Diseño de experimentos - fcn.unp.edu.ar±o_I.pdf · Diseño de experimentos Consiste en planear y...
Transcript of Diseño de experimentos - fcn.unp.edu.ar±o_I.pdf · Diseño de experimentos Consiste en planear y...
Diseño de experimentos
¿Por qué diseñar experimentos?
Exploración: cuáles factores son importantes para realizar exitosamente un proceso
Optimización: cómo mejorar un proceso
Ahorro de tiempo: predicción
Modelado cuantitativo: obtención del modelo matemático de un sistema
Quimiometría
Diseño de experimentos
Mejor estrategia da la mayor cantidad de información o la
información deseada con un costo mínimo (no necesariamente el
menor número de experimentos)
Quimiometría
Ejemplo:
Estudiar el rendimiento de una reacción como función de:
la concentración
el pH
¿Estrategia?
Quimiometría
Estrategia (un factor a la vez):
se comienza eligiendo una concentración dada
variar el pH
Quimiometría
Si se comienza eligiendo una concentración 2 mM y variando el pH:
Óptimo: pH 3,4
Quimiometría
Si se varía la concentración a pH 3,4:
Variación del rendimiento versus concentración a pH 3,4
Óptimo: concentración 1,4 mM
Quimiometría
Rendimiento de una reacción como función de la concentración y el pH
Óptimo rendimiento a:
pH: 4,4
concentración: 1,0 mM
Quimiometría
Óptimo empleando DOE: pH 4,4 y concentración 1,0 mM
Óptimo hallado variando un factor a la vez: pH 3,4 y 1,4 mM
¿Problema?
La influencia del pH y la concentración sobre el rendimiento no son independientes
Quimiometría
interacción
Diseño de experimentos
Consiste en planear y realizar un conjunto de pruebas con el
objetivo de generar datos que, al ser analizados
estadísticamente proporcionen evidencias objetivas que
permitan responder a los interrogantes planteados por el
experimentador sobre determinada situación
Trata con fenómenos que son observables y repetibles
Quimiometría
Diseño de experimentos
Breve historia
1920-1930 R. A. Fisher: propone los tres principios básicos del diseño de experimentos (agricultura)
1950s G. Box y K. Wilson: desarrollan la metodología de superficie de respuesta (industria química)
1980s G. Taguchi: diseños robustos (insensibles a osciliaciones en las variables ambientales) de alto impacto en la industria
Quimiometría
Diseño de experimentos
Trata con fenómenos que son observables y repetibles
Principios básicos del diseño:
Aleatorización
Repetición
Bloqueo
Quimiometría
Diseño de experimentos: Principios básicos
Aleatorización: consiste en hacer las corridas experimentales en orden aleatorio (al azar).
previene la existencia de sesgo (dependencia de los errores)
evita la dependencia entre las observaciones
aumenta la probabilidad de que las pequeñas diferencias provocadas por factores no controlados se repartan de manera homogénea
valida muchos de los procedimientos estadísticos más comunes
Quimiometría
Diseño de experimentos: Principios básicos
Repetición: consiste en realizar más de una vez un tratamiento o combinación de factores (cuando corresponda de acuerdo con la aleatorización).
permite medir el error experimental
permite que los efectos de las variables incontroladas se compensen
Quimiometría
Diseño de experimentos: Principios básicos
Bloqueo: es dividir las unidades experimentales en grupos (bloques) de modo que las observaciones realizadas en cada bloque se realicen bajo condiciones experimentales lo más parecidas posibles
permite convertir la variabilidad sistemática no planificada
en variabilidad sistemática planificada
Quimiometría
Diseño de experimentos: Etapas
reconocer y/o delimitar el problema
seleccionar la(s) variable(s) de respuesta
elegir los factores, niveles y rangos
elegir el diseño experimental
planeamiento previo a los
experimentos
Quimiometría
Diseño de experimentos: Etapas
realizar los experimentos
analizar estadísticamente los datos (ANOVA)
interpretación
conclusiones y recomendaciones
Quimiometría
Diseño de experimentos: Un ejemplo
Objetivo: obtener el peso de 3 objetos A, B y C → ¿w1, w
2, w
3?
Medios: balanza con dos platillos, costo 100 $/lectura
Quimiometría
Diseño de experimentos: Un ejemplo
Método: 1 experimento ↔ 1 pesada ↔ 1 lectura↓
1 resultado experimental o respuesta yi
Error experimental yi = w + e
i
Varianza: medida de la dispersión de yi alrededor de w
i → calidad
var(yi) = s2
↓menor s2 ↔ mejor precisión y
i
Quimiometría
Diseño de experimentos: Un ejemplo
Estrategia 1
1° pesada: ningún objeto en la balanza 2° pesada: A 3° pesada: B en el mismo platillo 4° pesada: C
costo 400 $
¿Mejor estrategia?
Quimiometría
Estrategia 1
Exp. N° A B C resultado
1 0 0 0 y1
2 1 0 0 y2
3 0 1 0 y3
4 0 0 1 y4
matriz experimental
Quimiometría
Estrategia 1
Información obtenida: estimación de los pesos ( ŵ)
y1= ŵ
0
y2= ŵ
0 + ŵ
1ŵ
1= y
2 - y
1
y3= ŵ
0 + ŵ
2 → ŵ
2= y
3 - y
1
y4= ŵ
0 + ŵ
3 ŵ
3= y
4 – y
1
Calidad de la información obtenida: error, precisión
var (ŵ1) = var (y
2 – y
1) = var (y
2) + var( y
1) = s2 + s2 = 2s2
Quimiometría
Estrategia 2
Exp. N° A B C resultado 1 0 0 0 y
1
2 1 1 0 y2
3 1 0 1 y3
4 0 1 1 y4
y1= ŵ
0
y2= ŵ
0 + ŵ
1 + ŵ
2 ŵ
1= (y
2 + y
3 - y
1- y
4)/2
y3= ŵ
0 + ŵ
1 + ŵ
3 → ŵ
2= (y
2 + y
4 - y
1- y
3)/2
y4= ŵ
0 + ŵ
2 + ŵ
3 ŵ
3= (y
3 + y
4 - y
1- y
2)/2
var (ŵ1) = ¼ (4s2 ) = s2
Quimiometría
Estrategia 3
usar los dos platillos D(+1); I(-1)
Exp. N° A B C resultado 1 +1 +1 +1 y
1
2 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 -1 y4
Quimiometría
DI
Estrategia 3
usar los dos platillos D(+1); I(-1)
y1= ŵ
0 + ŵ
1 + ŵ
2+ ŵ
3
y2= ŵ
0 - ŵ
1 + ŵ
2+ ŵ
3ŵ
1= (y
1 - y
2)/2
y3= ŵ
0 + ŵ
1 - ŵ
2+ ŵ
3 → ŵ
2= ( y
1- y
3)/2
y4= ŵ
0 + ŵ
1 + ŵ
2 - ŵ
3 ŵ
3= (y
1- y
4)/2
var (ŵ1) = ¼ (2s2 ) = s2/2
Quimiometría
Estrategia 4
Exp. N° A B C resultado 1 -1 -1 -1 y
1
2 -1 +1 +1 y2
3 +1 -1 +1 y3
4 +1 +1 -1 y4
D (+1); I (-1)
Quimiometría
Estrategia 4
y1= ŵ
0 - ŵ
1 - ŵ
2 - ŵ
3
y2= ŵ
0 - ŵ
1 + ŵ
2+ ŵ
3ŵ
1= (-y
1 – y
2 +
y
3 + y
4)/4
y3= ŵ
0 + ŵ
1 - ŵ
2+ ŵ
3→ ŵ
2= ( -y
1 + y
2 -
y
3 + y
4)/4
y4= ŵ
0 + ŵ
1 + ŵ
2 - ŵ
3 ŵ
3= (-y
1 + y
2 +
y
3 - y
4)/4
var (ŵ1) = 1/16 (4s2 ) = s2/4
↓con 4 experimentos → 400 $ → ¿mejor estrategia?
var (b) = s2
N para las matrices experimentales →
Quimiometría
Diseño de experimentos: clasificación
¿Objetivo del experimento?
Diseños para:
comparar dos o más tratamientos: diseño completamente al azar,
cuadros latinos.
estudiar el efecto de varios factores sobre la(s) respuesta (s):
diseños factoriales.
Quimiometría
Diseño de experimentos: clasificación
¿Objetivo del experimento?
Diseños para:
optimizar un proceso: diseños factoriales, diseño central
compuesto, diseño de Box-Behnken, diseño simplex
optimizar una mezcla: diseño simplex reticular, simplex con
centroide, axial
. . .
Quimiometría
Diseño de experimentos: Modelos lineales
y = b0 + b
1 x
1 + b
2 x
2 + .... + b
j x
j + ... b
N-1 x
N-1
Factoriales completas (2k)
Factoriales fraccionarias (2k-p), Diseños de Plackett-Burman
Diseños de Taguchi
Quimiometría
Diseño de experimentos: Modelos cuadráticos
y = b0 + b
1 x
1 + b
2 x
2 + .... + b
kx
k + b
12 x
1 x
2 + ......... + b
(k-1) k x
k-1 x
k
Factoriales (3k y 3k-p)
Centrales compuestas (Box y Wilson)
Box y Behnken
Doelhert
Quimiometría
Diseño de experimentos: Mezclas
serie de factores cuyo total es una suma constante
Simplex reticular
Simplex con centroides
Diseño con restricciones
Diseño axial
Quimiometría
Diseños factoriales
factores, Uj: variables naturales cuyos valores se pueden controlar
(cualitativos o cuantitativos) → variables codificadas (reducidas y centradas)
efecto, b
j: cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el
nivel del factor
nivel: categoría de un factor
Quimiometría
Diseños factoriales
Estudio cuantitativo de factores:
efectos principales (bj)
interacciones (bji)
si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles
número de experimentos (N) para k factores N = 2k
↓ 2 niveles
Quimiometría
Diseños factoriales
N = 2k
k efectos principales
(2k - k - 1) interacciones
Quimiometría
si k = 2 matriz 22 4 experimentos
QuimiometríaDiseños factoriales
X1
X2
X2 X1
k factores interacciones de orden q
interacciones de qvo orden entre (q+1) factores
Quimiometría
Diseños factoriales
si k = 7 matriz 27 128 experimentos
q = 1 interacciones de primer orden:
C = = 21 q = 2 interacciones de segundo orden ....
27
7(7-1) 2
Quimiometría
Diseños factoriales
las interacciones entre 3 factores son escasas
las interacciones entre 4 son despreciables
es posible disminuir N sin disminuir k
Quimiometría
Diseños factoriales
si k = 3 matriz 23 8 experimentos
matriz experimental
matriz del modelo
Quimiometría
promedio de las medidas
DISEÑO 23Quimiometría
Un ejemplo: Diseños factoriales completos
Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico
Factores que podrían afectar el rendimiento son: pH
intensidad de la lámpara (W/m2)
fuerza iónica (M)
[catalizador] (µM)
si se establecen dos posibles niveles por factor: 24 = 16 combinaciones
Quimiometría
Un ejemplo: Diseños factoriales completos
Combinaciones - : menor nivel + : mayor nivel
Variable Nombre - +A pH 4 6
B Intensidad (W/m2) 1000 2000
C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75
D [catalizador] (mM) 0,1 1,0
Quimiometría
DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITAB
Quimiometría
pH luz FI [cat] pH luz FI [cat] %rendimiento
variables codificadas
respuesta
Quimiometría
Evaluación de los datos
¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?
Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)
Quimiometría
Estimated Effects and Coefficients for % (coded units)
Term Effect CoefConstant 50.250A 2.750 1.375B 19.500 9.750C 1.500 0.750D -14.500 -7.250A*B 2.250 1.125A*C -0.250 -0.125A*D -2.750 -1.375B*C 1.500 0.750B*D 5.500 2.750C*D 3.000 1.500A*B*C 1.250 0.625A*B*D -1.250 -0.625A*C*D 0.750 0.375B*C*D -3.000 -1.500A*B*C*D -0.750 -0.375
Gráfico de probabilidad normal de los efectos
efecto
score
A pH
B Intensidad (W/m2)
C Fuerza iónica (M)
D [catalizador] (mM)
Quimiometría
Term
Effect
ACACD
ABCDABDABC
CBCABA
ADBCDCDBDDB
20151050
5.78
Pareto Chart of the Effects(response is %, Alpha = .05)
Lenth's PSE = 2.25
Quimiometría
Efectos principales
%
pH luz fuerza iónica [catalizador]
Quimiometría
A
1-1 1-1
60
45
30
60
45
30
B
C
60
45
30
1-1
60
45
30
1-1
D
-11
A
-11
B
-11
C
-11
D
Interacciones QuimiometríaInteracciones
Evaluación de los datos
Ventajas:
¿cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento?
se puede proponer un modelo del tipo
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2
Quimiometría
Evaluación de los datos
Dificultades:
el diseño no tiene réplicas
no se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos.
Quimiometría
Evaluación de los datos
Dificultades:
cada variable se probó sólo con dos niveles
problema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x
j
2)
probar 3 niveles: 3k en este ejemplo: k=4 ¡81 experimentos!
se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta
Quimiometría
Diseño factorial con réplicas
Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el
funcionamiento de un plasma empleado para grabados.
con dos niveles
Factor -1 +1
A (distancia, cm) 0,8 1,20
B (flujo gas, cm3/min) 125 200
C (potencia, W) 275 325
Quimiometría
Diseño factorial con réplicas
23 = 8 combinaciones
con dos réplicas: 16 experimentos
respuesta: velocidad de grabado para nitruro de silicio (Å/m)
Quimiometría
Diseño factorial con réplicas
respuesta: velocidad de grabado (I y II)
A B C I II- - - 550 604
+ - - 669 650
- + - 633 601
+ + - 642 635
- - + 1037 1052
+ - + 749 868
- + + 1075 1063
+ + + 729 860
Quimiometría
Diseño factorial con réplicas
16 experimentos
en orden estándar
¡¡hacer en orden aleatorio!!
Orden A B C velocidad1 -1 -1 -1 5502 1 -1 -1 6693 -1 1 -1 6334 1 1 -1 6425 -1 -1 1 10376 1 -1 1 7497 -1 1 1 10758 1 1 1 7299 -1 -1 -1 60410 1 -1 -1 65011 -1 1 -1 60112 1 1 -1 63513 -1 -1 1 105214 1 -1 1 86815 -1 1 1 106316 1 1 1 860
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB
el efecto C (potencia) domina el proceso
el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también
son estadísticamente significativos (valores de P pequeños P < 0,05)
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicasEstimated Effects and Coefficients for v (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T P
Constant 776,06 11,87 65,41 0,000
A -101,62 -50,81 11,87 -4,28 0,003
B 7,37 3,69 11,87 0,31 0,764
C 306,13 153,06 11,87 12,90 0,000
A*B -24,88 -12,44 11,87 -1,05 0,325
A*C -153,63 -76,81 11,87 -6,47 0,000
B*C -2,12 -1,06 11,87 -0,09 0,931
A*B*C 5,62 2,81 11,87 0,24 0,819
el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráfico de Pareto los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos
Term
Standardized Effect
BC
ABC
B
AB
A
AC
C
14121086420
2,31
A AB BC C
Factor Name
Pareto Chart of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel) los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos
Standardized Effect
Perc
ent
151050-5
99
95
90
80
70
60504030
20
10
5
1
A AB BC C
Factor Name
Not SignificantSignificant
Effect Type
A C
C
A
Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is v, Alpha = ,05)
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráficos factoriales
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
empleando MINITAB: gráficos factoriales
A
B
C
1-1 1-1
1000
800
600
1000
800
600
-11
A
-11
B
Interaction Plot (data means) for v
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
gráficos de superficie de respuesta: se pueden sugerir las mejores
condiciones analizando las curvas de nivel
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
modelo para predecir la velocidad de grabado
ŷ = b0 + b
1 x
1+ b
2 x
2 + b
3 x
3 + b
12 x
1x
2 + b
13x
1x
3 + b
23x
2x
3 + b
123 x
1 x
2x
3
velocidad = 776,6 - 50,81x1 + 153,06x
3 -76,81 x
1x
3
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
análisis de regresión (para el modelo completo):
S = 47,4612
desviación estándar
R-Sq = 96,61%
el modelo explica un 96,61 % de la variabilidad observada
(problema: R2 aumenta al aumentar el número de factores, aunque
no sean significativos)
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
análisis de regresión (para el modelo completo):
S = 47,4612
desviación estándar
R-Sq(adj) = 93,64%
R2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se
agregan factores no significativos
se puede volver a calcular con el modelo reducido
Quimiometría
Análisis del diseño factorial con réplicas
al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos
Analysis of Variance for v (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MSMain Effects 3 416378 416378 1387932-Way Interactions 3 96896 96896 322993-Way Interactions 1 127 127 127Residual Error 8 18020 18020 2253 Pure Error 8 18021 18021 2253Total 15 531421
Source F PMain Effects 61,62 0,0002-Way Interactions 14,34 0,0013-Way Interactions 0,06 0,819Residual Error Pure ErrorTotal