Ejemplo 14

Tres ciudades comparten la energía eléctrica por un cableado soportado básicamente por torres ubicadas como se muestra en la figura, cada una de éstas puede deteriorarse e impedir el flujo continuo con probabilidad p.

¿Cuál es la probabilidad que después de cierto tiempo:

Solución:

Sea p la probabilidad de que la torre T¡ esté deteriorada i = 1,2,3

a. Para que no haya flujo de A a B, al menos dos torres deben estar destruidas, pero siempre la que comunica a A con B.

P(N)=P[(T, n T2 n TC3) U (t1 n Tc

2 n T3) U (T, n T2 n T3>] = 2P2 O P > + P

3 = 2 P v

b. P (V) = (1 - p)2

NOTA 4. La independencia a pares no implica la independencia conjunta

Ejemplo 33

Una urna contiene cuatro fichas numeradas 000,011,101, 1 lOy se extrae una aleatoriamente. Sean A, B, C los eventos tales que indican que el primero, segundo, y tercer dígito respectivamente en la ficha elegida es uno. Calcular las probabilidades de los eventos individuales, de las intersecciones de dos eventos, y de la triple intersección. Son independientes los eventos individuales por parejas? Por ternas?

a. No haya flujo de A a B (Evento denotado por N) b. La energía se envié de A a C pasando por B (Evento denotado por V) c. No haya flujo de A a B dado que 2 torres se dañaron

B

c. K: Evento que indica dos puentes se cayeron

P (N / K) = P ( N f ) K ) / P ( K ) = 2 p 2 ( l - p ) / 3 p 2 ( l - p ) = 2 / 3

Solución:

A = {101, 110} =>P(A) = 2 / 4 B = {011, 110} => P (B) = 2 / 4

C = {011, 101} =>P(C) = 2 / 4

A n B = {NO} => p (A n B) = i / 4 = p (A n C) = p (B n Q

P (A f | B) = P (A) P (B), entonces A es independiente de B.

26

En general, en este ejemplo todos los sucesos en parejas son independientes.

A f l B n C = { } ^ P ( A n B f lC) = O íí 1/8 , de ahí que no son independientes los tres eventos.

5. ELEMENTOS DE ANALISIS COMBINATORIO

Se estudian en este aparte algunos técnicas especiales que facilitan el trabajo de contar los casos favorables y posibles que definen la medida de probabilidad.

5.1 Principio de la Multiplicación

Sea un experimento que se tiene que realizar en K diferentes etapas, cada una se puede hacer de n¡ formas distintas, entonces el experimento completo puede hacerse en: n] * n2 *...*nk formas.

Ejemplo 34

Las maneras diferentes de viajar de una ciudad A a otra C pasando por una B, asumiendo que hay

3 alternativas para ir de A a B, y 4 de B a C

El número total de formas diferentes de viajar de A hasta C es: n, x n2 = 3 x 4 = 12

Ejemplo 35 El número total de las placas de los carros en Colombia, si se asumieran 3 letras de las 28 y 3

dígitos de los 10 se puede calcular como:

n¡ x n2 x n3 x n4 x n5 x n6 = 103 * 283 = 21.952.000

con n¡: número de formas de colocar el dígito i, i=l, 2, 3 tij : número de formas de colocar la letra J, J=4, 5, 6

5.2 Principio de la Adición

Sea un experimento que se puede realizar de n, ó n2,..., ó nk formas diferentes. El experimento completo se podrá ejecutar de n t + n2 + ...+ nk maneras diferentes.

Ejemplo 36

Las formas de hacer un viaje a un sitio determinado al cual viajan 3 empresas de buses, el tren y 4 compañías de aviación son por lo tanto 3 + 1 + 4 = 8 maneras diferentes para realizar el viaje.

27

Ejemplo 14

El evento compuesto definido en el ejemplo 22, E : el sistema no tiene más de una salida, implica la unión de dos eventos, E, : El sistema no tiene salidas y E2: El sistema tiene una salida; por lo tanto n(E!)= 3 y n(E2)= 2 de ahí que por el principio de adición n(E)= 5

5.3 Muestras Ordenadas

Sea un conjunto de N elementos distinguibles, llamado población. Cualquier subconjunto o arreglo de n elementos se denomina muestra.

La selección de los elementos de la muestra puede cumplirse de dos formas:

i. Sin repetición o sin reemplazo. (Permutaciones). La selección de un elemento corresponde a cada etapa del experimento, cada vez que se elija un elemento no se vuelve a tener en cuenta para la siguiente selección y aplicando el principio de la multiplicación se tiene que el total de formas diferentes de obtener la muestra es:

N * (N -1)* (N - 2)*... * (N - (n -1))= (NN

n) ,=Np„ Muestras ordenadas sin repetición: MOSR

ii. Con repetición o con reemplazo. Igual al caso anterior, pero cada vez que se realice una selección se vuelve a tener en cuenta el elemento extraído anteriormente, así que el total de formas diferentes con repetición es:

N * N *... N = Nn Muestras ordenadas con repetición: MOCR

Ejemplo 38

Suponga el conjunto Q = {a, b, c, d} N = 4

El total de formas diferentes de seleccionar n = 2 elementos de los 4 teniendo en cuenta que se pueden distinguir uno de otro es:

a. MOSR: 4P2 = ^ ^ = 12={(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d).(c,a),(c,b),(c,d).(d,a),(d,b),(d,c)} = A

b. MOCR: 4 2= 16= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), A}

Ejemplo 39

Cuantas alternativas son posibles para obtener una cifra de 4 dígitos

28

a. Sin que ninguno dígito sea repetido.

Los números del 0 a 9 son distintos y se desean cifras sin que ningún dígito se repita, la solución es a partir de MOSR, es decir: 10P4

b. No empiece con cero y no se repita ningún dígito.

La cifra debe empezar con cualquiera de los 9 dígitos distintos de cero, como no se puede repetir un dígito entonces para el segundo número se cuenta con 9 dígitos, por la anterior razón las posiciones tres y cuatro se pueden llenar con 8 y 7 dígitos, respectivamente. Aplicando el principio de la multiplicación se tiene un total de cifras igual a: 9* 9*8*7

c. Teniendo en cuenta que uno o más dígitos estén repetidos.

La distinción entre los dígitos se mantiene, pero ahora se considera la repetición, por lo tanto la solución es través de MOCR (104), aquí se hace necesario reflexionar porque no se desean cifras sin dígitos repetidos (10P4), por tanto la respuesta es: 104 - 10P4=4960

5.4 Muestras no Ordenadas

Los N elementos de la población aunque diferentes no requieren distinguirse, el total de muestras posibles depende de la forma como se realice la selección pudiendo ser:

i. Sin repetición o sin reemplazo. (Combinatoria). Equivalen a las permutaciones eliminando los n! términos ordenados. Por lo tanto el total de muestras lo da la expresión:

V n N! n! n!(N-n)! v n y

N Cn formas diferentes. Muestras no Ordenadas sin repetición:

MNOSR

ii. Con repetición o con reemplazo. En este caso se puede asumir que en cada etapa de selección se va agregando un elemento "nuevo", desde luego a excepción de la primera etapa, equivale esto a aumentar la población en el número de etapas de selección menos una. Implica decir que (n-1) de los N elementos pueden volver a ser seleccionados. La combinatoria que aparece a continuación permite contar el total de muestras

+ (n- 1)A

" [ N + ( n - l ) ] ^ n - C[N+(N-I);n] Muestras no ordenadas con repetición: MNOCR

Ejemplo 40

De acuerdo al ejemplo 38, el total de subconjuntos de tamaño 2 tomados de el conjunto de 4 elementos que no requieren ser distinguidos es:

29

a. 4 i

2! 2! = 6 B = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}

b. r 4 + 2 - r ?

v /

5! 2! 3!

= 10 E = {(a,b),(a,c),(a,d), (b,c),(b,d),(c,d),(a,a), (b,b), (c,o),(d,d)}

Ejemplo 41

Determinar el número de sucesiones binarias de longitud 32 utilizando en cada línea 7 números.

Los dígitos a utilizar pueden ser 0 y 1 que ocuparan 7 posiciones de cada sucesión generando así un número cada vez. Como se trata de conocer el número de sucesiones que se pueden establecer y no la cantidad de cifras de 7 números, el problema se reduce a seleccionar de una línea de 32 posiciones 7 de ellas, teniendo en cuenta que estas no requieren distinción y que además no es posible tomar una cualquiera más de una vez, entonces se tienen muestras no ordenadas sin repetición (MNSR) y por tanto la respuesta es 32C7

Le queda como ejercicio al lector, establecer la cantidad de números diferentes que se pueden construir con este tipo de sucesiones.

Ejemplo 42

Calcular el número de formas de escoger 3 de los 7 días de la semana, con y sin repetición.

Se parte del hecho de que no hay restricción en relación a cuales días deban ser seleccionados estando esto en relación con las muestras no ordenadas o no distinguibles. En cuanto a la repetición, equivale a que los dos días seleccionados previamente sean factibles de aparecer dos o tres veces, por tanto las ternas pedidas son 84, o sea C(7+3_1;3)=84

Del oiro modo, sin repetición, las tríadas son C(7 3)= 35

5.5 Partición de un conjunto

El total de formas diferentes en que se pueden repartir N elementos en K subconjuntos cada uno de tamaño N¡, i = l,2,....k se representa por:

N N „ N 2 . . . N k ,

N" N,!N2! . . .Nk!

Es equivalente a tener N individuos de los cuales N¡ i = 1, 2,...., k, son iguales constituyéndose así k clases, por tanto el total de ordenaciones posibles N! incluyen algunas N-uplas iguales las cuales

30

se corrigen conociendo los N¡ que causan esas formas idénticas por tanto el total de ordenaciones diferentes se calcula según la formula anterior.

Ejemplo 43

Se reparte un naipe de 52 cartas entre cuatro personas de tal manera que al primero le correspondan los ases, al segundo las figuras, al tercero los números impares y al cuarto las demás cartas. ¿De cuántas maneras se puede lograr esta partición?

Solución:

En una baraja de póquer hay 4 ases, en cada una de las cuatro pintas se tienen 3 figuras y las demás cartas están numeradas del 2 al 10. Por lo tanto:

N = 52 N! = 4 N2 = 12 N3 = 16 N4 = 20

El total de particiones es igual a:

52

.4,12,16,20;

5 2 1 26 1.378338781 * 10 4! 12! 16! 20!

Ejemplo 44

Diez libros distintos son colocados aleatoriamente en un estante. Halle la probabilidad de que tres de ellos estén ubicados uno después del otro.

Solución:

Hay 10! formas posibles de colocar los libros; los 3 libros de interés pueden ordenarse de 3: formas y deben considerarse como un todo para colocarlos con los demás. Se tendrían en total 8 textos que se pueden ubicar de 8! formas.

Los casos favorables y posibles se han determinado con base en el principio de la multiplicación teniendo en cuenta las formas de colocar los 8 elementos y a la vez los 3 libros que deben ir juntos; al igual que los 10 libros.

Sea E: Evento que indica 3 libros de los 10 siempre quedan juntos.

/ \ 3' 8' P(E) = - = 0.0667 v ; 10!

31

Ejemplo 14

A una cena asisten n hombres y n mujeres. Halle la probabilidad de que 2 personas del mismo sexo no estén sentadas una al lado de la otra.

Solución:

Existen 2(n!)2 casos favorables, empezar la asignación de asientos con un hombre o con una mujer, puesto que en total hay un número par de invitados. Hay n! formas de colocar los hombres y n! de colocar las mujeres. Por el principio de la multiplicación se tendría (n!)2. Los casos posibles equivalen a sentarlos de cualquier manera, siendo diferentes las 2n personas, cada una será un arreglo ordenado sin repetición. Por lo tanto se tendrán (2n)! formas distintas.

Si F: Evento que indica que las personas quedan intercaladas, entonces:

(2n)!

Ejemplo 46

Un elevador inicia el recorrido con 3 personas y se detiene en 5 pisos. Halle la probabilidad de que máximo un pasajero dejará el elevador en un mismo piso.

Se pueden dar dos soluciones, según se desee distinguir o no los pisos.

i. Si no se distinguen y una persona máximo se queda en un piso, se estarían considerando los casos favorables como MNOSR, solamente se tiene en cuenta el total de formas de seleccionar 3 de los 5 pisos, es decir 5C3 , para que una persona se quede en cada piso.

Los casos posibles son los anteriores además de las alternativas en las cuales varias de las personas que van en el ascensor se bajan en el mismo piso, siendo aplicable las MNOCR, para este caso 7C3.

Definiendo B como el evento que denota máximo un pasajero deja el ascensor en un mismo piso.

p(B) = - ^ - = 0.2857 7 C3

ii. Queda como ejercicio del lector la solución para cuando se distinguen los pisos.

NOTA 5. Sean r partículas que deben ocupar n celdas (n > r) siendo rk el número de partículas en la celda k, k=l, 2, ,n ^ + r2 + + rn = r, rk > 0

-El número de ocupaciones de las r partículas en las n celdas esta dado por: f r >

r,,r2 . . .r

32

- Si las nr colocaciones son igualmente probables, entonces la probabilidad de obtener r,, r7y. ,rn

ocupaciones es: ' r ^

r l ' r 2 • • • r n

n conocida como Distribución de Maxwell - Boltzmann.

No se aplica a ninguna clase de partículas conocidas, los nr arreglos no son equiprobables. Se han elaborado dos diferentes probabilidades cada uno describe un comportamiento particular, no se supone universal.

- Bose - Einstein. Consideran arreglos no distinguibles cada uno con probabilidad

i

. Esto se cumple en fotones, el núcleo y los átomos que contienen un numero par de 'N + R-1^

V R Y partículas elementales.

- Fermi - Dirac, se basan en:

1. Es imposible que dos o más partículas estén en la misma celda (r < n)

2. Todos los arreglos no distinguibles que satisfacen la primera condición, tienen probabilidades iguales.

Las n celdas se eligen de nC r formas o arreglos diferentes y la probabilidad de un arreglo es (nCr)"1 cada rk = 0, 1.

Aplicable a electrones, protones y neutrones.

NOTA 6. n

A partir del teorema del binomio (A + B) n = ^ k=0 v k y

A k g n - k

a:

El total de subconjuntos posibles de tamaño k, k = 1,2, n, de un conjunto da'tamaño n es igual n ín^ n n

k=0 v k y k=0 v k y

6. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Dado (Q, ¿ñ, P) es frecuente estudiar la probabilidad de diferentes sucesos bajo la hipótesis de que ocurre un evento B (B e J{) el cual corresponde a una información básica que se conoce a priori para obtener probabilidades a posteriori de otros sucesos.

33

TEOREMA 7

Sea (Q, 31, P) y sea B e 31 tal que P (B) > 0 se define probabilidad condicional de un evento A e ^ I dada la aparición de un suceso B a la función PB con dominio en y valorada en los reales.

PB: 3K -> fi[o,\]

A -» P (A) - P Í A / E ) - 1 H A O M A f l B ) A -> P b ( A ) P^A/Bj - p ( B )

Entonces PB es una función de probabilidad condicional y PB (A) se lee: probabilidad de que ocurra el suceso A dado que sucedió el evento B.

DEMOSTRACION

A. P ( A / B ) = ^ Q ^ > O P(AHB)>0

B.

P(B)

p(Q/B) = ̂ q B ) ^ = l V ; P(B) P(B)

C. Sea {Ai} e ¿ft i = 1,2, Los A¡ son mutuamente excluyentes

U Ai /B V i e N

U A i f l B

Wi

\

— Z p(B) ^ P(B) M i ! = Z p ( A l / B )

Vi

Definición. ESPACIO DE PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea PB la función de probabilidad condicional, Q el espacio muestral, 3K una a-Algebra, la terna (Q, 3K, PB) es un espacio de probabilidad condicionado a B.

Ejemplo 47

La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad p, una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad 1-p solo la interferencia ^ura.

Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad P b cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad P2.

Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

34

Solución:

p Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta I : el evento la señal es útil con interferencia pura

T _ S: el evento que indica ocurre una señal

Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así:

p(u/s)- PxP> P x P , + ( l - P ) P 2

Ejemplo 48

Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma al azar uno de estos empleados, ¿cuál es la probabilidad de que:

a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico? b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico?

Solución:

G: Evento que indica que el empleado es graduado T: Evento que indica que el empleado dedica parte de su tiempo a trabajos técnicos.

n (Q) = 200 n (G) = 150 n (T) = 60 n (T f | G) = 40

150 _ 40

, P ( 0 ) . •ti'G n r > j i ( o • - j i < G r m . 2 0 0 - 2 0 0 . n o . „ 7 8 5

P(TC) P(T°) 1 4 0 140 200

El 78.57% de los empleados que no son técnicos son graduados.

b P (Gc / Tc ) = P ( ° C n r ) ^ P ( G Ü T ) C - 1 " P Ü T ) - 0 211 P(TC) P(TC) P(T°)

P ( G ( j T ) = P ( G ) + P ( T ) - P ( G f l T ) = 0.85

TEOREMA 8.

Sean (Q, Jl , P) A,, A2 e J l , tal que P(A2) > 0 y Á1 y A2 son independientes => P (A,/ A2) = P(A,)

35

7. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Hay ocasiones en las cuales es necesario obtener probabilidades de eventos que se interceptan y son dependientes entre si, es decir, el segundo evento puede ocurrir tan solo si el primero ha ocurrido, el tercero ocurre con probabilidad que depende de la de los dos primeros, y así sucesivamente.

TEOREMA 9

Sea el conjunto de índices I = { i / i < k A i 6 N A k e N }, {Ai / i e I, A e }, P

Entonces,

' k - i n A, v¡=i ;

> 0

\ p d a ,

Viel J = P ( A ) P ( A 2 / A , ) P ( A 3 / 4 0 2 ) * • / FI 4

k-2 \ f k-1 P A / R 4

v 1=1 y v ¡=i J

= P i A ) f [ Á A Í { \ A. «=2 V M

Ejemplo 49

El 5% de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el 75% toman licor mientras que solamente el 50% que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de tomadores de licor que sufren de presión sanguínea alta.

Solución:

Sean los eventos A, B que indican

A: Presión alta P(A) = 0.05 B: Toman alcohol P(B)=?

P (B/A) = 0.75 P(A n B) = ? P(B / Ac) = 0.5

El diagrama de árbol, ayuda a entender problemas relacionados con la regla de la multiplicación, como es el caso del presente problema:

0 . 7 5 ^ B P(A) P(B / A) = P(A fl B) = 0.0375

0 . 2 5 \ B C - > P (A)P(B C /A) = P ( A n B C ) = 0.0125

0.95 \ A c 0 . 5 ^ B P(A ) P(B / A ) = P(AC fl B ) = 0.475

0 P ( A u ) P f B C / AC) = PfA L í1 B l ) = 0.475

36

P(B / Ac) = P(B n Ac) / P(AC) P(B /A) = P(B fl A) / P(A) => P(B f | A) = P(A) P(B / A) = 0.05 * 0.75 = 0.0375

P(AC) P(B / Ac) = P(B fl Ac) = P(B) - P(B fl A) P(B n A) = P(B) - P(AC) P(B / Ac) = P (B) - 0.95 * 0.5 0.0375 = P(B) - 0.4750 P(B) = 0.5125.

Ejemplo 50

Sean 20 artículos de los cuales 12 son defectuosos y 8 no defectuosos son inspeccionados uno por uno. Si los artículos son seleccionados al azar, calcular la probabilidad de que:

a. Los primeros dos artículos sean defectuosos (E) b. Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos (C) c. El tercer artículo es defectuoso (F) d. Se acepta el lote de 20 artículos si al observar 4 artículos máximo uno es defectuoso, calcular

la probabilidad de rechazar el lote.

Solución:

a. P (E) = P(D, f | D 2 ) = P(D,)P(D2 / D,) ~ ; j = 0.347

b. P(C)=[(D1B2B3) |J(B,B2D3) U(B|D 2B 3)]=P(O,B 2B 3)+P(B|B 2D 3)+P(B |D 2B 3)

1 2 8 7 8 7 12 8 12 7 = _ * _ * — * _ * — * _ + _ * _ * — = 3*009824 = 02947

20 ¡9 18 20 19 18 20 19 18

c. P (F )=P[ (D 1 D 2 D 3 ) | J (D 1 B 2 D 3 ) | J (B,B 2 D 3 ) | J (B,D2D3)]=O.6

d. P(Aceptar )= P [ ( B , B 2 B 3 B 4 ) | J ( B , B 2 B 3 D 4 ) | J ( B 1 B 2 D 3 B 4 ) | J ( B 1 D 2 B 3 B 4 ) | J ( 0 ,828384)1 = 0.1

=> P (Rechazar) = 1 - P(Aceptar) = 0.9

8. PROBABILIDAD TOTAL

En muchas situaciones es importante calcular la probabilidad de que suceda un evento simple el cual depende de que ocurra al menos un evento de un conjunto que lo puede generar.

TEOREMA 10

Sea (Q, 31, P) espacio de probabilidad, y {Bi /i e N} e 31 tal que

37

i. B i f | B j = 0 Vi ^ j

iii. P(Bi) > O Vi e N

Entonces para un evento A & ¿ñ asociado a cada Bi se tiene:

P(A) = P U (Af |B i ) = Z P ( A f l B i ) = E P(A/Bi)p(Bi) Vi Vi

Ejemplo 51

Una fábrica tiene 3 máquinas M b M2 y M3 cuya producción es 60%, 30% y 10% respectivamente. Cada máquina produce cierto porcentaje de artículos defectuosos, M¡ el 2%, M2 el 3% y M3 el 4%. Se selecciona un artículo al azar, calcular la probabilidad de que sea defectuoso (D)? Bueno (B)?

P(D) = 0.6 * 0.02 + 0.3 * 0.03 +0.1 * 0.04 = 0.025-> P(B) = 0.975

9. REGLA DE BAYES

Cuando se trabajan eventos como los mencionados en el teorema anterior, denominando los primeros "causas" con probabilidades llamadas a priori, y "efectos" a los siguientes, es de interés cuantificar la probabilidad de una "causa" especifica habiendo ocurrido un determinado "efecto", tal probabilidad se conoce como a posteriori.

T E O R E M A 11

Sea (Q, ¿ñ, P) espacio de probabilidad, {Ai; i e N} & ¿71 mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, B e ¿71 y ocurre asociado a cada A. tal que P(B) > 0. Entonces:

Solución:

P(M,) = 0.6

P(M2) = 0.3

P(M3) = 0.1

P ( D / M 0 = 0.02

P(D/M 2 ) = 0.03

P(DVM3) = 0.04

P(A/B) P(A,)P(B/A) X P(A,)P(B/A)

VJeN

38

Ejemplo 14

Un paciente de un hospital puede tener una y sólo una de tres enfermedades E j , E2 , E 3 , con probabilidad a priori 5/8, 2/8, 1/8 respectivamente. Para finalizar un diagnóstico se somete al paciente a un examen que conduce a un resultado positivo con probabilidad 0.2 para Ej , 0.3 para E2 , 0.9 para E3. Si el resultado es positivo ¿Cuál es la probabilidad a posteriori de cada enfermedad?

Solución:

Sea DP: Evento que indica el diagnóstico es positivo

DN: Evento que indica que el diagnóstico es negativo

Ei: Evento que indica la enfermedad i, i = 1,2,3

P(E¡ / DP) = ? La probabilidad total de DP es: P(DP) = 0.3125 con P(E! / DP)= 0.4 P(E2 / DP)= 0.24 P(E3 / DP)= 0.36

DN m U r PÍE/DP)-- P ( £ j ) P ( D P / E j ) Para algún J,

D N X P(Ei)P(DP/Ei) í < J < 3 Vi

10. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Los artículos de una línea de producción son señalados como defectuosos (D) y no defectuosos (N). Cada artículo se observa y se anota su condición. El análisis se continúa hasta que dos productos defectuosos son elaborados consecutivamente o se hayan inspeccionado cuatro artículos.

a. Describa Q

b. Describa los eventos A: La inspección se detiene por causa de los defectuosos B: La inspección se detiene y se produce máximo un artículo no defectuoso.

c. Calcule la probabilidad de i. A, B, A U B, A fl Bc, Ac f | Bc

ii. Dado que el primer artículo producido es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección se detenga antes de seleccionar cuatro artículos?

iii. Dado que el último artículo observado es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección se detenga antes de seleccionar cuatro artículos?

39

2: Considere los eventos A, B, C, en un experimento aleatorio. Traduzca a la simbología correspondiente los siguientes planteamientos

a. A lo más ocurre un evento b. Exactamente ocurren dos eventos c. Ninguno ocurre

3. Si los tres eventos del ejercicio anterior conforman el espacio muestral, = Partes de £2 , P(A) = p, , P(B) = p2 P(C) = p3 . A, B, C son independientes. Calcular la probabilidad de cada uno de los literales de los ejercicios 1C y 2.

4. Un juguete está formado por tres partes. Si la probabilidad de que cada parte sea defectuosa es 0.1. Calcule la probabilidad de que el juguete sea defectuoso.

5. Por síntomas observados en un enfermo, y en vista de la experiencia acumulada en un gran número de casos similares, se deduce que ha podido contraer la enfermedad A. con probabilidad de 1/3; o la enfermedad B con probabilidad 2/3.

Para precisar el diagnóstico, se somete al enfermo a un análisis clínico con dos resultados posibles, positivo o negativo.

Se sabe también por experiencia, que en los pacientes que tienen la enfermedad A el análisis es positivo con probabilidad 0.99, y en los que padecen la enfermedad B lo es con 0:06. Si al enfermo se le hizo un análisis. ¿Cuál en la probabilidad de que:

a. El resultado haya sido positivo b. El resultado haya sido positivo y padezca la enfermedad A c. ¿Cuál es la probabilidad de que dado que el enfermo que resulte positivo padezca la

enfermedad A?, B?

6. La probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81, de que tenga alta selectividad es de 0.32 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0.18. ¿Cuál es la probabilidad de que dado que un sistema tiene alta fidelidad tenga también alta selectividad? ¿Cuál es la probabilidad de que dado que un sistema tiene alta selectividad tenga también alta fidelidad?

7. En cierta ciudad, durante el mes de mayo, la probabilidad de que un día lluvioso sea seguido por otro día también lluvioso es 0.8, y la probabilidad de que un día soleado anteceda a un día lluvioso es 0.6. Suponiendo que cada día es clasificado como lluvioso o soleado y que el tiempo de cualquier día depende solamente del día anterior. Calcular la probabilidad de que en la ciudad citada un día lluvioso de mayo anteceda a dos días lluviosos más, luego a un día soleado y finalmente a otro día lluvioso.

8. Sea Q = {E1; E2, E3, E4,} , P(E,) = '/4 Vi = 1,2, 3,4. 3K= Partes de Q. A. = {E„E2} B = {E1 ,E3}C= {Eb E4}

Calcular: P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C), P(A B C), son independientes A, B y C?

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9. La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de compra de computadoras

PROCESADOR OPCIONAL: MEMORIA ADICIONAL SI: B NO: B c

SI: A 514 68 NO: Ac 112 246

Sean los eventos: A: Indica se pide en una orden un procesador opcional de alta velocidad B: Denota se requiere memoria adicional.

Calcule: a. P(A fl B) b. P(A U B) c. P(AC f] B) d. P(B / A) e. P(A / B)

f. Los eventos que se observan son independientes.

Obtenga las probabilidades de los sucesos:

g. A lo más se solicita una característica. h. Dado que no se pide procesador opcional, sí se requiera memoria.

10. La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período de garantía, es de 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de que falle durante el período de garantía es de 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos y el 10% se humedece ¿Qué proporción de conectores fallará durante el período de garantía? ¿Si falló un conector, qué probabilidad existe de que halla sido uno que se mantiene húmedo?

11. En un dispositivo de almacenamiento magnético, se hacen 3 intentos para leer datos antes de invocar el procedimiento de recuperación de error, el cual se encarga de volver a posicionar la cabeza de lectura- escritura. El procedimiento de recuperación de error intenta posicionar la cabeza con probabilidad 0.8 de lograrlo antes de enviar el mensaje de "operación abortada" al operador. Encuentre la probabilidad de que se produzca este mensaje si la operación de lectura es exitosa en el 98% durante el primer intento, 90% en el segundo intento y 40% en el tercer intento.

12. Una tarjeta de circuito impreso tiene 8 posiciones en las que puede ubicarse un componente. Si se van a colocar 4 componentes distintos sobre la tarjeta:

a. ¿Cuál es el número de diseños diferentes? b. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 posiciones siempre estén en un diseño? c. Suponga que los 4 componentes no requieren diferenciación, repita los literales anteriores.

13. Una pieza se etiqueta mediante la impresión de 4 líneas delgadas, 3 líneas medianas y 2 líneas gruesas. Cada ordenamiento representa una etiqueta diferente:

a. ¿Cuántas etiquetas diferentes se pueden generar? b. ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas medianas estén siempre juntas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al colocar 5 líneas, 2 sean delgadas, 2 medianas y 1 gruesa?

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14. En el diseño de un sistema de comunicación deben crearse prefijos de tres dígitos de teléfono para representar un área geográfica en particular.

a. ¿Cuántos prefijos se pueden generar? b. Repita a. teniendo el primer dígito diferente de cero y el segundo sea 0 o 1. c. ¿Cuál es el número de prefijos en los que ningún dígito puede aparecer más de una vez? d. Calcule la probabilidad de los dos eventos anteriores.

15. Encuentre la probabilidad para cada evento del ejemplo 16, asumiendo que son igualmente probables.

16. Un equipo se ensambla uniendo diez partes diferentes en un cierto orden

a. Obtenga la probabilidad de armar un equipo con extracciones aleatorias de las partes. ~b. Repita a, sí se supone que un equipo se arma con tan solo cinco de las diez partes.

c. Repita b, sí se ignora el orden en que deben ir las piezas. d. Repita a, sí se supone que las primeras seis partes se unen según una forma especial A y las

piezas restantes se unen de acuerdo a la forma especial B.

17. Una urna contiene tres monedas con probabilidad de caer cara iguales a 0.4, 0.5 y 0.6, respectivamente. Una moneda es extraída y se lanza 20 veces y aparece cara 11 veces, cuál es la probabilidad de que la moneda seleccionada haya sido la legal?

18. La calidad de tono de cuatro sistemas de audio va a clasificarse como superior, promedio o inferior, determine el total de sistemas diferentes y la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan tono de calidad superior. Suponga:

i) Sistemas diferentes ii) Sistemas no distinguibles

19. Un alumno debe estudiar cero, una o dos horas para un examen en una noche. De cuantas maneras puede estudiar un total de seis horas para el examen durante cuatro noches consecutivas? Cuál es la probabilidad de que ese evento ocurra?

20. Sí las posibilidades están 5 a 3 de que un evento M ocurra, 2 a 1 de que un evento N no ocurra, y 4 a 1 de que ninguno ocurra. Se puede decir que los eventos son disjuntos?. Independientes?. Encuentre la probabilidad de que al menos uno de los eventos pueda suceder.

21. Entre 150 personas entrevistadas como parte de un estudio transporte urbano masivo, 110 de ellas viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad, 100 se transportan regularmente a su trabajo en su auto, a 85 les gustaría usar el transporte de servicio público para movilizarse, 74 viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad y se transportan regularmente a su trabajo en su auto, 62 viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad y les gustaría usar el transporte de servicio público para movilizarse, 45 se transportan regularmente a su trabajo en su auto y les gustaría usar el transporte de servicio público para movilizarse, 30 viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad, les gustaría usar el transporte de servicio público y se transportan regularmente a su trabajo en su auto. Calcular e interpretar la probabilidad de todas las intersecciones y uniones posibles de los eventos considerados.

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22. Se efectúa un torneo deportivo con cuatro jugadores, sin que puedan ocurrir empates, con eliminación sencilla (por ejemplo tenis, dominó, naipes, etc). Suponiendo que los participantes tienen las mismas habilidades, calcule la probabilidad de que:

a. El torneo sea ganado por el jugador A. b. El torneo sea ganado por el jugador A ó B c. Repita los literales anteriores y suponga que las ventajas de ganar un juego son: El jugador

A al B: 2 a 3, el A al C: 4 a 5, el A al D: 1 a 3, el Bal C: 1 a 3, el B al D: 2 a 3, y el C al D: 1 a 2.

23. Una persona se transporta diariamente en un determinado vehículo para ir de su casa al trabajo. Los vehículos salen de la estación a las 7.00, 7.13,7.20,7.25, 7.32, 7.45, 7.55 de la mañana. Usualmente la persona por diferentes factores llega a la estación entre las 7.15 y 7.45 de la mañana:

a. Determine el espacio muestral. b. Encuentre la probabilidad de que la persona deba esperar el vehículo:

i. Máximo 5 minutos. ii. Menos de 10 minutos. c. Si hay vehículos expresos que salen a las 7.25 y 7.45 de la mañana, cuál es la probabilidad de

que alcance uno de ellos?

14. Una red de interruptores a, b, c y d está conectada a través de las líneas de potencia A y B como se muestra en la figura. Asuma que los interruptores operan eléctricamente y tienen mecanismos de operación independientes. Todos son controlados simultáneamente por los mismos impulsos; esto es, se entiende que con un impulso todos los interruptores se deben cerrar simultáneamente. Pero cada interruptor tiene una probabilidad P de fallar (No cerrar cuando debe hacerlo)

a.Cual es la probabilidad de que el circuito desde A hasta B falle al cerrar?

b.Si una línea es adicionada en e, como se indica en el gráfico, cuál es la probabilidad de que el circuito desde A hasta B falle al cerrar?

c.Si una línea y un interruptor son adicionados en e, cual es la probabilidad de que el circuito desde A hasta B falle al cerrar?

Lineas de potencia 25. Un sistema consta de 6 subsistemas. Cada uno talla

independientemente con probabilidad de 0.2. La falla de cualquier subsistema causa la falla total. Dado que el sistema falla, cual es la probabilidad de que el subsistema 1 falle ?

16. Hay un radar, una computadora y un giroscopio a bordo de un avión. La probabilidad de que el radar falle es 0.2. Si el radar falla, el giroscopio también fallará y la probabilidad de que la computadora falle es de 0.3. Si el radar funciona adecuadamente entonces la computadora funciona correctamente y la probabilidad de que el giroscopio falle es 0.2.

a. Describir el espacio muestral. b. Cuál es la probabilidad de que la computadora o el giroscopio funcione correctamente en

tanto que el otro no lo hace? c. Cuál es la probabilidad de que el radar funcione en forma correcta si uno de los otros dos

sistemas falla?

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II. VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una función cuyos valores son números reales y dependen del azar.

Sea (O, ¿R, P) un espacio de probabilidad, X es una función tal que: X : Q R

co - » X(co) = k

Para todo subconjunto de los reales 8, 8 c R, {X e rB\ = {oo / X (co) e 8} e 3K, la función ie valor real X recibe el nombre de Variable Aleatoria sobre (Q, A, P)

1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La función X es una variable aleatoria discreta, si el rango de X es contable (finito o infinito lumerable)

Ejemplo 1

En el experimento aleatorio lanzar un dado, suponga que una de la posibles variables aleatorias 5s X, que indica el resultado del lanzamiento del dado, entonces

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3K = P (Q) partes de Q

• 8 = {4, 5, 6} (= {4} U {5} U {6} 8 <= R 3K = [1, 6] {X e 8 } = {X = 4, X = 5, X = 6} = {X > 4} e A

= {X =4} U {X = 5} U {X = 6} • & = (1,3) & = {2} & c R

{X e 8} = {X = 2} e & • 8 = [-1,0] = {X < 0} = 0 e I

Ejemplo 2

Se observó el movimiento de una partícula tres veces cuyo resultado es un fenómeno aleatorio, por lo tanto se pueden describir como sigue:

Q= {(Wl5 W2, W3) / Wi = D, I Vi = 1, 2, 3} D: Derecha, I: Izquierda = P(Q) partes de Q

45

Sea X: número de movimientos a la izquierda, de los tres realizados.

X : Q — > %

DDD —> X(DDD) = 0 Jl= [0,3]

DDI — > = 1 Sí por ejemplo !B = {0, 1}

DID — > = 1 entonces

IDD — > = 1 { X É S } ={X = 0 , X = 1 }

DII — > = 2 ( D D D ) , ( D D I ) |

IDI — > = 2 ( D I D ) , ( I D D ) J

IID — > = 2

III — > = 3

6 JI

1.1 Función de Probabilidad (De Cuantía)

Sea X una variable aleatoria discreta. Se puede definir la función de probabilidad como

K - > f x ( k ) = P(X = k)

La función de probabilidad cumple las propiedades de la medida de probabilidad,

i) f x ( k ) > 0

ü) Z fx(*) =1 ' ' VA <= &

iii) P ( X e £ ) = P U X(w) G &

VkeS = Z fx(k) 8 c Z

Ejemplo 3

Continuando el ejemplo 2, la función de probabilidad y su representación es:

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fx X: £2 -> ' K - ^ — » KXn n

U - > 1 / 8 = 1X(U)

1 -> 3/8= f x ( l )

2 -> 3/8 = fx(2)

3 - > 1 / 8 = fx(3)

3/8 2/8

1/8 f x (k ) =

o i X

k = 0,3

k = 1,2

3i S = [ l , 2 l - > P ( X e S ) = P (J X(w)eS íx(k) = P(1 < X < 2 ) = 6/8 k=l

1.2 Función de Distribución

Sea (Q, P), X una variable aleatoria. La función de distribución de una variable aleatoria X, ;stá definida como:

Fx : k K [01]

k —» Fx (k) = P(X < k) = = P({w / X (w) e 8}), 8 = (-a, k) Vk e %

Siendo la variable aleatoria X discreta, la función de distribución se define como:

F x ( k ) = I f x ( k ) S c Z V k e S

Ejemplo 4

Continuando con el ejercicio 3, la función de distribución se construye así:

n — > R [o.i] 0 > 1/8 = P ( X < 0 ) =FX(0)

i - » 4/8 = P ( X < 1 ) =FX(1) 2 — > 7/8 = P ( X < 2 ) =FX(2)

3 > 1 = P ( X < 3 ) =FX(3)

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Fx(k) =

0 1/8 4/8 7/8 1

K < 0 0 < K < 1 1 < K < 2 2 < K < 3 3 < K

Fx

1 7/8

4/8

1/8 0

-I 1- X

Observe que:

a. F x (2) > F x (1)

b. P(1 < X < 2) = Fx (2) - F x (1) = 7/8 - 4/8 = 3/8

c. F x (2.5) = Fx (2)

d. Fx(-1) = 0

e. F x (5) = 1

f. P(X = 2) = F x (2) - F x (1) = 7/8 - 4/8 = 3/8

Ejemplo 5 La variable aleatoria X denota el número de vehículos detenidos ante un determinado semáforo

en rojo, se describe a partir de la siguiente función de distribución:

Número de Vehículos detenidos: X

X < 0 0 < X < 1 1 < X < 3 3 < X < 4 4 < X < 6 6 < X < 8 X > 8

Fx (x) 0 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1

Calcular: a. f x (x) b. P(X > 3) c. P ( 1 / 2 < X < 4 )

Solución:

a. f x (0) = Fx(0) = 0.1

f x (1) = Fx(l) - Fx(0) = 0.3 - 0.1 = 0.2

f x (2) = Fx(2) - Fx(l) = 0.3 - 0.3 = 0.0

fx (3) = Fx(3) - Fx(2) = 0.6 - 0.3 = 0.3

fx(8) = F x (8 ) -F x (7 )=1 .0 -0 .9 = 0.1

fx(x) = = <

0.1 0.2

0.3 0

x=0, 6, 8 x=l, 4 x=3

en otro caso

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b. P(X > 3 ) = 1 - F x ( 3 ) = 0.4

Más de tres autos se detienen en el 40% de los casos en los cuales el semáforo se encuentra en rojo.

c. P( l /2< X <4) = FX(4)-FX(1 /2) = 0.8 -0.1 =0.7

En el 70% de los cambios del semáforo a rojo se detienen entre uno y cuatro autos

Ejemplo 6

La figura siguiente representa un sistema que funciona de izquierda a derecha. Cada componente puede descomponerse con probabilidad 0.10, independiente de los demás. Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria X que indica el número de salidas de A aB.

Solución:

X: Q > <R n [o.i] — n [o,i]

B

C, c2 C3 2

c,c2 C3- - > 1

C, C2cC 3 - > 1

c,c c2 C 1

c, c2cc c 3 — > 1

c,c c2c 0

c^ c2 c c 3 - > 0

c^c/c 0

0.019 k = 0

fx (k) - 0.252 k = 1 0.729 k = 2

0.729

0.252

0.019

-> 1 = FX(2)

-> 0.271 = FX(1)

0.019=FX(0)

fx

0 . 7 - -

0 . 5 - -

0 . 3 . .

0 . 1 - -

•X

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