuenta el peso propio:

El peso propio será:

Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.25 m = 30 k/m

La carga total será:

CT = 330 k/m

Las reacciones serán:

Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento

máximo se calcula con:

Diagrama de esfuerzos internos:


b =15 cm

h =25 cm

ESCUADRÍA:


FLEXIÓN :

Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.

El coeficiente de seguridad a la flexión será:

Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se

deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio.

CORTE:




El coeficiente de seguridad al corte será:

Este coeficiente es un valor aceptable.

DEFORMACION:

La deformación admisible será:

=

La flecha que produce la carga será:

Como este valor es mayor al admisible, entonces falla,

Los tres fenómenos (flexión, corte y deformación) no son aislados, se presentan

simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más

peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un

coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2.

Como la escuadría asumida es insuficiente:

AFINAMIENTO Para el afinamiento se va añadiendo de pulgada en pulgada.


Pp = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.35 m = 42 k/m

La carga total será:

CT = 342 k/m


b =15 cm

h =35 cm

ESCUADRÍA:


DEFORMACION :



El coeficiente de seguridad a la deformación será:

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado

de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple.

Nota.- La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para maderas).

Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no

hubiesen sido consideradas, o algunos defectos de la madera que se va a emplear.

Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo,

como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado

para así disminuir la deformación.

Ejemplo 2: Se dispone de madera del grupo A para construir una viga de puente, por el

puente transita el tren que se observa en la figura. Determine la escuadría de la viga.


Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A.


210 k/cm2

15 k/cm2

E 95000 k/cm2

750 k/m3


o Grupo A

Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo):

Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la

posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):

De los formularios de los anexos del capitulo 3:







Pp = 750 k/m3 . 0.125 m . 0.25 m = 23.44 k/m Pp=25 k/m

ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere los

esfuerzos máximos (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las dos cargas simétricas

respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia).


b =12.5 cm

h =25 cm

ESCUADRÍA:


FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por

tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro.

CORTE:

La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo),

por tanto el tren de cargas debe situarse:


555.46 k ۰ m

0 k ۰ m

562.50 k ۰ m

555.46 k ۰ m


→

DEFORMACIÓN:


;

COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA):

Flexión:

Cortante:

Deformación



La escuadría encontrada se encuentra dentro lo aceptable dentro del marco de la

seguridad(pero es antieconómico, en lo posible procurar afinar lo mas cercano al

coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el

cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez

más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el

concreto ni en el acero).

Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA

Madera Grupo: B



A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero

procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier

afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha sido adecuadamente estimada.

Existen dos posibilidades para estimar la carga:

Se considerará el efecto arco con:

Cálculo de h:



Con un = 60º:

Cálculo del área:

Cálculo de x:

Para el ladrillo:

Para el mortero:

Peso total:

Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud:

Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel:

Entonces:



Ahora se halla el momento producido por la sobrecarga:






Peso propio de la madera:

Carga total:

FLECHA:



El coeficiente de seguridad a la deformación será:

Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado

de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca

de bajar los costos).


b =10 cm

h =17.5 cm

ESCUADRÍA:


DETALLE CONSTRUCTIVO:

Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm

Por razones teóricas : base de dintel = 5cm

Profundidad de clavo : prof. = 18 cm

Ejemplo 4: Determinar la escuadría de madera para la viga AB, y determinar si

corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y

por consiguiente de poco diámetro.

A

q =1 t/m

B

7.0 m

Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este caso se usará madera

del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO.

Grupo A (Almendrillo)


210 k/cm2

15 k/cm2

E 95000 k/cm2

800 k/m3


Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de

la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven:


Pp = 800 k/m3 . 0.175 m . 0.30 m ≈ 42 k/m

La carga total será (sin acero):

qT = 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m

Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera:

DEFORMACION:

La deformación admisible será:

=

El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo se asume un valor de 1.6,

por lo tanto:


qT > qm REFORZAR

qa= 1042 – 190 = 852 k/m

Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga


b =17.5 cm

h =30 cm

ESCUADRÍA:


total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan

grande la carga que debe asumir el acero en proporción a la madera (relación aproximada

de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero

puro). Generalmente un buen refuerzo de acero debe cubrir como máximo el 50% de la

carga total.

Elegimos el uso de planchas para el refuerzo:

Ahora se debe elegir espesor de plancha:

El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero.

La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el

proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero.

Pp = 2. 0.0064 m . 0.53 m. 7850 k/m3 = 53.25 k/m

qTOTAL≈ 1100 k/m

Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso

diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la anterior carga total y con esta

aproximación sacaremos los valores de la base y la altura de la viga.



Sustituyendo la relación de escuadría óptima:

Entonces:

Pp = 800 k/m3 . 0.25 m . 0.45 m = 90 k/m

La carga total será (sin acero):

qT = 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m


qT > qm REFORZAR

qa= 1090 – 917 = 173 k/m

Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en

cuenta todavía el peso del acero.

En la anterior ecuación se esta mayorando en un 15% la carga del acero con objeto de

tomar en cuenta el peso propio del mismo.

Aunque los elementos del detalle constructivo se estudiarán de forma más profunda en los

próximos capítulos, a manera de introducción se presenta los detalles de unión de viga


b =25 cm

h =45 cm

ESCUADRÍA:

Longitud perno = 30 cm.

Diámetro perno = ½”


reforzada.

Se usarán:

Pernos

La plancha de acero se extenderá una distancia “d” a cada lado del centro línea de la viga,

esta distancia puede calcularse exactamente de la teoría de las deformaciones, sin embargo

se tiene:

Se puede determinar exactamente esta distancia por la teoría de las deformaciones:

Donde:

Para la condición de carga, el momento en función de x será:

Entonces:

Integrando:

Luego:

Hallamos C1 y C2 con las condiciones de borde:

C2=0

La ecuación general de la elástica será:



Ahora se debe hallar a que distancia “x” la madera se deforma 1.59 cm. bajo la aplicación

de la carga total qTOTAL = 1090 k/m.

Entonces reemplazando en la ecuación de la elástica:

Resolviendo la ecuación polinomial:

De las cuales se descartan las dos últimas por ser soluciones incoherentes. Entonces “d”

será igual:

Usamos el mayor entre el calculado y el valor referencial dado anteriormente.

d =128.6 ≈ 130 cm.

La separación entre pernos será de 10 cm.



ESQUEMA ESTRUCTURAL



SECCION TRANSVERSAL:

Ejemplo 5: Sobre la viga de puente transita un vehículo liviano. Representado por el tren

de cargas. Determinar la escuadría de la viga utilizando madera el grupo A.




La escuadría máxima que se puede encontrar en los aserraderos es:


Pp = 800 k/m3 . 0.225 m . 0.45 m = 81 k/m Pp=81 k/m

qTOTAL= (250+81) = 331 k/m

Entonces:

;

Ya que el fenómeno más desfavorable para la madera es la deformación, y estando su

coeficiente de seguridad en un buen margen, suponemos que cumplirá los requisitos de

flexión y corte, sin embargo se recomienda hacer la verificación de estos.


b = 22.5 cm

h = 45 cm

ESCUADRÍA:


La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero, por tanto

la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección cuadrangular:

Sustituyendo los valores referenciales obtenemos:

Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas:

Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la posición más

desfavorable del tren de carga:


3764.41 k ۰ m

0 k ۰ m

3764.41 k ۰ m

3764.41 k ۰ m


El momento máximo lo tendremos al centro del tramo:

Entonces la fuerza horizontal será:

Colocado de cuñas:

La ordenada correspondiente al máximo momento se divide entre el número de cuñas sin

tomar en cuenta los extremos. De cada punto se dirige una paralela al eje x hasta cortar la

curva de momentos. De los puntos de corte se suspenden rectas hasta cortar la curva de

cortantes, estableciendo en la gráfica de cortantes las áreas que se observan en la figura. Se


4023 k ۰ m


identifica el centro de gravedad de cada área; de este punto se suspende una recta hasta

cortar a la viga y en cada punto de corte se introduce una cuña.

Entre cuña y cuña en el punto medio se dispondrá de un perno, se empezará con un perno

situado entre el apoyo y la primera cuña. Se recomienda ubicar siempre una cuña donde el

momento es máximo.

Si la distancia entre cuñas “s” <20 cm. entonces se deberá buscar una mayor escuadría, en

caso de columnas se dispondrán cuñas verticales.

A partir del centro de línea hacia la derecha se dispondrá del mismo número de cuñas y de

posición simétrica.

EJERCICIO PROPUESTO.-

En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos:

o Deflexión Admisible

o Módulo de Elasticidad Axial: Emínimo

o Módulo de Elasticidad Axial: Epromedio

o Sección Óptima

o Vigas reforzadas con perfiles de acero

o Vigas Acopladas

PROBLEMA PROPUESTO.-

Diseñar la siguiente Viga reforzada con una plancha de acero para las condiciones de

apoyo y cargas que se muestran en la figura. La madera corresponde al Grupo A.

Discutir los resultados en clase.



h

b

A

q = 0.5 t/m

B

4.5 m

Resolver el siguiente problema: “Un albañil usa una tabla (de 40x10cm) de madera para

poder pasar de un lado a otro, lleva consigo una carretilla, en la cual trae bolsas de

cemento. Suponiendo que el albañil pesa 60 kilogramos, el peso de la carretilla de 25

kilogramos. Se pide dibujar una grafica de la cantidad de bolsas de cemento (enteras)

que se puedan cargar en función de la longitud de la tabla (cada 25 cm). Suponer el

esquema como una carga puntual, y simplemente apoyado; y considerar un coeficiente

de seguridad a la deformación mínimo de 1.8. La madera pertenece al grupo B.”


Diseño de vigas

Engineering

Transcript of Diseño de vigas