Líneas de Influencia

Propiedades de líneas de InfluenciaValor Máximo de las accionesAplicación a vigas y armaduras isostáticasLíneas de influencia en estructuras hiperestáticasPrincipio de Maller-Breslau

DEFINICIÓNEn la mayor parte de las estructuras las cargas exteriores actuantes tienen un único punto de aplicación fijo. Sin embargo hay también muchos casos en los que el punto de aplicación de alguna fuerza puede variar a lo largo de la estructura: por ejemplo un puente recorrido por un vehículo, o una viga carril sobre la que apoya una grúa. En estos casos los esfuerzos y deformaciones en la estructura dependen de la posición que ocupa la carga, y en particular el valor máximo de cada uno de ellos se produce en una cierta posición, en principio desconocida, de la carga. Al ser las cargas móviles se requiere por lo tanto un análisis más complejo que en el caso de cargas fijas, y para ello se utilizan las líneas de influencia.

Se define la línea de influencia de un esfuerzo o de una deformación como la función que proporciona la variación de dicho esfuerzo o deformación, para las distintas posiciones de la carga móvil a lo largo de la estructura, y para un valor unitario de dicha carga. Por lo tanto hay una línea de influencia para cada esfuerzo o deformación de la estructura, y para cada carga móvil distinta que actúe sobre ella. Todas las líneas de influencia se expresan en función de algún parámetro que define la posición de la carga móvil en su trayectoria.

Ejemplo. Considérese una viga biapoyada con una carga vertical móvil F.

El valor de la reacción en A, es R=F(L-Z)/L

La línea de influencia de la reacción en A es la función que define el valor de dicha reacción para un valor unitario de la fuerza móvil. Representa, para una abscisa determinada, el valor de la reacción R , al aplicar la carga unitaria en dicha abscisa.

LI(RAA)=1-Z/L

Por medio del estudio de las líneas de influencia se puede determinar cual es la posición más desfavorable de la carga para el esfuerzo o la deformación estudiados, así como dicho valor máximo.Los primeros estudios sobre líneas de influencia para esfuerzos se deben a Winkler en 1868, quien posteriormente las aplicó al diseño de puentes en 1872. Al mismo tiempo Mohr presentó en 1868 el concepto de línea de influencia de una deformación, como resultado de sus estudios sobre la deformada elástica de una viga.

zF

A B A B

LI(R )A

1

Los supuestos básicos que se emplean para estudiar las líneas de influencia son:

Estructura con material elástico y lineal, con lo que es aplicable el principio de superposición.

Una sola fuerza móvil de módulo unidad. Este supuesto se introduce para facilitar el estudio inicial, pero más adelante se estudian otros tipos de cargas.

La carga es móvil sobre una trayectoria que se supone en principio recta, pero más adelante se verá que puede ser de forma cualquiera.

La carga móvil mantiene siempre la misma dirección y sentido de aplicación, es decir que se traslada paralelamente a sí misma y no gira. Más adelante se verá que esta condición tampoco es indispensable.

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS ISOSTÁTICAS

En las vigas estáticamente determinadas, es posible calcular cualquier esfuerzo interno de la misma, utilizando nada más que las ecuaciones de equilibrio estático, por lo que éstas son suficientes para hallar cualquier línea de influencia.

El proceso de cálculo suele consistir en determinar inicialmente las líneas de influencia de las reacciones en los apoyos, y posteriormente las de los esfuerzos internos, que se calculan con más facilidad cuando se conocen las reacciones.

Ejemplo. Sea una viga con dos apoyos y un voladizo, recorrida por una carga unitaria vertical, como se indica en la figura.

La línea de influencia de la reacción en A, supuesta positiva hacia arriba, se obtiene tomando momentos respecto de B

z

2 m 10 m

A BC

1

La línea de influencia de la reacción en B, supuesta asimismo positiva hacia arriba, se obtiene del equilibrio vertical del conjunto.

Para hallar la línea de influencia del cortante en C se aísla el tramo izquierdo o derecho de la viga, según interese.

Si la carga está a la izquierda de C, se aísla

Para el momento flector en C se aplica la misma técnica

R zA

12

10

AB

6/5 1

LI(R )A

R R zB A

1 210

AB

-1/51

LI(R )B

tramo derecho de la viga. Q R

zzC B

210

0 7

Si la carga está a la derecha de C, se aísla eltramo izquierdo de la viga.

Q Rz

zC A

12

107 12

AB

-1/5

1/2LI(Q )C

-1/2

C

Si la carga está a la izquierda de C, se aísla eltramo derecho.

M R z zC B

5 2

20 7

Si la carga está a la derecha de C, se aísla eltramo izquierdo.

MRL z zC A

12

27 12

AB

-1

5/2

LI(M )C

C

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN CELOSÍAS ISOSTÁTICAS

En este caso las líneas de influencia no son continuas, ya que las cargas sólo pueden estar situadas en los nudos. Como las diversas barras están desconectadas a flexión unas de otras, y su comportamiento es lineal, ocurre que la línea de influencia cuando la carga móvil está entre dos nudos es también lineal. Por tanto es suficiente con hallar la línea de influencia para la carga aplicada en los distintos nudos de su trayectoria, y unir los valores discretos obtenidos mediante líneas rectas. De esta forma se obtiene una línea quebrada que es la línea de influencia buscada.Ejemplo. En la celosía de la figura la carga unitaria se mueve en el cordón inferior.

Las líneas de influencia de las reacciones se calculan aplicando el equilibrio de todo el conjunto

Para determinar el esfuerzo en el tirante vertical BH se considera el equilibrio vertical del nudo H: el elemento BH está sometido a un esfuerzo unidad cuando la fuerza

está justo en H, y tiene un esfuerzo nulo cuando la fuerza está en otros nudos.

Para la diagonal AB, el equilibrio vertical del nudo A indica que NR NR AB=- √2

La línea de influencia del esfuerzo en AB es igual a la de la reacción en A pero cambiada de escala. Sin embargo, hay que notar que cuando la carga está en A el esfuerzo en AB es nulo, por lo que la línea de influencia en el tramo AH es distinta y llega a cero en el punto A.

A

BCD EF G

H

J KL M

1 z 6 L

L

R zL

R zLA G

16 6

1

A H J K L M G

RA

5/64/6 3/6

2/61/6

1

A H J K L M G

RG

5/64/63/6

2/61/6

1

A HJ K L M G

NBH

Para el elemento AH, el equilibrio horizontal del nudo A indica que:

El esfuerzo en este elemento varía de la misma forma que la reacción en A. Pero, al igual que en el caso anterior, si la

carga está justo en A el esfuerzo en AH es nulo, por lo que su línea de influencia cae hasta cero en el tramo AH.

Para la diagonal CK es ventajoso usar el método de las secciones, efectuando un corte como se indica en la figura siguiente.

Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha

Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda Si la carga está en el tramo JK,

La línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K. La figura siguiente muestra el resultado.

Para el montante CJ se aplica el método de las secciones con un corte como el indicado en la figura siguiente, y se aísla el

trozo de estructura que interese en cada caso.

A H J KLM GNAB

_¸ __ _

N N RAH AB A / 2

A HJ K L M G

NAH

_¸ __ _

A

BCD E F

GH J

K L M 1

N RCK G 2

N RCK A 2

A J

KLM G

NCK _¸ __ _

_¸ __ _

H

¸_RA

_¸ _RG

Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha

Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda

Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K

Para el cordón inferior JK se aplica el método de las secciones con el mismo corte anterior, y se toma momentos respecto al punto C, a fin de que aparezca sólo el esfuerzo en JK.

Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derechaSi la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda

Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K.

EMPLEO DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El Principio de los Trabajos Virtuales brinda un método muy interesante para la determinación de líneas de influencia en estructuras isostáticas. Si en una estructura isostática se elimina el esfuerzo cuya línea de influencia se desea hallar, la estructura se convierte en un mecanismo, con lo cual puede tener movimientos de sólido rígido, que se producen sin acumulación de energía elástica. De acuerdo con elPrincipio de los Trabajos Virtuales se cumple que el trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura es nulo, al no acumularse energía elástica:

W=U=0 (1.1)

Sobre la estructura, transformada en mecanismo, actúan las siguientes fuerzas: la fuerza unitaria móvil, el esfuerzo cuya línea de influencia se desea hallar, llamado genéricamente E, y las reacciones en los apoyos, que no producen trabajo virtual.

Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo E cuya línea de influencia se busca, la estructura adopta una configuración deformada como sólido rígido. En esta configuración deformada se denomina E al desplazamiento virtual en la dirección del esfuerzo

A

B C D E F

GH J

K L M 1

N RCJ G

N RCJ A

A H J

KLM G

NCJ

3/6

2/6

N RJK G4

N RJK A2

A HJ K L M G

NJK 8/6

buscado Y i al desplazamiento en la dirección de la fuerza unitaria móvil. El trabajo virtual producido por ambas fuerzas es:

W=.E+.1 (2)De donde se calcula el valor de la línea de influencia:

E=-I/E (3)Si se elige el desplazamiento virtual de tal manera que valga la unidad (E=1) Se obtiene:

E=-I (4)

Esta expresión indica que la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera en una estructura isostática es igual a la deformada - cambiada de signo - que adopta la trayectoria de la carga móvil, cuando se aplica un desplazamiento virtual unitario en la dirección del esfuerzo.

Esta deducción es general, sea cual sea el tipo de esfuerzo. Para reacciones, el desplazamiento virtual unitario se impone en la dirección supuesta para la reacción. Para esfuerzos internos, se debe imponer un desplazamiento virtual unitario relativo entre las dos caras donde actúa el esfuerzo interno. Además debe tenerse cuidado de que al imponerse esta deformación relativa unitaria se mantengan constantes las demás deformaciones, de tal forma que los otros esfuerzos existentes en la sección no produzcan trabajo virtual.

Es importante hacer notar que al haberse obtenido la línea de influencia como una deformada, el signo del esfuerzo E debe interpretarse como positivo cuando la fuerza móvil actúa en la dirección de la deformada y negativo cuando actúa en sentido contrario.Aunque aquí se ha presentado como una mera utilización del Principio de los Trabajos Virtuales, este método fue presentado por Müller-Breslau en 1887, conjuntamente con su método para el cálculo de líneas de influencia en estructuras hiperestáticas, que se explica más adelante.

Ejemplo. En una viga simplemente apoyada, la línea de influencia de la reacción en A se obtiene desplazando hacia arriba una unidad el apoyo A y calculando la deformada de la estructura, que gira como un sólido rígido alrededor de B.

Para el esfuerzo cortante en C, punto medio de AB, se aplica un movimiento vertical relativo de valor unidad entre ambas caras, manteniendo el mismo giro en ambas. Con ello el momento flector en C no produce trabajo virtual..

Para el momento flector en C se impone un giro relativo unitario entre ambas caras, manteniendo la flecha continua entre ellas, a fin de que el cortante no produzca trabajo virtual.

OTROS TIPOS DE CARGAS MÓVILES

El concepto de línea de influencia ha sido presentado como la variación de una magnitud cualquiera de la estructura cuando una carga unitaria móvil se mueve sobre ella. En la realidad son muy pocos los casos en los que la carga móvil es una única y de módulo unidad: lo habitual es que se trate de conjuntos de cargas móviles situadas a distancias fijas unas de otras y con módulos diferentes (por ejemplo las cargas debidas a un vehículo).

También puede ocurrir que sobre una viga muy larga actúen varias cargas puntuales situadas muy próximas unas a otras, que se pueden representar como una carga distribuida (por ejemplo las cargas debidas a un tren sobre un puente muy largo). Se hace por lo tanto necesario aplicar el concepto de línea de influencia a estas otras situaciones.

Al haberse supuesto comportamiento lineal, se cumple que la línea de influencia debida a un sistema de cargas cualquiera es igual a la suma de las líneas de influencia de cada una de las cargas. A su vez cada una de éstas es igual a la línea de influencia debida a la carga unidad, multiplicada por el valor real de la carga. Esta consideración general se puede expresar de forma analítica distinta según sea el tipo de carga.

Trenes de cargas puntuales

Sea un conjunto de N cargas puntuales p1 situadas a unas distancias d a la primera de ellas (con d1=0) y sea LI(z) la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera E, calculada para una carga unitaria, y que se denomina línea de influencia básica. Para situar el tren de cargas en la viga se emplea la coordenada de posición de la primera carga z, por lo que las restantes cargas están situadas en unas posiciones Z=Z-D I=N-1.

GA

B

1/2Q =- G=1/2GCi

GCd=1/2

C I

A B -1/2

1/2 rad 1/2 rad M =-C GI

A B 1/2

El valor del esfuerzo E en una posición cualquiera del tren de carga es

Esta expresión indica que el valor del esfuerzo E debido al tren de cargas se calcula sencillamente sumando el valor que tiene la línea de influencia z1básica en la posición de cada carga, multiplicado por el valor de la carga z2correspondiente, con su signo. Z3

La expresión analítica de la línea de influencia correspondiente al tren de cargas se obtiene sumando, para cada carga, la línea de influencia básica, trasladada en la separación de dicha carga respecto de la primera (z-d ) y multiplicada por el valor de la carga P .

En realidad la principal aplicación práctica de las líneas de influencia es la determinación de los valores máximos de los esfuerzos, por lo que raras veces se recurre a obtener la expresión analítica completa de la línea de influencia del tren de cargas. Para la determinación de los valores máximos de los esfuerzos se parte de la línea de influencia básica para una carga unidad y se determinan, por inspección, las posiciones críticas que puede adoptar el tren de cargas alrededor de cada punto máximo de dicha línea de influencia básica, teniendo en cuenta el módulo y la dirección de las cargas.Cargas distribuidaEl caso de una carga distribuida móvil es similar al de un tren de cargas puntuales, pero considerando que las cargas están infinitamente próximas. Sea una carga distribuida móvilde módulo q(x), actuando sobre una zona de la viga de longitud d. La posición de esta carga en la viga se define mediante la coordenada z de su extremo izquierdo.El valor del esfuerzo E, en una posiciónCualquiera z de la carga móvil es:

E=∫zi+dzi q(x) LI (x) dx

Es decir que el valor del esfuerzo E, para una posición determinada de la carga móvil, es igual al área situada bajo la curva que se obtiene al multiplicar la línea de influencia básica por la carga distribuida. Al igual que para el caso de fuerzas puntuales, lo habitual es utilizar este resultado para el cálculo de los valores máximos de los esfuerzos, determinando por inspección la situación pésima de la carga móvil.

TEOREMA DE MÜLLER-BRESLAUSe considera una estructura elástica lineal cualquiera sobre la que actúa una fuerza unitaria

móvil Sea I un punto cualquiera de aplicación de dicha fuerza móvil dentro de su trayectoria. Se

PPE P LI z P LI z di ii N

i ii N

( ) ( ), , 1 1

P

LI(z)

LI(z)

zi

q

d

quiere calcular la línea de influencia de la reacción en uno de los apoyos y en una determinada dirección, que se denomina R

Se aplica el método de flexibilidad, de la forma siguiente: Se considera la reacción RB como incógnita hiperestática. Se elimina la restricción originada por la reacción RB. Se obtiene así una estructura que es

hiperestática de grado h-1, sobre la que actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura se denomina caso I .Se calcula la deformación que aparece en este caso en la dirección de la reacción:

Se aplica sobre la estructura una fuerza unitaria en la dirección de la reacción RB , con lo que se genera un caso denominado B en el que se calculan las siguientes deformaciones:

Deformación en el punto B en la dirección de la reacción, debida al valor unitario de la propia reacción R :B ΔB

B

Deformación en el punto I en la dirección de la carga móvil, debida al valor unitario de R :BΔI

B

Se aplica la ecuación de compatibilidad de deformaciones:

Que permite calcular la reacción:RB= -ΔB

I/ΔBB

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple ΔBI= ΔBI, por loQue el valor de la reacción buscada es:

RB=-ΔBI/ΔB

B (1)

B 1I

B RB

BI .

I

B ' B ,

1Caso I

.

I

' B B

' I

RB=1

Caso B B

B B B B

I B +R =0

El numerador de esta expresión representa la deformación del punto I, donde está la carga móvil, en la dirección de dicha carga, al aplicarse una fuerza unitaria RB=1 denominador es la deformación del propio punto B al aplicar la RB=1Esta expresión es válida para cualquier punto I, por lo tanto, pensando que I es un punto cualquiera de la trayectoria, representa la línea de influencia del esfuerzo buscado R.La ecuación (1) representa el Teorema de Müller-Breslau, que puede enunciarse en la forma siguiente:La línea de influencia de la reacción en un apoyo de una estructura elástica lineal es igual al cociente, cambiado de signo, de la deformación en la dirección de la fuerza móvil, dividida por la deformación en el punto de aplicación de la reacción, ambas obtenidas para un valor unitario de la reacción.

Es importante recordar que el numerador no es la deformación absoluta del punto I, sino su deformación medida (es decir proyectada) según la dirección de la carga móvil.Normalmente ambas direcciones no coincidirán. Si la trayectoria de la carga móvil pasa por B, es decir que en alguna posición el punto I coincide con el B, y la dirección de la carga móvil coincide con la de R , ocurre que:

RB= -ΔBB/ ΔB

B=-1 (2)

Esto quiere decir que en este caso toda la fuerza móvil es absorbida por la reacción, y el resto de la estructura está descargada.Si en la ecuación (1) se sustituye ΔB

B=1 Se obtiene

RB=-ΔI ΔB-1 (3)

Lo cual permite enunciar el teorema de Müller-Breslau de otra forma distinta:

La línea de influencia de una reacción es igual a la deformación, cambiada de signo, de los puntos de aplicación de la carga móvil en la dirección de dicha carga móvil, cuando se impone una deformación unidad en la dirección de la reacción.

El teorema de Müller-Breslau es una manera muy elegante de plantear el cálculo de líneas de influencia, pues transforma el cálculo de un esfuerzo en un cálculo de deformaciones.Resulta por lo tanto de gran interés cuando se dispone de un método que facilita el cálculo de deformaciones, como por ejemplo el método de rigidez.

Aplicación a momentos flectores

El teorema de Müller-Breslau está enunciado para reacciones, pero puede aplicarse a cualquier otro tipo de esfuerzo. Para el caso de un momento flector el proceso es el siguiente:

Se considera el momento flector M B como incógnita hiperestática. Se elimina de la estructura introduciendo una articulación en su lugar, y se obtiene así una estructura

I

' BBR =B

Caso Real

_' IB

1 I

' B B

' I

1

Caso B B

Figura 10.6

hiperestática de grado h-1, sobre la que sólo actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura se denomina caso I (figura 10.7).

Se calculan los giros que aparecen en el caso I, en el punto B por la izquierda y por la derecha, en la dirección de las dos componentes del momento flector: θBI

I θIBD

Se aplica sobre la estructura un momento flector unitario en el punto B (figura 10.8), con lo que se genera un caso denominado B, en el que se calculan las deformaciones siguientes:

Giros en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentesdel momento flector:

Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:ΔIB

Se aplica la ecuación de compatibilidad de deformaciones en el punto B,

ΘBI=-θBD

ΘIBD+MBθIB

B = -θIBD-MBθB

BD

Que permite calcular el momento flector:MB= -(θI

BI+θIBD)/θB

BI+θBBD

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell generalizado se cumple que

ΘiBI +ΘDd

iΔBi

El valor del momento flector buscado es:MB=-ΔI

B/θBIB+θBD

B

El numerador de esta expresión representa la deformación del punto I donde está la carga móvil, y el denominador es la suma de los dos giros en la dirección de las dos componentes del momento, todos ellos obtenidos al aplicarse un momento unitario MB=1

Se obtiene de esta manera una expresión muy similar a la obtenida para las reacciones, con la única diferencia de que en el denominador aparece la suma de los dos giros en la dirección de las dos componentes del momento.

Aplicación a esfuerzos cortantesSiguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresión de la línea de influencia para un esfuerzo cortante (figura 10.9):

I TBi,

1Caso I TBd

,

Figura 10.7

BiB

BdB .

I

B Caso B

M =1B

TBiB TBd

B' ,

Figura 10.8

siendo:Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentes del esfuerzo cortante:

Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:

Aplicación a esfuerzos axiales

Siguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresión de la línea de influencia para un esfuerzo axial (figura 10.10):

QBIB

BiB

BdB

(10.17)

.BI

.

I

Caso B

Q =1B

' BdB

' , ' Bi

B

B

Figura 10.9

BiB

BdB

siendo:Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentes del esfuerzo axial:Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:

GeneralizaciónEn ninguna de las deducciones anteriores se ha empleado la suposición inicial de que la trayectoria es recta, ni que la carga móvil tiene dirección y sentido fijos, como se había supuesto inicialmente. Por lo tanto todo lo deducido hasta ahora es válido sea cual sea la trayectoria en la que se mueve la carga, y sea cual sea su dirección y sentido. Las expresiones de las líneas de influencia obtenidas son por lo tanto válidas para cualquier trayectoria, incluso curva, así como para fuerzas de orientación cambiante.Las expresiones anteriores son también válidas cuando la carga móvil no es una fuerza sino un momento unitario. En este caso la deformación ΔB

I se debe considerar como el giro según la dirección del momento móvil θB

I Las expresiones del denominador son las mismas.

Todas las deducciones anteriores pueden englobarse en una descripción más general del teorema de Müller-Breslau: si se aplica en la dirección del esfuerzo cuya línea de influencia se busca, una fuerza tal que la deformación en dicha dirección valga la unidad(ΔB

BI+ΔBBD), ocurre que:

La deformada Δ B i de la estructura que se obtiene, cambiada de signo, representa todas las líneas

de influencia de dicho esfuerzo para cargas aplicadas en cualquier punto y dirección.

Si se toma un punto cualquiera (el punto I), y se determina su posición deformada, la proyección de esta deformación sobre una dirección cualquiera es el valor de la línea de influencia para una carga unitaria que actúa según dicha dirección.

DISCUSIÓN SOBRE EL TEOREMA DE MÜLLER-BRESLAU

Se considera una estructura con grado de hiperestaticidad h, sometida a la fuerza unitaria móvil y se plantea el cálculo de la línea de influencia de un esfuerzo interior cualquiera. Se

NBIB

BiB

BdB

(10.18)

BiB

BdB .

IB.

' , I

B Caso BNB=1

' BdB

' BiB

Figura 10.10

Emplea para ello el método de flexibilidad en su forma general, considerando las energías de esfuerzo axial y de flexión. Se elige como única incógnita hiperestática el esfuerzo cuya línea de influencia se busca: X . Se obtiene así una estructura de grado h-1, y en ella se plantean dos casos.

Caso I

Caso II

Caso II

Que es la expresión de la línea de influencia buscada. Nótese que sólo el numerador es función de z (a través de los esfuerzos del

caso I) y que el denominador es constante.

En él sólo actúa la fuerza unitaria móvil(figura 10.11). Los esfuerzos que aparecenson función de la posición de la carga z y sedenominan: Nz M zI I( ) , ( ) z 1

I

Figura 10.11

Se aplica un valor unitario del esfuerzobuscado (figura 10.12). Los esfuerzos quea p a r e c e n s e d e n o m i n a n : N M ,

1

Figura 10.12

Por el principio de superposición los esfuerzos reales son:

N z N z N XI B( ) ( ) 1 M z M z M XI B( ) ( )

1 (10.19)

La condición de compatibilidad para la incógnita elegida es:

N N M M dxB B I 0 (10.20)

Sustituyendo los esfuerzos y despejando se obtiene

XN N MMdx

N N MMdx

B I B I

B B B B1

I I

(10.21)

Discusión del resultadoEl numerador de la expresión de la línea de influencia corresponde a la deformación delpunto I en el caso B

Para demostrarlo, se considera que en el caso B, los esfuerzos reales son NM, luego ladeformación del punto I es:

IBBV B VN N M M dx I (10.22)

En esta expresión los esfuerzos N y M son los esfuerzos que aparecen en el caso B cuandose carga con una fuerza virtual unitaria en el punto I (figura 10.13).

B B

V V

A

z I

V=1

Caso V

I

B

Figura 10.13

Pero este caso virtual es en realidad igual que el caso I (figura 10.11), pues éste sólo tieneuna fuerza unitaria aplicada en I. Por lo tanto los esfuerzos en el caso V son:

N N M MV I V I (10.23)

y la deformación buscada Δib vale:

IBBI B IN N M M dx I (10.24)

que coincide con el numerador de la expresión (10.21) de la línea de influencia.El denominador de la línea de influencia es la suma de las deformaciones en los dos puntos donde se ha eliminado la incógnita hiperestática, en el caso B.

Se definen las dos deformaciones por la izquierda y por la derecha en el punto de corte de la incógnita hiperestática, en el caso B, como Bi

B y BdB

.

Para hallarBiB se aplica una fuerza virtual unitaria en su dirección, y se obtiene un

caso virtual, denominado Bi (figura 10.14), cuyos esfuerzos son NM,. ComoBiBi

los esfuerzos reales en el caso B son NM, la deformación es:B B

BiBBBi B BiN N MMdx I (10.25)

Para hallarΔBdB se aplica una fuerza virtual unitaria en su dirección, y se obtiene un

caso virtual denominado Bd (figura 10.15), cuyos esfuerzos son NM,.LaB d Bd

deformación es:

BdBBBd B BdN N M M dx I (10.26)

V=1

Bi

Caso Bi

V=1

Bd

Caso Bd

Figura 10.14 Figura 10.15

La suma de las dos deformaciones es: Bi

BBdB B Bi Bd B Bi BdNN N M M M dx I ( ) ( ) (10.27)

Que coincide con la expresión obtenida para las líneas de influencia de los esfuerzos internos en la estructura (ecuaciones (10.16), (10.17) y (10.18)). La expresión anterior constituye una generalización del principio de Müller-Breslau para cualquier tipo de esfuerzo interno y cualquier grado de hiperestaticidad. La situación se resume en la figura 10.16: ha desaparecido la fuerza unitaria móvil, que se sustituye por un valor unitario de la incógnita hiperestática, en una estructura h-1. La expresión de la línea de influencia requiere el cálculo de la deformación del punto de aplicación de la carga móvil I, y de la deformación relativa en la sección de corte.

LÍNEAS DE INFLUENCIA DE DEFORMACIONES

La línea de influencia de una deformación en una estructura elástica lineal es aquella función que proporciona la variación de dicha deformación, cuando una carga unitaria móvil recorre una determinada trayectoria a lo largo de la estructura. El cálculo de la línea de influencia de una deformación es inmediato empleando el teorema de reciprocidad de Maxwell. Sea la estructura cargada con la fuerza móvil en el punto I de la trayectoria, y supongamos que se desea calcular la línea de influencia de la deformación en el punto y la dirección B:Δ IB

En virtud del teorema de reciprocidad de Maxwell se cumple que:

Se deduce por lo tanto que la línea de influencia de una deformación es igual a la deformada de la trayectoria de la carga móvil, cuando la estructura se carga únicamente con

una carga unidad, en la dirección de la deformación cuya línea de influencia se busca, como se muestra en la figura 10.17.

Pero el caso Bi más el caso Bd es igual al caso B, por lo que:

NN N M M MBi Bd B Bi Bd B (10.28)

Por lo tanto la suma de las deformaciones queda:

BiB

BdBBB B BN N MMdx I (10.29)

Que coincide con el denominador de la expresión (10.21) de la línea de influencia.En consecuencia, la línea de influencia se puede poner como:

X IB

BiB

BdB1

(10.30)

1(B)

BdB

BiB

IB

Figura 10.16

BI

IB (10.31)

' I' B= ' I

Caso B

I' B I

B1 BICaso I

1

z

Figura 10.17