DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SIN TABLA

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

Soluciones:

El número de aciertos de k es 6. Esto es x=6

El número de experimentos n son 10

La probabilidad de éxito p, es decir, que salga “cara” al lanzar la moneda es un 50% o

un 0.50

La fórmula quedaría

P (k=6) = 0.205

Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de

20.5%

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el numero 3 al lanzar un

dado ocho veces?

Soluciones:

El número de aciertos k es 4 esto es x=4

El número de experimentos n son 8

La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1/6 =

(0.1666)

La fórmula queda

P (k=4)= 0.026

Es decir, que la probabilidad de que salga cuatro veces el numero 3 al tirar un dado 8

veces es de 2.6%

3. En una cierta comarca, el 30% del ganado está afectado de una enfermedad

E. Si se considera un grupo de 20 reses. ¿Cuál es la probabilidad de que

haya 5 enfermas? Y ¿de qué haya 15 sanas?

Soluciones:

X=número deresesafectadas por E de entre20. X ϵ B (20 ;0,3 )

P ( X=5 )=(205 )(0.3)5(0.7)15=0.1785

La segunda pregunta es la misma.

P ( X=5 )=(2015)(0,7)15×(0,39)5=0.1789

4. . Se extraen cinco cartas de una baraja española con reemplazamiento. ¿Cuál

es la probabilidad de que dos sean espadas?

Soluciones:

X=número deespadas entrecinco cartas , X ϵ B (5 ;1

14 )

P ( X=2 )=(52)=( 1

4)

2

( 34 )

3

= 2701024

=0,2636

5. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de

las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había

preparado en la materia responde completamente al azar marcando una

respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más

preguntas.

Soluciones:

Se trata de una distribución binomial, B(n, p), con n = 6,

p = acierto = 0,25 y q = fallo= 0,75.

Como se sabe, para la B(n, p), la probabilidad de x aciertos en n intentos es:

P ( X=x )=(nx )× px ×qn−x

Si nos piden que acierte 4 o más preguntas podemos resolver de dos formas:

FORMA 1 P ( X ≥ 4 )=1−[ P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )+P ( x=3 ) ]

FORMA 2 P ( X ≥ 4 )=P ( X=4 )+P ( X=5 )+P ( X=6 )

Para este caso vamos a desarrollar con la forma 2

P ( X ≥ 4 )=P ( X=4 )+P ( X=5 )+P ( X=6 )

P ( X ≥ 4 )=0.03295+0.00439+0.00024

P ( X ≥ 4 )=0.03758

Rpta: la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas es de 3.758%

Pero si nos piden que como máximo acierte cuatro preguntas en este caso se

tendría dos posibilidades de resolver

FORMA 1 P ( X ≤ 4 )=P ( X=0 )+P ( X=1 )+P ( X=2 )+P ( x=3 )+P ( X=4 )

FORMA 2 P ( X ≤ 4 )=1−[ P ( X=5 )+P ( X=6 ) ]

Aprovechando los resultados anteriores lo resolveremos con la forma 2

P ( X ≤ 4 )=1−[ P ( X=5 )+P ( X=6 ) ]

P ( X ≤ 4 )=1−[ 0.00439+0.00024 ]

P ( X ≤ 4 )=0.99537

Rpta: la probabilidad de que acierte como máximo 4 preguntas es de 99.537%

6. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es de 0.4. Si lo

intenta 5 veces calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3

veces.

Soluciones:

n=5

p=0.4

q=0.6

P ( x )= n!(n−x ) !× x!

× px × qn−x

En este caso:

P ( x≥ 3 )=P ( x=3 )+P ( x=4 )+P ( x=5 )=¿

P ( x≥ 3 )= 5 !(2 ) !×3 !

×(0.4)3× (0.6 )2+ 5 !(1 )!× 4 !

×(0.4)4 × (0.6 )1+ 5 !( 0 )!× 5 !

×(0.4)5 × (0.6 )0

P ( x≥ 3 )=0.2304+0.0768+0.01024=0.31744

La probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces es de 31,744%.

7. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige

una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite,

devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación

típica

Soluciones

B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3

8. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en

una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta

afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que

aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes

sucesos?

a. Ningún paciente tenga efectos secundarios

b. Al menos dos tengan efectos secundarios

c. ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera

laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100

pacientes al azar?

Soluciones:

a. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

b. Al menos dos tengan efectos secundarios.

c. ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio

que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

P ( X ≥5 )=0.62304

9. Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o

falso ¿Cuál es la probabilidad de que acierte 4? ¿Cuál es la probabilidad de

que acierte dos o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que acierte cinco o más? ¿Cuánto valen la media y la

varianza del número de preguntas acertadas?

Soluciones:

La distribución del número de aciertos será una distribución Binomial de parámetros n

= 8 y p = 1/2, en consecuencia:

Pr (B=4 )=( 84 ) . 54 .54= 70

256=0,273

Para resolver los dos apartados siguientes calculamos previamente

Pr (B=0 )=( 80 ) .50 .58= 1

256=0,004

Pr (B=1 )=( 81 ) .51 .57= 8

256=0,031

Pr (B=2 )=( 82 ) .52 .56= 28

256=0,109

Pr (B=3 )=( 83 ) .53 .55= 56

256=0,219

En consecuencia

PrB 2PrB0PrB 1PrB 20,004 0,031 0,109 0,144

PrÇ 51 PrÇ 41 0,004 0,031 0,109 0,219 0,2730,364

La media y la varianza se obtienen aplicando la expresión obtenida de forma

general para la media y la varianza de una distribución Binomial:

E[] = n · p = 8 · 0,5 = 4 y Var[] = n · p · q = 8 · 0,5 · 0,5 = 2

10. Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en

contacto con un portador de la enfermedad. La probabilidad de que la

enfermedad se contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0.1.

Cuál es la probabilidad de que se contagien 8 personas.

Soluciones:

Éxito = 0.1

Fracaso = 0.9

Reemplazando los valores e la fórmula:

P ( X=8 )=(108 )× 0.18× 0.910−8

P ( X=8 )= 10 !8 !×2 !

× 0.18 ×0.92

P ( X=8 )=45× 0.18 ×0.92

P ( X=8 )=3,645 ×10−7